ピタゴラス数のある性質　　　　　　　　　　　　　　　　　

　自然数 ａ、ｂ、ｃ が、ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たすとき、ピタゴラス数といわれる。
このような ａ、ｂ、ｃ は、

　　　　　　ａ＝ｍ²−ｎ²　、　ｂ＝２ｍｎ　、　ｃ＝ｍ²＋ｎ²

と書かれる。
　ただし、ｍ、ｎ は、互いに素な自然数で、どちらかは偶数、かつ、ｍ＞ｎ とする。
（詳しくは、こちらを参照）

　次の表は、ピタゴラス数をいくつかまとめたものである。

　この表を見ていると、３つの自然数 ａ、ｂ、ｃ の積 ａｂｃ は、すべて６０の倍数になっている
ことに気がつく。

　実は、このことは一般的に成立する事実である。すなわち、

　自然数 ａ、ｂ、ｃ が、ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たすとき、 ａｂｃ ≡ ０　（ｍｏｄ　６０）

が成り立つ。（合同の記号（≡）については、こちらを参照）

（証明）　ａ＝ｍ²−ｎ²、ｂ＝２ｍｎ、ｃ＝ｍ²＋ｎ² より、ａｂｃ＝２ｍｎ（ｍ⁴−ｎ⁴）
　　　　ａｂｃ が６０の倍数であることを示すには、ｍｎ（ｍ⁴−ｎ⁴）が３０の倍数であることを示
　　　　せばよい。３０＝２×３×５ なので、２の倍数かつ３の倍数かつ５の倍数であることを
　　　　示せばよい。
　　　　　（参考：　Ａ≡Ｂ　（ｍｏｄ　ｍ）、Ａ≡Ｂ　（ｍｏｄ　ｎ）、（ｍ，ｎ）＝１　⇔　Ａ≡Ｂ　（ｍｏｄ　ｍｎ）　）

　上記の表から、ｍｎ（ｍ⁴−ｎ⁴）は３０の倍数、すなわち、ａｂｃ は、６０の倍数であることが
分かる。

（参考文献：小野寛晰　著　情報代数（共立出版））

（追記）　広島工業大学の大川研究室より、上記の証明に関して、コメントをいただいた。

　　自然数 ａ、ｂ、ｃ が、ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たすとき、

　（１）　ａ、ｂ のうち少なくとも一方は ３ の倍数

　（２）　ａ、ｂ のうち少なくとも一方は ４ の倍数

　（３）　ａ、ｂ、ｃ のうち少なくとも一つは ５ の倍数

という性質を持つことは、よく知られた事実とのことである。

実際に、

（１）の証明：　
　　　ａ、ｂ のどれも ３ の倍数でないとすると、ａ²、ｂ² を ３ で割った余りは、必ず １ となる。
　　したがって、ａ²＋ｂ² を ３ で割った余りは、２ となるが、ａ²＋ｂ²＝ｃ² を ３ で割った余り
　　は、０ または １ なので、これは矛盾である。
　　　したがって、ａ、ｂ のうち少なくとも一方は ３ の倍数である。

（２）の証明：
　　　ａ、ｂ のどれも ４ の倍数でないとすると、ａ²、ｂ² を ４ で割った余りは、０ または １ と
　 なる。したがって、ａ²＋ｂ² を ４ で割った余りは、０ または １ または ２ となる。

　（イ）　ａ²＋ｂ² を ４ で割った余りが、０ のとき、

　　ａ＝４ｍ＋２、ｂ＝４ｎ＋２　とおける。このとき、ｃ²＝ａ²＋ｂ²＝１６（ｍ²＋ｎ²＋ｍ＋ｎ）＋８
　　ｃ² は偶数なので、ｃ は偶数。よって、ｃ＝２ｋ とおける。
　　　上式に代入して整理すると、　ｋ²＝４（ｍ²＋ｎ²＋ｍ＋ｎ）＋２
　　よって、ｋ² が偶数なので、ｋ は偶数。
　　　このとき、左辺は４の倍数になるが、右辺は４で割って２余る数である。
　　これは、矛盾である。

　（ロ）　ａ²＋ｂ² を ４ で割った余りが、１ のとき、

　　一般性を失うことなく、ａ＝４ｍ±１、ｂ＝４ｎ＋２　とおいてよい。このとき、
　　ｃ²＝ａ²＋ｂ²＝８（２ｍ²＋２ｎ²±ｍ＋２ｎ）＋５
　　ｃ² は奇数なので、ｃ は奇数。よって、ｃ＝２ｋ＋１ とおける。
　　　上式に代入して整理すると、　ｋ²＋ｋ＝２（２ｍ²＋２ｎ²±ｍ＋２ｎ）＋１
　　左辺＝ｋ²＋ｋ＝ｋ(ｋ＋１) は連続する２整数の積なので偶数、しかるに、右辺は奇数で、
　　これは矛盾である。

　（ハ）　ａ²＋ｂ² を ４ で割った余りが、２ のとき、

　　ａ＝４ｍ±１、ｂ＝４ｎ±１　とおける。このとき、
　　ｃ²＝ａ²＋ｂ²＝８（２ｍ²＋２ｎ²±ｍ±ｎ）＋２
　　ｃ² は偶数なので、ｃ は偶数。よって、ｃ＝２ｋ とおける。
　　　上式に代入して整理すると、　２ｋ²＝４（２ｍ²＋２ｎ²±ｍ±ｎ）＋１
　　このとき、左辺は偶数であるが、右辺は奇数である。これは、矛盾である。

　　　以上から、ａ、ｂ の少なくとも一方は ４ の倍数である。

（３）の証明：
　　ａ、ｂ、ｃ のどれも ５ の倍数でないとすると、ａ²、ｂ²、ｃ² を ５ で割った余りは、１ または
　４ となる。したがって、ａ²＋ｂ² を ５ で割った余りは、０ または ２ または ３となるが、これ
　は、ａ²＋ｂ²＝ｃ² であることに矛盾である。
　　したがって、ａ、ｂ、ｃ のうち少なくとも一つは ５ の倍数である。

　従って、上記の性質を知っていれば、３ と ４ と ５ は互いに素であることから、
ａｂｃ が３・４・５＝６０ の倍数になることは自明である。

（注）整数論の知識を用いれば、このような解もあり得るが、私的には、冒頭のような表形式
　　で示す方法の方が、簡明で手っ取り早く好きである。（大川さん、ゴメンナサイ！）

（追記）　平成２２年５月１２日付け

　上記で示された次の性質：

　　自然数 ａ、ｂ、ｃ が、ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たすとき、

　（１）　ａ、ｂ のうち少なくとも一方は ３ の倍数

　（２）　ａ、ｂ のうち少なくとも一方は ４ の倍数

を用いると、「ａｂは１２の倍数である」ことが直ちに分かる。このことを問う問題が

　平成２２年度　首都大学東京　都市教養学部（理工学系−数理科学コース）　前期　で出題
された。

　整数 ａ、ｂ、ｃ が、ａ²＋ｂ²＝ｃ² を満たしているとすると、積 ａｂ は、１２で割り切れ
ることを示しなさい。

（解）　まず、ａｂ が ３の倍数であることを示す。

　　　ａ、ｂ がともに３の倍数でないと、ａ²、ｂ² を ３ で割った余りは、必ず １ となる。

　　よって、ｃ²＝ａ²＋ｂ² を３ で割った余りは、２となり矛盾である。

　　したがって、　ａ、ｂ のうち少なくとも１つは３の倍数となり、ａｂ は ３の倍数となる。

　次に、ａｂ が ４の倍数であることを示す。

　奇数の平方を８で割った余りは、必ず １ となる。

　また、偶数 ｍ に対して、整数 ｋ を用いて、

　ｍ＝２（２ｋ）　のとき、　ｍ²　を８で割った余りは、必ず ０ となる。

　ｍ＝２（２ｋ＋１）　のとき、　ｍ²　を８で割った余りは、必ず ４ となる。

　よって、ａ、ｂ がともに奇数とすると、ｃ²＝ａ²＋ｂ² を８ で割った余りは２となり矛盾である。

　したがって、　ａ、ｂ のうち少なくとも１つは偶数となる。

　ａ、ｂ がともに偶数ならば、明らかに、ａｂ は ４の倍数である。

　また、どちらかが偶数で、どちらかが奇数のとき、例えば、ａ が偶数、ｂ が奇数のとき、

　ｃ²＝ａ²＋ｂ² から ｃ も奇数で、　ａ²＝ｃ²−ｂ² は８で割り切れる。

　このとき、ａ＝２（２ｋ）　の場合のみなので、ａ は４の倍数、即ち、ａｂ は ４の倍数である。

　以上から、ａｂ は ３の倍数　かつ　 ４の倍数であるので、１２の倍数となる。　（終）


（追記）　平成３１年１月２２日付け

　次の事実が成り立つことを最近知ることが出来た。

　直角をはさむ２辺の長さが ａ、ｂ で斜辺の長さが ｃ とする。ａ、ｂ、ｃ がすべて整数
のとき、直角三角形に内接する円の半径 ｒ も整数となる。

　証明は易しい。

（証明）　題意より、　ｃ＝ａ−ｒ＋ｂ−ｒ　なので、　ｒ＝（ａ＋ｂ−ｃ）/２

　また、三平方の定理より、　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　が成り立つ。

　ここで、　ａ²−ａ＝ａ（ａ−１）≡０　（ｍｏｄ　２）　より、　ａ²≡ａ　（ｍｏｄ　２）

　同様にして、　ｂ²≡ｂ　（ｍｏｄ　２）　、ｃ²≡ｃ　（ｍｏｄ　２）

　よって、　０＝ａ²＋ｂ²−ｃ²≡ａ＋ｂ−ｃ　（ｍｏｄ　２）　なので、ｒ は整数である。　　（証終）