２４２名の生徒がすべて４人以下の仲良しグループに分かれているものとする。
これらのグループを崩さずに、１７人まで収容できる部屋のいくつかに割り振りたい。
仲良しグループの人数構成がどのような形であっても、最低何部屋あればいいだろうか？
ただし、グループ同士の関係は考えないものとする。
（答） 男の子ではあまりないと思うが、女の子だと、グループが違うとほとんど交流がなく、
話すこともないらしい。ましてや、同じクラスの男の子なのに、「あの子は誰？」という
ことも．．．。それ位、女の子にとってグループは絶対であり、ひとつの不可侵な世界
なのだ。
この問題は、そのようなグループ同士をある制約条件のもとにまとめていく問題。
答えは、「最低 １６ 部屋用意すれば十分」かな？（←あまり、自信がない．．．ｆ(^^;) ）
グループがすべて単独の１人だと、一つの部屋に１７人収容できるので、
２４２÷１７＝１４・・・４ から、 １５部屋以上は必ず必要である。
一番能率が悪い入れ方は、グループの人数が４人以下なので、各部屋に３人ずつの空き
が出る場合である。
１４×１７＝２３８ なので、一見、 １７＋１＝１８部屋必要であるように思われるが、実は
そうでもない。
グループの人数が２人以上について、１４人の構成を考えると、
４４４２ ４４３３ ３３３３２ ３３２２２２ ２２２２２２２
といろいろパターンがあり、グループの入れ替えを行い無駄を省いて、必要とされる部屋数
も少し減らすことが出来る。
実は、「各部屋には必ず１５人以上収容できる」ということが次のようにして示される。
ある部屋で１４人以下と仮定する。各グループの人数が多い順に部屋に収容していくもの
とする。ある部屋で、１４人までしか収容できないとすると、残り枠３人なので、次に入るべき
グループの人数は、４人のはず。ところが、これは、上記の１４人のパターンで、人数の多い
順に部屋に入れていることに矛盾する。
よって、各部屋には必ず１５人以上収容できることが分かる。
したがって、 １５の部屋に１５人以上入れれば、
１５×１５＝２２５ ２４２−２２５＝１７
より、１７人以下の残った生徒をもう一つの部屋に入れればよい。
以上から、必要とされる部屋の最小数は、１６ である。
（参考文献： 中本敦浩 著 エレガントな解答をもとむ
数学セミナー’０３ ９月号 （日本評論社））
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが、上記の問題の一般化を考えられた。
（平成２２年６月１６日付け）
ｎ人の生徒がすべて４人以下の仲良しグループに分かれているものとする。これら
のグループを崩さずに、１７人まで収容できる部屋のいくつかに割り振りたい。仲良し
グループの人数構成がどのような形であっても、最低何部屋あればいいだろうか？
ただし、グループ同士の関係は考えないものとする。
ｎ＝２４２の場合とほとんど同じです。そこでされてる議論で尽くされてます。それを一般的
な形に表現するだけです。
ｎ を１５で割ったときの商を ｑ、余りを ｒ とする。即ち、ｎ＝１５ｑ＋ｒ （０≦ｒ＜１５）
このとき、 ｒ≧３ ならば、ｑ＋１部屋
ｒ≦２ ならば、ｑ部屋 （ただし、ｑ＝０ のときは1部屋)
である。このことを、１つの式で書くならば、
[｜ｎ−３｜/１５]＋１部屋 (ただし、[ｘ] は、ｘ を超えない最大の整数)
となる。実際に、
[｜ｎ−３｜/１５]＋１＝[｜１５ｑ＋ｒ−３｜/１５]＋１＝[｜ｑ＋（ｒ−３）/１５｜]＋１
において、 ３≦ｒ＜１５ ならば、 ０≦（ｒ−３）/１５＜１ なので、
[｜ｎ−３｜/１５]＋１＝ｑ＋１
０≦ｒ≦２ ならば、 −１＜（ｒ−３）/１５＜０ なので、
[｜ｎ−３｜/１５]＋１＝（ｑ−１）＋１＝ｑ
ここで、 ｎ＝１、２ でも成り立つようにするために絶対値がついている。
例 ｎ＝２４２ のとき、 ２４２÷１５＝１６・・・２ なので、公式により、１６部屋あればよい。
（証明）
（１） ｎ＝１５ｑ＋ｒ （ｒ≧３） のとき、ｑ個の部屋に入らないこと
(入らない場合があるということ）
３人ずつの５ｑ＋１のグループと残りｒ−３人（ｒ−３人はどんなグループでもよい)のときを
考える。ｒ−３人は無視して考えて、すべて３人ずつのグループだから、１部屋に１５人しか
入らない。ｑ個の部屋には、１５ｑ人しか入らない。従って、ｑ個の部屋には入らない。
（２） ｎ＝１５ｑ＋ｒ （ｒ≦２）のとき、ｑ個の部屋に入ること
(どんな場合も必ず入るということ)
各グループを人数が多い順に並べておいて各部屋に入れる上限まで入れていく。その
とき最後の部屋は除いて各部屋には必ず１５人以上入る。
実際に、そうでないとすると、ある部屋で１４人しか入れないことになるがそのとき次に
入るべきグループの人数は４人のはず。(そうでないならそのグループはその部屋に入る
はず) ところが、そうであれば、４人のグループだけで１４人になることになり矛盾。
各部屋には１５人以上入るから、１５ｑ人は、ｑ個の部屋に入る。残っているのはせいぜ
い２人で、そしてそのときは１５人の部屋があるからそこに残ったせいぜい２人をいれれ
ばよい。
（コメント） 「各部屋には必ず１５人以上収容できる」ということから「１５」という数字が重要
ですね。人数を１５で割って余りが２以下なら部屋の数を増やさずに収容できます
が、余りが３以上だと、収容しきれず、やむなく１部屋増えるという感覚です。
※ＦＮさんからの補足です。
（１）の ｒ≧３ は１５以上も含む。（２）の ｒ≦２ は同様にマイナスも含む。
そこで、ｎ＝１５ｑ＋ｒ （３≦ｒ＜１５）のときは、（１）より、ｑ個の部屋には入らない。
ｎ＝１５（ｑ＋１）−１５＋ｒ
として、（２）より、ｑ＋１個の部屋に入る。
ｎ＝１５ｑ＋ｒ （０≦ｒ≦２）のときは、（２）より、ｑ個の部屋に入る。
ｎ＝１５（ｑ−１）＋１５＋ｒ
として、（１）より、ｑ−１個の部屋に入らない。
さて、次に１７人を ｍ人にしよう。ｍが４以上とするのは当然でしょう。そこで次の問題を
考えてください。
ｎ、ｍ は自然数で、ｍ は４以上とする。ｎ人の生徒がすべて４人以下の仲良しグル
ープに分かれているものとする。これらのグループを崩さずに、ｍ人まで収容できる
部屋のいくつかに割り振りたい。仲良しグループの人数構成がどのような形であって
も、最低何部屋あればいいだろうか？ただし、グループ同士の関係は考えないものと
する。
ＦＮさんから続報をいただきました。（平成２２年１１月１７日付け）
上記は、以前に私が出した問題ですが、答えを用意していたわけではありません。再度考
えてみて、出題したとき考えていただろうことよりは、はっきりしてきました。
ｍ＝17のときの解答は、大雑把に言うと、[ｎ/１５]＋α (αは、０か１) です。もちろん、ど
ういうときにαが０または１になるかを示す必要がありますが大体の所としては、[ｎ/１５]＋α
です。(もう少し正確に言えば、大体 [(ｎ−３)/１５]＋１です。)
ｍ＝１６でも、[ｎ/１５]＋αです。もちろん、αは０か１ですが、ｍ＝１７のときと全く同じ式と
いうわけではありません。
ｍ＝１８では、[ｎ/１６]＋αです。
ｍ＝１６、１７のときは、３人のグループが大部分であるときが一番無駄が多く、ｍ＝１８の
ときは、４人のグループが大部分であるときが一番無駄が多いことからきます。
ｍ＝17のときの式として、 [｜ｎ−３｜/１５]＋１ のような不自然な式を書いています。これ
は、ｎ＝１、２のようなつまらないケースを気にしたものです。このようなケースを気にしないた
めに、ｎ≧ｍ≧４ としておきましょう。
以下工事中