ベルヌーイのレムニスケート曲線(1694年)といわれる。
（ただし、ａ＞０）
極方程式は、 
例 ａ＝２ のとき、
楕円や双曲線、放物線と同様に、２定点からの距離を用いて、連珠形を定義することが
できる。
連珠形（レムニスケート）は、
同一平面上の２定点Ｆ、Ｆ’までの距離の積が一定な平面上の点Ｐの描く曲線
である。レムニスケートは、ギリシャ語で「リボン状の」という意味である。
ＦＦ’＝２ａ （ただし、ａ＞０） とおく。Ｆ、Ｆ’を結ぶ線分の中点を座標平面の原点Ｏとする。
このとき、 Ｆ（ａ，０）、Ｆ’（−ａ，０） となる。
このとき、 ＯＦ・ＯＦ’＝ａ2 となる。そこで、Ｐ（ｘ，ｙ）とおいて、 ＰＦ・ＰＦ’＝ａ2 を満たす
曲線の方程式を求める。
ＰＦ2・ＰＦ’2＝ａ4 なので、 ｛（ｘ−ａ）2＋ｙ2｝｛（ｘ＋ａ）2＋ｙ2｝＝ａ4
これを展開して、 （ｘ2−ａ2）2＋２（ｘ2＋ａ2）ｙ2＋ｙ4＝ａ4
すなわち、 ｘ4−２ａ2ｘ2＋ａ4＋２（ｘ2＋ａ2）ｙ2＋ｙ4＝ａ4 より、
（ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2ｘ2−２ａ2ｙ2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2）
ここで、 ｘ＝ｒ・ｃｏｓθ 、ｙ＝ｒ・ｓｉｎθ とおくと、 ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 で、
ｘ2−ｙ2＝ｒ2（ｃｏｓ2θ−ｓｉｎ2θ）＝ｒ2ｃｏｓ２θ から、 ｒ4＝２ａ2ｒ2ｃｏｓ２θ
ｒ＝０ は、ｒ2＝２ａ2ｃｏｓ２θ に含まれるので、媒介変数表示は、
ｒ2＝２ａ2ｃｏｓ２θ
となる。
例 上記の式変形から、曲線 （ｘ2＋ｙ2）2＝８（ｘ2−ｙ2）のグラフ
において、２定点Ｆ、Ｆ’の座標が、Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０） であることが分かる。
連珠形において、線分ＦＦ’を両側に延長し、交点をＡ（ｂ，０）、Ａ’（−ｂ，０）とすると、
ｂの値は、ａの値を用いて表すことができる。
すなわち、 （ｂ−ａ）（ｂ＋ａ）＝ａ2 から、 ｂ2＝２ａ2 よって、 ｂ＝
ａ
連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） と、原点を通る直線 ｙ＝ｍｘ を考える。
２式を連立して、 （１＋ｍ2）2ｘ4＝２ａ2（１−ｍ2）ｘ2 より、
ｘ＝０ 、 ｘ2＝２ａ2（１−ｍ2）/（１＋ｍ2）2
このとき、もし交点が存在すれば、 １−ｍ2＞０ すなわち、 −１＜ｍ＜１ でなければ
ならない。
ｍ≦−１ 、ｍ≧１ のときには、原点以外に交点は存在しない。
次に、連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） の極値を計算しよう。
両辺を微分して、 ２（ｘ2＋ｙ2）（２ｘ＋２ｙｙ’）＝２ａ2（２ｘ−２ｙｙ’） から、
（ｘ2＋ｙ2）（ｘ＋ｙｙ’）＝ａ2（ｘ−ｙｙ’）
ここで、 ｙ’＝０ とすると、 （ｘ2＋ｙ2）ｘ＝ａ2ｘ
ｘ≠０ として、 ｘ2＋ｙ2＝ａ2
このとき、 ｘ2−ｙ2＝ａ2/２ と連立して、 ｘ＝±（
/２）ａ 、ｙ＝±（１/２）ａ
図形的に考えて、極値を与える点は４個あり、その座標は、
（±（/２）ａ ，±（１/２）ａ） （複号任意）
である。
連珠形が囲む図形の面積Ｓを求めてみよう。
（コメント） 連珠形の定義式 に含まれる「２ａ2」が、面積の値に
なるんですね！とても美しい関係です。
連珠形の曲線の長さＬを求めてみよう。こちらは、面積の場合と比べて、それほど美しいと
は思われない。
ｒ2＝２ａ2ｃｏｓ２θ の両辺をθについて微分して、 ２ｒｒ’＝−４ａ2ｓｉｎ２θ より、
ｒｒ’＝−２ａ2ｓｉｎ２θ なので、 ｒ2ｒ’2＝４ａ4ｓｉｎ2２θ となる。
すなわち、 ｒ’2＝２ａ2ｓｉｎ2２θ/ｃｏｓ２θ
よって、 ｒ2＋ｒ’2＝２ａ2/ｃｏｓ２θ である。
このとき、
ここで、 ｔａｎθ＝ｔ とおくと、 θ＝０ のとき、ｔ＝０ 、θ＝π/４ のとき、ｔ＝１ で、
ｄθ/ｃｏｓ2θ＝ｄｔ より、 ｄθ＝ｄｔ/（１＋ｔ2）
また、 ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ2θ（１−ｔａｎ2θ）＝（１−ｔ2）/（１＋ｔ2） なので、
これは、楕円積分で、初等関数では表せないし、値を具体的に求めることは出来ない。
具体的な値は求まらないが、いろいろな表現を眺めてみよう。
ｔ4＝ｘ とおくと、 ｔ＝０ のとき、ｘ＝０ 、ｔ＝１ のとき、ｘ＝１ で、
４ｔ3ｄｔ＝ｄｘ より、 ｄｔ＝（１/４）ｄｘ/ｘ＾(3/4) なので、
と書ける。これは、「特殊関数の応用」から、ベータ関数を用いて、
Ｌ＝ａ・Ｂ（１/４，１/２）
と表される。ここで、ガンマ関数を用いて、
Ｂ（１/４，１/２）＝Γ（１/４）Γ（１/２）/Γ（３/４）＝
Γ（１/４）/Γ（３/４）
と書けることから、
Ｌ＝
ａ・Γ（１/４）/Γ（３/４）
とも表せる。
次に、直角双曲線との面白い関係を眺めることにしよう。
直角双曲線 ｘ2−ｙ2＝２ａ2 上の点Ｐ（ｘ1，ｙ1）で接線Ｌを引く。ｘ12−ｙ12＝２ａ2 である。
接線の傾きは、ｍ1＝ｘ1/ｙ1 なので、接線の方程式は、 ｙ＝（ｘ1/ｙ1）ｘ−２ａ2/ｙ1
接線上に点Ｑ（ｘ0，ｙ0）をとると、原点ＯとＱを結ぶ線分の傾きは、 ｍ0＝ｙ0/ｘ0
ここで、Ｌ⊥ＯＱ の場合を考えると、ｍ1・ｍ0＝−１ なので、 （ｘ1/ｙ1）（ｙ0/ｘ0）＝−１
すなわち、 ｘ1/ｙ1＝−（ｘ0/ｙ0） である。
このとき、 ｙ0＝（ｘ1/ｙ1）ｘ0−２ａ2/ｙ1＝−（ｘ0/ｙ0）ｘ0−２ａ2/ｙ1 より、
（ｘ02＋ｙ02）/ｙ0＝−２ａ2/ｙ1 すなわち、 ｙ1＝−２ａ2ｙ0/（ｘ02＋ｙ02）
また、 ｘ1＝−（ｘ0/ｙ0）ｙ1 より、 ｘ1＝２ａ2ｘ0/（ｘ02＋ｙ02）
これらを、ｘ12−ｙ12＝２ａ2 に代入して、
４ａ4ｘ02/（ｘ02＋ｙ02）2−４ａ4ｙ02/（ｘ02＋ｙ02）2＝２ａ2
よって、 （ｘ02＋ｙ02）2＝２ａ2（ｘ02−ｙ02） となる。
これは、点Ｑが連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） 上の点であることを示す。
図示すれば、
上記では割と煩雑な計算をして結果を得たが、次のように簡便に計算する方法もある。
直角双曲線 ｘ2−ｙ2＝２ａ2 上の点Ｐ（ｘ1，ｙ1）における接線の方程式は、
ｘ1・ｘ−ｙ1・ｙ＝２ａ2 ・・・ (*)
この接線に垂直で原点を通る直線の方程式は、
ｙ1・ｘ＋ｘ1・ｙ＝０ ・・・ (**)
(*)×ｘ＋(**)×ｙ より、 ｘ1・（ｘ2＋ｙ2）＝２ａ2ｘ
(**)×ｘ−(*)×ｙ より、 ｙ1・（ｘ2＋ｙ2）＝２ａ2ｙ
よって、 ｘ12・（ｘ2＋ｙ2）2−ｙ12・（ｘ2＋ｙ2）2＝４ａ4ｘ2−４ａ4ｙ2 より、
（ｘ12−ｙ12）（ｘ2＋ｙ2）2＝４ａ4（ｘ2−ｙ2）
ここで、 ｘ12−ｙ12＝２ａ2 なので、 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2）
以上から、直角双曲線 ｘ2−ｙ2＝２ａ2 上の点Ｐにおける接線に原点Ｏから下ろした垂線
の足の軌跡の方程式は、連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） となる。
上記では、直角双曲線 ｘ2−ｙ2＝２ａ2 から連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） が構成
されたが、逆に、連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） から直角双曲線を構成してみよう。
連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） 上の点Ｐ（ｘ1，ｙ1）に対して、ＯＰ・ＯＱ＝１ となる直線
ＯＰ上の点Ｑ（ｘ0，ｙ0）を考える。これは、円 ｘ2＋ｙ2＝１ による反転である。
題意より、 （ｘ1，ｙ1）＝ｋ（ｘ0，ｙ0） （ｋは実数） とおける。
ＯＰ・ＯＱ＝１ より、 ｋ√（ｘ02＋ｙ02）・√（ｘ02＋ｙ02）＝１ なので、 ｋ＝１/（ｘ02＋ｙ02）
このとき、 ｘ1＝ｘ0/（ｘ02＋ｙ02） 、ｙ1＝ｙ0/（ｘ02＋ｙ02）
これらを、（ｘ12＋ｙ12）2＝２ａ2（ｘ12−ｙ12） に代入して、
（ｘ02＋ｙ02）2/（ｘ02＋ｙ02）4＝２ａ2（ｘ02−ｙ02）/（ｘ02＋ｙ02）2
すなわち、 ｘ02−ｙ02＝１/（２ａ2） となる。
以上から、点Ｑ（ｘ0，ｙ0）は、直角双曲線 ｘ2−ｙ2＝１/（２ａ2） 上の点である。
直角双曲線 ｘ2−ｙ2＝１/（２ａ2） の焦点の座標は、Ｇ（１/ａ，０）、Ｇ’（−１/ａ，０） である。
連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） の焦点の座標が、Ｆ（ａ，０）、Ｆ’（−ａ，０） であった
ことを考えると、当然ながら、
ＯＧ＝１/ＯＦ 、ＯＧ’＝１/ＯＦ’
が成り立つ。
例 ａ＝２ のとき、連珠形と直角双曲線のグラフを描いてみよう。
（追記） 令和４年５月２６日付け
上記では、ＦＦ’＝２ａ （ただし、ａ＞０） とし、線分ＦＦ’の中点が原点Ｏのとき、
ＯＦ・ＯＦ’＝ａ2 ということから、 ＰＦ・ＰＦ’＝ａ2 を満たす点Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡を考え、その方
程式 （ｘ2＋ｙ2）2＝２ａ2（ｘ2−ｙ2） を導き、横にした８の字の連珠形のグラフを得た。
そこで、今度は、ＰＦ・ＰＦ’の値をいろいろ変えてみて、連珠形のグラフの変化の様子を鑑
賞してみよう。
ａ＝２ として、 Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０） とする。Ｐ（ｘ，ｙ）とおいて、 ＰＦ・ＰＦ’＝ｃ2 を満
たす曲線の方程式を求める。ｃ＝２ のときが、連珠形 （ｘ2＋ｙ2）2＝８（ｘ2−ｙ2） である。
ＰＦ2・ＰＦ’2＝ｃ4 なので、 ｛（ｘ−２）2＋ｙ2｝｛（ｘ＋２）2＋ｙ2｝＝ｃ4
これを展開して、 （ｘ2−４）2＋２（ｘ2＋４）ｙ2＋ｙ4＝ｃ4
すなわち、 ｘ4−８ｘ2＋１６＋２（ｘ2＋４）ｙ2＋ｙ4＝ｃ4 より、
（ｘ2＋ｙ2）2＝８（ｘ2−ｙ2）＋ｃ4−１６
となる。曲線の方程式に未知変数があるときのグラフ描画では、「GRAPES」が活躍する。
上図において、
ｃ＜２ のとき、 Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０） の周りに卵形ができる。
ｃ＝２ のとき、 横にした８の字形
ｃ＞２ のとき、 原点での交わりは消失し、だんだんへこみも少なくなる。
（コメント） 何となく、お猿さんの顔に見えるのは私だけ．．．？
上記では、２焦点Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０）を考えてグラフを描いたが、焦点がもう少しあっ
たら、どんな曲線となるのだろうか？興味は尽きない。
例 焦点Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０）、Ｇ（０，２）、Ｇ’（０，−２）に対して、
ＰＦ・ＰＦ’・ＰＧ・ＰＧ’＝ｃ2
を満たす点Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡の方程式
｛（ｘ−２）2＋ｙ2｝｛（ｘ＋２）2＋ｙ2｝｛ｘ2＋（ｙ−２）2｝｛ｘ2＋（ｙ＋２）2｝＝ｃ4
を考え、そのグラフを描いてみた。
例 焦点Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０）、Ｇ（０，２）、Ｇ’（０，−１）に対して、
ＰＦ・ＰＦ’・ＰＧ・ＰＧ’＝ｃ2
を満たす点Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡の方程式
｛（ｘ−２）2＋ｙ2｝｛（ｘ＋２）2＋ｙ2｝｛ｘ2＋（ｙ−２）2｝｛ｘ2＋（ｙ＋１）2｝＝ｃ4
を考え、そのグラフを描いてみた。
例 焦点Ｆ（２，０）、Ｆ’（−２，０）、Ｇ（０，２）、Ｇ’（０，−１）、Ｈ（１，１）、Ｈ’（−１，１）に対して、
ＰＦ・ＰＦ’・ＰＧ・ＰＧ’・ＰＨ・ＰＨ’＝ｃ2
を満たす点Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡の方程式
｛（ｘ−２）2＋ｙ2｝｛（ｘ＋２）2＋ｙ2｝｛ｘ2＋（ｙ−２）2｝｛ｘ2＋（ｙ＋１）2｝
×｛（ｘ−１）2＋（ｙ−１）2｝｛（ｘ＋１）2＋（ｙ−１）2｝＝ｃ4
を考え、そのグラフを描いてみた。
（コメント） 焦点の個数や配置、ｃ の値をいろいろ工夫すると、面白そうな図形が描けそう
ですね！
例 焦点Ｆ（３，０）、Ｆ’（−３，０）、Ｇ（０，１）、Ｇ’（０，０）、Ｈ（１，−１）、Ｈ’（−１，−１）、
Ｉ（２，３）、Ｉ’（−２，３）に対して、
ＰＦ・ＰＦ’・ＰＧ・ＰＧ’・ＰＨ・ＰＨ’・ＰＩ・ＰＩ’＝ｃ2
を満たす点Ｐ（ｘ，ｙ）の軌跡の方程式
｛（ｘ−３）2＋ｙ2｝｛（ｘ＋３）2＋ｙ2｝｛ｘ2＋（ｙ−１）2｝｛ｘ2＋ｙ2｝｛（ｘ−１）2＋（ｙ＋１）2｝
×｛（ｘ＋１）2＋（ｙ＋１）2｝｛（ｘ−２）2＋（ｙ−３）2｝｛（ｘ＋２）2＋（ｙ−３）2｝＝ｃ4
を考え、そのグラフを描いてみた。
（コメント） カエルさんかな．．．？
以下、工事中！