ある高校の３年１組の生徒３０人と担任１人の合わせて３１人が３月のカレンダーを作るこ
とになりました。担任の担当教科は数学ということもあり、これまでに習ってきたことの復習
も兼ねて、担任から、生徒に以下のことを言いました。

　各日は、すべて皆さんのつくった問題で埋めようと考えています。答えが、１、２、・・・、３０、
３１となるような問題を、１人１題つくって下さい。誰が何日を担当するかについては、皆さん
に任せます。

　３年１組の生徒および担任になったつもりで、答えが、１、２、・・・、３０、３１になる問題の
一例を作って下さい。

　出題範囲の上限は、高校の数学�Vまでとします。下限は不問。


（コメント）　カルピスさんから「問題数は無限大になるほど沢山できてしまうのでは・・・」とか
　　　　　　らすかるさんからは「問題文に数字があれば数字を変えるだけで答えが変わり、一
　　　　　　種類の適当な問題で全部終わってしまいますね。そこで問題の作成をもう少し面白
　　　　　　くするために、例えば、「問題文に数字や漢数字を使ってはならない」という厳しい
　　　　　　条件を付けるというのはどうでしょうか。例えば、「サイコロの目の合計はいくつか」
　　　　　　「立方体の展開図は何通りあるか」など」という声も．．．。

　　　　　　　私もそう思いますが、ここでは、答えが自明でないそれなりの美しさを持つ問題
　　　　　　を独断と偏見でリストアップしてみようと思います。壁にでも貼って鑑賞できるもの
　　　　　　が出来るでしょうか？このような機会を与えていただいたよおすけさんに感謝しま
　　　　　　す。

≪日めくり問題≫　（→　関連話題：クイズ＆パズル　「カレンダー」・・・答え付きです！）

１：₄₀Ｃ₂₀ を 41 で割った余りを求めよ。
２：赤球２個、青球２個を円形に並べる場合の数を求めよ。
３：下図の黄色い部分の面積は如何？

　　　

４：６個の同じものを、奇数個ずつのいくつかの同じ袋に分ける方法の数を求めよ。
５：円周上の６個の点を互いに交差しない弦で結ぶ方法の数を求めよ。
６：ｆ（ｘ）＝ｘ²−２ のとき、ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｘ　の実数解で、ｆ（ｘ）＝ｘ の解ではないものの個数
　　を求めよ。
７：正八面体の８面の内、４面を赤、他の４面を青で塗り分ける方法の数を求めよ。
８：半径１の円が直線上を滑らずに１回転するとき、円周上の点が描く弧の長さを求めよ。
９：∫_-3³ ｘ²/(１＋e^x) ｄｘ を計算せよ。（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
１０：立方体を２色で塗り分ける方法の数を求めよ。
１１：Ａ〜Ｉ　は、１〜９　の数で全て異なる。Ａ＋Ｂ＝Ｃ、Ｂ＋Ｄ＝Ｅ、Ｅ×Ｆ＝Ｃ、Ｄ×Ｄ＝Ｇ
　　　のとき、Ｈ＋Ｉ　を求めよ。
１２：正四角錐を２色で塗り分ける方法の数を求めよ。
１３：全ての辺が整数で表される直方体を考えるときに、ある長さの線分は、辺の長さにも、
　　　面の対角線の長さにも、直方体の対角線の長さにも現れる可能性があるという。この
　　　ような線分のうち最も短いものの長さを求めよ。（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
１４：ｘ−１/ｘ＝２ であるとき、ｘ³−１/ｘ³ はいくつになるか。（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
１５：下図のように、地面に柱が２本立っていて、そのうちの左側の柱には、１から５までの番
　　　号のつけられた円板が、上から番号順に積まれている。

いま、１回の操作で、上から、１枚または２枚の円板 　を、他の柱へ移動させる。ただし、２枚のときは、上下 　の順番は、そのままとする。 　何回か操作をして、右側の柱に、円板が、上から順番 　に１から５まで並ぶようにしたい。 　　一体、何回の操作でできるであろうか？

１６：周囲の長さが１６であるような長方形の面積の最大値を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
　　（類題）（１＋ｉ）⁸ を計算せよ。（よおすけさん　Ｈ２９．４．１４）
１７：素数ｐ、ｑを用いて、ｐ^q＋ｑ^p と表される素数を全て求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（よおすけさん　Ｈ２９．３．２９）
１８：∠Cが直角である直角三角形ABCで、斜辺AB上に点D、E を取り（Dの方がAに近い）、
　　　辺AC上に点Fを取る。AD＝DF＝FE＝EC＝CB であるとき、∠BACは何度か。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
１９：同じ大きさの不透明な立方体２７個が３×３×３に積んである。これをカメラで撮影する
　　とき、最大で何個の立方体を１枚の写真に収めることができるか。ただし、鏡などを使っ
　　て間接的に写すのは認められない。（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
２０：四角形ABCDがあり、AD‖BC、∠ABC=∠BDC=∠ACB/2であり、直線BDは∠ABCの
　　２等分線になっているという。このとき、∠ABCの大きさを求めよ。

　　
２１：十進法で記されたある数を、誤って別の底として読んでしまったところ、正しい値の丁度
　　　１/３になった。この数は何か。（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
２２：ハンバーグステーキ１枚を、フライパンを使って1面焼くのに、７分かかる。裏返して、も
　　う１面焼くのに更に７分かかる。両面焼けたら、そのハンバーグステーキをパンにはさみ、
　　オーブントースターで焼く。これが、１分かかる。（→ハンバーガーの完成）
　　　この手順で、ハンバーグステーキが２枚しかのせられないフライパン１つと、パンが２個
　　しか入れられないオーブントースターを１台使って、ハンバーガーを３個作るのに最低何
　　分かかるか。ただし、裏返す時間やパンにはさむ時間などは無視する。
２３：格子点を２色で塗り分ける方法の数を求めよ。
２４：赤球、青球、黄球の何れか４個を円形に並べる場合の数を求めよ。
２５：１０本の直線で作られる三角形の最大個数を求めよ。
２６：参加料が、社会人２００円、大学生１５０円、高校生１００円のゲームに、社会人、大学
　　　生、高校生合わせて１３０名が参加した。参加料合計は、１８９００円で、社会人の参加
　　　者は大学生のそれより２０名多かったという。このとき、大学生の参加者数を求めよ。
２７：ＡＢ＝９、ＢＣ＝１２の長方形ＡＢＣＤの外側にＣＤ、ＤＡを１辺とする正三角形ＣＥＤ、
　　　ＤＦＡをそれぞれ描くとき、△ＤＥＦの面積を求めよ。
２８：１２の約数の総和を求めよ。
２９：初項1、公比2、項数300の等比数列の中に、十進法で書くと先頭の数字が4であるもの
　　　はいくつあるか。ただし、2^299は91桁の数で、その先頭の数字は1であることを用いて
　　　よい。（DD++さん　Ｈ２９．４．１３）
３０：１辺４の正方形の縦、横が４等分され平行線が引かれているとき、正方形は大小合わ
　　　せていくつあるか？
　　（類題）正六面体の各面に１から６までをそれぞれ埋めるやり方は何通りあるか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｋｓさん　Ｈ２９．３．２８）
３１：Σ_k=1〜5 ２^k-1 を計算せよ。（よおすけさん　Ｈ２９．３．２６）


（コメント）　よおすけさん、DD++さんのご協力で、ようやく数学カレンダーが完成しました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２９年４月１３日付け）