カレンダー　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和５年３月３０日付け）

　次は、２０２３年３月のカレンダーである。

　　
　　#日付をクリックすると問題を見ることが出来ます。（←ｍａｐ属性を設定）

　日付が答えになるように作問せよ。（→　参考：「数学カレンダー」）































（答）　以下は、作問の一例です。

１・・・○１/２＋１/３＋１/６の値

　　実際に、１/２＋１/３＋１/６＝（３＋２＋１）/６＝１

　　　 ○₄₀Ｃ₂₀ を 41 で割った余り

　　実際に、₄₀Ｃ₂₀＝４０・３９・・・・・２２・２１/（２０・１９・・・・・３・２・１）　において、
　　（分子）≡２０・１９・・・・・３・２・１　（ｍｏｄ　４１）　なので、₄₀Ｃ₂₀≡１　（ｍｏｄ　４１）

　　　 ○ ０！ の値

　　実際に、_ｎＰ_ｒ＝ｎ！/（ｎ−ｒ）！において、ｎ＝ｒ とすると、ｎ！＝ｎ！/０！ より、０！＝１

　　　 ○ｚ³＝１ のときの １/（１−ｚ）＋１/（１−ｚ²） の値

　　実際に、与式＝１/（１−ｚ）＋ｚ/（ｚ−１）＝ （１−ｚ）/（１−ｚ）＝１

　　　 ○１辺の長さが２の正方形が２つあり、下図のように、１つの正方形の頂点が他の正
　　　　方形の中心に重なって置かれている。このときの重なっている部分の面積

　　　　

実際に、
		左図のように考えると、水色の部分の面 　積が等しいので、求める面積は、正方形 　の面積の四分の一に等しい。 　　よって、求める面積は、 　　２×２÷４＝１

　　　 ○西暦２０２３年（令和５年）に因んだ問題。１から２０２３までの整数で最も多く使われ
　　　　ている数字

　　実際に、０〜９の頻度を計算すると、

　　上表から、最も多く使われている数字は、１

　　　 ○極限値　lim_x→0 {sin(tanx)}/(e^x-1)

　　実際に、sin(tanx)/(e^x-1)={sin(tanx)/tanx}×{(tanx)/x}×{x/(e^x-1)}　と変形し、
　　　lim_x→0 {sin(tanx)}/tanx=1、lim_x→0 (tanx)/x=1、lim_x→0 x/(e^x-1)=1 より、（与式）=1

　　（別解）　ロピタルの定理を用いて、(与式)=lim_x→0 cos(tanx)・{1/cos²x}/e^x=1

２・・・○偶数の素数

　　実際に、素数 ２、３、５、・・・　の中で、偶数は２のみである。

　　　 ○連珠形 （ｘ²＋ｙ²）²＝２（ｘ²−ｙ²）の囲む面積

　　実際に、計算すると、２となる。

　　　 ○赤球２個、青球２個を円形に並べる場合の数

　　実際に、赤球２個を円形に並べる方法の数は、１通り。その隙間に青球２個を入れる方
　　法の数は、２通り。よって、求める場合の数は、１×２＝２（通り）

　　　 ○∫₀^πｓｉｎ ｘ ｄｘ の値

　　実際に、与式＝[−ｃｏｓ ｘ ]₀^π＝−（−１）−（−１）＝２

　　　 ○ｚ⁵＝１ のときの １/（１−ｚ）＋１/（１−ｚ²）＋１/（１−ｚ³）＋１/（１−ｚ⁴） の値

　　実際に、
　　　与式＝１/（１−ｚ）＋１/（１−ｚ²）＋ｚ²/（ｚ²−１）＋ｚ/（ｚ−１）
　　　　＝１/（１−ｚ）＋ｚ/（ｚ−１）＋１/（１−ｚ²）＋ｚ²/（ｚ²−１）
　　　　＝（１−ｚ）/（１−ｚ）＋（１−ｚ²）/（１−ｚ²）＝２

　　　 ○３つの皿Ａ、Ｂ、Ｃのそれぞれに石が２個、３個、４個の計９個がのっている。

　　　　

　　　　甲、乙の２人が交互に皿の上の石を取る。ただし、１回毎にどれか１つの皿から１個
　　　　以上の石を取るものとする。最後に石を取った者が負けとする。
　　　　今、甲がＡの皿から石を１個取った。次に、乙が石を取るとき、必ず勝つためには、ど
　　　　の皿から何個とればよいか。

　　実際に、乙がＣの皿から２個取れば、残りは、　Ａ：１個　、Ｂ：３個　、Ｃ：２個
　　次に、甲がＡから１個取れば、乙は、Ｂから１個とれば、乙が必勝
　　（甲が、２個、２個から、２個とれば、乙は１個取る。甲が、２個、２個から、１個とれば、乙
　　は２個取る。）
　　　甲が　Ｂから１個取れば、乙は、Ａから１個とれば、乙が必勝
　　　甲が　Ｂから２個取れば、乙は、Ｃから１個とれば、乙が必勝
　　　甲が　Ｂから３個取れば、乙は、Ｃから２個とれば、乙が必勝
　　　甲が　Ｃから１個取れば、乙は、Ｂから２個とれば、乙が必勝
　　　甲が　Ｃから２個取れば、乙は、Ｂから３個とれば、乙が必勝
　　以上から、乙がＣの皿から２個取れば必ず勝てる。

　　　 ○次の直角三角形の面積

　　　

　　実際に、下図において、　（４×２÷２）÷２＝２

　　　

　　　（別解）　面積＝（１/２）（４cos１５°）（４ｓｉｎ１５°）＝４ｓｉｎ３０°＝２

　　　 ○男４人で２日かかり、女６人だと４日かかる仕事がある。この仕事を男２人、女３人だ
　　　　と何日かかるか？

　　実際に、男１人の１日の仕事量は、１/８、女１人の１日の仕事量は、１/２４
　　男３人、女３人の１日の仕事量は、３/８＋３/２４＝１/２となる。よって、２日かかる。

　　　 ○ある仕事を成し遂げるのに、Ａは６日、Ｂは９日、Ｃは１２日かかるという。その仕事を、
　　　　ＡとＢが力を合わせて３日間やり、残りをＣに任せた。Ｃは何日で終わるか。

　　実際に、Ａ、Ｂの一日当たりの仕事量は、１/６、１/９なので、２人の一日当たりの仕事量
　　は、１/６＋１/９＝５/１８　で、３日間で、５/１８×３＝５/６　が終わっている。
　　Ｃの一日当たりの仕事量は、１/１２で、残り１/６を終えるのに、１/６÷１/１２＝２（日）か
　　かる。

　　　 ○体積が３２π/３であるときの球の半径

　　実際に、４πｒ³/３＝３２π/３　より、ｒ³＝８　なので、ｒ＝２

３・・・○奇数の素数の最小値

　　実際に、素数 ２、３、５、・・・　の中で、奇数の最小値は３である。

　　　 ○直方体ＯＡＢＣ-ＤＥＦＧ の３辺の長さがＯＡ＝、ＯＣ＝、ＯＤ＝ のときの
　　　　△ＡＣＤの面積

　　実際に、直方体の体積は。・・＝６　なので、
　　四面体Ｏ-ＡＣＤ＝６・（１/２）・（１/３）＝１　となる。３点Ａ、Ｃ、Ｄを通る平面の方程式は、
　　ｘ/＋ｙ/＋ｚ/＝１　と書けるので、法線ベクトルは、（１/，１/，１/）
　　ｔ（１/，１/，１/）が平面上にあるとき、（１/６＋１/３＋１/２）ｔ＝１　より、ｔ＝１
　　よって、四面体Ｏ-ＡＣＤの高さは、√（１/６＋１/３＋１/２）＝１　となる。
　　したがって、　△ＡＣＤ×１×（１/３）＝１　より、　△ＡＣＤ＝３

　　（補足）　直方体ＯＡＢＣ-ＤＥＦＧ の３辺の長さがＯＡ＝ａ、ＯＣ＝ｂ、ＯＤ＝ｃ のとき、
　　　　△ＡＣＤの面積＝（１/２）√（ａ²ｂ²＋ｂ²ｃ²＋ｃ²ａ²）
　　　という公式が知られている。（金沢大学（１９６６）で出題されたことがある。）

　　　 ○下図の黄色い部分の面積

　　　

　　実際に、長方形の縦の長さを ｘ ｃｍ とおくと、　８ｘ＝１２＋Ｓ　、６ｘ＝７＋Ｓ　なので、
　　　２ｘ＝５　から、ｘ＝５/２　よって、求める面積は、　４×（５/２）-７＝３（ｃｍ²）

　　　 ○ｚ³＝１ 、ｚ≠１ のときの （１−ｚ）（１−ｚ²） の値

　　実際に、ｚ²＋ｚ＋１＝０　なので、
　　　与式＝（１−ｚ）（１−ｚ²）＝１−ｚ−ｚ²＋ｚ³＝２-（ｚ＋ｚ²）＝３

　　　 ○△ABCの頂点A、B、Cより対辺に下ろした垂線の足をそれぞれD、E、Fとする。
　　　　また、△ABCの内接円の半径を ｒ とする。２/AD＝１/BE＋１/CF のとき、AD/ｒ の値

　　実際に、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ、（ａ＋ｂ＋ｃ）/２＝ｐ　とおくと、
　　　△ＡＢＣ＝ｐｒ＝ａ・ＡＤ/２＝ｂ・ＢＥ/２＝ｃ・ＣＦ/２　より、
　　　ＡＤ＝２ｐｒ/ａ　、ＢＥ＝２ｐｒ/ｂ　、ＣＦ＝２ｐｒ/ｃ
　　　これらを、２/AD＝１/BE＋１/CF　に代入して、ａ/（ｐｒ）＝ｂ/（２ｐｒ）＋ｃ/（２ｐｒ）　より、
　　　２ａ＝ｂ＋ｃ　　このとき、ｐ＝（３/２）ａ　なので、　ＡＤ/ｒ＝２ｐ/ａ＝３

　　　 ○１！＋２！＋３！＋４！＋５！＋６！＋７！＋８！＋９！　の一の位

　　実際に、　５！、６！、７！、８！、９！は、素因数２と５を必ず持つので、一の位は０である。
　　よって、１！＋２！＋３！＋４！だけを調べればよい。１！＋２！＋３！＋４！＝３３　なの
　　で、求める数は、３

　　　 ○√（１８０＋ｎ²）が整数となる自然数ｎの個数

　　実際に、√（１８０＋ｎ²）＝ｋ　（ｋは整数）　とおくと、　ｋ²−ｎ²＝１８０
　　よって、（ｋ＋ｎ）（ｋ−ｎ）＝１８０　で、（ｋ＋ｎ）＋（ｋ−ｎ）＝２ｋは（偶数）より、
　　（ｋ＋ｎ）、（ｋ−ｎ）はともに偶数でなければならない。（ｋ＋ｎ）＞（ｋ−ｎ）に注意して、
　　（ｋ＋ｎ，ｋ−ｎ）＝（９０，２）、（３０，６）、（１８，１０）　の３通り
　　よって、ｎ＝４、１２、４４　の３通り

４・・・○楕円 ｘ²/４＋ｙ²＝１ の中心で直交する２直線と楕円との交点で作られる平行四辺
　　　　形の面積の最小値

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○方程式 ｘ⁴−３２ｘ²＋２５６＝０の自然数解

　　実際に、　（ｘ＋４）²（ｘ−４）²＝０　より、ｘ＝４

　　　 ○無限等比級数 Σ_ｎ=1^∞ ２^2-n の和

　　実際に、和は、２/（１−１/２）＝４

　　　 ○６個の同じものを、奇数個ずつのいくつかの同じ袋に分ける方法の数

　　実際に、（１，５）、（１，１，１，３）、（１，１，１，１，１，１）、（３，３）　の４通り

　　　 ○行きは１時間毎に１０分ずつ休憩し、目的地に着くのに２時間４０分かかった。帰り
　　　　は疲れたので歩く速さを行きの７０％とし、４０分毎に１０分ずつ休憩した。このとき、
　　　　帰りに要した時間

　　実際に、行きは２回休憩し、実際に歩いた時間は２時間２０分＝１４０分なので、帰りの
　　歩いた時間は、１４０×１０/７＝２００分である。ただし、２００÷４０＝５ より休憩は４回
　　以上から、帰りにかかった時間は、４×１０＋２００＝２４０分で、４時間かかった。

　　　 ○x=a^3+3b、y=b^3+3a、ab=1 （a＞b＞0） のとき、(x+y)^(2/3)-(x-y)^(2/3) の値

　　実際に、x+y=a^3+3a+3b+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
　　x-y=a^3-3a+3b-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3　なので、
　　(x+y)^(2/3)-(x-y)^(2/3)=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab=4

　　　 ○平面上に異なる６本の線分を引くとき、これらの線分の端点として得られる点の中で、
　　　　異なる点の最小限個数

　　実際に、平面上に、ｎ個の点があると、線分は、_ｎＣ₂＝ｎ(ｎ−１)/２ （本）まで引けるので
　　　線分６本なら、点は最少４個となる。例えば、

　　　

　　　 ○ある仕事を終えるのに、Ａは６日、Ｂは１２日かかる。２人でやると何日かかるか。

　　実際に、Ａ、Ｂの一日当たりの仕事量は、１/６、１/１２なので、２人が一緒に働いた仕事
　　量は、１/６＋１/１２＝１/４である。よって、仕事を終えるのに、１÷１/４＝４（日）かかる。

　　　 ○大中小のバケツで水槽に水を入れる。大だと１６杯、中だと２４杯、小だと３２杯で
　　　　満杯になる。大１個と中３個と小２個だと、何回水を入れればよいか。

　　実際に、大１個と中３個と小２個だと、１回当たりの水の量は、
　　１/１６＋３/２４＋２/３２＝１/４　より、１÷１/４＝４（回）　水を入れればよい。

　　　 ○「１４７４１」のように右から読んでも左から読んでも同じになる数のことを「回文数」と
　　　　言う。２６□の２乗が回文数になるときの□に入る数字

　　実際に、２６４²＝６９６９６　から、□＝４

　　　 ○下図のように、ＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形ＡＢＣが円に内接している。円周上に点Ｄを
　　　　とり、直線ＡＤと辺ＢＣの交点をＥとする。

　　

　　　　ＡＥ＝２、ＥＤ＝６　のときの辺ＡＢの長さ

　　実際に、
　　

　　　上図において、　△ＡＢＥ∽△ＡＤＢ　より、　ＡＢ ： ＡＥ＝ＡＤ ： ＡＢ　なので、

　　　ＡＢ ： ２＝８ ： ＡＢ　すなわち、　ＡＢ²＝１６　から、　ＡＢ＝４


５・・・○ｃｏｔ²（π/７）＋ｃｏｔ²（２π/７）＋ｃｏｔ²（３π/７）の値

　　実際に、計算すると、５になる。

　　　 ○正多面体の種類の数

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○平面において、５本の直線で出来る三角形の最大数

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○実数 ｘ に対して、√（５ｘ²−１６ｘ＋２０）＋√（５ｘ²−２６ｘ＋３７）　の最小値
　　　　（→　参考：「最小問題」）

　　実際に、与式＝√（（ｘ−４）²＋（２ｘ−２）²）＋√（（ｘ−１）²＋（２ｘ−６）²）　と書ける。
　　　これは、２定点Ａ（４，２）、Ｂ（１，６）から直線 ｙ＝２ｘ 上の点Ｐ（ｘ，２ｘ）との距離の和
　　　ＡＰ＋ＢＰを意味する。直線 ｙ＝２ｘ に関して、２点Ａ、Ｂは反対側にあるので、ＡＰ＋ＢＰ
　　　が最小となる点Ｐは、直線 ｙ＝２ｘ と直線ＡＢの交点になるときである。
　　　したがって、ＡＰ＋ＢＰの最小値は、ＡＢ＝√（３²＋４²）＝５　となる。

　　　 ○円周上の６個の点を互いに交差しない弦で結ぶ方法の数

　　実際に、次の５通り　（→　参考：「カタラン数」）

　　　 ○Ｃ＝９０°の直角２等辺三角形ＡＢＣの３頂点Ａ、Ｂ、Ｃが下図のように、互いの距離
　　　　が６と２の３本の平行線上にある。Ｃを通る平行線と斜辺ＡＢの交点をＤとおく。

　　　

　　　このときの線分ＣＤの長さ

　　実際に、下図のように、直角三角形ＡＢＣに外接する長方形ＧＢＦＥを考える。

　　

　　　△ＢＦＣ≡△ＣＥＡ　なので、　ＡＧ＝４　である。よって、　ＨＤ：４＝２：８　より、
　　　ＨＤ＝１　なので、　ＣＤ＝６−１＝５

　　　 ○(５^p−１)/(ｐ⁵−１)　が整数となる素数ｐの値

　　実際に、p=2、3 のときは実際に試すと割り切れないが、p=5 のときは実際に試すと割り
　　切れるので、p=5 は解の1つである。
　　p≧7 に条件を満たす素数が存在しないことを背理法を用いて示す。
　　7以上のある素数 p が条件を満たしたと仮定する。このとき、 p-1 は偶数で、また、
　　5² ≡ 1 (mod 8) であることから、5^p-1 ≡ 1 (mod8)　なので、 5^p-1 ≡ 4 (mod 8)
　　つまり、5^p-1 は 8 の倍数ではない。――[A]
　　一方で、p-1 ≧ 6 ＞ 1 なので、p-1 を割り切るある素数 q が存在する。
　　p⁵-1 は p-1 で割り切れるので、q は p⁵-1 も割り切る。さらに、5^p-1 が p⁵-1 で割り切
　　れるということは、q は 5^p-1 も割り切る。よって、5^p ≡ 1 (mod q) である。
　　また、5^p ≡ 0 (mod 5) であることから q≠5 としてよく、フェルマーの小定理より、
　　5^q-1 ≡ 1 (mod q) である。ここで、0＜q-1＜q＜p-1＜p より、q-1 は p と互いに素である
　　ので、拡張ユークリッドの互除法より、a(q-1) - bp = 1 となる自然数 a、b が存在する。
　　これらを用いると、q を法として、
　　1 ≡ 1^a ≡ {5^q-1}^a ≡ 5^a(q-1) ≡ 5^bp+1 ≡ (5^p)^b×5 ≡ 1^b×5 ≡ 5
　　よって、4≡0 (mod q) であるので、q=2　つまり、p-1 は素因数として 2 しか持たない数で
　　あり、p-1 ≧ 6 であることからその指数は3以上である。
　　すなわち、p-1 は 8 の倍数であり、その倍数である p⁵-1 や、さらにその倍数である 5^p-1
　　も 8 の倍数である。
　　しかし、これは [A] に矛盾する。したがって p≧7 に条件を満たす p は存在しない。
　　以上より、条件を満たす素数は p=5 のみである。（→　参考：「数学コンテスト」）

　　　 ○ｘ/（ｘ＋ｙ）＋ｙ/（ｘ−ｙ）＝５/３、ｘｙ＝−２ （ｘ、ｙ は実数）のとき、ｘ²＋ｙ² の値

　　実際に、第１式の両辺に1を加えて、 x/(x＋y)＋x/(x−y)＝８/３　の左辺の分子分母に
　　ｙをかけて、−２/(−２＋ｙ²)−２/(−２−y²)＝８/３　この両辺を２で割って、
　 １/(２−ｙ²)＋１/(２＋y²)＝４/３　左辺を通分して足すと、　４/(４−y⁴)＝４/３
　　よって、y4＝１ から、y＝±１ なので、(ｘ，ｙ)＝±(−２，１)　したがって、ｘ²＋ｙ²＝５

　　　 ○太郎が１５日かかる仕事を次郎は９日でできる。太郎が一人で何日か働いた後、次
　　　　　郎が後を引き継いで働いたら１１日かかった。太郎が働いた日数

　　実際に、仕事全体の量を１５と９の最小公倍数の４５と考えると、太郎は１日で３の量、次
　　郎は１日で５の量をする。次郎が後を引き継いで働いたら１１日かかったので、その仕事
　　量は、５×１１＝５５で、仕事量の５５−４５＝１０は、次郎の働きなので、実際に太郎が働
　　いたのは、１０÷（５−３）＝５（日間）　働いたことになる。

　　（別解）　面積図を用いれば、

　　

　　（別解）　方程式を用いれば、ｘ・（１/１５）＋（１１−ｘ）・（１/９）＝１　より、ｘ＝５

６・・・○星芒形 ｘ＾（2/3）＋ｙ＾（2/3）＝１ の周の長さ

　　実際に、計算すると、６になる。

　　　 ○楕円 ｘ²/４＋ｙ²/２＝１ の中心で直交する２直線と楕円との交点で作られる平行四
　　　　辺形の面積の最大値

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○４^（２/３）÷２４^（１/３）×１８^（２/３）の値

　　実際に、与式＝２^（４/３）÷（２×３^（１/３）×２^（２/３）×３^（４/３）＝２×３＝６

　　　 ○ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ のとき、ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｘ の実数解で、ｆ（ｘ）＝ｘ の解ではないものの個数

　　実際に、ｙ＝ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））のグラフを書けば、求める個数は６個である。
　　（→　参考：「掲示板の話題」）

　　

　　　 ○半径３ｃｍの球の中心をＯとし、Ｏを頂点とする直円錐が交わっている。このときの
　　　　交わっている部分の体積

　　　

　　実際に、球の表面積は、４π・３²＝３６π で、球の体積は、４π・３³/３＝３６πなので、
　　求める体積は、３６π×（６/３６π）＝６（ｃｍ³）

　　（別解）　（底面積）×（高さ）÷３＝６×３/３＝６（ｃｍ³）

　　　 ○ある仕事を終えるのに、Ａは６日、Ｂは１２日かかる。最初２人で３日間した後、Ｂが
　　　　残りを一人でするとき、仕事は全部で何日かかるか。

　　実際に、Ａ、Ｂの一日当たりの仕事量は、１/６、１/１２なので、２人でやった仕事量は、
　　（１/６＋１/１２）×３＝３/４　なので、残り １−３/４＝１/４ をＢがやる場合、
　　１/４÷１/１２＝３　より、仕事を終えるのに、　３＋３＝６（日）かかる。

　　　 ○座標平面上を運動する点Pの、出発してから ｔ 秒後の速度ベクトル ｖ が
　　　　ｖ = ( -πcos²(πt/3)×sin(πt/3) ，πsin²(πt/3)×cos(πt/3) )　のとき、Pは、ある
　　　　曲線上を運動する。出発してから6秒間にPが通過する道のり

　　実際に、Ｐ（ｘ，ｙ）について、ｄｘ/ｄｔ＝-πcos²(πt/3)×sin(πt/3)より、ｘ＝cos³(πt/3)＋Ｃ
　　同様にして、ｄｙ/ｄｔ＝πsin²(πt/3)×cos(πt/3)　より、ｙ＝sin³(πt/3)＋Ｄ
　　（Ｃ、Ｄは任意定数） ｔ=0　のとき、点Ｐが点（1，0）にあるとして、ｘ＝cos³(πt/3)、
　　ｙ＝sin³(πt/3)　よって、点Ｐは、アステロイド　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝１上を動く。出発してから
　　6秒間にPが通過する道のりは、「星芒形」の公式により、６ となる。

７・・・○平面において、６本の直線で出来る三角形の最大数

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○３本の直線で分割される平面の最大数

　　実際に、
　　　　　　　　

　　　 ○ｘｙｚ空間のある平面Ｌ上に多角形Ｋがある。このＫをｘｙ平面に正射影すると面積は
　　　　２、ｙｚ平面に正射影すると面積は３、ｚｘ平面に正射影すると面積は６になるという。
　　　　このときのＫの面積

　　実際に、Ｋの面積をＳとし、Ｌの大きさ１の法線ベクトルを（ａ，ｂ，ｃ）とすると、Ｌとｘｙ平面
　　　のなす角θは、（ａ，ｂ，ｃ）と（０，０，１）のなす角に等しいので、　ｃｏｓθ＝ｃ
　　　よって、Ｓｃｏｓθ＝２　即ち、　Ｓｃ＝２　となる。同様にして、Ｓａ＝３、Ｓｂ＝６　である。
　　　したがって、Ｓ²（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）＝９＋３６＋４＝４９で、ａ²＋ｂ²＋ｃ²＝１　より、Ｓ＝７

　　　 ○正八面体の８面の内、４面を赤、他の４面を青で塗り分ける方法の数

　　実際に、塗り分ける方法の数は全部で、７通りある。（→　参考：「塗り分けの方法」）

　　（図示による確認）

　　　 ○曲線　y=(2x/3)^3/2　（0≦x≦9/2）　の長さ

　　実際に、ｙ’＝(2x/3)^1/2　より、１＋ｙ’²＝１＋２x/３　なので、求める曲線の長さは、
　　　∫₀^9/2 √（１＋２x/３）ｄｘ＝（３/２）∫₀³ √（１＋ｔ）ｄｔ＝［（１＋ｔ）^3/2］₀³＝４^3/2−１＝７

８・・・○楕円 ｘ²/６＋ｙ²/２＝１ の中心で直交する２直線と楕円との交点で作られる平行四
　　　　辺形の面積の最大値

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○半径１の円が直線上を滑らずに１回転するとき、円周上の点が描く弧の長さ

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○ｎを自然数とする。複素数 z が単位円 |z|＝1 を一周するとき、
　　　　f(z)＝z−(1/(n+1))z^(n+1) が描く曲線の長さ

　　実際に、２∫₀^2π |ｓｉｎ(ｎθ/２)|ｄθ　で、
　　ｓｉｎ(nθ/２) は、[０，２π/ｎ] での波形を [０，２π] で上下にｎ回繰り返すから、
　　２ｎ・∫₀^2π/n ｓｉｎ(ｎｘ/２)ｄθ＝２ｎ・(２/ｎ)[−ｃｏｓ(ｎθ/２)]₀^2π/n＝８

　　（別解）　|z|＝1 より、ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ　（０≦θ≦２π）　とおける。このとき、
　　　ｆ(ｚ)＝ｘ＋ｉ・ｙ　とおくと、ｘ＝ｃｏｓθ−（１/（ｎ＋１））ｃｏｓ（ｎ＋１）θ、
　　　ｙ＝ｓｉｎθ−（１/（ｎ＋１））ｓｉｎ（ｎ＋１）θ　なので、
　 　 ｘ_θ＝−ｓｉｎθ＋ｓｉｎ（ｎ＋１）θ＝２ｃｏｓ（（ｎ＋２）/２）θｓｉｎ（ｎ/２）θ
　　　ｙ_θ＝ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ＝２ｓｉｎ（（ｎ＋２）/２）θｓｉｎ（ｎ/２）θ
　　　よって、曲線の長さＬは、
　　　Ｌ＝∫₀^2π √（ｘ_θ²＋ｙ_θ²）ｄθ＝２ ∫₀^2π｜ｓｉｎ（ｎ/２）θ｜ｄθ
　　　ここで、（ｎ/２）θ＝ｔ　とおくと、ｄθ＝（２/ｎ）ｄｔ　で、
　　　Ｌ＝（４/ｎ）∫₀^ｎπ ｜ｓｉｎ ｔ｜ｄｔ＝（４/ｎ）・ｎ∫₀^π ｓｉｎ ｔ ｄｔ＝４[−ｃｏｓ ｔ ]₀^π＝８

　　　 ○タコとイカがあわせて１０匹いる。足の数を数えると全部で８４本であった。このときの
　　　　タコの数
　　　　（注)タコの足は8本、イカの足は10本

　　実際に、イカの足のうち2本を「手」と呼ぶことにすると、足は8本で、タコと同じになり、合
　　　わせて10匹なので、足は全部で、8×10=80本。よって、84本のうち「手」が84-80=4本な
　　　ので、イカは、4÷2=2匹、タコは、10-2=8匹。

　　　（別解）イカば、ｘ 匹、タコは、ｙ 匹とすると、ｘ＋ｙ＝１０、１０ｘ＋８ｙ＝８４　より、２ｘ＝４
　　　　なので、ｘ＝２ から、イカは２匹、タコは８匹。

　　　 ○数列　１０ ，２１ ，□ ，１９ ，６ ，１７ ，４　において、空所□に入る数

　　実際に、数列の各項は時計（２４時間）で、１１時間後の時刻になっているので、□＝８

　　　（別解）　奇数番の項を抜き出すと、１０ ，□ ，６ ，４　なので、交差−２の等差数列か
　　　　ら、□＝８

　　　 ○ある仕事を完成させるのに、甲一人だと１２日、乙一人だと６日かかる。最初、この
　　　　仕事を甲と乙の２人で始めたが、途中で乙が怪我をして何日間か仕事を休んだ。そ
　　　　の間、仕事は甲一人で行ったが、乙の怪我が直り、また甲乙共に仕事にとりかかった
　　　　ところ、１０日で終わった。このとき、乙が仕事を休んだ日数

　　実際に、甲の１日当たりの仕事量は、１/１２　で、乙の１日当たりの仕事量は、１/６
　　　甲が１０日、乙が ｙ 日仕事をしたとすると、（１/１２）×１０＋（１/６）ｙ＝１
　　　よって、５＋ｙ＝６　より、ｙ＝１　なので、乙が仕事を休んだのは、９日間
　　　しかるに、問題文から乙は最初と最後は仕事をしていることになっていますので、初日
　　　の作業中に怪我をして最終日の途中で復帰し、合計1日分の作業をしたと考えられる。
　　　従って、初日は早退、最終日は遅刻でいずれも「休み」ではないので、休んだのは、8日
　　　間。

　　（別解）甲乙の１日当たりの仕事量は、それぞれ１/１２と１/６で、ある仕事を完成させる
　　　のに要した日数は１０日。甲が１０日働くと、全体の１０/１２＝５/６　が終了しているの
　　　で、残りの１/６は乙の仕事となる。その日数は、１/６÷１/６＝１（日）　なので、乙は
　　、１０−１＝９（日）仕事を休んだことになる。
　　　しかるに、問題文から乙は最初と最後は仕事をしていることになっていますので、初日
　　　の作業中に怪我をして最終日の途中で復帰し、合計1日分の作業をしたと考えられる。
　　　従って、初日は早退、最終日は遅刻でいずれも「休み」ではないので、休んだのは、8日
　　　間。

　　（別解）12と6の最小公倍数が12…これを仕事の総量とします。甲は1日に1の仕事をこな
　　　します（全部終えるには12日）。乙は1日に2の仕事をこなします（全部終えるには6日）。
　　　甲が作業をしているところに乙が1日加勢すると、仕事量2だけはかどりますから、終え
　　　るまでの日が2日短縮されます。
　　　さて、問題文から、甲だけだと12日かかるのが、乙が加わったら10日になったということ
　　　は、2日分短縮されたことになりますから、乙が加勢したのは1日だけということです。
　　　つまり、9日間は乙が参加していない、と。
　　　しかるに、問題文から乙は最初と最後は仕事をしていることになっていますので、初日
　　　の作業中に怪我をして最終日の途中で復帰し、合計1日分の作業をしたと考えられる。
　　　従って、初日は早退、最終日は遅刻でいずれも「休み」ではないので、休んだのは、8日
　　　間。

　　　 ○四角形ABCＤにおいて、ＡＢ＝６、ＣＤ＝２ で、ＡＤ＝ＢＣ とする。また、∠Ａ＝５０°、
　　　　∠Ｂ＝４０°のときの四角形ABCＤの面積

　　

　　実際に、下図から明らかに、四角形ABCＤの面積＝（３６−４）÷４＝８

　　　

　　　 ○正の整数が書かれたカードが何枚かあり、全てのカードの和は１１であるとする。１以
　　　　上１１以下の任意の整数kに対し、書かれた数の和がkになるように何枚かを選び出す
　　　　ことができるという。また、その選び方は、同じ数の書かれたカードを区別しないものと
　　　　するとただ１通りである。このようなカードの組合せの数

　　実際に、(6,3,1,1)、(6,2,2,1)、(6,1,1,1,1,1)、(4,4,1,1,1)、(3,3,3,1,1)、(2,2,2,2,2,1)、(1が11個)、
　　　(4,4,2,1) で、全部で８通り

　　　 ○一枚で、花粉の70%を除去できるフィルターがある。この花粉を99．99%除去するの
　　　　に必要なフィルターの枚数。ただし、ｌｏｇ₁₀３=0．4771とする。

　　実際に、フィルターを ｘ 枚用意して花粉が99．99%除去できるとき、（０．３）^ｘ≦(０．１)⁴
　　両辺の１０を底とする対数をとると、ｘ・ｌｏｇ₁₀０．３≦−４　より、ｘ≧４/０．５２２９＝７．６・・・
　　したがって、フィルターを最低８枚用意すれば、花粉を99．99%除去できる。

　　　 ○√（１８ｎ）と√（６ｎ＋１）がともに整数となるような自然数ｎの最小値

　　実際に、√（１８ｎ）＝３√（２ｎ）　において、ｎ＝２ｋ²　（ｋは自然数）とおける。このとき、
　　√（６ｎ＋１）＝√（１２ｋ²＋１）　ｋ＝１、２、・・・　を代入して初めて整数になるのは、ｋ＝２
　　のとき。よって、ｎ＝８

９・・・○六角形の対角線の本数

　　実際に、　６×３÷２＝９

　　　 ○辺の長さと面積が自然数である台形の面積の最小値
　　　　（二組の辺が平行である図形は含まない）

　　実際に、こちらを参照

　　　 ○（−＋１）³/（−１）の値

　　実際に、（−＋１）³＝（−＋１）²（−＋１）
　　　　　　　＝３（−１）（−＋１）
　　　　　　　＝３（−１）（＋１）（−＋１）
　　　　　　　＝９（−１）　　より、与式＝９

　　　 ○∫_-3³ ｘ²/(１＋e^x) ｄｘ の値

　　実際に、∫_-3³ ｘ²/(１＋e^x) ｄｘ ＋∫_-3³ ｘ²e^x/(１＋e^x) ｄｘ＝∫_-3³ ｘ² ｄｘ ＝１８
　　　ここで、ｘ＝−ｔ とおいて、∫_-3³ ｘ²e^x/(１＋e^x) ｄｘ＝∫_-3³ ｘ²/(１＋e^x) ｄｘ　が示さ
　　　れるので、　∫_-3³ ｘ²/(１＋e^x) ｄｘ＝９　が分かる。
　　　#　ｘ²/(１＋e^x) の不定積分は多重対数関数を用いて表されるが、定積分の計算は
　　　　容易であるところが面白い。

　　　 ○陸上記録会で、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの３人が、５０００ｍの徒競走をした。
　　　　１周４００ｍのトラックで、Ａさんは毎秒８ｍ、Ｂさんは毎秒６ｍ、Ｃさんは毎秒４ｍで
　　　　走った。Ａさんがゴールするまでに、Ａさんが、ＢさんとＣさんを追い抜く回数

　　実際に、Ａさんがゴールするまでに要する時間は、５０００/８＝６２５（秒）
　　ＡさんはＢさんを、４００/（８−６）＝２００（秒）毎に追い抜くので、６２５秒間にＡさんはＢ
　　さんを３回追い抜く。同様にして、ＡさんはＣさんを、４００/（８−４）＝１００（秒）毎に追い
　　抜くので、６２５秒間にＡさんはＣさんを６回追い抜く。よって、Ａさんは、ＢさんとＣさんを合
　　計９回追い抜く。

　　　 ○すべての辺が自然数で面積も自然数である最小の台形の面積。ただし、二組の辺
　　　　が平行である図形は含まない。

　　実際に、下図の台形の面積は、９

　　

　　（面積が最小であることの証明）
　　(上底+下底)×高さ÷2 が整数になるので、高さは有理数です。よって、台形を平行四辺
　　形と三角形に分割すると、それぞれ辺は全て整数で面積は有理数になる。
　　三角形側の面積が有理数ということは、ヘロンの公式より、周長が偶数なら、それは整
　　数、周長が奇数なら、「奇数/４」のはずだが、後者がありえないことは簡単に示される。
　　(4S)²=(a²+b²+c²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴) において、a、b、c のうち1つまたは3つが奇数だと、4
　　で割った時の余りが左辺は1で右辺は3になるため。
　　つまり、三角形側は面積が整数、つまり、これはヘロン三角形で、この時点で、面積が 9
　　以下のものは、(3，4，5) のものしかない。
　　これに、面積が整数の平行四辺形をくっつける。5を底辺に用いると高さが12/5なせいで、
　　幅5、面積12の平行四辺形をくっつけるはめになる。
　　ということで、次点の4を底辺に用いて、幅1、面積 3 の平行四辺形をくっつけた面積 9 の
　　ものが最小となる。（→　参考：「台形の面積」）

　　　 ○ある仕事を成し遂げるのに、Ａは６日、Ｂは９日、Ｃは１２日かかるという。その仕事
　　　　を、Ａ、Ｂ、Ｃの順で、それぞれ何日間かずつ一人で担当し成し遂げた。ただし、仕事
　　　　をした日数の比は、Ａ：Ｂ：Ｃ＝１：３：２ であるという。果たして、仕事は何日間で終わ
　　　　るのか？

　　実際に、Ａが１日、Ｂが３日、Ｃが２日仕事をすると、
　　　１/６×１＋１/９×３＋１/１２×２＝２/３
　　すなわち、６日間で２/３仕事が終わるので、仕事が終わるのに、９日間かかる。

１０・・・○３、４、７、８ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、１０を作る

　　　実際に、（３−７÷４）×８＝１０

　　　　 ○１、１、５、８ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、１０を作る

　　　実際に、８÷（１−１÷５）＝１０

　　　　 ○２、３、３、６ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、１０を作る

　　　実際に、６÷３×（３＋２）＝１０

　　　　 ○１、３、３、７ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、１０を表せ。

　　　実際に、３×（１＋７÷３）＝１０

　　　　 ○１、１、９、９ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、１０を作る

　　　実際に、９×（１＋１÷９）＝１０

　　　　○立方体を２色で塗り分ける方法の数

　　　実際に、塗り分ける方法の数は全部で、１０通りある。（→　参考：「塗り分けの方法」）

　　（図示による確認）　２色を、赤と青とする。

　　

　　　　○底面積が異なる２つの水槽Ａ、Ｂがある。Ａには深さ１５cmまで、Ｂには深さ９cmま
　　　　　で水が入っている。今、水槽Ａの水をすべてＢに入れたら深さが３cm増え、１２cmと
　　　　　なった。その後、今度はＢの水をAにゆっくり注ぎ、ＡとＢの深さが同じになるようにし
　　　　　た。このときの深さ

　　　実際に、A、Ｂの底面積の比は、３：１５＝１：５　である。このとき、Ｂの水を深さ１（cm）
　　　　分をＡに移すとＡの深さはその５倍の５（cm）分増える。よって、Ｂの深さ１２（cm）から
　　　　２（ｃｍ）減らしてＡに水を移せば、Ａの深さは１０（ｃｍ）となりＡとＢの深さは同じになる。

　　　（別解）　A、Ｂの底面積の比は、３：１５＝１：５　である。また、ＡとＢに入っていた水の総
　　　　量は、Ｂの底面積の１２倍なので、求める深さは、
　　　　　｛（Ｂの底面積）×１２｝÷｛（Ｂの底面積）×（１＋１/５）｝＝１０（cm）

　　　　○１０００円札、２０００円札、５０００円札の３種類の紙幣を使って合計金額を１００００円
　　　　にする方法の数。ただし、使わない種類の紙幣があっても良いものとする。

　　　実際に、５０００円札を２枚使う場合は１通り。５０００円札を１枚使う場合は、２０００円札
　　　を２枚、１枚、０枚使う場合があるので３通り。５０００円札を使わない場合、２０００円札
　　　を５枚、４枚、３枚、２枚、１枚、０枚使う場合の５通り。よって、全部で、１０通り。

　　　　○一辺が１０cmの正七角形の２つの対角線の長さをそれぞれ x cm、y cm とすると
　　　　　きの ｘｙ/（ｘ＋ｙ） の値

　　　実際に、「正七角形のある性質」より、１/ａ＝１/ｘ＋１/ｙ＝（ｘ＋ｙ）/ｘｙ　なので、
　　　　ｘｙ/（ｘ＋ｙ）＝ａ＝１０

　　　　○数列 ６０，３０，２０，１５，１２，（　　） において、空所（　　）に適する数

　　　実際に、６０/６０，６０/３０，６０/２０，６０/１５，６０/１２，６０/（　　） と考えれば、
　　　　６０/（　　）＝６　なので、（　　）＝１０

　　　（別解）順に前の数の　１/２倍、２/３倍、３/４倍、４/５倍と並んでいるので、
　　　　最後の項は、１２×５/６＝１０

　　　　○２０１５^80 を１５で割った余り

　　　実際に、２０１５≡０　(mod ５)　だから、２０１５⁸⁰を５で割った余りは、０
　　　２０１５≡２　(mod ３)　だから、２０１５⁸⁰を３で割った余りは、（２²）⁴⁰≡１　(mod ３)
　　　よって、２０１５⁸⁰を１５で割った余りを ｒ とすると、ｒ≡０　(mod ５)　から、ｒ＝０、５、１０
　　　このうち、ｒ≡１　(mod ３)　を満たすものは、１０で、これが答えになる。

　　　（別解）２０１５≡５　(mod １５)　、５³≡５　(mod １５)　、５⁵≡５　(mod １５)　なので、
　　　　２０１５⁸⁰≡５⁸⁰≡（５⁵）¹⁶≡５¹⁶≡（５³）⁵・５≡５⁵・５≡５・５≡２５≡１０　(mod １５)

　　　　○ある仕事をするのに、Ａが一人ですると３０日かかり、Ｂが一人ですると、２０日かか
　　　　る。Ａ、Ｂ、Ｃの３人ですると、６日かかり、Ａ、Ｂ、Ｄの３人ですると、１０日かかる。
　　　　この仕事を、Ｃ、Ｄの２人がすると何日かかるか？

　　　実際に、全体の仕事量を１とし、それぞれの１日の仕事量は、
　　　Ａ：１/３０　、Ｂ：１/２０　、Ａ＋Ｂ＋Ｃ：１/６　より、Ｃ：１/６−１/３０−１/２０＝５/６０
　　　また、Ａ＋Ｂ＋Ｄ：１/１０　より、　Ｄ：１/１０−１/３０−１/２０＝１/６０
　　　よって、Ｃ＋Ｄの１日の仕事量は、５/６０＋１/６０＝１/１０　より、１０日かかる。

　　　　○ある仕事を１時間で終えるのに、大人だけだと４人、子供だけだと８人必要である。
　　　　大人３人と子供何人かでやるとき、３０分で仕事を終えるには子供は何人必要か？

　　　実際に、大人１人の１時間当たりの仕事量は、１/４なので、３０分当たりの仕事量は１/８
　　　同様に、子供１人の１時間当たりの仕事量は、１/８なので、３０分当たりの仕事量は１/１６
　　　大人３人だと３/８だけ終えるので、残り５/８を子供だけで行う。
　　　よって、　５/８÷１/１６＝１０　より、子供は１０人必要。

　　　　○下図の図形に含まれる三角形の個数

　　　　

　　　実際に、数えてみると、１０個ある。

１１・・・○原点と点（２，６，９）との距離

　　　実際に、√（２²＋６²＋９²）＝√（１２１）＝１１

　　　　 ○平面において、７本の直線で出来る三角形の最大数

　　　実際に、こちらを参照

　　　　 ○Ａ〜Ｉ　は、１〜９　の数で全て異なる。Ａ＋Ｂ＝Ｃ、Ｂ＋Ｄ＝Ｅ、Ｅ×Ｆ＝Ｃ、Ｄ×Ｄ＝Ｇ
　　　 　　のときの Ｈ＋Ｉ の値

　　　実際に、Ｄ×Ｄ＝Ｇ　から、（Ｄ，Ｇ）＝（２，４）、（３，９）　であるが、（Ｄ，Ｇ）＝（２，４）　と
　　　すると、Ｅ×Ｆ＝Ｃ　を満たすＣ、Ｅ、Ｆは存在しないので、（Ｄ，Ｇ）＝（３，９）　このとき、
　　　Ｅ×Ｆ＝Ｃ　から、（Ｅ，Ｆ，Ｃ）＝（４，２，８）　で、Ｂ＝１、Ａ＝７　と定まる。
　　　よって、Ｈ＋Ｉ ＝５＋６＝１１

１２・・・○６×６の格子点において、どの３点も１直線上にないように１２点をとる。

　　　実際に、一つの例として、

　　　　

　　　　 ○正四角錐を２色で塗り分ける方法の数

　　　実際に、塗り分ける方法の数は全部で、１２通りある。（→　参考：「塗り分けの方法」）

　　（図示による確認）　２色を、赤と青とする。

　

　　　　 ○２０１４²⁶ と ２６²⁰¹⁴ の各下一桁の和

　　　実際に、一の位が６の数を何回掛けても一の位は６となる。（→参考：「巨大数を作る」）
　　　よって、２０１４²⁶＝（4056196）¹³ の一の位は、６。２６²⁰¹⁴ の一の位も、６なので、
　　　和は、１２　となる。

　　　　 ○ある仕事をするのに ａ が一人でやると２４日かかり、ｂ が一人でやると４０日かか
　　　　　る。この仕事を ａ、ｂ が一緒にやり始めたが途中で ａ が８日間休んだ。その間は ｂ
　　　　　が一人でやった。このとき、ａ、ｂ が一緒に働いた日数

　　　実際に、１日あたりの a の仕事量は、１/２４で、ｂ の仕事量は、１/４０　なので、ａ、ｂ が
　　　一緒の１日あたりの仕事量は、１/２４＋１/４０＝１/１５である。ａ が休んだ８日間の ｂ の
　　　仕事量は、８×１/４０＝１/５　なので、ａ、ｂ が一緒に働いた仕事量は、１−１/５＝４/５
　　　よって、ａ、ｂが一緒に働いた日数は、４/５÷（１/１５）＝１２（日間）

　　　　 ○６人で３０日かかる仕事がある。この仕事を最初は９人でやり、その後、残りを１２
　　　　　人で６日間働いたら終わった。最初の９人で働いた日数を求めよ。

　　　実際に、仕事量は全部で、６×３０＝１８０　このうち、９人で ｘ 日間仕事をしたとすると、
　　　題意より、　１８０−９ｘ＝１２×６　なので、　９ｘ＝１８０−７２＝１０８　より、　ｘ＝１２
　　　よって、最初の９人で働いた日数は、１２日

　　　　 ○ある仕事を終えるのに、Ａだけだと１２日、Ｂだけだと８日、Ａ、Ｂ、Ｃの３人だと４日、
　　　　　Ａ、Ｂ、Ｄの３人だと４日かかるという。Ｃ、Ｄでやると何日かかるか。

　　　実際に、Ａの１日当たりの仕事量は、１/１２、Ｂの１日当たりの仕事量は、１/８　なの
　　　で、Ｃ、Ｄの１日当たりの仕事量をそれぞれ、ｃ、ｄ　とおくと、題意より、
　　　１/１２＋１/８＋ｃ＝１/４　から、ｃ＝１/２４　、１/１２＋１/８＋ｄ＝１/４　から、ｄ＝１/２４
　　　よって、Ｃ、Ｄの１日当たりの仕事量は、１/２４＋１/２４＝１/１２　となるので、
　　　１÷１/１２＝１２　より、１２日で終わる。

１３・・・○２⁷⁰＋３⁷⁰は１３の倍数

　　　実際に、２⁶≡−１　（ｍｏｄ　１３）　より、２⁷⁰＝（２⁶）¹¹・２⁴≡−３　（ｍｏｄ　１３）

　　　　３³≡１　（ｍｏｄ　１３）　より、３⁷⁰＝（３³）²³・３≡３　（ｍｏｄ　１３）

　　　よって、　２⁷⁰＋３⁷⁰≡０　（ｍｏｄ　１３）　より、２⁷⁰＋３⁷⁰は１３の倍数である。

　　　　　○一辺が１２の正方形ABCDの辺BC上に点Pをとり、∠PADの２等分線が辺CDと交
　　　　　　わる点をEとする。CE＝４ であるときの線分APの長さ

　　　

　　　実際に、∠ＤＡＥ=θとすると、tanθ= 2/3　より、tan(2θ) = 2(2/3)/(1-(2/3)^2) = 12/5
　　　　ＢＰ = ｐ　として、12/p = tan(2θ) = 12/ 5 より、p = 5 なので、AP² = 12²+5² = 13²
　　　　よって、AP = 13

　　　　　○正の整数が書かれたカードが何枚かあり、全てのカードの和は、2014であるとす
　　　　　　る。１以上2014以下の任意の整数kに対し、書かれた数の和がkになるように何枚
　　　　　　かを選び出すことができるという。また、その選び方は、同じ数の書かれたカード
　　　　　　を区別しないものとするとただ１通りである。このようなカードの組合せの数

　　　実際に、(403が4個、31が12個、1が30個)、(403が4個、13が30個、1が12個)、
　　　(403が4個、1が402個)、(155が12個、31が4個、1が30個)、(155が12個、5が30個、1が4個)、
　　　(155が12個、1が154個)、(65が30個、13が4個、1が12個)、(65が30個、5が12個、1が4個)、
　　　(65が30個、1が64個)、(31が64個、1が30個)、(13が154個、1が12個)、(5が402個、1が4個)、
　　　(1が2014個)　の１３通り

　　　　　○下図の四角形ＡＢＣＤにおいて、線分ＡＢの長さ

　　

　　　実際に、下図のように補助線を引いて、正三角形ＡＢＥを作る。
　　　（→　参考：「辺と角の美しい関係�U」）

　

　　　このとき、ＡＢ＝ｘ　とおけば、　ＥＤ＝ｘ−５　、ＥＣ＝ｘ−８　なので、余弦定理より、
　　　７²＝（ｘ−５）²＋（ｘ−８）²−２・（ｘ−５）（ｘ−８）ｃｏｓ６０°なので、ｘ＝１３

　　　（別解）(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/2 という計算から、3辺が 5、7、8 の三角形の 5 と 8
　　　の辺で挟まれる角の角度は60°とわかる。(既知とすれば計算不要)
　　　図の形は、３辺が 5、7、8 の三角形の 5 の辺と 8 の辺の外側に、それぞれ正三角形
　　　をくっつけた形なので、AB=5+8=13。

１４・・・○７分用と３分用の砂時計を用いて、ちょうど１４分をはかることが出来る。

　　　実際に、こちらを参照

　　　　　○七角形の対角線の本数

　　　実際に、　７×４÷２＝１４

　　　　　○下図の斜線部分の面積

　　　　　

　　　実際に、対角線ＡＣを引いて２つに分割し、２×５÷２＋３×６÷２＝１４

　　　　　○ ｘ−１/ｘ＝２ であるときの ｘ³−１/ｘ³ の値

　　　実際に、ｘ³−１/ｘ³＝（ｘ−１/ｘ）³＋３（ｘ−１/ｘ）＝８＋６＝１４

　　　　　○４つの自然数 ｘ、ｙ、ｚ、ｗ （ｘ≧ｙ≧ｚ）があり、積 ｘｙｚ は、７２で、和 ｘ＋ｙ＋ｚ は、
　　　　　　ｗ である。この２つの関係式から、ｘ、ｙ、ｚ、ｗ の値を求める場合、ｗのある値につ
　　　　　　いて、ｘ、ｙ、ｚの値の組合せが２通り出来る場合がある。そのときのｗの値

　　　実際に、７２＝２³×３²　なので、考えられる場合は次の６通り。
　　　２×３＋２×３＋２＝１４、２×３²＋２＋２＝２２、２²×３＋２＋３＝１７、
　　　２²＋２×３＋３＝１３、２²＋２＋３²＝１５、２³＋３＋３＝１４
　　　よって、題意より、求める数は、ｗ＝１４

　　　　　○６人で２８日かかる仕事がある。この仕事を最初は８人で１０日間やり、残りを
　　　　　　４日間で終えるには、人数を何人増やせばよいか。

　　　実際に、仕事量は全部で、６×２８＝１６８　このうち、１０日間で、８×１０＝８０　が終
　　　わっているので、残り１６８−８０＝８８　である。これを４日間で終わらせるには、
　　　８８÷４＝２２(人）必要である。よって、人数を、２２−８＝１４（人）　増やせばよい。

１５・・・○平面において、８本の直線で出来る三角形の最大数

　　　実際に、こちらを参照

　　　　　○下図のように、地面に柱が２本立っていて、そのうちの左側の柱には、１から５ま
　　　　　　での番号のつけられた円板が、上から番号順に積まれている。

いま、１回の操作で、上から、１枚または２枚の 円板を、他の柱へ移動させる。ただし、２枚のと きは、上下の順番は、そのままとする。 　何回か操作をして、右側の柱に、円板が、上か ら順番に１から５まで並ぶようにしたい。 　このときの操作回数の最小値

　　　実際に、初期状態(12345,　)、完成形(　,12345)　として

　　　(12345,　)→(345,12)→(5,3412)→( ,53412)→(53,412)→(4153,2)→(24153, )→(153,24)
　　　→(3,1524)→( ,31524)→(31,524)→(5231,4)→(45231, )→(231,45)→(1,2345)→( ,12345)

　　　（→　参考：「円板の移動」）

　　　　　○生徒数がＮ人の学校では、生徒が５つのグループＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅに分かれ、重複
　　　　　するものはいないしグループの人数もすべて異なるという。各グループについて次の
　　　　　ことが判明した。
　　　　　　Ａの人数は、全体の５分の１より３人少ない。
　　　　　　Ｂの人数は、Ａの人数の半分より４人多い。
　　　　　　Ｃの人数は、Ａの人数より多い。
　　　　　　Ｄの人数は、Ｃの人数の２倍である。
　　　　　　Ｅの人数は、ＢとＣの人数の平均である。
　　　　　これらの情報を整理するとき、グループＢの人数
　　　　　（参考：筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編　「Ｃａｆｅ　Ｂｏｌｌｗｅｃｋ　Ｎｏ．�Z」）

　　　実際に、条件より、Ａ＝Ｎ/５−３、Ｂ＝Ａ/２＋４、Ｃ＞Ａ、Ｄ＝２Ｃ、Ｅ＝（Ｂ＋Ｃ）/２
　　　Ｎは５の倍数なので、Ｎ＝５Ｎ’とおける。このとき、
　　　Ａ＝Ｎ’−３、Ｂ＝Ｎ’/２＋５/２、Ｃ＞Ａ、Ｄ＝２Ｃ、Ｅ＝Ｎ’/４＋Ｃ/２＋５/４
　　　Ｎ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ　なので、
　　　５Ｎ’＝（Ｎ’−３）＋（Ｎ’/２＋５/２）＋Ｃ＋２Ｃ＋（Ｎ’/４＋Ｃ/２＋５/４）
　　　よって、１３Ｎ’/４＝７Ｃ/２＋３/４　より、１３Ｎ’＝１４Ｃ＋３
　　　ここで、１３×（−３）＝１４×（−３）＋３　なので、１３（Ｎ’＋３）＝１４（Ｃ＋３）
　　　１３と１４は互いに素なので、Ｎ’＋３＝１４Ｔ　（Ｔは自然数）　とおける。
　　　このとき、Ｃ＋３＝１３Ｔ　となるので、Ｎ’＝１４Ｔ−３　で、
　　　Ａ＝１４Ｔ−６　、Ｂ＝７Ｔ＋１　、Ｃ＝１３Ｔ−３　、Ｄ＝２６Ｔ−６　、Ｅ＝１０Ｔ−１
　　　Ｃ＞Ａ　より、１３Ｔ−３＞１４Ｔ−６　なので、１≦Ｔ＜３　Ｔは自然数なので、Ｔ＝１、２
　　　Ｔ＝１　のとき、Ａ＝Ｂ＝８　となり、条件に反する。
　　　Ｔ＝２　のとき、条件に適し、Ｂ＝１５　となる。

１６・・・○７ｘ≡２ （ｍｏｄ ２２）を満たす最小の自然数解

　　　実際に、　２２ｘ≡０ （ｍｏｄ ２２）　、２１ｘ≡６ （ｍｏｄ ２２）　より、　ｘ≡−６ （ｍｏｄ ２２）

　　　よって、ｘ≡１６ （ｍｏｄ ２２）　から、最小の自然数解は、１６

　　　　 ○２次方程式 ｘ²−４ｘ＋ｋ＝０ の虚数解の３乗が実数となるような実数 ｋ の値

　　　実際に、判別式 Ｄ/４＝４−ｋ＜０　より、　ｋ＞４
　　　虚数解を ｘ とすると、ｘ³＝ｘ（４ｘ−ｋ）＝４（４ｘ−ｋ）−ｋｘ＝（１６−ｋ）ｘ−４ｋ　となり、
　　　これが実数であるためには、　１６−ｋ＝０　より、　ｋ＝１６

　　　　 ○周囲の長さが１６であるような長方形の面積の最大値

　　　実際に、縦 ｘ、横 ｙ とすると、　２ｘ＋２ｙ＝１６　から、ｘ＋ｙ＝８
　　　　このとき、長方形の面積＝ｘｙ＝ｘ（8−ｘ）＝−（ｘ−４）²＋１６
　　　　０＜ｘ＜８ において、ｘ＝４ のとき最大で、最大値 １６

　　　　 ○（１＋ｉ）⁸ の値

　　　実際に、（１＋ｉ）²＝２ｉ　より、（１＋ｉ）⁸＝（２ｉ）⁴＝１６

　　　　 ○２４２名の生徒がすべて４人以下の仲良しグループに分かれているものとする。
　　　　　これらのグループを崩さずに、１７人まで収容できる部屋のいくつかに割り振りたい。
　　　　　グループ同士の関係は考えないものとするとき、用意すべき部屋数の最小値

　　　実際に、グループがすべて単独の１人だと、２４２÷１７＝１４・・・４　から、１５部屋必要。
　　　実は、「各部屋には必ず１５人以上収容できる」ということが次のようにして示される。
　　　ある部屋で１４人以下と仮定する。グループの人数が２人以上について、１４人の構
　　　成を考えると、４４４２　　４４３３　　３３３３２　　３３２２２２　　２２２２２２２　といろいろな
　　　パターンがある。
　　　各グループの人数が多い順に部屋に収容していくものとする。ある部屋で、１４人まで
　　　しか収容できないとすると、残り枠３人なので、次に入るべきグループの人数は、４人の
　　　はず。ところが、これは、上記の１４人のパターンで、人数の多い順に部屋に入れてい
　　　ることに矛盾する。よって、各部屋には必ず１５人以上収容できることが分かる。
　　　したがって、１５の部屋に１５人以上入れれば、１５×１５＝２２５で、２４２−２２５＝１７
　　　より、１７人以下の残った生徒をもう一つの部屋に入れればよい。
　　　以上から、必要とされる部屋数の最小値は、１６ である。

　　　　（→　参考：「部屋割りの問題」）

　　　　 ○１、２、・・・、１６ と番号が書いてあるカードが上から番号の小さい順に重ねてある。
　　　　　一番上のカードを捨て、その次に一番上になったカードを残りのカードの一番下に入
　　　　　れる。この操作を繰り返すとき、最後まで残るカードの番号

　　　実際に、１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６
　　　→３　４　５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　２
　　　→５　６　７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　２　４
　　　→７　８　９　１０　１１　１２　１３　１４　１５　１６　２　４　６
　　　　・・・・・
　　　→２　４　６　８　１０　１２　１４　１６
　　　→６　８　１０　１２　１４　１６　４
　　　→１０　１２　１４　１６　４　８
　　　→１４　１６　４　８　１２
　　　→４　８　１２　１６
　　　→１２　１６　８
　　　→８　１６
　　　→１６　・・・　以上から、最後まで残るカードは、１６

　　　　 ○正８角形の３つの頂点を結んでできる三角形のうちで、２等辺三角形でも直角三角
　　　　　形でもないものの個数

　　　実際に、１つの頂点を固定し、最短辺による場合分けで求める。
　　　頂点Ａを固定して考えると、最短辺ABの場合、該当する三角形は、△ABDと△ABG
　　　最短辺ACの場合は、該当の三角形はない
　　　　よって、頂点は、Ａ〜Ｈの８通りあるので、求める場合の数は、　２×８＝１６（個）

　　　（別解）三角形の個数 ₈Ｃ₃＝５６(個）のうち、
　　　　２等辺三角形であるものは、　８＋８＋８＝２４（個）
　　　　直角三角形であるものは、　４×６＝２４（個）
　　　　直角２等辺三角形であるものは、　４×２＝８（個）
　　　なので、求める場合の数は、　５６−（２４＋２４−８）＝１６（個）

　　　　 ○１個４０円の商品Ａと１個６０円の商品Ｂを合わせて５０個購入を予定していたところ、
　　　　　商品Ａ、商品Ｂの購入予定個数を取り違えてしまい、当初予定より３６０円安くなった。
　　　　　もともとの商品Ａの購入予定数

　　　実際に、１個取り違えると、２０円差なので、３６０÷２０＝１８個取り違えたことになる。
　　　よって、（５０＋１８）÷２＝３４ より、当初の商品Ａの購入予定数は、３４−１８＝１６個

　　　（別解）当初の商品Ａの購入個数をｘ個とすると、商品Ｂの購入個数は５０−ｘ個
　　　　（４０ｘ＋６０（５０−ｘ））＝６０ｘ＋４０（５０−ｘ）＋３６０　から、４０ｘ＝６４０ より、ｘ＝１６

１７・・・○２^3＋３^2の値

　　　実際に、与式＝８＋９＝１７

　　　　 ○自然数ｎに対して、６ｎ²＋２５ｎ＋１４が平方数となる最小値の正の平方根

　　　実際に、ｎ＝１、２、・・・、５、・・・　を代入して、

　　　　ｎ＝５のとき、６ｎ²＋２５ｎ＋１４＝２８９＝１７²

　　　　 ○素数ｐ、ｑを用いて、ｐ^q＋ｑ^p と表される素数

　　　実際に、素数ｐ、ｑがともに奇数とすると、ｐ^q＋ｑ^p は偶数となり、偶数の素数は２のみ
　　　　しかるに、ｐ^q＋ｑ^p＝２　となる素数ｐ、ｑは存在しない。よって、ｐ＝２、ｑは３以上の素
　　　　数としてよい。ｐ＝２、ｑ＝３　のとき、２³＋３²＝８＋９＝１７ は素数である。
　　　　ｐ＝２、ｑ＝２ｎ＋１　（ｎは２以上の自然数）　のとき、２^q＝２・４^ｎ≡２　（ｍｏｄ　３）
　　　　また、ｑ²＝４ｎ²＋４ｎ＋１＝４ｎ（ｎ＋１）＋１　において、
　　　　ｎ＝３ｋ　（ｋは自然数）　のとき、ｑ²＝１２ｋ（３ｋ＋１）＋１≡１　（ｍｏｄ　３）
　　　　ｎ＝３ｋ＋１　（ｋは自然数）　のとき、ｑ＝３（２ｋ＋１）　となり、ｑは素数とならない
　　　　ｎ＝３ｋ＋２　（ｋは自然数）　のとき、
　　　　　ｑ²＝４（３ｋ＋２）（３ｋ＋３）＋１＝１２（ｋ＋１）（３ｋ＋２）＋１≡１　（ｍｏｄ　３）
　　　　以上から、２^q＋ｑ²≡２＋１≡０　（ｍｏｄ　３）　より、２^q＋ｑ² は素数となりえない。
　　　　したがって、ｐ^q＋ｑ^p と表される素数は、１７

１８・・・○下図の凸四角形の面積

　　　　　

　　　実際に、ＡとＣを結び、ＣからＡＤに垂線を下ろし、合同な３つの直角三角形に分割して、
　　　（３×４÷２）×３＝１８

　　　　 ○∠Cが直角である直角三角形ABCで、斜辺AB上に点D、E を取り（Dの方がAに近
　　　　　い）、辺AC上に点Fを取る。AD＝DF＝FE＝EC＝CB であるときの∠BACの大きさ

　　　実際に、２等辺三角形の性質から、５∠ＢＡＣ＝９０°なので、　∠ＢＡＣ＝１８°

　　　　 ○平面上にＡＢ＝６となる２定点Ａ、Ｂをとる。今、動点Ｐは、ＰＡ＋ＰＢ＝１２を満たす
　　　　　ように、直線ＡＢの上側を動く。さらに、直線ＡＢの下側にＡおよびＢを中心として半
　　　　　径３の半円上を動く点Ｑ、Ｒがある。

　　　

　　　　このときの折れ線ＰＱ＋ＰＲの長さの最大値

　　　実際に、下図のように、３点Ｐ、Ａ、ＱおよびＰ、Ｂ、Ｒが一直線に並ぶとき、
　　　折れ線ＰＱ＋ＰＲの長さは最大で、最大値は、１２＋３＋３＝１８

　　　

　　　　 ○ｐ＝２＋ の小数部分を ｑ とするときの ｐ²＋ｑ² の値

　　　実際に、ｐ＝２＋ の整数部分は４なので、ｑ＝２＋−４＝−２
　　　よって、ｐ²＋ｑ²＝（２＋）²＋（−２）²＝１８

　　　　 ○数列 １，３，４，７，６，１２，８，１５，１３，（　　） において、空所（　　）に適する数

　　　実際に、第ｎ項は、ｎの正の約数の総和なので、１０の正約数は、１、２、５、１０ なので、
　　　　合計して １８

　　　　 ○長方形ＡＢＣＤにおいて、対角線ＡＣ上に点Ｐをとり、辺ＡＤ、ＢＣに垂線を下し、そ
　　　　　の足をそれぞれＭ、Ｎとおく。

　　

　　　　△ＡＰＭ＝１、△ＰＣＮ＝４　のときの長方形ＡＢＣＤの面積

　　　実際に、△ＡＰＭ∽△ＰＣＮ　で、△ＡＰＭ＝１、△ＰＣＮ＝４　より、

　　　△ＡＰＭ ： △ＰＣＮ＝１ ： ４　から、　ＡＭ² ： ＮＣ²＝１ ： ４ より、　ＡＭ ： ＮＣ＝１ ： ２

　　　よって、　ＮＣ＝ＭＢ　より、　ＡＭ ： ＭＢ＝１ ： ２　すなわち、　ＡＭ ： ＡＤ＝１ ： ３

　　　したがって、　△ＡＰＭ ： △ＡＣＤ＝１² ： ３²＝１ ： ９ から、　△ＡＣＤ＝９△ＡＰＭ＝９

　　　より、　長方形ＡＢＣＤ＝２△ＡＣＤ＝１８


１９・・・○　９/ｌｏｇ₁₀３＜１９

　　　実際に、数列 ｛（１＋１/ｎ）^ｎ｝は単調増加で、自然対数の底 ｅ（＜３）に収束するから、
　　　　（１＋１/ｎ）^ｎ＜３　が成り立つ。ｎ＝９を代入して、　（１０/９）⁹＜３　すなわち、
　　　１０⁹＜３・９⁹＝３¹⁹　が成り立つ。両辺の１０を底とする対数をとって、９＜１９・ｌｏｇ₁₀３
　　　よって、９/ｌｏｇ₁₀３＜１９　が成り立つ。

（コメント）　上記で用いた不等式　（１＋１/ｎ）^ｎ＜３　を厳密に証明しておこう。

　２項定理より、　（１＋１/ｎ）^ｎ＝Σ_k=0ⁿ _ｎＣ_k（１/ｎ）^k＝１＋Σ_k=1ⁿ _ｎＣ_k/ｎ^k
　　ここで、　_ｎＣ_k/ｎ^k＝ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）/（ｎ^k・ｋ！）≦１/ｋ！≦１/２^k-1 なので、
　　（１＋１/ｎ）^ｎ≦１＋Σ_k=1ⁿ （１/２）^k-1＝１＋２（１−（１/２）^ｎ）＝３−（１/２）^ｎ-1＜３
　が成り立つ。

（参考）　この問題の類題が、平成２４年度の新潟大学前期理系で出題された。

　　　　 ○ １辺が３の立方体から１辺が２の立方体を切り取った後の残った部分の体積

　　　実際に、　３³−２³＝１９

　　　　 ○同じ大きさの不透明な立方体２７個が３×３×３に積んである。これをカメラで撮影
　　　　　するとき、最大で何個の立方体を１枚の写真に収めることができるか。ただし、鏡な
　　　　　どを使って間接的に写すのは認められない。

　　　実際に数えて、１９個


（追記）　令和６年５月２９日付け

　　　　 ○１７４８¹⁹¹⁹ を１９１９で割った余り

＃この問題を、WolframAlpha先生に「１７４８¹⁹¹⁹ ｍｏｄ １９１９」と問うと、瞬時に、「１９」と
　返してくれるが、ちょっと味気ない。手計算に挑戦してみた。

　　　実際に、１７４８＝２²・１９・２３　、１９１９＝１９・１０１　に注意して、

　１７４８¹⁹¹⁹ ＝２³⁸³⁸・１９¹⁹¹⁹・２３¹⁹¹⁹ より、

　１７４８¹⁹¹⁹ ＝２³⁸³⁸・１９¹⁹¹⁹・２３¹⁹¹⁹＝１９・１０１ｋ＋Ｒ’　とおくと、

　左辺は１９の倍数、１９・１０１も１９の倍数なので、　Ｒ’は、１９の倍数となる。

そこで、　Ｒ’＝１９Ｒ　とおくと、　２³⁸³⁸・１９¹⁹¹⁸・２３¹⁹¹⁹＝１０１ｋ＋Ｒ と書ける。

　素数１０１と２は互いに素なので、　２¹⁰⁰≡１　（ｍｏｄ　１０１）　から、

　２³⁸³⁸≡２³⁸　（ｍｏｄ　１０１）　で、２¹⁰≡１４　（ｍｏｄ　１０１）　から、

　２³⁰≡１４³＝２７４４≡１７　（ｍｏｄ　１０１）

よって、　２³⁸³⁸≡２³⁸≡１７・２⁸＝４３５２≡９　（ｍｏｄ　１０１）

同様にして、　素数１０１と１９は互いに素なので、　１９¹⁰⁰≡１　（ｍｏｄ　１０１）　から、

　１９¹⁹¹⁸≡１９¹⁸　（ｍｏｄ　１０１） で、　１９³＝６８５９≡９２　（ｍｏｄ　１０１）

　１９⁶＝９２²＝８４６４≡８１　（ｍｏｄ　１０１）

よって、　１９¹⁹¹⁸≡１９¹⁸≡８１³＝５３１４４１≡８０　（ｍｏｄ　１０１）

また、　素数１０１と２３は互いに素なので、　２３¹⁰⁰≡１　（ｍｏｄ　１０１）　から、

　２３¹⁹¹⁹≡２３¹⁹　（ｍｏｄ　１０１）　で、２３³＝１２１６７≡４７　（ｍｏｄ　１０１）　から、

　２３⁹＝４７³＝１０３８２３≡９６　（ｍｏｄ　１０１）

よって、　２３¹⁹¹⁹≡２３¹⁹＝２３⁹・２３⁹・２３≡９６・９６・２３＝２１１９６８≡７０　（ｍｏｄ　１０１）

以上から、　２³⁸³⁸・１９¹⁹¹⁸・２３¹⁹¹⁹≡９・８０・７０＝５０４００≡１　（ｍｏｄ　１０１）　より、

　２³⁸³⁸・１９¹⁹¹⁸・２３¹⁹¹⁹＝１０１ｋ＋１　と書けることが分かった。

　そこで、両辺に１９を掛けて

　１７４８¹⁹¹⁹＝２³⁸³⁸・１９¹⁹¹⁹・２３¹⁹¹⁹＝１９（１０１ｋ＋１）＝１９１９ｋ＋１９

したがって、　１７４８¹⁹¹⁹を１９１９で割った余りは、１９　となる。　　（終）


（コメント）　手もとにある電卓ではオーバーフローで計算が不可能なのですが、上記のよう
　　　　　に、フェルマーの小定理を上手く活用すれば、手計算で求まるんですね！


２０・・・○八角形の対角線の本数

　　　実際に、　８×５÷２＝２０

　　　　 ○四角形ABCDにおいて、AD‖BC、∠ABC=∠BDC=∠ACB/2であり、直線BDは
　　　　　∠ABCの２等分線になっているとき、∠ABCの大きさ

　　

　　　実際に、こちらを参照

　　　　 ○下図のような△ＡＢＣにおいて、∠ｘ の大きさを求めよ。
　　　　　ただし、Ｍは辺ＢＣの中点、Ｎは辺ＡＢの中点、ＨはＡより辺ＢＣに下ろした垂線の足
　　　　　とする。

　　

　　　実際に、Ｃ＝６９°で、中点連結定理より、ＭＮとＡＣは平行なので、∠ＨＭＮ＝６９°
　　　　よって、∠ＢＨＮ＝７０°より、∠ＡＨＮ＝２０°で、Ｎは直角三角形の外接円の中心で
　　　　あるので、ＮＨ＝ＮＡ　より、∠ｘ ＝∠ＡＨＮ＝２０°

　　　　 ○７ⁿ （ｎは自然数)を１０進法表示したとき、０が２個連続で並ぶ最小のｎの値

　　　実際に、２連続の０を含む最小の７ⁿ： ｎ＝２０　（→　参考：「手計算？」）

２１・・・○平面において、９本の直線で出来る三角形の最大数

　　　実際に、こちらを参照

　　　 　 ○十進法で記されたある数を、誤って別の底として読んでしまったところ、正しい値
　　　　　　の丁度１/３になった。この数は何か。

　　　実際に、十進法で２１は、３進法で、７　これは丁度１/３になっている。

　　　 　 ○５つの点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅがこの順に一つの直線上にあり、次の条件を満たす。
　　　　　　１．ＢはACを２：１に内分する点
　　　　　　２．ＣはＡＤを２：３に内分する点
　　　　　　３．ＥはＡＣを７：５に外分する点
　　　　　　ＣＤの長さが９ｃｍのときのＡＥの長さ

　　　実際に、ＢＣ＝１とすると、ＡＢ＝２で、ＣＤ＝３×（３/２）＝９/２
　　　このとき、ＣＥ＝３×（５/２）＝１５/２ より、ＡＥ＝３＋１５/２＝２１/２
　　　よって、（２１/２）÷（９/２）＝７/３ なので、ＡＥ＝９×（７/３）＝２１（ｃｍ）

　　　 　 ○１１＾（２２＾３３）　の下２桁の数

　　　実際に、１１ⁿ≡１０ｎ＋１　（ｍｏｄ　１００）　で、２２^m　の下１桁は、２、４、８、６、２、・・・
　　　と周期的に変化するので、３３番目は２である。よって、１１＾（２２＾３３）　の下２桁は、２１

２２・・・○１桁の２つの整数の積で表せない最小の合成数

　　　実際に、２×１１＝２２

　　　 　 ○２つの素数の和として３つの表現を持つ最小の数

　　　実際に、　２２＝３＋１９＝５＋１７＝１１＋１１

　　　 　 ○正ｎ角形の内角の大きさが整数となるようなｎの個数

　　　実際に、正ｎ角形の１つの内角の大きさは、１８０°（ｎ−２）/ｎ＝１８０°−３６０°/ｎ
　　　よって、整数となるのは、
　　　ｎ＝３、４、５、６、８、９、１０、１２、１５、１８、２０、２４、３０、３６、４０、４５、６０、７２、
　　　９０、１２０、１８０、３６０　の２２個ある。
　　　（別解）　３６０＝２³・３²・５　より、約数の個数は、（３＋１）（２＋１）（１＋１）＝２４
　　　このうち、約数の１と２は除外されるので、求める個数は、　２４−２＝２２（個）

　　　　 ○ハンバーグステーキ１枚を、フライパンを使って1面焼くのに、７分かかる。裏返し
　　　　　て、もう１面焼くのに更に７分かかる。両面焼けたら、そのハンバーグステーキをパ
　　　　　ンにはさみ、オーブントースターで焼く。これが１分かかる。（→ハンバーガーの完成）
　　　　　この手順で、ハンバーグステーキが２枚しかのせられないフライパン１つと、パンが
　　　　　２個しか入れられないオーブントースターを１台使って、ハンバーガーを３個作るの
　　　　　に最低何分かかるか。ただし、裏返す時間やパンにはさむ時間などは無視する。

　　　実際に、こちらを参照
　　　　（Ｓ１表，Ｓ２表）で７分、（Ｓ１裏，Ｓ３表）で７分、（Ｓ２裏，Ｓ３裏）と同時進行でＳ１に
　　　　１分（この時間はカウントされない）、（Ｓ２裏，Ｓ３裏）で７分で、Ｓ２、Ｓ３に１分
　　　　以上から、　７＋７＋７＋１＝２２（分）

　　　　 ○長方形ＡＢＣＤにおいて、ＥＨとＦＧは平行である。このときの５角形ＢＦＧＨＥの面積

　　　

　　　実際に、ＡＤに平行にＥを通る線分で２つの図形に分割して、
　　　　（２＋４）×２÷２＋４×４＝６＋１６＝２２

　　　(別解）　４×６−２×２÷２＝２２

　　　　 ○数列 １，２，４，８，１６，（　　），２６，３８，６２，７４，・・・ において、空所（　　）に適
　　　　　する数

　　　実際に、第ｎ項は、前の項に、前の項で登場する数字の積を加えて得られるので、２２

　　　　 ○平面上に、AB：BC=2：1 の長方形ABCDがあり、その内部に、一辺が25cmのひし
　　　　　形が接する。

AB、BC、CD、DA とのそれぞれの接点を E、F、G、H と 　する。 　　AE：EB＝６：５、EF：EB＝５：４ のときのBCの長さ

　　　実際に、EF：EB＝５：４で、ＥＦ＝２５　より、ＥＢ＝２０、ＢＦ＝１５　である。AE：EB＝６：５
　　　より、ＡＥ＝２４、ＡＨ＝７　また、ＦＣ＝ＡＨ　より、ＦＣ＝７　なので、　ＢＣ＝１５＋７＝２２

２３・・・○ ｘ²＋ｘ＋２＝０　のとき、ｘ¹⁰＋ｘ⁹＋・・・＋ｘ＋１の値

　　　実際に、ｘ¹⁰＋ｘ⁹＋・・・＋ｘ＋１
　　　　　　　　　＝（ｘ²＋ｘ＋２）（ｘ⁸−ｘ⁶＋２ｘ⁵＋ｘ⁴−４ｘ³＋３ｘ²＋６ｘ−１１）＋２３
　　　　より、²＋ｘ＋２＝０　のとき、ｘ¹⁰＋ｘ⁹＋・・・＋ｘ＋１＝２３

　　　　 ○格子点を２色で塗り分ける方法の数

　　　実際に、こちらを参照

　　　　 ○Ａ〜Ｇの７人に年齢について聞いたところ、次のような返答を得た。
　　　　　　Ａ：「Ｄは私より７歳年上です。私の下もいます。」
　　　　　　Ｂ：「私はＦより５歳年下です。」
　　　　　　Ｃ：「私はＦと２歳差です。」
　　　　　　Ｄ：「私はＧと２歳差です。」
　　　　　　Ｅ：「私はＡと３歳差です。」
　　　　　　Ｆ：「私はＤと４歳差です。」
　　　　　　この７人の中で、Ｃが３番目に年齢が高く、２８歳のときのＡの年齢

　　　実際に、年齢が低い順に、起こり得る場合を列挙すると、
　　　ＥＢＡＣＦＧＤ、ＥＢＡＣＦＤＧ、ＥＢＡＦＣＤＧ、ＥＡＧＢＤＣＦ、ＥＡＧＢＤＦＣ、ＥＡＢＤＧＦＣ
　　　このうち、Ｃが３番目に年齢が高いのは、ＥＢＡＦＣＤＧ　の場合で、ＡとＣは５歳差なの
　　　で、Ｃが、２８歳のとき、Ａは２３歳となる。

　　　　 ○0＜α＜π/2、0＜β＜π/2 で、cosα＝ａ/98、cosβ＝71/98 のなす角 α＋β
　　　　　が 2π/3 であるときの整数 ａ の値

　　　実際に、題意より、　ｓｉｎα＝√（9604−ａ²）/98、ｓｉｎβ＝39/98　なので、
　　　ｃｏｓ（α＋β）
　　　＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ＝71ａ/9604−39√（9604−ａ²）/9604＝−1/2　より、
　　　71ａ＋4802＝39√（9604−ａ²）　両辺を平方して、
　　　5041ａ²＋681884ａ＋23059204＝43823052−4563ａ²　となるので、
　　　9604ａ²＋681884ａ−20763848＝0　すなわち、　ａ²＋71ａ−2162＝0
　　　よって、ａ＝｛−71±√13689｝/2＝｛−71±117｝/2＝23、−94
　　　ａ＞0　なので、ａ＝23

　　　　 ○Aさんは一日に200ページ、Bさんは300ページの読書を実行する。今、10冊の本が
　　　　　あり（各本は200ページ以下や300ページ以上といろいろな種類がある）、その10冊
　　　　　のトータルのページ数が10000ページとする。ただし、二人ともそのページ数に満た
　　　　　なくても一冊の本が読み終わると、その日の読書は終了する。
　　　　　（たとえ1ページ読んで終了してもその日はそれ以上読まない。）
　　　　　ただし、二人は同じ１０冊の本を好きな順番で最初のページから読み進めていくも
　　　　　のとする。
　　　　　このときの二人が全部の本を読み終わる日数の差として考えられる最大数

　　　実際に、本のページ数が何ページであっても、
　　　(Aが読む予定の頁数より少なかった頁数)−(Bが読む予定の頁数より少なかった頁数)
　　　は、必ず100か0か-100か-200のどれかになります。
　　　従って、10冊でのこれの合計は最大1000、最小-2000ですから、日数の差は、
　　　[ ] をガウスの記号として、[(10000+200-1+α+1000)/200]-[(10000+300-1+α)/300]
　　　（α=(Bが読む予定の頁数より少なかった頁数の合計)）
　　　最大になるのは、上式でαが最大のときで、α+1000≦199×10 から α≦990 なので
　　　最大値は、[(10000+200-1+990+1000)/200]-[(10000+300-1+990)/300]=23(日)以下。
　　　ところで、220、220、220、220、220、220、220、220、220、8020 の時最大となり、A=59、
　　　B=36　より、日数の差は、23（日）となり、23日である解があるので、これが最大数。

２４・・・○４人を一列に並べる方法の数

　　　実際に、４！＝４・３・２・１＝２４（通り）

　　　　 ○１、３、４、６ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、２４を表せ。

　　　実際に、６÷（１−３÷４）＝２４

　　　　 ○１、４、５、６ と＋、−、×、÷、（　、）　を用いて、２４を表せ。

　　　実際に、６÷（５÷４−１）＝２４

　　　　 ○赤球、青球、黄球の何れか４個を円形に並べる場合の数

　　　実際に、こちらを参照

　　　　 ○４色のコーヒーカップ・ソーサー・スプーンのセットが４客ある。

　　　　同色ではつまらないので、全て違う色でセットを４客つくることにした。例えば、

　　　　のようにである。この作り方の総数

　　実際に、コーヒーカップを順に、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ とし、それと同色のソーサーを小文字で、
　　　ａ、ｂ、ｃ、ｄ、それと同色のスプーンを順に数字で、１、２、３、４　と表すものとする。

　　　このとき、コーヒーカップに対して、ソーサーの並べ方は、４個の完全順列の数に等し
　　　く、９通りあるが、実際に、それを書き下せば以下の表のようになる。

　　　上記の表で赤字の場合は他の場合と異なり、２つの文字で自己完結している。

　　　例えば、次の表から、その違いが理解される。

　　　他の場合も同様で、求める場合の数は、　８×３＝２４（通り）

　　　 　 ○一辺の長さが１ｃｍの立方体を下図のように積み上げた立体図形を考える。

　　　　

　　　　このときの立体図形の体積

　　　実際に、漏れなく重複なく数えるために、最上段にそれ以下の個数を記入して、

　　　

　　　このとき、　４×２＋３×２＋２×４＋１×２＝２４（個）　より、体積は、２４（ｃｍ³）

　　　 　 ○一歩で、１段、２段、または、３段を登れる人が、６段の石段を登る方法の数
　　　　　　ただし、途中で下りたり足踏みしたりはしないものとする。

　　　実際に、ｎ 段の石を登る方法の数を、ａ_ｎ通りとすると、帰納的に、
　　　 ａ₁＝１、ａ₂＝２、ａ₃＝４、ａ₄＝ａ₃＋ａ₂＋ａ₁＝４＋２＋１＝７、
　　　 ａ₅＝ａ₄＋ａ₃＋ａ₂＝７＋４＋２＝１３、ａ₆＝ａ₅＋ａ₄＋ａ₃＝１３＋７＋４＝２４

　　　 　 ○Ａ、Ｂの２名で倉庫整理を行う。整理をＡだけで行うと、２名で行うときの日数より４
　　　　　日多くかかり、Ｂだけで行うと１６日多くかかるという。このとき、Ｂだけで整理を行っ
　　　　　た場合に要する日数。ただし、Ａ、Ｂそれぞれの１日当たりの仕事量は一定とする。

　　　実際に、全体の仕事量を１とし、２人でやると、ｎ日間かかるものとする。Ａだけで行うと、
　　　２名で行うときの日数より４日多くかかるので、Ａの一日当たりの仕事量は、１/（ｎ＋４）
　　　となる。また、Ｂだけで行うと、２名で行うときの日数より１６日多くかかるので、Ｂの一日
　　　当たりの仕事量は、１/（ｎ＋１６）となる。
　　　　よって、Ａ、Ｂ２人の一日当たりの仕事量は、１/（ｎ＋４）＋１/（ｎ＋１６）となる。ｎ日間
　　　かかるので、ｎ/（ｎ＋４）＋ｎ/（ｎ＋１６）＝１
　　　　分母を払って、　ｎ（ｎ＋１６）＋ｎ（ｎ＋４）＝（ｎ＋４）（ｎ＋１６）　より、　ｎ²＝６４
　　　したがって、　ｎ＝８　となる。このとき、Ｂの一日当たりの仕事量は、１/２４となるので、
　　　Ｂだけで整理を行った場合に要する日数は、２４日となる。

　　　　 ○ある仕事をＡ、Ｂが一緒に取り組む。途中で、Ａが６日休むと、仕事を終えるのに、
　　　　　２７日かかる。途中で、Ｂが２日休むと、仕事を終えるのに、２５日かかる。２人とも
　　　　　休まずに仕事に取り組めば、仕事は何日で終わるか。

　　　実際に、Ａ、Ｂの１日当たりの仕事量をそれぞれ ａ、ｂ とおくと、題意より、
　　　２１ａ＋２７ｂ＝１　、２５ａ＋２３ｂ＝１　なので、ａ＝ｂ　が成り立つ。
　　　このとき、　２１ａ＋２７ｂ＝４８ｂ＝１　より、　ｂ＝１/４８　で、ａ＝１/４８
　　　よって、２人一緒の一日当たりの仕事量は、１/４８＋１/４８＝１/２４　となるので、
　　　１÷１/２４＝２４ から、２人とも休まずに仕事に取り組めば、２４日で終わる。

　　　　 ○ある仕事を終えるのに、Ａだけだと１２日、ＡとＢの２人でやると、８日かかる。Ｂ一
　　　　　人でやると何日かかるか。

　　　実際に、Ａ、Ａ＋Ｂの一日当たりの仕事量は、１/１２、１/８なので、Ｂの一日当たりの
　　　仕事量は、１/８−１/１２＝１/２４である。よって、Ｂが仕事を終えるのに、
　　　１÷１/２４＝２４（日）かかる。

２５・・・○５人を３つのグループに分ける方法の数

　　　実際に、（３5−３・２5＋３）/３！＝（２４３−９６＋３）/６＝１５０/６＝２５（通り）

　　　 　 ○１０本の直線で作られる三角形の最大個数

　　　実際に、こちらを参照

　　　 　 ○３種のおもりＡ、Ｂ、Ｃがある。Ａ１個は、Ｂ２個とＣ１個で釣り合う。Ｂ３個は、Ａ１個
　　　　　　とＣ１個で釣り合う。Ｂが１０ｇのときのＡの重さ

　　　実際に、Ａ＝ＢＢＣ、ＡＣ＝ＢＢＢ　なので、ＢＢＣＣ＝ＢＢＢ　より、ＣＣ＝Ｂ＝１０ｇ から
　　　　Ｃ＝５ｇ　よって、Ａ＝１０×２＋５＝２５（ｇ）

　　　 　 ○ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ の５人が１〜１０までのそれぞれ異なる番号のカードをもっている。
　　　　　　ａ の番号は、ｅ の番号より、４小さい。ｂ の番号は、ｄ の番号より、６小さい。ｃ と
　　　　　　ｂ の番号は２つ違いである。ｄ と ｅ の番号の和は、１６である。ｅ の番号は、ｄ の
　　　　　　番号より、２大きい。このとき、５人の持つカードの番号の合計

　　　実際に、ｄ＋ｅ＝１６、ｅ＝ｄ＋２　より、ｄ＝７、ｅ＝９　このとき、ａ＝５、ｂ＝１　よって、
　　　ｃ＝３　と定まるので、５人の持つカードの番号の合計は、１＋３＋５＋７＋９＝２５

　　　 　 ○３６人を２つのグループＡ、Ｂに分けて、ある作業を行った。まず、グループＡが
　　　　　１時間作業し全体の半分を終え、次に、グループＢが２４分間作業し全体の１/７を
　　　　　終え、最後に残った分を３６人全員で行い全体の作業を終えた。３６人それぞれの
　　　　　一定時間当たりの作業量は同じものとして、３６人全員で行った作業は何分か？

　　　実際に、１時間当たりの作業量は、グループＡは１/２、
　　　グループＢは、（１/７）×（６０/２４）＝５/１４
　　　３６人全員で行った作業量は、１−（１/２＋１/７）＝５/１４　で、必要な時間をＴとすると、
　　　（１/２）Ｔ＋（５/１４）Ｔ＝５/１４　より、Ｔ＝５/１２　なので、２５分間作業をした。

　　　 　 ○１００以下の素数の個数

　　　実際に、２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、
　　　　６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７　の２５個

　　　 　 ○３辺の長さが整数で、２通りに表現される斜辺の最小値

　　　実際に、２５²＝７²＋２４²＝１５²＋２０²


２６・・・○空間内の２直線 ｘ−１６＝（ｙ−６）/１２＝（ｚ−２０）/１２　、
　　　　　ｘ＋８＝（ｙ−８）/６＝（ｚ−６）/４ の最短距離

　　　実際に、ｘ−１６＝（ｙ−６）/１２＝（ｚ−２０）/１２＝ｔ　とおくと、
　　　　Ｐ（ｔ＋１６，１２ｔ＋６，１２ｔ＋２０）
　　　ｘ＋８＝（ｙ−８）/６＝（ｚ−６）/４＝ｓ　とおくと、
　　　　Ｑ（ｓ−８，６ｓ＋８，４ｓ＋６）
　　　よって、ＰＱ＝（ｓ−ｔ−２４，６ｓ−１２ｔ＋２，４ｓ−１２ｔ−１４）
　　　ＰＱが最小となるとき、　ＰＱ⊥（１，１２，１２）、ＰＱ⊥（１，６，４）
　　　よって、ＰＱ・（１，１２，１２）＝１２１ｓ−２８９ｔ−１６８＝０
　　　　ＰＱ・（１，６，４）＝５３ｓ−１２１ｔ−６８＝０
　　　連立方程式を解いて、　ｓ＝ｔ＝−１　なので、ＰＱ＝（−２４，８，−６）
　　　よって、ＰＱ＝２×√（１２²＋４²＋３²）＝２６

　　　　 ○平方数と立方数にはさまれた正の整数

　　　実際に、５²＜２６＜３³

　　　　 ○参加料が、社会人２００円、大学生１５０円、高校生１００円のゲームに、社会人、
　　　　　大学生、高校生合わせて１３０名が参加した。参加料合計は、１８９００円で、社会
　　　　　人の参加者は大学生より２０名多かったという。このときの大学生の参加者数

　　　実際に、大学生の参加者数を ｘ とすると、
　　　　２００（ｘ＋２０）＋１５０ｘ＋１００（１１０−２ｘ）＝１８９００　より、ｘ＝２６

　　　　 ○１０円が２枚、５０円が２枚、１００円が３枚ある。ちょうど払える金額の場合の数

　　　実際に、１００×３＋５０×２＝４００　より、　４００÷５０＋１＝９　なので、
　　　　９×３−１＝２６（通り）

　　　　（別解）実際に払える金額を地道に計算してみると、
　　　　１０、２０、５０、６０、７０、１００、１１０、１２０、１５０、１６０、１７０、２００、２１０、２２０、
　　　　２５０、２６０、２７０、３００、３１０、３２０、３５０、３６０、３７０、４００、４１０、４２０
　　　　の２６通り

　　　　 ○AB＝２４、AD＝３６の長方形ABCDがある。AB上にEB＝５となる点ＥとＡＤ上に点
　　　　　Ｇをとり、線分EGで長方形を折り返し、交点Fに対して、ＢＦ＝１２、ＦＡ＝６とする。

　　

　　　　このとき、線分ＧＨの長さ

　　　実際に、ＨＫ＝２４×（５/１２）＝１０　より、
　　　ＧＨ²＝ＨＫ²＋ＧＫ²＝１００＋５７６＝６７６＝２６²　より、ＧＨ＝２６

２７・・・○１辺の長さ４の正三角形の各辺が４等分され、平行線が引かれているときに出来
　　　　　る正三角形の個数

　　　実際に、こちらを参照

　 　　　 ○ＡＢ＝９、ＢＣ＝１２の長方形ＡＢＣＤの外側にＣＤ、ＤＡを１辺とする正三角形ＣＥＤ、
　　　　　ＤＦＡをそれぞれ描くとき、△ＤＥＦの面積

　　　実際に、△ＤＥＦ＝（１/２）・９・１２・ｓｉｎ１５０°＝２７

　 　　　 ○９⁵の各位の数の和

　　　実際に、９⁵＝５９０４９　より、各位の数の和は、５＋９＋０＋４＋９＝２７

　　 　　 ○整理の仕事を５人で始めた。初めの１５日間は順調に進んだが、１６日目から３人
　　　　　しか働くことができなくなり、予定より８日遅れて仕事が終わった。 当初の仕事が終
　　　　　わる日数。ただし、５人の１日当たりの仕事量は等しいものとする。

　　　実際に、全体の仕事量を１とし、５人でやると、ｎ日間かかるものとする。このとき、一人
　　　の一日当たりの仕事量は、１/５ｎ　となる。
　　　よって、１５×５×（１/５ｎ）＋（ｎ＋８−１５）×３×（１/５ｎ）＝１　すなわち、
　　　７５＋３ｎ−２１＝５ｎ　より、２ｎ＝５４　　故に、ｎ＝２７

　 　　　 ○Ａ、Ｂ、Ｃの３つの袋にそれぞれ２７の倍数の個数のコインが入っている。Ａの袋の
　　　　　コインの１/３ずつをＢとＣに分け入れた。Ａには元々あったコインの１/３が残ってい
　　　　　る。同様にして、今度は、Ｂの袋のコインの１/３ずつをＡとＣに分け入れた。さらに、
　　　　　Ｃの袋のコインの１/３ずつをＡとＢに分け入れた。このとき、ＡとＢに入っているコイ
　　　　　ンの数を計算したら、差がちょうど９個になっていた。このとき、元々Ａの袋に入って
　　　　　いたコインの個数

　　　実際に、Ａ、Ｂ、Ｃに入っていたコインの数をそれぞれ ２７ｘ、２７ｙ、２７ｚ とおくと、
　　　（Ａ）　Ａ：　９ｘ　　Ｂ：　２７ｙ＋９ｘ　　Ｃ：　２７ｚ＋９ｘ
　　　（Ｂ）　Ａ：　９ｘ＋（９ｙ＋３ｘ）　　Ｂ：　９ｙ＋３ｘ　　Ｃ：　２７ｚ＋９ｘ＋（９ｙ＋３ｘ）
　　　Ｃのコインの分配は、Ａ、Ｂのコインの差には無関係なので考えなくてよい。
　　　このとき、　９ｘ＋（９ｙ＋３ｘ）−（９ｙ＋３ｘ）＝９ｘ＝９　より、ｘ＝１となり、元々Ａの袋には
　　　コインが２７個入っていたことになる。

２８・・・○２番目に小さい完全数

　　　実際に、完全数は、　６　、２８　、４９６　、８１２８　、・・・

　　 　　 ○１２の約数の総和

　　　実際に、１＋２＋３＋４＋６＋１２＝２８

　　　（別解）　１２＝２²・３　より、求める和は、（１＋２＋２²）（１＋３）＝２８

　 　　　 ○ある数からその数の４/７を引いた数が１２であるときのある数

　　　実際に、ある数を７とすると、引いた数は ３になるので、これを１２にするには、４倍す
　　　ればよい。よって、ある数は、７×４＝２８

　　 　　 ○約数をすべて足すと５６、約数の逆数をすべて足すと、２となる自然数

　　　実際に、ある数をＮとすると、題意より、５６/Ｎ＝２ なので、Ｎ＝２８

　　 　　 ○∫₀^∞ （ｘ⁴＋ｘ³−ｘ²）ｅ^-xｄｘ の値

　　　実際に、与式＝[−（ｘ⁴＋ｘ³−ｘ²）ｅ^-x]₀^∞＋∫₀^∞ （４ｘ³＋３ｘ²−２ｘ）ｅ^-xｄｘ
　　　＝∫₀^∞ （４ｘ³＋３ｘ²−２ｘ）ｅ^-xｄｘ
　　　＝[−（４ｘ³＋３ｘ²−２ｘ）ｅ^-x]₀^∞＋∫₀^∞ （１２ｘ²＋６ｘ−２）ｅ^-xｄｘ
　　　＝∫₀^∞ （１２ｘ²＋６ｘ−２）ｅ^-xｄｘ
　　　＝[−（１２ｘ²＋６ｘ−２）ｅ^-x]₀^∞＋∫₀^∞ （２４ｘ＋６）ｅ^-xｄｘ
　　　＝−２＋∫₀^∞ （２４ｘ＋６）ｅ^-xｄｘ
　　　＝−２＋[−（２４ｘ＋６）ｅ^-x]₀^∞＋２４∫₀^∞ ｅ^-xｄｘ
　　　＝−２＋６＋２４[−ｅ^-x]₀^∞
　　　＝−２＋６＋２４＝２８

２９・・・○１０番目に小さい素数

　　　実際に、素数を小さい順に並べると、　２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、・・・

　　　 　 ○{(３＋１)/２}²＋{(５＋１)/２}²＋{(７＋１)/２}²　の値

　　　実際に、　与式＝２²＋３²＋４²＝２９

　　 　　 ○初項1、公比2、項数300の等比数列の中に、十進法で書くと先頭の数字が4である
　　　　　ものはいくつあるか。ただし、2^299は91桁の数で、その先頭の数字は1であることを
　　　　　用いてよい。

　　　実際に、「WolframAlfa」先生に手伝ってもらって、先頭の数字が4であるものは、２^ｎで
　　　ｎ＝２、１２、２２、３２、４２、５２、６２、７２、８２、９２、１０５、１１５、１２５、１３５、１４５、
　　　１５５、１６５、１７５、１８５、１９８、２０８、２１８、２２８、２３８、２４８、２５８、２６８、２７８、
　　　２８８　の２９個

　　 　　 ○３/８＜ｘ/７２＜２１/５０　を満たすように ｘ の値を求めよ。ただし、ｘ と７２は互いに
　　　　　素とする。

　　　実際に、３/８＜ｘ/７２＜２１/５０　より、　２７/７２＜ｘ/７２＜（１５１２/５０）/７２　なので、
　　　　２７＜ｘ＜１５１２/５０＝３０．２４　この式を満たす自然数 ｘ は、２８、２９、３０
　　　　このうち、７２と互いに素な数は、ｘ＝２９

３０・・・○６色すべてを用いて立方体の面に色付けする方法の数

　　　実際に、　５×（４-1）！＝３０（通り）

　　　　 ○４×４の格子点が縦、横の線で結ばれているときに出来る正方形の個数

　　　実際に、こちらを参照

　　　　 ○１辺４の正方形の縦、横が４等分され平行線が引かれているとき、正方形は大小
　　　　　合わせていくつあるか？

　　　実際に、面積１のもの・・・１６個　、面積２のもの・・・９個　、面積３のもの・・・４個
　　　　面積４のもの・・・１個　なので、　１６＋９＋４＋１＝３０（個）

　　　　 ○正六面体の各面に１から６までをそれぞれ埋めるやり方は何通りあるか。

　　　実際に、上面を一つの数字で固定して、底面の埋め方は５通り
　　　その１通りに対して側面の埋め方は、（４−１）！＝６（通り）　よって、５×６＝３０（通り）

　　　　 ○四角形ＡＢＣＤの各辺の中点を下図のように結んで４つの四角形に分割したとこ
　　　　　ろ、図のような面積となった。このときの四角形ＡＰＯＳの面積

　　

　　　実際に、下図より、四角形ＡＰＯＳ＋１０＝２５＋１５　なので、　四角形ＡＰＯＳ＝３０

　　

　　　　 ○下図において、∠ＡＤＢ＝ｘ°の大きさ

　　

　　　実際に、△ＡＢＤをＡＢに関して対称移動させて正三角形ＥＢＣを作る。

　　

　　　∠ＣＢＤ＝３６°、∠ＢＣＤ＝７２°なので、∠ＢＤＣ＝１８０°−３６°−７２°＝７２°
　　　よって、△ＢＣＤは、ＢＣ＝ＢＤの２等辺三角形
　　　正三角形ＥＢＣの作り方から、ＢＤ＝ＢＥ　で、∠ＡＢＣ＝４８°、∠ＡＣＢ＝４８°より、
　　　△ＡＢＤはＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形となる。このとき、△ＥＡＣ≡△ＤＡＢ≡△ＥＡＢ　な
　　　ので、２ｘ＝６０°より、ｘ＝３０°

　　　（別解）ABに関してCと対称な点C’をとると、△ABC≡△ABC’なので、AB=AC’
　　　　BD=BC=BC’、∠C’BD=60°から、△BDC’は正三角形なので、BD=C’D
　　　　従って、AもDもBC’の垂直二等分線上にあり、∠ADB=30°

　　　　 ○数列 １２，１５，２１，２４，（　　），３３，３９，５１ において、空所（　　）に適する数

　　　実際に、（前の項）＋（前の項の一の位）＋（前の項の一の位）が（次の項）になるので
　　　　（　　）＝２４＋４＋２＝３０


　　　　 ○正方形ＡＢＣＤにおいて、ＢＣ、ＣＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとおく。線分ＭＤと線分
　　　　　ＮＡの交点をＰとする。

　　

　　　　△ＤＰＮの面積が ５ のときの△ＡＭＰの面積

　　　実際に、ＤＮ＝ａ　とおくと、ＡＤ＝２ａ　、ＡＮ＝ａ　となる。また、ＡＮ⊥ＭＤ　で、直角

　　　三角形ＡＤＮ∽直角三角形ＤＰＮ　より、ＤＰ＝２ａ/　、ＰＮ＝ａ/

　　　よって、　直角三角形ＤＰＮの面積は、　（１/２）・（２ａ/）・（ａ/）＝ａ²/５＝５　より、

　　　ａ＝５　となる。このことから、正方形ＡＢＣＤの１辺の長さは、１０で、面積は、１００となる。

　　　△ＡＢＭ＝△ＤＣＭ＝△ＡＤＮ＝２５　なので、

　　　△ＡＭＰ＝正方形ＡＢＣＤ−（△ＡＢＭ＋△ＤＣＭ＋△ＡＤＮ−△ＤＰＮ）

　　　＝１００−（２５＋２５＋２５−５）＝３０

３１・・・○２次方程式 ｘ²−ｘ−２＝０　の２つの解をα、βとするときのα⁵＋β⁵の値

　　　実際に、α＋β＝１、αβ＝−２　より、
　　　　α⁵＋β⁵＝（α²＋β²）（α³＋β³）−α²β²（α＋β）
　　　　＝（（α＋β）²−２αβ）（（α＋β）³−３αβ（α＋β）−α²β²（α＋β）
　　　　＝（１＋４）（１＋６）−４＝３１

　　　（別解）　ｘ²−ｘ−２＝（ｘ−２）（ｘ＋１）＝０　の２つの解は、２と−１なので、
　　　　　　　α⁵＋β⁵＝３１　とした方が易しかったですね。

　　　　 ○Σ_k=1〜5 ２^k-1 の値

　　　実際に、与式＝２⁵−１＝３１



　　以下、工事中！