半径 ｒ の円Ｏがあり、その中心で互いに直交する２つの直線 Ｌ、Ｍ が円と交わる点を、
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ とおく。
このとき４点を結んで出来る図形は正方形で、直線の傾きがどのように変化しても、その
面積は一定値 ２ｒ2 をとる。
そこで、同じような問題を楕円でも考えてみよう。
このとき４点を結んで出来る図形は平行四辺形で、その面積が一定ということは期待で
きない。
実際に、 Ｄ（ａ・ｃｏｓθ，ｂ・ｓｉｎθ） （ ０≦θ≦π/２ ） とすると、
Ａ（−ａ・ｓｉｎθ，ｂ・ｃｏｓθ） で、平行四辺形ＡＢＣＤの面積 Ｓ（θ） は、
で与えられる。
このとき、 Ｓ2（θ）＝４（ａ2ｃｏｓ2θ＋ｂ2ｓｉｎ2θ）（ａ2ｓｉｎ2θ＋ｂ2ｃｏｓ2θ）
＝（ａ4＋ｂ4）ｓｉｎ2２θ＋４ａ2ｂ2（ｃｏｓ4θ＋ｓｉｎ4θ）
＝（ａ4＋ｂ4）ｓｉｎ2２θ＋４ａ2ｂ2（１−２ｓｉｎ2θｃｏｓ2θ）
＝（ａ4＋ｂ4）ｓｉｎ2２θ＋ａ2ｂ2（４−２ｓｉｎ2２θ）
＝（ａ2−ｂ2）2ｓｉｎ2２θ＋４ａ2ｂ2
０≦θ≦π/２ より、 ０≦２θ≦π なので、 ０≦ｓｉｎ２θ≦１
このことから、 θ＝π/４ のとき、 Ｓ（θ） は最大で、最大値 ａ2＋ｂ2
θ＝０、π/２ のとき、 Ｓ（θ） は最小で、最小値 ２ａｂ
従って、面積 Ｓ（θ） の取り得る値の範囲は、
２ａｂ ≦ Ｓ（θ） ≦ ａ2＋ｂ2
となる。
（コメント） 最大値が ａ2＋ｂ2 で最小値が ２ａｂ とは．．．なかなか美しい組合せになる
んですね！
上記では、楕円の中心で直交する２直線を考えたが、２直線のそれぞれが異なる焦点を
通り、互いに直交するとしたら、四角形の面積の取り得る値の範囲はどうなるだろうか？
若干恐いもの見たさに、具体的な楕円の方程式を与えて計算してみよう。
焦点 Ｆ、Ｆ’の座標がそれぞれ Ｆ（ １ ， ０ ） 、 Ｆ’（ −１ ， ０ ） で与えられるので、
実数 ｍ に対して、 直線 Ｌ の方程式は、 ｍｘ−ｙ＝ｍ
直線 Ｍ の方程式は、 ｘ＋ｍｙ＝−１
とおける。 Ａ（ α ， ｍα−ｍ ） 、Ｃ（ β ， ｍβ−ｍ ） とおくと、 α、β は、
２次方程式 ２ｘ2＋３（ｍｘ−ｍ）2＝６ すなわち、
（３ｍ2＋２）ｘ2−６ｍ2ｘ＋３ｍ2−６＝０
の解である。よって、解と係数の関係から、
α＋β＝６ｍ2/（３ｍ2＋２） 、 αβ＝（３ｍ2−６）/（３ｍ2＋２）
このとき、 線分ＡＣの長さの平方 ＡＣ2 は、
ＡＣ2＝（α−β）2＋（ｍα−ｍβ）2
＝（ｍ2＋１）（α−β）2
＝（ｍ2＋１）｛（α＋β）2−４αβ｝
＝（ｍ2＋１）｛３６ｍ4/（３ｍ2＋２）2−４（３ｍ2−６）/（３ｍ2＋２）｝
＝４８（ｍ2＋１）2/（３ｍ2＋２）2
となるので、
ＡＣ＝４
（ｍ2＋１）/（３ｍ2＋２）同様にして、 Ｂ（ −ｍγ−１ ， γ ） 、Ｄ（ −ｍδ−１ ， δ ） とおくと、 γ、δ は、
２次方程式 ２（−ｍｙ−１）2＋３ｙ2＝６ すなわち、
（２ｍ2＋３）ｙ2＋４ｍｙ−４＝０
の解である。よって、解と係数の関係から、
γ＋δ＝−４ｍ/（２ｍ2＋３） 、 γδ＝−４/（２ｍ2＋３）
このとき、 線分ＢＤの長さの平方 ＢＤ2 は、
ＢＤ2＝（−ｍγ＋ｍδ）2＋（γ−δ）2
＝（ｍ2＋１）（γ−δ）2
＝（ｍ2＋１）｛（γ＋δ）2−４γδ｝
＝（ｍ2＋１）｛１６ｍ2/（２ｍ2＋３）2＋１６/（２ｍ2＋３）｝
＝４８（ｍ2＋１）2/（２ｍ2＋３）2
となるので、
ＢＤ＝４
（ｍ2＋１）/（２ｍ2＋３）よって、求める四角形ＡＢＣＤの面積 Ｓ は、
Ｓ＝ＡＣ×ＢＤ/２＝２４（ｍ2＋１）2/｛（３ｍ2＋２）（２ｍ2＋３）｝
ここで、 ｍ2＝ｔ （ｔ≧０） とおいて、分母を払って式を整理すると、
（６Ｓ−２４）ｔ2＋（１３Ｓ−４８）ｔ＋６Ｓ−２４＝０ ・・・・・ (*)
この方程式が、０ 以上の解を少なくとも一つ持つように、Ｓ の値の範囲を定めればよい。
６Ｓ−２４＝０ 即ち、 Ｓ＝４ のとき、 １３Ｓ−４８≠０ で、方程式は、ｔ＝０ という解を
持つので、Ｓ＝４ は、求める Ｓ の値の範囲に含まれる。
よって、以下では、Ｓ≠４ として、２次方程式 (*) が、少なくとも一つの正の解を持つよ
うなＳ の値の範囲を求めればよい。
そこで、２次方程式 (*) から、２次関数
Ｆ（ｔ）＝（６Ｓ−２４）ｔ2＋（１３Ｓ−４８）ｔ＋６Ｓ−２４
を考える。このとき、軸の方程式は、
ｔ＝−（１３Ｓ−４８）/（１２Ｓ−４８）
−（１３Ｓ−４８）/（１２Ｓ−４８）＜０ 即ち、 ０＜Ｓ＜４８/１３ 、４＜Ｓ のとき、
（６Ｓ−２４）×Ｆ（０）＜０
であればよいが、 （６Ｓ−２４）2＜０ は起こり得ない。
−（１３Ｓ−４８）/（１２Ｓ−４８）＝０ 即ち、 Ｓ＝４８/１３ のとき、
Ｆ（ｔ）＝（６Ｓ−２４）（ｔ2＋１）
は、ｔ 軸と共有点を持たないから不適。
−（１３Ｓ−４８）/（１２Ｓ−４８）＞０ 即ち、 ４８/１３＜Ｓ＜４ のとき、
判別式を Ｄ とすると、
Ｄ＝（１３Ｓ−４８）2−４（６Ｓ−２４）2
＝（１３Ｓ−４８＋１２Ｓ−４８）（１３Ｓ−４８−１２Ｓ＋４８）
＝（２５Ｓ−９６）Ｓ≧０
であればよい。
このとき、 Ｓ≧９６/２５ かつ ４８/１３＜Ｓ＜４ から、 ９６/２５≦Ｓ＜４
従って、 Ｓ＝４ も含めて、求める Ｓ の値の範囲は、
９６/２５≦Ｓ≦４
となる。
（コメント） 直線 Ｌ の傾きが ０ のときに、四角形の面積は最大になるんですね！
それでは、四角形の面積が最小のときの直線の位置関係がどうなっているのか、興味
があったので調べてみた。
簡単な計算から、それは、 ｔ＝１ 即ち、 ｍ＝±１ であることが分かる。
図示すれば、下図を得る。
台形のときに面積が最小なんだ．．．。
上記の問題を一般化し、公式を作ってみよう。
楕円の方程式を
とする。
このとき、焦点 Ｆ、Ｆ’の座標は、それぞれ Ｆ（ ｃ ， ０ ） 、 Ｆ’（ −ｃ ， ０ ） で与えられる。
ただし、
である。実数 ｍ に対して、 直線 Ｌ の方程式は、 ｍｘ−ｙ＝ｍｃ
直線 Ｍ の方程式は、 ｘ＋ｍｙ＝−ｃ
とおける。 Ａ（ α ， ｍα−ｍｃ ） 、Ｃ（ β ， ｍβ−ｍｃ ） とおくと、 α、β は、
２次方程式 ｂ2ｘ2＋ａ2（ｍｘ−ｍｃ）2＝ａ2ｂ2 すなわち、
（ａ2ｍ2＋ｂ2）ｘ2−２ａ2ｍ2ｃｘ＋ａ2ｍ2ｃ2−ａ2ｂ2＝０
の解である。よって、解と係数の関係から、
α＋β＝２ａ2ｍ2ｃ/（ａ2ｍ2＋ｂ2） 、 αβ＝（ａ2ｍ2ｃ2−ａ2ｂ2）/（ａ2ｍ2＋ｂ2）
このとき、 線分ＡＣの長さの平方 ＡＣ2 は、
ＡＣ2＝（α−β）2＋（ｍα−ｍβ）2
＝（ｍ2＋１）（α−β）2
＝（ｍ2＋１）｛（α＋β）2−４αβ｝
＝（ｍ2＋１）｛４ａ4ｍ4ｃ2/（ａ2ｍ2＋ｂ2）2−４（ａ2ｍ2ｃ2−ａ2ｂ2）/（ａ2ｍ2＋ｂ2）｝
＝４ａ2ｂ2（ｍ2＋１）（ａ2ｍ2−ｍ2ｃ2＋ｂ2）/（ａ2ｍ2＋ｂ2）2
＝４ａ2ｂ4（ｍ2＋１）2/（ａ2ｍ2＋ｂ2）2
となるので、
ＡＣ＝２ａｂ2（ｍ2＋１）/（ａ2ｍ2＋ｂ2）
同様にして、 Ｂ（ −ｍγ−ｃ ， γ ） 、Ｄ（ −ｍδ−ｃ ， δ ） とおくと、 γ、δ は、
２次方程式 ｂ2（−ｍｙ−ｃ）2＋ａ2ｙ2＝ａ2ｂ2 すなわち、
（ｂ2ｍ2＋ａ2）ｙ2＋２ｂ2ｃｍｙ＋ｂ2ｃ2−ａ2ｂ2＝０ より、
（ｂ2ｍ2＋ａ2）ｙ2＋２ｂ2ｃｍｙ−ｂ4＝０
の解である。よって、解と係数の関係から、
γ＋δ＝−２ｂ2ｃｍ/（ｂ2ｍ2＋ａ2） 、 γδ＝−ｂ4/（ｂ2ｍ2＋ａ2）
このとき、 線分ＢＤの長さの平方 ＢＤ2 は、
ＢＤ2＝（−ｍγ＋ｍδ）2＋（γ−δ）2
＝（ｍ2＋１）（γ−δ）2
＝（ｍ2＋１）｛（γ＋δ）2−４γδ｝
＝（ｍ2＋１）｛４ｂ4ｃ2ｍ2/（ｂ2ｍ2＋ａ2）2＋４ｂ4/（ｂ2ｍ2＋ａ2）｝
＝４ａ2ｂ4（ｍ2＋１）2/（ｂ2ｍ2＋ａ2）2
となるので、
ＢＤ＝２ａｂ2（ｍ2＋１）/（ｂ2ｍ2＋ａ2）
よって、求める四角形ＡＢＣＤの面積 Ｓ は、
Ｓ＝ＡＣ×ＢＤ/２＝２ａ2ｂ4（ｍ2＋１）2/｛（ａ2ｍ2＋ｂ2）（ｂ2ｍ2＋ａ2）｝
ここで、 ｍ2＝ｔ （ｔ≧０） とおいて、分母を払って式を整理すると、
（ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4）ｔ2＋｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝ｔ＋ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4＝０ ・・・・・ (*)
この方程式が、０ 以上の解を少なくとも一つ持つように、Ｓ の値の範囲を定めればよい。
ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4＝０ 即ち、Ｓ＝２ｂ2 のとき、ａ4Ｓ−４ａ2ｂ4＋ｂ4Ｓ＝２ｂ2（ａ2−ｂ2）2≠０
で、方程式は、ｔ＝０ という解を持つので、Ｓ＝２ｂ2 は求める Ｓ の値の範囲に含まれる。
よって、以下では、Ｓ≠２ｂ2 として、２次方程式 (*) が、少なくとも一つの正の解を持つ
ようなＳ の値の範囲を求めればよい。
そこで、２次方程式 (*) から、２次関数
Ｆ（ｔ）＝（ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4）ｔ2＋｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝ｔ＋ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4
を考える。このとき、軸の方程式は、
ｔ＝−｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝/｛２ａ2ｂ2（Ｓ−２ｂ2）｝
不等式 −｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝/｛２ａ2ｂ2（Ｓ−２ｂ2）｝＜０ において、
２ｂ2−４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4）＝２ｂ2（ａ4＋ｂ4−２ａ2ｂ2）/（ａ4＋ｂ4）
＝２ｂ2（ａ2−ｂ2）2/（ａ4＋ｂ4）＞０
より、 ４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4）＜２ｂ2 なので、
０＜Ｓ＜４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4） 、２ｂ2＜Ｓ のとき、（ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4）×Ｆ（０）＜０ であれば
よいが、 （ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4）2＜０ は起こり得ない。
−｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝/｛２ａ2ｂ2（Ｓ−２ｂ2）｝＝０ 即ち、Ｓ＝４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4） のとき、
Ｆ（ｔ）＝（ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4）（ｔ2＋１）
は、ｔ 軸と共有点を持たないから不適。
−｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝/｛２ａ2ｂ2（Ｓ−２ｂ2）｝＞０ 即ち、
４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4）＜Ｓ＜２ｂ2 のとき、判別式を Ｄ とすると、
Ｄ＝｛（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4｝2−４（ａ2ｂ2Ｓ−２ａ2ｂ4）2
＝（（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4＋２ａ2ｂ2Ｓ−４ａ2ｂ4）（（ａ4＋ｂ4）Ｓ−４ａ2ｂ4−２ａ2ｂ2Ｓ＋４ａ2ｂ4）
＝（（ａ2＋ｂ2）2Ｓ−８ａ2ｂ4）（ａ2−ｂ2）2Ｓ≧０
であればよい。
このとき、 Ｓ≧８ａ2ｂ4/（ａ2＋ｂ2）2 かつ ４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4）＜Ｓ＜２ｂ2 において、
８ａ2ｂ4/（ａ2＋ｂ2）2−４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4）＝４ａ2ｂ4（ａ2−ｂ2）2/（ａ2＋ｂ2）2＞０
２ｂ2−８ａ2ｂ4/（ａ2＋ｂ2）2＝２ｂ2（ａ2−ｂ2）2/（ａ2＋ｂ2）2＞０
から、
４ａ2ｂ4/（ａ4＋ｂ4）＜８ａ2ｂ4/（ａ2＋ｂ2）2＜２ｂ2
に注意して、Ｓ の値の範囲は、
８ａ2ｂ4/（ａ2＋ｂ2）2≦Ｓ＜２ｂ2
従って、 Ｓ＝２ｂ2 も含めて、求める Ｓ の値の範囲は、
となる。
（コメント） 一応、公式らしきものが得られたが、計算が煩雑と息子が宣う。もう少し易しい
計算が可能かどうか、研究してみる価値はありそうだ。
一般の場合も多分同様に出来るので、楕円の方程式が、 ２ｘ2＋３ｙ2＝６ である場合を
考える。
焦点 Ｆ、Ｆ’の座標は、それぞれ Ｆ（ １ ， ０ ） 、 Ｆ’（ −１ ， ０） で与えられる。
このとき、離心率 ｅ＝１/
で、 ｘ＝−１ のとき、 ｙ＝±２/ より、Ｆ’を極とする極方程式は、
となるので、
また、Ｆを極とする極方程式は、
であり、さらに、ＦＡの偏角は、 (π/２)＋θ から、
となる。 よって、求める四角形ＡＢＣＤの面積 Ｓ ＝ＡＣ×ＢＤ/２ は、
Ｓ＝（ＦＡ＋ＦＣ）（Ｆ’Ｂ＋Ｆ’Ｄ）/２
となるので、式を整理すると、
０≦θ≦π としてよいので、 ０≦２θ≦２π より、 ０≦ｓｉｎ２θ≦１
このとき、求める Ｓ の値の範囲は、
９６/２５≦Ｓ≦４
となる。
（コメント） 少しは計算が楽になったのかな．．．？
以下、工事中