素朴な長さの計算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　次の問題は、非常に素朴な感じに思えるが、小学生・中学生の知識では解けないであろう
問題である。小学生・中学生が習う範囲の解き方で出来た方は、是非塾長宛メールを下さい。

　１辺が１０ｃｍの正方形の１つの角を下図のように折った。青い実線の長さはいくらか？

　　　　　











































（答）　１７８/２５


（追記）　当初予定していた解答は、次の通りである。

　　　∠ＡＰＨ＝θ　とおくと、∠ＢＰＫ＝９０°−θ
　　
　　このとき、　　ＰＨ＝４ｃｏｓθ
　　　　　　　　　　ＰＫ＝３ｃｏｓ(９０°−θ)＝３ｓｉｎθ
　　
　　ＡＣ＝ＨＫ＝４なので、
　　　　　３ｓｉｎθ ＋４ｃｏｓθ＝４　・・・(１)
　　
　　よって、　３ｓｉｎθ ＝４−４ｃｏｓθ ＝４(１−ｃｏｓθ)
　　
　　両辺に、１＋ｃｏｓθ をかけて、

　３ｓｉｎθ(１＋ｃｏｓθ)＝４(１−ｃｏｓθ)(１＋ｃｏｓθ)＝４(１−ｃｏｓ2θ)＝４ｓｉｎ2θ

　両辺を、ｓｉｎθ で割って、式を整理すると、　　４ｓｉｎθ −３ｃｏｓθ＝３　・・・(２)

　(１) と (２) を連立して、ｃｏｓθ を求めれば、　ｃｏｓθ ＝７/２５

　したがって、求める長さＰＱは、ＰＱ＝ＰＨ＋ＨＱ＝２８/２５ ＋６＝１７８/２５

（別解）　ＢＫ＝３ｍ、ＰＫ＝３ｎ とおくと、△ＢＰＫ∽△ＰＡＨ から、ＰＨ＝４ｍ、ＡＨ＝４ｎ となる。

　このとき、４ｍ＋３ｎ＝４　・・・(３)

　直角三角形ＢＰＫにおいて、三平方の定理から、(３ｍ)2＋(３ｎ)2＝３2

　よって、　ｍ2＋ｎ2＝１　・・・(４)

　したがって、連立方程式 (３) (４) を解けばよい。
（この連立方程式の解法は、高校２年レベルである。）

（別解）　ＡＣとＰＢの延長線の交点を、Ｄとおく。△ＤＣＢ∽△ＤＰＡ であることから、

　ＤＣ＝７２/７、ＤＢ＝７５/７ となる。また、△ＤＣＢ∽△ＰＫＢ より、ＰＫ＝７２/２５

　よって、ＰＱ＝１０−７２/２５＝１７８/２５
（途中の計算には、無理方程式の解法が含まれ、高校３年レベルである。）


　未だ、小学生・中学生レベルの解法を見出していない！

（追記）　ちょうどこの辺りを塾で教えていらっしゃるという方から、中学３年レベルの解答と
　　　　　いうものをいただきましたので、掲載したいと思います。（斉藤さんに感謝！）

　　　△Ａ’ＦＥ と △ＡＦＥ において
　　　　∠ＥＡ’Ｆ ＝ ∠ＥＡＦ ＝ ９０°
　 　　　　　Ａ’Ｅ ＝ ＡＥ ＝ ３
　　　　　　　 ＦＥ ＝ ＦＥ
　　　よって、直角三角形において、斜辺と他の１辺が等し
　　いので、
　　　　　　△Ａ’ＦＥ ≡ △ＡＦＥ

　　　次に、ＡとＡ’を結ぶ。△Ａ’ＧＥ と △ＡＧＥ において、
　　Ａ’Ｅ ＝ ＡＥ　、∠Ａ’ＥＧ ＝ ∠ＡＥＧ　、ＥＧ ＝ ＥＧ

　よって、２辺とその間の角が等しいので、　△Ａ’ＧＥ ≡ △ＡＧＥ
　　このとき、　∠Ａ’ＧＥ ＝ ∠ＡＧＥ ＝ ９０°

さらに、△ＧＡ’Ｆ と △ＧＥＡ において、△Ａ’ＦＧ ≡ △ＡＦＧ より、∠Ａ’ＦＧ ＝ ∠ＡＦＧ
また、∠ＥＡＦ ＝９０°より、∠ＡＦＧ ＋ ∠ＡＥＧ ＝９０°
　　　　∠Ａ’ＧＥ ＝ ∠ＡＧＥ ＝ ９０°より、∠ＡＥＧ ＋ ∠ＥＡＧ ＝９０°
　　　　　　よって、∠Ａ’ＦＧ ＝ ∠ＥＡＧ
　　　　また、∠Ａ’ＧＦ ＝ ∠ＥＧＡ ＝ ９０°
　　よって、三角形の２つの角が等しいので、　　△ＧＡ’Ｆ ∽ △ＧＥＡ

三平方の定理より、　　ＦＥ2 ＝ ＡＦ2 ＋ ＥＡ2 ＝１６＋９＝２５　なので、ＦＥ＝５

　Ａ から Ａ’Ｄ 上に垂線を引き、交点を Ｈ とする。

次に、△Ａ’ＦＥ と △ＨＡ’Ａ において、
　　　　△ＧＡ’Ｆ ∽ △ＧＥＡ より、∠ＧＦＡ’ ＝ ∠ＧＡＥ
　　また、△Ａ’ＧＥ ≡ △ＡＧＥ より、∠ＧＡＥ ＝ ∠ＧＡ’Ｅ
　　　　よって、∠Ａ’ＦＥ ＝ ∠ＧＦＡ’＝ ∠ＧＡＥ ＝ ∠ＧＡ’Ｅ ＝ ∠ＨＡ’Ａ
　　また、　∠ＥＡ’Ｆ ＝ ∠ＡＨＡ’＝９０°
ゆえに、二つ角がそれぞれ等しいので、　△Ａ’ＦＥ ∽ △ＨＡ’Ａ

また、△Ａ’ＦＥ と △ＧＡ’Ｆ において、
　　　∠ＥＡ’Ｆ ＝ ∠Ａ’ＧＦ
　　　∠Ａ’ＦＥ ＝ ∠ＧＦＡ’
ゆえに、二つ角がそれぞれ等しいので、△Ａ’ＦＥ ∽ △ＧＡ’Ｆ

よって、△ＧＡ’Ｆ ∽ △ＧＥＡ より、△Ａ’ＦＥ ∽ △ＧＥＡ
　　　このとき、　Ａ’Ｆ ： ＥＦ ＝ ＧＡ ： ＡＥ
　　　　　　　　　　４ ： ５ ＝ Ｘ ： ３　　　これを解いて、Ｘ＝ＧＡ＝１２/５
　　　　　　　よって、ＡＡ’＝２ＧＡ＝２４/５

同様にして、△Ａ’ＦＥ ∽ △ＨＡ’Ａ より、ＥＡ’ ： ＥＦ ＝ ＡＨ ： ＡＡ’
　　　　　　　　　　３ ： ５ ＝Ｙ ： ２４/５　　これを解いて、Ｙ＝ ＡＨ ＝７２/２５

ここで、青線の長さを、Ｌ とすると、Ｌ＝１０−ＡＨ＝１７８/２５

　以上から、青線の長さは、１７８/２５ である。


（追記）　ハンドルネーム「ｔａｋｕ」さんという方から次のような解をいただいた。解答自体は中
　　　　学３年レベルの解答であるが、そこで使われる公式を証明しようとする場合、高校生
　　　　レベルの知識を用いると思う。解の公式を教わっている旧課程の生徒だったら十分
　　　　中学生レベルなのだが、新課程では解の公式は高校１年で学習することになってい
　　　　る。そのため中学生レベルかどうか、ちょっと判断に迷ってしまう。
　　　（「ｔａｋｕ」さんはどう思われますか？）

　　　左図の直角三角形ＡＢＣにおいて、公式を用いると、

　　ＢＣ＝４×７/２５＝２８/２５　なので、

　　求める長さは、　６＋２８/２５＝１７８/２５

　　（コメント：とてもスッキリした解答で、美しいですね！）


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっている、ハンドルネーム「らすかる」さんから次のような
　　　　「かなり素朴と思われる」という解をいただきました。（平成１６年８月３日付け）

　　　Ｂから右に３のところに点 Ｄ をとる。また、ＣＰとＡＢ
　　の交点を Ｅ とする。
　　　△ＡＰＣ　と　△ＢＰＤ　において、
　　　　　　　ＡＰ ： ＢＰ ＝ ＡＣ ： ＢＤ ＝ ４ ： ３
　　　　　　∠ＤＢＰ＝１８０°−∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＰ
　　なので、
　　　　　　　　△ＡＰＣ ∽ △ＢＰＤ
　　　また、ＡＢ＝５　で、ＡＢ⊥ＥＰ　に注意して、
　　　　　　　△ＡＢＰ＝(１/２)・５・ＥＰ＝(１/２)・３・４　
　　　よって、　ＥＰ＝１２／５　、すなわち、ＣＰ＝２４／５

　　このとき、　△ＡＰＣ ∽ △ＢＰＤ　より、ＤＰ＝１８／５
　　ところで、
　　　∠ＤＰＣ＝∠ＤＰＢ＋∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＋∠ＢＰＣ
　　より、
　　　　　　　∠ＤＰＣ＝∠ＢＰＡ＝９０°

　したがって、　△ＤＰＣ＝（２４／５）×（１８／５）÷２＝２１６／２５　となる。また、ＣＤ＝６で、
　　　△ＤＰＣ＝(１/２)・ＣＤ・ＨＰ＝(１/２)・６・ＨＰ＝２１６／２５

よって、ＨＰ＝７２／２５となり、求める長さは、１０−７２／２５＝１７８／２５となる。


（コメント：上記の斉藤さんの解法と同様に、１０−（青線の長さ）を三角形の相似を利用し
　　　　　　て求める解法ですが、二等辺三角形を利用するという発想がすばらしいと思い
　　　　　　ます。）

（追記）　平成２０年９月１９日付け

　９月１７日付けで、塾を開いているというＹＫさんから、「なんとか中３レベル？」という解答
をメールでいただいた。ＹＫさんに感謝いたします。

　多少文言を補充して紹介したいと思う。

　　左図において、　ＫＰ＝ｘ　、ＡＨ＝ｙ　とすると、

　△ＢＰＫ∽△ＰＡＨ　なので、

　　ＫＰ ： ＡＨ ＝ ＢＰ ： ＡＰ　、ＢＫ ： ＰＨ ＝ ＢＰ ： ＡＰ

　　すなわち、

　　　ｘ ： ｙ ＝ ３ ： ４　　、　ｙ−３ ： ４−ｘ ＝ ３ ： ４

　よって、　３ｙ＝４ｘ　、　３（４−ｘ）＝４（ｙ−３）　より

　　　　４ｘ−３ｙ＝０　、　３ｘ＋４ｙ＝２４

　　これを解いて、　ｘ＝７２/２５　、ｙ＝９６/２５　より、　ＰＱ＝１０−ｘ＝１７８/２５　となる。


（コメント）　今までお寄せいただいた解答の中で最も簡明で、十分中学レベルですね！


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２４日付け）

　YKさんの解答は、そのままで ｓｉｎ2θ=2ｔａｎθ/(1+ｔａｎ2θ) の中学数学による証明になっ
ています。使っているのは、三角形の相似だけです。三平方の定理も使っていません。１次
方程式は使っています。中学２年レベルでしょうか。

　∠Cが直角の直角三角形ABCにおいて、AC=1、BC=ｔ （ｔ＜１）とする。

　直線ABに関して、Cと対称な点をPとし、Pを通ってACに平行な直線にAから引いた垂線の
足をHとする。このとき、　AH=2ｔ/(1+ｔ2)　である。

　このことは、∠BAC=θ とおくと、BC=ｔａｎθで、AH=ｓｉｎ2θ=2ｔａｎθ/(1+ｔａｎ2θ) を意味する。

　証明は、3、4を、ｔ、1に変えるだけで全く同じですが書いておきます。連立方程式にならない
形で書きます。

（証明）　Bから直線PHに引いた垂線の足をKとする。ΔAPHとΔPBＫは直角三角形で、

　∠APH=180°ｰ90°-∠BPK=90°-∠BPK=∠PBK　であるから、

　　ΔAPH∽ΔPBＫ　で、相似比は、１：ｔ　である。 AH=ｘ　とおく。

　　このとき、　ｘ ： PK = １ ： ｔ　より、　PK=ｔｘ　なので、PH ： BK = １-ｔｘ ： ｘ-ｔ = １：ｔ

　よって、　ｔ-ｔ2ｘ = ｘ-ｔ  より、　2ｔ=ｘ(１+ｔ2)  から、　ｘ=2ｔ/(1+ｔ2)　　（証終）


（追記）　平成２０年９月２０日付け

　９月２０日付けで、ａｋｉｒａさんから、「ちょっと面白い方向から考えました！」というメールを
いただいた。多少文言等を補充して紹介したいと思う。

　　まず、線分ＡＢと線分ＣＤが垂直であることは明らか。

　次に、線分ＡＢと線分ＣＤを表す直線の方程式を求め

　る。左図の正方形において、左下の頂点を座標の原

　点とし、横方向を ｘ 軸、縦方向を ｙ 軸とする。

　　このとき、直線ＡＢは、点（０，６）を通り，傾き４/３で

　あるので、　ｙ＝（４/３）ｘ＋６　　となる。

　　同様にして、直線ＣＤは、　ｙ＝−（３/４）ｘ＋１０　　となる。このとき、２直線の交点Ｅの座

　標は、（ ４８/２５ ， ２１４/２５ ）で、点Ｄの ｘ 座標は、９６/２５であるので、

　求める線分の長さは、　ｙ＝−（３/４）×（９６/２５）＋１０＝１７８/２５


（コメント）　解析幾何的な解法ですね。一昔前だったら、直線ＣＤの傾きを求めることは十
　　　　　　分中学生的でしたが、今では高校２年レベルです．．．。鶴亀算を方程式で解い
　　　　　　たような感覚かな？解答をお寄せいただいたａｋｉｒａさんに感謝いたします。


（追記）　平成２１年６月９日付け

　　６月８日付けで、当ＨＰが目標とするＨＰサイト「算数・数学の部屋」のヨッシーさんからメ
ールで別解を頂いた。

　　　 △ＡＢＰは直角三角形であり、さらに、ＰＥ⊥ＡＢ

　　なので、△ＡＰＥ∽△ＰＢＥ（相似比は、４ ： ３）

　　よって、△ＡＰＥ ： △ＰＢＥ＝１６ ： ９

　　△ＣＢＰの面積は、四角形ＡＣＢＰの面積

　　３×４÷２×２＝１２　の ９/２５ 倍なので、

　　　　　９/２５×１２＝１０８/２５

　　ＢＣを底辺とすると、高さＰＨの長さは、　１０８/２５÷３×２＝７２/２５

　　よって、求める部分の長さは、　１０−７２/２５＝１７８／２５


（コメント）　ヨッシーさん、解答ありがとうございます。確かに、線分の長さの計算で、面積に
　　　　　　着目するというのは「載ってそうで載ってなさそうな解法」ですね！

　　　　　　　現学習指導要領では、高校１年レベルですが、今、中学では新学習指導要領の
　　　　　　移行期に入っているので、もうじき中学レベルになりますね。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２５日付け）

　ヨッシーさんの解答もそのままで、ｓｉｎ2θ=2tanθ/(1+tan2θ) の中学数学による証明に
なっています。ただし、どちらかと言うと、正接より余接の感じで、自然には、

　　ｓｉｎ2θ=2ｃｏｔθ/(1+cot2θ)

の証明です。もちろん、同じ式です。使っているのは、やはり三角形の相似だけです。

　２つの三角形の相似比が ａ：ｂ のとき、面積比が ａ2：ｂ2 であることも使っています。
　三平方の定理は使っていません。

　∠Cが直角の直角三角形ABCにおいて、BC=1、AC=ｔ　（ｔ＞1）とする。直線ABに関して、

Cと対称な点をPとし、Pから直線BCに引いた垂線の足をHとする。このとき、

　PH=2t/(1+t2)である。∠BAP=θとすると、∠PBH=2θで、ｔ=ｃｏｔθ、PH=ｓｉｎ2θだから、

　PH=2t/(1+t2) は、ｓｉｎ2θ=2ｃｏｔθ/(1+cot2θ) である。

　証明は、3、4を、1、ｔ に変えただけで、ほぼ同様に下記のようにできる。

（証明）　ABとCPは、CPの中点Eで垂直に交わる。ΔAPE∽ΔPBEで、相似比は、ｔ：1 だか

　ら、面積比は、ｔ2：1　である。ΔAPBの面積は、ｔ/2 だから、ΔPBEの面積は、

　ｔ/2・1/(1+t2)　なので、ΔBCPの面積は、　t/(1+t2)

　一方、ΔBCPの面積は、1/2・1・PH=PH/2　なので、　PH/2=t/(1+t2)　より

　PH=2t/(1+t2)　　（証終）

　この問題は、3、4という数値から三平方の定理がいるように見えて、実はいらない。だから、

3、4は、2、3や3、5でもいいのだが、3、4にした方が手が広くなる。2、3だと、√13という数値

は余り使いたい気はしない。なかなか面白い設定だと思う。2通り以外の解答も多分どれも

3、4以外でもそのまま解になるのだろうと思う。∠BAP=θとしたときに、ｓｉｎ2θかｃｏｓ2θま

たはｔａｎ2θを求めているのだと思う。


（追記）　平成２１年６月１０日付け

　６月１０日付けで、以前、フィボナッチ数列でお世話になった「tetsuya」さんから別解を頂
いた。「tetsuya」さんに感謝いたします。

　　　　左図において、　ＡＨ＝ｘ　とすると、

　　　　　　ＰＨ2＝１６−ｘ2

　　　△ＢＰＫ∽△ＰＡＨ　なので、

　　　　　　ＫＰ2 ： ＡＨ2 ＝ ３2 ： ４2

　　　　ここで、　ＫＰ2＝（４−ＰＨ）2

　　　これらを解くと、　ｘ＝９６/２５　　を得る。

　　　よって、　ＰＱ＝６＋ＰＨ＝１７８/２５　となる。

（コメント）　私の最初の発想と同じですね！ただ、途中の計算に、無理方程式の解法が含
　　　　　　まれ、高校３年レベルの解答になるでしょうか。


（追記）　平成２３年１２月１７日付け

　当ＨＰ読者のＪ．Ｙ．さんから、中３までの学習で解けることを強調された別解をメールで
頂いた。Ｊ．Ｙ．さんに感謝いたします。

　　　線分ＡＢに関して２点Ｃ、Ｐは線対称（中１）より、

　　ＣＰ⊥ＡＢ である。このとき、△ＡＢＣ∽△ＡＣＥで、相

　　似比は、５ ： ４ になる。（中３）

　　　よって、ＣＥ＝１２／５、ＡＥ＝１６／５
　　（３辺が３，４，５の直角三角形も中３で学習）

　　△ＡＣＰは、底辺 ＣＰ＝２４／５、高さ ＡＥ＝１６／５　の

　三角形だが、ＰからＡＣに垂線を引き、交点をＫとすると、

　　底辺ＡＣ＝４、高さＰＫの三角形とも考えられる。

　面積を計算することで、ＰＫ＝９６／２５　が導かれる。（小学校で学習？）

　　ここで、直角三角形ＣＫＰにおいて、斜辺ＣＰ＝２４／５、ＰＫ＝９６／２５より、三平方の

　定理を使うと、CＫ＝７２／２５となることがわかる。よって、ＰＱ＝１０−ＣＫ＝１７８/２５


（追記）　平成２３年１２月１８日付け

　当ＨＰ読者のＨＮ「らい」さんから、別解をメールで頂いた。らいさんに感謝いたします。

　　　 三平方の定理さえわかっていればわかるのでは
　　ないでしょうか？

　　　左上の頂点と折り返された点をそれぞれＡ、Ａ’と

　　おき、線分BCで折り返すとする。

　　（Cが上。AC=A’C=3、AB=A’B=4）

　　　Bから青い実線に下した垂線の足をD、青い実線

　　の延長と上の辺の交点をEとおく。

　　A’Eの長さがわかればよい。

　　DE=AB=4　より、A’E=ｘ とおけば、　A’D=4-ｘ　、CE=√(9-ｘ2)

　さらに、BD=AE=3+√(9-ｘ2)　で、また、　BD2=42-(4-ｘ)2　より、

　　　　　{3+√(9-ｘ2)}2=42-(4-ｘ)2

　これを解いて、ｘ は正なので、ｘ=２．８８

　よって、答えは、　１０−２．８８＝７．１２　となる。


（コメント）　基本的なアイデアは、「tetsuya」さんのものと同様です。途中の計算に、無理方
　　　　　　程式の解法が含まれているので、初等的な解とは言えないかも．．．。


（追記）　平成２３年１２月２０日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが終結式を用いた解を示された。

　　　 ∠ＰＡＨ＝θ　とおくと、　∠ＢＰＫ＝θ　で、

　　　ｃｏｓθ＝C、ｓｉｎθ＝S　とおくと、

　　　　　　3C + 4S + 6 = 10

　　　が成り立つ。また、三角比の相互関係より、

　　　　　　C2 + S2 = 1

　　　このとき、終結式を用いて Cを消去し、

　　　　　(-1 + S)(-7 + 25S) = 0　を得る。

　　ここで、S≠1 なので、　S=7/25　より、求める長さは、6 + 4S = 178/25


（コメント）　なるほど、こんな問題にも終結式で解けるんですね！Ｓ（Ｈ）さんに感謝します。
　　　　　　でも、解答レベルは、大学１年相当かな？


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２２日付け）

　冒頭の問題について、多く(13通り？)の解答が書いてあります。最近にもいくらかの解答
が寄せられているようです。そこで、私も考えてみました。中学校数学の範囲といった制限
がないなら、余弦の倍角の公式を使うのが自然なように思います。

　　　 ∠BAP=θとおく。　ｃｏｓθ=4/5 で、

　　　　　∠APH=∠CAP=2θ

　　　　このとき、

　　　　　　ｃｏｓ2θ=2ｃｏｓ2θ-1=32/25-1=7/25 より、

　　　　 PH=4ｃｏｓ2θ=28/25

　　　　よって、　6+28/25=178/25

（コメント）　高校２年で学ぶ倍角の公式（数学ＩＩ）を用いると、解答がすっきりしますね！

　この問題の「3、4、10」を「ａ、ｂ、ｃ (ａ＜ｂ＜ｃ)」に変えても全く同様にできます。

答えは、　ｃ-2ａ2ｂ/(ａ2+ｂ2)　です。

　ａ＜ｂ は、ａ≧ｂ にしても同じ結果になりますが、図が変わるので証明は少し変わります。

　では、問題です。

　余弦の倍角の公式を、中学数学の範囲内で証明してください。

　もちろん、「ｃｏｓ」という記号は使えませんから、余弦の倍角の公式と同等な内容の命題を
作って、それを証明してください。例えば、

　Oを中心とする半径1の円周上に、３点Ａ、Ｂ、Ｃがこの順に並んでいて、

∠AOB=∠BOCである。点Ａ、Ｂから直線OCに引いた垂線の足を、それぞれＨ、Ｋと

する。OH=ｙ、OK=ｘ とするとき、ｙ=2ｘ2-1である。ただし、∠AOB=∠BOCは45°より

小さいとする。

　これは、ごく素直に書いたもので証明しやすくないかもしれません。0°＜θ＜45°という
制限はつけてかまいません。

　ｃｏｓ2θ=2cos2θ-1　よりも cos2θ=cos2θ-sin2θ　の方がいいかもしれません。図をうま
く書けばできそうな気がします。

　この問題を解いたということは、ｃｏｓθ=4/5　のとき限定で、余弦の倍角公式を証明した
ことになるから、13通りの解答のなかに参考になるものがある可能性はあります。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２３年１２月２２日付け）

　確か、以前は、正弦や余弦といった三角比も中学範囲だったりします。（→学習指導要領
の変遷より）

　この問題は、やはり最低でも中学３年レベルの知識はないと厳しいです。せっかく解いて
も「これは高校レベルだぞ」と言われたらへこみます．．．。

（コメント）　中学で三角比が教えられていたのは、今から４０年ほどの遙か昔です。当ＨＰ
　　　　　　では現行の学習指導要領をもとに、中学レベル、高校レベルというものを大まか
　　　　　　にとらえています。たとえば、中学生が高校レベルの思考でできる場合もあるわ
　　　　　　けで、それはそれで結構なことと思われます。ただ、このページでは、問題を如
　　　　　　何に初等的に解けるかを追求しているので、是非その点をご理解ください。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２３日付け）

　正弦の倍角の方がより自然なようです。

　　　 ∠BAP=θとおく。 ｓｉｎθ=3/5　、ｃｏｓθ=4/5　で、

　　　　　∠PBK=∠APH=∠CAP=2θ

　　　　このとき、

　　　　　ｓｉｎ2θ=2sinθcosθ=2*3/5*4/5=24/25　より、

　　　　PK=3ｓｉｎ2θ=72/25

　　　よって、　10-72/25=178/25

　一般の場合、即ち、「3、4、10」を「ａ、ｂ、ｃ (ａ＜ｂ＜ｃ)」に置き換えた場合、

　　余弦の倍角を使うやり方では、　PＱ = ｃ - ｂ + ｂｃｏｓ2θ
　　正弦の倍角を使うやり方では、　PＱ = ｃ - ａｓｉｎ2θ

　です。少しだけですが、正弦の倍角の方がいいようです。

　何れにしろ、PＱが出れば、ｓｉｎ2θやｃｏｓ2θは出るし、逆に、ｓｉｎ2θまたはｃｏｓ2θが分
かれば、PＱは出ます。ということで、この問題は、正弦や余弦の倍角公式を証明するのと
ほぼ同等ということになります。

　より正確にいうと、分かっているのは、ａ と ｂ だから、すぐに分かるのは ｔａｎθで、だから、
ｔａｎθが分かっているとき、ｓｉｎ2θやｃｏｓ2θを ｔ=ｔａｎθで表せ、という問題です。（→参考）

　高校数学ではありふれた問題ですが、これを中学数学の範囲で証明しなさい、ということ
です。もちろん命題自体を中学数学の言葉で書いてから証明することになります。


　「投稿一覧」の「直角三角形の性質」に次のように書いてあります。

　　　　左の図の△ＡＢＣにおいて、∠Ｂの２等分線が辺ＡＣと交わる点を

　　　Ｄとおく。このとき、ＤＢ：ＢＣ：ＣＤ＝５：４：３ならば、

　　　　ＢＣ：ＣＡ：ＡＢ＝７：２４：２５　が成り立つ。

　　　これは次の形に一般化できます。

　　　∠Cが直角である直角三角形ABCにおいて、∠Bの2等分線と

　　　辺ACとの交点をDとする。BC：CD＝ａ：ｂ　(ａ＞ｂ＞０)　ならば

　　　　　BC：CA：AB＝ａ2-ｂ2：２ａｂ：ａ2+ｂ2

　　　である。

　これは、正接の倍角の公式から容易に証明されます。


（証明）　BC＝a、CD＝ｂ　としてよい。∠DBC=θとおくと、∠ABC=2θで、tanθ＝ｂ/ａ

　このとき、tan2θ＝2tanθ/(1-tan2θ)＝２ａｂ/(ａ2-ｂ2)　なので、ｋ＝ａ/(ａ2-ｂ2)　とおくと、

　BC＝(ａ2-ｂ2)ｋ　、AC＝２ａｂｋ　(ｋ＞０)　と書ける。三平方の定理より、

　AB2=(ａ2-ｂ2)2ｋ2+4ａ2ｂ2ｋ2＝(ａ2+ｂ2)2ｋ2　なので、AB＝(ａ2+ｂ2)ｋ

　よって、　BC：CA：AB＝ａ2-ｂ2：２ａｂ：ａ2+ｂ2　が成り立つ。　　（証終）


　ａ、ｂ、ｃ が有理数であれば、ａ2−ｂ2、２ａｂ、ａ2＋ｂ2 も有理数だから、1つのピタゴラス数
から別のピタゴラス数が得られます。

　例えば、(ａ，ｂ，ｃ)＝(4，3，5) とすると、上述の(7，24，25) になります。7と24を入れ替えて、

(ａ，ｂ，ｃ)＝(24，7，25) として適用すると、・・・と続ければ、無限に多くのピタゴラス数が得ら

れますが、もちろん、ピタゴラス数のごく一部です。

　さて、これを使って「素朴な長さの計算」の問題が解かれています。一般化した形を使えば、
一般化した「素朴な長さの計算」の問題が解けます。「素朴な長さの計算」がほとんど正弦ま
たは余弦の倍角公式と同値で、上の命題が正接の倍角公式とほぼ同値(こちらの方が間に
三平方の定理を含むだけやや遠い)だから納得できます。

　「素朴な長さの計算」については、正弦または余弦の倍角の公式でやるのが自然で、正接
の倍角を使って、上記を示してというやり方はやや迂回している感じはしますが、似たような
ものとも言えます。


（追記）　当ＨＰ読者のＨＮ「よおすけ」さんから解答を頂きました。（平成２３年１２月２３日付け）

　　　 黄色い△ABPと点線部分の△ACBは合同なので、

　　　　　　CB=BP=3　、CA=AP=4

　　　黄色い三角形の斜辺は、AB=5

　　　Pから斜辺ABへ垂線を引き、その交点をEとする。

　　　黄色い三角形内の△BEPと△BPＡは相似だから

　　　　AB：BP=5：3　より、　AP：EP=5：3

　　　AP=4　より、EP=12/5

　　また、CE=EP=12/5　なので、　CP=CE+EP=(12/5)+(12/5)=24/5

　　　△CHPと△APBは相似だから、AB：BP=5：3　より、CP：HP=5：3

　　　CP=24/5　より、　HP=72/25

よって、青い実線の長さは、10-HP=10-72/25=178/25

　厳密には解いてないうえ既出ですが、一応解答。本当はメールで送らなければならないで
すが、掲示板で解答しました！


（コメント）　よおすけさん、解答ありがとうございます。


　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２４日付け）

　確かに「小学生・中学生が習う範囲の解き方で出来た方は、是非塾長宛メールを下さい。」
と書いてありますが、「メール」という手段について「是非」という副詞がついているという意味
ではないと思います。「知らせてほしい」というメッセージでしかないと思います。私は基本的
に掲示板書き込みしかしません。書いてある内容に小さな間違いがあるときの連絡ぐらいを
メールでしたことはありますが、それ以外はすべて掲示板に書きこみます。掲示板ならリアル
タイムに他の人の目に入りますが、メールだと管理人さんが書きこんでからになりタイムラグ
が生じます。１対多のやりとりより、多対多のやりとりの方がいいと思います。メールだと管理
人さんにも負担です。メールを送ると個人情報であるメールアドレスがわかってしまうというこ
ともあります。以上は私個人の考えです。

（コメント）　「塾長宛メール」は当ＨＰ起ち上げ期の未だ掲示板がない時代の名残りのよう
　　　　　　なものです。掲示板の方がいろいろな方の考え方が互いに熟成されていくような
　　　　　　感じで、私にとっても刺激的な学びの場となっています。「メール」にもメールなり
　　　　　　の利点がありますので、当ＨＰでは併用していく所存です。個人情報保護の観点
　　　　　　からセキュリティ面は厳格に運営しておりますので、ご安心ください。

（追記）　当ＨＰ読者のＹ．Ｍ．さんから解答を頂きました。（平成２４年２月６日付け）

　　　　左図のように補助線を引く。ただし、DEはFを通り、

　　　BCに平行な直線で、DHは底辺に平行な直線である。

　　　　このとき、　∠ABC=∠ADE　（同位角）

　　　　　　　　　　　∠FBC=∠BFD　（錯角）

　　　　　　　　　　　∠ABC=∠FBC　

　　　より、∠BDF=∠DFB　となって、△BDFは二等辺三角

　　　形になる。　よって、BD=4。

　ここで、BG ： GC ＝ △FGB ： △CGF　で、相似比が、4 ： 3 であることから、

　　BG ： GC ＝ 42 ： 32 ＝ 16 ： 9

　よって、DF ： FE ＝ 16 ： 9 なので、　HF ： FK ＝ 16 ： 9

　HK = 4＋4 ＝ 8 より、 ＦＨ＝8×（16/25）＝128/25

　したがって、HJ＝2　より、　ＦＪ＝2+128/25＝178/25 となる。


（コメント）　Ｙ．Ｍ．さん、ありがとうございます。BG ： GC の計算で、面積比が相似比の２乗
　　　　　　に比例することを用いました。これは、新学習指導要領で中学レベルでしょうか。
　　　　　　△ＣＧＦ∽△ＦＧＢから、ＣＧ：ＦＧ＝3：4、ＦＧ：ＢＧ＝3：4 なので、ＣＧ：ＢＧ＝9：16 と
　　　　　　してもいいかもしれないと、Ｙ．Ｍ．さんが指摘されています。こちらの方が中学受
　　　　　　験の小学生レベルかもしれないですね。


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんから解答を頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年２月９日付け）

　点(3，0)と点(0，4)を通る直線 ｘ/3+ｙ/4=1 に対して、原点と対称な点を求めます。

　ｘ/3+ｙ/4=1 と 3ｘ-4ｙ=0 を連立させて、 ｘ=48/25　、ｙ=36/25

　このとき、求める長さは、 10-2y=10-72/25=178/25

（コメント）　ａｋｉｒａさんの座標を使う方法では、正方形の左下を原点に取られていますが、空
　　　　　　舟さんは正方形の左上を原点に取られています。空舟さんの方が計算が簡単です
　　　　　　ね！


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんから解答を頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年２月９日付け）

　　　 黄色い△ABPと点線部分の△ACBは合同なので、

　　　　　　CB=BP=3　、CA=AP=4

　　　黄色い三角形の斜辺は、AB=5

　　　Pから斜辺ABへ垂線を引き、その交点をEとする。

　　　黄色い三角形内の△BEPと△BPＡは相似だから

　　　　AB：BP=5：3　より、　AP：EP=5：3

　　　AP=4　より、EP=12/5

　　　また、CE=EP=12/5　なので、　CP=CE+EP=(12/5)+(12/5)=24/5

　　　△CHPと△APBは相似だから、AB：AP：BP=5：4：3　より、CP：CH：HP=5：4：3

　　　CP=24/5　より、　CH=96/25、HP=72/25

　　　ここで、面積を求めます。青い実線より左側の長方形の面積は、

　　　　　10×CH=10×96/25=192/5

　　　また、△PHBにおいて、BH=CH-CB=CH-3よりBH=(96/25)-3=21/25

　　　　よって、△PHBの面積は、(1/2)(21/25)(72/25)=756/625

　　　黄色い三角形と点線部分の面積はそれぞれ、(1/2)×3×4=6

　　　　よって、黄色い三角形と青い実線で囲まれた台形の面積は

　　　　　(192/5)-(6+6+(756/625))=15744/625

　　　その面積は以下の式に等しい。

　　　　{(10-4)+(青い実線)}×(96/25)×(1/2)=15744/625

　　　　整理して、　{6+(青い実線)}=328/25　より、　青い実線=(328/25)-6=178/25

（※）　ものすごい遠回りになりました。