合同数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの「お茶の時間−クイズ＆パズル」の中の「素朴な長さの計算」に関連して、当ＨＰ
がいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが、平成２１年６月１０日〜１１日付けで、「合同数」
の話題に触れられている。

　合同数 ｎ とは、下図において、有理数　ａ 、 ｂ 、 ｃ　に対して、

　　　　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　　、　　ａｂ/２＝ｎ

　　　となるような自然数 ｎ のことを言う。





　すなわち、有理数を３辺の長さとする直角三角形の面積が自然数になる場合を言う。

　当ＨＰの「ヘロン数とピタゴラス数」において、ヘロン数の話題が取り上げられている。

　三角形の三辺とその面積が全て整数となるものを、ヘロン数といい、そのような三角形は、
ヘロン三角形と呼ばれる。

　合同数という概念は、ヘロン数よりもゆるい条件と言える。当ＨＰの「擬似ヘロン数」にお
いて、この合同数の話題が取り上げられている。


　さて、直ぐに思いつく合同数は、「６」だろう。

　「３、４、５」という有名なピタゴラス数で得られる直角三角形の面積がちょうど、６ である。

　「６」以外に、１０００までのうち合同数は、３６１個あるという。（結構あるんですね！）

　これらを、次のように書き並べると、その特徴が分かるかな？
「５」が最小の合同数であることは、フィボナッチにより示されている。

　ここで、合同数予想というものが知られている。

　Ａは１以外の平方数を約数に持たない正の整数とする。このとき、Ａを８で割った余
りが ５、６、７ ならば、Ａは合同数である。

　この予想の真偽は如何に？


　ただ、上の表から、合同数の分布を類推することは危険である。

なぜなら、　８で割って２余る自然数「３４」は、合同数　だからである。

　実際に、　ａ＝２４　、ｂ＝１７/６　、ｃ＝１４５/６　について、

　　　　ａ²＋ｂ²＝５７６＋２８９/３６＝２１０２５/３６＝（１４５/６）²＝ｃ²

　が成り立ち、　ｎ＝ａｂ/２＝３４　であるので、３４は合同数である。

　面積が「５」になる場合として、　（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ３/２ ， ２０/３ ， ４１/６ ）　が知られて
いる。

　また、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ３ ， ４ ， ５ ）　以外に面積が「６」になる場合として、

　　　　（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ７/１０ ， １２０/７ ， １２０１/７０ ）

もあるらしい。計算すれば確かに当てはまるが、理論的裏付けなしに、このような数を発見
することは難しいような．．．予感。

　同様に、面積が「７」になる場合として、

　　　　（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ３５/１２ ， ２４/５ ， ３３７/６０ ）

も然り。（この例は、オイラーが発見したと言われる。）

　残念ながら、「１」は、合同数にはならない。このことは、フェルマーが無限降下法を用い
て証明しているそうだ。

　この合同数の問題は、楕円曲線の理論とも関係があるらしい。

　有理数　ａ 、 ｂ 、 ｃ　に対して、　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　、　ａｂ/２＝ｎ　となるような自然数

ｎ が存在するとき、　ｘ＝ａ（ａ＋ｃ）/２　、ｙ＝ａ²（ａ＋ｃ）/２　とおくと、

点（ ｘ ， ｙ ）　（ｙ≠０）　は、楕円曲線　ｙ²＝ｘ³−ｎ²ｘ　上の点である。

　実際に、　ｘ³−ｎ²ｘ＝ａ³（ａ＋ｃ）³/８−ａ³ｂ²（ａ＋ｃ）/８

　　　　　　　　　　　　 ＝ａ³（ａ＋ｃ）/８・｛（ａ＋ｃ）²−ｂ²｝

　　　　　　　　　　　　 ＝ａ³（ａ＋ｃ）/８・｛（ａ＋ｃ）²−ｃ²＋ａ²｝

　　　　　　　　　　　　 ＝ａ⁴（ａ＋ｃ）²/４

　　　　　　　　　　　　 ＝ｙ²
である。逆に、

　点（ ｘ ， ｙ ）を、楕円曲線　ｙ²＝ｘ³−ｎ²ｘ　上の有理点で、　ｙ≠０　とすると、

　　　　　ａ＝ｙ/ｘ　、　ｂ＝２ｎｘ/ｙ　、　ｃ＝（ｘ²＋ｎ²）/ｙ

は、関係式　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　、　ａｂ/２＝ｎ　を満たし、ｎ は、合同数となる。

　「１」が合同数でないことは、次の事実から明らかである。

　　左図において、楕円曲線　ｙ²＝ｘ³−ｘ　の有理

　点は、

　　　（ ０ ， ０ ）　、（ １ ， ０ ）　、（ −１ ， ０ ）

　の３点しかない。

　　ｙ≠０　なる有理点が存在しないので、１は合同

　数にはなり得ない。

　　楕円曲線の一般形は、

　ｙ²＝ｘ³＋ａｘ＋ｂ　　（ただし、　４ａ³＋２７ｂ²≠０）

で与えられる。数学の世界では、直線や２次曲線

の次に基本的な曲線として知られる。



（追記）　平成２８年８月６日、日本大学文理学部数学教室主催のサマースクールで、上記
　　　　の話題に関連するテーマについて、渡辺敬一先生からお話をお伺いする機会を持つ
　　　　ことができた。（渡辺先生は、平成５年に日本数学会・代数学賞を受賞され、平成２６
　　　　年９月に日本大学文理学部数学教室を定年退職された。）

　有理数を長さに持つ直角三角形の面積Ｎが自然数のとき、Ｎは合同数と呼ばれる。

　Ｎが合同数のとき、自然数ｋに対して、ｋ²Ｎも合同数である。

　逆に、自然数Ｎに対して、ｋ²Ｎが合同数ならば、Ｎも合同数である。

　これらは、三角形の相似を考えれば自明だろう。

例　（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５）の場合、Ｎ＝６は合同数である。
　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１２，１３）の場合、Ｎ＝３０は合同数である。
　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（１５，８，１７）の場合、Ｎ＝６０は合同数である。６０＝２²・１５なので、１５
　は合同数である。

　以下同様にして、

（ａ，ｂ，ｃ）＝（７，２４，２５）、（２１，２０，２９）、（９，４０，４１）、（３５，１２，３７）、（１１，６０，６１）、
　　　　（４５，２８，５３）、（３３，５６，６５）、（１３，８４，８５）、（６３，１６，６５）、（５５，４８，７３）、
　　　　（３９，８０，８９）、（７７，３６，８５）、（６５，７２，９７）

から、Ｎ＝８４＝２²・２１、Ｎ＝２１０、Ｎ＝１８０＝６²・５、Ｎ＝２１０、Ｎ＝３３０、

　　　Ｎ＝６３０＝３²・７０、Ｎ＝９２４＝２²・２３１、Ｎ＝５４６、Ｎ＝５０４＝６²・１４、

　　　Ｎ＝１３２０＝２²・３３０、Ｎ＝１５６０＝２²・３９０、Ｎ＝１３８６＝３²・１５４、

　　　Ｎ＝２３４０＝６²・６５

となるので、合同数として次の自然数があげられる。

　　５、６、１４、１５、２１、３０、６０、６５、７０、・・・

問題　７は合同数であることを示せ。

（解）　α＝１６、β＝９　とすると、　ａ＝１６²−９²＝１７５、ｂ＝２８８、ｃ＝３３７

　　　このとき、　面積は、　１７５×２８８÷２＝２５２００＝６０²・７　と書けるので、

　　　６０²・７　すなわち、７は合同数である。　　（終）

問題　１、２、３、４ は合同数ではないことを示せ。

＃１が合同数でないことは上記で既に示されているが、別な視点で．．．。


　ある自然数が合同数かどうかは悩ましい問題だが、実は、Tunnell（タネル）の定理（１９８４
年）が知られていて、合同数であるかどうかを判定するアルゴリズムを与える。これは合同数
の必要十分条件ではないものの、合同数の特徴づけには役に立つものである。

定理（Tunnell）　自然数ｎに対して、次の整数の組の集合を考える。

　Ａ_ｎ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｎ＝ｘ²＋２ｙ²＋３２ｚ²｝　、Ｂ_ｎ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｎ＝ｘ²＋２ｙ²＋８ｚ²｝

　Ｃ_ｎ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｎ＝２ｘ²＋８ｙ²＋６４ｚ²｝　、Ｄ_ｎ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜ｎ＝２ｘ²＋８ｙ²＋１６ｚ²｝

　ｎ（Ａ）で、集合Ａの要素の個数を表すことにする。

もし、ｎが奇数の合同数ならば、　ｎ（Ｂ_ｎ）＝２ｎ（Ａ_ｎ）　が成り立つ。

もし、ｎが偶数の合同数ならば、　ｎ（Ｄ_ｎ）＝２ｎ（Ｃ_ｎ）　が成り立つ。

　この定理を活用すると、

　　Ａ₁＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜１＝ｘ²＋２ｙ²＋３２ｚ²｝＝｛（±１，０，０）｝
　　Ｂ₁＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜１＝ｘ²＋２ｙ²＋８ｚ²｝＝｛（±１，０，０）｝

より、　ｎ（Ｂ₁）≠２ｎ（Ａ₁）　が成り立つので、１は合同数ではない。

　　Ｃ₂＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜２＝２ｘ²＋８ｙ²＋６４ｚ²｝＝｛（±１，０，０）｝
　　Ｄ₂＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜２＝２ｘ²＋８ｙ²＋１６ｚ²｝＝｛（±１，０，０）｝

より、　ｎ（Ｄ₂）≠２ｎ（Ｃ₂）　が成り立つので、２は合同数ではない。

　　Ａ₃＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜３＝ｘ²＋２ｙ²＋３２ｚ²｝＝｛（±１，±１，０）｝
　　Ｂ₃＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜３＝ｘ²＋２ｙ²＋８ｚ²｝＝｛（±１，±１，０）｝

より、　ｎ（Ｂ₃）≠２ｎ（Ａ₃）　が成り立つので、３は合同数ではない。

　　Ｃ₄＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜４＝２ｘ²＋８ｙ²＋６４ｚ²｝＝φ
　　Ｄ₄＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）｜４＝２ｘ²＋８ｙ²＋１６ｚ²｝＝φ

より、　ｎ（Ｄ₄）＝２ｎ（Ｃ₄）　が成り立つが、これから、４が合同数かどうかは判定できない。

　４が合同数と仮定すると、４＝２²・１　より、１が合同数となり、これは矛盾である。

　よって、４は合同数でない。



　　　以下、工事中