最小問題                                   戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんからの出題です。
                                       (平成25年2月1日付け)

 t を実数とするとき、√(5t2-16t+20)+√(5t2-26t+37) の最小値を求めよ。

 ※値のみは不可、最小値の導出方法も書いて下さい。





































(答)  GAI さんが考察されました。(平成25年2月1日付け)

 f(t)=√(5t2-16t+20)+√(5t2-26t+37)=√((t-4)2+(2t-2)2)+√((t-1)2+(2t-6)2)

 よって、P(t,2t)、A(4,2)、B(1,6) と置くと、f(t)は、直線 y=2x 上の任意の点PとA、Bの距
離の和を与える。

 この最小値は、2点A、Bを結ぶ直線が直線 y=2x に交わる点に点Pが位置する時(t=11/5)
に与えられるから、求める最小値は、2点A、B間の距離になり、最小値は、5


 らすかるさんからのコメントです。(平成25年2月1日付け)

 正解です。こんなに早く正解が出るとは思っていませんでした。


 S(H)さんからのコメントです。(平成25年2月1日付け)

 参考図 :何処か不備が在ると指摘されそう...。冪をかえて、次なら如何でしょうか?

  √[5t4 - 16t + 20] + √[5t4 - 26t + 37] の最小値を求めよ。


 GAI さんからのコメントです。(平成25年2月1日付け)

 求められなくはないと思いますが、ただ計算が複雑になるだけで、得るものが何も期待で
きないと思います。これを求めたら、こんなことに繋がるということを示していただければと
思います。


 S(H)さんからのコメントです。(平成25年2月1日付け)

 つまらない正攻法と云われそうな気がしないでもありませんが、元の問題だと、危点を求
める正攻法で、次の零点をニュートン法等で求めねばなりませんので、求めることは無駄
ではないでしょう。

  (-8√[37-26t+5t2]+5t√[37-26t+5t2]-13√[20-16t+5t2]+5t√[20-16t+5t2])
  /(√[37-26t+5t2]√[20-16t+5t2])