S(H)さんからの話題7  (→ )  戻る

 沖縄の海で、海水=塩水(と仮定します)を730グラム採取し、塩分濃度を調べたら激辛で
69%であった。それに真水を加え、薄味化し、1%の食塩水を作り飲んだ。
                                      (平成24年6月30日付け)

 真水は幾ら加えたの? と小學生が解く問題を、飯高先生の代数多様体の講義で論じられ
るideal を持ちだして解いて下さい。(→ 答え

(注) 「69% の食塩水」について、当HPがいつもお世話になっている方より、ご指摘を頂いた。
   食塩の溶解度は温度によらず高々 26% 程度なので、69% の食塩水は存在しない。濃度と溶解度は一寸違
  うが、それにしても明らかにあり得ない濃度です。また、食塩は、鹹いとは云いますが、辛いとは云いません。

  (参考) 「なぜ塩は水に溶けるの?」「塩の用途」「いろいろな塩



 或る仕事を少女A が為すと72時間、少女B が為すと90時間.。其処に仕事を求めた大人
C[j] 達が登場し、(平成24年7月1日付け)

(1) 少女A、少女B、C[1] が其の仕事を為すと、24時間で終えた。大人C[1] 独りに頼むと
  何時間を要しますか?

(2) 少女A、少女B、C[2] が其の仕事を為すと、39時間で終えた。大人C[2] 独りに頼むと
  何時間を要しますか? C[2]に、休憩もとらず違法に働いてと頼むと何日かかりますか?

(3) 少女A、少女B、C[3] が其の仕事を為すと、69時間で終えた。無論、何か変なと云うか
  想定の範囲内の事態で解釈を巧くして誤魔化して下さい。

なる問を説明した。

 問題を、ideal を持ち出し解こうと學生I。(平成24年7月1日付け)

 袋いっぱいの木の実をむくのに、リス君だと12時間、キツネ君だと18時間かかる。リス君
が、8時間働いた後、2人で協力するとき、キツネ君は何時間働けばよいか。

 整理の仕事を5人で始めた。初めの15日間は順調に進んだが、16日目から3人しか働くこ
とができなくなり、予定より8日遅れて仕事が終わった。 この仕事は、何日で終わる予定だ
ったか。ただし、5人の1日当たりの仕事量は等しいものとする。

 five Point に関する証明は、三村征雄・志村五郎 著 「代数学と幾何学」(裳華房)397p
に在ります。また、(8)について、具体的に、平面上に5点を出会った小学生に(少し注意深
く)与えていただき、(8)を用いて、その5点を通る曲線Cの双対曲線を定義に基づき求めて
下さい。先ず、齊次化せねばと参照し、(これが解けないと当然留年で、更に親に経済的負
担をかけてしまうと真剣に解き)そして、その5点に於ける接超平面達を必ず求め、それに対
応する双対曲線上の5点を明記願います。

 小学生に指定していただいたような事例が在ります。それぞれの双対曲線を定義に基づ
き必ず求め愉しんで遊んでください。そして、各曲線 Cについて、そのC上の任意の点pに於
ける接超平面 Tp(C)を求め、∪Tp(C)を塗り絵して気づいたことを記載して下さい。

 直上の問題は、「放物線の内部の点(放物線上の点は除く)から、接線を引けないことを証
明する方法は何でしょうか?」から産声をあげました。

 例えば、問題について、この上に指定してある、各点に対応する双対曲線上の点を求め
て図示して下さい。問題についても、上の如き考察をし、定理を産んで下さい。

 問題等を、Mathematica(Trial )を獲て具現すると、ver が高い8が使うべき言葉ではない
のですが、それは、旧ver コマンドで、ver 8 では云々と煩いことを云う筈です。


 3点(1,3)、(4,2)、(5,-5)を通る円の方程式について、三村征雄・志村五郎 著 「代
数学と幾何学」(裳華房)224pを根拠にして解答が 302p に在る。
                                       (平成24年7月3日付け)

  {{x^2 + y^2, x, y, 1}, {10, 1, 3, 1}, {20, 4, 2, 1}, {50, 5, -5, 1}}の行列式を計算し目的を果たし
た今時の高校生。一番易しい2次の代数曲線の双対曲線を求めることは飽き飽きしたけれ
ども、今回の円の双対曲線を求めようと研究室の面々。

 問題群の例えば、1問目の定義は常識なのでしょうか.... 「無論」と飯高先生代数多様体の
受講生全員がこたえた。(平成24年7月7日付け)

 そして、化学的知識皆無でも、最初の問7:

 Problem: A chemistry experiment calls for a 30% sulfuric acid solution.If the lab supply
room has only 50% and 20% sulfuric acid solutions on hand,how much of each should be
mixed to obtain 12 liters of a 30% solution?

は解けてしまう。

Problem: How many gallons of a 3% salt solution must be mixed with 50 gallons of a 7%
       solution to obtain a 5% solution?

Problem: To make low fat cottage cheese, milk containing 4% butterfat is mixed with 10
       gallons of milk containing 1% butterfat to obtain a mixture containing 2% butterfat.
       How many gallons of the richer milk is used.

Problem: A 100% concentrate is to be mixed with a mixture having a concentration of
       40% to obtain 55 gallons of a mixture with a concentration of 75%.
       How much of the 100% concentrate will be needed?

最後の問題はチェーンソー絡みの問題です。

Problem: A forester mixes gasoline and oil to make 2 gallons of mixture for his two-cycle
       chain-saw engine.This mixture is 32 parts gasoline and 1 part two-cycle oil.
       How much gasoline must be added to bring the mixture to 40 parts gasoline and
       1 part oil?


 「urch.com」に、先ず、「Work = 1 job」と仮定し、Rate = Rate_A + Rate_B + Rate_C Time = ?
                                         (平成24年7月8日付け)
So, we need to find the sum of the individual rates. This can be done by finding the value of
each rate. Fortunately, we have three equations for three unknowns...we just need to set
them up using work equations:

(Rate_A + Rate_B)*6 = 1 、(Rate_C + Rate_B)*10 = 1 、(Rate_A + Rate_C)*7.5 = 1

 行列が好きな発想が在る。Inverse[{{1, 1, 0}, {0, 1, 1}, {1, 0, 1}}] .{1/6, 1/10,1/(7 + 1/2)}を
Wolfram|Alpha」に挿入。

Problem  Emptying a reservoir

An elephant can drink all the water from a reservoir in 4 days.The rhinoceros can drink all
the water from the same reservoir in 12 days, if drinks alone.How long will it take to empty
the reservoir, if the elephant and the rhinoceros drink together?

 こんな問題があったので、これを上の2様の発想で解いてくださいと學生E。

 How long will it take to empty the reservoir, if the elephant and the rhinoceros the
Hippopotamus  drink together?

 これを、上の2様の発想で解いてくださいと學生H。

 ジャイアントパンダのシンシンが出産した赤ちゃんも参加したげな様子を魅せたので作問
しようとすると、目がまだ見えないし、乳は飲んでもまだ水は飲まない諌められた。

 飲まないことが証明できないので試すと、Hippopotamusと象といっしょに飲ますと、
2+0.0001日で飲み干した。

 これを、上の2様の発想で解いてくださいと學生P。


 剰余環(商環)(平成24年7月9日付け)

 k[X,Y,w,t]/<3X-w,6Y-w,(t-1)(X+Y)-2w/3>=k[X,Y,w,t]/<3tw-7w,6Y-w,3X-w>

なので、ideal に対応する零点は、{{X -> w/3,Y -> w/6,t -> 7/3}} で、次のProblem 4が解
決した。

t=7/3 hours = 2.3 hours = 2 hours 20 minutes. The swimming pool will be filled at 9+2:20 = 11:20

と飯高先生の代数多様体の受講者全員が云った。(行間を丁寧に埋めてください)

 次の、他の小中学生の問題達も飯高先生の代数多様体の受講者に倣い解いてください。

Problem 1: It takes 1.5 hours for Tim to mow the lawn. Linda can mow the same lawn in 2
       hours. How long will it take John and Linda, work together, to mow the lawn?

Problem 2:  It takes 6 hours for pump A, used alone, to fill a tank of water. Pump B used
       alone takes 8 hours to fill the same tank. We want to use three pumps: A, B and
       another pump C to fill the tank in 2 hours. What should be the rate of pump C?
        How long would it take pump C, used alone, to fill the tank?

Problem 3:  A tank can be filled by pipe A in 5 hours and by pipe B in 8 hours, each pump
       working on its own. When the tank is full and a drainage hole is open, the water
       is drained in 20 hours. If initially the tank was empty and somenone started the
       two pumps together but left the drainage hole open, how long does it take for the
       tank to be filled?

 曲線c:14958x4-10776x3y+7940x22-2250x2-2552xy3+900xy+638y4-450y2+81=0 につい
て、定義に基づき、双対曲線c*を求めて損はないと學生Dが研究室に持ち込んだ。

 c を即座に「Wolfram|Alpha」に挿入し、これには二重接線が在るわ在るわで、双対曲線に
著名な特異点が在るわ在るわと、想定の範囲内と双対化を具現し始めた。無論、c*の特異
点達を求め、対応する二重接線も図示しようと。

 上で、双対曲線c*を求めて損はないと學生D が言明していますので、此処を訪問される世
界の皆様も必ず具現され損でない 理由を記載願います。

 資料の「5点を云々」は卒業したが、例えば、実例が在るので模倣犯になり、研究室の各自
が5点を与え、研究室のみんなが その代数曲線を定め、易しすぎるけれども、その双対曲線
を多様な発想で求め遊ぼうと提案者が現れ、それも具現中。

 受講生のBがバイト先の高校生に、東海の問題で、「大學生なら如何に解くかを示して!」
と云われた。(平成24年7月19日付け)

  x6+y6=69-1 についても、東海の問題と同様な考察をしてと。

 上の(5)の問題は、「これまでに経験したことのないような易しい問題」ですが、知らぬ存ぜ
ぬのふりをして多様な発想で解くのもよいでしょう。

 c:x4+y4=69-1 の双対曲線c*を多様な発想で求めてみようと飯高先生の代数多様体の受
講生D。(→定義

(5)のときの接線に対応する双対曲線c*の点を求めて、上で具現したc*の方程式(4次より高
次のはず)を満たすことを示し、正しく c^* を求めたことの確認をと。Wも多様な発想で解い
てください。その際、「楕円の接線」に楕円の接線(法線)を求める際、補助円を用いる発想が
あるのも参考にして。
(此処に、楕円 x2/a2+y2/b2=1 の双対曲線に近い記載が在ります。楕円 x2/a2+y2/b2=1
の双対曲線を求めてください。)


 n=2次曲線の双対曲線化ではあまりに侘しいと、mathematicaをゲットした學生KYが以下
を具現した。(平成24年7月21日付け)

 c: x4 - 2x3y + 2x22 + 2xy3 + y4 - 1= 0 の飯高先生の代数多様体の講義の定義等に
よる双対曲線化。(参考図

(1) cが綺麗なのは、左辺を視れば一目瞭然だが、具体的に、例えば、超平面 ax+by=0
  に関して対称とか具現願います。

(2) 変曲点に於ける接超平面が図示してあるが、それを求め、他の変曲点に於ける接超
  平面を瞬時に求めてと學生KY。

(3) 綺麗と云われた4次曲線には二重接線が存在するが、具現することをmathematica で
  頼むと學生KY。

(4) 學生KYは、mathematicaで瞬時に、c(=赤線)の双対曲線c*(=青線)を獲て眼前に披
  瀝しています。

 易しい問:c* の次数は何次? は明日以降の宿題にしようと帰途についた..。


 飯高先生の受講生が去年の過去問を視て(凝視して)、代数曲線の次数を少しあげ、本当
に蠱惑する問達を作成し、研究室に持ち込んだ。(平成24年7月22日付け)

 幾度も凝視願うと、n=2次曲線でない、例えば、c: x4 + 2x3 + 2x2 - 2x - y2 + 1 = 0 の双
対曲線c*の双対曲線(c*)* を本当に求めて元のc になることに果敢にチャレンジしてと。


 method of Lagrange multipliers による説明が在る。(平成24年7月23日付け)

 青枠や紫枠の発想で解いて遊んで下さい。

 Solve Lagrange Multipliers Problems Example 2 Part 1/2 Hi everyone, welcome back to
integralcalc.com. We’re going to be doing a Lagrange multipliers problem today. This one
asked us to use Lagrange multipliers to find the maximum or minimum points of the following
function.

 The function is f(x,y)= x^2+y^2 and they tell us that it is subject to the constraint xy=1.

なる最初の例では、ideal <xy - 1, -k + x2 + y2>=<-ky2 + y4 + 1, -ky + x + y3> で、4次の
-ky2 + y4 + 1=0 の判別式が、16(k - 2)2(k + 2)2で、k=2が答え。

 また、f[x,y]=xn+yn (n=2) の問題は、次数を上げたり、非対称にして、青枠や紫枠の発
想で解いて下さい。

 例えば、f[x,y]=6x4+y4 で、6x4+y4=19 等の等位線を描いて。
(此処のあってはならぬ拡散も考察願います)

 講義の最初の具体例の講義が始まるや否や學生から問題を少し改ざんし、例えば、xy=3
のとき、7x4+5y4 の最小値か、xyz=3 のとき、7x4+5y4+3z4 の最小値の解説にかえて欲し
いとの声が響いたが、聞こえぬふりを教授がされ、講義時間の3/5程度を視た途端こたえが
わかる問の解説を続行された。教授にかわり、xyz=3 のとき、7x4+5y4+3z4 の最小値の解
説を教授の趣旨に沿い為してください。(平成24年7月24日付け)

 資料のを対数変換などせずに、そのまま多様な発想で解きたい。少し記号を変えて、多項
式環 K[X,Y,Z,k]のideal <X+Y+Z-1,X15Y10Z5-k> を考察し、発想で解こうと代数多様体の受
講生が提案し具現中です........。

 多項式環 K[x,y,z,k] のideal I=<x + y + z - 1, x15105 - k> を考え、I∩K[y,z,k]のyについ
ての高次の多項式の判別式を求め、次に、その因数を選択し、zについての高次の多項式
の判別式 定数*k28 (-1 + 15045919506432 k) より、解 k=1/15045919506432。このkで、
代数曲面:x + y + z - 1=0 は、代数曲面:x15105 - k=0 の接超平面となり、接点は、gif の
通りですと學生I。


 飯高先生の述懐を視た受講生達が、例えば、以下の(高校生向けの問題も混在の)問題
群の多様な発想による解説を申し込もうやと。(平成24年7月25日付け)

 xy=5、f*[x,y]=0 のとき、xn+y(n∈{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}) を求めてください。

 xy=5、f*[x,y]=0 のとき、6xn+9y(n∈{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}) を求めてください。


 加法定理等、他でも多くの導出が議論されているようですが、例えば、東京大学が在りま
した。(平成24年7月26日付け)

 加法定理と云いながら、減法定理を先に出し、ごちゃごちゃしすぎで....。私は、<対(Cos,
Sin)扱い>空欄埋め方式が一番自然です。空欄を埋めてください。(→答え

 この超自然な導出法を世界にひろめていただきたいので、是非お願い致します。教科書
にも載せていただきたいのです。(減法定理を先ず導出し、あれこれ云い加法定理など不自然過ぎます

 2次曲線は卒業し、2+1次曲線族:-x3+3x2+y3+1=0、-x3+3x2+y3=0、-x3+3x2+y3-1=0 の
双対曲線族を求めてくださいと飯高先生がお願いを受講生になされた。
                                      (平成24年7月27日付け)

 しかも今回は、試験の前に解決し、しかも問われていないことまでも導出し、追加問題
學生の為になると飯高先生は考査問題に載せられた。

 飯高先生、今年度の受講生に曰く:「ぽかを世界に臆面もなく激白。人間ですもん」

(のおかげで今年度の受講生は、n=2次の双対曲線化は本当に卒業したのでありました)

 そのおかげで、2+1次曲線の双対曲線化を上のようになされた。次年度は、2+1+1次曲線
の双対曲線化出題の予感あり...。予想問題の作成は 誰でも できてしまう。事前に解答を
作成し問題提起願います。

 When real numbers moves in the constraint with x2+xy+y2=6
 Find the range of Range of x2y+xy2-x2-2xy-y2+x+y
   (2012 Kyoto University entrance exam, problem 3)


に漂着した代数多様体の受講生の學生Gが、この解答を講義の視座で解こうと提案し、た
だ今、具現中......(講義の如く、黒板を何枚も使い)。(平成24年7月28日付け)

 「Cyclotomic polynomial」から代数曲線 c[n]:(nth cyclotomic polynomial)*y-1=0 を考え、
その双対曲線 c[n]* を多様な発想で求め愉しみたいと受講生。想定の範囲内だが、知らぬ
存ぜぬふりをして愉しもうと飯高先生の代数多様体の受講者全員。

 c[3];(3th cyclotomic polynomial)*y-1=0 即ち、(x2+x+1)y-1=0 の双対曲線 c[3]* を多様
な発想で求めてください。c[3]* には特異点達が在るので求め、それに対応するc[3]の接超
平面達Tj を求め、c[3]、c[3]* 、Tj をすべて同一平面に図示してください。

 c[5];(5th cyclotomic polynomial)*y-1=0 即ち、(_______________)*y-1=0 の双対曲線 c[5]*
多様な発想で求めてください。c[5]* には特異点達が在るので求め、それに対応するc[5]の
接超平面達Tj を求め、c[5]、c[5]* 、Tj をすべて同一平面に図示してください。

 問題が続々産声をあげ學生諸氏が続けた。c[10]、c[14]、c[105]、・・・。

 円分拡大体を話題にするのなら、既習の体論の具体例として、例えば、
14th cyclotomic polynomial=0 の 解を α とする。他の解を Q[α]の元として表せも具現し
ようと學生E。また、資料の模倣ですね!と傍らの飯高先生が云われた。資料の(5)の80頁の
2に同様の例が上げられているとみんな想起した。


 「Kreisteilungspolynom」から代数曲線c[n]:(nth cyclotomic polynomial)*y-1=0 を考え、そ
の双対曲線c[n]* を多様な発想で求め愉しみたいと受講生。(平成24年7月28日付け)

 想定の範囲内だが、知らぬ存ぜぬふりをして愉しもうと飯高先生の代数多様体の受講者
全員。

 飯高先生は、手書きでc[n]*を描写され、慄いた學生Gはソフトを使い描き、感嘆の叫びを
あげた。そっくり!と。この nth cyclotomic polynomialのnは____.。

 また、「も解問題」については、x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1=0 の解をαとすれば、他の
解のひとつは、σ[α]=-α5 + α4 - α3 + α2 - α + 1 で、σn[α]も解.(n∈{2,3,4,5,6})と。
これでは解を尽くさぬので、他のも解も求めて! と學生G。

 「平面曲線の幾何」を、みんなが鞄から取り出し、「はじめに」に記載されている生協の白石
さんとは別人の白石先生の十進BASICについて、直接たずねるチャンスなので、「媒介変数
表示でない、例えば、上のcも描けるのですか?」 調査してごらんと飯高先生。


 飯高先生の今年度の受講生Cyがスタートは超容易な問題を持ち込んだ。
                                      (平成24年7月31日付け)

(受講生曰く;展開しなさい、なんて思考停止の計算問題にみせかけて懇切丁寧さに感激し
た。即座に、下の3と8をmとnに置換し、壮絶な諸問題が産声をあげると)

 (x - (E^((2πi)/3))^1)(x - (E^((2πi)/3))^2)を展開しなさい。:P3[x]=_______。

 (x - (E^((2πi)/8))^1)(x - (E^((2πi)/8))^3)(x - (E^((2πi)/8))^5)(x - (E^((2πi)/8))^7)を展
開しなさい。:P8[x]=_______。

急所:上のE^((2πi)/8)の冪は、8と互いに素となるべきで事実そうなっていると高校生。

( (x,y)=(P3[t],P8[t])は「判別式と終結式」の16頁以降の如く無論tが消去できて代数曲線
であるので多様な発想で具現し てください。:c:f[x,y]=0   (f[x,y]=________)

 飯高先生の受講生は、代数曲線ときたら即座に多様な発想で双対化をせずにはいられ
ない体質になっており、もう双対化は卒業して体質改善したらと此処をご覧の世界の方々
から云われていることを承知の上で猶愚直に双対化せずにはいられなくただ今、飯高先生
をも巻き込んで双対化中...。無論先ず斎次化しの発想をも....。

 求めたc*の特異点を求め、対応する筈のcの接線を具現し、妙な点を解説願います。今
回提示の學生Cyの真似を、「平面曲線の幾何」の視座で、t---->(x,y)=(P3[t],P8[t])の命
名もし書籍化願います。

 参考資料に遭遇した。それぞれの制約条件の代数曲線cjの双対曲線を求め解決して愉
しもうと學生D。

(1) 制約条件 c:x3 - 6xy + y3=0 に、x2 + y2-k =0 が接するように。

 双対曲線化し、c*: 1 + 32x3 - 24xy - 48x22 + 32y3 = 0 に、-1 + kx2 + ky2 = 0 が接す
るように。多様な発想で叶うが、飯高先生の講義受講者らしく學生Pが多項式環K[x,y,k]
の ideal <1 + 32x3 - 24xy - 48x22 + 32y3,-1 + kx2 + ky2 > を少し吟味し、答はk=18 と。
だれもが答えは制約条件 c:x3 - 6xy + y3=0 なので何もすることなく、明らかに、(3,3) で、
故 32+32=18であってると。

 易しいほど本質が把握できるのでよいが、制約条件はその儘で非対称化し、3x2 + 7y2
3x4 + 7y4 を飯高先生の講義受講者らしく學生Pが為した発想で解こうと學生Aが提案し、た
だ今具現中.....。

 (2)は双対化も為して、上の如く為すのは簡単故、高校生向けにねと。気にして欲しいと黄
色囲みの記載が在るので為すと、計算結果で正確な固有値を視て、嘘の記載はなく、これ
なら微分學不要だし、高校生に紹介しようと学生B。じゃぁ(3)もそうしてと高校生が云うと皆。

 (2)(3)型は高次元に拡張可能なのは明らかなので、ある例を今回の問題に改竄し解くこと
にしようとただ今 學生が為しています。

 問題も多様な発想で叶うが飯高先生の講義受講者らしく學生Pが多項式環K[x,y,z,k]
のideal <x2 + y2 + z2 - 1, -k + x2 + y2 - 4yz + z2> とK[x,y,k] の共通部分が
<1 - 2k + k2 - 16y2 + 16x22 + 16y4> で、これより、
1048576(-1 + k)2(1 + k - 2x2)2(-3 + k + 2x2)2を獲、さらに、8(1 + k)や-8(-3 + k)を獲
k=-1、k=3 と。

 傍らで聴いておられた飯高先生の模倣をし、行間を埋めてと他の學生。

 「2次形式と2次曲線」に、2次曲面が沢山在るので、上の學生Pの視座で為そうとただ今
具現中。また、此処の各2次曲面の双対曲面を多様な発想で求めてみようと過去問の2次
曲線の双対曲線化を、またしても例示

 計算を視ながらと高校生向けを兼ね、學生が、12と互いに素な数をあげ、z12=1 の解の
一つ E^((2πi)/12))の上の冪 (E^((2πi)/12))5 の冪を次々つくり、文字盤上をつたいながら、
1になるまで追い続けてください。Table[((E^((2πi)/12))5)n, {n, 1, 12}]で、同じ現象が生じて
いることを確認してください。

P[12][x]=(x-(E^((2πi)/12))1)(x-(E^((2πi)/12))5)(x-(E^((2πi)/12))n3)(x-(E^((2πi)/12))n4)

を展開し、Z[x]の元であることを確認してください。「Euler's totient function」と上の関わりを
記載願います。

 上で構築したP[12][x] とP[3][x]=x2+x+1 (→ 参考:「オメガ(ω)の真実」)から多項式環
K[X,Y,t] のideal I=<X-P[3][t],Y-P[12][t]> を考えると、いつものように飯高先生の講義の
受講生が問題を携え「ケータイ問題だよ!」と。

I∩K[X,Y] は、<X4 - 6X3 - 2X2Y + 14X2 + 2XY - 12X + Y2 - 2Y + 4> を証明し、代数曲線
c: x4 - 6x3 - 2x2y + 14x2 + 2xy - 12x + y2 - 2y + 4=0 の双対曲線c*を多様な発想で求め
てくださいと。(無論、c*の特異点を求め、cとの関わりに言及)

 先ず、斎次化はしておきます。

   x4 - 6x3z - 2x2yz + 14x22 + 2xyz2 - 12xz3 + y22 - 2yz3 + 4z4=0

 此処まで聴いた受講生は全員鞄から「平面曲線の幾何」を取り出し、何か飯高先生が命
名されたCS曲線、S曲線、C曲線、次数(m,n)のChebyshev曲線等に似てない? と。
(特に、今回の例で、12p、13p、14p....辺りの考察をしようと)


 前に遭遇した黄色枠達が自明だと云う経済學専攻の學生に邂逅した。
                                       (平成24年8月1日付け)

 「何故、自明なの?」と説明を求めると、資料1資料2とどちらもスカラ- がλと書いてある
じゃんと煙に巻く経済學専攻の學生。

 黄色枠に拘ろうと提案の學生Y。先ず、易しい右下で確認しようと。上から目線で命令して
もと。こんな命令でもと。(ただし、Invese なしで)なんだかJordanが通じる人が応えたくてウ
ズウズしてるみたいねと研究室の面々。

 じゃ、早稲田の大学院試の問題で、Jordanが通じるか試そうやと。問題は、

 g[x,y,z]=6x2+5y2+7z2-4xy+4xz と切り出すや否や悉皆の學生が挿入。みんなぱちぱち
と手を叩いた。問題を全部云っていないのにとY。

 g[x,y,z]=1 のとき、f[x,y,z]=ax2+by2+cz2 (ただし、a=1、b=1、c=1とする)の極値を
の問2、3 に倣い、2様の発想で解いてください。

 それが問題なら、もう解けているも同然と學生Eが再掲。ここのSの列vector が直交にも
留意し、黄色枠を信じた學生は、次のように為し、正確な1/λ達を求めた。

 「平面曲線の幾何」で、飯高先生の命名による20p 多項式曲線に魅かれて、(21pのC(t)=
C(x,y)の視座に慄き)學生Eが多項式環K[t,x,y]に於けるideal <x - (-4t3),y - (1/2 + 3t2)>
は、(平成24年8月2日付け)

27*x^2 - 16*y^3 + 24*y^2 - 12*y + 2, 4*t*y - 2*t + 3*x, 9*t*x + 4*y^2 - 4*y + 1, 6*t^2 - 2*y + 1

(を誤魔化さず必ず証明し)と切出し、2次曲線ではない 27x2 - 16y3 + 24y2 - 12y + 2=0 を
話題にし始めたので、受講生全員がPCを開き挿入し、周知の名の特異点の在る想定の範
囲内の代数曲線だと唱和(し、その双対曲線も直ぐ求めようと具現中)。(もう求めてしまった
學生は、c*が長すぎて挿入できないかもと不安顔)

 學生Eは続けた 27x2 - 16y3 + 24y2 - 12y + 2=0 がギリギリだが、それの上部の、例え
ば、点(1/2,3/2) からの距離の平方を考え、ideal <y-x2,(x - 1/2)2 + (y - 3/2)2-k> は、

<4*k^2 - 8*k*y^2 + 16*k*y - 20*k + 4*y^4 - 16*y^3 + 36*y^2 - 44*y + 25, 2*k + 2*x - 2*y^2 + 4*y - 5>

に等しいことを示し、yに関する方程式 4k2 - 8ky2 + 16ky - 20k + 4y4 - 16y3 + 36y2 - 44y + 25=0
判別式を「判別式と終結式」を読み(今まで何度熟読したことかと 學生)本気で求めると、

256k3 - 1408k2 + 2208k - 725 が獲られることを示し、其の零点達を求めて、円
(x - 1/2)2 + (y - 3/2)2=k 達を描くと、想定の範囲内通り、易しい2次曲線 y-x2=0 に接して
いることを図示もし、各接点に於ける接線と法線を求め図示してくださいと學生E。

 研究室の面々は、上の問題は資料の模倣で、制約条件 y-x2=0 のもとで、
f[x,y]=(x - 1/2)2 + (y - 3/2)2 の極値を求めよと云う問題は、多様な発想で解けるが、我
ら飯高先生の受講生らしく、上の如く、ideal を駆使し求めよに発想を指定したのだなと。

 模倣ならだれでもできてしまうと學生M(手書きで、y=x2とy=x4 のあまり差異がないような
人)が制約条件 y-x4=0 のもとで、f[x,y]=(x - 1)2 + (y -69)2 の極値を求めよと云う問題を
多様な発想で発想で(特に、上のideal を持ち出すのは必ず為して)求めようと、ただ今具現
中.....。無論、多項式環K[t,x,y]に於けるideal<x - (-4t3),y - (1/2 + 3t2)>に類した記載を
為し!學生達は一服しながら今回ほど題意(距離感覚が在る世界の悉皆の人、諸動物、生
物に)が理解できる問題はないと 學生達。

 左の問題が解ければ、右は瞬時に解ける。逆も然り。超気持ちイイと上の発想達をみて
學生北島は叫んだ。

 の4次の代数曲線 c は、「Kreisteilungspolynom」のペア t--->(x,y)=(Φ3[t],Φ12[t])
から獲たと受講生P。(平成24年8月3日付け)


 「平面曲線の幾何」の次数(n,m)のChebyshev 曲線等の命名の真似を為し、後世に残る
べく(3,12)の_______曲線と命名したいので、その名を募集と學生P。學生Pは受講生に以下の
ような問達を投げかけた。

(1) 赤線cの双対曲線c*を或る発想で求めて青線になった。多様な発想で、そうなることを
  示してください。

(2) 青線を視た學生が異種の特異点が在る。尖点が視えるので、もとのcには変曲点が在
  る筈で確かに在りそうなので、尖点の方からcの変曲点に於ける接超平面を求めようと
  提案し具現中。まだ、双対曲線c*を導出途上にある學生は高校生でも為しそうだと直に
  cの変曲点に於ける接超平面を具現中...。

 青線の特異点達を求め、青線も視ると、通常二重点が在ることが判明したので、それを用
いて、c の二重接線を求めようと具現中。まだ、双対曲線c*を導出途上にある學生は高校
生でも為しそうだと直にcの二重接線を具現してしまった。

 簡単そうにみえる図示してあるあの曲線がこんなに次数が高いとは想定の範囲外で未知
との遭遇と。この双対曲線を求めずにはいられない体質の受講生がただ今多様な発想で具
現中.......。ペア t----->(x,y)=(Φ3[t],Φ12[t]) をかえて、上の如き考察を為そう云いだす
學生在り....。

 「Kreisteilungspolynom」と(Φm[t],Φn[t]) は「選り取り見取り」で、係数は殆ど至る所 -1、
0、1 で終わりの方に、2 や 3 が出現するのを見つけ自ら導出し....。まだ命名は考え中で、そ
の名は________曲線と一夜寝て明日までに歌えるようにしようと。歌にある浜木綿は猛暑に耐
えられず、遊泳中にも視つつ上問を考えたと 學生P。(→ 資料


 資料と「包絡線」と飯高先生の受講者Vが色つきのペーパーを携帯し発問しようとすると、
気配を察知した研究室の面々は自ら色々云われなくても考察すべき諸問題を自分に課し、
多様な発想で解き始めた.......。(平成24年8月4日付け)

 Vは出番がないのを悲しみ且つ愉悦し、解き終えるまで寡黙を貫こうと岐路につき就寝し
た。夜明け前が愉しみだと......。仲間は、資料を視て、自ら色々云われなくても考察すべき諸
問題を自分に課し多様な発想で解き始めた...。


 草色のC曲線から、その法線族の包絡線の代数曲線としての表現を為し、自らに課題を
課し考察した受講生Pが、今度は次の草色のC曲線から同様な考察を為そうと挑み始めた。
                                       (平成24年8月5日付け)

 その際、加法定理を用いて獲るMultiple-argument formulas:Cos[6t]を挿入等を使用し草
色のC曲線の代数曲線としての表示を獲た。赤線の代数曲線としての表現は、やりがいが
あるのでぜひとP。「平面曲線の幾何」を鞄から全員が取り出し、9pを視た學生は、6次の代
数曲線であることの証明は在るが、具現化は何故か飯高先生は控えておられると。赤線
代数曲線としての次数も飯高先生の線を引き交点数を視る論法で判明なのか?と試行中....。

 媒介変数表示の曲線: t--->(x,y)=(円分多項式Φn(t),m次のチェビシェフ多項式Cm(t))
から多様な発想で代数曲線化したものが、なんの変哲もない草色の道で 6次の代数曲線
である。學生Pが俎上にあげたのはどのペアか。n=___、m___。実際、これからtを消去して、
2+4次の代数曲線cを導出してください。學生達は、{t4 + t3 + t2 + t + 1,4t3 - 3t}かなぁと
Wolfram|Alpha」に挿入し、違うなぁと試行し始めた。そんなのは、挿入するまえから4次の
代数曲線で上の6次とは異なることがわかると云う學生在り。それより草色曲線が6次の代
数曲線の方が想定の範囲外だと云う學生が多かった。赤線は何次か下を視る前に想定の
範囲内だと云われる講義者が世界に存在するであろうかとも。

 古典的な微分幾何を多様体履修の際も自学した學生Bが運転免許もとり草色の如き道c
なら赤線の如きcの法線族の包絡線も視える。

 「Wolfram|Alpha」には狭くて、上が挿入不可なので他の方法で赤線となるか確かめてくだ
さい。(上の長大な方程式の表す図形は手書き可能と受講生は皆云う)「PARI/GP」に描い
てもらおうと云う學生在り。「algebrahelp」で、それぞれ円分多項式Φn(t)、m次のチェビシェ
フ多項式Cm(t)は描けるが...。

 草色の曲線の曲率 k(x,y) を問20 で求め、k(x,y)=0 を紫線で図示し、cとの交点を求め、
cの変曲点を紫点達と表示した學生P。

 此処に具現されている草色線、赤線、紫線の双対曲線、草色線*、赤線*、紫線*を求めず
にはいられないとただ今受講生がそれぞれの発想で具現中.....。


資料の先の問題群を解きながら今度は隠匿せず媒介変数表示の曲線: t--->(x,y)=(円分
多項式Φn(t),m次のチェビシェフ多項式Cm(t)) のn=5、m=6 のペア

   (x,y)=(t4 + t3 + t2 + t + 1, 32t6 - 48t4 + 18t2 - 1)

から同様な全てのことを模倣し愉しんで為そうと提案する學生M。(平成24年8月6日付け)

で、ただ今具現中。すべてをきちんと為すには相当頑張る必要が在ると徹夜中.....。

 n=5 は懐かしいと全員。t4 + t3 + t2 + t + 1=0 は解けてしまい、どれでもいいからひとつを
αとすれば、他の解もαの3次以下の多項式で一意的に、α2、α3、 -1 - α - α2 - α3
表されると。どうしたら、そんな「も解」問題が解けるの?」と云う學生在り。「変身願望果たせぬ
」からだよと學生達。

 例えば、σ[α]=α2 - 5α + 6 で、σn[α]を求めると、解全体を亘り歩き尽くすが、最後の
はどうよと。學生諸氏はただ今思考中....。他に、摘み食いが可能な箇所はないか受講生は
探しはじめた。(→ 資料初等代数学

 「代数幾何学」の72pを開きながら、このE には変曲点が在る筈なので、その双対の、即ち、
もとのcの特異点を求め、変曲点に於ける接超平面を求めた。

 これらとEを同一平面に描くのは簡単だからと具現し始め、確かに接していることを視た。
微分幾何を履修済の學生は、Eの曲率を求め、これとEの共通零点を求めて、変曲点を再確
認し皆安堵した。まだ、他に【摘み食い】 が可能な箇所はないか受講生は探しはじめた....。


 飯高先生の代数多様体(次元1、2、.......の、特に最低次元の 1次元代数多様体の)講義の
受講者D1が次の草色の最低次元の代数多様体から自然に産まれる諸問題達を視れば問
題の意図が瞬時に判明すべく研究室にもちこんだ。(平成24年8月7日付け)

 資料を凝視し、この諸々の問題群が誰にも赤裸々になるべく表現したので、最低次元の
諸問題と雖も真摯に立ち向かい、此処に導出過程を隠匿せず明記願うとD1。

 草色の6次の最低次元の代数多様体から始めて、すべてを本当に解いた方は、赤線から
出発し、「Elliptic curve」の視座から考察開始を願うと學生D1。


 読んで字の如く、硬頭學校は卒業したので柔軟に!臨機応変に!と日頃指導教官から云
われ続けていた他學部の學生が以下をじっくり読んでと飯高先生の研究室に持ち込んだ。
                                        (平成24年8月8日付け)
 参考資料を本当にじっくり読んだ學生諸氏が、こんな身の上相談も在りと。

 定義1.2を視た受講生全員が一斉にせーのと昔取った杵柄やと具現した。
(ほんとうはもっと具現したが、「長過ぎるとクレームを予感しはしょった!」)

 傍らの飯高先生は、自分が書籍12pに記載した定義とは異なるが如何なる発想で上を導
出したか隠匿せず記載してと懇願された。第n種(n=1、2、3、4、5、6、...、69、...)のうちの第1
種のChebyshev polynomials は、参考資料がと思いきやこんな定義も在るのかぁと。それを
聴いた受講生が呻いた。「テストに出たらどーしようっ!......どのChebyshev polynomialsかわか
んない.......」いつまでも「テストに出たらどーしようっ!...」と叫ぶ學生に、かく云わしめる罪は教
授側に在ると反省し、今後は、例えば、第5種のChebyshev polynomialsとすると、定義を明
確に記載し考査問題を作成しようと 學生に激白され、學生は定義がきちんと明記されていて、
それなら「こまっちゃうなぁ------」と惑うことなく問題に専念できると感謝した。

 以下の重要な続編を用意しつつ、此処まで記したが寝なけりゃ体がもたんと學生K。

 資料1資料2資料3

 研究室の誰もが今回の定義の対から構築される、例えば
<-T4+4T2+x-2,y-T(T4-5T2+5)>∩K[x,y]=<x5-5x3+5x-y4+4y2-2> の零点である5次曲線を
考察し始め、飯高先生の16p との微妙な相違点も気にし、双対曲線等も考察し始め今夜も
眠れないとただ今体中で喜びを表現しています。

 飯高先生は、上記文献を深読みされて、その先を論文化しようと取組始められ、いつもの
ように徹夜された...。文献も入手し....。

 「有限拡大体の性質」の(横浜市立大学)の問題が、奥川光太郎・桑垣 煥・河合良一郎・
森 毅 執筆の論文の18pに在る体論で、円分方程式を履修時に偶然みつけたと學生Cが
研究室で吐露。森 毅先生達の模範解答が在る筈よ、なんて書いてあった?と皆。學生 C
が丸写しのノートを開いた。

 7=1 、1+z+z2+・・・+z6=1 を用いて、与式の左辺を計算する。

 HN「zk43」さんからのコメントです。  (平成23年10月10日付け)

 問題1 を、 1/(x+1/x)+1/(x2+1/x2)+1/(x3+1/x3) と書きなおして、
と。草色下線

を用い、x6+x5+x4+x3+x2+x+1 = 0 、T = 1/x + x から獲られる

  -1 - 2*T + T^2 + T^3 = 0 と Y = 1/T + 1/(T^2 - 2) + 1/(T^3 - 3*T)

を頑張って「Wolfram|Alpha」に挿入し、答えが出ると學生諸氏。

(横浜市立大学=奥川光太郎、桑垣 煥、河合良一郎、森毅 著18p)の問題の模倣問題を創
作し解こうと學生Mが提案した。何時も模倣ばかりしてるのネと周囲から揶揄気味に云われ
た學生Mは「こだまでしょうか」「いいえ誰でも」と呟き、周囲の人たちは恥じらいをみせた。

1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16=0 と T=1/x+x から獲ら
れる 1-4T-10T2+10T3+15T4-6T5-7T6+T7+T8 を使い、

(1) x/(1+x2)+x2/(1+x4)+x3/(1+x6)+x4/(1+x8)+x5/(1+x10)
                               +x6/(1+x12)+x7/(1+x14)+x8/(1+x16)=4

(2) x/(1+x2)+x2/(1+x4)+x3/(1+x6)+x4/(1+x8)+x5/(1+x10)+x6/(1+x12)+x7/(1+x14)
  +x8/(1+x16)+x9/(1+x18)+x10/(1+x20)+x11/(1+x22)+x12/(1+x24)+x13/(1+x26)
  +x14/(1+x28)+x15/(1+x30)+x16/(1+x32)=8

の証明をし、問(3)(4)....と、問いを創作してください。(1)(2)を視た學生Eが右辺を空欄にして
穴埋め問題にしてと懇願した。選択肢方式でもいいとも。

 要望を受け入れたところ、學生Eだけでなく全員が瞬時に穴を埋めた。もとの証明は7分た
ったが、まだ進行中の様子である......。QED まで待つことにした。

 (大阪薬科大学)の問題も穴埋めだと云い、全員が瞬時に穴を埋めた。

 資料の「Dickson polynomials」って気になると學生が検索し、1954まで存命だぁと叫んだ......。

 色分けし、題意が一目瞭然となるべく務めたので視て深読みしてと代数多様体の受講生I
が研究室に問題を携えてきた。先ず、Chebyshev多項式の二様の定義から第5番目の其れ
から図のidealを構築することから始めた。後は視て題意を読んでと。

 「平面曲線の幾何」の1.3 C 曲線とチェビシェフ曲線近傍の模倣問題であることは皆知っ
ているので鞄から取り出し、上問達で数時間愉しもうと考察を開始し、ただ今具現中......。
平面曲線の本の名に恥じぬように、数多くの曲線のグラフを載せた。平面代数曲線の名に
恥じぬように、数多くK[X,Y]/<f[X,Y]> を考察しようと.........。


 f(x)=x3/3-x2-x+8/3 上の相異なる2点P、Qにおける接線が平行であるとき、Pにおける
法線がQを通るようなPの座標を求めよ。解法をご教示ください。(平成24年8月9日付け)

なる迷える羊の丁寧な懇願に飯高先生の受講生は真面目に対峙し、-x3/3+x2+x+y-8/3=0

の双対曲線はと多様な発想で求め、4x3 - 15x2y + 66xy2 + 18xy - 23y3 + 18y2 +   9y = 0

 求めたい接超平面線が Ax+By+1=0 で以下に帰着し、

{-(x1^3/3) + x1^2 + x1 + y1 - 8/3, A*x1 + B*y1 + 1, -(x2^3/3) + x2^2 + x2 + y2 - 8/3,
A*k*x2 + B*k*y2 + 1, 4*A^3 - 15*A^2*B + 66*A*B^2 + 18*A*B - 23*B^3 + 18*B^2 + 9*B,
4*A^3*k^3 - 15*A^2*B*k^3 + 66*A*B^2*k^3 + 18*A*B*k^2 - 23*B^3*k^3 + 18*B^2*k^2 + 9*B*k,
-(A*K) + x1 - x2, -(B*K) + y1 - y2, -(A*L) - x1^2 + 2*x1 + 1, 1 - B*L}


の共通零点を求め、例えば、{A -> 1/(2 Sqrt[3])、 B -> -(1/(2 Sqrt[3]))} を獲て、図示し、
完璧やろと云い放った。

 赤線は黄色枠の問題を或る発想で解く過程で産声をあげた。今は赤線の探訪に専念しと
研究室に問題を携え受講生の學生Yが入室した。

(1) 赤の4次の代数曲線cには二重接線が在り、実際それらを図示することは線が引ける
  幼児にも判明。それを資料の視座(11p-12p)ではなく18p以降の視座から求めてくださ
  いとY。皆、鞄からその書籍を取り出し双対曲線c*を多様な発想で求め始めた。

(2) 本当に求めたc*を明記し、その特異点を本当に求め対応するcの接超平面を求め
  し、二重接線の正確な本数を数えてください。

(飯高先生は、二重接線が一本だからつまらないというひとがいるかもしれないと12pで、
 (x^2+1)*y-(x^4-x^2)=0 を「Wolfram|Alpha」に挿入しつつ、飯高先生は複素二重接線をも
考察される。)

(3) 上で数えた二重接線以外の接超平面が存在する。それに対応するc*の特異点を記し
 てください。

(4) 赤線の法線族をいっぱい描いて浮き上がる尖閣の尖点が現れる曲線Eが代数曲線な
 ることは自明だと云わず本当に求めてください。無論、E*も求めずにはいられない受講生
 たちであります。

(5) 赤線は黄色枠の問題を或る発想で解く過程で産声をあげたと申しましたが、それが出
 現する発想で黄色枠の質問の解答を作成してください。

 代数多様体の受講生は真ん中の黄色□枠の視座、即ち、双対曲線を求め、青線で図示
し、それから黄色枠の問題を壮絶な計算を為し解き草色で明記すると 學生Y。

(6) Yの激白した壮絶な計算の過程を行間を埋める必要のないようにレポート用紙数枚に
 記し、研究室の机上にと飯高先生。提出すれば御利益が在ることを体験済みの學生は
 取り掛かり始めた...。徹夜しても為すと意気込み....途中段階であるが、もうレポート用紙5
 枚を要してまだ終わらない....。


 直前のを飯高先生の受講生諸氏が具現しながら、「Trott_curve」に掲げてある「Julius
Plucker
」も気になるが、それ以上に、[2] Shioda (1995) が気になり、「abc 定理, 楕円曲面,
モーデル・ヴェイユ格子
」の塩田 徹治(名誉教授)を拝顔し、「Trott_curve」を考察し始め直
前のを再考察し始めた。(平成24年8月10日付け)

 此処に世界に提示してある二重接線と資料を見比べつつ.......。先の資料から、

 The Trott curve and seven of its bitangents. The others are symmetric with respect to
90° rotations through the origin. In real algebraic geometry, a general quartic plane curve
has 28 bitangent lines, lines that are tangent to the curve in two places. These lines exist
in the complex projective plane, but it is possible to define curves for which all 28 of these
lines have real numbers as their coordinates and therefore belong to the Euclidean plane.

を探る途上で、参考資料に漂着し道草を食むことにしようと學生H。易しい制約条件の下で
の問題は、我ら代数多様体の受講生は如何に解くかと唆すと、即座に多項式環 K[x,y,k]
のideal を持ち出し、紫枠と茶色枠の解答達を黒板に書いた。傍らの飯高先生はもう「何度
も云う」がideal I1がI2になるとき行間を必ず埋めるようにと。

 受講者全員が「デカルトの精神と代数幾何」を鞄から取り出し、此処の英文の代数曲線 c
は、14p と略同じだから先生のその頁の発想ではなく双対曲線c*を求めて、c* の特異点を
求めることによりcの変曲点を求め、その点に於ける接超平面を求めずにはいられない。色
分けし、即座に全員が多様な発想で具現した。學生が求めたc*に過ちは尖点が在る青線グ
ラフも添えてあるのでなさそうだが、4次曲線c* の双対曲線を求めて確認するのも無駄では
ないと飯高先生。

 書籍14pの発想や曲率を求めての視座からも、今回の変曲点も求めようと具現し始めた。

(x2 + 9)y - 36= 0 の曲率は -(6(x2 - 3)(x2 + 9)y/(4x22 + (x2 + 9)2)3/2) だから、これから
変曲点を即座に獲ると代数多様体受講生らしく媒介変数表示ではない方の曲率を求めた學
生K。

-(6(x2 - 3)(x2 + 9)y/(4x22 + (x2 + 9)2)3/2) を「Wolfram|Alpha」に挿入し鑑賞をもとK。

 自家用車通學の學生は、

(x2 + 9)y - 36=0、-(6(x2 - 3)(x2 + 9)y/(4x22 + (x2 + 9)2)3/2)=0、x2 + (y - 23/8)2=81/64

は視えているのだが図示して鑑賞してと云った。傍らの學生は、(x2 + 9)y - 36 = 0 の法線
族の包絡線Eを求めて、これも図示してと。Eの双対曲線も求めずにはいられない体質にな
り果てた受講生は多様な発想で具現化中....。

 道草も楽しいけれど、あの血が逆流絡みの「Quartic Curves and Their Bitangents」(Bernd
Sturmfels, UC Berkeley joint work with Daniel Plaumann and Cynthia Vinzant)も研究しよう
と受講生は取組始めた...。

 直前のに大事な追記を致します。上から辿ると、多様体の講義の際、自學した「曲線と曲
面の微分幾何(1982)」(裳華房)の著者の資料1資料2資料3等に漂着し驚愕したぁと、
(x2 + 9)y - 36=0 の法線族の包絡線Eを求めてと云った學生。

 「曲線と曲面の微分幾何(1982)」を開きながら、自動車通學生がE なら視えてるのでと手書
きを誇るので、我ら代数多様体 受講者が総力をあげて代数多様体受講生らしく具現。視た
こともない高次代数曲線を描いたところ、自動車通學生が手書きしたのと合致し、手書きには
驚く理由が皆無だが と無免許運転で会得した學生が、具現した高次曲線に慄いた。

グラフ描画についての指針
 グラフを調べる場合、次のことを念頭において計算を進めればよい。
(1) 曲線の存在範囲(Existence)や座標軸に対する対称性(Symmetry)
(2) 座標軸との交点(Intersection)や曲線上の特殊な点の座標(Special point)
(3) 関数の増減と極値(One)
(4) 関数の凹凸と変曲点(Two)
(5) 漸近線(Straight line)
を読み、描写しようと挑んだが挫折したと飯高先生の代数多様体の受講生。傍らの飯高先生
ももとの曲線を隠匿されたら、これを深く追跡し描く努力を死ぬまで続けても叶わないだろうと
激白された。


 3Y2 = 2X3 + 386X2 + 256X - 58195 を黒板で是非双対化してと飯高先生が要請された。
そして云われた。「學生Eは周到な準備をして、双対曲線を多様な発想で求めてと云ってるよ」
「双対曲線を多様な発想で求めて、ハイ其れまでよ」なんてつまらない提案ではなく深淵を覗
き視叶う問題に繋がる問題を提起してるよとも。さらに、リストに在るpdf達を研究すれば獲る
ところが在る筈と課題まで提示され、受講生は涙すら浮かべ長期に亘りそうな課題をいただ
き感謝しつつさっそく飯高先生が提示された上の

  On Elliptic Diophantine Equations That Defy Thue's Method

関係の論文を読みはじめた.....。暫くして、君の名はiitaka curveも存在する筈と検索を皆が
開始したが.....、學生Dが云った代数curveって最低次元の代数多様体で 「先生に失礼じゃ
ない!」もっと高次元の代数多様体で検索すべきと.、とりあえずiitaka surfaceで検索をと日付
けがかわりそうなので散会した。


 飯高先生が研究室での學生の対話を傍らで聴いて、「何度も(双対曲線を求めてと)云う
よ」と歌う學生Dの双対曲線化の真似だが、(平成24年8月13日付け)

(0) 次の代数曲線の双対曲線を求めてください。

 79*x^6 - 40*x^5 + 548*x^4*y^2 + 4*x^4 + 2524*x^3*y^2 + 4*x^3 + 57472*x^2*y^4 - 1168*x^2*y^2
                        - 27664*x*y^4 + 144*x*y^2 + 644204*y^6 + 20008*y^4 + 108*y^2=0


(1) また、特異点を求め、それが、あなたが求めた双対曲線の如何なる名の点に於ける接
  超平面に対応しているか論じてください。

 學生は、先生がそんなやたらに次数が高く係数がタイプミスもない曲線について出題され
るのは(過去問は何度か見て対処法は会得しているので)想定の範囲外であったが....多様
な発想で取組み全員がなんとか双対曲線を導出し終えたとき、ぽつりと云われた。「問題は
此処からスタートし、はい其れまでよとは大違いだよ」と。成就感を漂わせていた研究室の
學生達に緊張が走った。

 問が(0)(1)とあったので、(2)(3) ....(69)....と続くのは想定内ではあったでしょうと飯高先生。
実は、gifの論者の「君の名は」を調べ、可能なかぎり研究室の机上にレポートをと。この青
線の双対が赤線であり、右に図示してある他の曲線と赤線の交点が変曲点であることは微
分幾何學を履修した學生Kが曲率を求め図示したのと同じであった。「代数幾何学POD版
の91p近傍をも参照しつつ、P,P+P,P+P+P,......と和を丁寧に求め、レポートを書き始めた......。

 実は、次の論者の「君の名は」を調べてと云われた飯高先生が、學生達は、全貌が記載さ
れているpdf を検索しはじめ、獲た學生が探り始めた......。「今回の問題も終わりがなさそう」
という學生もいた...。


 問1の模範解答を視てと飯高先生の代数多様体の受講生Dが研究室に居合わせた受講
生に。悉皆の受講生曰く。「もっと汎用叶う『Lagrange-Multiplikator』が在り、我々は、これを
常用する。(平成24年8月14日付け)

 上半分の真ん中の赤線、青線、紫線、紫点と添えてある双対曲線を視てと懇願した。飯高
先生は、自分が出題した過去問の模倣をして頑張る學生を温かい眼で視られた。受講生D
曰く。もっと更に後半部を視てと。視ると、誰でも叶う改竄問題が出題されていた。

 赤線 2x3 + 4xy + 4x + 3y2 + 5y - 4=0 のとき、x のとささやかな改竄問題が赤線で....し
かも學生Dはその改竄問題の2次ではない6次の青線=双対曲線を求め、しかも図示まで為
し、更に、青線の特異点に対応する変曲点を曲率をも求め零になる曲線を図示し、刹那主
義そのもののその刹那「まっすぐな道でさみしい」なる接超平面まで図示し、その点は此処
と屋上屋を架すと揶揄されても猶図示し...。

 陰函数定理の応用問題の3に遭遇した學生Dが以下のお願い達を飯高先生の代数多様
体の受講生が集う研究室に携えて来た。既に具現願った黒枠を参照しつつ、受講生全員
が多様な発想で求め始めた....。

 5番はお願いしてもいないのに全員がそこの解答が超きもちいいが、多項式環K[x,y,k]
のideal <4x2 + y2 - 4,-k + x + 2y>が<4k2 - 16ky + 17y2 - 4,-k + x + 2y>故、
-16(k2 - 17)=0 から k -> -Sqrt[17]、k -> Sqrt[17] と受講生らしい解答を書いた。

 誰でも云うことであるが、解答は結果だけでなく、それに至る過程を記述することと在るで
しょ!上のideal I1=I2 の証明は省いてはなりません!と飯高先生。

 梅津健一郎 教授(茨城大学教育学部数学教育教室)出題の問題:x3 + 2xy - y2 - 1=0
で解答もありますが、

4x^6 + 24x^5y + 48x^4y^2 - 4x^4 + 32x^3y^3 + 36x^3y^2 - 16x^3y + 4x^3 + 108x^2y^3 - 16x^2y^2
                           + 12x^2y + 72xy^4 - 24xy^2 + 27y^6 + 54y^4 - 32y^3 + 27y^2=0


に取り替えて、3の解答をお願いします。上の6次代数曲線上の点を自ら定め、その近傍に
おける曲線の形状を知りたい。文章だけでなく実際に近傍の曲線を描いてください。

(参考) 「梅津健一郎のホームページへようこそ!」の平成22(2010)年度定期試験問題

 問題の4は代数曲線ではないが二重接線が在りそうです。具現願います。


 微分學履修中の學生Bが、こんな問題達が在り、例えば、(6)の解答が在り、「超気持ちい
い発想であるが長すぎる」「飯高先生の代数多様体受講生のみなさんは、如何なる解答を
記されますか? 」と研究室に入室。(平成24年8月14日付け)

 を視た刹那、代数多様体受講生は少々時間差はあったが、多項式環K[x,y,k]の次の
ideal が等しいことから

{2*x^3 - 3*x^2*y + y^3 + 2, -k + x^2 + y}
={-(4*k^3) + 9*k^2*y^2 + 12*k^2*y - 6*k*y^4 - 18*k*y^3 -12*k*y^2 - 12*k*y + y^6 + 6*y^5 + 9*y^4
+ 8*y^3 + 12*y^2 +4, 2*k^3*x - 3*k^3*y + k^2*y^3 + 6*k^2 + k*y^4 - 9*k*y^2 -6*k*y + 4*x + y^5 + 6*y^4
+ 9*y^3 + 6*y^2 + 6*y,-(2*k*x) + 3*k*y + 2*x*y - y^3 - 3*y^2 - 2, -k + x^2 + y}


-11943936*(k - 1)*(4*k + 5)^2*(k^3 + 2)^3=0 より、k -> -(5/4),k ->1,k -> -2^(1/3) と全
員がideal を持ち出し快答した。傍らの飯高先生が「解答は短いほどよい!」と云われたよう
に全員が感じた。學生Bの後日談:試験でidealを持ち出し解答を記したら教授から、そんな
快解は邂逅初夜で逆に教授して下さいと云われたと。

 の制約条件で中学生知悉の、x2+y=k 即ち、y=-x2+k が赤に接すればよいと云いだ
すと學生Bは、赤はどうして描いたの? と。

 陰函数定理の応用問題の3のようにして描いたと。今時の若いもんは「2x3-3x2y+y3+2=0」
を「Wolfram|Alpha」に挿入し、瞬時に、陰函数定理の応用問題を解き描いたのではない!
と云われた。學生Dは、資料の如く一瞥すればわかるように色分けしたが、少し補足し、赤
線の双対曲線を多様な発想(一つは非線型写像Fで明記した)で求め、青線で図示し、求め
た青線の方から接超平面を求め図示した。この行間を省くことなく埋めて下さいと受講生に。
ただ今、具現中...。


 定期試験問題 後解析学B に、f[1,-1]=0、f[1,2]=0 で、(1,-1)、(1,2) 近傍で曲線f[x,y]=0 の
姿を探訪をと。(平成24年8月15日付け)

 陰函数定理の応用問題の2に遭遇した學生Dが上記問題を記し、飯高先生の代数多様体
の受講生が集う研究室に携えて来た。問題は明記したので、お願いしますと。

 學生Dが補足説明をした。非線型型写像Fによるcの像F[c]が青で示した、即ち、

16*x^9 - 16*x^8*y + 128*x^6*y^3 + 156*x^6*y - 256*x^5*y^4 -480*x^5*y^2 + 16*x^5 + 128*x^4*y^5
+ 320*x^4*y^3 - 16*x^4*y +256*x^3*y^6 - 528*x^3*y^4 + 300*x^3*y^2 + 4*x^3 -768*x^2*y^7
+ 1680*x^2*y^5 - 1032*x^2*y^3 + 120*x^2*y +768*x*y^8 - 1920*x*y^6 + 1536*x*y^4 - 384*x*y^2
- 256*y^9 +768*y^7 - 741*y^5 + 202*y^3 + 27*y=0


なる9次の代数曲線になることを多様な発想で証明して下さい。また、cの双対曲線を多様な
発想で(そのひとつが上)求めて上の9次の代数曲線になることを証明して下さい。双対曲線
の特異点を求め、それに対応するcの接超平面を図示するとgif のようになることを示して下
さい。黒枠の極小値問題を提示すると、代数多様体の受講生は全員ideal を持ち出し、gif の
ように解決することは想定の範囲内と學生D。その x2+xy+y2=k なるkは、計算結果であると。

 無論、模範解答 (6) のように為すのが超気持ちいいのでそうして!と。この諸問題を直視し
た受講生のSが1次元の代数曲線に制約されたときの極値問題が多い。2次元の代数曲面
に制約された、例えば、(11)を多様な発想で解こうと提案し、ただ今各自が具現中.....。無論、
代数多様体の受講生らしくideal を持ち出す発想で解き始めた學生が殆どでありました.....。

 學生Lがポツリと:「これにも模範解答が在る筈なので、視る前にその模範解答の方針で
長く辛い記述だが為してみよう」と提案し、これもただ今具現中..............。

 問題自体は点と曲面との最短距離の問題で題意は幼い子供にはっきり分かるのだが...と
曲面を図示すれば此処でちゅと云いそうな易しい問との声在りて、図示所望。(


 易しい問と云った學生Lは、日本の大学教授諸氏が先ず例外なく推奨される「解析概論」
第7章/陰伏函数の極値と切出すと、居合わせた後輩が「えっ、1から6章を本当に理解し
た後、漸くその発想に辿りつくの....ああシンド」と呻いた。(平成24年8月16日付け)

 代数多様体の受講生らしく、ideal を持ち出す発想で解き始めた學生が

<y^2 - x^3, -k + x^2 + (y - 1)^2>
=<-k^3 + 3*k^2*y^2 - 6*k^2*y + 3*k^2 - 3*k*y^4 + 12*k*y^3 -18*k*y^2 + 12*k*y - 3*k + y^6 - 6*y^5
+ 16*y^4 - 20*y^3 +15*y^2 - 6*y + 1, -k^3 + k^2*x + 2*k^2*y^2 - 2*k^2*y - k^2 -2*k*x - k*y^4 + 7*k*y^2
- 12*k*y + 5*k + x + 2*y^5 -11*y^4 + 26*y^3 - 25*y^2 + 14*y - 3,-k^2 + k*x + 2*k*y^2 - 4*k*y + 2*k
+ 2*x*y - x - y^4 +4*y^3 - 7*y^2 + 4*y - 1, -k + x^2 + y^2 - 2*y + 1>


より、64(k - 1)8(729k3 - 216k2 + 988k - 745)=0 の零点を求めることに帰着し、高木先生の
創作問題を苦も無くkを求めた。このkを用いて、デカルトの真似をし懐疑精神発露も重要だ
から、y2 - x3=0、x2 + (y - 1)2=k の図を描いて! と。描いた學生は想定通りで深く理解しす
ぎた。

 傍らの飯高先生は、あの志村先生は著書の何頁に何行高木先生評を記載されていたか
なと呟かれた。受講生は瞬時に検索し、飯高先生が書評しておられる「記憶の切繪図」に
衝撃を受け、書店に猛暑の中を購入したく走ったが売り切れでもう少し遠方の書店に走り
続けています.....。やっとゲットした 學生がはァはァ云いながら研究室に辿りつき、曲線と点
の最短なんて、高木先生のオリジナルな著作権を主張する創作問題なのでしょうかと走り
ながら考えたことを洩らした;高木先生はイチイチ諸外国の昔のそんな最短問題の創作者
に許諾願いを出し許諾したので解析概論に載せたとは書いておられないなァと。引用した
ければ先ず(存命でなくとも)元祖に許諾を乞え! と命令口調の叱責を受けることがまま在
るが不要なのね! と學生達。直ぐ迫る(オリジナリティ溢るる即横溢な)論文に関わる重要な
懸念なので......と数學女子&数學男子は終戦ニュースを聴きつつ吐露。


 次の代数曲線の双対曲線を求めて! と受講生Hが研究室に持ち込んだ。
                                      (平成24年8月18日付け)

 4y013 - 4y14 + y22(27y02 - 36y01 + 8y12 - 4y22)=0

 居合わせた受講生が「H 君、ありがとう! もう既に斎次化してあるのね!」と謝辞を述べた。
今まで何度も双対曲線化問題を提起してきた學生Dが一番先に双対化し其の過程を受講
生Hに示した。多様な発想で為す癖が抜け切れない他の學生が時間差は在ったが全員同
じ結論を獲た。學生Hは告白した。実は、数学セミナー9月号で数学女子の作者との対談を
視て駅前の書店に購入しようと駈け込んだら見あたらなく、其処に「デカルトの精神と代数
幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦著)の著者の一人の岩波からの出版の書籍に、

 4y013 - 4y14 + y22(27y02 - 36y01 + 8y12 - 4y22)=0

の双対曲線が与えてあり、その双対曲線を求めるのに2pも費やし記載されおり行間は省か
れていないがフォロウするだけで疲れたと。多様な発想でとお願いしたが、実は、其れに倣
い導出ねがいたいと問題を持ち込んだのですと。2pも費やすその発想とはどんな発想だろ
うと皆、口角泡を飛ばし、ただ今議論白熱中です....。かなり時間が経ち、まとまらないのをみ
かねた飯高先生が、先ず、4y013 - 4y14 + y22(27y02 - 36y01 + 8y12 - 4y22)=0 を非
斎次化し描いたらと今までの先ず斎次化しとは真逆の提案をされた。そして、上野健爾氏or
浪川幸彦氏が2p も双対化に要する発想とはと議論に参加されて益々口角泡が飛びかって
いて、とてもここにその情景の動画はupできません。

 Hは書店でメモしてきた2p分を提示するタイミングをはかりかねている様子。他の方々から
2p 分を提示したら「行間をも省かない、もっと手短な発想も在ると其の書籍の増版の際は追
記して!」と提案も在りそうで...。2pも双対化に要するなんてと密かに上野健爾、浪川幸彦、岩
波書店で検索し始めた學生が数人居た。検索途上で、あっ、
  [6] Fulton, W. : Algebraic Curves. Benjamin, 1969 (DownLoad版)
がタダで獲られると雄叫びを上げた。聴かないふりは到底できないので、皆、DownLoadしホ
クホク顔で印刷までして帰路につき、午前0 時を過ぎた今も「今夜は眠れない」と行間を埋め
たり、証明したりして愉しんでいます.....。


 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)の著者を探訪しようと、
飯高先生の受講生Nが提案し、浪川幸彦先生の下記の極値問題に漂着し猛暑で水位が
下がり干上がっていく様子を(推移がわかるよう)克明に描写し誰にもわかる解答を黒板に
代数曲面:z-f[x,y]=0 を色附きで明示した。(平成24年8月19日付け)

 極値問題を理解し過ぎ、學生は今回此処で最低ですと赤点を指した。學生Dが口を開こう
とすると「想定の範囲内の問題群だから私が代弁しましょう」と飯高先生曰く。

(1) 極小値までの推移を観察し、例えば、f[x,y]=-8+5 即ち、赤線c:f[x,y]-(-3)=0 の双対
  曲線を多様な発想で是非求めて下さい。

 答が青で明記されているのを観た受講生諸氏は、青から赤を多様な発想で導出過程を明
記して為す方がやりがいが在ると叫んだ。即ち、

12*x^12 - 48*x^11*y - 24*x^10*y^2 - 84*x^10 + 96*x^9*y^3 -120*x^9*y + 240*x^8*y^4 - 108*x^8*y^2
+ 53*x^8 +48*x^7*y^5 + 48*x^7*y^3 + 68*x^7*y - 48*x^6*y^6 -276*x^6*y^4 + 282*x^6*y^2 - 54*x^6
+ 48*x^5*y^7 -360*x^5*y^5 + 176*x^5*y^3 - 4*x^5*y + 240*x^4*y^8 -276*x^4*y^6 - 29*x^4*y^4
- 4*x^4*y^2 + 19*x^4 +96*x^3*y^9 + 48*x^3*y^7 + 176*x^3*y^5 - 224*x^3*y^3 +28*x^3*y - 24*x^2*y^10
- 108*x^2*y^8 + 282*x^2*y^6 -4*x^2*y^4 - 24*x^2*y^2 - 6*x^2 - 48*x*y^11 - 120*x*y^9 +68*x*y^7
- 4*x*y^5 + 28*x*y^3 + 12*y^12 - 84*y^10 +53*y^8 - 54*y^6 + 19*y^4 - 6*y^2 + 1 = 0


から、 x4 - 2x2 + 4xy + y4 - 2y2 + 3=0 を多様な発想で導出過程を明記して為す方がや
りがいが在ると叫んだ。「全く問題ありません」「異存ありません」ので、そうして下さいと飯高
先生は目を細められた。そして、「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸
彦 共著)の上野健爾先生の別の著書の発想でも必ず為してくださいと要望された。(その
著書を鞄から受講生の数学女子が取り出したので、皆な覗き(帰りに書店に寄り、双対化の
部分の立ち読みを始めた學生Bは立ち読みでは無理なので、食費抜き等でなんとか工面し
入手した)

 代数曲面の紫線、即ち、代数曲線 f[x,y]=0 の双対曲線を多様な発想で是非求めて下
さいとも飯高先生は云われ、今でも血が逆流したのを鮮明に記憶しているが、その紫線に
は二重接線が在るのは誰にもわかるが、双対曲線の特異点を求めて、その二重接線の方
程式を求めてみてください。血が逆流したら、其れをバイト先の家庭で夕食を御馳走時に熱
く語って欲しいと。後日談:一箇所高校生向けの発想が在ると代数多様体の受講生らしく
ideal を持ち出し

<x^4 - 2*x^2 + 4*x*y + y^4 - 2*y^2, -k + x + y>=
<k^4 - 4*k^3*y + 6*k^2*y^2 - 2*k^2 - 4*k*y^3 + 8*k*y + 2*y^4 - 8*y^2, -k + x + y>


より、此処から高校生に倣い、256(k - 2)2k4(k + 2)2(k2 - 2)2=0 より
{{k -> -2}, {k -> -2}, {k -> 0}, {k -> 0}, {k -> 0}, {k -> 0},{k -> 2}, {k -> 2}, {k -> -Sqrt[2]},
{k -> -Sqrt[2]},{k -> Sqrt[2]}, {k -> Sqrt[2]}}

より少し考えて、適当なk を選び、x+y=k 達が答えだと。

 cとそれらを描いて接してないじゃと叫ぶ學生がいたが、ほとんど全ての受講生が複素数体
Cの直積C2で考察しているのを忘れないでと。計算結果を視た學生が「えっ?」と。双対曲線
を求めたら、上には挿入できそうにないので他の、例えば、よさげな「sage」を使おうと。
(→ 「sage/グラフの使い方」)


 直前の極値問題、即ち、或る点の近傍で最高ですか型問題が他大学ではと暇なので検索
し、手術理論の外科医や埋め込み、はめ込みの歯科(他の科も在り)医になる學生が履修す
べきとの問題群に邂逅したと受講生K。
                                       (平成24年8月20日付け)

 真っ先に曲線の曲率の問題群を解決せずにはいられないだろうと研究室のメンバーにgif
の問題群を提起した。黄色に先ず取り組んだ學生は、「もしそうでなければ、曲率の定義が
なっとらんと何処かで聴いた怒号を発し、之でどや、何点頂けるのですかと」

 傍らの飯高先生は、直線の曲率半径にすら真摯に超が附く超真面目に問題に対峙してい
る受講生を視て、未来に∞の光明を見出された。他の直線でない代数曲線の曲率を求める
問題群は私は講義していないが微分幾何學講義の同僚も媒介変数表示でないので為して
いない筈で、どう対峙するか見守りたいと行きかえりに見る、みまもりたいに近い感覚を覚え
られた。うれしい理由よりもと検索 し、漂着。

082「分母の有理化の意義は?」(6月15日)******************************************

 前回に続いて、平方根(√)の話ですが、分母の有理化をする意味はどこにあるのでしょう?

    
(塾長コメント:分母に無理数、即ち無限小数があると、その分数の値というのは直ぐには分かりま
             せんが、有理化してあると、無限小数を整数で割る形になって、分数の値は比較的
             簡単に求められます。分母の有理化は、分数のおおよその値を求めるための計算
             とご理解ください。)


 枚挙に暇がないがと、「数楽の快汗!」、「東大前期文系」、・・・。

 資料を解答が明記されているが視ないで、体論を意識し、聴き過ぎた「分母の有理化」な
るものを体論から遊離せず必ず為してください。無論、以下所望(おそらく為せば世界初!)

1/(20 + 11^(1/5) + 23^(1/9) + 41^(1/13) + 59^(1/17) +73^(1/21) + 97^(1/25) + 109^(1/29) + 137^(1/33)
+157^(1/37) + 179^(1/41) + 197^(1/45) + 227^(1/49) +241^(1/53) + 269^(1/57) + 283^(1/61)
+ 313^(1/65) + 347^(1/69))


 此処を視たガロア理論履修済の學生Gが、ここには上から目線の分母の有理化せよ! の
中高の先生も訪れられるので、直上の問題は削除した方が良いのではと...。


 名古屋大医学部の明快な講義に漂着し、解決したが、極小値をとる近傍での代数曲線、
例えば、赤線に関心が在ると、飯高先生の受講者Dが口を開くや否や 飯高先生がDの代
弁を為された。(平成24年8月20日付け)

 赤線の双対曲線を多様な発想で求めて図示し、講義の青線になることを示してください。
発想のひとつの下の上野健爾先生の発想を必ず為してください。

 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 共著)の上野健爾先生の
別の著書の発想で為された後の尖点云々はきちんと求め、元のcの変曲点に於ける接超
平面も図示したが求めてと。先ず、為すべき斎次化は為して置くからと飯高先生。

  X3 - 3XZ2 + Y2Z - Z3=0

 斎次化の手間が省けたので果敢に双対化に挑む受講生。ただ今、具現中....。


 右隅は、等位線 f[x,y]=k (k∈{-2,0,2}) (5次の代数曲線)である。これ等を先ず斎
次化しておきます。(平成24年8月22日付け)

 x23-2xy22-y5+y4z+2z5=0 、x23-2xy22-y5+y4z=0 、x23-2xy22-y5+y4z-2z5=0

と研究室に受講生Dが持ち込むと、飯高先生自ら設問役をかって出られた。

 3つの双対曲線の斎次化は為されているので、多様な発想で双対曲線を求め、その特異
点を求めることにより、元の曲線の特徴を論じてください。

 以前よりは次元が低いのですが必ず双対曲線化は為して、その後、非斎次化を為して描
くと青線になることを示してくださいと。まさかdual curve の定義の定義が分からないと
云う學生はいないでしょうが...と。まっ先に學生Dが一つ双対曲線を求めた。

 52048*x^10+25600*x^9*y+32000*x^9+88000*x^8*y^2+160000*x^8*y+101024*x^8+60000*x^7*y^3
-512*x^7*y^2+17920*x^7*y+19200*x^7+64*x^6*y^4-11520*x^6*y^3+75200*x^6*y^2+168000*x^6*y
+75000*x^6+1856*x^5*y^5-59200*x^5*y^4-46000*x^5*y^3+2560*x^5*y+2112*x^5+9600*x^4*y^6
-18000*x^4*y^5-3840*x^4*y^3+18800*x^4*y^2+48000*x^4*y+25000*x^4+1952*x^3*y^5-28800*x^3*y^4
-39800*x^3*y^3+256*x^3-416*x^2*y^7+14080*x^2*y^6+7600*x^2*y^5-128*x^2*y^2+2000*x^2*y+3125*x^2
+32*x*y^9-2880*x*y^8+16*x*y^4-900*x*y^3+216*y^10+108*y^5=0


 もとの5次曲線より次数が高くなることに慄く學生は、飯高先生の受講生には最早存在しな
い。次数上昇にかかわる設問を飯高先生は為されたcがn次なら、c*の次数は幾らまで次数
の上昇を許されますか?即ち、c*の次数<=________。証明をと。

 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 共著)の上野健爾先生の別
の著書の発想で必ず為してくださいと飯高先生。その著書を鞄から取り出し、56p 57p の発
想を真似ようと皆な覗き、まだ呻いています。当分終わりそうもなく....。

 「代数幾何学 POD版」も鞄から取り出し、152p-.. 200p を視て行列を持ち出す論法は、今
回は2次でなく5次曲線だから効かぬ、どうしようと呻く學生も居た気配を飯高先生は感じら
れた。(→ 参考)「勝ってにしやがれと多様な発想を許容されているのだから、例えば、
でどう?」と 學生D。學生Dが「微分幾何學を履修した人」とたずねると全員が「はぁい!」と。

 では、空色の曲線達を求め、c と其れとの交点も求め、その点に於ける接超平面も求め
てと要望した。無論、上に依存せず、「Hessian matrix」をも具現し、その点に於ける接超平
面も求めようと奮闘中.......。「代数幾何学 POD版」148p を開き.......。


 最低次元に限りなく近くて、それでも猶最低ねと云われるのは事実だからしょうがないがと
飯高先生の講義の言葉で述べれば体K上1+1次元の代数多様体、即ち、(2次でない4次の
体K上の)代数曲面S:

16*x^4 + 8*x^3*y^2 - 32*x^3*z + 32*x^3 + x^2*y^4 + 8*x^2*y^2*z - 8*x^2*y^2 +16*x^2*z^2 - 128*x^2*z
+ 16*x^2 - 8*x*y^4 + 8*x*y^2*z -32*x*y^2 + 160*x*z^2 - 32*x*z - y^6 - 12*y^4*z - 8*y^4 -48*y^2*z^2
+ 80*y^2*z - 16*y^2 - 64*z^3 + 16*z^2=0


の双対曲面S*を多様な発想で求めてと學生D。(平成24年8月23日付け)

 飯高先生の先ず斎次化しはもう為されていると研究室の面々。体験済の學生は其の初体
験でもう代数曲面の双対化を卒業と云えぬことを悟っていて多様な発想で取組み始めた.....。
定義は邂逅したことのないほど短いが再確認しつつ。最低ね!と云われるのは事実だからし
ょうがないがとこれを説明しても益々最低ネと云われることは必定。

 書籍達を直前で鞄から取り出し考察中の受講生が、2次曲線、2次曲面、.....と在るが、も
う少し高次のが稀有なので、自らやるっきゃないとはじめて通知表の自主性がA 刻印の態
度を示し始めた...。 -x3 - x2z + xy2 + xz + y2z=0


 入学直後の學生に微積を講義される同僚が極値問題の解答を載せていたのでと飯高先
生が研究室に。飯高先生作問の色つきをみて、學生Mが設問した。
                                      (平成24年8月23日付け)

(0) 赤線のみ視て、何次の代数曲線か想定して赤方程式を観て想定通りか云って!
  青線のみ視て、何次の代数曲線か想定して青方程式を観て想定通りか云って!

(1) 青の双対曲線を斎次化は為されているので、これを用い多様な発想で双対曲線を求
  めてください。

 赤の曲線を先ず斎次化し、それを用いて定義にもとずき多様な発想で双対曲線を求め、
獲た双対曲線を 非斎次化すると青になることを示しなさい。

 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 共著)の上野健爾先生の
別の著書の発想で必ず為してくださいと飯高先生。その著書を鞄から取り出し、56p 57p の
(2次でなく 3次代数曲線の双対化の)発想を真似ようと皆な覗きまだ呻いています。当分終
わりそうもない様子を視られた飯高先生は是非最後まで為してと要望された。

(2) 赤線を運転すると一瞬まっすぐな道でさみしい、即ち、曲率半径が無限大な点が2点在
  ると微分幾何学履修済のみなさんは断言しますが、代数多様体の受講生らしく、獲た双
  対曲線の特異点をもとめ、そのまっすぐな道、即ち、赤線の変曲点に於ける接超平面を
  求め図示すれば、紫線になることを示してください。

 上の事実を今度は履修済の微分幾何学で学んだ赤線の曲率を求め、曲率=0 を図示す
れば水色になることを示し、赤線∩水色線を求め、赤線の変曲点に於ける接超平面を求め
図示すれば紫線になることを示してください。

 まだ上は未解決だが、赤線を視た屡横道に逸れる學生Mが赤で囲まれた図形の面積を
求めてと済んだ微積問題を提起した。赤で囲まれている部分の最大値を求めれば面積は
視て見当がつくがと。

 代数多様体の受講生らしく、解決することで参加することに意義を見出した受講生全員
がideal をもちだし、

  <x3 - 3x2 + 3xy2 - 3y2 + 3, y - k>=<y - k, 3k2x - 3k2 + x3 - 3x2 + 3>

より、 -27(4k6 - 12k4 + 12k2 - 3)=0 から、

{{k -> -Sqrt[(1/2)*(2 - 2^(1/3))]},{k -> Sqrt[(1/2)*(2 - 2^(1/3))]},
{k -> -Sqrt[1 + 1/(2*2^(2/3)) - (I*Sqrt[3])/(2*2^(2/3))]},{k -> Sqrt[1 + 1/(2*2^(2/3)) - (I*Sqrt[3])/(2*2^(2/3))]},
{k -> -Sqrt[1 + 1/(2*2^(2/3)) + (I*Sqrt[3])/(2*2^(2/3))]},{k -> Sqrt[1 + 1/(2*2^(2/3)) + (I*Sqrt[3])/(2*2^(2/3))]}}


 無論、常套手段の「Lagrange multiplier」でも為そうと。バイトで高校生を指導している學生
曰く。x3 - 3x2 + 3xy2 - 3y2 + 3=0 は、yについて二次方程式だから解けてしまい、計算
ら赤で囲まれている部分の最大値を計算でも求めて、上のk が出て面積は視て見当がつく
がと。大凡ではなく正確な値をアタイは欲しいのと學生M。

 Sqrt[-3 + 3 x^2 - x^3]/(Sqrt[3] Sqrt[-1 + x]) の原始函数を求めて、あとは上端値、下端
値を求め、引き算し2倍すれば解決と....。為そうとした學生は存在しないようでありました....。


 視れば題意は明白なので蛇足を記載しないで!と線型写像を卒業した受講生全員が云い、
今後の人生は非線型写像に捧ぐ と受講生が宣言し、問題を解き始めた。
                                      (平成24年8月24日付け)

 そもそも、その非線型写像 F の導出如何? と飯高先生が呟かれた...。聴こえないフリは出
来ないので研究室に屯する受講生は悩み始めた....。帰路につく電車の中で...帰宅しべッドに
倒れこんで猶.....朝、起床刹那行幸が即ち非線型写像 F の導出が叶うかもと夢を見..。

 資料の f[x,y] =1/x+1/y+xy について所望したのに、

    min{1/x+1/y+xy} = 3 at (x,y) = (1,1)

解いてくれた。きちんと所望。極値問題はかたずいたが等位線 1/x+1/y+xy=3 の水位を
僅かに増し、1/x+1/y+xy=3 + 1/69 分母を払い2次ではない 4次の代数曲線
c:69(x + y + x22) - 208xy=0 の双対曲線 c* を多様な発想で求めてと飯高先生が呟かれ
たような気がした研究室に屯している受講生。たちどころに學生Dが、c* を導出した。

 じゃあ、逆から、即ち、(c*)* を多様な発想で求めて、それがcとなるかを確認してと、また
また飯高先生が呟かれたような気がした。ただ今學生諸氏が具現中。

 資料に倣い、c:69(x + y + x22) - 208xy=0 の双対曲線 c* を非線型写像を自ら構築し像
を求めて解決して欲しいと、また飯高先生が呟かれたような気がした。之もただ今學生諸氏
が具現中。學生諸氏は侘しいので、次元をあげたくなり次を所望する前にその点で極値は
自明と云いながら所望した。非対称でと少しくずれた學生Y。これらについても上の如く代数
曲面を定め、その双対曲面を多様な発想で求めてと飯高先生。非線型写像を構築する手法
もと飯高先生。之もただ今學生諸氏が具現中。

 題意は幼児にも理解できて最短距離を与える点は此処よと指さす問題の高校生が為す発
想の一つの英文による詳解があったと研究室に學生B。(→ 参考

 飯高先生が代数多様体の受講生らしく多項式環K[x,y,k]のideal をと云われ、受講生全
員が y=x と(3,0)との最短距離の問題群を解きだした。n=4 の時のideal がと解答したのを
上の gif に載せました。(→ 参考:高校の授業用

 (高校で微積をあれほど學んで考査でも十分な及第点をいただいたのに過去のモノになり忘却の彼方と市民
図書館で微積の解説本を借り出し復習するは我に在りという方に邂逅しました


 n=5 の時を此処を訪れる世界の皆様にやっていただこうと學生Yが提案。飯高先生は何
度も云うよと、I1=I2の証明が抜けているので必ず為すようにと。n=4、n=5 の時を我々が
ideal を持ち出し上で為したので此処を訪れる世界の皆様の愉しみを奪うのもいけないの
で、n=3 の場合をやっていただこうと 學生諸氏。問題群の此処と指さした点(1,1)、.....に規
則がないはずはないので導出をとも。無論、上の最短距離の問題は「Lagrange multiplier
で解決するのが超気持ちイイので此処を訪れる世界の皆様にやっていただこうと學生諸氏。
高木貞治先生も超気持ちイイ発想だと分厚い書籍の後ろの方で。(→ 参考


 易しい空間に引いた2直線の最短距離の具体的な問題を飯高先生の受講者がいつもの
ことだがideal を持ち出し瞬時に解いた。(平成24年8月25日付け)

高校時ideal を持ち出し授業をして欲しかったと夏休み帰省時に高校を訪れ云うとideal なんぞ初耳やと一蹴さ
れ想定の範囲内であったが高校の先生に云うたことを悔やんだ
)

 問題 2直線 t--l---->{4t - 1,5t + 4, 3t - 7}、T---L--->{2T + 3, 2T + 5, T + 1} 間
    の最短距離を多様な発想で求めよ。

  I1={-4t+x+1, -5t+y-4, -3t+z+7,-2T+X-3, -2T+Y-5, -T+Z-1,-k+(X - x)2+(Y - y)2+(Z - z)2}

なるidealは下のI2 に等しく(証明はお任せ致します)

  I2={k - 50t2+42tT+90t-9T2-36T-81,-T+Z-1,-2T+Y-5,-2T+X-3,-3t+z+7,-5t+y-4,-4t+x+1}

 之より、36(k - t2 + 6t - 45)=0 、5184(k - 36)=0、{{k -> 36}}で、答えは、Sqrt[36]=6 である。

 どの点かと云うと、此処{11, 19, 2}と ここ{13, 15, 6}。

(参考) 「Windschiefe」、「Skew Lines」、動画「Parallel and Skew Lines

 入学して間もない微積の受講者が研究室にもぐりこみ、今回の問題は

(3t - T - 8)2 + (4t - 2T - 4)2 + (5t - 2T - 1)2 の最小値問題で、偏微分を用い

{100t - 42T - 90, -42t + 18T + 36} = {0, 0} から、{{t -> 3,T -> 5}} と瞬時に答えたが想
定の範囲内の自然な発想だと 微分學履修済の學生諸氏。


 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)12pの代数曲線
y=(x4+1)/x の二重接線を、双対曲線を求め、求めようとしたが果たせなかったと學生d。
                                      (平成24年8月25日付け)

 學生Dが変換して果たした。しかし、双対曲線の特異点が何個在るかとgif の下部の連立
したのを図示しても、(3,0)の方はそのうちの2曲線しか乗っていない。摩訶不思議と青の双
対曲線を図示しても然り。あってはならぬ事態が生じているので、双対の方の水位をかなり
あげてみた。f*[x,y]=162 の(3,0)近傍に姿を現し、f*[x,y]=0 には孤立特異点が在ること
が判明し安堵した。これ等を用いて、もとの曲線cには、2つの二重接線が存在するので、求
めて図示したと 學生D。これを視た學生Lがy軸に平行なのはcに接してないじゃないのっと。

 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)12 p を開いて云う學生:
体Cの直積C2で考察しているのと。双対の方の水位をあげた:f*[x,y]=162 の双対曲線も
是非求めてと傍らの飯高先生が呟かれたような気がし全員が多様な発想で為し始めた。

 まっさきにD が求めたが此処に記すには欄が狭すぎるときどった。Dのぎっしり書いてある
ノートを覗いた學生達は多様な発想を尊重し非線型写像を自ら導出、それによるf*[x,y]=162
の像を求める発想で為し、D の其れと一致するか為そうと開始した....。

 二重接線は、「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)の19pに双
対との関わりに言及して在るが、上野健爾先生の別の著書60p にも在ると皆鞄からその書
籍を取り出し視て、最初に戻り、飯高先生は何故 12pの 代数曲線 y=(x4+1)/x の双対曲線
を求められなかったのかと疑問を投げかけた學生Qが居た。上の學生dの求めたが果たせな
かったを再読して何故果たせないケースが在るのか探求しようと全員が開始した.....。


 特異点論関係の本で英文の教科書風の本達を出版年順にリストしました。
                                      (平成24年8月26日付け)

 それぞれに個性がある本が並んでいます。

J.Milnor [1968], Singular points of complex hypersurfaces, Ann. of Math. Studies 61, Princeton

 孤立点の記載が在り、観たいが為に水位を少しあげて感受叶ったと受講生D。Dが何時も
のようにgif の水位をあげた方の代数曲線に関する問題群を解こうと提案し、ただ今取組中
......。研究室に紛れ込んだ微積履修中の學生は囲まれる部分(2箇所在り。後で3箇所に修
正された)の問題に触手を伸ばさずにはいられないと双対の講義は未だ聞いていないので、
面積の問題を解き始めた...。

 赤の方はなんとかかたずけたが、青は函数のグラフとして表現しようとすると、yについて
2次ではなく6次方程式で、頑張ると青で囲まれる部分は他にも在り!困難を極めそうと悲鳴
をあげつつ、ただ今進行中。積分には全然自信がないと断言する學生もいて、君子を気取
り近寄らない人も居た。(→ 参考:「Differential Galois theory」)

 この例題とは乖離が在り過ぎ....。計算のように、一言で片付くと。図をみた代数多様体の
受講者Dは、その楕円の双対曲線を講義に忠実に求めて! と過去問を非礼をも弁えず何度
も引用し受講生に伏して願い且つ多様な発想でとも。

 無限に在る双対曲線の問題達の内でこれ以上簡単なのはないことを理解している受講生
は多様な発想での要請にコタエ始めた....。傍らで聴いておられた飯高先生は、髭爺に観える
けれども真打ち登場なのに、面積がどうだの双対曲線が双対曲面がどうなのと喚くとは云わ
ぬが語らう受講生に其処のpdf 等をこそ視てとミルナーが掲げているのだから視て研究生活
に直ぐ入るようにと。例えば、其処の「Critically Periodic Cubic Polynomials」をこそ注視を!と
飯高先生。それを聞き逃さない學生は存在しないで、「その気になれば、そんな論文が入手
可能なのね!」と飯高先生は早生まれを悔やまれた。

 双対曲線の方の全貌を把握し描くと代数幾何學受講者がその図にも関わらず、青は既約
曲線なのだろうかと既約か否かの判定が他の代数の場面でも困難を極めたので慄いた。

 傍らの飯高先生は手ごわそうだけど既約なら証明を、そうでないなら左辺を分解してと。

 ネタバレの問題ならたわいないのだけど......と。先生が最後のほうの例題で、ほんの少しの
改竄と係数をいじり、ついでに冪も改竄すべきとした生徒がいて、いつものようななめらかな
講義が為されず次回までの宿題にしておくぞと黒板前の先生。既約、可約については、資料
の方が重要と表現論の受講生.....。観た學生曰く「お気軽に参加して」と在るが、部外者がお
気軽にそうしていいのだろうか? と。まだ片付けられず(特に非線型写像Fの構築)今夜も徹
夜.....。

 「Singular points of complex hypersurfaces」に複素曲線 -x4 + 2x2y + y3 = 0 は既約代
数曲線で,原点を通る異なる3本の非特異分枝をもつ。実平面曲線 -x4 + 2x2y + y3 = 0 は
原点を唯一の特異点にもつ等あり信じ難い点もあり水位を少し上げ、-x4 + 2x2y + y3 = 1/69
視ると明らかに二重接線が在り、変曲点も在ると學生Bが叫んだ。飯高先生は斎次化して
おくから、-x4 + 2x2yz + y3z - z4/69=0 を多様な発想で、その双対曲線を求め、獲た双対
曲線を非斎次化し、その特異点を求めることにより、學生Bの叫びに答えてあげてと所望され
受講者全員が具現中....。その途中で、双対曲線を飯高先生が手書きをされた。次数がなんと
12次の双対曲線を學生Dが求め図示し見比べ、殆ど同じだぁ!と驚愕した。その特異点を求め
る過程で、双対曲線には孤立点が在ることにきずき、飯高先生の手書きには、その点が無い
ので、どうしたら孤立点が浮かび上がるかと云う學生が居て、水位を少し上げたらと飯高先生
の助言に従うべきだが、なんとも次数が 2次の比ではないので汗だくになり今も奮闘中.....。

 此処を訪れられる世界の皆様も双対化等をなされ、此処に途中経過をも投稿願います。

 アーベル賞受賞のミルナー先生が云われた複素曲線 -x4 + 2x2y + y3 = 0 は既約代数
曲線で、原点を通る異なる3本の非特異分枝をもつ。実平面曲線 -x4 + 2x2y + y3 = 0 は
原点を唯一の特異点にもつ、等の証明はまだですか? と傍らの飯高先生が受講者に。

 検索からダウンロードし、djvu file を読めば、12p に在るよと飯高先生。

 問題は以前に多様な発想で為したが、「Function field of an algebraic variety」を探訪中に

Consider the affine plane curve defined by the equation y^2=x^5+1.Its function field is the
field K(x,y), generated by transcendental elements satisfying this algebraic relation.

 右辺が問題の如き(y=x3+x ) 3次は楕円曲線で考察している。

 y2=x5+1 のようなのが考察に値するのかと學生E。考察に値するかどうかわからないけれ
ども、次数をそれらの狭間の4次、例えば、c:y2=x4 - 6x2 + 3 なんてどう? と代数多様体の
受講生なので、cの双対曲線を多様な発想で求めずにはいられないとただ今具現中。學生
Nが非線型写像F(x,y)=((4x3 - 12x)/(x(12x - 4x3) + 2y2), -2y/(x(12x - 4x3) + 2y2))によ
るc: -x4 + 6x2 + y2 - 3 = 0 の像を求めればよいと示唆。あの発想ね!と受講者諸氏。像を
求めるには、問6 の「次の図形の像を図示せよ」は逆写像をもとめて為す発想も容易だが
と學生諸氏。二次超曲面SのT∈GL(n,R)⊂Hom[Rn,Rn]による像も逆行列を求めて叶うが、
n=4、n=5、...、n=2012 となるとやだねっ! と受講生諸氏。

 そろそろ非線型写像F(x,y)=((4x3 - 12x)/(x(12x - 4x3) + 2y2), -2y/(x(12x - 4x3) + 2y2))
によるc:-x4 + 6x2 + y2 - 3 = 0 の像F(c) を求めようとF-1を求め始めた...。ただ今考え中....。
傍らで聴いておられた飯高先生は他の発想も在ると呟かれた。此処を訪れられる世界の皆
様もF(c) を表す代数曲線をお願いします。

 ところで、上の考察中のy2=x4 - 6x2 + 3 の右辺を考察:x4 - 6x2 + 3=0 の解をαとすると
α3/ - 2αも解だと學生D。傍らの飯高先生曰く:「なんだか大量のも解問題がすべ
て解決したような口ぶりだねェ」私はまだ、例えば、問題は去年からずっと考え中ですよと。

 ところで、 α3/ - 2αも解の証明は高校生でもできるが、どうして導出したのと云わ
れ、學生Dこれだよと投じた。観たことは在りすぎるが、まだ、この発想を一度も為したことの
ない學生が殆どで、飯高先生は云われた。為してαが解なら、α3/ - 2αも解以外
のも解達を導出し、x4 - 6x2 + 3=0 の次数-1以下の体Q係数ではそう為しえない理由も述べ
てくださいと。

 と具体的に複二次故、解が求まり、その二重根号の解のひとつをαとすれば、
α3/ - 2αはどの二重根号の解か知る権利を行使しようと 學生諸氏。

 始めの問題意識は、右辺が今回の

Consider the affine plane curve defined by the equation y^2=x^5+1. y^2=x^4 - 6x^2 + 3

とはまるで異なる件についても是非考察願うと學生E。


 直前の問題で焼けぼっくいに火がつき、x6 + 9x4 - 4x3 + 27x2 + 36x + 31=0 の 解のひと
つをαとすれば、他の解は、

-((4*α^5)/45) + α^4/45 - (8*α^3)/9 + (26*α^2)/45 - (137*α)/45 - 91/45,
-(α^5/60) - α^4/60 - α^3/6 - (4*α^2)/15 - (73*α)/60 - 79/60,
-(α^5/36) + α^4/36 - (5*α^3)/18 + (5*α^2)/9 - (65*α)/36 + 11/36,
(11*α^5)/180 + α^4/180 + (11*α^3)/18 - α^2/45 + (403*α)/180 + 419/180,
(13*α^5)/180 - (7*α^4)/180 +(13*α^3)/18 - (38*α^2)/45 + (509*α)/180 + 127/180


だと以前の問題を今解決したと學生M。無論、発想でも叶うと。それ等を観た學生Dが

  y2=x6 + 9x4 - 4x3 + 27x2 + 36x + 31

の双対曲線を多様な発想で求めてと。計算の双対曲線なのねと學生諸氏。傍らの飯高先生
は手書きで、y2=x6 + 9x4 - 4x3 + 27x2 + 36x + 31の双対曲線を為そうとしておられるが我々
受講者は、発想に限定し非線型写像Fを構築中....。

 c: y2=3次以外のQ[x]の元は枚挙に暇なく誰でも好きなように定められ、右辺=0 のも解問
題とcの双対曲線は未来永劫多様な発想による探求がなされることは想定されると飯高先生。

 「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)の増補版に、それらが為
されたなら追加するよと飯高先生がいつかおっしゃったことを想起した學生諸氏は俄然やる気
が生じ今夜も眠れない.....。此処を訪れられる世界の皆様も上の問題群の解答を願います。特
に非線型写像Fの構築を。

 追記;學生Dは他の発想でと、-x6 - 9x4 + 4x3 - 27x2 - 36x + y2 - 31 = 0 の双対曲線は

496*x^12 - 576*x^11 - 55080*x^10*y^2 + 432*x^10 +27648*x^9*y^2 + 64*x^9 + 1702215*x^8*y^4
- 116964*x^8*y^2 +144*x^8 + 5998212*x^7*y^4 + 84240*x^7*y^2 -71955216*x^6*y^6 - 5429592*x^6*y^4
- 122283*x^6*y^2 +16*x^6 - 89124624*x^5*y^6 + 13725612*x^5*y^4 +11988*x^5*y^2 + 2129543136*x^4*y^8
- 367940880*x^4*y^6 -4952826*x^4*y^4 - 47871*x^4*y^2 + 4304435904*x^3*y^8 +227751264*x^3*y^6
+ 6272316*x^3*y^4 - 3780*x^3*y^2 -23264361216*x^2*y^10 + 929667456*x^2*y^8 -372244896*x^2*y^6
+ 1108080*x^2*y^4 - 9477*x^2*y^2 -101628525312*x*y^10 + 7478910144*x*y^8 - 57211920*x*y^6
+866052*x*y^4 + 826497043200*y^12 - 47753162496*y^10 +598993056*y^8 - 10404288*y^6 + 25515*y^4
- 729*y^2 = 0


だと答えを云ってしまい上の非線型写像Fの構築後、導出派を慌てさせた....。まだ解決途上。

 吉田輝義氏の「ガロア理論」から、特に、も解に関わる箇所を深く掘り下げ論文をと示唆さ
れ、数学科に籍を置き近未来の生活も不安だが数本リジェクト。

 数セミに、「代数方程式 x5-5x3+5x-2=0 を解け。」と 學生。計算で為すことが皆無なの
で終わりと云うと、研究室の學生Dが「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪
川幸彦 著)の著者の上野健爾先生の60p&61pの格好の素材だからと書籍を開き代数曲
線 k[X,Y]/<Y-(X5-5X3-5X-2> の双対曲線を求めようと提案し、全員一致で多様な発想
で求め始めた。暫くすると、學生Dが、資料の如く、そこまでやるかと飯高先生をして語らし
める色とりどりの顛末図を提示した。飯高先生は他のメンバーに學生Dが為した諸々の事
柄を丁寧に導出してレーポートにし机上にと、更に付言:「為せばボーナス点」が獲られます
よと。数セミに、もう一問在るようだ。左の黒字の代数曲面達の(我々の著作には例もない)
双対曲面達を求めたらボーナス点をあげると飯高先生。學生のあれこれの双対化の議論が
研究室の外に漏れ、「数學は手計算で為す」と口癖の教授がふらりと入室され、紫枠の巨大
方程式を観て、「よっしゃ、手計算で導出しょう!」と黒板に記載され始めて__時間経つが未だ
進行中.....。此処を訪れられる世界の皆様も上の問題群を解き此処に投稿願います。


 以前の問題で「ほんとにあそぼう!」と研究室のメンバにー呼びかけると「遊ぼう! 」と答える
仲間が居て、それぞれの多様な発想を尊重しつつ、特に非線型写像を自ら導出し像を求め
て双対化の問題を解いて遊びたいと。(平成24年8月28日付け)

 夜が明けるまで遊び続けようと受講生全員ががんばって遊びの成果=双対化を獲たいと
奮闘中です...。

 PARI を用いて楕円曲線を詮索しようと研究室のメンバー。具体例を見い出し、さっそく入
力したら右下を返し「これって何よ!」と皆叫んだ。學生Dが口を開こうとするや否や飯高先生
が代弁。

(1) この具体的な楕円曲線の双対曲線を多様な発想で求めてください。學生Dが最初に青
  線で示した。

(2) 双対曲線の特異点を計算し求めなさい。學生Dが求め青点で示した。

(3) 其れを用いて、もとの楕円曲線の接超平面を求めてください。學生Dが求め図示した。

 それを視た學生が、直に、楕円曲線の曲率を求め、楕円曲線と曲率=0の共通零点を計算
 で求め、図示もし、接超平面を図示したところ、學生Dと同じ結論を獲た。

(4) 此処までよくわかると聴いていたメンバーが、今回の例では2つしか無いが、楕円曲線
  には変曲点が9個なる言明が在るよ!証明しなきゃと開始した。

 数學は手と頭で為すべきと恒に云われておられた教授H&H がふらりと入室され、何十年
も禁欲していたが、PARI が手もとで直ぐ使えるのなら今後駆使しようと。
(残りの人生がもっと有意義に過ごせそうだからと)

 具体例を視ていた學生Iが、楕円曲線と双対曲線上に格子点が幾つか紫点で明示してあ
ると。學生Fが、資料のように c--F-->c* なる非線型写像Fを求め、c上の格子点の像達
を求め図示したと。さっそく、そのFを求める発想で双対曲線を求め始めた。無論、全員が先
斎次化し、今回は、楕円曲線なので、飯高先生の云われる行列表現の道から逸れて双
対曲線を求め始め、得たなら非斎次化し描くと青線になることを目指した...。ただ今進行中。

 また、學生Mが、上で獲たF による、例えば、問題のどれもなすべきだが、右下の楕円曲
線の像を求めよう」と趣の異なる提案をした。飯高先生も、こんなのは初耳だと取り組まれ
3 - 3x2 + 3xy2 - 3y2 + 3 = 0 のFによる像、曲線が

1386*x^8 - 19197*x^7*y - 486*x^7 + 66495*x^6*y^2 +15606*x^6*y - 1224*x^6 - 96660*x^5*y^3
- 50724*x^5*y^2 +2916*x^5*y + 672*x^5 + 81888*x^4*y^4 + 51912*x^4*y^3 -5718*x^4*y^2 - 3132*x^4*y
- 55683*x^3*y^5 - 11526*x^3*y^4 +5778*x^3*y^3 + 8504*x^3*y^2 - 648*x^3*y + 30423*x^2*y^6
-19098*x^2*y^5 + 10416*x^2*y^4 - 13896*x^2*y^3 +2826*x^2*y^2 - 8352*x*y^7 + 14928*x*y^6
- 19458*x*y^5 +13248*x*y^4 - 4077*x*y^3 + 162*x*y^2 + 1873*y^8 -2880*y^7 + 4824*y^6 - 3348*y^5
+ 2187*y^4 - 486*y^3 = 0


となったが、あっているか確かめてくれと云われた。確かめた後、その曲線の双対曲線を
多様な発想で求める仕事がまた増えて愉悦を覚え今夜も眠れないなぁと 學生諸氏。

 ここを訪れられる世界の皆様へお願い;上で學生が為したことや飯高先生が為されたこ
との行間をきちんと埋め此処に投稿願います。


 直前の、飯高先生もこんなのは初耳だと取り組まれ、をも提示した。
                                     (平成24年8月29日付け)

 赤の閉曲線部分のFによる像が閉曲線なのは想定の範囲内と受講生全員。直ぐ囲まれた
部分の面積達を求めはじめた學生諸氏。傍らの飯高先生が、其れより代数多様体の受講生
らしく、像の双対曲線に多様な発想で挑むべきではありませんかと。

 上で、各点が何処に写されるか調査の過程で、赤のy=0 としたときのx3 - 3x2 + 3=0 のガ
ロア群は何と飯高先生が問われ、學生はPARI を用いて答はA3 と即答した。赤のy=-1/69
としたときの (1587x3 - 4761x2 + x + 4760)/1587=0 のガロア群は何と飯高先生が問われ
學生はPARI を用いて答はS3 と即答した。

 飯高先生は、質問に要する時間とコタエに要する時間の余りの乖離に驚かれる様子もなく
導出過程(証明、行間)を省いちゃいけませんと何時もの口調で諭された。も解問題として解
こうとした學生は、S3 の方は、発想で為し始め、現在進行形。飯高先生はPARI を起動し、
赤のy=y0 としたときの _______=0 のガロア群はと(yoを色々かえ)愉しまれた。像の12次の代
数曲線についても同様なゲーム感覚で遊ぼうと學生に呼びかけると、あそぼうって受講生全
員が唱和したが、答えがA3かS3 に限られているのとは大違いで、予想が全然中らないので
消沈した。答えはPARI が瞬時に云うのに.....。

 直前の飯高先生の非線型写像Fによる像の例を観た受講生は、「Inversive geometry」を
想起し、何でも写してやろう精神の欠如に疑問を抱いた。それを聴いた學生が、

   Circle inversion is generalizable to sphere inversion in three dimensions

とあるけれど円(球)等の像のみで、代数曲線(代数曲面)の反転なんてみたことがない、何
故写さないのだろうと。それを聴いた學生がそもそも何でも写す価値が在るの? と、何故写
すかが重要なのじゃないと。何故反転で円(球)等限られたものしか写さないか?

 反転:R2--F-->R2 で何でも写してやろうと學生が云い始め、何故写すかと問われ其処に
高次の代数曲線が山ほど在るからと決め台詞。まず、學生Hの我が心が反転により如何に
捩れるか試そうと先ず自分の心を表現激白したく、

  -(x - y)3(2x + 3y)2 + (-1 + (x - y)2 + (2x + 3y)2)3

の等位線や如何 ? と計算を視ると特異点が想定の範囲に在るのを観た後反転を施し、

 c: -(x - y)3(2x + 3y)2 + (-1 + (x - y)2 + (2x + 3y)2)3=0

の像F(c)を求め図示した。視られた飯高先生が心にあんな傷(特異点)があるなんて数多の
高次の代数曲線を研究してきたが遭遇初夜だと。実際、計算でcの特異点を求められ本当
に想定外の特異点があるが、まだ信じられないと思索しておられた.....。図を視れば問題群
がわかるよう結論図を描写したので問題群を多様な発想で解いてと學生H & F & D。今回
の非線型写像は逆写像が瞬時に求められ、それを用いてのF(c)の方程式の導出は易しい
が、他の多様な発想でも是非為してと傍らの飯高先生。特に、心の双対曲線の特異点を求
めて心に二重接線が在ると若き飯高先生が心時めいた事実を体験して下さい。

 微積履修中の學生が研究室に紛れ込み心の広さというか狭さというか面積を求めてと要
望し具現中..。F(c) の面積も求めてと要望し具現中.....。

付記: 心 c が四角形に収納されている図が示して在る。四角形を構成する各直線の像を
   求めて図示願います。F(c)についても収納する四角形を求めて下さい。


 PARI/GP の事例の楕円曲線eを反転 I(e)=赤線し、さらに、その双対曲線 I(e)*=青線を求
問題提起。(平成24年8月30日付け)

I(e)=赤線 の方程式、その次数をn1とし、(n1-1)(n1-2)/2-二重点の個数=______
I(e)*=青線 の方程式、その次数をn2とし、(n2-1)(n2-2)/2-二重点の個数=_______ 等。

 最初の楕円曲線e: y2 + 6xy + 9y= x3 - 3x2 - 16x - 14 に戻り、その次数をnとし、
(n-1)(n-2)/2-二重点の個数=___ を求め、念のため、eをyについて解き、その不定積分を
求めたらどうと「数學は手と頭で」が口癖の教授。


 c: Y2=X4 + 52X3 - 26X2 - 12X + 1 の

(1) 双対曲線 c*を多様な発想で求め、
(2) その特異点を求め、それに対応するcの接超平面Tを求め、
(3) cとc* と T と特異点を図示してください。

と學生PEが研究室に持ち込んだ。(平成24年8月31日付け)

 飯高先生が先ず斎次化し、二次曲線ではないので行列に持ち込める問ではないので私も
参加しましょうと云われ、すべてを解決し自ら為した仕上げ図の(3)を鑑賞し、特異点の名は
と飯高先生が問われるので、その名は尖点だと成就感を覚えたところ、c の右辺を改めて
視て! と學生PE。云われてみて皆、「親しみ過ぎた楕円曲線かと思ってた」「特異点も尖点だ
し、図示も似てるし..」「Pseudo Elliptic curve と命名しようやPE 君」と。傍らの飯高先生は、
そんな命名は自由だが世間や學会が許さないよと。実はと學生PE がきりだした。自分も導
出し、右下となったと。図示された赤線は楕円曲線に似てるし、青の特異点の様子も酷似だ
しと皆。右辺の4次;X4 + 52X3 - 26X2 - 12X + 1はと計算。これを視た學生諸氏は我々は最
小零点の辺りに気がつかなかったと、改めて(3) を丁寧に解き、全然楕円曲線ではないこと
に漸く気づいた。

 他の部分を観た受講生は、c: Y2=X4 + 52X3 - 26X2 - 12X + 1 の右辺の出所かぁと省か
れてはいないが行間を読む必要が在ると味読中.....。

 大数學者ガウス先生が「も解」と変なのを日誌に記載しているようだが、我々はも解をQ[ζ]
の3次以下の多項式で表現しようと提案したところ、學生MSが

  {ζ, -((9*ζ^3)/4) - (465*ζ^2)/4 + (389*ζ)/4 - 23/4, -((5*ζ^3)/4) - 66*ζ^2 - (81*ζ)/4 + 3/2,
                                      (7*ζ^3)/2 + (729*ζ^2)/4 - 78*ζ - 191/4}


と答えた。どんな発想でと問われ、行列のサイズは資料よりはデカイがこの発想で為したと。

 飯高先生はPARI を起動し、ガウスの云う X4 + 52X3 - 26X2 - 12X + 1=0 のガロア群は
何とかと入力され想定通りだと愉しまれた。件の数學は手と頭で為すべきと恒に云われてお
られた教授H&H は傍で様子を視ておられた。ジエンドの気配を感じた學生PE が、実は、
GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010」から今回の c: Y2=X4 + 52X3 - 26X2 - 12X + 1
の問達を創作したと吐露した。確かに、7pに其のも解が在ったが、スタート地点から殆ど動
いていないことに気が付き、今夜も明日も眠れないが、頑張れば近いうちには眠れそうと既
に体論履修諸氏。

 暫くして、學生mが次の問題群を述べた。

(1) ζ= -13 - 6*Sqrt[5] + 2*Sqrt[85 + 38*Sqrt[5]] のQ上の最小多項式を本当に多様な
  発想で求めてくださいと即座に求めよと命令し、即答され、しかも余計なこととは云えぬ
  連分数展開まで眼前に大サービス。無論、學生は各自が多様な発想で現在導出中...。

(2) ζ= -13 - 6*Sqrt[5] + 2*Sqrt[85 + 38*Sqrt[5]] のQ上の共軛元を求めてください。

(3) その各共軛を、 -13 - 6*Sqrt[5] + 2*Sqrt[85 + 38*Sqrt[5]]の有理式で表してください。

 答えは知悉だが、具現には近いうちにとは云えそうにない問題であり、長期休業中の宿題
にした。


 (x2 + y2 - 1)3 - x23 = 0 を先ず描いて欲しいと學生K。(平成24年8月31日付け)

 即座に受講生全員が描いて ! と所望し、ハートなる代数曲線cであると判明した。

 (1,-3/2)を中心とする円がcへ接するように、多様な発想で定めてくださいとのKの要請に、
代数多様体の學生であることの証にと全員が多項式環 F[x,y,k] の ideal を持ち出す発想
同心円図まで描いた。行間を補うと、

-332306998946228968225951765070086144*(-29 + 4*k)^3*(-25 +4*k)^6*(-9 + 4*k)^6*(-5 + 4*k)^3*(2017
- 136*k + 16*k^2)^2*(4343373216133929 + 172615596040440*k + 2538681501934800*k^2
+170377807178240*k^3 + 419491941974528*k^4 +72141409210368*k^5 +27253829738496*k^6
+ 519557480448*k^7 - 12027887616*k^8 -101187584*k^9 +1048576*k^10)^2*(203007960754665215625
-975428323121587806000*k +2201694409318441888800*k^2 - 2801507244119473229568*k^3
+2123102254878233761536*k^4 - 1022182751463997464576*k^5 +341034696243673415680*k^6
- 81770696648106049536*k^7 +14185760473450217472*k^8 - 1752772846715666432*k^9
+146345215628673024*k^10 -7329074380800000*k^11 + 163840000000000*k^12)


から、kを求め図示した。それは解決したが、未解決の問題を紫枠に記したのでお願いしま
すと學生K。ハート上の(1,0)に於ける接超平面を求めれば易しい問題と全員が為そうとした
が.....何か其処で想定の範囲外のことが生じているなとハートの特異点を求めてみて、「あっ、
なにこれ!」と。傍らの飯高先生が水位を上げ下げして描いてごらんと示唆されたので描くと、
右の等高線が浮かび上がり、飯高先生も、「そんなところに特異点がっ!」と驚かれ、未解決
の問題が未解決のままのこった....。學生Dが口を開きかけるや否や飯高先生が代弁しようと
「多様な発想で、ハートの双対曲線c* を求め、その特異点等をも求め、ハートの研究をして
ください」と。學生Fが、c--->c* なる非線型写像を求める発想も為して! と要請した。無論、ハ
ートに二重接線が在るから双対曲線には二重点が在るはずと。自家用車通学生はバーチャ
ルでハート上を運転し、変曲点が在るようだったら、双対曲線には尖点が在るはずと。もう受
講生全員が為す前から予想し、その予想を証明し始めた。傍らで飯高先生が、それぞれが各
自の発想で為すのを嬉しそうに眺めておられた。ところで、ハートの特異点は何故こんなとこ
ろにと考え込まれた。


 「それは代数曲線だから」と飯高先生が云われたので、多様な発想で具現しようと
4 + 2x22 + 2x2y - x2 + y4 + 2y3=0 と受講者全員が時間差はあったが為した。
                                       (平成24年9月1日付け)

 数學は手と頭での教授が、それを手と頭では時間がかかり過ぎるので學生の真似をし
し、受講者全員が為したことに誤りがないことを確かめられ、囲まれた部分の面積はと問
わずにはいられない御様子であった。このハートに如何なる特異点があるか、双対曲線を
求める前に予想しようと學生。直前のような特異点はなく想定通りと断言。

 では、<-2x + 4x3 + 4xy + 4xy2,2x2 + 4x2y + 6y2 + 4y3, -x2 + x4 + 2x2y + 2x22 + 2y3 + y4>の共通零
点はと調査開始し、「前のは心に傷が在るのをそれとなく隠匿してるのねぇと......」受講生は、
点(x0,y0)を指定し、このハート: x4 + 2x22 + 2x2y - x2 + y4 + 2y3=0 との最短距離の問題
群を解き始めた。無論、常套手段も為すと同時に代数多様体の受講生らしくideal を持ち出
し、前問のように。2次曲線、2次曲面では誰のハートも描写叶わず、高次の代数曲線、代数
曲面を學ぶ必要が在ることに遅ればせながら気がつき、是非高校で履修すべき」と。

 眼前に示された各曲面の双対曲面は「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、
浪川幸彦 著)に一例もないので、飯高先生もまきこんで多様な発想で双対化しようと學生
Dが提案し、数日間は愉しめそうと提案者に謝辞を述べ、ただ今具現中......。

 受講生Gが研究室へ。円関数を用いて描いた赤線のハートを凝視し、左上の穴に円函数
で構成された式を挿入してください! と。飯高先生が、それを視て、それなら代数曲線で、し
かも、有理曲線だから証明してと云われたので、多様な発想で赤方程式を導出し、「ハート
は高次な代数曲線」に驚愕した。あとは、数多な問題が在るので、解いて愉しんでと云われ
た。実はと受講生G。ハートは、「Heart Curve」(下の方に在り)から獲たのと告白。しかし、ハ
ートには、想定の範囲内の特異点しかないのねと前問と比較し、まだ、この想定外の特異点
が在る理由を飯高先生は思索しておられた.....。

 特異点の名称に、名は体を表す「嘴点」と云うのが在ったと解析概論等を携え、學生が研
究室へ例[4]の嘴点の在る5次の代数曲線の双対曲線を多様な発想で求めてと要望すると、
學生Dが青方程式を導出し図も描いた。研究室のメンバーは他の発想で是非と青方程式を
導出中。[5]の4次代数曲線=茶色線の双対曲線も多様な発想で求めて図示し研究してくださ
い。

 前にも取り上げたが、概論に、y2=x3 と点(0,1)との最短距離への言及があったので、直前
のハート曲線と例えば、点(10,-12)との最短距離を代数多様体の受講生らしく求めようと 學
生が発案し、ideal を持ち出し、資料のように解決し図も描き題意が不明などと誰も云わない
問題と。idealの2行目は、xについて10次であり、この判別式を用いて解決したので、必ず行
間を埋めてください。

 前回の最短距離の後問題に遭遇し解答を代数多様体の受講生らしく多項式環K[x,y,z,r]
のと云いだしたところ、飯高先生が、ideal を全面に押し出し解答してくださいと云われ受講生
全員が

<2*x*y + z^2 - 1, -r^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2>∩K[x,y,r]
=<r^4 - 2*r^2*x^2 + 4*r^2*x*y + 4*r^2*x - 2*r^2*y^2 + 4*r^2*y - 14*r^2 + x^4 - 4*x^3*y - 4*x^3
+ 6*x^2*y^2 + 4*x^2*y + 18*x^2 - 4*x*y^3 + 4*x*y^2 + 12*x*y - 28*x + y^4 - 4*y^3 + 18*y^2 - 28*y + 33>


で、これより判別式を2度使い、

{-65536*(4*r^6*x^2 - 4*r^4*x^4 + 40*r^4*x^3 - 72*r^4*x^2 + 4*r^4*x - r^4 - 32*r^2*x^5 + 320*r^2*x^4
- 336*r^2*x^3 + 392*r^2*x^2 - 56*r^2*x + 12*r^2 - 192*x^6 + 512*x^5 - 960*x^4 + 608*x^3 - 544*x^2
+ 96*x - 20)}


 随分、xについて高次だが.....。

{-784637716923335095479473677900958302012794430558004314112*(r^2 - 2)^2*(r^2 - 2*r - 5)*
(r^2 + 2*r - 5)*(r^12 - 12*r^10 + 312*r^8 - 8224*r^6 + 68496*r^4 - 187968*r^2 + 164800)^3}


より少し検討し、r2-2=0 より、r= と飯高先生の意図を汲み取り解決したが、誰にも内容
が腹の底から理解できるようR3の超曲面 2xy + z2 - 1=0、接している球面、共通接超平面、
垂線を全部次回までに図示しようと。

 院試問題を日頃解き準備中の學生Iが、その問題は何処かの大学院の過去問じゃない?
と検索し、T大だと。過去問と聞き、今回のようなideal をもちだし解答したら30点のうち何点
いただけるのかしら? とJ。飯高先生は個人的な見解だけれど「多様な発想」を出題者が望
まれておられ満点かもねと...。但し、ideal I1=I2 の証明が自明と云わずなされてないとダメ
だなぁ-と。

 R4 の超曲面: f(x,y,z,w)=0 と点(x0,y0,z0,w0) の最短距離を求めよと超曲面と点を
具現し問題をくださいと女學生に云われ次回までの宿題とした。それもいいけれど、今回の
2xy + z2 - 1=0 の双対曲面を多様な発想で今求めようと提案者が現れ、ただ今具現中。無
論今回のは二次曲面なので、行列にもちこむ発想も。無論、以前の次元をあげた図も描き、
非線型写像による発想をも! と學生D。


 ちょっと逡巡して云いそびれたけれどと飯高先生。(平成24年9月2日付け)

 先の最短距離の問題は、「Lagrange Multipliers」なる発想で丁寧に解答を先ず書き、実は、
環論を自學し、<2xy + z2 - 1, -r2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2>∩K[x,y,r] を求め、判
別式を2度使えば最短距離が獲られますと付記しておけば合格は確実でしょうと。その理由
は、その方針で教授陣がきちんと手と頭のみを使い __体に鞭打ちがんばって為し獲たぁ!
-784637716923335095479473677900958302012794430558004314112*(r^2 - 2)^2*(r^2 - 2*r - 5)*
(r^2 + 2*r - 5)*(r^12 - 12*r^10 + 312*r^8 - 8224*r^6 + 68496*r^4 - 187968*r^2 + 164800)^3

と叫ばれる故。飯高先生は、更に、資料を引用され、如何なる高次の代数曲線でそのハート
が表現されても点とそのハートとの最短距離が保証されるか研究を」と。保証されない一例を
掲げたが、他のそのような想定外の特異点をようするハートの方程式を例示してと。


 學生Dが次の2つの代数曲線を携えて研究室に。(平成24年9月3日付け)

c1:x6 + 9x4 + 11x2 + y2 - 37=0
c2592*x^12 + 15096*x^10*y^2 - 176*x^10 + 1772781*x^8*y^4 + 121324*x^8*y^2 - 144*x^8
  + 18572224*x^6*y^6 + 1420108*x^6*y^4 - 1863*x^6*y^2 - 16*x^6 + 1151245824*x^4*y^8
   - 85945792*x^4*y^6 + 3073662*x^4*y^4 - 33903*x^4*y^2 - 3970056192*x^2*y^10 + 804475904*x^2*y^8
   - 42842304*x^2*y^6 + 1000620*x^2*y^4 - 9477*x^2*y^2 + 3319595008*y^12 + 515883008*y^10
   - 7672320*y^8 - 1961280*y^6 + 73629*y^4 - 729*y^2=0


 c1 を一瞥した受講生全員が楕円曲線かと色めき立ったが、y2=-x6 云々で緊張感失せ、
興奮は冷めた。c2 を観ようとした受講生の中には、ハチャメチャな方程式と呆れ顔の方も
存在した。D の何時も後塵を拝す學生d は、D の代弁を自らかってでた。

 c1の双対曲線は、c2である。   c2の双対曲線は、c1である。

(1) どちらの証明を好みますか?好きな方を多様な発想で為してください。

 そりゃ、c1--双対化-->c2 の方だが、楕円曲線でもないのに証明する価値が在るのっ! と
不満顔の人在り。學生F は非線型写像を構築し、

(x,y)--F-->(X,Y)=((-6x5-36x3-22x)/(x(6x5+36x3+22x)+2y2),-(2y/(x(6x5+36x3+22x)+2y2))

 これで、F(c1)を求めれば、c2 が獲られると。c1 の姿は察しがつくが依存:格子点を通ること
を教えていただいた。(→ 参考)學生F が真実を述べている! と、証明し始めた。無論、他の
発想でも、c1の双対化を為し始めた。傍らの飯高先生も先ず斎次化しと数分遅れで開始され
て、ただ今具現中...。

(2) c1姿を願うと零点分布まで眼前に露わにされ、も解問題如何と、あっガロア群ね、それ
  はS6 でしょうと体論履修者K。発想を使うのでしょうと大方の諸氏。「PARI/GP」を使ったと
K吐露。問題を想起した學生が、αが解なら、

  (1/40)*(45+43*Sqrt[5])*α^3+(3/40)*(775+749*Sqrt[5])*α^2+(1/40)*(-1965-539*Sqrt[5])*α
                                                + (1/40)*(-925-439*Sqrt[5])
も解。

  (1/40)*(-45-19*Sqrt[5])*α^3+(3/40)*(-775-327*Sqrt[5])*α^2
                              +(1/40)*(1965+847*Sqrt[5])*α+(1/40)*(-115-63*Sqrt[5])

だって、も解。それならと競争原理が働き、次だって、も解だ!

  (1/40)*(19*Sqrt[5]-45)*α^3+(3/40)*(327*Sqrt[5]-775)*α^2+ (1/40)*(1965-847*Sqrt[5])*α
                                                  +(1/40)*(63*Sqrt[5]-115)


と云う學生在り。4次方程式に、そんなにも解が在る(すでに、Q[α]の元のも解1+3 と今回で、
(1+3)+3も在り、Fundamentalsatz der Algebra に反する! と騒然となった...。あなたならどうす
る! と何事かと他の研究室のメンバーが覗き、「なあ--んだ、4次方程式の解の個数位で騒ぐ
なっ!」と怒鳴られた。

(3) 元に帰り、c1 と c2 を図示してください。為した學生曰く:双方とも特異点は珍しくなさそう
  で侘しいなあと。囲まれた部分の面積を求めたがる學生は苦悩中.....。受講生は今回は不
  満顔であった。楕円曲線でもないし図示しても侘しいしガロア群もS6の部分群でもなく....等。
  勝手につくった問題でしょと責められ、実は、と吐露。此処から引用した代数曲線なのです
  が.....、此処からが本番なのですが.......、如何せん.....と口籠もった......。助けてください.....と。
  藁を投じた仲間もゐた。案の定掴んだが溺れた...。傍らの飯高先生曰く、「準備不足だね。
  いきなりはできっこない」と。

(4) しかし、此処の黄色枠の問題達は多様な発想で解いてと要望し、ただ今具現中。非線型
  写像は経験不足だがと......。経験がものをいうのであれば進展はない! と飯高先生は鼓舞
  された。とはいえ経験者は語る;「非線型写像F、非∈Hom(K2,K2)でGL(K,2)の元ではない
  ので名古屋大の手法は使えないので」と。特に、H の心の像には想定外のことが在りそう
  で、悩まされそうと飯高先生が云われ、像を本当に求めた後は特異点を必ず求め、飯高
  先生のおっしゃることを理解し悩もうと....ただ今具現中...。

 前回の最初に、有理数解についてが在り、下枠の有理曲線の明らかな事例の問[2](名
古屋大院試)に邂逅したので、此処のFで何でも写してやろうと記載したような問達が生まれ
たと學生F。(→ 参考1参考2)双対曲線も同時に描いてと Stephen Wolfram,創設者に要
望願います。多様な発想で各像を求め、獲た曲線が有理曲線で在ることは明らかであるが、
10点ずつ求め図示をも願います。今回のは、問題と絡まります。悩んでも大きくなれないリュ
ーローの定理........。


 資料を真に視ていただいたなら問題達を記する要、皆無と。(平成24年9月4日付け)

 今回は殆どしゃべらず寡黙模倣の問題提起の飯高先生の一受講者、でも、参考文献
度は明記許容乞うと。資料のF を具現願う!今まで廣長舌で真に読むに値しないとシカトなさ
る方も今回は読み顛末を投稿さる....。知悉か存ぜぬが楕円曲線に帰着するのだからと。


學生S が(平成24年9月5日付け)

c:2*x^10 - 12*x^8*y^2 - 33*x^8 + 22*x^6*y^4 - 112*x^6*y^2 + 160*x^6 - 4*x^4*y^6 + 49*x^4*y^4
  + 188*x^4*y^2 - 200*x^4 - 24*x^2*y^8 + 152*x^2*y^6 - 56*x^2*y^4 - 160*x^2*y^2 + 96*x^2 + 16*y^10
  - 48*y^8 + 80*y^6 - 80*y^4 + 48*y^2 - 16 = 0


の特異点を調べて欲しいとメンバーに要望した。

 資料のような考察をしたいとの學生S の空気は読め、受講生全員が取組始めた。

 「特異点と非特異」のようなのを今回ので具現し、YouTube に投稿したらと飯高先生。暫く
して、學生 S:「この曲線c を描いて! 」と。「次々難題を出す學生S が悪魔に見えた」と皆が
囁いた。(飯高先生のみ、肯綮に中ることを云うなアと驚愕された。即ち、あの高次のcの双
対曲線が悪魔曲線を先生が知悉なので)學生S が、その双対曲線を多様な発想で求めて
と云うと、3秒後に學生F が、[x,y]--F-->F[x,y]

F[x,y]=[ (-(20*x^9) + 96*x^7*y^2 + 264*x^7 - 132*x^5*y^4 + 672*x^5*y^2 - 960*x^5 + 16*x^3*y^6
    - 196*x^3*y^4 - 752*x^3*y^2 + 800*x^3 + 48*x*y^8 - 304*x*y^6 + 112*x*y^4 + 320*x*y^2 - 192*x)
    /(20*x^10 - 120*x^8*y^2 - 264*x^8 + 220*x^6*y^4 - 896*x^6*y^2 + 960*x^6 - 40*x^4*y^6
    + 392*x^4*y^4 + 1128*x^4*y^2 - 800*x^4 - 240*x^2*y^8 + 1216*x^2*y^6 - 336*x^2*y^4 - 640*x^2*y^2
    + 192*x^2 + 160*y^10 - 384*y^8 + 480*y^6 - 320*y^4 + 96*y^2), (24*x^8*y - 88*x^6*y^3 + 224*x^6*y
    + 24*x^4*y^5 - 196*x^4*y^3 - 376*x^4*y + 192*x^2*y^7 - 912*x^2*y^5 + 224*x^2*y^3 + 320*x^2*y
    - 160*y^9 + 384*y^7 - 480*y^5 + 320*y^3 - 96*y)/(20*x^10 - 120*x^8*y^2 - 264*x^8 + 220*x^6*y^4
    - 896*x^6*y^2 + 960*x^6 - 40*x^4*y^6 + 392*x^4*y^4 + 1128*x^4*y^2 - 800*x^4 - 240*x^2*y^8
    + 1216*x^2*y^6 - 336*x^2*y^4 - 640*x^2*y^2 + 192*x^2 + 160*y^10 - 384*y^8 + 480*y^6 - 320*y^4
    + 96*y^2)]


なる非線型写像F による、あのcの像F[c] の方程式を求めればよいと。導出となるとと皆悩
んだ。學生F は方針を述べただけで自分では為していないのではないかと呟きながら。

 最初のc の特異点をすべて求め、cを図示した學生諸氏は二重点が在るし尖点も在るしと
観察しながら議論していると、傍らの飯高先生が手書きで、c* を描いてみようと為され、それ
を視た受講生が、あっ、悪魔曲線だ!と叫び騒然となった。

 資料とは異なるが、特異点の様子が似ているので、4次曲線だろうと悪魔で検索し(図では
グラフ描画ソフトを用いたので、うっかり 二重接線や変曲点に於ける接線が存在することを
忘れてしまった。)

 今度は、この方から双対曲線を多様な発想で求め始め、時間差はあったが全員が具現し
た。無論、先ず、斎次化しの発想も。非線型写像F を導出し為そうとしたら今までと異な現象
が生じたが、何とか、終結式で為し終えた。(→ 参考:「悪魔曲線」、「悪魔曲線2」)

 ところで、途中で引用した資料は有難いことに一行目に斎次化していただいているので多
様な発想で双対化しようと學生D。無論、非線型写像F を導出し為そうとただ今 具現中。

 英文の部分を携えて研究室に入室したK。即座に受講生Dが赤、青部分の問題を作成し
た。學生F が発想の一つ、非線型写像:[x,y]--F-->F[x,y]

F[x,y]=[(-(4*x^3) + 6*x^2 - 4*x*y^2 + 54*x - 6*y^2)/(4*x^4 - 6*x^3 + 8*x^2*y^2 - 54*x^2 + 18*x*y^2
    + 4*y^4 - 54*y^2), (-(4*x^2*y) - 12*x*y - 4*y^3 + 54*y)/(4*x^4 - 6*x^3 + 8*x^2*y^2 - 54*x^2
    + 18*x*y^2 + 4*y^4 -  54*y^2)]


により、F[赤線]=青線を必ず証明してと。このF の質問には未だ応えた人がいない様子.....。


 このR3に於ける1次元多様体をR3に於ける代数曲面達の共通部分として表現したいのだ
がと「平面曲線の幾何」の空間曲線の幾何版を予定されておられるのではと忖度した受講
生。(平成24年9月6日付け)

 暫くして學生Gが、次のideal Iから定まる共通零点だと。

{25*y^2 - 200*y^4 + 560*y^6 - 640*y^8 + 256*y^10 - 16*z^2 + 80*z^4 -  128*z^6 +  64*z^8,-15*y^2
+ 80*y^4 - 128*y^6 + 64*y^8 - 4*x*z + 12*z^2 - 24*y^2*z^2 + 40*x*z^3 - 40*z^4 + 80*y^2*z^4
- 96*x*z^5 + 32*z^6 -   64*y^2*z^6 + 64*x*z^7, 5*x - 20*x*y^2 + 16*x*y^4 - 3*z + 44*y^2*z - 48*y^4*z
- 48*x*z^2 + 96*x*y^2*z^2 + 8*z^3 - 256*y^2*z^3 + 256*y^4*z^3 + 160*x*z^4 -  320*x*y^2*z^4 + 48*z^5
+ 256*y^2*z^5 - 256*y^4*z^5 - 128*x*z^6 + 256*x*y^2*z^6 -  64*z^7, x^2 - 4*y^2 + 4*y^4 + 2*x*z
- 4*x*y^2*z + z^2}


 これは面白いことになったと飯高先生も参加宣言をされ、學生Gと同じideal を手と頭でが
殆どだがと導出された。各成分から代数曲面 Sj:fj[x,y,z]=0 が定まるが、次元が一つず
つきちんと下がると、3-(1+1+1+1) でありえない事態なので探求せねばと皆。各代数曲面を
描き、 S1∩S2∩S3∩S4を何とか視座かえて視たい! と上から目線なら叶うかもと云う學生
が居た。双対化は為さずにはいられない体質なので為し、S1*∩S2*∩S3*∩S4*も視たいと
受講生。Iには4式も在るが、I=J で成分が少ないideal J は見出せないのか?と云い出す受
講生も居た。ただ今、上の問題群に対峙中....。

 受講生M が、増田佳代・宮西正宜先生の「判別式と終結式」を今まで何度も熟読し、関連
して「17 世紀日本と18-19 世紀西洋の行列式、終結式及び判別式」等を學んだことを想起し
特に、例2.10,2.11 の有理曲線の例に倣うべく、次のような問達を研究室に携えて来た。

t--->(x,y,z)=((2*(3*t^5 - 10*t^3 + 3*t))/(t^2 + 1)^3,-((8*(t^7 - 7*t^5 + 7*t^3 - t))/(t^2 + 1)^4),
                              (2*(5*t^9 - 60*t^7 + 126*t^5 - 60*t^3 + 5*t))/(t^2 + 1)^5)


から、例えば、

(x,y,z)--->(x,y)=((2*(3*t^5 - 10*t^3 + 3*t))/(t^2 + 1)^3,  -((8*(t^7 - 7*t^5 + 7*t^3 - t))/(t^2 + 1)^4))

を考え、t--->(x,y)=((2*(3*t^5 - 10*t^3 + 3*t))/(t^2 + 1)^3,  -((8*(t^7 - 7*t^5 + 7*t^3 - t))/(t^2 + 1)^4))

をMapleを利用するのもよいが,10pの終結式をきちんと用いて、x、yの関係式 f(x,y)=0

を導出してください。

 問を視た學生が、計算から、直線を適当に引き、この曲線と8点で交わるので、f(x,y)=0
は8次の代数曲線の筈だと。それを聞いた受講生全員が、「平面曲線の幾何」の7頁近傍を
視て、8pの表も視て、此れだと頷いた。ただちに、その8次の代数曲線の双対化を為さずに
はいられないと多様な発想で為し始めた。求めた學生が図示し適当な直線を引き著書に倣
い交点数を数えると6個しかなく訝った....。例によって、學生Fが、(x,y)--->F(x,y)

F(x,y)= ((32*x - 320*x^3 + 768*x^5 - 512*x^7)/(-32*x^2 + 320*x^4 - 768*x^6 +  512*x^8 + 18*y^2
      - 96*y^4 + 96*y^6), (-18*y + 96*y^3 - 96*y^5)/(-32*x^2 + 320*x^4 - 768*x^6 + 512*x^8 + 18*y^2
      - 96*y^4 + 96*y^6))


によるcの像を求めればよい! と。為そうとした数人が今まで為し得た手段で試みたが、PC
が黙して語らず諦めかけ、學生F は云うだけ番長で実際は為していないんじゃないと云った。

 暫く静寂が訪れたが、あの10pの終結式をきちんと用いて、

8*t^3*(7*t^8 - 28*t^6 + 58*t^4 - 28*t^2 + 7)*x - (t^2 + 1)^3*(t^8 - 28*t^6 + 70*t^4 - 28*t^2 + 1),
       32*t^3*(7*t^8 - 28*t^6 + 58*t^4 - 28*t^2 + 7)*y -  3*(t^2 - 1)*(t^2 + 1)^4*(t^4 - 14*t^2 + 1)


から為そうと云う発案者が現われ、経験したこともない巨大な行列を求め、目指す双対曲線
が獲られ、なんと14次の代数曲線であった。一部だけ此処に:

   11664*x^14 + 13608*x^12*y^2 - 34992*x^12 +...........=0

 (x,y,z)--->(x,y) と上で為した事柄を今度は(x,y,z)--->(y,z)でも為してと學生M。

 始めの t--->(x,y,z)

(x,y,z)=((2*(3*t^5 - 10*t^3 + 3*t))/(t^2 + 1)^3, -((8*(t^7 - 7*t^5 + 7*t^3 - t))/(t^2 + 1)^4),
                              (2*(5*t^9 - 60*t^7 + 126*t^5 - 60*t^3 + 5*t))/(t^2 + 1)^5)


を含む代数曲面Sj 達を求めようと飯高先生が云われ自ら為された。

S1256*y^10 - 640*y^8 + 560*y^6 - 200*y^4 + 25*y^2 + 64*z^8 - 128*z^6 + 80*z^4 - 16*z^2=0

S264*x*z^7 - 96*x*z^5 + 40*x*z^3 - 4*x*z + 64*y^8 - 128*y^6 + 80*y^4 - 64*y^2*z^6 + 80*y^2*z^4
    - 24*y^2*z^2 - 15*y^2 + 32*z^6 - 40*z^4 + 12*z^2=0


S316*x*y^4 + 256*x*y^2*z^6 - 320*x*y^2*z^4 + 96*x*y^2*z^2 - 20*x*y^2 - 128*x*z^6 + 160*x*z^4
    - 48*x*z^2 + 5*x - 256*y^4*z^5 + 256*y^4*z^3 - 48*y^4*z + 256*y^2*z^5 - 256*y^2*z^3 + 44*y^2*z
    - 64*z^7 + 48*z^5 + 8*z^3 - 3*z=0


S4x^2 - 4*x*y^2*z + 2*x*z + 4*y^4 - 4*y^2 + z^2=0

 これを視て如何なる感慨を? と云われた。t=69 とき、

(1172202291/13498272341,-3717703666320/32139386443921,11050865939435349/76523879122975901)

でこの有理点が全てのSj に載っているか、懐疑精神を発露し本当に手計算でなしたところ、
その通りであったので、一点でそうなるなら、すべてのt∈C (複素数体に留意)でそうなると
確信した。すぐさま各Sj の双対曲面Sj* の多様な発想による具現化に受講生が取組始め、
ただ今具現中......。判別式と終結式(増田佳代/宮西正宜先生)


 先の赤線が4次の代数曲線なのは、「平面曲線の幾何」の7頁近傍を視て心底理解叶う
が、今回の赤線と青線は或る変換群のもとで同じ同値類に属するように誰にも視えるのに
青線が赤線の次数と異なるなんて想定外の極みと口角泡を飛ばし飯高先生をも巻き込ん
で論争中。(平成24年9月7日付け)

 上と対比して、の方を視て同じ次数の代数曲線だと云わない人は世界に存在しない。
多項式環k[x,y,z] の2つのideal を考察する。

I1=<4*y^2 + z^4 - 4*z^2, 2*x + z^2 - 4, x*z^2 - 2*y^2 x^2 + y^2 + z^2 - 4>

I2=<4*y^2 + z^4 - 4*z^2, 2*x + z^2 - 4>

代数------------------->幾何
 I1-------------------->V(I1)
 I2-------------------->V(I2)  ここで、V は、Algebraic Variety のV.

 今回からは頻繁に曲面達を描き考察したい。

4*y^2 + z^4 - 4*z^2=0、2*x + z^2 - 4=0、x*z^2 - 2*y^2 x^2 + y^2 + z^2 - 4=0

なる3つの代数曲面Sj 達を描き、上から目線等視座を選び、S1∩S2∩S3 を見せて魅せら
れるように工夫願います。

 4*y^2 + z^4 - 4*z^2=0、 2*x + z^2 - 4=0 なる2つの代数曲面sj 達を描き、上から目線
等視座を選び、s1∩s2 を見せて魅せられるように工夫願います。

 双対化は為さずにはいられない体質なので為し、S1*∩S2*∩S3*も視たいと受講生。
双対化は為さずにはいられない体質なので為し、s1*∩s2* も視たいと受講生。

S1∩S2∩S3=s1∩s2 でしょうか?もしそうなら証明を、そうでなければ、その理由をお願い
致します。最初の方で、制約条件毎に綺麗に次元が下がれば、3-(1+1+1)=0 でありえない
事態。これを如何に解釈されますか。後の方で、制約条件毎に綺麗に次元が下がれば、
3-(1+1)=1 であり得る良好な事態。このとき、媒介変数表示は多様になされるしょうが、幾
つか提示願います。

 以上の問題群を携えて研究室で問うた學生Rはメンバーから、どこからそんな問題を拾っ
てきたのと云われ、直ぐ白状した。

f1=(t^2 + 1)^2*x - 2*(t^4 - 2*t^2 + 1),f2=(t^2 + 1)^2*y + 4*t*(t^2 - 1), f3=(t^2 + 1)*z - 4*t

から増田佳代・宮西正宜先生の「判別式と終結式」。特に、例2.10,2.11の有理曲線の例に
倣ったのです。かなり大きな行列になったが、全員がそれを為し、I2 の方を獲た。此処を訪
問される世界の皆様も為して此処に途中経過をも提示してください。I1 の方はどうしたの?
と學生Rはメンバーから問われ、少しは自分達で考えてよと抵抗した。初めて抗うRを視たメ
ンバーは、Rの強い意志を感受し、自分達で大いに考え始め飯高先生も参加された。

 V(I1)=V(I2) ではないか? と云い出す學生E が居て、それなら、I1とI2のどちらがお好み?
と疑問が生じた。I1やI2がすっきやねん派の理由は必要性を感じ、記述し始め現在進行形。

 今まで双対化の際は必ず非線型写像Fに言及してきた學生Fが、先に、F(c)=c* なんて云
うだけで実際には為していないのではと揶揄されたので、例えば、資料について

(x,y)--F-->F(x,y)=((2x-4x^3)/(4x^4-2x^2+16y^4-2y^2),(2y-16y^3)/(4x^4-2x^2+16y^4-2y^2))

を自ら定義し、F(c)=c*を証明して見せた。逆に、c*--F1-->c のF1の構築と F1(c*)=c は以
下を参考にし必ず為してと。受講生全員が為した。膨大なので方針と最後の結論を記します。

f1 = (-2x^2+4x^4-2y^2+16y^4)X-(2x-4x^3)、f2 = (-2x^2+4x^4-2y^2+16y^4)Y-(2y-16y^3)、
f3 = -1/10-x^2+x^4-y^2+4y^4


と定義し、10p の大行列を3つ構築;f1とf3からxを大行列を駆使し消去しf13を獲。同様にf2
f3からf23を獲。f12とf23からyを大行列を駆使し消去しゲットだぜ!因数を選択し676で割り斎
次化すれば、最後の式に到達する。


 例1例2で終結式を3度用いて、青字=0 が双対曲線:F(c)=c*
                                                (平成24年9月8日付け)

 上を視た受講生は、今度は逆に、非線型写像F1を構築し、F1(c*)=c を終結式を3度用い
て為そうとただ今奮闘中...。為した後は、cとc*を描き鑑賞しようと...。今の受講生が理解しす
ぎた過去問を、非線型写像を自ら構築し増田佳代・宮西正宜 先生の終結式を用いての発
想を限りなく小行列なので省かず全部見せますと赤の双対が青と解決した。放物線とは読
んで字の如くと双対化された姿を視て、カンジが悪い、どこが物を抛り出した軌跡よっと。

 25*(25*X^2 + 10*X*Y - 10*X + Y^2 + 2*Y + 1)=0 の主軸問題を解き、やっと放物線なる
その呼称を許せた。

 微分幾何ではなく代数幾何學の受講生Vが、の空間曲線cを多項式環k[x,y,z]のいくつ
かの元を巧く選んで、I=<f1[x,y,z],f2[x,y,z],.....> c=V(I) としたいのですねと飯高先生。

   I=<8*y^2 - z^3, 8*x^2 + z^3 - 6*z^2 + 12*z - 8>

 そして、手書きで2つの代数曲面を描かれ交線も強調された。Iを導出されたが、受講生に
は行間を埋める必要が在り為し始めた。飯高先生は多義性が在るので、ideal は

I2=<-8y+8x^2y+12yz+8x^2y^5z-6yz^2+yz^3-x^2y^3z^4,8y^2-z^3,-8+8x^2+12z-6z^2+z^3>

でも全然問題はないと云われ、idealの生成元の個数に自由度を存分に与えられ、嬉しくもあ
り悲しくもある風情であった。I2なら制約条件毎に1次元さがるのなら、3-(1+1+1) で図の青
線に成り得ないと叫ぶ學生在り。飯高先生がなされた上の事柄を此処を訪問される世界の
皆様も行間を埋め世界のだれもが理解叶うよう丁寧に此処に投稿願います。

 問題を、例えば、t---->(x,y,z)

(x,y,z)=(-(t^2-1)^3/(t^2 + 1)^3,
             8(27t^15-270t^13+981t^11-1540t^9+981t^7-270t^5+27t^3)/(t^2+1)^9,8t^2/(t^2+1)^2)


に変えて、上のような代数幾何學が出発点におくideal を導出されるだろうと受講生に追加課
題を出された。受講生は微分幾何は履修済なのであるが、媒介変数表示の方は手書きで外
形が掴める境地に達していず。

 紫枠即ち、青の曲線c:t--->R3 を幾つかの代数曲面達の交わりとして代数幾何學を為す
発想が在ったと、媒介変数表示の曲線は真ん中に描いてみたが、此れが何と6個もの代数
曲面達の交わりと受講生I。

 學生Rが終結式が未だ終結していないと、増田佳代・宮西正宜 先生の「判別式と終結式
特に、例2.11 の有理曲線の例から空間における青の曲線をつくったので、幾つかの代数曲
面達の交わりとして代数幾何學を為そうと提案した。

I1=<x^4+8y^2z^2-64y^2z+75y^2+16z^4-36z^2,8xz-15x-2y^2+8z^2-6z,
                        16xy^2-135x+48y^2z-178y^2+64z^3+120z^2-54z,2x^2-5x+2y^2-2z>


とすれば良いと私が応えると、すかさず

I2=<x^4-4x^3+2x^2y^2+3x^2-4xy^2+y^4-y^2,-2x^2+5x-2y^2+2z>

でもいいわと応えた時代があったと飯高先生。飯高先生が導出されたI1 からは4つもの代数
曲面が得られ、何とか描いてみました(その交わりの曲線を描いたのですが視えますか?)。

 I2 からは、たった2つの代数曲面が得られ、それを描くのは困難ではないかも知れないの
で描いて交線を強調願います。3-(1+1)次元多様体で気持ちがすっきりするでしょう。

910(平成24年9月10日付け)
g1=(t^2+1)^2*x-2(t^2-1)^2、g2=(t^2+1)^2*y+4t(t^2-1)、g3=(t^2+1)^2*z+8(t^2 - 1)*t^2

とすると受講生R が云うや否や「判別式と終結式」の18p の3次元空間版だろうと全員が云
い、ちゃんと行列を明記し、resultant(g1,g2,t)を(x,y)平面上に、resultant(g2,g3,t)を(y,z)
平面上に、resultant(g1,g3,t)を(x,z)平面上にそれぞれ、その零点集合を図示しその双対
曲線を多様な発想で求め図示してくださいと云いたいのだろうと受講生と傍らの飯高先生諸
氏が空気を読んだ。

 學生曰く、其れも無論ですが、そもそも元は微分幾何の出発点である曲線の媒介変数表
示曲線c:t-->(x,y,z)=(2(t^2-1)^2/(t^2+1)^2,-4t(t^2 - 1)/(t^2+1)^2,-8t^2(t^2-1)/(t^2+1)^2)

 代数幾何の出発点の多項式環k[x,y,z]の元 fj[x,y,z] 達の共通零点集合にしたく、c(R)
について、ideal I=<f1[x,y,z],f2[x,y,z],.....> --->V(I)=c(R) を導出してください。

 傍らの飯高先生が呟かれた。無論、多義性が在り一意的ではありません。

 學生Rは、それは想定の範囲内で各學生がそれぞれの発想で獲たなら、ieal Ij (j=1,2,3,,,,,)
の証明を要求する予定であった。飯高先生は、(g2,g3,t)を(y,z)平面上に、その零点集合
を図示し、その双対曲線を多様な発想で求め図示してくださいが面白そうなので為し斎次化
し臆することなく具現しを獲られた。二重接線も双対曲線の特異点から獲、図示してある。
飯高先生は呟かれた。曲線 c:t--->(x,y,z)

 (x,y,z)=(2(t^2-1)^2/(t^2+1)^2,-4t(t^2 - 1)/(t^2+1)^2,-8t^2(t^2-1)/(t^2+1)^2)

なる代数曲面達の交線には多義性が在り自由を保障する。ほんの一例だが

S1:x^2-2x+y^2=0 、S2:x^4+2x^2y^2+2x^2z^2-4x^2+y^4+2y^2z^2-4y^2+z^4=0

なるたった2つの代数曲面の交線だよ。但し、皆描写すると上から目線でも視え難いので、
S2とその上の紫曲線とS2の双対曲線は描いたと。後半部を眼前に提示されました。

 飯高先生は「n=2次曲線すら出来がよくなかったが其れは過去のことで、今世界の誰でも
を真に瞬時に獲られる時代の受講生が羨ましい」と何時ものように本音を云われた。

 受講生M_KY さんが、飯高先生を遥かに凌駕する倍の4個もの代数曲面

  16*y^4 + 8*y^2*z^4 - 32*y^2*z^2 + z^8 + 8*z^6=0 、4*x*z^2 - 4*y^2 + z^4=0
  16*x*y^2 + 12*y^2*z^2 - 32*y^2 + z^6 + 8*z^4=0 、 x^2 - 2*x + y^2=0

の共通部分が飯高先生が図示された紫線と。それを視た受講生諸氏は、4個もの代数曲面
を描き交線を視ようと鋭意努力中...。あの空間曲線c:t-->(x,y,z)

 (x,y,z)=(2(t^2-1)^2/(t^2+1)^2,-4t(t^2-1)/(t^2+1)^2,-8t^2(t^2-1)/(t^2+1)^2)

を代数幾何學からの研究対象と為す際、代数曲面達が多ければ多いほど尊重される筈
はなく受講生M_KY さんが為した4個 (ideal I2)と飯高先生が為された (ideal I1) のは優
劣つけ難く、どちらも重要なようなと學生が考えて呟いた。

 I1=I2 は必ず証明をと飯高先生が云われ夜が更けたが証明中..。I1もI2も素ideal は必ず
証明をと飯高先生が云われ夜が更けたが証明中...。k[x,y,z]/I2 は整域は必ず証明をと
飯高先生が云われ夜が更けたが証明中...。(今回はハードルが高い(その所以は広中平祐
先生が産みの親である概念が欠くべからざること等)が、これを必ず為さぬことには前へ進
めないと飯高先生が吐露)

 微分幾何は履修済であるがと資料を携えて研究室のメンバーへ;丁寧に終結式が直ぐ使
えるところまで記してあり一つ具現までなされているので、全員が、この空間曲線を多項式
環k[x,y,z]の元を巧く採用し、ideal I=<f1[x,y,z],f2[x,y,z],.......> V(I)=空間曲線 とな
るようにしようと。無論、以前に飯高先生が云われた多義性があることを念頭に置き。

 導出したのが正しいか否かは赤点が一つ例示されているので、Iに其れを代入し零達にな
ればよいと。傍らで聴いておられた飯高先生が具現せずにはいられないと、

I=<81*y^6 - 162*y^4*z + 81*y^2*z^2 + 4*z^4 - 12*z^3, 81*y^6 - 162*y^4*z + 81*y^2*z^2 + 4*z^4 - 12*z^3,
              2*x*z^2 - 9*y^4 + 15*y^2*z - 4*z^2, 9*x*y^2 - 3*x*z + 2*z^2, 3*x^2 + 3*y^2 - 4*z>


と導出されたので赤点を代入したら、<0,0,0,0>で正鵠を射ていた。學生諸氏は1次元多様体
を研究中で制約条件毎に綺麗に1次元ずつ下がるなら、 3-(1+1+1+1) であり得ない事態な
ので、Jacobi 行列を求め、ランクを丁寧に調べないといけないと全員が各自が導出したideal
の生成元fj(x,y,z) 達から資料を参照しつつ、Jacobi 行列を求め始めた。

 飯高先生のIから 4つも代数曲面が産声をあげるが、全部同じR3に描き見えにくいが、上
から目線や下から覗く視座で描き、その交線を強調もすべきと。交線は紫線。丁寧に終結
式からと始めたメンバー 全員が悲鳴をあげた。これって何行何列!でも、為せば成る為さ
ねば成らぬ何事もと汗まみれになりながら....。為し終えたら各代数曲面の双対曲面を求め
その交線を求める愉しみが在るよと飯高先生。手計算をしていたら今回のだけでもn年要し
そう。


 飯高先生の「デカルトの精神と代数幾何」に絡まるideal 論の視座からの、資料1資料2
があったと受講生De。(平成24年9月11日付け)

 この我々の立場からの考察は大行列を定め、その行列式から代数曲線を獲ることが記さ
れていると。ひとつで侘しいかも知れませんが、次元をあげ、紫枠の空間曲線を多項式環
k[x,y,z]の元を巧く採用し、ideal I=<f1[x,y,z],f2[x,y,z],.......> V(I)=空間曲線  とな
るようにしようと。無論、以前に飯高先生が云われた多義性があることを念頭に置き。

 導出したのが正しいか否かは、

  P={(12*Pi)/(8 + Pi^3), (6*Pi^2)/(8 + Pi^3), (-8 + 4*Pi - 2*Pi^2 + Pi^3)/(2*(4 - 2*Pi + Pi^2))}

をIに代入し零達になればよいと。(その曲線上に難解なπ絡みの点が在るなんてあまり聞
いたことがないがと學生)傍らで聴いておられた飯高先生が具現せずにはいられないと、

<-27*(x^3 - 3*x*y + y^3), 3*y^3*z + 4*y^3 + 6*y^2*z + 6*y^2 + 9*y*z^3 + 18*y*z^2 + 9*y*z - 27*z^2
- 54*z - 27,6*x*z^3 + 24*x*z^2 + 33*x*z + 15*x - 3*y^2*z^2 - 10*y^2*z - 8*y^2 - 3*y*z^3 - 12*y*z^2
- 18*y*z - 9*y + 9*z^2 + 18*z + 9, x*y - 6*x*z^2 - 15*x*z - 9*x + 3*y^2*z + 5*y^2 + 3*y*z^2 + 9*y*z
+ 6*y - 9*z - 9, x^2 + 3*x*z + 3*x - y^2 -  3*y>


なるideal Iを採用すればよいと云われた。懐疑精神は必要と恒に云われているので上の超
越数からなるPを放り込み、がんばって計算すると、<0,0,0,0,0>となり、たった1点での確認だ
が飯高先生のideal IからV(I)を構成すると、c⊂V(I) に疑いの余地がないことを知った。

 飯高先生は何度も云うが、V(Ij)=c なるideal Ijは多義性が在るので各自の発想でIj を求め
て下さいと。その前に飯高先生のideal から代数曲面がなんと5つも産声をあげ、それを同一
空間に図示し、しかも交線cを浮かびあがせなきゃ...は困難を極めるなぁと學生諸氏。資料
ように為してと飯高先生。


 とても丁寧に陰函数定理絡みが記載されていたので視てと受講生。
                                      (平成24年9月12日付け)

 皆味読し頷いたが、其処で止めておいて欲しい箇所在りと。それは定義等、対等に扱う重
要性を認識中だからと。(易しい例で云うと、T;6x+9y+1=0 がいいのにどうしてもy=-(6/9)x-1/9
としたがる) (6,9)--*-->T を何十回も具現した。曲線c:t----->(x,y,z,w)

(x,y,z,w)=((-t^6 + 15*t^4 - 15*t^2 + 1)/(t^2 + 1)^3,(t^8 - 28*t^6 + 70*t^4 - 28*t^2 + 1)/(t^2 + 1)^4,
  (-t^10 + 45*t^8 - 210*t^6 + 210*t^4 - 45*t^2 + 1)/(t^2 + 1)^5,(t^12 - 66*t^10 + 495*t^8 - 924*t^6
  + 495*t^4 - 66*t^2 + 1)/(t^2 + 1)^6)


をC4に於ける代数超曲面達の交線として表現したいと學生H。受講生はまたかと云いながら
も開始した。傍らの飯高先生が為さずにはいられないとまだ我々受講生が為すまで待ってと
懇願するのに提示された。

ideal I=<-(16*w^5) + 20*w^3 - 5*w + 32*z^6 - 48*z^4 + 18*z^2 - 1,16*w^4*y - 16*w^3*z^2 + 8*w^3
- 12*w^2*y + 8*w*z^2 - 4*w + y - 8*z^4 + 8*z^2 - 1, -(8*w^3*y) + 8*w^2*z^2 - 4*w^2 + 4*w*y - w
+ 4*y*z^2 - 2*y - 2*z^2 + 1, -(4*w^2*y) + 4*w*z^2 - 2*w + 2*y^2 + y - 1, 4*w^2*x - 2*w*x - x - 4*z^3
+ 3*z, -(4*w^2*y) - 2*w*y + 4*w*z^2 - 2*w + 2*x*z + y + 2*z^2 - 1, w*x - 2*w*y*z + x*y - y*z + 2*z^3
- z, -w + 2*x^2 - 1>


とすればよいと。無論、多義性はあると。懐疑精神は必要だからと例えばc上に、

(-(648326987/614125000) - (89293509*I)/614125000, 285789595007/261003125000 + (8556793128*I)/
32625390625, -(252929605687579/221852656250000) - (92584423275003*I)/221852656250000,
6993118547202034/5892961181640625 + (57891391648627383*I)/94287378906250000)


なる点(各成分は無論複素数体の元)で、I=<0,0,....0> は確かめたので、たった一点だが間
違いはぜったいないなどとぜったいいってはならぬが今回はぜったいまちがいがないと。學
生諸氏は多義性が在るとの自由度を与えられ、ただ今奮闘中。

 ふと資料を視た學生が此処の陰函数定理は今回のf(x,y,z,w)=0のときは本来は

     f(x1+y1*I,x2+y2*I,x3+y3*I,x4+y4*I)=0

と正直に書くべきで、せめて定理のf(x,y)=0 は我々代数幾何學の観点からは、f(z,w)=0と
記して、複素数体Cの直積C2で証明をちゃんと為してほしいと。飯高先生は自ら導出された
各代数超曲面fj(x,y,z,w)=0 の双対超曲面を多様な発想で求める愉しみも在るし双対化
した後、更に愉しみが在ると。

  交わり:fi*(x,y,z,w)=0 、 fj*(x,y,z,w)=0

  交わり:fi*(x,y,z,w)=0 、 fj*(x,y,z,w)=0 、 fk*(x,y,z,w)=0

    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  全ての交わり ∩fj*(x,y,z,w)=0

 資料の冒頭に掲げてある

  A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions, Springer GTM 132, 1991

について、少し前と異なり、此処の文献達は居ながらにして芋蔓式に獲られる時代なので、
ゲットし研究しては如何と飯高先生が受講生に。(→ 参考1参考2参考3

 受講生諸氏はすぐ読める代物ではないので、読んだふりも出来ず印刷しておくことにした。

 其処に導出して在る、3次曲線を視てしまった代数多様体の受講生は多様な発想で双対
化せずにはいられないと叫ぶと飯高先生が自ら終結式を3度用い導出された。そして、「自
己双対な曲線がどのくらいあるかが、ある種の数学的理由により是非とも知りたい」と呟か
れた。學生は全員、「デカルトの精神と代数幾何」の37pを覗き見した。其処の尖点に濃尖
点、激尖点、n位(2,3)の単純尖点、結節尖点等在り問題の深さに慄いた。飯高先生が為さ
れた発想の行間を埋める仕事に全員が先ず取り掛かり、資料の比でないでかいサイズの
行列が3つも在り奮闘中。追試し終えたら各自の発想で双対化しようと。既出の非線型写
像Fを、資料のように構築し、F(赤線)=青線の導出をもと。


 素直な射影に触発され、受講生PaImが下の問題群を携えて研究室に。
                                      (平成24年9月13日付け)

 曲線 t--->(x,y,z,w)
(x,y,z,w)=((-t^6+15t^4-15t^2+1)/(t^2+1)^3,(t^8-28t^6+70t^4-28t^2+1)/(t^2+1)^4,(-t^10+45t^8-210t^6
         +210t^4-45t^2+1)/(t^2+1)^5,(t^12 -66t^10+495t^8-924t^6+495t^4-66t^2+1)/(t^2+1)^6))∈K4


 素直な射影、例えば、t-c123-->(x,y,z)

(x,y,z)=((-t^6+15t^4-15t^2+1)/(t^2+1)^3,(t^8-28t^6+70t^4-28t^2+1)/(t^2+1)^4)),(-t^10+45t^8-210t^6
                                             +210t^4-45t^2+1)/(t^2+1)^5)∈K3


 まだ沢山在るが、例えば、t-c234-->(y,z,w)

(y,z,w)=((t^8-28t^6+70t^4-28t^2+1)/(t^2+1)^4,(-t^10+45t^8-210t^6+210t^4-45t^2+1)/(t^2+1)^5,
                           (t^12-66t^10+495t^8-924t^6+495t^4-66t^2+1)/(t^2+1)^6))∈K3


も、あの終結式を幾度か用いて、c234(C)⊂∩{(y,z,w)|fj(y,z,w)=0} なるfj(y,z,w)達を
見出してと傍らの飯高先生がしんどい方のc234を為そうと。

I=<-1-5w+20w^3-16w^5+18z^2-48z^4+32z^6,-1-4w+8w^3+y-12w^2y+16w^4y+8z^2+8wz^2-16w^3z^2-8z^4,
                  -w-4w^2-2y+4 wy-8w^3y-2z^2+8w^2z^2+4yz^2,-1-2w+y-4w^2y+2y^2+4wz^2>


 學生は訝った。何個の代数曲面の交線かしら?ちがってるのでは? と。飯高先生は例えば

  c234(C)∋{ 4487/5000+1827I/625,9471/50000-244347I/50000, -172579/62500+1820637I/250000}

なる複素数の組が載っているので上で私が導出したideal Iに放り込み算数をしてご覧と云わ
れ為すと<0,0,0,0>となった。まだ懐疑精神を発露して偶々じゃないと云う學生も居たが飯高先
生はたった一点だが、このようなケースのときは、それでいいのだと断言された。そして、Iか
ら獲られる各代数曲面を全部同一空間R3に描き、c234(R) が本当にそれ等に載っているか
グラフを描こうと提案された。學生諸氏が頑張り具現した。
Iから定まる4つもの代数曲面を描いたが同じ空間に描くと視たい交線が視え難く、2つに禁欲した。)

 飯高先生は、此処の學生が為したグラフ化等、全てをじっくり鑑賞し、想定通りだが具現さ
れたのを視るのは初めてで為した學生諸氏にボーナス点を与えられた。學生も改めて資料
を視ると、赤線の双対曲線が導出されており、「平面曲線の幾何」の108pに、増補版版の際
追加して欲しい例が在るのに気がつきおねがいしたところ、そうしようと飯高先生。學生諸氏
は共著になるので欣喜雀躍した。是非と代数曲面の双対曲面も増補版版の際載せてとお願
いした。(おそらく世界にそんな本はなさそうなので為す意義があると飯高先生が確約された)

 グラフを三度見直すと微分幾何學で履修済だが、例えば、接触平面も描かれているので
代数幾何学からの視座でなく微分幾何學の視座から深く考察しようと履修済の諸氏。


 代数多様体の素材として適当な黒枠の英文による問達に邂逅したと學生D。
                                      (平成24年9月14日付け)

 黒枠の右の方の解答は、「Wolfram|Alpha」の成せる技です。懐疑精神を発露し適当に文章
や式を挿入し再現なるか試みてください。

 學生Dのことだから、次に何を問うかは空気が読めすぎ、まっさきに飯高先生が「一番大行
列で大変な終結式達を求め」双対曲線を獲られ図示もされた。為されたグラフ達を視て受講
生は双対の意味を心底理解し謝辞を述べた。一番大変な発想で先生が双対化されたので
他の発想達で双対化しようと提案がなされ具現中。

 英文に非線型写像Fが明記されているので、Fを用いて双対化を為そうと苦悶中....。また、
赤線で囲まれる面積を問うているので、青線で囲まれる面積も求めようと。

 問(1)は、受講生らしくと草色枠にidealを用いて解いたが、何点いただけるやらと。

 代数多様体の素材として適当な問16、19達に邂逅したと學生D。問16が解けた院試の受験
生が存在するであろうか?と他の学部の生態學履修者が呟いた。問題ミスがないかと。ミスが
なければ きちんと 解いてください。ミスがあれば適当に文字や式や数値を変えて解いてく
ださい。そして、出題大学へ訂正をお願いの文章を送ってください。そして、公表されている院
試の問題に訂正箇所を付け加えるよう要請してくださいと、此処まで記して問題をよく視ると

    {{p,q},{s,r}}.{x[t],y[y]}  {2 x[t] - y[y], -x[t] + 2 y[y]}

であった。行列での文字は、私は、{a,c},{b,d}}派なのであるが、世間では{{p,q},{r,s}}が蔓延るな
ぁとしかたなくそうしていたが、院試は、{{p,q},{s,r}}と、わざと受験者が誤読するよう問題を作成
されたのか。dy/dt=r*y+s*x と此処で篩にかけるなんて姑息だぁ---。

 線型連立微分方程式が解けるかの試験なので、草色枠の微分方程式を多様な発想で解き
解曲線の双対曲線を多様な発想で求めることで憂さを晴らすとしようと受講生諸氏。

 問19について、代数多様体の受講生らしくideal 達を求め、等号で結んであるが行間を必ず
埋めてと飯高先生。問19の境界である代数曲面

 S1: x2 + y2 + z2 - 9=0 、S2:  3x2 + 3y2 - z2 - 6z - 9=0

の双対曲面S1*、S2* を多様な発想で求め、S1*∩S2*も研究しようと受講生。

 問3は、「Wolfram|Alpha」が皆丁寧に解答を書いていて我々は何もする必要がなくなった
が、例えば、上の双対曲面や双対曲線も解いて図示もしてくれないかしらと。


 制約条件毎に自由度を奪われ、きちんと1ずつ次元が下がる美しいのには数回前から遭
遇しなかった。(平成24年9月15日付け)

 しかし、「もっとも易しいR3に於ける超平面H1、H2で、H1∩H2が、3-(1+1)次元多様体となる
のにタイミングよく邂逅したァ」と飯高先生の受講者。黄色枠の概念が超気持ちイイと。線型
微分方程式を履修中の學生Lが飯高先生の研究室に持ち込んだ。黒枠の初期値附きの問
題をVector場も添え解いていて受講生は心底理解叶うと頷いた。この指数函数を含む赤枠
の解曲線⊂R2は代数曲線に含まれるのではないかと學生Imp。媒介変数でちゃんと解曲線
が提示してあるのに何故そんな聴いたこともないことをするの? とL。赤枠の解曲線は代数曲
線に含まれるか研究するのだと皆。さっそく代数曲線を求め図示もした。(2本の赤線)

 -x3-3x2y+4y3-243=0 がそれで2次曲線ではないと。(→ 参考)この双対曲線を求めずに
はいられないので具現し青線で図示した。學生Lは初見なので教えを乞うたところ、「デカルト
の精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)や上野健爾 著「代数幾何入門」を購
入し学んでと。特に、上野健爾 著「代数幾何入門」の56p-57p 65p の発想の通りで為してご
らんと。(実は、受講生は未だこの発想で誰一人として為し得ていないのは内密事項と口を封じた

 傍らの飯高先生は云われた。「幾度も経験済みだが、-x3-3x2y+4y3-243=0 なる3次曲線
の双対曲線の次数は3より上がるといっていいかな?」と。資料等で経験済だし(と云い、上野
健爾 著「代数幾何入門」の56p-57p 65p の発想の通りで為そうと)誘導尋問にひっかかり皆
「イイとも」と。飯高先生は赤の曲線を視て、双対曲線を手書きでしめされ、青線のようになり
次数が上がるかなぁと呟かれ皆多様な発想で双対化を具現中...。リー群を履修中の學生が
資料の一行目をみて、4次元空間内の1次元微分可能多様曲線∈GL(4,R)⊂R4だと云うと、
多様体履修者である我々が為すべき仕事、即ち、その曲線を含む超曲面fj[X,Y,Z,W]=0 達を
求めねばと模索中...。飯高先生はノートに草色枠のideal I を導出されておられ、多義性は在
るが行間を埋めてと問題提起をされた。最初に線型微分方程式をVector場まで描き解いて
完璧でもう為すことがないと持ち込んだのに、次から次へと問題を提起される研究室の雰囲
気が熱気に包まれているので學生Lは3年後は此処の研究室にと決めた。學生Dが口を開こ
うとするや否や飯高先生が代弁させてと。上の超曲面fj[X,Y,Z,W]=0達が3個在り、制約条件
毎に綺麗に次数が下がれば、4-(1+1+1) で超気持ちがいい。実は、そのような例に遭遇した
と學生H。また、各超曲面の双対曲面化Sj*:fj*[X,Y,Z,W]=0はまだ誰も為していないので、多
様な発想で是非為し、S1*∩S2*∩S3*∩S4* を求めて下さいと。


 飯高先生が、岡睦夫先生が出題された紫枠の類比な問達を、視座から長期に亘り研究テ
ーマとしようと。(平成24年9月16日付け)

 (7)については、ぎりぎりそうなる微妙なのが考察対象。微分方程式履修済の受講生がパ
ラメター表示の解曲線でthe endとしていたが、代数多様体受講生がつねに為し出発点とす
る関係式導出が、左の方では草色枠に為されているので他の解曲線の表示もそう為そうと
先ず右下草色枠を受講者仲間に所望した。紫枠のは飯高先生が為された。そして、その
ideal から5つもの代数曲面が得られ拘束条件毎に綺麗に次元が下がるなら3-(1+1+1+1+1)
次元多様体となり、あり得ない事態なので、資料のような「完全交叉」ではあり得ない。しか
らば、もっとIdeal の生成元の個数は減らせるか研究をと云われた。

 草色枠の(x,y,z)=(Cos[t],Sin[t],Cos[n*t])についても、この曲線を含む最少の代数多
様体達を求めようと提案。n=15 の時、この曲線を含む最少の代数多様体達の存在を確か
めようと黒板にIdealを書き下された。

I=<268435456 y^30-2013265920 y^28+6794772480 y^26-13631488000 y^24+18087936000 y^22
 -16713252864 y^20+11026104320 y^18-5239111680 y^16+1786060800 y^14-429977600 y^12
 +70946304 y^10-7637760 y^8+495040 y^6-16800 y^4+225 y^2+z^2-1,x z-16384 y^16+69632 y^14
 -120832 y^12+109824 y^10-55680 y^8+15456 y^6-2128 y^4+113 y^2-1,16384 x y^14-53248 x y^12
 +67584 x y^10-42240 x y^8+13440 x y^6-2016 x y^4+112 x y^2-x+z,x^2+y^2-1>


 受講生は叫んだ。「完全交叉」ではあり得ない!そして、此れから定まる代数曲面達をすべ
て同一空間R3に図示し、交線を視ようと上から目線や下から目線等視座を変えて視る努力
を重ねています。いきなり飯高先生がn=15 の時を為されたが、受講生は順順に、n=1,2,3,...
と為しつつあり、n=1、n=2なら「完全交叉」で、それ以上なら「完全交叉」ではあり得ないと叫
びながら...。また、青枠の黄色箇所の射影部分も代数曲線達を求め具現中....。飯高先生が
またまた學生Dの代弁をされた。導出した大量の代数曲面、代数曲線達全ての双対化を多
様な発想で為してください。特に、上野健爾先生著の「代数幾何入門」の56p、57pの発想で
是非と。


 C4で制約条件が4つも在り、4-(1+1+1+1+1)と次元が下がれば矛盾するので、idealの生成
元の数が3個まで減らすことが叶い、4-(1+1+1)=1次元代数多様体で問題のZ4の格子点が
全て求められる。(平成24年9月17日付け)

 資料で、関係式fj(x[1],x[2],,,,x[n])=0 の長い説明に遭遇。参考1参考2で、最初の方のを
飯高先生が双対化を為され、その特異点も求められ図示された。赤線と青線と紫点。その
次数が下の如く42次だが想定の範囲内か否かと。範囲内なら、その理由が無論要ると。(青
線を視る限りそんな高次とは思えないかとも)

 別の視座から曲率=0 なる薄黒の曲線を添え、飯高先生のなされたことを補強した。

 飯高先生の得られた双対のf*[x,y]=0 (→ 参照) を求めてください。

 ところで、赤線:f[x,y]=0 12x7-7x43+6xy5-14y6+25=0 を視て、R上可約曲線ではない
かと云う學生現る。f*[x,y]=0の方こそ可約曲線ではないかと全員。そうであれば分解を、そ
うでなければ証明をと飯高先生。直線(line)、円錐曲線(conic)、3次曲線(cubic)、4次曲線
(quartic)とよぶ のは知悉だが、今回のcやc*は英語で何というのだろう。

 資料の問(9) (10)絡みはかなりの部分が読めてしまうと、検索から近頃の話題に関連する
箇所のみ切り貼りしたものである。

 資料を再視し、10次曲線の赤の具現と其の双対化の具現(稀有であるが次数不変)。

 その大元の空間曲線、即ち、問9のKなるドイツ語めいた曲線の(a)(b)(c)は飯高先生が瞬
時に為されている。(c)のTは問の前後関係から、問9を絶対解くと宣言。

 曲線と点との最短距離を与える点はここと問題を既に考察済みですが、曲面と点との最短
距離を与える点はここと10番で云うようにとの要請に、idealを用いて全員が答えた。
                                       (平成24年9月18日付け)

 昔2004年10月16日(土)聞いたあの特別授業1特別授業2。直前の問題も上で為した學
生の発想で再考しようと飯高先生が云われた。
(無論、一行目は素敵な「Lagrange multiplier」で二行目からが秀逸)

 すぐさまidealの視座から受講生Gが具現した。(一行目のI1=I2を注視下さいと)受講生の多
くが皆I1は常套手段だから、まっさきに為すが、I2は初体験と感激。その訳は、ideal I2の第
一は容易にけてしまい、yがわかれば、I2の第二式からxがわかってしまい此処が最短を
与える点で、ついでに、I2の第三式から、Lagrange_multiplierまでわかる。

 数行を視た受講生は、この発想で先に解いた問10を解こうとただ今ideal達を導出中。
(答えは既にわかっているのでそこに行き着く迄)再び、特別授業2 を視て、セピア色の概念
では断じてないことを悟り始めた受講生諸氏は(無論、一行目は素敵な「Lagrange multiplier
で二行目からが秀逸)をideal I1=I2の視座から解こうと先ず「Lagrange multiplier」のExample2
をと云うと解決しているのに何故解くのと云う學生は存在せず、

<2xy-2λx,x2-2λy,x2+y2-3>=<(y-1)(y+1)(y2-3),x(y-1)(y+1),x2+y2-3,2λ+y3-3y>

からyが獲られ、xも獲られ、ついでにλも獲られ完璧と欣喜雀躍した。資料にも諍いを何等
生じず国境なんてない。既に、I1=I2で解決済の同じ問題が存在した。資料も然り。

 「Lagrange-Multiplikator」の方のidealで即解決のも為そうと。ラグランジュの乗数で検索し、
最上位に「ラグランジュの乗数」が在り、多くの例題があるが、

例題 x2+y2+z2=4 のとき、xyzの極値を求めよ。ただし、x、y、z≧0とする。

をideal I1=I2の視座から解いてみようと學生Gの提案。(皆、美意識を即ち或る群による不変
性を片時も忘れないので今回の答えは見えすぎているが敢えて為す)

 同一の答えを、ideal I1=I2の視座から獲、欣喜雀躍をまたした。味をしめる必要を感じ「ラグ
ランジュの乗数
」の他の問題群も必ずideal I1=I2の視座から為し、世界に公表願おうとただ今
具現中.....。此れは飯高先生がホテルでちらっと視ておられると受講生G。直前の

 上記例題を、I1=I2で生まれて初めて解いた受講生は、

  x2+y2+z2+w2=4 のとき、xyzw の極値を求めよ。ただし、x、t、z、w≧0 とする。

も、I1=I2を具現し必ず解いてと。(平成24年9月19日付け)

 ideal って何?と非とぼけた質問をし、検索し漂着。(→「数学の話題」)

 上記例題を少し改竄し、

   x7+y5+z3=4のとき、xyzの極値を求めよ。ただし、x、y、z≧0とする。

は、ideal の視座から解いてください。

 資料、「Lagrange multiplier」は、誰にも理解できるよう工夫がなされている。動画よりずっ
と手短に。飯高先生がExample 2を改竄して、制約条件を、xn+yn=1 (n=6) としてプリント
配布された。

(1) xn+yn=1 (n=6) のとき、函数[x,y]--->f[x,y]=x2yの最大値を求める際、Lagrange_multiplier
  が常套手段なので、それを表し、ideal I1 を構築して下さい。

(2) ideal I1 から生成元達を巧く選ぶと、I2になることを丁寧に解説して下さい。

(3) (2)が困難な方も、I2---V(I2) は容易なので、どんどん解いてください。

 I2を視た學生は生成元の順を追い、y、xも軽く求まり、全面解決し、平面曲線が描いてある
赤同士が接する接点が求まり、完璧に解決。ついでにλも求まる。

 飯高先生がボーナス用の設問をなされた。

(ボ1) c1:x6+y6=1 の双対曲線を多様な発想で求め記載されている高次の代数曲線c1*
   なることを示し、その双対が、x6+y6=1になることは自明と云わず証明してください。

    c2:x2y-21/3=0 の双対曲線を多様な発想で求め、記載されている代数曲線c2*となる
   ことを示し、その双対が x2y-21/3=0 になることは自明と云わず証明してください。

   赤達の共通接線は無論すぐ求められるが、しないで構いません。敢えて、c1*、c2*の紫
  の交点を求めて共通接線を求めてください。

( B2) 高次ではないが、代数曲面 z-x2y=0 の双対曲面を多様な発想で求めてください。

 細赤 x6+y6=3 の双対、細青の次数の激高(6次--->30次)を視た受講生dが調査を先ず
超易から開始しようと、x2+y2=3やx4+y4=3、8+y8=369+1+y69+1=3、x2012+y2012=3 の双
対曲線を多様な発想で求めて!(平成24年9月20日付け)

 位相空間 A から位相空間 B への連続写像 f が全単射で、その逆写像も連続であるとき、
f を同相写像 (homeomorphism) という。AとBとの間に同相写像が存在するとき、AとBは同
相であるという。

 x2+y2=3--homeomorphism-->x6+y6=3--homeomorphism-->x69+1+y69+1=3 の存在も幼

くして知悉。双対も然りなのに、次数の激高が不可解と。この學生dの疑問に分かるように
答えて下さい。せっかく幼くして同相写像 (homeomorphism)を認識しているのに学年が進む
につれて、xn+yn=3 (n=2,4,6,8,.......70,....2010,.....) の囲む面積や長さを求めよと...。(→ 参考

 英文の草色枠の問題とLagrange-Multiplikatorによる解答に遭遇し、學生kが青枠のよう
に解いた。

 f[x,y,z]が寂しいこともあり、黄色枠の最短距離の問題を I1=I2で學生dが自作し解いた。
先ず、I1、I2を導出後、生成元を順に追い、計算よりzがわかり、それによりyがわかりxもわ
かり最短点が定まり、ついでに、λ、μも定まり全面解決。黄色枠の解答で、I1=I2 の証明
が要ると云われた。

 交差点のような道 (4次の代数曲線)cを研究室に携えて来た學生がゐた。
                                      (平成24年9月21日付け)

 既に免許をとった自動車通学生は云い放った。(孤立点が(0,0)にあるが視えないのはお
いといて)その道(4次の代数曲線 c)をずっと走ると双対曲線c*の姿が視えると。傍らの飯
高先生は、それを聴かれるや否やc*を手書きされた。何と其れには4つも尖点が描かれて
いた。學生Fが、其れは非線型写像

 (x,y)--->((2x-2xy2)/(4x22-2x2-2y2),(2y-2x2y)/(4x22-2x2-2y2))

から獲られると云い、皆取り組んだが未だ為していない....。

 微分幾何履修済の學生が、それはこうでしょうと。視ると、飯高先生の手書きそのもので
あった。カンニングしたの? と猜疑心が頭を擡げたが、微分幾何で曲線は媒介変数表示を
使うし、曲率も視えてる人物なので、カンニングなんてあり得ないので云わないでよかった
と....。「判別式と終結式」を紐解き、大行列になるが皆がんばって獲た。

 262144(x6 + 3x42 - 3x4 + 3x24 + 21x22 + 3x2 + y6 - 3y4 + 3y2 - 1)

 この次数が2の3倍もの答に自信が全然ないが、もとのc:x22-x2-y2=0上の、例えば、
(2,2/) における接超平面を求めれば直ぐ確認叶うと。ちょっと學生諸氏が挿入。

 計算を視ると、飯高先生の手書きそのものであった。口に出して云いはしなかったが、猜
疑心を発露し二重にチェックし完璧に合致したので満足感に浸っていた。今後は交差点cに
佇む際必ず4つも尖点が在る双対曲線c*が脳裏に描かれ死ぬまで忘れられないでせうと....。
微分幾何で、c*の方に馴染みが在る學生が次を味読をと。
(これは六次の曲線で実平面 R2 上に(星の頂点の部分に)四つの尖点特異性を持つ。ま
た、複素変数(リーマン球面)に拡張して、さらに二つの尖点特異性を無限遠点にもち、四
つの二重点があるから、計10個の特異点をもつことになる。この式で表されるアステロイド
の双対曲線は十字曲線22 = x2 + y2 である。もとの木阿弥(c*)*=cが具現されたと。今
回は、未だ為していない箇所が在るが十分に理解したので余韻にひたっていたところ學生
S曰く。

  t--C-->(x,y,z)=(-(t2-1)3/(t2+1)3,8t3/(t2+1)3,(t2+t+1)/(t2+1)3))∈K3

なる有理曲線を含む最小の代数多様体を求めて、即ち、

  C(K)⊂{(x,y,z)| f1(x,y,z)=0,f2(x,y,z)=0,....}

 いくつかの変数のいくつかの多項式を具現するには、とてもじゃない、今まで在学中に獲
た知識を総動員しても無理だとの悲鳴が研究室の外に漏れた。紫枠だって未だだし....。

 (5)は即座にidealを持ち出し受講生が解いた。その大学に次のような問題が在り、全て双
対化と絡めて解いたと受講生D。先ず、(3)の双対化を學生Dが為し、青の曲線を獲て特異
点の尖点からもとの曲線の接線を求めて図示した。學生Fは提示した非線型写像Fによる
像を多様な発想で求め青線になることを丁寧に解説願うと。

 (1)について、微分幾何での曲線の扱い:t--->(Sin[t],Cos[2*t])は易しいが、その像を含
む代数曲線 c:2x2+y-1=0 を求め、もとの曲線の接線を求めて図示した。物足りないし、幾
らでも一般化叶うが模倣し黄色枠の問題を提起したので上の如く双対化して解決して欲しい
と學生F。Fのことだから非線型写像Fを明記し。

 學生Dと飯高先生が、t--I-->(Sin[t],Cos[5*t])を含む代数曲線を導出し、更に双対化を同
時に為された。

 お二方ともF は用いていないので、F を用いて、c--F-->c* を求め、上となるか確かめて欲
しいと。想定の範囲内の曲線を視た受講生がI(R)⊂c のみならず今回は前と異なりI(R)⊃c
でも在りそうと。そうなら証明をと飯高先生。求めたc*は狭すぎて挿入不可。

 資料を参考にして代数曲面Sj をつくり、さらに誰も為したことがなさそうな双対化Sj* も為
そうと。

 曲線 t--I-->(Sin[t],Cos[5*t],Sin[3*t],Cos[7*t])∈K4を視た受講生は皆鞄から「平面曲
線の幾何」を取り出し、表題がK4に於ける1次元多様体(例:上のI)、2次元多様体、3次元多
様体(例:上の各SjやSj*)の書籍をはやく出版して欲しいと飯高先生にお願いした。


 今回は限りなく易しい素朴過ぎる問題から開始します。(平成24年9月23日付け)

 次の2円:f1[x,y]=x2 + 3x + y2 - y - 60=0 、f2[x,y]=x2 - 11x + y2 - 3y + 20=0 の交点
を求めなさいと穏やかに云われた際、世界中の誰もが

(イ) 終結式を用いて、200(y - 5)(y + 2)

(ロ) idealを意識し、g1[x,y]f1[x,y]+g2[x,y]f2[x,y] を作り、特に、g1[x,y]=1、g2[x,y]=-1
  を選択し、7x + y - 40

 これ等より依存しなくても超易故解けてしまう。即ち、順に視て、先ず(イ)からyが求まり、そ
れから(ロ)より、xが求まり完璧。

 計算より、交点は、(5,5)、(6,-2)と云う。そして、視て安堵する!idealの生成元を(イ) (ロ)の
を採用してよかったと。(→ 参考1参考2

 上の交点を求める問は、志村五郎 著「代数学と幾何学(裳華房)」に在る。
(→ 参考:「新しい認識」)

 次の2曲線の交点を求めなさい。:x2 + y2 + xy - 1=0、x2 + y2 - 4x - 2y + 1=0

を上の(イ) (ロ)が常套手段となるべく倣い解こうと代数多様体の受講生Rが問題を携え研究
室に。(→ 参考

 先の問題を解決した學生が今回のはあまりに易し過ぎると悲しむと云われ、學生Dが真意
抉る問題提起。(→ 参考計算結果

 資料を視てしまった高校生曰く。赤の楕円と円の交点を通る代数曲線が無限に在る。

 研究室での話題が、講義のほんの一か所;双対曲線、双対曲面、.....ほんの一例に限定さ
れ、一歩も先に進めず、「デカルトの精神と代数幾何」(飯高茂、上野健爾、浪川幸彦 著)の
著者諸氏の出番だと、より高次の代数曲線、曲面、....とその双対を具現し奮闘中。

 どちらの枠(資料1資料2)も易しく、3-(1+1)で綺麗。(→ 参考

 資料を視て欲しいと受講生Iが研究室へ。(平成24年9月24日付け)

 先ず、不定方程式が在り、環Zのidealの問題が2問:2*Z+5Z∋1、計算に一般解∈Z2が在
り具現例達;{{-17, 7}, {-12, 5}, {-7, 3}, {-2, 1}, {3, -1}, {8, -3}, {13, -5}, {18, -7}, {23, -9}}
7*Z+4Z+8*Z∋23  Integer solution から欲しいだけ具現叶う。(→ 参考

 上と同様なことを、草色枠の問題だから取り組もうと....。

 そのidealには無限に元が在り、円と楕円の交点を代入すると0 となるが、何故赤線を選ん
だのと問われ白状した;実際の道とは程遠い道しか無いので、赤線のような代数曲線が良
いだろうと選んだと。既に、赤線を運転しながら、各点に於ける曲率は瞬時に判断出来、曲
率半径が∞の箇所も分かると。でも敢えて代数多様体の受講生らしく、赤線の双対曲線を
多様な発想で求め、その特異点、例えば、尖点を本当に求め、対応する元の赤線に於ける
接線を求めたりしようと全員。

 傍らの飯高先生が赤線のみ視て、手書きで双対曲線をこうなりそうと描いておられ、青線
と酷似の図を描き終えた。今度は青線のみ凝視し、その双対も同様に描かれた。

 飯高先生も取り組まれ、暫し沈黙の後、ノートに ぎっしりと(→ 参考)。そして呟かれた。
この高次代数曲線の特異点を求めねばと。資料を携え研究室に受講生M。

 傍らで聴いておられた飯高先生がPCの進化に依存し、もっと多次元に於けるn=2次超曲
面のみならず、n=3,4,......2013,.....次元に於けるn∈{2,3,.......,69,.......}次曲面をも瞬時に 為すに
相違ない。他の問題も(ideal の視座から) 然り。資料から、いくつかの変数のいくつかの多
項式の共通零点の箇所を引用し、単項ideal環Zの例と対比した。(→ 参考

 皆Zのidealの等式は易しく、平行してideal Iには3つもの多項式が在り、そのV(I)を求めて
みると、紫色の空間の代数曲線が3つものIから定まる代数曲面達のS1∩S2∩S3 である
ことを、見えにくいが視座を巧く選び工夫していることを理解した。そして制約で自由度を奪
われ、3-(1+1+1)次元多様体ではないから、Iは2つの多項式で生成されるのではないかと疑
問を呈した。

 V(I)=紫線を視ると、紫線⊂[x0,x1]×[y0,y1]×[z0,z1](ぎりぎり V(I) 収納の)を見出したいと。

 例えば、f1[x,y,z]=0、f2[x,y,z]=0のもとで、xの最小値x0、最大値x1問題を解けばよいので
資料の10の常套手段で叶うが、idealを持ち出し解決しようと。4.16の如く。

 この4.20の最短問題を視た學生が、f1[x,y,z]=0 ,f2[x,y,z]=0のもとで、(x-7)2+(y-5)2+(z-3)2
の最小値を代数多様体の受講生らしく、idealを持ち出し解こうとただ今具現中。

 我々受講生は代数曲面達の交わりとしての空間曲線を模索中。
                                      (平成24年9月25日付け)

 3次曲面と2次曲面だから、なんとか描写叶い、交線も色分け強調し、1次元多様体である
(綺麗に3-(1+1) で)ことはイメージ叶った。

 今回の例で先ず、Cの存在範囲C⊂[x0,x1]×[y0,y1]×[z0,z1]を調べる。ちょうど制約条件
S1:z3 + 4z + y2=0、S2:z2 + 2z + x2=0 のもとでの、例えば、zの最小値、最大値を求める
問題なので、「Lagrange-Multiplikator」の適用場面なので為すべきだが、履修済であるしス
タートはLagrange-Multiplikatorにし、次行からは代数多様体のidealの視座から解こうと全員
が具現中.....。

 [x0,x1]×[y0,y1]×[z0,z1]を先ずきちんと調べ、曲線の存在範囲(Existence)を求め、次々
為すべきことをし、S1∩S2の全貌を把握しようと。無論、云われなくても各双対曲面を求め、
S1*∩S2*の全貌を把握する仕事も為そうと、つまみ食いのみの逃避行動を為し今回の論
文が読めてないKYを恥じらいながら......。資料に今回のような具体例も欲しいとも。zの冪を
あげたり、yの冪を上げたりすべきだが、直ぐ難解になり...。

 ファジイに挿入したのに忖度して応えて下さると謝辞。(平成24年9月26日付け)

 再度計算を視て、らしてと云うなら、k[x]は単項ideal環だから、

   g1[x]・(x3 - 3x + 2)+g2[x]・(x4 - 1)=x-1

なる多項式環の元g1[x]、g2[x]をも求めて欲しいとおねだりしたが、あの狭い欄にあれこれ
記入し所望したが叶えられず落胆し、バイト先の女子高生にお願いしたところ。

(-(9/20) - x/10 - (3 x^2)/20)*(x^3 - 3*x + 2) + (1/10 + (3 x)/20)*(x^4 - 1)

とすれば希望が叶えられると云われ挿入すると、逆に教えられたと。

   g1[x]・(x3 - 3x + 2)+g2[x]・(x4 - 1)=x-1

なる多項式環の元 g1[x]、g2[x]は何処からと問うと、ひらめいたのとバイト先の女子高生。

 上の表現を参考に、単項ideal環ではないが、草色枠をきちんと証明してとバイト先の女子
高生。易しい円と楕円の方程式の左辺達を用いて、赤の 5次曲線の左辺を睨み、実際、
g1[x,y]、g2[x,y] の存在証明はいいから具現してねとバイト先の女子高生。
g1[x]・(x3 - 3x + 2)+g2[x]・(x4 - 1)=x-1 の如くたった1つ増えた多項式環k[x,y]の問題だと。

 (3n)・7 + (23 - 7n)・3 と似てるのとバイト先の女子高生。今回は、小学生も知悉の最大公
約数だが、酷似と雖も具現となると、かなり一仕事と頑張って徹夜中....。(→ 参考

 Q[x]/ <x2 - 2 > で、x2+x+1 の逆元を求めよ、と(正体明確な問を)云われ、前回のことが
在るので、女子高校生がさらりと存在してと曰く。

  (-(2/7) + x/7)*(x^2 - 2) + (3/7 - x/7)*(x^2 + x + 1)=1 から (3/7 - x/7) で、

(3/7 - x/7) /. x -> Sqrt[2]=3/7 - Sqrt[2]/7

 傍らで聴いておられた飯高先生曰く。これぞ「中高生の先生方が云いたかッた分母の有理
化だッ!」とあまりの轟く声なので分母の有理化をせよとの上から目線の諸問題を、このideal
論の視座から再考し、多項式環に於ける不定方程式を解き、済んでしまった過去問をidealの
視座から代数多様体の受講生らしく深く再考中.....。(→参考文献

 微分幾何學履修済の受講生Bが視れば題意が分かるべく数時間かけたと研究室で提示
(平成24年9月27日付け)

 懇切丁寧なBに飯高先生が謝辞を述べなさいと云われたような気がしたと代数多様体受
講者の面々。受講生Bは「視た刹那瞬時に理解してジ・エンド」の諸氏に本当に読んで先を
見つめているかと確認をし、その先を読むべく提示。スタートの非線型写像Fを明記。

F(u,v)=(u^5/2-5 u^3 v^2+4 u^2+(5 u v^4)/2+u/2-4 v^2,(5 u^4 v)/2-5 u^2 v^3+8 u v+v^5/2-v/2,3 u^2 v-v^3)

更に図示した空間曲線を載せている代数曲面は数多在り。

 飯高先生は此処までの受講生の議論を傍らで聴きながら、Fを単位円に制限し獲た像を
視て、箱入り娘問題も解くに値すると受講生に、Fを単位円もよいが他の在り過ぎる代数曲
線に制限したら像は如何なる代数多様体達の共通部分か世界の誰も探求している形跡は
學会で皆無なので研究に値するかもと研究課題がなかなか見つからない受講生に...。

 直前でF による単位円の像如何があったが遠慮せず、 (円の族C[k]={(u,v)| u^2+v^2=k^2}
k=1,2,..69......の像もやりがい在り )「正葉曲線」のあの非線型写像F:

F(u,v)=(u^5/2-5 u^3 v^2+4 u^2+(5 u v^4)/2+u/2-4 v^2,(5 u^4 v)/2-5 u^2 v^3+8 u v+v^5/2-v/2,3 u^2 v-v^3)

による像F(デカルト)も代数多様体の受講生の視座で数時間かけて研究し、飯高先生に視
ていただこうと全員。飯高先生曰く。:世界の誰も為していないでしょうの声が聴こえたような
気がし俄然やる気満々の受講生諸氏が具現中.......。

 対で考察すべきものと研究室で學生Pが云うと、iで固く結ぶべきとの声在り。(参考

 此れは代数曲線だァ、直ぐ双対化を多様な発想でと叫び声在り。傍らの飯高先生曰く。こ
の対(c,c*) だろうと。

 學生が、6次代数曲線の双対化組、8次代数曲線の双対化組なる二手にわかれ、多様な
発想で取組始めた。こんなもと微分幾何學履修者。我々受講者の「歯車が噛み合う」話
題だなァ、でも、これって代数曲線?と疑念の声在り。自家用車通學生は、こんなもと。上
に幾つか対の例が在り、代数幾何學で扱わないのが数多在りそうと不満顔.....。

 資料を改竄して研究する価値は在りそうと飯高先生が云われたような気がし、69個位代
数曲線化し、双対曲線化も為さずにはいられない受講生....。先ず手始めに、これをと。増
補版の際は今回の対(cj ,cj*)達を入れ共著としようと云われたような気がし益々頑張りぬく。

 先ず代数曲線 y-(1/2)x2=0 に絡む草色枠を解いて欲しいと。(平成24年9月28日付け)

 題意はすこぶる明確だが....と云いながら何とか解いた。世間の方は逆じゃないと云いそう
な体積・面積・長さの順に困難を極めていることを経験上知っていて、今回の y-(1/2)x2=0
の弧長がねぇ.....と。この y-(1/2)x2=0 をInversion Center at Focus で反転した代数曲線
をもとにして、草色枠のを素直に改竄し黄色の曲線達の図を丁寧に學生Iが添付した。(2)の
み少し変える必要が在ると。各曲線 y=(1/n)xn (n=3,4,5,.....69,,,,2012,...)について、Lを求めて
下さい。lを求めて下さいと。引き算L-lは私がするからと大逆襲好みの學生I。

 今回は代数多様体受講生向きの問題はないの?との声在り。(3)のa∈[0,1]なる制限をなく
し、a∈RとしたときのQが満たす曲線を各曲線y=(1/n)xn (n=3,4,5,.....69,,,,2012,...) について求
め、それが代数曲線なら多項式環の元を用いて表現し、その双対曲線を多様な発想で求
めて!そうでないなら、その証明をと受講生Aが提起し全員が取組中....。

 高校生が解く身近な問題を、ちょっと改竄したのですが、微分幾何履修済でつまんない、
解くに値しないと拒絶せず考えて欲しいと代数多様体の受講生Iが研究室に携行
                                      (平成24年9月28日付け)

 資料の4次で、問題の問4とその左に類した考察を為し始めた。易しい4次函数のグラフの
曲線Cから法線方向に云々の曲線の表示を先ず求め、問題を解け。傍らの飯高先生が代
数幾何の視座でと云われたような気がした。即ち、代数曲線として具現の可否等について。

 直前の資料を視た微分幾何履修済諸氏はもう一つ次元を上げ、「Moving frame」をと作問
を開始しています。(弧長参考資料

 例1で珍しく弧長が求められる高次曲線を視た受講生が、二重接線が在る筈なので敢えて
その双対曲線を求め、その特異点を求めて解決しようとした。すぐさま多様な発想で双対化
し、5次の草色の双対曲線を求めたが特異点がない!如何なる解釈をすれば良いか?と疑問
を投じた。それよりも右端に図示してある赤の代数曲線の法線上のQ云々の尖点が現われ
る方の曲線は考察に値するとトムが云ってたと飯高先生が云われたような気がし、尖点
現われる方の曲線達を研究することにしようと提案者Cu現る。ただ今研究開始......。資料
ような曲線についてもと試みに尖点が現れるほうのを手書きしてみつつ。

 今回ほど題意が「世界の少年少女に限定せず、こころからの乖離(指定した符号つきの距
離)問題」の題意は解り過ぎるほど分かると代数多様体の受講生Pが研究室に携行。
                                      (平成24年9月30日付け)

 大元の草色の心は「微分幾何履修者に云わせると、先ず媒介変数表示で。代数多様体専
攻者にいわせると、多項式環の元を用いて云々だろうねぇと。そのこころからの指定した乖
離から赤の曲線が獲られるのは人生で遭遇する如何なる問題よりも題意が掴めて易しいが
為した人が稀有なので為しなさいと研究室の空気を読み具現中。無論それがなされたなら直
ぐ多様な発想で双対曲線を求める愉しみが在ると。傍らの飯高先生も先ず手書きで、そして
裏付けをと具現中。それにしても、ちょっと前の受講者は、資料のようであったのに想定外の
高次曲線の双対化を愉しむ研究室の雰囲気が素晴らしく去りがたく、この儘幾年をも一緒に
代数曲面の双対曲面もしたいと洩らされた。下のように何でもと世界に公表したが、著書の
増補版に載せられるような話題に限定して欲しいと。為すべきは双対化と....。(→ 参考)これ
が本当に済んだら「心に厚みが在る」の「心」からの指定した乖離の代数曲面の具現とその
双対化が在る(恐らく為した方は世界に存在しない筈と)

 全面開示し、紫枠を証明しなさいなる出題傾向となる予感と飯高先生。

 直前の資料を味読した受講生Rが、もっと易しい例でと改竄願望のスタートの曲線を、
3-y2=0 にして問いかけつつ全てを解いて問題提起をと研究室に携行
                                      (平成24年10月1日付け)

 スタートの曲線を先ず確認し、何だか尖点の曲線が近頃頻出するなぁと水色の x3-y2=0
から産まれ出る色分けされた色々な曲線の導出を開始した。今回 d-off set カーブなる概
念が明記され、定理8も在るが、これを検索する前に定義しようと受講生諸氏による定義案
がなされた後検索すると、こんな概念は幼児でも分かり絵も描くので、もっと早期に小中高
で扱って欲しいと要望を教育現場に為そうと提案が為された。資料に戻り、次々と為しなが
ら、こんなのを考査問題にされた講座が在るのだろうねぇと 學生。考察済のについて定
理8を確かめようと奮闘中。無論、定理8は証明しようと。今回の提案者の受講生Rが資料
数秒視ただけで短時間に導出したっ!とのWEB上の空気を推察し見直しを世界に要望された。

 學生Kが色分けしたを携行し研究室へ。研究仲間は瞬時にKが色分けした意図を読み
取り、取組始めた。飯高先生が此処を訪れられる世界の皆様に題意がわかるよう文章化
しておこうと為された。

(0) シアン色の2次でない代数曲線を追跡し、

(1) シアン色の代数曲線上を綱渡りし(直喩)d∈{-1,1} offset curve が資料となることを計
  算を丁寧に為し示して下さい。

(2) 片一方のd∈{-1,1} offset curveの特異点達を求め、定理8を確認願います。

(3) 更に、d offset curve達をいろいろ求め、の如く、offset curveの特異点達を求め、定
  理8を確認願います。

(4) 以前の各曲線のoffset curveの特異点達を求め、定理8を確認願います。資料につい
  ても。資料については 各曲線について自ら他のd offset curve達をいろいろ求め、定
  理8を確認願います。

(5) 資料に戻り、d∈{-1,1} offset curveの双対曲線を多様な発想で求めて下さい。

 「シアン色の代数曲線上を綱渡りし(直喩)d∈{-1,1} offset curve が」と表現したところは
「両手に花」で「左右にサイドカ-附きの車で」悲鳴を聴くのが比喩として相応しいと自動車
通學生。それはともかく、こんな題意が幼児にも分かるような件(無論、曲面についても論
文数多在り)offset curveについて今も論文が量産されていそうだと検索し、証明附きなの
はとりあえず印刷し研究対象と為し得るか考察を本気で為そうと受講生諸氏。


(→話題8へ続く)