平成１８年１２月３日、混沌さんの書き込みがあった。
他所のＨＰで次の問題が話題になっているという。
ａ＝ｂ2−２ 、ｂ＝ｃ2−２ 、ｃ＝ａ2−２ を満たす実数 （ａ ，ｂ ，ｃ ） の組のうち、
ａ ，ｂ ，ｃ が整数にならないのは何組あるか？
この問題に対して、当ＨＰがいつもお世話になっている、「らすかる」さんや「我疑う故に存
在する我」さんが解答を寄せている。（詳しくは、こちら → ヨッシーの八方掲示板 29378）
これに関して、「Ｃｈａｏｓ」さんは、
ｆ（ｘ）＝ｘ2−２ として、 ｙ＝ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））の性質
から問題を解こうと提案されている。
計算では、なかなか辛いこの問題も、ｙ＝ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））のグラフを書けば、明らかとなる。
上記のグラフから、方程式 ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｘ の解で整数解でないものは丁度６個あるこ
とが直ちに分かる。
（コメント） 上記で、 ｙ＝ｆ（ｘ） の合成を何回繰り返しても、次の３点
（ ２ ， ２ ） 、 （ １ ， −１ ） 、 （ −１ ， −１ ）
が不動点になるところが興味深いですね！何か別な問題が作れそうです。
（追記） 平成１８年１２月９日付け
上記のグラフを考えているとき、何故かチェビシェフの多項式のことが頭をよぎった。
ｃｏｓｎθ を、加法定理を用いて展開した式において、ｃｏｓθ＝Ｘ として得られる多項式が
チェビシェフの多項式であるが、我疑う故に存在する我さんの解答を見ていると、正にこの
発想が生かされていると感じたからだ。
混沌さんの、１２月８日付けの書き込み
中高１でも頷く易しい問から始め、世界の多くの人々が探求中の超難問達へ誘うべく
例が在りましたので報告まで ； ヨッシーの八方掲示板 29378
を見て、この意を強くした。
チェビシェフの多項式 Ｔ2（Ｘ）＝２Ｘ2−１ は、とても魅力的な性質を持つことが、混沌さ
んの提示された問題から伺える。
上記のＨＰに記載された解法をなぞってみることにしよう。
方程式 Ｔ2（Ｘ）＝Ｘ を満たす点 （ ｘ ， ｘ ） は不動点と言われる。
２Ｘ2−１＝Ｘ より、 ２Ｘ2−Ｘ−１＝０
よって、 （２Ｘ＋１）（Ｘ−１）＝０ から、Ｘ＝−１/２、１
したがって、 不動点は、 （ −１/２ ， −１/２ ） 、 （ １ ， １ ） である。
この不動点は、合成関数 Ｔ2（Ｔ2（Ｘ）） の不動点でもある。
ところで、 Ｔ2（Ｔ2（Ｘ））＝８Ｘ4−８Ｘ2＋１ に対して、この不動点を求めてみよう。
Ｔ2（Ｔ2（Ｘ））＝Ｘ から、方程式 ８Ｘ4−８Ｘ2−Ｘ＋１＝０ が得られる。
上記の事実から、この左辺は、 ２Ｘ2−Ｘ−１ で割り切れる。
よって、 （２Ｘ2−Ｘ−１）（４Ｘ2＋２Ｘ−１）＝０ より、
このとき、
は、興味ある振る舞いを示す。（これは当然かな？）
Ｔ2（α）＝２α2−１ において、 ４α2＋２α−１＝０ から、
２Ｔ2（α）＝４α2−２＝１−２α−２＝−２α−１
解と係数の関係から、 ２α＋２β＝−１ なので、 ２Ｔ2（α）＝２β
よって、 Ｔ2（α）＝β が成り立つ。 同様にして、 Ｔ2（β）＝α
（コメント） 合成関数 Ｔ2（Ｔ2（Ｘ）） の不動点は、４個あって、内２つは写像 Ｔ2 で、自分自
身に移り、他の２つは写像 Ｔ2 で、互いに移りあう関係なのですね！
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが、この話題を考察された。
（平成２３年８月２７日付け）
冒頭の問題において、「ａ ，ｂ ，ｃ が整数にならない」は余り良い表現ではなく、「ａ ，ｂ ，ｃ
が相異なる」と書くべきだと思いますが、要するに、つまらないケースは除くということです。
ｆ（ｘ）＝ｘ2−２ としたとき、ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｘ を満たす実数の個数を問題にするのですが、
そのとき当然含まれる ｆ（ｘ）＝ｘ の解はつまらないから除こうということです。
この話題を多少一般化します。
ｆ（ｘ） を実数係数の２次式とかにするのはちょっと飛躍がありすぎるので、ｆ（ｘ）＝ｘ2−ｋ
(ｋ は実数)にします。
ｋ を実数とし、ｆ（ｘ）＝ｘ2−ｋ とする。ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｘ の実数解で、ｆ（ｘ）＝ｘ の解で
はないものの個数を求めよ。
ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））−ｘ は８次式で、２次式 ｆ（ｘ）−ｘ で割り切れ、その商 ｇ(ｘ) は６次式です。
( ｆ（ｘ）−ｘ ＝０ が重解をもたない、即ち、ｋ≠−１/４ のときは、ほぼ明らか。一般の場合
の証明は、「解の巡回」にある)
よって、問題は、ｇ(ｘ)＝０ の実数解の個数を求めよということです。(証明の必要あり？）
ｇ(ｘ) は、６次式だから、解は高々６個です。当然、実数解も高々６個です。また、ａ が実数
解であれば、ｆ（ａ）、ｆ（ｆ（ａ）） も実数解です。そして、ａ、ｆ（ａ）、ｆ（ｆ（ａ））は異なります。
従って、実数解の個数は、０個、３個、６個のどれかですが、３個はなさそうです。
(６次方程式が重解を持たないで、３個の実数解を持つことはありそうにない)
ｋ＝２ のとき、６個であることは冒頭に書いてあります。
ｋ＝０ のとき、０個であることは容易にわかります。
ｋ＝１ のとき、Maxima でグラフを書いてみたところ、０個のようです。
ｋ＝３ のときは、６個のようです。
一般の ｋ について、解くのはかなり難しいだろうと思います。特定の ｋ やある範囲の ｋ
について何かわかることはないでしょうか。まず、ｋ＝１、３、４ や ｋ＜０ の場合とかで何か
わかることはないでしょうか。ほとんど同じなので、ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｘ の実数解の個数として
もかまいません。「解の巡回」の話題とも関係しますが、直接役にたつことはあまりなさそう
です。ｋ＝２、４ の場合は「解の巡回」の現象が起こります。