・　直角三角形の性質　　　　　　　　　　　　　　　Ｓ．Ｈ氏

　ハンドルネーム「ｔａｋｕ」さんという方から、直角三角形の３辺の比に関して、次のような性
質があることを教わった。

左図のような △ＡＢＣ において、∠Ｂの２等分線が辺ＡＣと交わる 　　点をＤとおく。このとき、　ＤＢ ： ＢＣ ： ＣＤ ＝ ５ ： ４ ： ３　ならば、 　　　　ＢＣ ： ＣＡ ： ＡＢ ＝ ７ ： ２４ ： ２５ 　　が成り立つ。 　　　ある意味で、一つのピタゴラス数から新しいピタゴラス数が求めら 　　れたわけで、とても感動的な公式である。 　　　証明は、三平方の定理を用いる。 　　　ＤＢ＝５、ＢＣ＝４、ＣＤ＝３　とすると、△ＡＤＨ∽△ＡＢＣ　から 　　ＡＤ＝７５/７　、ＡＨ＝７２/７　である。 　　（途中計算で、高校レベルの２次方程式の知識を用いる。）

　したがって、　ＡＣ＝９６/７　、ＡＢ＝１００/７　なので、所要の比例式の成り立つことが示さ
れる。


　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが、次の形に一般化されました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１２月２３日付け）

　∠Cが直角である直角三角形ABCにおいて、∠Bの2等分線と辺ACとの交点をDと

する。BC：CD＝ａ：ｂ　(ａ＞ｂ＞０)　ならば、BC：CA：AB＝ａ²-ｂ²：２ａｂ：ａ²+ｂ²　であ

る。

　正接の倍角の公式から容易に証明されます。

（証明）　BC＝a、CD＝ｂ　としてよい。∠DBC=θとおくと、∠ABC=2θで、tanθ＝ｂ/ａ

　このとき、tan2θ＝2tanθ/(1-tan²θ)＝２ａｂ/(ａ²-ｂ²)　なので、ｋ＝ａ/(ａ²-ｂ²)　とおくと、

　BC＝(ａ²-ｂ²)ｋ　、AC＝２ａｂｋ　(ｋ＞０)　と書ける。三平方の定理より、

　AB²=(ａ²-ｂ²)²ｋ²+4ａ²ｂ²ｋ²＝(ａ²+ｂ²)²ｋ²　なので、AB＝(ａ²+ｂ²)ｋ

　よって、　BC：CA：AB＝ａ²-ｂ²：２ａｂ：ａ²+ｂ²　が成り立つ。　　（証終）

　ａ、ｂ、ｃ が有理数であれば、ａ²-ｂ²、２ａｂ、ａ²+ｂ² も有理数だから、1つのピタゴラス数か
ら別のピタゴラス数が得られます。

　例えば、(ａ，ｂ，ｃ)＝(4，3，5) とすると、上述の(7，24，25) になります。7と24を入れ替えて、
(ａ，ｂ，ｃ)＝(24，7，25) として適用すると、・・・と続ければ、無限に多くのピタゴラス数が得ら
れますが、もちろん、ピタゴラス数のごく一部です。