以前、大学の教養学部で学ぶ数学と言えば、「微分積分学」と「線形代数学」と相場が決
まっていた。将来、文系方面・理系方面の何れに進むにせよ、学問研究のバックボーンと
しての重要性から伝統的に教えられてきたように思う。
大学で学ぶ微分積分は、高校で学ぶ微分積分とは大きく異なる。決定的に違うところは、
実数論や極限論に習熟し、厳密な理論展開になる点だろう。しかも、扱える関数も膨大に
増える。
大学では、高校で学んだ微分積分の限界を知り、被積分関数が特異点を持つ場合や積
分区間が有界でない場合の処理を学び、ゆくゆくは、リーマン積分とは異なる発想の、測度
論に根ざしたルべーグ積分へと導かれる。
このような新しい積分法の出現は、方程式の解による基礎体の拡大に似ている。ルべー
グ積分では、リーマン積分では可積分でなかった関数が可積分となり、積分できる関数が
飛躍的に増大する。
この途中過程で、ベータ関数やガンマ関数などの特殊関数が目の前に表れ、幾ばくかの
性質を示して、消え去っていく。ベータ関数やガンマ関数については、そのような認識しか
なかった。
しかし、最近、当ＨＰがいつもお世話になっている Ａ’ｚ さんから、ガンマ関数の魅力的な
応用例をご教示いただいた。今まで、ベータ関数やガンマ関数というと、具体的な値が分
かるのは本当に特殊な場合だけで、実際は、数値解析により所要の精度まで求める手法
が奔流であろうということで、あまり顧みなかった。
久しぶりに、ベータ関数やガンマ関数などの特殊関数の名前を聞き、懐かしく思った。記
憶を呼び戻すべく、基本に立ち返って、特殊関数の性質をまとめてみようと思う。
ベータ関数（Ｂｅｔａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）は、次式で定義される。
ｐ＞０ 、ｑ＞０ に対して、
いくつか具体例を計算してみよう。
例
ガンマ関数（Ｇａｍｍａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）は、次式で定義される。
ｓ＞０ に対して、
ガンマ関数については、 Γ（１）＝１ は明らかだが、次の例が最も有名であろう。
例
ここで、
とおくと、
よって、
ベータ関数は次のような性質を持つ。
（１） Ｂ（ ｐ ， ｑ ）＝Ｂ（ ｑ ， ｐ ） ・・・・・ 定義から明らかだろう。
（２） Ｂ（ ｐ ， ｑ ）＝Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ ）＋Ｂ（ ｐ ， ｑ＋１ ）
１＝ｘ＋（１−ｘ） から明らかだろう。
（３） Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ ）＝｛ｐ/(ｐ＋ｑ)｝・Ｂ（ ｐ ， ｑ ）
部分積分法により、 Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ ）＝（ｐ/ｑ）・Ｂ（ ｐ ， ｑ＋１）
ここで、 （１−ｘ）ｑ＝（１−ｘ）ｑ-1・（１−ｘ） を用いて、
Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ ）＝（ｐ/ｑ）・｛Ｂ（ ｐ ， ｑ ）−Ｂ（ ｐ＋１， ｑ ）｝
よって、 ｛（ｐ＋ｑ）/ｑ｝・Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ ）＝（ｐ/ｑ）・｛Ｂ（ｐ ， ｑ ） より、
Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ ）＝｛ｐ/（ｐ＋ｑ）｝・Ｂ（ ｐ， ｑ ）
が成り立つ。
（４） Ｂ（ ｐ ， ｑ＋１ ）＝｛ｑ/(ｐ＋ｑ)｝・Ｂ（ ｐ ， ｑ ）
（３）と同様にして示される。
（５） Ｂ（ ｐ ， ｑ ）＝｛（ｑ−１）/ｐ｝・Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ−１ ）
（４）より、 Ｂ（ ｐ ， ｑ ）＝｛（ｑ−１）/（ｐ＋ｑ−１）｝・Ｂ（ｐ ， ｑ−１ ）
（３）より、 Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ−１ ）＝｛ｐ/（ｐ＋ｑ−１）｝・Ｂ（ｐ ， ｑ−１ ） なので、
Ｂ（ ｐ ， ｑ−１ ）＝｛（ｐ＋ｑ−１）/ｐ｝・Ｂ（ ｐ＋１ ，ｑ−１ ）
よって、 Ｂ（ ｐ ， ｑ ）＝｛（ｑ−１）/ｐ｝・Ｂ（ ｐ＋１ ， ｑ−１） が成り立つ。
（６） 自然数 ｍ、ｎ に対して、
（５）より、 Ｂ（ ｍ ， ｎ ）＝｛（ｍ−１）/（ｍ＋ｎ−１）｝・Ｂ（ ｍ−１， ｎ ）
＝｛（ｍ−１）！ｎ！/（ｍ＋ｎ−１）！｝・Ｂ（１ ， ｎ ）
ここで、 Ｂ（ １ ， ｎ ）＝｛（ｎ−１）/ｎ｝・Ｂ（ １ ， ｎ−１ ）
＝｛（ｎ−１）！/ｎ！｝・Ｂ（ １ ， １ ）
＝（ｎ−１）！/ｎ！
よって、与式は成り立つ。
ガンマ関数は次のような性質を持つ。
（１） Γ（ ｓ＋１ ）＝ｓΓ（ ｓ ）
（２） 自然数 ｎ に対して、 Γ（ ｎ ） ＝ （ｎ−１）！
（この性質から、ガンマ関数は自然数における階乗の一般化になっている。）
（１）と（２）の証明は、「階乗の一般化」を参照。
（３）
ｐ ， ｑ が自然数ならば、ベータ関数の性質（６）とガンマ関数の性質（２）から１００％自
明だろうが、同様の性質が、ｐ、ｑ＞０ としても成り立つところがエライところである。
よく知られた証明をなぞっておこう。
（ただし、 Ｄ＝｛ （ ｘ ， ｙ ） ｜ ｘ ≧０ 、 ｙ≧０ ｝ とする。）
ここで、置換を施す。 ｘ＝ｕ2 、ｙ＝ｖ2 （ ｕ ≧０ 、 ｖ≧０ ）とおくと、
Ｊａｃｏｂｉａｎ は、 ４ｕｖ より、 ｄｘｄｙ＝４ｕｖｄｕｄｖ
なので、 （← 参考：「重積分の計算」）
さらに、置換を施す。 ｕ＝ｒ・ｃｏｓθ 、ｖ＝ｒ・ｓｉｎθ （ ｒ ≧０ 、 ０≦θ≦π/２ ）とおくと、
Ｊａｃｏｂｉａｎ は、 ｒ より、 ｄｕｄｖ＝ｒｄｒｄθ
なので、
ここで、 ｒ2 ＝ ｘ とおくと、 ２ｒｄｒ ＝ ｄｘ より、
で、さらに、 ｃｏｓ2θ ＝ ｘ とおくと、 −２ｃｏｓθｓｉｎθｄθ＝ｄｘ より、
なので、
が成り立つ。
（コメント） 置換積分の手頃な練習問題ですね！でもこの証明方法を初めて考えた人はエ
ライです。多分初見では、まずどうしたらよいか途方に暮れてしまうようなタイプの
問題なので．．．。
（４）
（５）
（６）
この証明はすこぶる難しいが、この結果を用いると、
は直ちに得られる。
（追記） 令和７年１０月２１日付
次の東北大学 前期理系（２００１）の問題は、ガンマ関数が出題の背景にある。
問題 （１） ｎを正の整数とする。ｔ≧０ のとき、不等式 ｅｔ＞ｔn/ｎ！ が成り立つことを数
学的帰納法で示せ。
（２） 極限 Ｉm＝ｌｉｍｔ→∞∫0t ｘmｅ-ｘｄｘ (ｍ＝０、１、２、・・・） を求めよ。
（解）（１） ｎ＝１ のとき、 Ｆ（ｔ）＝ｅｔ−ｔ とおくと、 Ｆ’（ｔ）＝ｅｔ−１
ｔ≧０ のとき、Ｆ’（ｔ）＝ｅｔ−１≧０ なので、Ｆ（ｔ）は単調に増加する。Ｆ（０）＝１＞０ なので、
ｔ≧０ のとき、Ｆ（ｔ）＞０ から、ｅｔ＞ｔ が成り立つ。よって、ｎ＝１のとき、命題は成り立つ。
ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき成り立つと仮定する。すなわち、ｅｔ＞ｔｋ/ｋ！
ｎ＝ｋ＋１ のとき、 Ｆ（ｔ）＝ｅｔ−ｔk+1/(ｋ＋１)！ とおくと、 Ｆ’（ｔ）＝ｅｔ−ｔk/ｋ！＞０
よって、Ｆ（ｔ）は単調に増加し、Ｆ（０）＝１＞０ なので、ｔ≧０ のとき、Ｆ（ｔ）＞０ すなわち、
ｅｔ＞ｔk+1/(ｋ＋１)！が成り立つ。よって、ｎ＝ｋ＋１のときも、命題は成り立つ。
以上から、すべての正の整数ｎに対して、 ｅｔ＞ｔn/ｎ！ が成り立つ。
（２） Ｊm＝∫0t ｘmｅ-ｘｄｘ とおくと、ｍ≧１ のとき、
Ｊm＝［−ｘmｅ-ｘ］0t＋ｍ∫0t ｘm-1ｅ-ｘｄｘ＝−ｔmｅ-ｔ＋ｍＪm-1
両辺を ｍ！で割って、 Ｊm/ｍ！＝−ｔmｅ-ｔ/ｍ！＋Ｊm-1/（ｍ−１）！
すなわち、 Ｊm/ｍ！−Ｊm-1/（ｍ−１）！＝−ｔmｅ-ｔ/ｍ！ より、
Ｊm/ｍ！−Ｊ0＝−Σk=1m ｔkｅ-ｔ/ｋ！
ここで、Ｊ0＝∫0t ｅ-ｘｄｘ＝［−ｅ-ｘ］0t＝１−ｅ-ｔ なので、
Ｊm/ｍ！＝１−Σk=0m ｔkｅ-ｔ/ｋ！ すなわち、 Ｊm＝ｍ！（１−Σk=0m ｔkｅ-ｔ/ｋ！）
ここで、（１）より、ｎを正の整数とする。ｔ≧０ のとき、不等式 ｅｔ＞ｔn/ｎ！ が成り立つので、
ｔkｅ-ｔ/ｋ！＝ｔk+1ｅ-ｔ/（ｋ＋１）！・（ｋ＋１）/ｔ＜（ｋ＋１）/ｔ
よって、 Σk=0m ｔkｅ-ｔ/ｋ！＜Σk=0m （ｋ＋１）/ｔ＝（ｍ＋１）（ｍ＋２）/２・（１/ｔ） → ０ より、
Ｊm → ｍ！ すなわち、 Ｉm＝ｍ！ となる。 （終）
以下、工事中