三角形の最大数 
平成１７年９月６日付けで当ＨＰ掲示板「出会いの泉」に、ＨＮ「ｔｗｏ－ｗｅｌｌ」さんという方の
書き込みがあった。
直線を ｎ 本使ってできる最大の三角形の数を知りたいのだが．．．？
３本だと三角形は１個、４本だと２個、５本だと５個あることは分かったが、６本では何
個あるのか是非知りたい。また、個数を求める数式はあるのだろうか？
当初、私自身この問題の難しさをあまり理解していなかった。
高校の「数学Ａ」における順列組合せの有名問題：
「平面上において異なる ｎ 本の直線が一般の位置にあるものとする。これらの直
線で三角形は何個できるか？」
と同じように考えていた。
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左図において、５本の直線から３本の直線を選ぶ と、その選び方１通りに対して三角形が１個対応す るので、求める三角形の個数は、 5Ｃ3 ＝ １０ （個） となる。 上記で求めた１０個の三角形の中には、互いに交 わるものも数えられている。 ｔｗｏ－ｗｅｌｌ さんの問題文中の「三角形の数」とは、 互いに交わらないものを数えるらしい。 |
上記の直線の配置の場合、右図のように互いに 交わらない三角形の個数は、３ となる。 ところが、ｔｗｏ－ｗｅｌｌ さんが指摘しているように 直線の本数が５本の場合、三角形は最大で ５個 できるらしい。 すなわち、三角形が５個存在するような直線の 上手い配置があるというのだ。 右図は三角形の最大個数を与えないので、あ る意味で「拙い」配置ということになる。 果たして三角形の最大個数を与える直線の配 置をどうやってみつけるのだろうか？ |
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この問題は、実はとてつもなく難しいものらしいことが段々と分かってきた。この問題に対
して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんやＨＮ「未菜実」さんたちがいろ
いろ考えてくれている。（← 現在進行形！）
掲示板は時間の経過とともに消え去る運命なので、らすかるさんや未菜実さんの取り組
みを当ＨＰ上に記録として残すことにした。もちろん、私自身の理解を深めるという目的も
あるのだが．．．。
三角形の個数に着目して数列 １、２、５、・・・ を構成すると、上記問題は、この数列の一
般項ないしは漸化式を求める問題に帰着される。
数列と言えば、いつもお世話になるＨＰサイト：オンライン整数列大辞典 がある。
らすかるさんからの情報によると、上記問題のことが、
「Ｍａｘｉｍｕｍ ｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ ｎ ｌｉｎｅｓ」
という名前で、整数列番号「A006066」にまとめられているそうだ。それによると、
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となるが、この数列の一般項ないしは漸化式についての情報は残念ながら得られない。
多分、このことはまだ未解決の問題なのだろう。
「A006066」に紹介されているＨＰ：「Ｋｏｂｏｎ Ｔｒｉａｎｇｌｅ」には、直線の本数 ｎ ＝３～９ の
場合について、三角形の最大個数を与える直線の配置図が掲載されている。
さらにそこでは、この問題が、「Ｋｏｂｏｎ Ｆｕｊｉｍｕｒａ」（多分、藤村幸三郎氏）により提唱さ
れ、「Ｓａｂｕｒｏ Ｔａｍｕｒａ」（多分、田村三郎氏）が、三角形の最大個数の上限は、
ｎ（ｎ－２）/３
であることを示したことなどが述べられている。
未菜実さんからの情報によると、藤村幸三郎氏は日本のパズルの草分け的存在という。
ブルーバックス「パズル入門」（173～174頁）に、この問題のことが述べられているそうだ。
たまたま私の手もとに、藤村幸三郎 著（小林茂太郎との共著）の「数学パズルの世界」
（講談社ブルーバックス）があったが、残念ながら、この問題に対する記述はなかった。
Ｋｏｂｏｎ Ｔｒｉａｎｇｌｅ に掲載されている直線の配置図を注意深く眺めると、前の図に直線
を１本追加して次の図を構成していることが分かる。ただ、配置図を見る限りにおいて、こ
の点に注意して配置図を書いているようには思われない。
この点に最初に気づかれたのは、らすかるさんである。らすかるさんによれば、次のよう
に直線を順次追加していくことによって、次の「上手い」直線の配置図が得られるのだとい
う。これを、Ｆｌａｓｈ で作ってみた。楽しめるかな？（平成１８年８月１６日付け）
Ｆｌａｓｈ版「三角形の最大個数」 ＨＴＭＬ版「三角形の最大個数」
※いま、Ｆｌａｓｈを集中的に学んでいるので、その作品公開です．．．(^^;)。
セキュリティ保護のため、コンピュータにアクセスできるアクティブ コンテンツが表示されないように、
Ｉｎｔｅｒｎｅｔ Ｅｘｐｌｏｒｅｒ で制限していると、ＨＴＭＬ版、Ｆｌａｓｈ版ともに見られません。ブロックされている
コンテンツを許可してください。（すみません、自己責任でお願いします。）
しかしながら、前の図に直線を１本上手く配置して次の図が得られるのは、ｎ＝８ までで
ある。 ｎ＝９ の場合は、ｎ＝８ の図から得ることはできないようだ。
その原因は、らすかるさんによれば、 ｎ＝８ の場合の特異性にあるという。三角形の最
大個数を与える配置を考えた場合、どうも、ｎ＝８ の場合は３直線が１点で交わらないよう
な配置図は存在しないようなのだ。
したがって、ｎ＝９ の場合の配置図を考える場合、一度、８本目に描いた直線の配置を
変更し、９本目を描かなければならない。
ｎ＝９ の場合についていろいろ直線の配置を工夫してみたが、あちらを立てればこちら
が立たずで結構難しかった。
大いに拙いのですが、ｎ＝９ の場合の配置図は下記の通りである。
（これを作るにあたり、らすかるさんの図を参考にさせていただいた。）
上図では、青が８本目で、赤が９本目である。青の配置を若干修正している。
（平成１７年９月２８日付けで、らすかるさんは上図が、１２０°回転対称形であること
に着目され、下記のような数式を用いて描いてみたと報告された。
９本の直線の方程式は、次で与えられる。（ただし、ｔ≒８２．８０６８）
（ｙ－３)(（ｙ＋６）2－３ｘ2）＝０ 、 ｔｘ2＝（ｙ－１０）2
ｔ（ｘ－
ｙ）2＝（ｙ＋ｘ＋２０）2 、 ｔ（ｘ＋ｙ）2＝（ｙ－ｘ＋２０）2
このとき、直線の交点は全て、原点中心で半径１０の円 ｘ2＋ｙ2＝１０2 の内部に
おさまり、きれいな図を得ることができる。
（コメント： 図が美しすぎます．．．！ 感動的です。） ）
ｎ＝１０ の場合の配置図 → らすかるさん作、その改良版 （見やすいです！）
三角形の数を数えるとちょうど２５個ある。この数が本当に最大なのか、まだ確定してい
ないとのことである。
ｎ＝１１ の場合の配置図 → らすかるさん作
三角形の数を数えるとちょうど３２個ある。上限は３３個であるが、この数が本当に最大
なのか、まだ確定していないとのことである。（→新情報）
ｎ＝１０ までのらすかるさんの調査結果をまとめると
|
となっている。この表では、直線の本数が４以外の偶数の場合に『１減』になりそうな雰囲
気である。
このことから、直線の本数が４本のとき以外は、求める三角形の最大個数は、
（注： [ ]
は、ガウスの記号 ）
かな？？と、らすかるさんは予想されている。
（コメント） もし、これが正しい公式だったら、すごいことになりそうですね！
ここで、田村三郎さんが示されたという三角形の最大個数の上限
ｎ（ｎ－２）/３
がどのように算出されるのか、大いに興味・関心があるところである。
これに対して、らすかるさんが明解に説明してくれた。（平成１７年９月２２日付け）
○ ３直線以上が１点で交わることがない場合
 |
直線の本数を、ｎ とする。（左図は、ｎ＝４ の場合） 左図のように、２つの三角形が辺を共有することがない ので、原則として、３つの線分で三角形１個が定まる。 １本の直線上に他の直線との交点は最大で ｎ－１ 個 あるので、両端を除いて最大 ｎ－２ 個の線分がある。 よって、交点間の線分の総数は最大で、ｎ(ｎ－２) 個 ある。（左図では、８個） したがって、三角形の最大個数は、 ｎ(ｎ－２)/３ が上 限となる。（ ｎ＝４ の場合は、上限は ２ ） |
（コメント） 上図からも分かるように、交点間の線分がすべて三角形の辺になるとは限ら
ないので、出来る三角形の個数も ｎ(ｎ－２)/３ 以下の整数になるわけである。
らすかるさんは、三角形の辺にならない線分のことを、「無駄な線分」と命名されている。
一般には、このような無駄な線分が発生するが、ｎ ＝ ３、５、９ のように無駄な線分がな
い場合もある。
○ ３直線以上が１点で交わることがある場合
 |
直線の本数を、ｎ とする。（左図は、ｎ＝５ の場合） 上図に ｎ 本目の直線を追加するとき、赤点線のような場 合は、上記で調べた通りである。ここでは、ｎ 本目の直線 が既存の交点を通る場合（赤実線）を考える。 このとき、少なくとも３個の線分（左図では例えば①②③） が消失し、多くとも２個の線分（左図で例えば⑦⑧が平行な 場合の④⑤）が増加する。 よって、交点間の線分の総数は、ｎ(ｎ－２) 個より減ること はあっても増えることはない。 したがって、三角形の最大個数は、 ｎ(ｎ－２)/３ が上限となる。 |
（コメント） ｔｗｏ-ｗｅｌｌ さん同様、私も上記の説明に大いに納得し感動しました．．．。
さて、らすかるさんは、三角形の個数がきっちり ｎ(ｎ－２)/３ となる場合について考察され
た。（平成１７年９月２８日付け）
ｎ＝３、５、９ のとき、三角形の辺とならない「無駄な線分」は１本もなく、ｎ(ｎ－２)/３
個の
三角形が出来るが、いろいろパターンを見ていると、
・ 全体が五芒星と六芒星の絡み合った形で構成（ｎ＝３ のときを除く。)
・ 回転対称形
・ ｎ が奇数
の場合に、ｎ(ｎ－２)/３ 個の三角形が出来るように思われる。
用語があるのかどうかわからないが、基本的に星型の延長のような形（無駄がなければ、あ
る直線の両端の交点は三角形の１頂点でなければならず、またその交点は、交わる相手の直線にとって
も端の交点でなければならない。全ての直線は“端の頂点”より先に交点はないので、「正ｎ角形の頂点
を (ｎ－１)/２個ごとに取って出来る形」しかあり得ないと思う。）を、頂点の順番を変えないように変
形して作った形でないと、必ず無駄が出来ると思うので、nが偶数の場合は、ｎ(ｎ－２)/３ に
はなり得ないと思う。
# 実際にやってみたところ、「正n角形の頂点を (ｎ－1)/２個より小さい値ごとに取って
出来る形」では、線分が少なくなってダメであった。
また、五芒星と六芒星のみで構成されると仮定すると、回転対称形の中心は「五芒星」
「六芒星」「三角形」のいずれかになるはずだから、ｎ(ｎ－２) が ３ で割り切れる場合、
・ ｎ の素因数が３と５だけの場合は、ｎ(ｎ－２)/３ 個の三角形が作れる
（素因数に３または５がある奇数なら作れるかもしれない？）
・ それ以外の場合は、ｎ(ｎ－２)/３ 個にはならない
という予想が立てられる。
すると、「ｎ＝１５なら最大になるのでは？」と思われるが、実際に手作業でこれを作って
みたところ、成功することができた！（Word のオートシェイプを使用） → 図、改良版
上図では、１５本の直線で、１５×１３÷３＝６５個の三角形が出来ている。（多分合って
いると思うが、ご確認下さい！）。数えやすいように、回転対称を基準に色分けをした。
赤、紫、ピンク、橙、水色、黄色が各１０個、緑が５個である。
# 予想が当たっていれば、次に出来るのはn=27である。誰か作ってみませんか？
らすかるさんは、『三角形が ｎ(ｎ－２)/３個になる条件』（平成１７年９月３０日付け）に関
して、わかっていることをまとめられた。 → 「ｎ-lines」
ｎ＝６、８ のときに、 最大個数が ｎ(ｎ－２)/３個にならない理由もこれで分かると思う。
（コメント） とても分かりやすいです。
らすかるさんのその後の調査で、ｎ＝１１ の場合は、三角形の最大個数は３２個に確定
したとのことである。（平成１７年１０月５日付け）
ｎ(ｎ－２)/３個の三角形が作れるのは、ｎが５または３の奇倍数に限られることが分かっ
たからだという。 → 参考図
これにより、ｎ＝１１の場合は最大３２個と確定した。
らすかるさんのその後の調査（平成１７年１０月８日付け）で次のことも判明したそうである。
・ ｎ＝１０ の場合、三角形の個数は最大２５個で、２６個は出来ない
・ ｎ＝８ の場合、３直線の交点がないと最大数にならない
・ ３直線の交点は、ｎが偶数の時有利に働き、奇数の時不利に働く
これらについては、こちらを参照。
これで最大値がわかっているものと確率的試行で予想されていたものは、全て解決したそ
うである。
これまでのらすかるさんの調査結果をまとめると、次の表になる。
|
（注） 田村三郎氏の公式によれば、ｎ＝１１のときの三角形の最大個数の上限は、
１１×９÷３＝３３個のはずであるが、１１が３の倍数でないので、３３個の三角
形は出来ないということが、らすかるさんの研究により示されている。他も同様。
さて、らすかるさんは、この問題に対してプログラムを組み解の探究に邁進されている。
プログラムに対して浅学の身で、その探究方法を詳細に述べることは困難だが、次のよ
うな手順で、直線の最適な配置図を探されているらしい。
あり得る全てのパターンを調べることは困難なので、乱数で発生させた直線の配置図
について、三角形の個数を調べるという方法をとることにする。
三角形の発生方法
（１） 整数 Ｎ を適宜定める。
（２） 乱数により、整数 ｙ1、ｙ2 （ ０ ≦ ｙ1、ｙ2 ≦ Ｎ－１）を定める。
（３） ２点（ ０ ， ｙ1 ）、（ １ ， ｙ2 ）を結ぶ直線を考える。
この操作により次々と直線を生み出し三角形を発生させるわけだが、Ｎの値を適切な
値にする（ここらへんが難しいらしい！）と一定の確率で最大解が出現するようになるそ
うだ。
次は、このプログラムにより得られた解である。
直線の本数（３）のとき、 Ｎ＝２ としてよい。
直線の本数（４）のとき、 Ｎ＝２ としてよい。
直線の本数（５）のとき、 Ｎ＝４ としてよい。
直線の本数（６）のとき、 Ｎ＝４ としてよい。
直線の本数（７）のとき、 Ｎ＝６ としてよい。
直線の本数（８）のとき、 Ｎ＝７ としてよい。
直線の本数（９）のとき、 Ｎ＝１５ としてよい。
（らすかるさんのその後の調査で、Ｎ＝８ としても最大解が見つかったそうです。ただし、
１９９７６７７８６７番目（だいたい２０億くらい！）という気が遠くなるような数字です。らす
かるさんによれば、何と４５時間かかったそうです。本当にらすかるさんには頭が下がり
ます。計算には乱数を用いているので、プログラムを改良すると、もしかしたらもっと早く
出現する可能性もあるそうです。）
図が少し混み入っているが、次の直線
（０，７）－（１，０）、（０，９）－（１，６）、（０，８）－（１，８）、（０，０）－（１，８）、
（０，９）－（１，１０）、（０，３）－（１，６）、（０，７）－（１，１３）、（０，１３）－（１，９）、
（０，１３）－（１，１２） （赤字の部分、当初は７でしたが、図の関係で変更）
から、２１個の三角形が得られている。
三角形の個数を数えることは、直線の本数が少ないときは全然苦にならなかったが、段
々本数が増えるに従って、大変になってきた。コンピュータに描かせているとはいえ、厳し
いところに三角形が出来たりで目視でカウントするのは辛いものがある。
これに対して、らすかるさんは「三角形の判定」をコンピュータにやらせ、三角形の個数を
数えるという手法をとられたようだ。
三角形の計数方法 同一直線がないことを確認して、下記により計数を行う。
（１） 全直線の交点の ｘ 座標を求める。ただし、誤差が出ないように分数で計算する。
（２） 各直線毎に交点の ｘ 座標を小さい順にソートする。これにより、ある直線に対して
交わる直線の順番が分かる。
（３） ３直線のうちどの２直線の交点も互いに隣り合っているとき、この３直線により１つ
の三角形が定まる。
（４） ３直線以上が１点で交わる場合や直線同士が平行な場合に注意して、上記（１）～
（３）により三角形の個数を調べることができる。
例 直線の本数（５）のときの計数方法を確認してみよう。コンピュータ出力の結果を視覚
的にまとめた図が左図であるが、出力の都度、図を描いていては時間がかかるので、
出力パターンから三角形の個数を数えようと思う。
 |
平面上のペアとなる２点（ ０ ，ｙ1 ）、（ １ ，ｙ2 ）について、出 力パターンが、例えば、 （ｙ1，ｙ2）＝（３，２）、（３，０）、（２，３）、（２，２）、（０，３） になったとする。５本の直線を、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ とし、 ａ＝（３，２）、ｂ＝（３，０）、ｃ＝（２，３）、ｄ＝（２，２）、ｅ＝（０，３） と略記することにする。 |
実際的には、 ａ ： ｙ＝－ｘ＋３ 、ｂ ： ｙ＝－３ｘ＋３、
ｃ ： ｙ＝ｘ＋２ 、ｄ ： ｙ＝２ 、ｅ ： ｙ＝３ｘ である。
２直線 Ｌ、Ｍ の交点の ｘ 座標を、（Ｌ，Ｍ）と表すことにする。（コンピュータに（Ｌ，Ｍ）の計
算をさせることは、それほど難しくはないだろう。）
（ａ，ｂ）＝０、（ａ，ｃ）＝１/２、（ａ，ｄ）＝１、（ａ，ｅ）＝３/４
（ｂ，ａ）＝０、（ｂ，ｃ）＝１/４、（ｂ，ｄ）＝１/３、（ｂ，ｅ）＝１/２
（ｃ，ａ）＝１/２、（ｃ，ｂ）＝１/４、（ｃ，ｄ）＝０、（ｃ，ｅ）＝１
（ｄ，ａ）＝１、（ｄ，ｂ）＝１/３、（ｄ，ｃ）＝０、（ｄ，ｅ）＝２/３
（ｅ，ａ）＝３/４、（ｅ，ｂ）＝１/２、（ｅ，ｃ）＝１、（ｅ，ｄ）＝２/３
このとき、各直線毎に交点の ｘ 座標を小さい順にソートすると、次のようになる。（ソートさ
せることもコンピュータにおいては難しくない作業だろう。）
（ａ，ｂ）＝０、（ａ，ｃ）＝１/２、（ａ，ｅ）＝３/４、（ａ，ｄ）＝１
（ｂ，ａ）＝０、（ｂ，ｃ）＝１/４、（ｂ，ｄ）＝１/３、（ｂ，ｅ）＝１/２
（ｃ，ｄ）＝０、（ｃ，ｂ）＝１/４、（ｃ，ａ）＝１/２、（ｃ，ｅ）＝１
（ｄ，ｃ）＝０、（ｄ，ｂ）＝１/３、（ｄ，ｅ）＝２/３、（ｄ，ａ）＝１
（ｅ，ｂ）＝１/２、（ｅ，ｄ）＝２/３、（ｅ，ａ）＝３/４、（ｅ，ｃ）＝１
このことから、各直線同士は次の順番で交わっていることが分かる。
直線 ａ → ｂ 、ｃ 、ｅ 、ｄ
直線 ｂ → ａ 、ｃ 、ｄ 、ｅ
直線 ｃ → ｄ 、ｂ 、ａ 、ｅ
直線 ｄ → ｃ 、ｂ 、ｅ 、ａ
直線 ｅ → ｂ 、ｄ 、ａ 、ｃ
隣り合う交点同士に着目して、３直線のうちどの２直線の交点も互いに隣り合っているか
どうかを調べる。
例えば、 直線 ａ → ｂ 、ｃ 、ｅ 、ｄ 直線 ｂ → ａ 、ｃ 、ｄ 、ｅ
直線 ｃ → ｄ 、ｂ 、ａ 、ｅ 直線 ｄ → ｃ 、ｂ 、ｅ 、ａ
直線 ｅ → ｂ 、ｄ 、ａ 、ｃ
より、３直線 ａ、ｂ、ｃ で三角形が１個定まることが分かる。
コンピュータを用いた実際の詳しい計数方法は、らすかるさんに聞くしかないが、このよう
な手順で求めると複雑な図から解放されて、単に交点同士が隣り合っているかどうかの判
断に帰着されるわけで、もっといろいろな場合を求めてみようという気になるから不思議だ。
らすかるさんは、特定のＮに対する全数調査も試みられた。
それによると、
（ｎ，Ｎ）＝（３，２）、（４，２）、（５，４）、（６，４）、（７，６）、（８，７）、（９，８）
が三角形の最大個数を与える最小のパターンとのことである。因みに、
| ｎ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ | ８ | ９ |
| Ｎ | ２ | ２ | ４ | ４ | ６ | ７ | ８ |
| 全パターン数 | ２ | １ | １１３４ | ２０７４ | ２０８９３８０ | １１２７６７８７９ | ６８８５３３０４５２ |
| 最大解パターン数 | １ | １ | ４ | ５ | １６ | １９ | １４ |
| 三角形の最大個数 | １ | ２ | ５ | ７ | １１ | １５ | ２１ |
となるそうである。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんから、「Ｓａｂｕｒｏ Ｔａｍｕｒａ」（多分、田村
三郎氏）が示された三角形の最大個数の上限の個数
ｎ（ｎ－２）/３
が、多少改良された旨のご教示をいただいた。（平成２２年９月２３日付け）
ｎ≡０、２ （ｍｏｄ ６） のときは、１だけ減じることができる
とのこと。（→ 参考論文）
上記の論文には、参考文献として、このページ「三角形の最大数」があげられているとの
ことです。（ＦＮさん同様、私も驚きました！）
Kobon Triangle について、簡単なまとめがあります。ここに次のような記述があります。
Honma illustrates an 11-line, 32-triangle configuration, where 33 triangles is the
theoretical maximum possible.
また、次の記述もあります。
T. Suzuki (pers. comm., Oct. 2, 2005) found the above configuration for n=15, which
is maximal since it satisfies the upper bound of N(15)=65.
２００５年１０月２日というのは、ちょうど「三角形の最大数」が書かれているころで、どちら
が早いか微妙ですが、９月中に書かれているようにも思います。オンライン整数列大辞典
では、ｎ＝１５のときが、「Ｔ．Ｓｕｚｕｋｉ」になっています。いずれにしろ、Kobon
Problem に関
して、２００５年９、１０月ごろは世界の最先端を走っていたかもしれません。
上記のＦＮさんのコメントに対する、らすかるさんからの返信です。
（平成２２年９月２３日付け）
その「Ｔ．Ｓｕｚｕｋｉ」は、私です。N(１５)＝６５を発見したので、ここのサイトで書いた後、
mathworldに投稿しました。確かに当時は世界最先端だったかも知れませんが、他に力を
入れて研究している人がたまたまいなかったのでしょう。その後何も増えてないですが、私
のページも作られました。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２２年９月２３日付け）
前に引用した論文では、ｐｅｒｆｅｃｔ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ について調べているわけですが、ｎ
本
の直線で、ｎ（ｎ－２）/３個の三角形ができる条件について調べているということで、らすか
るさんが、「ｎ-lines」、「ｎ-lines2」のページでされてることの部分集合という感じです。
らすかるさんの考察の方が深いと思います。ただ、「ｎ が３の倍数でない場合は三角形が
ｎ（ｎ－２）/３個になるパターンは、作れないことになります。」との主張は、ｎ＝１７のときに
８５個が実現できていますから間違っていることになります。これについて、らすかるさんに
よれば、4-3の
すると、ａ の反対側は、(３)のパターンにはなることが出来ませんので、再び(２)の
パターンとなります。
という部分に、考え落としがあって間違いだったとのこと。（平成２２年９月２３日付け）
（追記） 平成２８年７月１９日付け
次の図に含まれる三角形の個数を数える問題です。
（解） 三角形の辺にＢＣを含むものは、 ４×５＝２０（個）
三角形の辺にＢＣを含まないものは、 4Ｃ2×5Ｃ1＋4Ｃ1×5Ｃ2＝３０＋４０＝７０（個）
よって、求める三角形の個数は、 ２０＋７０＝９０（個）
（コメント） １つ１つ手で確認しても数えられると思うが、少し大変かな？
以下、工事中！