当ＨＰ読者の「渋谷教育学園幕張高校数学研究会」さんからの出題です。
（平成２７年９月１２日付け）
９月１３日（日）に本校で文化祭の一般公開（９〜１５）があり、私たちはそこで数学コンテス
トを開催します。宣伝だけではなんなので、没になった問題を一問。
(５p−１)/(ｐ5−１) が整数となる素数ｐを全て求めよ。
（答） よおすけさんからのコメントです。（平成２７年９月１２日付け）
最小の素数ｐは、５。後はまた改めて。
空舟さんからのコメントです。（平成２７年９月１２日付け）
[定理]（ヒルベルトの分岐理論の一番特殊な場合）
ｐが素数の時、(ｎp−１)/(ｎ−１) の素因数は、ｐ または ｐで割って１余る素数に限る
ｐ−１ の素因子は大きさ的にどちらにも当てはまらないので、ｐ−１ は (５p−１)/(５−１) と
互いに素である。よって、(５p−１)/(ｐ−１) が整数となるという要請から、ｐ−１ は、５−１の
約数、すなわち、ｐ＝２、３、５ に絞られることが言えます
Ｓ（Ｈ）さんが直接計算されました。（平成２７年９月１３日付け）
(５p−１)/(ｐ5−１) について、ｐ＝２、３、４、５、６、・・・、２３ を代入して、
24/31、62/121、208/341、1、15624/7775、39062/8403、390624/32767、488281/14762、
3255208/33333、24414062/80525、244140624/248831、305175781/92823、
6103515624/537823、1387162642/34517、50862630208/349525、190734863281/354964、
3814697265624/1889567、9536743164062/1238049、8669766512784/290909、
119209289550781/1021025、794728597005208/1717877、5960464477539062/3218171
渋谷教育学園幕張高校数学研究会さんからのコメントです。（平成２７年９月１３日付け）
空舟さん正解です。お疲れ様でした。ほぼ毎日このサイトをチェックして楽しんでおりまし
て、皆さんすごいなあと思っておりましたので少々難しめのものを、と思ったのですが、あっ
さり解かれてしまいました！
それはさておき、本日学校でこの程度の問題を数題取り揃えておりますので、是非皆様奮
ってご参加ください。(勿論非営利活動です)
（コメント） 空舟さんの解法がちょっと難しかったので別解を考えてみた。
(５p−１)/(ｐ5−１)＝４（５p-1＋５p-2＋・・・＋１）/(ｐ−１)（ｐ4＋ｐ3＋・・・＋１）
ｐ＝２のとき、 (５p−１)/(ｐ5−１)＝２４/３１ で整数にならないので、不適。
よって、素数ｐは奇数なので、ｐ−１は偶数、ｐ4＋ｐ3＋・・・＋１、５p-1＋５p-2＋・・・＋１は
奇数である。
題意より、５p-1＋５p-2＋・・・＋１は、ｐ4＋ｐ3＋・・・＋１で割り切れ、４は、ｐ−１で割り切
れなければならない。すなわち、 ｐ＝２、３、５ である。
このうち、ｐ＝２のときは不適で、ｐ＝３のときも、(５p−１)/(ｐ5−１)＝６２/１２１ で不適。
ｐ＝５のときは、明らかに、(５p−１)/(ｐ5−１)＝１ で整数である。
したがって、求める素数ｐは、５のみである。
＃ 上記の「４は、ｐ−１で割り切れなければならない。」の部分は、言えないのでは？とい
うご指摘をらすかるさんからいただいた。らすかるさんに感謝します。
（平成２７年９月１３日付け）
空舟さんの証明から、ｐ−１と５p-1＋５p-2＋・・・＋１は互いに素であることが分かるので、
「言える」とは思うのだが、上記の説明だけでは不十分でした！
ｐ−１が偶数と言っても奇数の素因数を含む可能性があって、その奇数の素因数が、
５p-1＋５p-2＋・・・＋１を割り切ることもありえるからです。そういうことはないというのが、空
舟さんが引用された[定理]なのですが、やはり、その[定理]なしに証明することは難しいの
でしょうか？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年９月１４日付け）
出題場所から察するに「高校数学+αくらいで解け」という意図ではないかと思われたので、
実際にやってみました。
p=2、3 のときは実際に試すと割り切れないが、p=5 のときは実際に試すと割り切れる。
よって、p=5 が解の1つであるとわかる。
p≧7 に条件を満たす素数が存在しないことを背理法を用いて示す。
7以上のある素数 p が条件を満たしたと仮定する。このとき、 p-1 は偶数で、また、
52 ≡ 1 (mod 8) であることから、5p-1 ≡ 1 (mod8)
よって、 5p-1 ≡ 4 (mod 8) つまり、5p-1 は 8 の倍数ではない。――[A]
一方で、p-1 ≧ 6 > 1 なので、p-1 を割り切るある素数 q が存在する。
p5-1 は p-1 で割り切れるので、q は p5-1 も割り切る。さらに、5p-1 が p5-1 で割り切れ
るということは、q は 5p-1 も割り切る。よって、5p ≡ 1 (mod q) である。
また、5p ≡ 0 (mod 5) であることから q≠5 としてよく、フェルマーの小定理より、
5q-1 ≡ 1 (mod q) である。
ここで、0＜q-1＜q＜p-1＜p より、q-1 は p と互いに素であるので、拡張ユークリッドの互
除法より、a(q-1) - bp = 1 となる自然数 a、b が存在する。
これらを用いると、q を法として、
1 ≡ 1a ≡ {5q-1}a ≡ 5a(q-1) ≡ 5bp+1 ≡ (5p)b×5 ≡ 1b×5 ≡ 5
よって、4≡0 (mod q) であるので、q=2 つまり、p-1 は素因数として 2 しか持たない数で
あり、p-1 ≧ 6 であることからその指数は3以上である。
すなわち、p-1 は 8 の倍数であり、その倍数である p5-1 や、さらにその倍数である 5p-1
も 8 の倍数である。
しかし、これは [A] に矛盾する。したがって p≧7 に条件を満たす p は存在しない。
以上より、条件を満たす素数は p=5 のみである。
＃合同式と小定理くらいなら+αとしてまあ許容範囲でしょう。