無限降下法

無限降下法　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　中学・高校で教わる証明法としては、背理法や数学的帰納法がよく知られている。また、
中学・高校では教えられることはないが、大切な証明法として鳩ノ巣原理を用いた証明法
がある。
　これ以外に無限降下法という証明法があるのだが、なぜかこれも重要な証明法にもか
かわらず、やはり学校で教えられることはない。

　このページでは、無限降下法を用いる証明について、整理したいと思う。

　まず一つの有名な問題について、２つの証明法（背理法および無限降下法）を述べ、そ
の違いを実感してもらうことにしよう。

問題　　は無理数であることを証明せよ。

（背理法による証明）

　は無理数でない、すなわち、有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な自然数ｍ、ｎを用いて、　＝ｎ/ｍ　と書ける。
分母を払って両辺を平方すれば、　２ｍ²＝ｎ²　で、ｎ²　は偶数、すなわち、ｎは偶数となる。
そこで、ｎ＝２ｎ₁ （ｎ₁ は自然数）とおいて、上式に代入すると、　２ｍ²＝４ｎ₁²　より、
　ｍ²＝２ｎ₁²　となる。
よって、ｍ²　は偶数、すなわち、ｍは偶数となる。
このとき、ｍ、ｎがともに偶数となり、これは、ｍ、ｎが互いに素であることに矛盾する。
したがって、は無理数である。　　（証終）

（別証）　　は無理数でない、すなわち、有理数であると仮定する。
　このとき、互いに素な自然数ｍ、ｎを用いて、＝ｎ/ｍ　と書ける。
分母を払って両辺を平方すれば、　２ｍ²＝ｎ²
　左辺の２のべきは奇数で、右辺は偶数となり、素因数分解の一意性により、　２ｍ²＝ｎ²
は成り立たない。
　したがって、は無理数である。　　（別証終）

（コメント）　今まで、「は無理数である」ことを示すとき、本証のような説明しか考えていま
　　せんでしたが、結局は納得できる根拠がしっかりしていればよいと考えれば、「素因数分解
　　の一意性」を用いる別証の方が簡明かなと思う今日この頃です。

（無限降下法による証明）

　は無理数でない、すなわち、有理数であると仮定する。
このとき、ある自然数ｍ、ｎを用いて、　＝ｎ/ｍ　と書ける。
分母を払って両辺を平方すれば、　２ｍ²＝ｎ²　で、ｎ²　は偶数、すなわち、ｎは偶数となる。
そこで、ｎ＝２ｎ₁ （ｎ₁ は自然数）とおいて、上式に代入すると、　２ｍ²＝４ｎ₁²　より、
　ｍ²＝２ｎ₁²　となる。
よって、ｍ²　は偶数、すなわち、ｍは偶数となる。
　そこで、ｍ＝２ｍ₁ （ｍ₁ は自然数）とおける。
このとき、　＝ｎ/ｍ　となる自然数ｍ、ｎが存在すれば、
　ｍ₁＝ｍ/２　、ｎ₁＝ｎ/２　により、ｍ、ｎより小さい自然数ｍ₁、ｎ₁ が存在して、
　＝ｎ₁/ｍ₁
となることが示された。
　このような操作を繰り返すと、自然数ｍ₁、ｎ₁ はどこまでも小さくすることができる。
しかるに、ｍ₁、ｎ₁ は自然数なので、このようなことはありえない。
　したがって、は無理数である。　　（証終）

（追記）　「ネタ的な証明」と題して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ
　　「Dengan kesaktian Indukmu」さんからご投稿いただきました。（令和７年１１月２３日付け）

　ツイッターで概ね以下のような証明が流れてきました。面白かったので紹介します。

命題：「は無理数である」ことを背理法を使って証明する。

　仮に＝ｎ/ｍと書けたとしよう。ここで、ｍ、ｎは正の整数である。17*ｎ -18*ｍは

正の整数であることにあらかじめ留意しておこう。さて、次の等式が成立する。

　(42)^3 +(17* -18)^3 = (17* +18)^3

にｎ/ｍを代入すると、(42)^3 +(17*n/m -18)^3 = (17*n/m +18)^3

　両辺を m^3 で乗じて以下を得る。

　(42*m)^3 +(17*n -18*m)^3 = (17*n +18*m)^3

すなわち、フェルマーの最終定理の反例を作れることになる。

これは矛盾なので、背理法によりの無理数性が証明された。

　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和７年１１月２３日付け）

　これに類した等式を探してみました。

12^3+(sqrt(5)-9)^3=(sqrt(5)+9)^3
18^3+(5*sqrt(6)-6)^3=(5*sqrt(6)+6)^3
126^3+(43*sqrt(15)-12)^3=(43*sqrt(15)+12)^3
390^3+(127*sqrt(17)-36)^3=(127*sqrt(17)+36)^3
18^3+(sqrt(33)-12)^3=(sqrt(33)+12)^3
50^3+(11*sqrt(43)-4)^3=(11*sqrt(43)+4)^3
････････････････

などが成り立つようです。

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月２３日付け）

　sqrt(17)とsqrt(33)の間に、

　13104^3+(7295*sqrt(29)-243)^3=(7295*sqrt(29)+243)^3

というのもありますね。

　成り立つ√の中身が「2,5,6,15,17,29,33」と飛び飛びなのは、探し切れていないのか、それと
も存在しないのか？

　4n+3型の素数のときは存在しないのか？と思ったら、43は存在したりして、法則がわかりま
せん。

　a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4　みたいに、とんでもなく大きい解があるのかな？

　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和７年１１月２４日付け）

　13104^3+(7295*sqrt(29)-243)^3=(7295*sqrt(29)+243)^3

が存在するとは！

　根号にかかる係数を1000までの範囲でしか調査してませんでした。でも、この場合だけが
極端に大きな値にジャンプするのは面白いですね。

　私もsqrtの部分は50までで止めていたので、この先何が可能なのか、また言われるように
調査する範囲がどこまで広げればいいのかなど、謎の多いものをたっぷり含んでいますね。

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月２４日付け）

　50までなら、あと43は見つかったと思いますが、多分

　49164^3+(40955*sqrt(41)-288)^3=(40955*sqrt(41)+288)^3

は見つけてないでしょうね。もっと大きなものを探し続けているのですが、今のところ見つかり
ません。

　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和７年１１月２４日付け）

　勿論、sqrt(41)は存在しないで処理していました。こんな大きな値で探し出せるとは！
これに要する計算量は計り知れないものがあるだろうなと感心するばかりです。

　√の中身を99まで延長して探していたら、表現は少し異なりますが、

　12^3＝(9+sqrt(5))^3+(9-sqrt(5))^3=(3+sqrt(93))^3+(3-sqrt(93))^3
　14^3=(4+sqrt(109))^3+(4-sqrt(109))^3=(1+sqrt(457))^3+(1-sqrt(457))^3
　18^3=(12+sqrt(33))^3+(12-sqrt(33))^3=(3+sqrt(321))^3+(3-sqrt(321))^3
　30^3=(18+sqrt(142))^3+(18-sqrt(142))^3=(9+sqrt(473))^3+(9-sqrt(473))^3
　=(12+sqrt(327))^3+(12-sqrt(327))^3=(3+sqrt(1497)^3+(3-sqrt(1497)^3

と縁もゆかりも無いような2つや4つが立方を介して繋がってしまう、何とも不思議なことが起
きました。一対一対応にはならないなんてやはり不思議だ。

　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１１月２５日付け）

　30^3 = (6+sqrt(738))^3+(6-sqrt(738))^3 = (15+sqrt(225))^3+(15-sqrt(225))^3

がありますので、(a+sqrt(b))^3+(a-sqrt(b))^3 の形となる a としては、3, 6, 9, 12, 15, 18 が見つ
かったということになります。

　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和７年１１月２４日付け）

　もう一つ面白いと感じることは、同じルートを使っても a、b の数字を変えることによって異な
る立方数を構成できる。例えば、

(9 + sqrt(5))^3 + ((9 - sqrt(5))^3 = 12^3
(225 + 2761*sqrt(5))^3 + (225 - 2761*sqrt(5))^3 = 3720^3

(4 + 11*sqrt(43))^3 + (4 - 11*sqrt(43))^3 = 50^3
(256 + 115*sqrt(43))^3 + (256 - 115*sqrt(43))^3 = 968^3
(972 + 101*sqrt(43))^3 + (972 - 101*sqrt(43))^3 = 1638^3

(4 + sqrt(109))^3 + (4 - sqrt(109))^3 = 14^3
(343 + 11*sqrt(109))^3 + (343 - 11*sqrt(109))^3 = 476^3
(243 + 25*sqrt(109))^3 + (243 - 25*sqrt(109))^3 = 504^3

などが起こります。

　Ｈ．Ｎａｋａｏさんからのコメントです。（令和７年１１月２７日付け）

　そろそろ種明かしをしましょう。

　aを平方因子を持たない正整数とする。このとき、sqrt(a)は無理数である。

　不定方程式　(x+y*sqrt(a))^3+(x-y*sqrt(a))^3=z^3 ---------- (1)　を満たす整数x、y、z
(ただし、x*y*z!=0, gcd(x,y,z)=1)を見つければ良い。

　z!=0より、(1)の両辺をz!=0で割って、x/z.y/zを改めて、x、yとすると、不定方程式

　(x+y*sqrt(a))^3+(x-y*sqrt(a))^3=1 ----- (2)　つまり、2*x^3+6*a*x*y^2-1=0 ----- (3)
を満たす有理数x、yを見つければ良い。

(3)より、　(36*a^2*y/x)^2=(6*a/x)^3-432*a^3 ------------- (4)　となる。

ここで、X=(6*a)/x　、Y=(36*a^2*y)/x　とすると、(4)より、楕円曲線

E_a: Y^2=X^3-432*a^3　----------------- (5)

の有理点(X,Y)を求めれば良い。

　以下では、簡単のため、0＜a≦100の範囲のみ考察する。

　この範囲内で、平方因子を持たない整数aは、

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41,
42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83,
85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97

の61個である。

　これらのaについて、楕円曲線E_aのねじれ点群は全て自明な群{O}である。

■rank(E_a)=0となるaは、以下の25個である。これらのaについては、自明でない有理点を持
たないので、(1)は自明でない整数解を持たない。

1, 3, 7, 10, 13, 19, 21, 22, 30, 31, 34, 37, 39, 46, 55, 57, 61, 66, 67, 70, 73, 79, 91, 94, 97
　　
■rank(E_a)=1となるaは、以下の31個である。これらのE_aは自明でない有理点を持つので、
(1)は自明でない整数解を持つ。

2, 5, 6, 11, 14, 15, 17, 23, 26, 29, 33, 35, 38, 41, 42, 47, 51, 53, 59, 62, 65, 69, 71, 74, 77, 78,
83, 86, 87, 89, 95

■rank(E_a)=2となるaは、以下の5個である。これらのE_aは自明でない有理点を持つので、
(1)は自明でない整数解を持つ。

43, 58, 82, 85, 93

■rank(E_a)>=3となるaは、存在しない。

　以下では、rank(E_a)=1となるaについて、楕円曲線E_aの有理点群の基底(rank 1なので、
1個)から、(1)の自明でない整数解を小さい方から3個づつ求めた結果を示す。

　各aについて、整数解[x,y,z]は、(1)を満たす。つまり、(x+y*sqrt(a))^3+(x-y*sqrt(a))^3=z^3が
成立する。

[Pari?GPによる計算]

(12:43) gp > xyz2(3,[28, 136])
a=2
[18, 17, 42]
[707472, -276119, 1106700]
[341461349334, -18052510860775, 11012213970702]
(12:43) gp > xyz2(3,[40, 100])
a=5
[9, 1, 12]
[225, -2761, 3720]
[6666948, 3105301, 13610574]
(12:44) gp > xyz2(3,[108, 1080])
a=6
[6, 5, 18]
[6000, -383, 7740]
[30001266, -66234835, 168595398]
(12:44) gp > xyz2(3,[76153/361, 20361275/6859])
a=11
[246924, 168275, 789222]
[1138931117124572920500000, -28080795782186903066903, 1444495107051178825635300]
[34776355583529410480823350908258731050794711181934084, -38900751702312185496520602528826968829457242153860925, 152655385733382445364188277424245354925778332863621202]
(12:47) gp > xyz2(3,[22952332/32041, 109783945160/5735339])
a=14
[5058568998, 13722993145, 43138907994]
[104583748612146206180228752175119916622000, 33389336337255220498688501113700518026337, 229461883950790927154535310168366094255580]
[167370053540518674280826123225579585001387325990734246546779787844292595424377010118211016338, 4757167007342817993722735375804856757852561358565816683131555092948663931547832007108365985, 213231587070001022411787183063263499917815416237236089539502724806216914009832292788330406814]
(12:49) gp > xyz2(3,[945, 29025])
a=15
[12, 43, 126]
[190816800, 82800553, 508696020]
[2334218215658442372, 194402130150232219, 3219660657563420826]
(12:49) gp > xyz2(3,[1105, 36703])
a=17
[36, 127, 390]
[170491013856, 73044637633, 468293965620]
[5425035933466478142391500, 469208964870216131932351, 7612544717174402070250770]
(12:49) gp > xyz2(3,[2788991569/4791721, 145312812459055/10489077269])
a=23
[377606781684, 274693407295, 1592635446402]
[33123037297842468466697924544477619522270234044000, 1466206763733598545541724322372247344617760303217, 43534247977666330901020261855423211409168222097020]
[73474544404173312584846444382634237213282344530238828023733152932961377174567857751190431249512423995979588924, -16993016961038321183421277957430606769107041681484481553612845020825800533880440916917566740961571216256999265, 154963027662905730769083807334128338960682112868489548813189160504141366849232120481286549591046815872782282822]
(12:50) gp > xyz2(3,[13799253628/2283121, 1620973547848520/3449795831])
a=26
[10494278917902, 202621693481065, 406588108522206]
[698393859289642871794373605807328372156784382890757494000, 1684514776933223937750270715684815530046385978618633573177, 6766699499721375141098887362611239127683998396121240285860]
[804793390870540659046756325167502042025481780201938820223576069752720818197076765306359534335051538388108420858022093497307788042, 571391894556804195042721951686904764356333357301197426224359440745048593795414652077746805495148097852206088564118124630431455345, 3476921481817788553399643110442603956363981952774301650074805275882779168694125197117614325189665364679760930747491641036320394826]
(12:50) gp > xyz2(3,[84448/9, 24540380/27])
a=29
[243, 7295, 13104]
[79337435470147125, 297651091432127159, 1069708939547844960]
[72685892201991554939273023286465351424, 80603047368915214374295115559569108305, 436094841193780080006688097590522617672]
(12:50) gp > xyz2(3,[297, 3267])
a=33
[12, 1, 18]
[11616, -9959, 61380]
[443112444, 398361935, 2415699882]
(12:50) gp > xyz2(3,[2485038341305/2964911401, 3855307198176570725/161442390695851])
a=35
[284784377187481164, 154212287927062829, 1136627710868147862]
[208883000886602081207856655786154628156145059625205136145386276102079200, 5470238655569279960414110856808677205365313166321274492267222099991433, 269347390548883507573849313407268658089917168838533732465683477278372220]
[1166876479294420108539808503080977846358939400108107620974807422074202461019696031304972410378683792020808028492747243528515019467021815963419802517921319487044, -268655488935395645478676077144143734415429399691154527820857033344521761918204170575882795564309132115010663201445214414158631223473996996411407484900142599683, 2752950393392053005144410235927391478915226330760169532492418443680297472200214596067231815803653198235194970372624699702108083791349893632083580288361554305762]
time = -9 ms.
(12:51) gp > xyz2(3,[31942771990273612/48939832481401, 5460213891648624397044632/342368435029969457101])
a=38
[2224710090824741532242298, 682526736456078049630579, 6368669335721179285647342]
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(12:56) gp > xyz2(3,[1800652/841, 2390898808/24389])
a=78
[667722042, 298862351, 3054806118]
[142593367461700590168691454944505136, 4816504221664542454760973513027841, 194401409782544429415275047478350140]
[961012215430639289467095983063483424697480361680171436313855109770379672398606, -90383909082419437780815948665464051318232783721492273337164366915533154958105, 1759725557721120851313609665899888496763334799597011824612795318011644003453218]
(12:56) gp > xyz2(3,[6629768873755790868817/1994472500391107136, 538000011593146180954351921729447/2816709632766884159771088384])
a=83
[101401546779607829751759181824, 78095516271323295246676139023, 676839307868352923167913503536]
[2661760968315465980820864604220991277342764117347306691911007484065083618923479647267695327819016571569681274390912516096, 224700976520069131170867796761554974131045850148914627509574457265694166144434501772591984724118826868690383959164495529, 4712372306515598547764789179648088360198695062274340112350770666371483109496401813899314229307417665577757704672256722080]
[170185710369455150277232537489369455581109738309348551541104156457255744644842142354147994426446958124397592488020680895101478994163869258133678594248208660286926739776320807038082981678463322150299492942731420439513427723688863496429675103317629766152071268293580818432, -2949083469063216338524569205270686831479343042093867017202989004331345762747055134485181227850926689013986400692403432053738810985209861040041481318302488130218799407345285211826309530016796272721522798873642948007512598632856696940605943617690942497363905524681279105, 219636711918965189022615704860687523501025314460246327177006001202429337183261795568269271741082161113567171788564324504127311792148138679634051011136720781473247175440889559998464541527349423305665209569449377857980474717545153402509187679484777027797204612666643927696]
(12:56) gp > xyz2(3,[22345036/7225, 105134480216/614125])
a=86
[11054250, 7107523, 66255630]
[58709854170274108824872772822000, 3911051855000629173874000366009, 95395179006593158364660520251580]
[6157358335335770949308563519817791635021871600512704707543176167394750, -196539397657208493814115577751450074311764147781438108054390070391637, 8385389056179483677445558057934413931614326902847401856711540665188090]
(13:09) gp > xyz2(3,[33085897/40804, 129969272827/8242408])
a=87
[2670540192, 154541347, 4148286948]
[66316131063821916099255714494110357248, -26353472988930420080869949786071945319, 290932418768054743463662530734704291800]
[511952477942615036429369370674604872077873241533877622213800305919286069411997353504, 462211455005529612827870114381263223062520360742276881180803802340060046674409232525, 3856612898887483787123405327514444829964359397139842521630368990120007562844462184212]
(13:10) gp > xyz2(3,[89000089/25, 839625580187/125])
a=89
[4500, 105999947, 30000030]
[339624849058216974976418830188000, 1000005999879999614999245499871000001, 566041981172830335849104150879716980]
[121501457998177438156471569863865466556996151544809375274685165991616500121500, 106001218848948681823504923492774336458980306800371924430350863837416078174999947, 90001170062910584641201587177935871387671818943787323295810239188110057060000090]
(13:10) gp > xyz2(3,[13523548743790613950914408385/9680860142895990924793801, 1461926314929831631825291152235126891420825/30121106318441398666544950801364300549])
a=95
[391453897714464417070418180614530449934804, 58477052597193265273011646089405075656833, 959361952537069426840091254971839469793122]
[15655503585724895813296213825059086242756567834225978580679113653850531094643021021107050088766890135504287891605711724609830760848012754774842741566511500880006749600, -730170025472760999504098236251277241394688550128486212866825915485318815890035090572965163054961132293306270734021804143440817733852157056223167870884314664416286343, 23165651225831274723845235694389831021082433442010767659903678677453830216264026830180850294478723293276978850568227678437038752845101110734935459740585569274626731620]
[154123514596563119568343732675064592691822820109880550812493761429952708982324575491621471328004487182240594199521190625700272783979720612081496445238607537856979248721945793164467498121327314866871392107437636409776034811687638364777588001781188433548896632046032748507709996812479760843339978366459869488301543961703523157943566815248361477387578002309197685292873780124, -547162011560389446654508791811907663356963939772916201147869195447617720749525216827119935782587480349127134877150112433285738890124132285860787332943767693279908886034207100370702612640765781789476109833257935437478014596357159142308053905156440501582103205660783687977212584787406552456786336981425198796093148321021915254289414650060401011447798344789465150698177525391, 2974168076135153378076302446178409760611582933598804315512407528428302223478209155907594823463434086810515760625662142699560506528751947970075493517892521866853175037052414495119034467520848605804970005890185303767442761512149261996688485305626553695489788333151043639428865793733571320467617280286845045111711838216742544792368378034190533704918216735928307113542190437062]

　これで、rank 0(25個)またはrank 1(31個)のaについては、解決できた。rank 2(5個)の
a=43, 58, 82, 85, 93については、宿題とする。

　DD++ さんからのコメントです。（令和７年１１月２８日付け）

　なぜかみなさん共役な無理数を前提に議論していますけど、

　19^3 + (18+15√6)^3 = (31+10√6)^3　、14^3 + (6-2√93)^3 = (17-√93)^3

みたいな形の式の存在が無視されているのはなぜなんでしょう？

　共有しておきます。思った以上に特殊ケースっぽい？

# Search with |a|,|c| <= 1500, |b|,|d| <= 50
14370 : 271^3 + (1229+10√14370)^3 = (1350+9√14370)^3
35805 : 338^3 + (1176+8√35805)^3 = (1367+7√35805)^3
3010 : 471^3 + (901+14√3010)^3 = (1078+11√3010)^3
3606 : 217^3 + (864+18√3606)^3 = (985+16√3606)^3
2629 : 546^3 + (785+11√2629)^3 = (968+8√2629)^3
10941 : 254^3 + (775+7√10941)^3 = (882+6√10941)^3
6490 : 399^3 + (650+13√6490)^3 = (899+10√6490)^3
1290 : 169^3 + (599+16√1290)^3 = (672+14√1290)^3
2554 : 1115^3 + (594+33√2554)^3 = (1439+18√2554)^3
3297 : 436^3 + (593+7√3297)^3 = (735+5√3297)^3
18705 : 436^3 + (525+7√18705)^3 = (811+5√18705)^3
8533 : 438^3 + (490+10√8533)^3 = (781+7√8533)^3
11085 : 182^3 + (450+6√11085)^3 = (557+5√11085)^3
802 : 273^3 + (352+22√802)^3 = (529+16√802)^3
310 : 219^3 + (281+10√310)^3 = (350+7√310)^3
8665 : 804^3 + (275+11√8665)^3 = (929+5√8665)^3
3945 : 1267^3 + (264+22√3945)^3 = (1363+8√3945)^3
1965 : 122^3 + (253+5√1965)^3 = (300+4√1965)^3
142 : 91^3 + (233+18√142)^3 = (270+15√142)^3
2139 : 665^3 + (216+18√2139)^3 = (761+8√2139)^3
2021 : 970^3 + (216+24√2021)^3 = (1051+9√2021)^3
3205 : 258^3 + (200+8√3205)^3 = (383+5√3205)^3
1345 : 632^3 + (189+21√1345)^3 = (713+9√1345)^3
473 : 196^3 + (135+15√473)^3 = (277+9√473)^3
327 : 61^3 + (120+10√327)^3 = (157+8√327)^3
229 : 74^3 + (108+12√229)^3 = (155+9√229)^3
727 : 711^3 + (104+26√727)^3 = (743+8√727)^3
33 : 37^3 + (59+8√33)^3 = (72+6√33)^3
109 : 93^3 + (56+14√109)^3 = (125+8√109)^3
4362 : 721^3 + (54+9√4362)^3 = (733+2√4362)^3
5 : 38^3 + (43+9√5)^3 = (54+6√5)^3
2046 : 335^3 + (42+7√2046)^3 = (347+2√2046)^3
8745 : 1456^3 + (27+9√8745)^3 = (1459+1√8745)^3
6141 : 1022^3 + (24+8√6141)^3 = (1025+1√6141)^3
886 : 441^3 + (22+11√886)^3 = (445+2√886)^3
2589 : 430^3 + (18+6√2589)^3 = (433+1√2589)^3
6 : 19^3 + (18+15√6)^3 = (31+10√6)^3
1497 : 248^3 + (15+5√1497)^3 = (251+1√1497)^3
2929 : 1464^3 + (13+13√2929)^3 = (1465+1√2929)^3
82 : 39^3 + (10+5√82)^3 = (43+2√82)^3
1333 : 666^3 + (10+10√1333)^3 = (667+1√1333)^3
321 : 52^3 + (9+3√321)^3 = (55+1√321)^3
457 : 228^3 + (7+7√457)^3 = (229+1√457)^3
93 : 14^3 + (6+2√93)^3 = (17+1√93)^3
85 : 42^3 + (4+4√85)^3 = (43+1√85)^3
# Elapsed: 148.685 s

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月２８日付け）

　全項ルート付きにした

2: (8√2-1)^3+(21√2+42)^3 =(26√2+35)^3
5: (2+4√5)^3+(7+5√5)^3=(6+6√5)^3
6: (4+3√6)^3+(18+6√6)^3=(16+7√6)^3
33: (1+3√33)^3+(23+5√33)^3=(18+6√33)^3
82: (20+5√82)^3+(37+√82)^3=(45+3√82)^3
85: (12+4√85)^3+(41+√85)^3=(44+2√85)^3
93: (11+√93)^3+(18+2√93)^3=(20+2√93)^3

なんてのもできますが、どうも見た感じ、共役で作れる√n以外は出てこないっぽいですね。
こういうふうに変えて√3とか出てきたら有用だったのですが。

　DD++ さんからのコメントです。（令和７年１１月２９日付け）

　共役複素数を用いて1つを有理化できるので、無限に計算できるなら出てくる答えは２つだ
け無理数のときと実質変わらないと思います。計算量が限られているときにどちらが有利か
はわかりませんが。

　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和７年１１月２８日付け）

　Nakao氏から、「rank 2(5個)のa=43, 58, 82, 85, 93については、宿題とする。」と宿題を出さ
れたので、急いで楕円曲線のにわか勉強に取り組み、何とか次の結果を手に入れました。

a=43では、[78752608,26570953,248372300]
これは
(78752608+26570953*sqrt(43))^3+(78752608-26570953*sqrt(43))^3=248372300^3 を意味
する。
[5759176448000,86894244937,7326452106160]　、
[14813486445024,4971980067191,46567086225660]

a=58では、[4352114448,36036444981023,12529136618460]

a=82では、[26896,1177,38540]　、[133467750,8962007,215653230]

a=85では、[7225,839,14960]　、[2667168,11759,3365964]

a=93では、[2883,47,3720]　、[111132,15565,260946]

　なお、余りに大きくなる組み合わせは省略しました。

　Indukmuさんからの投稿をきっかけに同じ構造をもつ数式を手探りで探す中で、いくら探して
も見つからない物や、同じsqrt(a)であっても色々な立方数を構成出来るものなど、探せば探す
だけ不思議さが深まる中、Nakao氏の目の覚めるような種明かしを見せてもらい、たびたび投
稿されている途轍もない大きな数での等式のどこが面白いんだろうと感じていたんですが、こ
の問題の本質が楕円曲線の構造そのものであることを見せられ、一気に楕円曲線の力に魅
了されました。

　にわか勉強だけでとても分かったとは言えないんですが、人間の直感を遥かに越えること
が可能な不思議で面白い性質をたくさん包含している感覚を持ちます。

　DD++氏の指摘も最もですが、共役的構造にしておく方が美しい気がしますし、分類も的確
に整いますので、私はこの問題設定の方が好きです。

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月２９日付け）

　もしかして全部同値？

　たとえば、私が書いた

6: (4+3√6)^3+(18+6√6)^3=(16+7√6)^3

の両辺に、(3√6-4)^3 を掛けて整理すると、DD++ さんが書かれた

6: 19^3+(18-15√6)^3=(31+10√6)^3

になり、この両辺に、(5√6-6)^3 を掛けて整理すると、GAI さんが書かれた

6: 18^3+(5√6-6)^3=(5√6+6)^3

になります。

　共役だけ考えれば十分だったのかも？

　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和７年１１月２９日付け）

　３つが同値だなんて驚きでした。一見全く別物としか見えなかった。他の√でもそうなるので
すかね？

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月２９日付け）

5: (2+4√5)^3+(7+5√5)^3=(6+6√5)^3 に (4√5-2)^3 を掛けて整理すると、

　5: 38^3+(43+9√5)^3=(54+6√5)^3

となり、DD++さんが書かれた式と同じ。これに(9-√5)^3を掛けて整理すると、

　5: (9-√5)^3+(9+√5)^3=12^3

となり、これはGAIさんが書かれた　5: 12^3+(√5-9)^3=(√5+9)^3 と同じ。

33: (1+3√33)^3+(23+5√33)^3=(18+6√33)^3 に (3√33-1)^3 を掛けて整理すると、

　33: 37^3+(59+8√33)^3=(72+6√33)^3

となりDD++さんが書かれた式と同じ。これに(12-√33)^3を掛けて整理すると、

　33: (12-√33)^3+(12+√33)^3=18^3

となり、これはGAIさんが書かれた　33: 18^3+(√33-12)^3=(√33+12)^3 と同じ。

　あと、

2: (8√2-1)^3+(21√2+42)^3=(26√2+35)^3 に (8√2+1)^3 を掛けて整理すると、

　2: 127^3+(357√2+378)^3=(306√2+451)^3 ※これは√2の係数が大きいので記載なし

　これに(17√2-18)^3を掛けて整理すると、　2: (17√2-18)^3+42^3=(17√2+18)^3 となり、こ
れは冒頭の　2: 42^3+(17√2-18)^3=(17√2+18)^3 と同じ。

　ちょっと試した感じでは同じになってますね。2,5,6,33だけ見て他も全部同じとは言えませんが。

　でも、非共役2無理数で得られる√nの値に新規の値がなさそうなので、「全部同じ」（すべて
共役2無理数からの派生）の可能性はあると思います。

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１１月３０日付け）

　DD++ さんが書かれた式について確認しました。式の形を

　n: m^3+(a+b√n)^3=(c+d√n)^3

として、全45式のうち、

14370, 3010, 2629, 10941, 1290, 3297, 310, 1965, 142, 33, 5

の11式が、

　(a+b√n)(c-d√n)=m(c+d√n), (a+b√n)(a-b√n)=m^2, (c+d√n)(c-d√n)=mk

残りの34式が、

　(c+d√n)(a-b√n)=-m(a+b√n), (a+b√n)(a-b√n)=-mk, (c+d√n)(c-d√n)=m^2

を満たしています。よって、前者は各項の3乗の中身を(c-d√n)/m倍すれば、

　n: (c-d√n)^3+(c+d√n)^3=k^3 すなわち k^3+(d√n-c)^3=(d√n+c)^3

となり、後者は各項の3乗の中身を(a-b√n)/m倍すれば、

　n: (a-b√n)^3-k^3=-(a+b√n)^3 すなわち k^3+(b√n-a)^3=(b√n+a)^3

となり、いずれも共役2無理数の形に変形できました。

　よって、「共役2無理数からの派生の形しかない」という可能性が高そうです。

　DD++ さんからのコメントです。（令和７年１２月１日付け）

　検証ありがとうございます。

　共役形の派生しかない……経験的には真っぽいことはわかったとして、証明できるんで
しょうかね？

　らすかるさんからのコメントです。（令和７年１２月１日付け）

　「共役形の派生しかない」・・・証明の道筋も思いつきませんし、何か相当難しそうなニオイ
がします。形がそっくりなので「共役形以外の存在」⇔「x^3+y^3=z^3を満たす自然数の存在」
の可能性もあるかな、とか考えています。ただの思いつきですが。

　Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和７年１２月２日付け）

　oeis の「A383047」に関連情報がありました！！まずはご報告まで。

（追記）　平成２３年１月２３日付け

　当ＨＰの読者のＫさんという方よりメールをいただいた。

　上記の無限降下法による証明で、「互いに素な自然数ｍ、ｎ」とすると、背理法による証明
と同じになるのではないでしょうか？

　以前、予備校の先生から「互いに素」と仮定しなくても証明できると言われて、その方法を
考えていたところ、最近サイモン・シン著「フェルマーの最終定理」（新潮文庫）を読んで初め
て「無限降下法」を知り、その方法がわかったところです。

（コメント）　Ｋさん、ご指摘ありがとうございます。平成１７年２月８日付けでアップしたもので、
　　　ほぼ６年ぶりに見直しをしました。ご指摘された通り、証明の初期段階で「互いに素」を
　　　仮定しなくても証明は成立していますね！早速、上記を修正させていただきました。
　　　（上記本文は、修正済みのものです。）

　背理法では、条件命題：「　Ｐ → Ｑ　」（これは、命題：～（Ｐ∧（～Ｑ））にトートロジー）が真
であることを示すのに、命題：Ｐ∧（～Ｑ）が偽であることを示している。

　これに対して、無限降下法では、命題が偽と仮定して得られる自然数から、それより小さ
い自然数を作る構成法を示し、かつ、その自然数においてもやはり命題が偽であることを
導き、これが自然数という世界では不可能なことであることから命題が真であることを示し
ている。（上記の、赤文字部分）

　この無限降下法という証明法は、１７世紀の数学者ピェール・ドゥ・フェルマーが編み出し
たものと言われている。

　この証明法の特徴としては、「～でない」とか「～することは不可能である」といった否定的
な結論を示すのに有効な点である。これは、「～である」とか「～することができる」と仮定し
て矛盾を導く背理法にどことなく似ている。

　今度は、次の問題について、２つの証明法（数学的帰納法および無限降下法）を述べ、そ
の違いを実感してもらうことにしよう。

問題　　２以上の任意の自然数ｎは素因数に分解されることを証明せよ。

（数学的帰納法による証明）

　ｎ＝２　のとき、２は素数なので、明らかに成り立つ。
ｎ＝ｋ（ｋ≧２）以下のとき成り立つと仮定する。すなわち、
　２≦ｍ≦ｋである任意の自然数ｍは素因数に分解されるものとする。
　このとき、ｎ＝ｋ＋１が素数ならば、明らかに成り立つ。
ｎ＝ｋ＋１が合成数ならば、ｋ＋１＝Ａ・Ｂ　（２≦Ａ≦ｋ、２≦Ｂ≦ｋ）となるＡ、Ｂが存在
する。
帰納法の仮定により、Ａ、Ｂは素因数に分解されるので、ｋ＋１も素因数に分解される。
　以上から、何れにしても、ｎ＝ｋ＋１は、素因数に分解される。
　よって、ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
したがって、２以上の任意の自然数ｎは素因数に分解される。　　（証終）

（無限降下法による証明）

　２以上の自然数ｎについて、ｎが素数ならば、明らかに成り立つので、ｎは合成数とする。
このとき、
　ｎ＝ｎ₁・ｎ₂　（２≦ｎ₁＜ｎ、２≦ｎ₂＜ｎ）となるｎ₁、ｎ₂ が存在する。
ｎ₁、ｎ₂ がともに素数ならば明らかに成り立つ。
　ｎ₁ またはｎ₂ が合成数ならば、上記の操作を繰り返す。
　自然数の性質から、何れは両者とも素数（の積）となる。
よって、２以上の任意の自然数ｎは素因数に分解される。　　（証終）

　上記の証明を眺めていると、無限降下法による証明は、背理法にも似ているし、数学的
帰納法にも似ていることが分かる。

　読者のために、練習問題を一つあげておこう。

練習　任意の自然数ｍ、ｎに対して、２ｍ²＋３ｎ² は平方数にはなり得ないことを示せ。

（解答は、こちらを参照）

（参考文献：Ｍ．ラインズ　著　片山孝次　訳　　数　その意外な表情　（岩波書店））

　九州大学前期理系（２０１４）で、剰余類に関する問題と無限降下法を融合した問題が出題
された。

　以下の問いに答えよ。

（１）　任意の自然数ａに対し、ａ²を３で割った余りは０か１であることを証明せよ。

（２）　自然数ａ、ｂ、ｃがａ²＋ｂ²＝３ｃ²を満たすと仮定すると、ａ、ｂ、ｃはすべて３で割り切れ
　　なければならないことを証明せよ。

（３）　ａ²＋ｂ²＝３ｃ²を満たす自然数ａ、ｂ、ｃは存在しないことを証明せよ。

（証明）（１）　任意の自然数ａに対し、

　ａ≡０　（ｍｏｄ　３）　、ａ≡１　（ｍｏｄ　３）　、ａ≡２　（ｍｏｄ　３）

の何れかが成り立つ。このとき、

　ａ²≡０　（ｍｏｄ　３）　、ａ²≡１　（ｍｏｄ　３）　、ａ²≡１　（ｍｏｄ　３）

　よって、ａ²を３で割った余りは０か１である。

（２）　自然数ａ、ｂ、ｃがａ²＋ｂ²＝３ｃ²を満たすと仮定すると、（１）より、

　　　ａ²≡０　（ｍｏｄ　３）　、ｂ²≡０　（ｍｏｄ　３）　、ｃ²≡０　（ｍｏｄ　３）

　の場合に限る。

　よって、ａ、ｂ、ｃはすべて３で割り切れなければならない。

（３）　ａ²＋ｂ²＝３ｃ²を満たす自然数ａ、ｂ、ｃが存在すると仮定すると、（２）より、

　ａ＝３ａ’　、ｂ＝３ｂ’　、ｃ＝３ｃ’　（ａ’、ｂ’、ｃ’は自然数）

　とおける。このとき、　９ａ’²＋９ｂ’²＝２７ｃ’²　より、　ａ^’2＋ｂ’²＝３ｃ’²

　　このような操作を繰り返すと、自然数ａ’、ｂ’、ｃ’ はどこまでも小さくすることができる。
　しかるに、ａ’、ｂ’、ｃ’ は自然数なので、このようなことはありえない。

　よって、ａ²＋ｂ²＝３ｃ²を満たす自然数ａ、ｂ、ｃは存在しない。　　（証終）

（コメント）　このような問題に対して、受験生は経験豊富とはいえない状況と判断されるので、
　　　　正答率がどうであったか、大いに気になるところである。新学習指導要領の数学Ａに
　　　　整数問題の章が起こされたので、今後このような問題は大学入試で頻出されるものと
　　　　予想される。