・　巨大数を作る　　　　　 　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　世の中には手軽に意味のない巨大な数を作る方法が存在する。その一つの方法として、
１９９５年に Ｃｌｉｆｆｏｒｄ Ｐｉｃｋｏｖｅｒ によって定義された超階乗 ｎ＄ がある。

　　　　　　

例　１＄＝１！＝１　、　２＄＝２！^2!＝２²＝４

　手計算で求められるのは、多分上記のものだけである。３＄については、定義より

　　 　　　

であるが、もはやその値を正確に計算することは不可能だろう。

　上記の数の読み方も込み入っている。次のよう読むのだろうか？

　　　　　６の〈６の〔６の｛６の（６の６乗）乗｝乗〕乗〉乗

　これでは絶対途中で、「訳、分からん．．．！？」になると思う！

「冪（べき）」を表す記号「＾」を用いれば、　６＾〈６＾〔６＾｛６＾（６＾６）｝〕〉　とも書ける。

　表計算ソフト Ｅｘｃｅｌ を用いて計算できるのは、せいぜい

　　　　　６¹⁹＝６０９３５９７４００１０４９６

までである。

　３＄という数は恐ろしく巨大な数で、我々人間には手が出せない神の領分に属するよう
な印象があるが、よくよく見ると、３＄は驚くほど単純な構造になっていることに気がつく。
　すなわち、
　　　　　　　　　３＄は、幾つかの「６」を単に掛け合わせたもの
に過ぎない。

　このことに注目すると、３＄の値を正確に求めることは困難であるが、例えば、下３桁が
どのような数になるかを求めることぐらいは出来そうである。そこで、表計算ソフト Ｅｘｃｅｌ
を用いて、「６」という数を延々と掛け続けてみた。単に計算させると、直ぐに計算はオー
バーフローしてしまうので、ＭＯＤ関数を使って、下３桁のみの数字の出方の様子を眺め
てみた。

　すると、そこには恐ろしく美しい法則性が存在した！

　１〜９９９までしか考えないので、「６」という数を延々と掛け続けると、鳩ノ巣原理により、
あるところから循環するだろうことは予想できる。

　実際に、次のような順番で循環する。

　１６６個の６の倍数のうち、出現するのはわずかに２５個だけであることにも驚かされる。

　ところで、　６⁶＝４６６５６　なので、

　　　　　　　　　　　　

は、６を４６６５６回掛け合わせたものである。この数の正しい値を求めることは困難である
が、その下３桁については、上記の循環しているという性質を活用すると容易に求めること
が出来る。

　すなわち、　　４６６５６−２ を ２５ で割った余りは、４ なので、上記の表から、

　　　　　　　　　　　　

の下３桁の数は、　６５６　　である。

　この操作を続けていくと、

　　　３＄は、６を　***・・・***６５６回掛け合わせた数

なので、上記と同様の計算（２を引いて、２５で割る）をして、余りが ４ であることから、

　　　　３＄の下３桁の数は、　６５６

であると言える。

（コメント）　当初インターネットで調べても、この超階乗についての記述はあまりなく途方に
　　　　　　暮れた。しかしながら、上記のように少しずつ解きほぐして、３＄の数字の並びの
　　　　　　一端を垣間見ることが出来て、ほっとしている。また、十分楽しむことができた！

　　　　　　　このような計算をしたホームページを検索することはできなかったので、多分、
　　　　　　この世界では初めての計算かな？と思う次第である。

　　　　　　　この超階乗について、もっとご存じの方がおられたら、是非ご教示ください。


（追記）　３＄の下３桁を求めた以上、下４桁も求めてみようという気になった。

　「６」という数を延々と掛け続けると、下４桁の数字は、次のように出現する。

6　、36　、216　、1296　、7776　、6656　、9936　、9616　、7696　、6176　、7056　、

2336　、4016　、4096　、4576　、7456　、4736　、8416　、496　、2976　、7856　、

7136　、2816　、6896　、1376　、8256　、9536　、7216　、3296　、9776　、8656　、

1936　、1616　、9696　、8176　、9056　、4336　、6016　、6096　、6576　、9456　、

6736　、416　、2496　、4976　、9856　、9136　、4816　、8896　、3376　、256　、

1536　、9216　、5296　、1776　、656　、3936　、3616　、1696　、176　、1056　、

6336　、8016　、8096　、8576　、1456　、8736　、2416　、4496　、6976　、1856　、

1136　、6816　、896　、5376　、2256　、3536　、1216　、7296　、3776　、2656　、

5936　、5616　、3696　、2176　、3056　、8336　、16　、96　、576　、3456　、736　、

4416　、6496　、8976　、3856　、3136　、8816　、2896　、7376　、4256　、5536　、

3216　、9296　、5776　、4656　、7936　、7616　、5696　、4176　、5056　、336　、

2016　、2096　、2576　、5456　、2736　、6416　、8496　、976　、5856　、5136　、

816　、4896　、9376　、6256　、7536　、5216　、1296　、7776　、・・・・・・・・・・・・・・・・


　上記の青色の数字が循環する部分で、１２５個ある。

　ところで、　６⁶＝４６６５６　なので、

　　　　　　　　　　　　

は、６を４６６５６回掛け合わせたものである。上記の循環しているという性質を活用すると、

４６６５６−３ を １２５ で割った余りは、２８ なので、上記の表から、

　　　　　　　　　　　　

の下４桁の数は、　８６５６　　である。

　この操作を続けていくと、

　　　３＄は、６を　***・・・***８６５６回掛け合わせた数

なので、上記と同様の計算（３を引いて、１２５で割る）をして、余りが ２８ であることから、

　　　　３＄の下４桁の数は、　８６５６

であると言える。

（コメント）　３＄の下３桁が求まったら、次は下４桁、そして、下５桁、・・・と興味は尽きない
　　　　　　が、計算の方針は全く同じなので、ここで幕引きとしたい。