ラグランジュの乗数

ラグランジュの乗数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　極大・極小は、ローカルな意味での最大・最小である。その定義には導関数の言葉は用
いられない。　２変数関数の場合について、その定義を確認しておこう。

　連続関数　ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）の（ａ，ｂ）に近い点（ｘ，ｙ）において、常に

　　　　　　　　　　　 Ｆ（ｘ，ｙ）＞Ｆ（ａ，ｂ）

が成り立つとき、関数ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）は、（ａ，ｂ）で極小といい、Ｆ（ａ，ｂ）が極小値である。
同様に、連続関数ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）の（ａ，ｂ）に近い点（ｘ，ｙ）において、常に

　　　　　　　　　　　 Ｆ（ｘ，ｙ）＜Ｆ（ａ，ｂ）

が成り立つとき、関数ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）は、（ａ，ｂ）で極大といい、Ｆ（ａ，ｂ）が極大値である。

　極小値と極大値をまとめて、極値という。

　１変数関数ｙ＝Ｆ（ｘ）が微分可能であるとき、Ｆ（ｘ）がｘ＝ａで極値を持てば、
Ｆ’（ａ）＝０が成り立つ。　

　これは、平均値の定理から、簡単に示される。

　１変数関数の場合と同様に、２変数関数についても、次の事実が成り立つ。

　連続関数　ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）が偏微分できるとき、（ａ，ｂ）で極値を持てば、

　　　　　　　 Ｆ_ｘ（ａ，ｂ）＝０　、Ｆ_ｙ（ａ，ｂ）＝０

が成り立つ。

　上記は、あくまでも極値を持つための必要条件であって十分条件ではない。

例　　Ｆ（ｘ）＝ｘ³ において、Ｆ’（ｘ）＝３ｘ² ＝０　より、ｘ＝０
　　しかるに、　ｘ＝０　では極値を持ち得ない。

　実際に、　Ｆ”（ｘ）＝６ｘなので、Ｆ（ｘ）－Ｆ（０）＝（１/２）Ｆ”（ｈｘ）＝３ｈｘ　（０＜ｈ＜１）
　ｘ＝０の近くで、Ｆ（ｘ）－Ｆ（０）の符号が定まらないので、極値を持つとは言えない。

（別解：　Ｆ（ｘ）＝ｘ³　のグラフを書けば明らかだろう。）

　　　　　　　

例　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ²－ｘ² において、Ｆ_ｘ（ｘ，ｙ）＝－２ｘ　、Ｆ_ｙ（ｘ，ｙ）＝２ｙ
　　（０，０）において、Ｆ_ｘ（０，０）＝０　、Ｆ_ｙ（０，０）＝０であるが、（０，０）では極値を持ち
　得ない。

　　実際に、Ｆ_ｘｘ（ｘ，ｙ）＝－２　、Ｆ_ｘｙ（ｘ，ｙ）＝０　、Ｆ_ｙｙ（ｘ，ｙ）＝２で、
　　　　　Ｆ（ｈ，ｋ）－Ｆ（０，０）＝（1/2）（－２ｈ²＋２ｋ²）
　よって、（０，０）の近くで、Ｆ（ｈ，ｋ）－Ｆ（０，０）の符号が定まらないので、極値を持つ
とは言えない。

　　（別解：　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ² －ｘ²　のグラフを書けば明らかだろう。）

　　　　　　　

　したがって、偏微分できる点での極値を探すには、上式を満たす（ａ，ｂ）を求めて、十分
性を確認する必要がある。

　１変数関数における極大・極小の判定条件として、次の事実は有用である。

　１変数関数ｙ＝Ｆ（ｘ）が微分可能、かつ、ｘ＝ａで極値をもつとき、

　　Ｆ”（ａ）＞０　ならば、ｘ＝ａ　で極小、Ｆ”（ａ）＜０　ならば、ｘ＝ａ　で極大

　これは、２次の近似式Ｆ（ｘ）－Ｆ（ａ） ≒ （１/２）Ｆ”（ａ）より、明らかであろう。

このことから、第２次導関数の符号を計算することにより、極大・極小が判定できる。

　２変数関数についても同様に、次の公式が知られている。

公式　　関数ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）が連続な第２次偏導関数を持ち、

　　　　Ｆ_ｘ（ａ，ｂ）＝０　、Ｆ_ｙ（ａ，ｂ）＝０　とする。

　　また、　Ａ＝Ｆ_ｘｘ（ａ，ｂ）　、Ｂ＝Ｆ_ｘｙ（ａ，ｂ）　、Ｃ＝Ｆ_ｙｙ（ａ，ｂ）　とおく。

　　このとき、　　ＡＣ－Ｂ²＞０　で、Ａ＞０　ならば、（ａ，ｂ）で極小

　　　　　　　　　　ＡＣ－Ｂ²＞０　で、Ａ＜０　ならば、（ａ，ｂ）で極大

　　　　　　　　　　ＡＣ－Ｂ²＝０　のときは、さらに詳しく精査が必要

　　　　　　　　　　ＡＣ－Ｂ²＜０　のときは、極値にはならない

　証明は、Ｔａｙｌｏｒの定理を用いて容易に示される。

（略証）　Δｚ＝Ｆ（ａ＋ｈ，ｂ＋ｋ）－Ｆ（ａ，ｂ）

　　＝（1/2）（Ｆ_ｘｘ（ａ＋θｈ，ｂ＋θｋ）ｈ²＋２Ｆ_ｘｙ（ａ＋θｈ，ｂ＋θｋ）ｈｋ＋Ｆ_ｙｙ（ａ＋θｈ，ｂ＋θｋ）ｋ²）

　関数　ｚ＝Ｆ（ｘ，ｙ）が連続な第２次偏導関数を持つので、ｈ、ｋが十分小さいとき、

Ｆ_ｘｘ（ａ＋θｈ，ｂ＋θｋ）、Ｆ_ｘｙ（ａ＋θｈ，ｂ＋θｋ）、Ｆ_ｙｙ（ａ＋θｈ，ｂ＋θｋ）の符号は、それ
ぞれＡ、Ｂ、Ｃの符号に等しい。そこで、ｈ、ｋが十分小さいとき、

　　　Δｚ　の符号は、（1/2）（Ａｈ²＋２Ｂｈｋ＋Ｃｋ²）　の符号に等しい。

　ここで、Ａｈ²＋２Ｂｈｋ＋Ｃｋ²＝Ａ（（ｈ＋（Ｂ/Ａ）ｋ）²＋（ＡＣ－Ｂ²）ｋ²/Ａ²）　より、上記の
公式の成り立つことが確認される。（略証終）

　ここで、関数Ｆ（ｘ，ｙ）に対して、次の行列

　　　　　　　　

を、（ａ，ｂ）におけるヘッセ行列という。上記の定理のＡＣ－Ｂ² は、Ｈの行列式に等しい。

　　　　　　　　　ＡＣ－Ｂ² ＝ｄｅｔＨ＝（Ｈの固有値の積）

　また、ｈ、ｋが十分小さいとき、Ｆ（ａ＋ｈ，ｂ＋ｋ）－Ｆ（ａ，ｂ） ≒ （１/２）Ｈ［ｘ］

　ここで、Ｈ［ｘ］は、Ｈを係数行列とする二次形式で、ｘは、ｈ、ｋを成分とする列ベクトル。

　実対称行列Ｈの固有値　λ　、μ　はすべて実数で、適当な座標変換により、

　　　　　　　　　Ｈ［ｘ］＝λｓ²＋μｔ²

と書ける。　ここで、

　すべてのｘ（≠０）に対して、Ｈ［ｘ］＞０　がなりたつとき、　Ｈは、正値であるという。
　　（このためには、Ｈの固有値　λ　、μ　はすべて正でなければならない。）

　すべてのｘ（≠０）に対して、Ｈ［ｘ］＜０　がなりたつとき、　Ｈは、負値であるという。
　　（このためには、Ｈの固有値　λ　、μ　はすべて負でなければならない。）

よって、極大・極小の判定条件として、二次形式の言葉を用いれば、

　　　Ｈが正値ならば、極値を持つ　、　Ｈが負値ならば、按点で極値を持たない

ということになる。

（コメント：　極値の十分性の確認の理論的背景に、二次形式の理論が絡んでくるわけで、
　　　　　　　何か面白そう．．．な予感！　ただ、行列の固有方程式を解くのが難しいので、
　　　　　　　固有値を利用するのは、あまり、現実的な方法ではないかな？）

　公式を、具体的な問題に適用してみよう。

例　半球体　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝１　（ｚ≧０）において、ｘ＋ｚｚ_ｘ＝０、ｙ＋ｚｚ_ｙ＝０　なので、
　　ｚ_ｘ＝ｚ_ｙ＝０　となるのは、（ｘ，ｙ）＝（０，０）　の場合のみである。
　　　このとき、
　　　　　　　　　１＋ｚ_ｘ²＋ｚｚ_ｘｘ＝０　、　ｚ_ｙｚ_ｘ＋ｚｚ_ｘｙ＝０　、　１＋ｚ_ｙ²＋ｚｚ_ｙｙ＝０
　　より、　Ａ＝－１　、Ｂ＝０　、Ｃ＝－１　なので、
　　　　ＡＣ－Ｂ²＝１＞０　、Ａ＜０　より、（０，０）で極大となる。

　　これは、確かに半球体の図形的イメージと一致している。

　　　　　　　　　

　読者のために、演習問題をあげておこう。

練習問題　　平面上に、ｎ個の点Ａ₁（ａ₁，ｂ₁）、Ａ₂（ａ₂，ｂ₂）、・・・、Ａ_ｎ（ａ_ｎ，ｂ_ｎ）が与えら
　　　　　　　れている。このとき、これらの点からの距離の平方の和が極小（かつ最小）に
　　　　　　　なる点の座標を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　（この点は、ｎ個の点Ａ₁、Ａ₂、・・・、Ａ_ｎの重心といわれる。）

条件付極値問題　　極大・極小を考える場合、何らかの条件がついている場合が多い。

例　ｘ＋ｙ＋ｚ＝３　のとき、ｘｙｚの極値を求めよ。

　（解）　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ（３－ｘ－ｙ）　とおく。
　　　　Ｆ_ｘ（ｘ，ｙ）＝３ｙ－２ｘｙ－ｙ²＝ｙ（３－２ｘ－ｙ）＝０
　　　　Ｆ_ｙ（ｘ，ｙ）＝３ｘ－２ｘｙ－ｘ²＝ｘ（３－２ｙ－ｘ）＝０
　
　　　これを解くと、（ｘ，ｙ）＝（０，０）、（０，３）、（３，０）、（１，１）

　　また、Ｆ_ｘｘ（ｘ，ｙ）＝－２ｙ　、Ｆ_ｘｙ（ｘ，ｙ）＝３－２ｘ－２ｙ　、Ｆ_ｙｙ（ｘ，ｙ）＝－２ｘなので、

　（ｘ，ｙ）＝（０，０）、（０，３）、（３，０）に対して、
Ｆ_ｘｘ（ｘ，ｙ）Ｆ_ｙｙ（ｘ，ｙ）－（Ｆ_ｘｙ（ｘ，ｙ））²＝－９＜０　で、公式により、極値を与えない。
　（ｘ，ｙ）＝（１，１）に対して、
Ｆ_ｘｘ（１，１）Ｆ_ｙｙ（１，１）－（Ｆ_ｘｙ（１，１））²＝（－２）（－２）－（－１）²＝３＞０　で、
Ｆ_ｘｘ（１，１）＝－２＜０　なので、極大値を与える。

（コメント）　定形外郵便物の最大のサイズは、（縦）＋（横）＋（高さ）＝９０ｃｍである。このと
　　　　　　き、体積の最大はいくらかという問いに上記の問題は答えてくれる。当然、１辺の
　　　　　　長さが３０ｃｍのとき、体積は最大となる。

　幾何学的に極値の存在が分かっている場合、次の　Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法が便利
である。

Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法（未定係数法）

　条件　Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０　のとき、関数　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の極値があれば、それは、次のよう
にして求められる。

　連立方程式　Ｇ＝０　、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０　、Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０　、Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０

を解くと、その解（ａ，ｂ，ｃ）が、極値を与える候補となる。

　　（注）　関数Ｈ（ｘ，ｙ，ｚ， λ ）＝Ｆ＋λＧ　と考えれば、上記の４式は、
　　　　　Ｈ_ｘ＝０　、Ｈ_ｙ＝０　、Ｈ_ｚ＝０　、Ｈ_λ＝０　ということで、条件の付かない普通の
　　　　極値の計算問題に置き換えられる。

　このときの、λ のことを、Ｌａｇｒａｎｇｅの乗数という。

　実際に、Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０　のとき、（ａ，ｂ，ｃ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の極値を与えている
ものとする。このとき、Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０から、ｚがｘ，ｙの関数になっているとすると、関数
Ｆは、ｘ，ｙの関数になるので、（ａ，ｂ，ｃ）において、

　　　　　　Ｆ_ｘ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｆ_ｙ＋Ｆ_ｚ・ｚ_ｙ＝０

が成り立つ。ここで、ｚ_ｘ、ｚ_ｙは、次の式により与えられる。

　　　　　　Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｘ＝０　、　Ｇ_ｙ＋Ｇ_ｚ・ｚ_ｙ＝０

そこで、（ａ，ｂ，ｃ）における－Ｆ_ｚ/Ｇ_ｚの値を、λ とおくと、Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０　が成り立ち、

さらに、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０　、　Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０　が成り立つ。

　したがって、４つの式　Ｇ＝０　、Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝０　、Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝０　、Ｆ_ｚ＋λＧ_ｚ＝０　を解くこと
により、極値を与える候補の点（ａ，ｂ，ｃ）が求められる。

　上記の式は、次のように考えても得ることができる。

　　Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０　で定まる曲面上において、

　　（ａ，ｂ，ｃ）を通る任意の曲線Ｃを考える。

　　Ｃ：　Ｘ＝Ｘ（ｔ）　、Ｙ＝Ｙ（ｔ）　、Ｚ＝Ｚ（ｔ）

　　このとき、（ａ，ｂ，ｃ）で極値を持つことから、

　　Ｆ_ｘＸ_ｔ＋Ｆ_yＹ_ｔ＋Ｆ_ｚＺ_ｔ＝０　が成り立つ。

　　よって、２つのベクトル　

　　　（Ｆ_ｘ，Ｆ_y，Ｆ_ｚ）　と　（Ｘ_ｔ，Ｙ_ｔ，Ｚ_ｔ）　

　は垂直である。

　したがって、ベクトル　（Ｆ_ｘ，Ｆ_y，Ｆ_ｚ）は、曲面の（ａ，ｂ，ｃ）における接平面の法線ベクトル
（Ｇ_ｘ，Ｇ_y，Ｇ_ｚ）に平行である。

　よって、　（Ｆ_ｘ，Ｆ_y，Ｆ_ｚ）＋λ（Ｇ_ｘ，Ｇ_y，Ｇ_ｚ）＝０　となる λ が存在する。

　　（注）　Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法を用いる場合、Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０の勾配ベクトル

　　　　　　　　　　　（Ｇ_ｘ，Ｇ_ｙ，Ｇ_ｚ )

　　　　　　が零ベクトルではないということを確認する必要がある。

　　　　例　（２変数関数の場合）

　　　　　Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ²－ｙ³＝０　のときの関数Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｙ　の極値を考える。

　　　　　　　

　　　　上記のグラフからも分かるように、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（０，０）で極小である。

　　　しかしながら、この場合、Ｌａｇｒａｎｇｅの乗数は定まらない。

　　　　実際に、点（０，０）において、Ｇ_ｘ＝２ｘ＝０、Ｇ_ｙ＝－３ｙ²＝０、Ｆ_ｘ＝０、Ｆ_ｙ＝１　なの
　　　で、Ｌａｇｒａｎｇｅの乗数は一意に定まらない。

　　　勾配ベクトルが零ベクトルのときは、Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法は使えないので、別な考
　　察が必要となる。（上記の例については、広島工業大学の大川研究室よりいただきました。）

　　　（追記）　平成２６年２月１４日付けで、土筆の子さんからのコメントです。

　　　　　Ｓ（Ｈ）さんの問題にもよく登場する、ラグランジュの未定乗数法についてです。たい
　　　　てい、頭から式が示されて、λをこう使えば、ある条件式の下で、最大最小問題が解
　　　　けると書いてあるのですが、以下の解説でよくわかりました。

　　　　　放送大学講師の熊原啓作　著　「多変数の微分積分学」の第１５章、P62 で出会った、
　　　　ラグランジュの未定乗数法のことが、いまひとつ判然としなかったのですが、

　　　　　　　Ｅ．ハイラー/Ｇ．ヴァンナー著、蟹江幸博訳　「解析教程　下」

　　　　のp．180～p．183の記述で判然としました。

　　　g(x，y)=0　という束縛のもとで、
　　　　　　　　　　　　　　　関数f(x，y)の局所最大値（または最小値）を求めなさい。

　　　gのレベル集合を、A={(x，y)|g(x，y)=0}　と書けば、問題は、

　　　　　(x，y)∈Aに対して、f(x，y)≦f(x₀，y₀)となる(x₀，y₀)∈Aを求めなさい。

　　　ということになる。（中略） gradf(x₀，y₀)がレベル曲線Aの接ベクトル(x’(t₀)，y’(t₀))と直
　　　交していることが分かるので、局所的な極値では、２つのベクトル

　　　　　　　　grad f(x₀，y₀)　と　grad g(x₀，y₀)

　　　は同じ方向を持っている。このことで、必要条件

　　　　　grad f(x₀，y₀)=λ・grad g(x₀，y₀)　・・・　(*)　　または、　g(x₀，y₀)=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(gradf(x₀，y₀)≠0）

　　　が得られます。このパラメータλをラグランジュの乗数と言います。

　　　方程式(*)は、３つのパラメータ x₀，y₀，λ に対する３つの条件を表しています。

　　　Ｌ(x，y，λ):=f(x，y)-λg(x，y)　を考えると、grad Ｌ(x₀，y₀，λ)=0　と表されます。

　　　すなわち、　L_x(x，y，λ)=0　、L_ｙ(x，y，λ)=0　、L_λ(x，y，λ)=0

　　　因みに、（中略）のなかで、(∂f/∂x)(x₀，y₀)*x’(t₀)+(∂f/∂y)(x₀，y₀)*y’(t₀)=0

　　　ラグランジュの未定乗数法のことが英文で記載されている。

　いくつかの例題に対して実際に、Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法を適用してみよう。

例題１　ｘ＋ｙ＝２　のとき、ｘ²＋ｙ²　の極値を求めよ。

（解）　Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ－２＝０　のとき、
　　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²　の極値を与える点（ａ，ｂ）は次の式を満たす。
　　　　　　ｘ＋ｙ－２＝０　、２ｘ＋λ＝０　、２ｙ＋λ＝０
　　　よって、　－λ/２－λ/２－２＝０　より、λ＝－２
　　このとき、　（ｘ，ｙ）＝（１，１）　が極値を与える候補である。
　　　幾何学的に考えて、（１，１）において、ｘ²＋ｙ²　は極小かつ最小である。
　　極小値（最小値）は、２　である。

　上記の解と、次の別解を是非比較してみて下さい。Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法のエレガン
トさがヒシヒシと伝わってくることでしょう。

（別解）　ｘ²＋ｙ²＝ｘ²＋（２－ｘ）²＝２ｘ²－４ｘ＋４＝２（ｘ－１）²＋２　より、ｘ＝ｙ＝１　のとき、
　　　　　極小で、極小値は、２

　Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法は、変数がいくつあっても、条件がいくつあっても（←もちろん
変数の個数よりは少ない！）使えるところが素晴らしい。

例題２　ｘ＋ｙ＋ｚ＝３　のとき、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²　の極値を求めよ。

（解）　Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ－３＝０　のとき、
　　　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²　の極値を与える点（ａ，ｂ，ｃ）は次の式を満たす。
　　　　　　ｘ＋ｙ＋ｚ－３＝０　、２ｘ＋λ＝０　、２ｙ＋λ＝０　、２ｚ＋λ＝０
　　　よって、　－λ/２－λ/２－λ/２－３＝０　より、λ＝－２
　　このとき、　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１）　が極値を与える候補である。
　　　幾何学的に考えて、（１，１，１）において、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²　は極小かつ最小である。
　　極小値（最小値）は、３　である。

（別解）　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝ｘ²＋ｙ²＋（３－ｘ－ｙ）²
　　　　　　　　　　　　　　＝２ｘ²＋２ｘｙ＋２ｙ²－６ｘ－６ｙ＋９
　　　　　　　　　　　　　　＝２（ｘ＋（ｙ－３）/２）²＋（3/2）（ｙ－１）²＋３
　　　　　より、ｘ＝ｙ＝ｚ＝１　のとき、極小で、極小値は、３

　問題が、４変数になると、（別解）のような方法は「すごく大変になるな～」と予想されるが、
Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法の方は、全く解答形式を変えることなく簡明に求められる。

　我々は、この解法を与えてくれたＬａｇｒａｎｇｅに大いに感謝しなければならないですね！

例題３　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝４　のとき、ｘｙｚ　の極値を求めよ。ただし、ｘ，ｙ，ｚ ≧０　とする。

　この問題の幾何学的意味は、「半径１の球に内接する直方体の体積の極値を求める」
ということで、明らかに極大値の存在がいえる。このことを踏まえて、Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗
数法を適用するのである。
（もちろん、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝４　を満たす点（ｘ，ｙ，ｚ）の集合は、Ｒ³ の有界閉集合だか
　ら、コンパクト。よって、連続関数ｘｙｚ　は、最大値・最小値をもつことからも極値の存在
　は了解される。）

　（解）　Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－４＝０　のとき、
　　　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘｙｚ　の極値を与える点（ａ，ｂ，ｃ）は次の式を満たす。
　　　　　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－４＝０　、ｙｚ＋２λｘ＝０　、ｘｚ＋２λｙ＝０　、ｘｙ＋２λｚ＝０
　　　第二式、第三式、第四式から、　３ｘｙｚ＋２λ（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）＝０
　　　　すなわち、　３ｘｙｚ＋８λ＝０　より、λ＝－（3/8）ｘｙｚ　となる。
　　　このとき、
　　　　　ｙｚ（１－（3/4）ｘ²）＝０　、ｘｚ（１－（3/4）ｙ²）＝０　、ｘｙ（１－（3/4）ｚ²）＝０
　　これを解くと、
　（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２，０，０）、（０，２，０）、（０，０，２）、（２/ ，２/ ，２/ ）
幾何学的に考えて、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２/ ，２/ ，２/ ）で、極大かつ最大である。
極大値（最大値）は、８/（３）　である。

（追記）　平成１６年１２月発売の数学セミナー（２００５年１月号）において、Ｌａｇｒａｎｇｅの未
　　　　　定乗数法の話題が取り上げられている。
　　　　　　（当ＨＰで取り上げたときと時を同じくして数学セミナーで紹介されたということで、
　　　　　　　ちょっとこの偶然性に驚いています。）

　（追記）　平成２０年１１月１日付け

　　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に３１日付けでＨＮ「Ｄ．Ｄ．」さんが条件付き極値問題につ
　いて書き込まれた。

　　Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ²＋ｙ²－１＝０　という条件のもとで、関数Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙの極値
　を求めたいのだが、ラグランジュの乗数法を用い、極値の判定をするという一連の作
　業がどうも上手く出来ない。

　　上記の問題に、「ｘ≧０、ｙ≧０」という条件を加味すれば、この問題は、

　　　原点中心、半径１の円に内接する長方形の面積の変化を問う

　ことに等しく、幾何学的に考えて明らかに極値を持つことが了解される。

　　単に極値を求めるだけだったら、次のように解けばよい。

　（解）　ｘ²＋ｙ²＝１　より、　ｘ＝ｃｏｓθ、ｙ＝ｓｉｎθ　とおける。このとき、

　　　ｘｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ＝(１/２)ｓｉｎ２θ　と書けるので、

　　　　　２θ＝２ｎπ＋π/２　すなわち、　θ＝ｎπ＋π/４　のとき極大

　　　　　２θ＝（２ｎ＋１）π＋π/２　すなわち、　θ＝ｎπ＋３π/４　のとき極小　　　（終）

　　　　グラフで表せば下図のようになる。

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　上記では媒介変数表示を用いて三角関数のグラフから極値を考察したが、次のように求
　める方法があることをＳ（Ｈ）様より伺った。
　　　　　　　　　　　　　　　　（当ＨＰの掲示板「出会いの泉」－平成２０年１０月３１日付け）

　　　（解）　円ｘ²＋ｙ²＝１　と双曲線ｘｙ＝ｋ　が交わるための条件を求めればよい。

　　　　ｙ＝ｋ/ｘ　を、ｘ²＋ｙ²＝１　に代入して整理すると、　ｘ⁴－ｘ²＋ｋ²＝０　

　　　　ｘ²＝Ｘ　とおくと、　Ｘ≧０　で、２次方程式　Ｘ²－Ｘ＋ｋ²＝０　を得る。

　　　　　円と双曲線が交わるためには、この２次方程式が少なくとも１つの負でない実数
　　　　解を持つことが必要十分である。

　　　　　２次関数Ｙ＝Ｘ²－Ｘ＋ｋ²　の軸の方程式が、　Ｘ＝１/２＞０　なので、求める条件
　　　　は、判別式Ｄ≧０　に同値である。

　　　　　よって、　Ｄ＝１－４ｋ²≧０　から、　－１/２ ≦ ｋ ≦ １/２　となる。

　　　　　　　　

　　　　　上図から分かるように、

　　　　　　　ｋ＝１/２　のとき、極大かつ最大で、ｋ＝－１/２　のとき、極小かつ最小である。

　　　　　次に、極値を与える点を求める。

　　　　　　　ｋ＝±１/２　のとき、　Ｘ²－Ｘ＋１/４＝０　から、　Ｘ＝１/２

　　　　　すなわち、　ｘ＝±１/　となる。

　　　　よって、　ｋ＝１/２　のとき、（ｘ，ｙ）＝（１/ ，１/ ）、（－１/ ，－１/ ）

　　　　また、　ｋ＝－１/２　のとき、（ｘ，ｙ）＝（１/ ，－１/ ）、（－１/ ，１/ ）

　　　　　以上が求めるものであった。　（終）

　　　　（コメント）　両者の解答を比較すれば、三角関数を用いた方がすこぶる簡明だろう。

　　　　　また、次のような解答も可能である。（Ｓ（Ｈ）様より、ご教示いただきました。）

　　　　　　ｘ²＋ｙ²＝１　より、　　なので、の値の変化を調
　　　　　べればよい。このグラフを描くと、

　　　　　　　　　

　　　　　この図から、極大点、極小点が考察できる。

　　　　　ただ、これらの解答では、Ｄ．Ｄ．さんの悩みには答えていないような．．．予感。
　　　　ラグランジュの未定乗数法を用いて上記の問題を解いてみることにしよう。

　　　　　　Ｆ_ｘ＋λＧ_ｘ＝ｙ＋２λｘ＝０　、Ｆ_ｙ＋λＧ_ｙ＝ｘ＋２λｙ＝０　からλを消去して、

　　　　ｘ²－ｙ²＝０　　（←　シルベスターの消去法による！）　を得る。

　　　　　また、　ｘ²＋ｙ²＝１　なので、これらを連立して解くと、

　　　　　　　（ｘ，ｙ）＝（１/ ，１/ ）、（１/ ，－１/ ）、
　　　　　　　　　　　　　　（－１/ ，１/ ）、（－１/ ，－１/ ）

　　　　となる。この４点が極値を与える候補となる。

　　　　　「ｘ≧０、ｙ≧０」という条件では、幾何学的に考えて明らかに極大値を持つので、
　　　　（ｘ，ｙ）＝（１/ ，１/ ）で、　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ　は極大である。

　　　　また、「ｘ≦０、ｙ≦０」という条件は、「－ｘ≧０、－ｙ≧０」という条件に同値で、
　　　　　ｘｙ＝(－ｘ)(－ｙ)　より、（ｘ，ｙ）＝（－１/ ，－１/ ）で、　Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ
　　　　は極大である。

　　　　また、「ｘ≧０、ｙ≦０」という条件は、「ｘ≧０、－ｙ≧０」という条件に同値で、
　　　　ｘ（－ｙ）が極大であるとき、ｘｙは極小となる。
　　　　　したがって、（ｘ，ｙ）＝（１/ ，－１/ ）で、Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ　は極小となる。

　　　　同様にして、「ｘ≦０、ｙ≧０」という条件は、「－ｘ≧０、ｙ≧０」という条件に同値で、
　　　　（－ｘ）ｙが極大であるとき、ｘｙは極小となる。
　　　　　したがって、（ｘ，ｙ）＝（－１/ ，１/ ）で、Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ　は極小となる。

　　　　（コメント）　上記の計算で、Ｄ．Ｄ．さんの質問の回答になっているかどうか．．．？
　　　　　　　　　（久しぶりにラグランジュの乗数法の計算をしたので見当違いがあるかも！）

　　周の長さが６の三角形で面積が最大であるものを求めるという問題を考える。

　Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法（大学１年の微分積分学のレベル）を用いると次のように鮮やか
に解かれる。

例題４　３辺の長さ　ｘ，ｙ，ｚ　の三角形において、　ｘ＋ｙ＋ｚ＝６　のとき、
　　　　３(３－ｘ )(３－ｙ )(３－ｚ )　が最大となるのは、どんな場合か？

　＃３(３－ｘ )(３－ｙ )(３－ｚ )の意味は、ヘロンの公式から（三角形の面積）²である。

（解）　Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ－６＝０　のとき、
　　　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝３(３－ｘ )(３－ｙ )(３－ｚ )　の極値を与える点（ａ，ｂ，ｃ）は次の
　　　式を満たす。
　　　　ｘ＋ｙ＋ｚ－６＝０　、－３(３－ｙ )(３－ｚ )＋λ＝０　、－３(３－ｘ )(３－ｚ )＋λ＝０
　　　　－３(３－ｘ )(３－ｙ )＋λ＝０
　　　ｘ ≠ ３　、ｙ ≠ ３　、ｚ ≠ ３　としてよいので、上式から、ｘ＝ｙ＝ｚ＝２　、λ＝３　で
　　　あることが容易に分かる。
　　　　幾何学的に考えて、ｘ＝ｙ＝ｚ＝２　すなわち、正三角形のとき、面積は極大かつ
　　　最大となる。

例題５　原点から平面ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０までの距離を求めよ。

　＃ｘ²＋ｙ²＋ｚ²の最小値を求めることに同義である。通常はベクトルを利用する解法が一
　　般的だろう。

（解）　Ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０　のとき、
　　　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ²＋ｙ²＋ｚ² の極値を与える点は次の式を満たす。
　　　　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０　、２ｘ＋λａ＝０　、２ｙ＋λｂ＝０　、２ｚ＋λｃ＝０
　　　このとき、　２（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）＋λ（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ）＝０　から、ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝λｄ/２
　　　また、２（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ）＋λ（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）＝０　より、λ＝２ｄ/（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）
　　　　幾何学的に考えて、ｘ²＋ｙ²＋ｚ² の最小値は、ｄ²/（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）
　　　よって、求める距離は、　｜ｄ｜/√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）　である。

（追々記）　Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法は、あくまでも極値を与える候補を教えてはくれるが、
　　　　　　それが本当に極値を与えるかどうかについては、何ら教えてはくれない。

　　　　　　　したがって、Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法は、何らかの方策により、極値の存在が
　　　　　　判明している場合に有効である。

　　　　　　　当ＨＰでも、その趣旨を最大限有効利用し、「幾何学的に考えて」という表現で、
　　　　　　十分性の確認を匂わせてきた。

　　　　　　　しかし、このことは、やはり、どこかしら気持ちが悪い。しっくりこないのである。
　　　　　　この気分は、上記の原稿を書いているときに常に頭の片隅に居座った。

　　　　　　　この件に関して、広島工業大学の大川研究室よりアドバイスを頂戴した。いた
　　　　　　だいたアドバイスを参考にしながら、「幾何学的に考えて」ではなく、解析的な手
　　　　　　法で、十分性の確認を行ってみたい。

例題６　ｘｙ＝４　のとき、２ｘ＋２ｙ　の極値を求めよ。

　（解）　Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ－４＝０　のとき、
　　　　　Ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋２ｙ　の極値を与える点（ａ，ｂ）は次の式を満たす。
　　　　　　　　　　２＋λｙ＝０　、２＋λｘ＝０　、ｘｙ－４＝０
　　　　　　よって、λ²ｘｙ＝４　、ｘｙ＝４　より、λ²＝１　となって、λ＝±１
　　　　　このとき、　（ａ，ｂ）＝（２，２）　、（－２，－２）
　　　　　　いま、（ａ，ｂ）＝（２，２）について吟味する。
　　　　　Ｇ（２＋ｈ，２＋ｋ）＝０　を満たすようなｈ，ｋを考えると、ｈｋ＜０　である。
　　　　　なぜならば、　ｙ＝４/ｘ　において、ｙ’＝－４/ｘ² ＜０　より、単調減少関数だから
　　　　　である。
　　　　　　このとき、Ｇ（２＋ｈ，２＋ｋ）＝（２＋ｈ)( ２＋ｋ）－４＝２（ｈ＋ｋ）＋ｈｋ＝０　より、
　　　　　２（ｈ＋ｋ）＝－ｈｋ　が成り立つ。
　　　　　　よって、（２，２）に近い点（２＋ｈ，２＋ｋ）において、常に
　　　　　　　　Ｆ（２＋ｈ，２＋ｋ）－Ｆ（２，２）＝２（ｈ＋ｋ）＝－ｈｋ＞０
　　　　　が成り立つので、点（２，２）において、極小であることが分かる。
　　　　　　次に、（ａ，ｂ）＝（－２，－２）について吟味する。
　　　　　Ｇ（－２＋ｈ，－２＋ｋ）＝０　を満たすようなｈ，ｋを考えると、上記と同様の
　　　　　理由から、ｈｋ＜０　である。
　　　　　　このとき、Ｇ（－２＋ｈ，－２＋ｋ）＝（－２＋ｈ)( －２＋ｋ）－４
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－２（ｈ＋ｋ）＋ｈｋ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝０
　　　　　より、　２（ｈ＋ｋ）＝ｈｋ　が成り立つ。
　　　　　　よって、（－２，－２）に近い点（－２＋ｈ，－２＋ｋ）において、常に
　　　　　　　　Ｆ（－２＋ｈ，－２＋ｋ）－Ｆ（－２，－２）＝２（ｈ＋ｋ）＝ｈｋ＜０
　　　　　が成り立つので、点（－２，－２）において、極大であることが分かる。

　上記の解答（後半部分）は、極値の定義に立ち返った証明で分かりやすいが、スマート
さに欠ける。しかも、陰関数を陽関数に直して、その導関数の性質を利用している点が一
般的でないように思う。

　極値を持つための十分性の確認として、次の事実が知られている。　
　（慶應義塾大学商学部解析Ⅱ（２００３）における練習問題の解答を参考にさせていただきました。）

　条件Ｇ（ｘ，ｙ）＝０のもとで、関数Ｆ（ｘ，ｙ）の極値について考える。

関数Ｈ（ｘ，ｙ，λ）＝Ｆ－λＧ　とおき、　Ｈ_ｘ＝０　、Ｈ_ｙ＝０　、Ｈ_λ＝０　を満たす点を
（ａ，ｂ，λ₀）とおく。

　このとき、次の行列式Ｂを、（ａ，ｂ，λ₀）での縁付き行列式という。

　　　　　　

　もし、　Ｂ＜０　ならば、関数　Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（ａ，ｂ）で極小
　　　　　Ｂ＞０　ならば、関数　Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（ａ，ｂ）で極大

　上記の例題６に早速適用してみよう。

　Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ－４＝０　、Ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋２ｙ　より、
　　　Ｈ（ｘ，ｙ，λ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）－λＧ（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋２ｙ－λ（ｘｙ－４）
Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法により、
　　　　　　　　　　２－λｙ＝０　、２－λｘ＝０　、ｘｙ－４＝０
　　　　　　よって、λ²ｘｙ＝４　、ｘｙ＝４　より、λ²＝１　となって、λ＝±１
　　　　　このとき、　（ａ，ｂ，λ）＝（２，２，１）　、（－２，－２，－１）
ここで、
　　　　　　Ｇ_ｘ＝ｙ　、Ｇ_ｙ＝ｘ　、Ｈ_ｘ＝２－λｙ　、Ｈ_ｙ＝２－λｘ
　　　　　　　　　Ｈ_ｘｘ＝０　、Ｈ_ｘｙ＝－λ　、Ｈ_ｙｙ＝０

であることに注意して、点（２，２，１）での縁付き行列式Ｂの値は、

　　　　　

よって、　関数Ｆ（ｘ，ｙ）　は、点（２，２）で極小となる。（先の結果と一致！）

同様にして、点（－２，－２，－１）での縁付き行列式Ｂの値は、

　　　　　

よって、　関数Ｆ（ｘ，ｙ）　は、点（－２，－２）で極大となる。（先の結果と一致！）

　また、次のような事実も知られているらしい。
　（広島工業大学　大川研究室よりいただきました。ありがとうございます。）

　条件Ｇ（ｘ，ｙ）＝０　のとき、点（ａ，ｂ）は、関数Ｆ（ｘ，ｙ）の極値を与える候補とす
る。　ただし、（Ｇ_ｘ，Ｇ_ｙ）≠（０，０）とする。

　さらに、関数Ｈ（ｘ，ｙ，λ）＝Ｆ－λＧ　とおき、１階偏微分作用素Ｄを、

　　　　　　

により定める。このとき、点（ａ，ｂ）において、

　　　　　　Ｄ²Ｆ＞０　のとき、関数　Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（ａ，ｂ）で極小
　　　　　　Ｄ²Ｆ＜０　のとき、関数　Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（ａ，ｂ）で極大

（注意）　Ｇ（ｘ，ｙ）　が一般の二次式の場合、幾何学的に判定することが難しい場合が
　　　　　あるが、（Ｇ_ｘ，Ｇ_ｙ） ≠ （０，０）という条件さえクリアすれば、必ず、この公式
　　　　　で、極値をもつかどうかは判定できるとのことである。
　　　　　　ただし、Ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ａ，ｂ）とＧ（ｘ，ｙ）＝０が高次の接触をしている場
　　　　　合（例えば、Ｇ（ｘ，ｙ）＝０が、等高線Ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｆ（ａ，ｂ）の曲率円）
　　　　　は、さらに、Ｄ³Ｆ、Ｄ⁴Ｆ　の計算が必要になるそうだ。

　上記の例題６に早速適用してみよう。

　Ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ－４＝０　、Ｆ（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋２ｙ　より、
　　　Ｈ（ｘ，ｙ，λ ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）－λＧ（ｘ，ｙ）＝２ｘ＋２ｙ－λ（ｘｙ－４）
Ｌａｇｒａｎｇｅの未定乗数法により、
　　　　　　　　　　２－λｙ＝０　、２－λｘ＝０　、ｘｙ－４＝０
　　　　　　よって、λ²ｘｙ＝４　、ｘｙ＝４　より、λ²＝１　となって、λ＝±１
　　　　　このとき、　（ａ，ｂ，λ ）＝（２，２，１）　、（－２，－２，－１）
ここで、
　　　　　　Ｇ_ｘ＝ｙ　、Ｇ_ｙ＝ｘ　、Ｆ_ｘ＝２　、Ｆ_ｙ＝２

このとき、　ＤＦ＝Ｇ_ｙＦ_ｘ－Ｇ_ｘＦ_ｙ＝２ｘ－２ｙ　なので、

　　　　　　　Ｄ²Ｆ＝Ｄ（ＤＦ）＝２ｘ－ｙ（－２）＝２ｘ＋２ｙ

　　　　　　点（２，２）において、Ｄ²Ｆ＝８＞０　となるので、極小である。

　　　　　　点（－２，－２）において、Ｄ²Ｆ＝－８＜０　となるので、極大である。

（コメント：計算量がこちらの方が少なくて、いいですね！）

　ところで、上記であげた２つの公式は、一見して無関係そうに見えるが、実は両者は密接
に関係していることが次の計算から分かる。

　実際に、行列式の性質から、

Ｂ＝－Ｇ_ｘ（Ｇ_ｘＨ_ｙｙ－Ｇ_ｙＨ_ｘｙ）＋Ｇ_ｙ（Ｇ_ｘＨ_ｘｙ－Ｇ_ｙＨ_ｘｘ）

　＝－Ｇ_ｘ（Ｇ_ｘ（Ｆ_ｙｙ－λＧ_ｙｙ）－Ｇ_ｙ（Ｆ_ｘｙ－λＧ_ｘｙ））＋Ｇ_ｙ（Ｇ_ｘ（Ｆ_ｘｙ－λＧ_ｘｙ）－Ｇ_ｙ（Ｆ_ｘｘ－λＧ_ｘｘ））

　＝－Ｇ_ｘ²Ｆ_ｙｙ＋λＧ_ｘ²Ｇ_ｙｙ＋Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ－λＧ_ｘＧ_ｙＧ_ｘｙ＋Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ－λＧ_ｘＧ_ｙＧ_ｘｙ－Ｇ_ｙ²Ｆ_ｘｘ＋λＧ_ｙ²Ｇ_ｘｘ

　ここで、　Ｆ_ｘ－λＧ_ｘ＝０　、Ｆ_ｙ－λＧ_ｙ＝０　であるので、

Ｂ＝－Ｇ_ｘ²Ｆ_ｙｙ＋Ｆ_ｘＧ_ｘＧ_ｙｙ＋Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ－Ｆ_ｙＧ_ｘＧ_ｘｙ＋Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ－Ｆ_ｘＧ_ｙＧ_ｘｙ－Ｇ_ｙ²Ｆ_ｘｘ＋Ｆ_ｙＧ_ｙＧ_ｘｘ

　＝－Ｇ_ｙ²Ｆ_ｘｘ＋２Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ－Ｇ_ｘ²Ｆ_ｙｙ＋Ｆ_ｙＧ_ｙＧ_ｘｘ－Ｆ_ｙＧ_ｘＧ_ｘｙ－Ｆ_ｘＧ_ｙＧ_ｘｙ＋Ｆ_ｘＧ_ｘＧ_ｙｙ

一方、
　　　　　ＤＦ＝Ｇ_ｙＦ_ｘ－Ｇ_ｘＦ_ｙ　なので、

Ｄ²Ｆ＝Ｄ（ＤＦ）

　　＝Ｇ_ｙ（Ｇ_ｙｘＦ_ｘ＋Ｇ_ｙＦ_ｘｘ－Ｇ_ｘｘＦ_ｙ－Ｇ_ｘＦ_ｙｘ）－Ｇ_ｘ（Ｇ_ｙｙＦ_ｘ＋Ｇ_ｙＦ_ｘｙ－Ｇ_ｘｙＦ_ｙ－Ｇ_ｘＦ_ｙｙ）

　　＝Ｆ_ｘＧ_ｙＧ_ｘｙ＋Ｇ_ｙ²Ｆ_ｘｘ－Ｆ_ｙＧ_ｙＧ_ｘｘ－Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ－Ｆ_ｘＧ_ｘＧ_ｙｙ－Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ＋Ｆ_ｙＧ_ｘＧ_ｘｙ＋Ｇ_ｘ²Ｆ_ｙｙ

　　＝Ｇ_ｙ²Ｆ_ｘｘ－２Ｇ_ｘＧ_ｙＦ_ｘｙ＋Ｇ_ｘ²Ｆ_ｙｙ－Ｆ_ｙＧ_ｙＧ_ｘｘ＋Ｆ_ｙＧ_ｘＧ_ｘｙ＋Ｆ_ｘＧ_ｙＧ_ｘｙ－Ｆ_ｘＧ_ｘＧ_ｙｙ

　以上の考察から、縁付き行列式Ｂと１階偏微分作用素Ｄの間には、

　　　　　　　　　　Ｂ＝－Ｄ²Ｆ

という関係が成り立つことが分かる。

　ところで、関数Ｈ（ｘ，ｙ， λ ）（＝Ｈ（ λ ，ｘ，ｙ））において、

が成り立つので、縁付き行列式Ｂは、関数Ｈ（ λ ，ｘ，ｙ）のヘッセ行列とも関係があり
そうである。

（追々々記）　１階偏微分作用素Ｄの公式は、大川さんが大学院時代にある講演で聴かれ
　　　　　　　たものだそうで、文献等にも見られず、あまり一般には知られていないかも．．．
　　　　　　　とのことである。大川さんより証明の骨子をいただいたので、私の理解できる範
　　　　　　　囲でまとめてみた。
　　　　　　　　（私の理解不足で、大川さんの真意が伝わっているかどうか自信がありません。そんなわけで、
　　　　　　　　　　　ちょっと大目にみてください！）

　極値を与える候補の点（ａ，ｂ）を通る曲線　Ｃ　：　Ｇ（ｘ，ｙ）＝０　は、

（Ｇ_ｘ，Ｇ_ｙ） ≠ （０，０）　なので、陰関数の定理より、点（ａ，ｂ）の近くで、

　　　　Ｃ：　ｘ＝ｘ（ｔ）　、　ｙ＝ｙ（ｔ）　　　　（ただし、　ｘ（０）＝ａ　、　ｙ（０）＝ｂ　）

と書ける。　このとき、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は、１変数ｔの関数　ｆ（ｔ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）　となる。

　いま、Ｇ（ｘ，ｙ）＝０　の両辺をｔで微分すると、　Ｇ_ｘｘ_t ＋Ｇ_ｙｙ_t ＝０　なので、恒等的

に零ではないｔの関数ｋ＝ｋ（ｔ）　を用いて、　ｘ_t ＝－ｋＧ_ｙ　、ｙ_t ＝ｋＧ_ｘ　と書ける。

　このとき、Ｃの接線方向の導関数ｆ’（ｔ）について、

ｆ’（ｔ）＝ｄＦ/ｄｔ＝Ｆ_ｘｘ_t ＋Ｆ_ｙｙ_t ＝－ｋＧ_ｙＦ_ｘ＋ｋＧ_ｘＦ_ｙ＝ｋ（－Ｇ_ｙＦ_ｘ＋Ｇ_ｘＦ_ｙ）＝ｋＤＦ

が成り立つ。よって、微分作用素として、　ｄ/ｄｔ＝ｋＤ　と考えられる。

　ここで、媒介変数ｔを取り直すことにより、Ｃ上の微分作用素として、Ｄ＝ｄ/ｄｔ　として
よい。
　　　　　実際に、常微分方程式ｄｕ/ｄｔ＝１/ｋ　の解を、ｕとするとき、
　　　　　　　　　ｄＦ/ｄｕ＝（ｄＦ/ｄｔ）（ｄｕ/ｄｔ）＝ｋＤＦ・（１/ｋ）＝ＤＦ
　　　　　である。（ここで、１/ｋ　は微分可能で、その導関数も連続なので必ず解は存在する。）
　　　　　　したがって、媒介変数として、ｕをｔと取り直せばよい。

このとき、　ｄ²Ｆ/ｄｔ² ＝ｄ（ｄＦ/ｄｔ^）/ｄｔ＝ｄ（ＤＦ^）/ｄｔ＝Ｄ（ＤＦ）＝Ｄ²Ｆ

　これにより、１変数関数の場合と全く同様にして、

　　　　［ｄ²Ｆ/ｄｔ²］_ｔ＝0 ＞０　ならば、点（ａ，ｂ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は極小
　　　　［ｄ²Ｆ/ｄｔ²］_ｔ＝0 ＜０　ならば、点（ａ，ｂ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は極大

であるので、

　　　　Ｄ²Ｆ＞０　ならば、点（ａ，ｂ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は極小
　　　　Ｄ²Ｆ＜０　ならば、点（ａ，ｂ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は極大

が成り立つ。　（略証終）

　ところで、縁付き行列式Ｂと１階偏微分作用素Ｄの関係から、縁付き行列式Ｂの公
式の証明も気になるが、慶應義塾大学経済学部の戸瀬信之先生が証明を与えていられ
るので、なぞってみたいと思う。

　極値を与える候補の点（ａ，ｂ）を通る曲線　Ｃ　：　Ｇ（ｘ，ｙ）＝０　は、

Ｇ_ｙ（ａ，ｂ） ≠ ０とすると、陰関数の定理より、点（ａ，ｂ）の近くで、

　　　　Ｃ：　ｘ＝ｔ　、　ｙ＝ｙ（ｔ）　　（ただし、ｙ（ａ）＝ｂ）　　　と書ける。

Ｇ（ｘ，ｙ）＝０　の左辺は、媒介変数ｔの関数なので、両辺をｔで微分すると、

　　　　Ｇ_ｘ＋Ｇ_ｙｙ’＝０　　　すなわち、　ｙ’＝－Ｇ_ｘ/Ｇ_ｙ

　上式を、さらにｔで微分すると、　Ｇ_ｘｘ＋Ｇ_ｘｙｙ’＋（Ｇ_ｘｙ＋Ｇ_ｙｙｙ’）ｙ’＋Ｇ_ｙｙ”＝０

すなわち、　Ｇ_ｘｘ＋２Ｇ_ｘｙｙ’＋Ｇ_ｙｙ（ｙ’）²＋Ｇ_ｙｙ”＝０

が成り立つ。このとき、

　　　　ｙ” ＝－（Ｇ_ｘｘ＋２Ｇ_ｘｙｙ’＋Ｇ_ｙｙ（ｙ’）²）/Ｇ_ｙ

　　　　　　＝－（Ｇ_ｘｘ＋２Ｇ_ｘｙ（－Ｇ_ｘ/Ｇ_ｙ）＋Ｇ_ｙｙ（－Ｇ_ｘ/Ｇ_ｙ）²）/Ｇ_ｙ

　　　　　　＝－（Ｇ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｇ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｇ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ³

　同様にして、１変数ｔの関数　ｆ（ｔ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）　の第二次導関数を求めれば、

　　ｆ”（ｔ）＝Ｆ_ｘｘ＋２Ｆ_ｘｙｙ’＋Ｆ_ｙｙ（ｙ’）²＋Ｆ_ｙｙ”

となる。　このとき、上記のｙ’、ｙ” を代入して、

　　ｆ”（ｔ）＝Ｆ_ｘｘ＋２Ｆ_ｘｙ（－Ｇ_ｘ/Ｇ_ｙ）＋Ｆ_ｙｙ（－Ｇ_ｘ/Ｇ_ｙ）²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋Ｆ_ｙ（－（Ｇ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｇ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｇ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ³）

　　　　　　＝（Ｆ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｆ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｆ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋（－Ｆ_ｙ/Ｇ_ｙ）（Ｇ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｇ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｇ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ²

　ここで、Ｈ（ｘ，ｙ，λ ）＝Ｆ（ｘ，ｙ）－λＧ（ｘ，ｙ）　とすると、

点（ａ，ｂ）において、Ｆ_ｙ/Ｇ_ｙ＝λ　であるので、

　　ｆ”（ａ）＝（Ｆ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｆ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｆ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋（－λ）（Ｇ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｇ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｇ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ²

　　　　　　＝（（Ｆ_ｘｘ－λＧ_ｘｘ）Ｇ_ｙ²－２（Ｆ_ｘｙ－λＧ_ｘｙ）Ｇ_ｘＧ_ｙ＋（Ｆ_ｙｙ－λＧ_ｙｙ）Ｇ_ｘ²））/Ｇ_ｙ²

　　　　　　＝（Ｈ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｈ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｈ_ｙｙＧ_ｘ²）/Ｇ_ｙ²

　縁付き行列式を実際に計算してみると、

　　Ｂ＝－Ｇ_ｘ（Ｇ_ｘＨ_ｙｙ－Ｇ_ｙＨ_ｘｙ）＋Ｇ_ｙ（Ｇ_ｘＨ_ｘｙ－Ｇ_ｙＨ_ｘｘ）

　　　＝－（Ｈ_ｘｘＧ_ｙ²－２Ｈ_ｘｙＧ_ｘＧ_ｙ＋Ｈ_ｙｙＧ_ｘ²）

なので、
　　　　　　　　　　ｆ”（ａ）＝－Ｂ/Ｇ_ｙ²

と書ける。　従って、縁付き行列式Ｂについて、

　Ｂ＜０　のとき、ｆ”（ａ）＞０　より、ｔ＝ａすなわち、（ａ，ｂ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は極小
　Ｂ＞０　のとき、ｆ”（ａ）＜０　より、ｔ＝ａすなわち、（ａ，ｂ）で、関数Ｆ（ｘ，ｙ）は極大

になることが分かる。

（コメント）　縁付き行列式Ｂと１階偏微分作用素Ｄの間には、

　　　　　　　　　　Ｂ＝－Ｄ²Ｆ

という関係が成り立つので、上記の証明から、次の公式が成り立つことも示される。

　　　　　　Ｄ²Ｆ＞０　のとき、関数　Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（ａ，ｂ）で極小
　　　　　　Ｄ²Ｆ＜０　のとき、関数　Ｆ（ｘ，ｙ）は、点（ａ，ｂ）で極大

（参考文献：佐々木重夫　他著　微分積分学　（廣川書店）
　　　　　　　外岡慶之助　他著　微分積分学　（学術図書出版社）
　　　　　　　小松勇作　早川康弌　著　微分積分学　（朝倉書店）
　　　　　　　福田安蔵　他著　微積分演習Ⅱ　（共立出版）
　　　　　　　一松　　信　著　解析学序説　上・下巻　（裳華房））