黄色枠の知悉の事柄を、飯高先生の講義に潜り込んだ學生に倣うと破綻するので、飯高
先生に依存せず自分で考え、双対代数曲線が如何なるものか、伊達にグラフを為さず、特
異点の動向を追視しつつ．．．。（平成２３年１２月２９日付け）
飯高先生は、講義内容に即した解答を欲しておられ、行列を用いての解答例を提示され、
草色枠は講義で最初に述べたので、具体例で踏襲して欲しいと。答は、紫枠の最後に在る
ので、必ず導出過程を省かず、レポートとして提出のこと、と飯高先生。
講義受講者でない方々も、練習用の問題をどうぞ！
シアン色のk=3 の場合： -ｘ+(3+ｘ)ｙ=0 から X、Y の関係式を導出せよ。
シアン色のk=7 の場合： -ｘ+(7+ｘ)ｙ=0 から X、Y の関係式を導出せよ。
飯高先生は、講義内容に即した解答を欲しておられ、行列を用いての解答例を提示され、
草色枠は講義で最初に述べたので、具体例で踏襲して欲しいと。
（平成２３年１２月３０日付け）
草色枠の講義に沿う発想を重視されるので、一つ解答付きのを３行で為してみます。
-4Xｘ4 - 4ｘ3 + 2Xｘ2 + 2ｘ + Xｙ=0 、-4Yｘ4 + 2Yｘ2 + ｙY + 1=0 、-ｘ4 + ｘ2 + ｙ = 0
から X、Yの関係式を導出すればよい。終結式を用いる発想で、これを行うと、
27X4 - 4Y2X2 + 144YX2 - 16Y3 + 128Y2 - 256Y=0
で導出完了。飯高先生は、講義をきちんと聴いていたネと、◎を下さる予感。
答え合わせは、これを射影化し、文字を ａ、ｂ、ｃ にすれば為せる。
(C=高2とC* 何れが容易？)
飯高先生の講義内容に即した解答を為しましたが、幾つか疑問点が生じるでしょう。必ず
行間を埋めて下さい。（今回のメインです）
上で失礼なことを敢えて申しましたが、是非お願いいたします。肝心なことを明示されない
著書によく遭遇し、悩んだ経験は御座いませんか？ほんの一例ですが、３つの有理式の出
所こそ知る権利が在るのに保証されず．．．。
「GALOIS THEORY（TERUYOSHI YOSHIDA）」
(This example figures in the entry of 21th March 1797 of C.F. Gauss’ diary, when
he was nineteen years old. It is related to the theory of elliptic functions.)
（追伸） 例示したのは、あまりに簡単すぎると云われそうなので、逆から始めます。
（次年度以降の予想問題です）
問 n=2次でない代数曲線 27ｘ4 - 4ｙ2ｘ2 + 144ｙｘ2 - 16ｙ3 + 128ｙ2 - 256ｙ=0 の双対曲線を
講義に沿う発想でもとめなさい。
108Xｘ4 + 108ｘ3 - 16Xｙ2ｘ2 + 432Xｙｘ2 - 8ｙ2ｘ + 288ｙｘ - 48Xｙ3 + 256Xｙ2 - 256Xｙ=0、
108Yｘ4 - 8ｙｘ2 - 16ｙ2Yｘ2 + 432ｙYｘ2 + 144ｘ2 - 48ｙ2
+ 256ｙ - 48ｙ3Y + 256ｙ2Y - 256ｙY - 256=0、
27ｘ4 - 4ｙ2ｘ2 + 144ｙｘ2 - 16ｙ3 + 128ｙ2 - 256ｙ=0
から X、Yの関係式を導出すればよい。終結式を用いる発想で、これを行うと、
-X4 + X2 + Y = 0
で導出完了。飯高先生の講義内容に即した解答を為しましたが、幾つか疑問点が生じるで
しょう。必ず行間を埋めて下さい。（今回のメインです）
参考図の易しくない方のF(C)*も飯高先生の講義内容に即した解答をお願いします。
（先ず、F(C)を求めて）
講義で噛み砕いて咀嚼叶うよう、出題問題に近い問題でリハーサルをも為したのに、殆ど
出来ていなかったとの再試験講評が公表されておりました。
次年度以降の射影幾何と代数曲線、代数曲面．．．の講義後、上記の如き懸念が想定さ
れるので、どうしても理解して卒業して欲しいとリハーサル。
C1 の方の殆ど答に近いHint を記します。
2Xｘ2 + 4Xｘ + 2ｘ + 2Xｙ2 + 4Xｙ + 4=0、2Yｘ2 + 4Yｘ + 2ｙ + 2ｙ2Y + 4ｙY + 4=0、
ｘ2 + 4ｘ + ｙ2 + 4ｙ + 7=0 から X、Y の関係式を終結式を用いて導出すると、青線=双曲線1
になることを確認して下さい。C2 の方は上に倣い、自分で為し、青線=双曲線2 になることを
示して下さい。今回は、緑枠の双対曲線は瞬時に求められますので、どうぞ。
知らぬ存ぜぬのフリを為し、直に、Cの双対曲線を上の発想で試みて下さい。苦労するで
しょうが、為す意義は存在しますので、是非。済んだところで、C1、C2とも双対曲線の名は
かわったが、同じ次数の曲線になる理由をきちんと述べて下さい。
講義で為した、射影化して行列表現して双対射影曲線を求めるのは、もう大丈夫でしょう
が、今回の各Cj で必ず出来るようにしておいて下さい。
今回為したことは、赤の２円の４本の共通接線を求めることを高校生が為しますが、講義
に沿う発想で、双対曲線達C1*、C2*を求め、交点C1*∩C2*を求め、瞬時に ４本の共通接
線を求め、図示出来たのです。
高校生の眼前で、この発想で、他の共通接線の問題をも解いて説明して下さい。
なお、4次曲線Cに接する接線は、C と ｙ=ａｘ+ｂ が一点（２点）を共有するからも導出可能
なので、解いて遊んで下さい。
==定義等が未だ曖昧な人へ==
参考資料１ 、 参考資料２ 、 参考資料３
「判別式と終結式」（18p の2+1次の代数曲線の双対曲線も講義に沿う発想で求めてレポート提出！）
・楕円と円の問題を双対の視座で瞬時に導出す。亦楽しからずや。（世界初かも知れませ
ん！)出来る限り少ない時間で為して下さい。（双対の視座で解けて愉しくて癖になりそうで
なくなる筈です！) （→ 参考：「楕円に内接する円」）
次年度以降の射影幾何と代数曲線、代数曲面、．．．の講義中のリハーサル予定問題の
発想も！更に、射影化して云々の発想をも。
以下、飯高先生の次年度以降の講義で具現をと學生に促される想定内の問題群です。
（平成２３年１２月３１日付け）
今度は、一番右の黄色枠のn=2次でない代数曲線C1=レムニスケート（lemniscate）につい
て、所与 C1 の代数曲線に円ピタ問題を解いて下さい。
なによりも先ず、飯高先生に倣い、射影化すると、X4 + 2X2Y2 + Y4 - X2Z2 + Y2Z2=0 です。
続けて下さい。双対射影曲線導出まで是非！C2*：_____=0 と易しい C1*の交点を求めて、円
ピタ問題を解いて下さい。(確認法で容易なのは当然出る筈の特異点達を求めることです）
（次数がC2よりあがりましたか どちらが 容易に みえますか?)
「デリケートな問題」が生じる筈です．．．。C2 で接してるとか．．．。
「軌跡について」において、より自由度を許容し、R3 で２定点を、Ａ（-c，0，0）、Ｂ(c，0，0)
とし、 ＡＰ・ＢＰ＝2a（一定） の場合を考える。（平成２３年１２月３１日付け）
a=c=1 とすると、代数曲面 S： ((ｘ - 1)2 + ｙ2 + ｚ2)((ｘ + 1)2 + ｙ2 + ｚ2) - 1=0 の形状を探
り（S∩{(ｘ，ｙ，ｚ) | ｚ=0 } は、当然、レムニスケートとなる）、その双対曲面S*を求め、特異点
等を探訪願います。（此処が今回のお願いです）
先ず、飯高先生の講義に従い、射影化し、
X4 - 2W2X2 + 2Y2X2 + 2Z2X2 + Y4 + Z4 + 2W2Y2 + 2W2Z2 + 2Y2Z2=0
です。続けて下さい。何だか双対曲線、双対曲面、....の限られた話題だけなのは何故？何
故、双対曲線、双対曲面、...を求める？と問われて「そこに代数曲線、代数曲面、....がある
から」という＿＿的説明に感心する人は皆無でしょう。寧ろ、呆れかえり、「双対曲線、双対
曲面、...を人生で一度も具現してこなかったが、なんにも（研究生活上）こまったことがない。
必要性を全然感じない」と。その論法でいけば、
C--->C*---->(C*)*=C S--->S*---->(S*)*=S
故、代数曲線、代数曲面も必要性が無くなり、例えば、資料を味読して、つっこみを必ず願
います。
次年度以降の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ、（解答の図をも明示しまし
た。 題意が明確に分かり殆ど出来ていないことが皆無になるべく）
（平成２４年１月１日付け）
左のn=2 次曲線、双曲線の双対曲線については、発想１、発想２なる２様の発想で必ず
願います。
右のn=4 次曲線、双曲線の双対曲線については、可約曲線であることを知らぬフリをし、
C： 3ｘ4/4 - ｙｘ3/2 - 2ｘ3 + 3ｙ2ｘ2 - 11ｙｘ2/2 + 3ｘ2/2
- 2ｙ3ｘ + 2ｙ2ｘ + 9ｙｘ/2 - 2ｙ3 + 3ｙ2 + 3ｙ/2 - 1/4=0
の双対曲線 C* を多様な発想で求めて、共通接線の問題を解決して下さい。尚、この共通
接線の問題は、高校生が解ける筈です。試みて下さい。
これで、講義後の本考査は、過年度のような事態にはならず、大丈夫だとは思いますが。
「双対曲線」の定義が把握できていないにも関わらず、上問の双対曲線達が得られてしま
った人が存在するおそれがあります。それでは、講義の意味を失うので、回避策：左図の求
めた双対曲線上の一点を用いて、本当に、もとの曲線の接線になっていることを草色接線
で示しました。
學生さんは、少なくとももう（求めた双対曲線上の）３点定め、３接線を求め図示して、本考
査に対して、万全の備えをしておくべきです。
備考 飯高先生の書籍の中の「self-dual」概念にもご留意願います。
輓近の代數幾何學の論文に屡々掲げられるか判明しませんが、２０１２年正月早々先ほ
ど１時間前に邂逅しました。（平成２４年１月２日付け）
George Salmon 著作の199pは、若き頃の飯高先生をして、代数幾何學に埋没せしめた、
誰にも意味なら瞬時に判明の高次代数曲線の複接線の問題です。（黒字の一行目は此れ
からの引用です）
199p のk=0 の Ck の侘しい一例ですが、n=2次曲線の射影曲線を求め、行列表現を為
して、双対曲線を求めて、スパッと解決の問題ではないので、講義の最初の定義をキチン
と理解したかを判断する、どうしても問わざるを得ない設問です。
直ぐ取組むべき問題群を簡潔に記載しましたので、是非お願い致します。
硲 文夫 先生の「代数幾何学」には、行列表現を為して云々のお人柄による丁寧な解説
が在りますが、行列表現直前で禁欲すれば、今回の 4次曲線の双対曲線が求められる筈
です。
この199pは、若き頃の飯高先生をして、代数幾何學に埋没せしめた、誰にも意味なら瞬
時に判明の高次代数曲線の複接線の問題です。
上記の私の記載について、即座に、飯高先生から言及いただきました。有難う御座いま
す。（平成２４年１月２日付け）
それで直ぐ自己双対探訪と開始するや否や、ｙ=ｘ3 の双対がなんと草色枠と！立ち止ま
らずを得ず、（その定義は、飯高先生の定義と異なる！)中断させられました。
(1) 飯高先生の定義による、ｙ=ｘ3 の双対曲線を求めて下さい。如何でしたか？異なるで
しょう。
(2) 草色枠が導出される双対曲線の定義を明確に記して下さい。飯高先生の定義による
要求された双対射影曲線の解ですが、参考図に飯高先生の双対の定義に拠らない双
対曲線を草色で解答しました。（先生は此れをも合格点を下さる）
(3) (2) で定義された定義による双対曲線を下達の場合に導出して下さい。
（飯高先生の双対の定義で私が導出し、青線で図示しております）
（→ 参考図１ 、参考図２ 、参考図３）
(4) 今回の定義と飯高先生の双対の定義はいずれがお気に入りでしょうか。
(5) 今回の定義を次元をひとつ上げて双対曲面の場合の定義を明確に記して下さい。
(6) そして、その定義による双対曲面の具現を数例なさって下さい。
二様の双対の定義が在り、本当に困惑するでしょう。
飯高先生の講義に於ける双対曲線の定義は（短文で且つ）明確で、疑義を抱かせるよう
なことは皆無。あまりに明解なので、一度たりとも双対化の具現を為さず理解終了宣言を
なさる方が世界に存在しそうです。定義はしたが、一例も無い著作を見出されたなら、ご教
示願います。
飯高先生の講義では、Cの、例えば、変曲点が双対曲線化すれば、如何なる特異点に反
映するか？等、定性的な考察で必ず為されるに違いない。
學生は直ぐ超易しい変曲点が在る代数曲線C： ｙ-ｘ3=0 で、先ず射影化し、何かを為し、
双対曲線 C* を得た。そして、講義によると、尖点がC* に在る筈と特異点を求めようとし、
飯高先生の講義の内容と異なるではないかと一瞬先生を疑い、暫くして、やはり飯高先生
は嘘をおっしゃらないと全幅の信頼を寄せるに相違ない。
しかし、次の、今日遭遇した新たな双対曲線の定義によると、「ｙ2-ｘ3=0」で、想定の範囲
内の特異点が眼前に存在し、學生は、こちらの定義がお気に入りで、代数曲線 Cj に遭遇
すると直ぐ、この定義による双対曲線Cj★を求め、命が在る限り、ずっと具現し続けられ世
界一の具現者になられるでしょう。
ｙ-ｘ3=0 を平行移動することは誰でも為す。ｙ軸方向に1、ｘ軸方向にｘ0∈{-7，-5，-3，3，5，7}
だけ平行移動した代数曲線族をC[ｘ0]とする。
双対曲線の定義による双対曲線C[ｘ0]★を求め、C[ｘ0]★の其々の特異点を求め、気づい
たことを定理として述べ証明して下さい。
飯高先生の講義に於ける双対曲線の定義により、C[ｘ0]* を求め、C[ｘ0]*の其々の特異
点を求め、定理として述べ証明して下さい。
参考文献：「デカルトの精神と代数幾何」、（此処から辿ると、
「代数幾何学（森北出版1999）」、「代数幾何学（森北出版2006）」、「代数幾何学（裳華房1990）」）
飯高先生は、「デカルトの精神と代数幾何」で、アフィン代数曲線の易しい例として座標環
k[X，Y]/f[X，Y]・k[X，Y] (f[X，Y]=Y2-X2(X+1))の正規化を例示されておられます。
ｘ=X+k[X，Y]/f[X，Y]・k[X，Y]、ｙ=Y+k[X，Y]/f[X，Y]・k[X，Y]∈k[X，Y]/f[X，Y]・k[X，Y]
と、 ｘ、ｙ を抽象的に定義し、高校生がこう認識し、常用。無論、指導者も、こう認識。
(1) C： f[ｘ，ｙ]=0 について、飯高先生の講義に於ける双対曲線の定義により、C*を求め
てください。
今日 （2012 01/02）遭遇した新たな双対曲線の定義により、C★を求めてください。C★を
今私が求めたところ、 -ｘ3 - ｘ2 + ｙ2 -4ｙ4 + 4ｘｙ3 + 8ｙ2 - 36ｘｙ + 27ｘ2 - 4=0 を得た。
（曲線名は知らない。Cの方の名は誰も知悉）(無論、特異点達をも求めた）
C上の点(X0，,Y0)を定め、３本程度の接線は、高校生が容易に求めるので直ぐ為し、私
が導出したC★のあのややこしい長い方程式を満たすか必ず確認願います。（満たしてい
なければ、私の得たC★に誤りが在ります）
定義から飯高先生に倣い、出発点を射影化したもの： -X3 + 9Z2X/4 + YZ2=0 から双対
化を開始。これは 変曲点の在る易しいアニメ（１・２）の３次函数から作った。（しかし、誰が
視ても、ｙ=ｘ3 ではあんまりなのでグラフに合わせた）（平成２４年１月３日付け）
アニメを視て、代数曲線 -X3 + 9Z2X/4 + YZ2=0 (で、X=ｘ、Y=ｙ、Z=1 で高校生把握の
f[ｘ，ｙ]=0)の接超平面達H： X・ｘ+Y・ｙ+1=0 がよく描写されており、(X，Y)も刻々或る代数曲
線上を拘束され動くのがわかる。
(1) (X，Y）の満たす代数曲線、即ち、双対曲線C*を求め、C*の特異点の有無を調べ、
ちょっと想定の範囲外なることを感じて下さい。
(2) 次の昨日（2012 01/02）遭遇した新たな双対曲線の定義により、C★を求めてください。
C★の特異点の有無を調べ、まさに想定の範囲内なる特異点が存在することを示し、そ
れに対応するもとの曲線の接線 L を求め、図示して（中學でしっかり叩き込まれた一次
函数 ｘ-->ｙ=ｍｘ+ｂ のグラフで高校以降重視する接超平面 H ではない）再度アニメを観
察しつつ、２様の双対曲線も指先で描き、上のふたつの双対曲線C*とC★の何れが今回
の場合お気に入りかを理由を付して記載願います。
上では、高校時とは異なり、先ず、C*とC★を求め、その特異点に対応する変曲点に於け
る接線 L を求めた筈ですが、再三アニメを観察しつつ、曲率中心の軌跡の双対曲線も求
めて下さい。（かなりハードで、為せば、世界初かもしれず、是非！)
飯高先生出題の問題についても、上のような微分幾何の内容が分かるアニメ（動画）を作
成し、上に数多問いかけたこと達を具現して、アニメ好きの誰にも分かるようにして下さい。
年も2011------>2011+1と進んだので、代数曲線からもう１次元あげ、代数曲面の双対曲
面を考察しろと云う声が存在し、（→ 参考）
(1) この最初の代数曲面 S： (ｒ2 - R2 + ｘ2 + ｙ2 + ｚ2)2 - 4ｒ2(ｘ2 + ｙ2)=0 (ｒ=1/2、R=1 として)
This surface of revolution was defined by Johannes Kepler.
f[ｘ，ｙ，ｚ]=-ｘ2 - ｙ2 + (-3/4 + ｘ2 + ｙ2 + ｚ2)2
の双対曲面を求めて下さい。
（これは次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ為したものです)
先ず、射影曲面化すると、
9W4/16 - 5X2W2/2 - 5Y2W2/2 - 3Z2W2/2 + X4 + Y4 + Z4 + 2X2Y2 + 2X2Z2 + 2Y2Z2 =0
です。n=2次曲面達から始めるべきですが、そうしない理由が在ります。射影化するところま
では同じですが、この直後、この試験問題のように行列表現に拘るとまずいので４次曲面を
選びました。
代数曲面の双対曲面、....の定義が未だ曖昧な人へ：もう１次元あげるだけで定義は容易
です。今回の例で、(ⅰ)のようなことが生じることは明らかです。
二重接線の次元をあげたもの。（→ 参考）
私が或る発想で為すと、次数は不変で、次を得ました。
S*： -9ｘ4 - 18ｙ2ｘ2 - 24ｚ2ｘ2 + 40ｘ2 - 9ｙ4 - 16ｚ4 + 40ｙ2 - 24ｙ2ｚ2 + 32ｚ2 - 16=0
(2) (S*)* を求めて下さい。（(S*)* = S にならなければ、私がミスをしております）
(3) 素朴だが、どうしても必要なこと： S 上に3点程度、点pj を定め、その点pj に於ける接
超平面Tpj(S) を具現化し、それに対応する点がS*上に在れば、あなたが導出されたS*
は間違いありません。
不要でしょうが、説明を加えます。（平成２４年１月５日付け）
黒枠の問19-3(或る大學の代数學Ⅱの演習問題）を私も事前に解きましたが、黒枠の如
く、或る方から即答を昨年いただきました。
t は、Q上超越元であるが、Solve[{x^2+y^2-1=0,y==t*(x+1)},{x,y}] を「Wolfram|Alpha」に挿
入すれば、直ぐ高校生が知悉の青が得られます。このように、大學の代数學Ⅱの演習問題
は即決したのです。
紫枠の方は依存せずには解決の糸口すら得られず、（大學の代数學Ⅱの演習問題作成
教授も）依存しまくり、 -x^4 + y*x^3 + y*x^2 + 2*y^2=0 を「Wolfram|Alpha」に挿入し、眼前
に正体を晒した2次曲線でない4次の代数曲線を子細に観察し、紫枠を是非解決願います。
説明を加えたが為に何に悩んでいるのか分からないという方へ、２行に凝縮した紫枠の
みを視て解答をお願い致します。
断るまでもなく、紫枠は1年も前の「リューロートの定理」絡みの問題です。大學の代数學Ⅱ
の演習問題提示の講義された教授すら即決とは行かぬかも知れません。飯高先生は一般
論では自明だが、今回の4次のケースの具現はと具現の価値を認め、貴重な時間をさいて
下さるでしょう。座標環 (coordinate ring) K[ｘ，ｙ]/<-ｘ4 + ｙｘ3 + ｙｘ2 + 2ｙ2> をじっとみつめて。
数理解析研究所公表に、「全微分に関する図入り教材の作成例とその研究授業報告」な
る共同研究発表がありました。
今回扱う関数と接平面は、次式で与えられる。ただし、ａ=0.2、ｂ=0.1 である。
ｚ=f(ｘ，ｙ)=0.1+ｘ2+ｙ2 に点Q(ａ，ｂ，f(ａ，ｂ)) で接する接平面T。
とても容易なことを何とか理解に導こうと共同研究。
上で求めた接平面T に対応する双対空間の点を求め、下で求めた双対曲面S*が正しい
か確認用に使用して下さい。
(1) n=2次の代数曲面 S： ｚ-(1/10+ｘ2+ｙ2)=0 の双対曲面 S* を求めて下さい。
（これは次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ為した
ものです)
先ず、射影曲面化すると、 -W2/10 + ZW - X2 - Y2 = 0
(イ) ここから過年度の講義に沿う発想で、大変でも行列表現をし、逆行列を求め、射影双
対曲面を求め、逆射影化して S*を求め図示もして下さい。
計算があっているかのよい確認法：求めた射影双対曲面を、大変でも行列表現をし、逆
行列を求め、射影双対曲面を求め、-W2/10 + ZW - X2 - Y2 = 0 に戻ることを為して。
(ロ) (イ)以外の多様な発想で、双対曲面 S* を求めて下さい。また、それぞれの発想で、
(S*)* を求め、導出過程をも此処に明記願います。
此れまで何らかの発想で双対曲線を得たときのチェﾂク手段として用いてきたことを、n=2
次曲線なら次数が下がりも上がりもしないので、講義を「見ざる、聞かざる」であった方々を
も救済しようと設問を試みます。
例で、飯高先生は代数曲線 (ｘ+ｍ)ｙ-ｘ=0 とされず、函数 ｘ--->ｘ/(ｘ+ｍ) と記載され、
意図が在り出題されたと忖度し、
(1) 函数 ｘ--->ｘ/(ｘ+1) のグラフ上の接線を高校生のように、ｘ---->ａｘ+ｂ のグラフとして
表すと、例えば、
ａｘ+ｂ∈{ｘ/4 + 1/4，ｘ/9 + 4/9，ｘ/16 + 9/16，ｘ/25 + 16/25，
ｘ/36 + 25/36，ｘ/49 + 36/49，ｘ/64 + 49/64}
これらに間違いないか確認しなさい。
(2) 例えば、ｘ/64 + 49/64 から双対空間の点(1/49，-64/49) が得られる。此れに倣い、
他の双対空間の点を６点求めなさい。
(3) n=2次曲線なら次数が下がりも上がりもしない。(その理由を自明でも記載しなさい）
双対曲線C* を ａｘ2 + ｈｘｙ + ｂｙ2 + ｃｘ + ｄｙ + ｅ = 0 として、(2)で求めた双対空間の
点がこれを満たすことから、
ａ + 16ｂ + ｃ - 4ｄ + ｅ - 4ｈ = 0 、ａ/16 + 81ｂ/16 + ｃ/4 - 9ｄ/4 + ｅ - 9ｈ/16 = 0 、
ａ/81 + 256ｂ/81 + ｃ/9 - 16ｄ/9 + ｅ - 16ｈ/81 = 0 、
ａ/256 + 625ｂ/256 + ｃ/16 - 25ｄ/16 + ｅ - 25ｈ/256 =0 、
ａ/625 + 1296ｂ/625 + ｃ/25 - 36ｄ/25 + ｅ - 36ｈ/625 = 0 、
ａ/1296 + 2401ｂ/1296 + ｃ/36 - 49ｄ/36 + ｅ - 49ｈ/1296 = 0 、
ａ/2401 + 4096ｂ/2401 + ｃ/49 - 64ｄ/49 + ｅ - 64ｈ/2401 = 0
となることを確かめ、一番易しい連立1次方程式を、履修済の線型代数の講義で為された
方法で解くと、 ａ = ｅ 、ｈ = 2ｅ 、ｂ = ｅ 、ｃ = -2ｅ 、ｄ = 2ｅ が得られることを丁寧に示
しなさい。
(4) ｅは１としても構わないので、答えの双対曲線は、ｘ2+2ｙｘ-2ｘ+ｙ2+2ｙ+1=0 ですね。念
の為 (1/49，-64/49)がこの上に在るか確認しなさい。
一番易しい連立1次方程式を解くことで解決可能なのは、n=2次曲線、曲面の双対に限ら
れますが、次も、上に倣い、双対曲面を未定係数法で求めなさい。
数理解析研究所公表に、「全微分に関する図入り教材の作成例とその研究授業報告」な
る共同研究発表がありました。
今回扱う関数と接平面は、次式で与えられる。ただし、ａ=0.2、ｂ=0.1 である。
ｚ=f(ｘ，ｙ)=0.1+ｘ2+ｙ2 に点Q(ａ，ｂ，f(ａ，ｂ)) で接する接平面T。
とても容易なことを何とか理解に導こうと共同研究。
（なのに、學生がプロジェクターまでも持ち込みの視れば分かる講義を「見ざる、聞かざる」
の場合の更なる指導する立場の方々の共同研究が必要な事態も想定される．．．。）
先ず、射影曲面化すると、 -W2/10 + ZW - X2 - Y2 = 0 は為さず。
(5) 接平面Tj を自ら幾つか定め、それに対応する双対空間の点達を求め、双対曲面を未
定係数法で求めなさい。(分からなければ、上の(1)(2)(3)(4)を大Hintにしなさい）
（これは次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題をすら「見ざる、聞かざ
る」であった方々をも救済しようと想定しつつ為したものです)
上の課題をレポート提出するように云われた學生は、こんなことなら飯高先生の講義をし
っかり聴いておくべきだったと「臍を噛む」に違いない。線型代数の講義内容を使えたので
よしとする方もあり。
双対多様体を求める今回の未定係数法(method of undetermind coefficient) を好む方は
存在しないのかも。學生さんへ：在學中、未定係数法(method of undetermind coefficient)
で解決した事例達をすべて 記しなさい。
未定係数法(method of undetermind coefficient)でなきゃダメなんですかっ！と指導教授
に問い詰めたでしょう。如何でしたか、教授の反応は？
（→ 参考：「Constant Coefficients and Cauchy-Euler Equations」
「Solutions of Assignment 6 (2007)」 etc
二次曲線 C の双対曲線 C* は＿＿＿＿で完結する。（平成２４年１月６日付け）
二次曲面は＿＿＿＿で完結する。二次曲面 S ： ｘ2 - ｘｙ - 6ｙ2 + 9ｘ + ｚｙ + 20 = 0 につ
いて、等位線は描きましたが、うまく曲面が描けますか？曲面の名称は？主軸問題をきち
んと解いて、二次曲面は＿＿＿＿で完結する。
二次曲面は＿＿＿＿で完結する。此処から問題です。
二次曲面 S ： ｘ2 - ｘｙ - 6ｙ2 + 9ｘ + ｚｙ + 20 = 0 について、（→ 参考）
(1) 双対曲面 S* を求めて下さい。
（これは次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ為した
ものです)
先ず、射影曲面化すると、 20W2 + 9XW + X2 - 6Y2 - XY + YZ = 0です。
(イ) ここから、過年度の講義に沿う発想で大変でも行列表現をし、逆行列を求め、射影双
対曲面を求め、逆射影化して S*を求め、図示もして下さい。
計算があっているかのよい確認法：求めた射影双対曲面を大変でも行列表現をし、逆行
列を求め、射影双対曲面を求め、元に 戻ることを為して。
(ロ) (イ)以外の多様な発想で、双対曲面 S* を求めて下さい。また、それぞれの発想で、
(S*)* を求め、導出過程をも此処に 明記願います。
三（四、五、・・・）次曲面とその双対曲面は＿＿＿＿で完結する。
ｘ2 - 3ｙｘ + 5ｙ + y2λ + μ=0 で parameter(媒介変数) 扱いせず昇格させ、
ｘ2 - 3ｙｘ + 5ｙ + y2ｚ + ｗ=0 と (ｘ，ｙ，ｚ，ｗ)∈K4 に於ける4-1次元代数多様体を考察する
のは今回は禁欲し条件を緩和した(1)と紫枠を是非お願いします。（平成２４年１月７日付け）
私が幾つか(1)を具現した処、直ぐ Q上で可約となるのは稀有です。
{41ｘ2 - 123ｙｘ - 328ｙ2 + 205ｙ - 25，37ｘ2 - 111ｙｘ - 259ｙ2 + 185ｙ - 25，
33ｘ2 - 99ｙｘ - 198ｙ2 + 165ｙ - 25，29ｘ2 - 87ｙｘ - 145ｙ2 + 145ｙ - 25，
25(ｘ - 4ｙ + 1)(ｘ + ｙ - 1)，21ｘ2 - 63ｙｘ - 63ｙ2 + 105ｙ - 25，
17ｘ2 - 51ｙｘ - 34ｙ2 + 85ｙ - 25，13ｘ2 - 39ｙｘ - 13ｙ2 + 65ｙ - 25，
(3ｘ - 5)(3ｘ - 9ｙ + 5)，5(ｘ2 - 3ｙｘ + ｙ2 + 5ｙ - 5)，(ｘ - 2ｙ + 5)(ｘ - ｙ - 5)，
-3ｘ2 + 9ｙｘ - 9ｙ2 - 15ｙ - 25，-7ｘ2 + 21ｙｘ - 28ｙ2 - 35ｙ - 25，
-11ｘ2 + 33ｙｘ - 55ｙ2 - 55ｙ - 25，-5(3ｘ2 - 9ｙｘ + 18ｙ2 + 15ｙ + 5)，
-19ｘ2 + 57ｙｘ - 133ｙ2 - 95ｙ - 25，-23ｘ2 + 69ｙｘ - 184ｙ2 - 115ｙ - 25}
この中に、都立大の解が在りますか？無ければ求めて下さい。
例えば、41ｘ2 - 123ｙｘ - 328ｙ2 + 205ｙ - 25=0 は、Q(√41)で漸く可約で、
-(1/164)(-10√41 + 82ｘ - 123ｙ + 41(√41)ｙ)(-10√41 - 82ｘ + 123ｙ + 41(√41)ｙ)=0
と判明します。 41*x^2 - 123*y*x - 328*y^2 + 205*y - 25=0 を「Wolfram|Alpha」に挿入す
れば、２直線に分解まではわかります。
-(1/164)*(-10*Sqrt[41] + 82*x - 123*y + 41*Sqrt[41]*y)
*(-10*Sqrt[41] - 82*x + 123*y + 41*Sqrt[41]*y)=0
も挿入して、同じことが判明するでしょう。（挿入に工夫を要することも在ります）
寧ろ、左辺を挿入する方が、等位双曲線が２直線に分解する様が手に取るように眼前に
出現するのでお薦めです。
上の数多な例達で如何なるQの拡大体で可約か、それぞれで示して下さい。
41ｘ2 - 123ｙｘ - 328ｙ2 + 205ｙ - 25=0 の双対曲線を求め、想定外の事態が生じないこと
を確認し、図示をも願います。
紫枠の(1)の関係を満たさないときのC[λ，μ]、C[λ，μ]* の曲線の組を10組描写して
下さい。
１例 λ=69、μ=117 等で、是非！
x^2 - 3*y*x + 69*y^2 + 5*y + 117 を「Wolfram|Alpha」に挿入し、無論、講義の発想で叶
います。
問を視れば直ぐに取組むと云われそうですが、具現して視て損はないので、
7ｘ2 + Kｙｘ - 4（√7）ｘ + 22/3ｙ2 - 4・21/3ｙ - 5=0 で、例えば、K=-3 のとき、
7*x^2 + (-3)*y*x - 4*Sqrt[7]*x + 2^(2/3)*y^2 - 4*2^(1/3)*y - 5=0 を「Wolfram|Alpha」
に挿入。（問達を視て直ぐに取組んで下さい）
（これは無論、次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ為
したものです)
（飯高先生は、ぐっと睨んで、數秒で解決し、えいやっと具現し、數時間愉しまれるでしょう）
２直線になる場合を話題にした高校数学の有名問題の模倣の箇所について、問達を視
て直ぐに取組んで下さい。
既出の都立大は、2パラメタ-曲線族で（２直線になる場合を話題にした高校数学の有名
問題は1パラメター曲線族）です。（平成２４年１月８日付け）
3パラメター曲線族に改竄します。(あそこがK1で、あそこがK2 等注視願います)
(イ)の箇所の別の表現；Q上の或る拡大体で、C[K1，K2，K3] が可約な曲線（今の場合２つ
の超平面）になるのを双対曲線 C[K1，K2，K3]* を本当に求めて、C[K1，K2，K3]* の方から
探る。
（上問達は無論、次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ為
したものです)
（飯高先生は過年度の惨憺たる考査結果を視て、次年度はもっとハードルを高めに設定され、
今回提示した次数 2＜n の代數曲面の双対曲面を求めよと學生に要求される筈。
ｙ=ｘ/(ｘ+7) 等でなく．．．）
（飯高先生は、ぐっと睨んで、數秒で解決し、えいやっと具現し數時間愉しまれるでしょう）
かたや學生さんは、先ず手始めに、C[69，1，9] ： x^2 + 69*y*x + y^2 + 5*y + 9=0 を
「Wolfram|Alpha」に挿入し、「あっ、飯高先生が易しいと云われている曲線（中學が云う；既視
感在るじゃん）に酷似や よっしゃ」等で、C[69，1，9] * 求めるぞ！と気合がはいるに相違な
い。そして、C[69，1，9] が２直線に分解していないので、C[69，1，K3]が２直線に分解するK3
を自ら求め、C[69，1，K3]*を求め、想定通りであることに安堵し、一般論 C[K1，K2，K3]、
C[K1，K2，K3]*を論じるに相違ない。
私が、C[69，1，K3]が２直線に分解するK3を求め具現したところ、
ｘ2 + 69ｙｘ + ｙ2 + 5ｙ - 25/4757 = 0 (私が過ちを犯していないことは、 「Wolfram|Alpha」に
挿入し、２直線の交点（特異点までをも!）をも眼前に。
２直線になる場合を話題にした高校数学の有名問題である。（平成２４年１月９日付け）
２次式 ｘ2－ｘｙ－６ｙ2＋９ｘ＋ｋｙ＋２０ が２つの１次式の積に分解されるように、定数 ｋ の
値を定めよ。
この有名問題は、1パラメターの曲線族故、ｋの許容域が {___，__} 。パラメターを増やし、
2パラメターの曲線族とすれば、都立大のような問が誕生。
この有名問題を改竄し、もっと自由度を増やし、3パラメター曲線族にします。（少し何処を
パラメターにするか考え）有名問題の彼処やあそこをパラメターにします。
C[K1，K2，K3]： ｘ2 - ｙｘ + 9ｘ + K1ｙ2 + K2ｙ + K3 =0 の
(0) 双対曲線C[K1，K2，K3]* を多様な発想で求め、以下の問達で使用して下さい。
(1) C[K1，K2，K3]が2直線に分解する (K1，K2，K3) の集合をAとする。また、代数曲面
S={(K1，K2，K3)∈R3 | -K22 - 9K2 - 81K1 + 4K1K3 - K3=0 } を定義する。
A⊂S が正しければ、証明してください。そして、
S-Aの元で、C[K1，K2，K3]とC[K1，K2，K3]* を作り、考察願います.
(2) (K1，K2，K3)=(1/7，
，（7/11）(46/7 - 9）)∈S とするとき、C[K1，K2，K3]は、（1/77）(77ｘ2 - 77ｙｘ + 693ｘ - 11ｙ2 + 77
ｙ - 441 + 322)=0となることを確認し、
+ √77 をQに添加した体 Q[X]/<m[X]> で、左辺が、(m[X]は、 + √77 の最小多項式)可約であることを示して、二直線に分解することを自分で為して下さい。
この時、双対曲線C[K1，K2，K3]*は想定の範囲内の重なった直線となることを確認し
て下さい。
為した後、
1/77*(77*x^2 - 77*y*x + 693*x - 11*y^2 + 77*Sqrt[5]*y - 441*Sqrt[5] + 322)=0
を「Wolfram|Alpha」に挿入し、あっていることを確認して下さい。C[K1，K2，K3]*も挿入し。
(3) m[X]=0 の解をαとするとき、他の解をαの3次以下の多項式で表現願います。
σ1[α]=α 、σ2[α]=-α 、σ3[α]= 、σ4[α]=
これは、次の模倣です。
(4) C[-1， 2， 59/5]∈S とするとき、(2) と同様なことを為して下さい。（容易です）
(5) 代数曲面S={(K1，K2，K3)∈R3 | -K22 - 9K2 - 81K1 + 4K1K3 - K3=0 } の双対曲面S*を
多様な発想で是非求めて下さい。
（上問の双対曲面S*等は、無論、次年度以降の飯高先生の講義後の考査の「ハードルを
高めに設定された」リハーサル問題を想定しつつ為したものです)
参考図を視て、4次の代数曲線Cは超容易ですが、C*の次数、各特異点の名称等を睨ん
で推量願います。（平成２４年１月１１日付け）
無論、Cの方を視て、C*に尖点（cusp：カスプ）在り。
256*x^8 - 512*x^6 + 304*x^4 - 48*x^2 + 1 を「Wolfram|Alpha」に挿入し、分かりますが、
不要な蛇足を付け加えてしまい 反省し問題を端的に。（上問の双対曲線C*等は無論、次
年度以降の飯高先生の講義後の考査のハードルを高めに 設定されたリハーサル問題を
想定しつつ為したものです。
補足と追加問題です。
視れば氷解すべく、私が双対曲線C*を求め、図示もし、特異点達をも求め図示しました。
今回のCには、複接線が___本在ることは、線が引ける幼児でも意味が分かる問です。また、
変曲点が__点在ることも高校生が 計算で示しますが、その情報達を双対曲線C*を求め、
その特異点達を求めて探って下さい。
（下問の「も解」等は、無論、次年度以降の飯高先生の代数學の講義後の考査のハードル
を高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
補足と追加問題です。
(1) 「も解」を３つ導出しました。あと５つ願います。
(2) 体Q[X]/<256X8 - 512X6 + 304X4 - 48X2 + 1> は、Q上正規拡大体であることを証明
願います。
(3) 1、α、α2、α3、α4、α5、α6、α7 は、Q上線型独立を証明願います。
(4) σ3[σ3[α]] 等は、αの8次以上の多項式となり、別に構いませんが、考査となると多
義性が在り、採点者が困惑するので、(3)を用いて、7次以下の多項式で一意的に表現
願います。
σ3[σ3[α]] は、
281474976710656α49 - 3448068464705536α47 + 19826393672056832α45
- 71116412084551680α43 + 178383666978750464α41 - 332442288460398592α39
+ 477402588661153792α37 - 540731503483551744α35 + 490450067946209280α33
- 359663383160553472α31 + 214414709191868416α29 - 104129631497486336α27
+ 41159347585155072α25 - 13192098584985600α23 + 3405715246940160α21
- 701176668487680α19 + 113542812794880α17 - 14192851599360α15
+ 1335348940800α13 - 91365980160α11 + 4332007680α9 - 132612480α7
+ 2344160α5 - 19600α3 + 49α
となる筈です。
飯高先生の代数學の講義後の考査のハードルを高めに設定されたリハーサル問題を想
定しつつ為したものですと申しましたが、これは考査中は無理で、もっと易しいのを出題され、
考査で理解度は測り難いので、たっぷり在る時間を費やし、レポートとして提出用の問題と
して今回のような「も解」を要求されるでしょう。
考査問題として、「９０年度東京大学前期文系」に類する３次方程式では、受講者が高校
生扱いをなさるのかと憤る予感が するので、n＞3 次方程式で理解度を考査なさるであり
ましょう。
例えば、3+1次の問題：
256ｘ8 - 512ｘ6 + 304ｘ4 - 48ｘ2 + 1=0 の適当な一つの解を、ｘ0 とし、(ｘ0，ｙ0)が単位円に
のる ｙ0 を見出して下さい。見出したなら、この8次方程式(に絡む諸問題）の出生の秘話が
暴かれるでしょう。
8次代數曲線に関する問題は、そのまま世界の何方の＜射影幾何と代數幾何の最初の
講義＞後に出題しても學生が嬉々として喰らいつく初歩中の初歩の問題だと考えますが如
何？
（追伸） 表現の修正：補足ではなく、256ｘ8 - 512ｘ6 + 304ｘ4 - 48ｘ2 + 1 の零点達。
黒枠の双対曲線C*等は、無論、次年度以降の飯高先生の講義後の考査のハードルを
高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
（平成２４年１月１２日付け）
補足と追加問題です。視れば氷解すべく、私が双対曲線C*を求め、図示もし、特異点達
をも求め、図示しました。今回のCには、複接線が___本在ることは、線が引ける幼児でも意
味が分かる問です。また、変曲点が__点在ることも高校生が計算で示しますが、その情報
達を双対曲線C*を求め、その特異点達(尖点や二重点）を求めて探って下さい。
（草色枠の「も解」等は、無論、次年度以降の飯高先生の代数學の講義後の考査のハー
ドルを高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです)
「ガロア理論」の80p (2) の発想は、今回の8次方程式で通用しますか？(東大のは叶うの
で、自明と云わず、どうぞ具現を！)
ところで、ｒｅｉｄさんと飯高先生が触れられておられますが、Miles Reid氏でしょうか？
（→ 参考：「Lectures on Basic Algebraic Geometry by Miles Reid」）
黒枠や紫枠のような問を必ず創作し解いて下さい。（大人向けの問？)初めて自分で自分
をほめたいような問が産声をあげました。
楕円枠内に適当な有理数を挿入し、東大のような問 ｘ3+(____)ｘ2+(_____)=0 を創作し、東大
の云う事が破綻するようにして下さい。
例えば、ｘ3+(69)ｘ2+(194)=0 で破綻しますか？破綻しなければ、ｘ3+(69)ｘ2+(194+5/8)=0 は
如何？東大の云う事が破綻する迄続けて下さい。
破綻はするが、Qの拡大体では破綻しないので、東大の云うような解の表現を必ず具現願
います。過去に回帰し、上の破綻回避策をさぐって下さい。
これは、無論、次年度以降の飯高先生の代数學の講義後の考査のハードルをほんの少
し高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
東大と名古屋大の問題を視て下さい。名古屋大の問題に酷似の模倣創作問題は瞬時に
誰でも出来ます。東大の問題に酷似の模倣創作問題は、「Galoistheorie」をちょっと齧れば
瞬時に誰でも出来ます。（平成２４年１月１３日付け）
Aは何でもいいわけではなく、ｘ3 + 3ｘ2 + A (A∈Nに限定しても)少し「判別式と終結式」を
味讀し、Aを -3 にし、東大の問題に酷似の模倣創作問題：f{ｘ]=ｘ3 + 3ｘ2 + A (A=-3) が産
声をあげました。(あとは殆ど到るところ東大の問題に酷似の模倣創作問題は破綻します）
勝手連的に、飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と射影幾何學とｎ次元
代数多様体の講義達後の考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル問題
を想定しつつ為したものです。
模倣創作問題の紫枠と黒色枠を直ぐ解いて下さい。但し、試験時間内に解けるよう発想を
不本意ですが限定します。東大の問題に酷似の模倣創作問題の紫枠は「判別式と終結式」
の終結式を用いて解答願います。
（無論、発想の自由は保証します。レポートとして、研究室の机上に記名入りで提出を）
名古屋大の問題の(2)や改竄した(2)については、高校生に倣うことはしなくてよいので、双
対曲線C*を求めた後、其れを用いて、(2)を解いて下さい。
私がC*を求め、その特異点も紫で吐露しました。その名は、__________。Cの＿＿＿に対応。
Hint：問題１、問題２、問題３
n=2次曲線では、次年度以降の受講生に申し訳ないので、n=3次以上で考査時間内に可
能な、講義が學生に理解されているか否か判断可能な問題を勝手連的に擬似創作してみ
ました。
此処をご覧の世界の小・中・高・大・院・教育関係者 各位様、実際、時間を測りつつ、東
大と名古屋大の問題や上記の付随する問題達を解いて、その顛末を此処に提示願います。
n=3次以上で、考査時間内に講義が學生に理解されているか否か判断可能な問題達が欲
しいのです。
先ず、真ん中の２つの黒枠の問題達を解いて下さい。（Cに特異点=紫点が存在しますが、
その理由は、C*から判明しますね）その後、実は、C*が3次函数f のグラフ G(f) で、
f[ｘ]=ｘ3+__ｘ2+__ｘ+___ を埋め、東大等紫枠のような問は破綻しますが、Qの或る拡大体 ｋで
他の解が２次以下のαの多項式∈ｋ[α]で表示されるので、必ず具現願います。
（他の解の２つの内一つを提示してもよいのですが．．．皆んな云ってしまうことになる！ガロ
ア群が巡回群故）
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorieと射影幾何學とn次
元代数多様体の講義達後の考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル問
題を想定しつつ為したものです。但し、試験時間内に解けるよう発想を不本意ですが限定し
ます。東大の問題に酷似の模倣創作問題の紫枠は、「判別式と終結式」の終結式を用いて
必ず解答願います。
（無論、発想の自由は保証します。レポートとして研究室の机上に記名入りで提出を）
発想を限定され、終結式を用いるよう促された學生は、一瞬怒りをおぼえたでしょうが、そ
の後の人生で終焉を迎えるまで、終結式に感謝するに相違ない！
「The Sylvester Matrix and Resultants」の３問を解き、その代数曲線の双対曲線を多様な
発想で求め、レポートとして研究室の机上に記名入りで提出を！
見逃すかも知れませんが、4 には一生研究に値することが、さりげなく書いてある！
4. Use the Gr¨obner basis method .................................
(Gr¨obner basis を講義される飯高先生の教室に潜り込みたい！贋學生として)
追伸： 終結式
今回も勝手連的な問題ですが、結論は全て露わにし、導出過程を重視した設問にしまし
た。（平成２４年１月１５日付け）
5のC：f[ｘ，ｙ]=0 の双対曲線C*を導出すると青になることを示して下さい。
αが、ｙ3 - 371293ｙ + 62748517=0 の解なら、σ[α]=-3α2/845 - 7α/5 + 4394/5 も解
であることを導出し、σ2[α]を求め、解を亘り歩くことを確かめて下さい。
この草色枠の問題は、「微分ガロア理論」の模倣です。梅村 浩 先生に倣い、
ｙ ---函数---> ｙ3 - 371293ｙ + 62748517
のグラフを描き、数値解析の講座で履修済の事柄を用いて、ｙ3 - 371293ｙ + 62748517=0
の近似解を、「Newton-Verfahren」の漸化式を導出し、初期値を適当に定め、10項求め、
最小の近似解をαとしたとき、σ[α]、σ2[α]が他の近似解になることを示して下さい。
最初の問題に帰り、双対曲線C*の特異点の近似解達を求めると、紫点達となることを示
して下さい。双対曲線C*の各特異点は、Cの何を反映していますか？
私は、C*の特異点達を視たいので、あのように原点のε近傍のみ図示しましたが、Cの
全貌を視たいなら、-ｘ7 + ｙｘ5 + ｙ3=0 を「Wolfram|Alpha」に挿入を！
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と射影幾何學とｎ
次元代数多様体の講義達後の考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル
問題を想定しつつ為したものです。
4のC：f[ｘ，ｙ]=0 の双対曲線をも求めようと、同様な考察をせずにはいられないでしょう。
すると、想定の範囲外のことが起きて動揺するでありましょう....
Milner Tjuriana numberを、飯高先生はどのような講座で講義されておられるのでしょう
か？Milner Tjuriana number の導出過程を明記し、ご教示願います。
3. の模倣犯になり、設問：Given a rational curve defined parametrically by
ｘ=(ｔ2 + 1)(ｔ4 - 4ｔ2 + 1)/(4ｔ3)、ｙ= -(ｔ - 1)(ｔ + 1)(ｔ4 + 4ｔ2 + 1)/(4ｔ3)
（平成２４年１月１７日付け）
(1) Use this method to find an implicit equation for the following curves：
ｘ=(ｔ2 + 1)(ｔ4 - 4ｔ2 + 1)/(4ｔ3)、ｙ= -(ｔ - 1)(ｔ + 1)(ｔ4 + 4ｔ2 + 1)/(4ｔ3)
「Wolfram|Alpha」に
Table[{((t^2 + 1)*(t^4 - 4*t^2 + 1))/(4*t^3),
-(((t - 1)*(t + 1)*(t^4 + 4*t^2 + 1))/(4*t^3))}, {t, 0 + 1/8, 3, 1/8}]
を 挿入すれば、有理点達が眼前に。Table なんとかを外せば、滑らかな曲線が眼前に現る。
貴方が見出された implicit equation を、C： f[ｘ，ｙ]=0 とする。(飯高先生が過年度解くよう
促されたn=2次曲線の3倍の6次代数曲線となるでしょう。やりがいが無いので、無視するな
んて云う筈がありません。直ぐ取り組む筈。)
4. Use the Gr¨obner basis method ...により、改めて求め、同一になることを確認して下さ
い。(真に重い重要な課題です）
(2) 導出過程を明記し、Cの双対曲線C*を求めて下さい。
定義からCが有理曲線なら、双対曲線C*も有理曲線であることは自明だと有理曲線化を
為さぬ方も存在するでしょうが、自明と云わず、今回の双対曲線C*の有理曲線化を必ず為
して下さい。
3 の如き有理曲線になりましたか？
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体講義達後の
考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したもので
す。
今回の貴方が見出された implicit equation を C：f[ｘ，ｙ]=0 とする。
4. Use the Gr¨obner basis method ...により、改めて求め、同一になることを確認して下さい。
は、為された方は稀有かも.....。為して為された感動を記載願います。
今回の代数曲線とその双対曲線はなぜか「平面曲線の幾何」に存在しません。
(3) 存在しない理由がわかりません。ご教示願います。
改訂版には、今回のCとその双対C*に大きくページを割いて下さるでしょう。
１．いろいろな曲線
１．１ 曲線の観察
１．２ 媒介変数表示の曲線と有理曲線
１．３ Ｃ 曲線とチェビシェフ曲線
１．４ 曲線の２重点
C：16ｘ7 + 48ｙｘ6 + 48ｙ2ｘ5 - 108ｘ5 + 16ｙ3ｘ4 - 180ｙｘ4
- 20ｙ2ｘ3 - 440ｙ3ｘ2 - 640ｙ4ｘ - 256ｙ5 + 3125ｙ3=0
の双対曲線を是非お願い致します。
紫枠は、1 の模倣です。
Hint無しで叶うか考察しつつ、1をも解いて下さい。また、この７曲線の双対曲線を是非求
めて下さい。
（２次曲線が幾つか在りますが、もう卒業されたのなら、3次以上の高次曲線の双対曲線で
構わない）
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体講義達後の
考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したもので
す。紫枠のような
Show that the following curves are rational by finding rational functions x(t) and y(t)
such that f(x(t), y(t))=0.
は、どのような講座で講義なさるのでしょうか？紫枠は、以前の話題に絡む問題です。
（再度解いて下さい）
次は、世界の教授も常用し、考査時のみ持ち込み禁止なんて措置を当然採らぬ講義室
常備のsoft、例えば、「PARI/GP」を試験中も自由に用いることを保証された飯高先生の次
年度+α以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体講義達後の考査のハードルをほんの少し
高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
（平成２４年１月１８日付け）
(草色の曲線は、微分幾何學の他の講義で履修済)
C： 81ｘ6 + 42ｙｘ5 + 108ｘ5 + 9ｙ2ｘ4 - 322ｙｘ4 - 186ｙ2ｘ3 - 450ｙｘ3 - 36ｙ3ｘ2
+ 1327ｙ2ｘ2 + 744ｙ3ｘ + 4250ｙ2ｘ + 144ｙ4 + 1208ｙ3 + 3125ｙ2 = 0
とします。（講義で常用のソフトで伊達にグラフは描かないとこの代数曲線を描いて考察願
います）
（赤線を眼前にし、其れが6次曲線だとは誰も信じないが、C2 で考察故ありえないことは
ありえないと．．．。）（→ 参考図）
追加問題： CもC*も有理曲線であることが知られています。具現願います。
これは、１の模倣です。
終結式(シルベスター行列) を用いる発想を今度は次の１の、例えば、２次曲線
(iv) f(ｘ，ｙ) = 3ｘ-2ｙ-ｙ2 f(ｘ，ｙ) =0 の場合に具現します。
(シルベスター行列) を用いる発想で他の曲線達の双対曲線達を必ず求めて下さい。
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とn次元代数多様体講義達後の
考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したもので
す。
今回は、他の講座で履修済のシルベスター行列が、こんな双対曲線を求める際も重宝し、
今後も他の場面で駆使可能なることの理解を深める為の設問群です。
双対曲線の定義（2012-1 年１２月２５日付け）は（短文で且つ）明確。
（平成２４年１月１９日付け）
飯高先生の射影幾何學を受講された方、したかった方の世界の方々への、こう問題を提
示されたなら誰でも瞬時に出来てしまうという緊急自信速報です。
「連立方程式の回避」の中の例１０：円外からの接線の趣旨に反しますが、終結式を用い
て解いてみました。
高校生が解いてしまう問を敢えて他講座でなされた終結式が理解し、使えるか否かを知り
たくて、此の問題の高校生に倣う発想はもういいから(辟易とは異なります)、敢えて終結式を
用いて解きなさい、と。
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体講義達後の
考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したもので
す。
今回も他の講座で履修済のシルベスター行列がこんな双対曲線を求める際も重宝し、今
後も他の場面で駆使可能なることの理解を深める為の設問群です。
「曲線外の点P(3，1)から引いた接線の方程式」も終結式を用いて解きなさい、と飯高先生
の生の声が聴こえるので、是非既出の如く（→ 参考）
じっと問題の終結式を見て下さい。
(が、飯高先生の次年度以降の出題悶抱いの想定内の問題です。)
終結式(シルベスター行列) を用いて、双対曲線を求める発想を今度は次の4次の代数曲
線 f(ｘ，ｙ)=0 の場合具現し、双対曲線を求めます。（→ 参考）
得た双対曲線：
27X4 + 216YX3 + 540Y2X2 + 432YX2 + 432Y3X + 1728Y2X + 432Y3 + 1152Y2 - 256Y =0
の
(1) 特異点達を求めて下さい。
(2) 求めた特異点を用いて、草色=複接線を求めて下さい。
(3) 求めた特異点を用いて、変曲点達に於ける黒線=接線達を求めて下さい。
上の如く、終結式(シルベスター行列) を用いる発想で答え付きの問題を解いて下さい。
次の例2に遭遇し、双対曲線問題を作りました。各問を解き、C1* の特異点を用いて、C1
の接線=黒線を求めて下さい。
イデアルについて、<ｘ4 - 2ｙｘ2 + ｙ4 - ｙ3 + ｙ2，ｙ - 2ｘ2>=<ｙ2(2ｙ - 1)2，ｙ - 2ｘ2> を証明し、
C1、C2の交点が瞬時に得られることを体験して下さい。
C1*、C2* について、上の如きイデアルを求め、考察願います。 ring_theory は無論、射影
幾何と代数曲線の講義で語られる。
例4 に遭遇し、双対曲線問題が産声をあげました。（平成２４年１月２０日付け）
多くの問が産声をあげましたが、未だ問うべき問題達が在ります。設問し、答えて下さい。
C1* は飯高先生が指定された発想で求めました。（行列のサイズが大きすぎ収まりませんでした）
イデアルについて、I1=<ｘ6 + 3ｙ2ｘ4 + 3ｙ4ｘ2 - 4ｙ2ｘ2 + ｙ6，ｘ3 - ｘ2 + ｙ2>
I2=<ｙ4(ｙ10 + 12ｙ8 - 76ｙ6 + 240ｙ4 - 144ｙ2 + 16)，ｙ4(226ｙ8 + 2931ｙ6 - 14224ｙ4 + 43040ｙ2
+ 11228ｘ - 14088)，1833ｙ12 + 22170ｙ10 - 137424ｙ8 + 424100ｙ6
- 209452ｙ4 - 11228ｘｙ2 - 11228ｙ2 + 11228ｘ2>
とし、I1=I2 を証明し、C1、C2の交点を求めて下さい。
このような I1=I2 の講義が為される講座名をご教示下さい。
I2 の (ｙ10 + 12ｙ8 - 76ｙ6 + 240ｙ4 - 144ｙ2 + 16) から、
Q[ｙ]/<ｙ10 + 12ｙ8 - 76ｙ6 + 240ｙ4 - 144ｙ2 + 16> を構築するとき、これは、Qの正規拡大
体なら証明を、そうでないなら、その理由を記載願います。
y^10 + 12*y^8 - 76*y^6 + 240*y^4 - 144*y^2 + 16 を「Wolfram|Alpha」に挿入すれば嬉
しい情報を教えて下さいます。明らかに、複接線が存在します。求めて下さい。
眼前に顕れた、この10次の代数曲線の双対曲線を多様な発想で求めて下さい。求めるに
要した時間も付記願います。
387420489ｘ10 + 974984255249384448ｙ2ｘ8 + 10885578278976ｙｘ8
+ 53273880936889908723712ｙ4ｘ6 + 313339192654799241216ｙ3ｘ6 - ・・・ =0
のような初体験の代数曲線が得られ慄きましたか？
given angle AKB の例達が在る。∠AKB=90(度)なるケースは知悉で、以前、双対曲線を
用いて、準線、準円を導出した。
飯高先生出題の答の青線の曲線について、青線に点Kから2つの接線をひき、
(1) 其れ等の交角AKBが30度であるようにKが拘束されているときの軌跡を求めて下さい。
（発想）青線の双対曲線を求めることにより、為して下さい。
（私が為したところ、草色を得た。∠AKB=30° か分度器で測定してください)
(2) 其れ等の交角AKBが90度であるようにKが拘束されているときの軌跡を求めて下さい。
（発想）青線の双対曲線を求めることにより、為して下さい。
（AKB のKは交点Kouten の K、交角Koukaku のK、拘束Kousoku の K）
飯高先生出題の答の青線の曲線以外の曲線Cについて、AKB問題を 解かずにはいられ
ないでしょう。
（発想） Cの双対曲線を求めることにより、為して下さい。（→ 参考図）
「ＡＫＢ問題」は視ればすぐさま為さずにはいられないでしょう。（平成２４年１月２１日付け）
勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体講義達後の考査の
ハードルをほんの少し低めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
補足は不要でしょうが、飯高先生の指定された発想では、先ず、射影化です。
補足が蛇足で焦点がぼけるので、ここらで止めます。 直ぐ次問で双対曲線を求め、其れ
を用いて、∠AKB=π/4 を本当に解けば世界初でしょう！
ｘ2 + 4ｙ2 - 1 = 0、 4ｘ2 + ｙ2 - 4 = 0 で云ってもいいのですが、不本意ながら一部隠匿
します。4次の代数曲線 16ｘ4 + 32ｙ2ｘ2 - 56ｘ2 + （隠匿）ｙ4 - 104ｙ2 + 41 = 0
上の諸問題は独創とは程遠い、参考図の模倣犯であることは明らかです。
「G. Weis, F.Gruber: Den Satz von THALES verallgemeinern - aber wie?」に、AKB問題絡
み達が在ります。双対の視座から研究し報告願います。
問題はもう双対の視座から解決済でしょうか？∠AKBは任意です。どのような角度のとき、
「PARI/GP」等、ご使用のSoft が黙して語らずの状況になりますか？数年後この状況が改
善される(進化)と想定されますか？
双対曲線達を事例達で熱く講義した。たとえば、n=2次だが、接線を具体的に求めることを
疎かにしているのだろうと、學生には失礼だが、高校で履修済の接線を具体的に求めること
を要求し、以下の設問を為された。（平成２４年１月２２日付け）
ｘ4 + 2ｙ2ｘ2 + 6ｘ2 + ｙ4 - 54ｙ2 - 3 = 0 上に K1=(1/3，√（242/9 + 2√（571/3）） が在るこ
とを確かめなさい。
(1) K1 を通り、易しい双曲線： ｘ2/4 - ｙ2 = 1 に接する接線達T1、T2 を求めなさい。
(2) 易しい ｘ2/4 - ｙ2 = 1 とT1、T2 のグラフを描きなさい。T1、T2 の為す角を求めなさい。
（描いたグラフに分度器で為す角を測定し,計算で求めた角に確信が持てますか？)
(3) 接点達も必ず求め、A、B とする。∠AK1B は何度か。
ｘ4 + 2ｙ2ｘ2 + 6ｘ2 + ｙ4 - 54ｙ2 - 3 = 0 上に好きなKj(j=2、3、4、5)をとり、上の易しい(1)(2)
(3)を必ず為しなさい。為して気付いたことを記述しなさい。(Hint：∠AKjB は、______)
重要な問： ｘ4 + 2ｙ2ｘ2 + 6ｘ2 + ｙ4 - 54ｙ2 - 3 = 0 の出所を云いなさい。
上で苦労して為したことが理解していただいているかの學生への問：
ｘ2/4 - ｙ2 = 1 を易しい ｘ2/32-ｙ2/12=1 にかえ、上の如き具現を為し、レポートとして提出
しなさい。
Hint：「ＡＫＢ問題」
飯高先生が次年度以降不出来の學生に上の問達を投げかけられ、やはり想定通り、接線
すら求められない學生も存在したので、ｎ=3、4、5、・・・年度以降講義のあり方を其処から始
め、双対曲線の定義を提示され講義なさるに違いない。
（先ず前提に、最低次元の１次元代数曲線の射影化在り)
何の変哲もない2次曲線 C2： ｘ2 + 16ｙ2 - 1 = 0 とAKB 問題から、4次の代数曲線
C4： 256ｘ4 + 512ｙ2ｘ2 - 608ｘ2 + 256ｙ4 - 1568ｙ2 + 353 = 0 が産声をあげた。
（平成２４年１月２３日付け）
C4 の姿は、「Wolfram|Alpha」に願い視てください。C4 は２つの部分に離別している曲線で
しょう。
(1) それぞれから３点ずつ、お好みの点を選び、{K1，K2，K3}、{K4，K5，K6} とし、Kj から
2次曲線 C2： ｘ2 + 16ｙ2 - 1 = 0 に接線をひき、接点 Aj、Bj を求め、∠AjKjBj を求めて
下さい。
(2) 4次の代数曲線 C4 が産声をあげた理由が(1)から判明したでしょう。C4 を導出して下
さい。多様な発想で導出してくだされば嬉しい。
C2 の双対曲線 C2* を求め、それを用いて、C4 の導出は必ず為して下さい。
C2 は何の変哲もない 2次曲線なので、飯高先生の発想をも必ず為して下さい。
(3) 4次の代数曲線 C4 の姿は視てしまったので、その双対 C4* の特異点達の名称は直ぐ
判明でしょう。
実際、その双対 C4* を多様な発想で求め、想定の範囲内の特異点達が出現すること
を連立方程式を解いて示して下さい。また、C4 、C4* のグラフや必要なC4の接超平面
達も描写願います。（→ 参考図）
今回の4次の代数曲線 C4の秘話は明かす義務が在ると考え吐露しました。
（4) C2 はそのままで、π/2以外の他のお気に入りの∠AKBを指定し、代数曲線 C を導出
し、上の如き諸問題を自らに課し、分厚いレポートを研究室の机上に置いておきなさい。
(今後の講義に資するつもりです）
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなり低めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
「ハードルをかなり低めに」と申しましたが、飯高先生すらC4*の導出はおそらく初体験で、
(次数が8次は瞬時に云われる)
92536832ｘ8 + （隠匿）ｙ2ｘ6 - 246136832ｘ6 + 30205857ｙ4ｘ4
- 302861856ｙ2ｘ4 + 236863744ｘ4 + 408068ｙ6ｘ2 - 49480416ｙ4ｘ2
+ 288985088ｙ2ｘ2 - 97935360ｘ2 + 1412ｙ8 + 332608ｙ6
+ 18828544ｙ4 - 90071040ｙ2 + 14745600 = 0
と一部隠匿され、考査問題として出されるでありましょう。
「IIT JEE Circle Hyperbola Common Tangent Part 1」（動画）
「IIT JEE Circle Hyperbola Common Tangent Part 2」（動画）
以前に取り上げた、この問題はそれぞれの双対曲線を求めて瞬時に解決するでしょう。
（類比の問題を双対曲線を求めて解決したい）
(1) C1： ｘ2/4 + ｙ2 - 1 = 0 、 C2： -(ｘ - 1/2)2 + y - 1/3 = 0 の双対曲線 C1*、C2* を求
めて下さい。
(2) C1*、C2* の交点を求めて、それに対応する C1、C2 の接線 T1、T2 を求め図示して下
さい。
同様に
(1) C1： ｘ4 + ｙ4 - 1 = 0 、 C2： -ｘ2 + y - 1/3 = 0 の双対曲線 C1*、C2* を求めて下さい。
(2) C1*、C2* の交点を求めて、それに対応する C1、C2 の接線 T1、T2 を求め図示して下
さい。
また、求めたC2* が正しいか、(Cｊ*)* を求めて必ず確認してください。そして、無論、有理
写像達も明記して、特異点の有無を計算により調査して下さい。 C1----Φ1--->C1*
（Hint） ｘ4 + ｙ4 - 1 = 0 の双対曲線は、
ｘ12 + （隠匿1）ｙ4ｘ8 - 3ｘ8 + 3ｙ8ｘ4 + （隠匿2）ｙ4ｘ4 + 3ｘ4 + ｙ12 - 3ｙ8 + 3ｙ4 - 1 = 0
となるでしょう。不本意ですが、二箇所隠匿致しました。
問： 12次は想定の範囲内ですか？ならば、理由を記載願います。
問： 隠匿箇所は、C1の幾つかの点に於ける接線を求めれば、未定係数でも求められる
筈。具現を！
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなり低めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
上の双対曲線達を求める発想により、共通接線問題を解決する動画をYouTubeへ投稿す
れば、世界にこの発想が蔓延するので具現を！為せば、ボーナス点を与えます、と。
ｘ4 + ｙ4 - 1 = 0 については、「デカルトの精神と代数幾何」で数行に亘り記述が在ります。
講義でもそうなさるのでしょうか？
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２４日付け）
双対曲線を求めて、GRAPESで交点を求めて共通接線を引く、ということを実践しました。
(1) C1： ｘ2/4 + ｙ2 - 1 = 0 、 C2： -(ｘ - 1/2)2 + y - 1/3 = 0 の双対曲線 C1*、C2* を求
めて下さい。
(2) C1*、C2* の交点を求めて、それに対応する C1、C2 の接線 T1、T2 を求め図示して下
さい。
定義に則って、点(ｘ0，ｙ0)を通る接線を双対変換して、ｘ0、ｙ0 を消去しました。
C1*： 4ｘ2 + ｙ2 = 1 、C2*： -ｘ2/4 + ｙ + ｘｙ/2 + ｙ2/3 = 0
GRAPESを使って図示し、交点が、(-0．50，0．08)、(0．50，0．05) 付近
C1、C2 のほぼ共通接線 -50ｘ + 8ｙ + 100 = 0 、 50ｘ + 5ｙ + 100 = 0 を引けました。
(1) C1： ｘ4 + ｙ4 - 1 = 0 、 C2： -ｘ2 + y - 1/3 = 0 の双対曲線 C1*、C2* を求めて下さい。
(2) C1*、C2* の交点を求めて、それに対応する C1、C2 の接線 T1、T2 を求め図示して下
さい。
C1*：接線 ｘ03・ｘ + ｙ03・ｙ -1 = 0 を双対変換した (-ｘ03，-ｙ03) の軌跡です。
1/（ｐ1/3+ｑ1/3-1） の分母の有理化をする要領です．．．。1変数はすぐ有理化されて、
ｘ3+ｙ3-3ｙ2+3ｙ-1 となるので、残った変数を例のユークリッドの互除法で有理化する方法
をとりました。
[(-3ｙ2+3ｙ+Y+X-1)P(ｙ)+(ｙ3-Y)Q(ｙ)=1 となるP(ｙ)、Q(ｙ)を構成する要領で．．．]
最終的な結果を、Maximaに因数分解させてみると、
(ｘ+ｙ-1)(ｘ2+ｙ2-ｘｙ+ｘ-2ｙ+1)(ｘ2+ｙ2-ｘｙ-2ｘ+ｙ+1)(ｘ2+ｙ2-ｘｙ+ｘ+ｙ+1)(ｘ2+ｙ2+2ｘｙ+ｘ+ｙ+1)
＝ｘ9+ｙ9+3ｘ6ｙ3+3ｘ3ｙ6-3ｘ6-3ｙ6+21ｘ3ｙ3+3ｘ3+3ｙ3-1
という恒等式を得ました。ここで、ｘ に、(-ｘ)4/3 、ｙ に、(-ｙ)4/3 を代入というより、
ｘ=ａ4、ｙ=ｂ4 として、ａ3=-ｘ、ｂ3=-ｙ と置き直せば、
C1*： ｘ12 + 3ｙ4ｘ8 - 3ｘ8 + 3ｙ8ｘ4 + 21ｙ4ｘ4 + 3ｘ4 + ｙ12 - 3ｙ8 + 3ｙ4 - 1 = 0
が、求めるもの（空舟さん；平成２４年１月２８日付けで加筆修正）
（Hint） ｘ4 + ｙ4 - 1 = 0 の双対曲線は、
ｘ12 + （隠匿1）ｙ4ｘ8 - 3ｘ8 + 3ｙ8ｘ4 + （隠匿2）ｙ4ｘ4 + 3ｘ4 + ｙ12 - 3ｙ8 + 3ｙ4 - 1 = 0
となるでしょう。
ということでしょう．．．。よって、（隠匿1）=3 、（隠匿2）=21
C2*：第1例の時のように、接線 -ｘ0・ｘ + (ｙ + ｙ0)/2 - 1/3 = 0 を双対変換して、
[ｘ0，1/2，ｙ0/2-1/3] -(ｘ/2ｙ)2 + 1/y + 1/3 = 0 、-ｘ2+4ｙ+4ｙ2/3=0 という風に求めました。
交点はGRAPESで拡大して、(±0．92，0．20)付近と分かるので、C1、C2 のほぼ共通接線
±92ｘ + 20ｙ + 100 = 0 を引けました。途中の恒等式はなんとも壮絶に感じます．．．。
多様体で徘徊し、先ほど、京大教授の講義後の理解度チェク問題に遭遇（草色枠）しまし
た。（平成２４年１月２５日付け）
M3 を視て、簡単過ぎ、罠が直ぐ見抜けるよう教育的配慮が為されているので、少し見抜
きにくい模倣の問題を作成しました。M3 とその模倣を同時進行的に多様体ではないことを
証明して下さい。
答えに近い大Hint：赤線で、その可約代数曲線をグラフ化しています。ついでに、黄色枠
の問題も必ず解いて下さい。接線かと馬鹿にしないで求めて下さい。
（接線として、初体験の
（1/4）｛（1/4）(16/25+32/(5
)｝+（2/5）√｛16/25+32/(5)｝+2√｛（1/5）(16/25+32/(5
))｝+24/25+｛8/(5)｝X+｛-(1/2)√｛16/25+32/(5
)｝-2/5- 2/｝Y+1＝０のようなのが出現する筈ですので．．．。）
問題のM1、M2も解いて下さい。直ぐ、その双対化を為し、設問し、解かずにはいられない
でしょう。
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなり低めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
今回は、M2 を考察したい。M2は、S1： ｘ2 - ｙ2 + ｚ2 - 1 = 0 、S2： ｚ3 - ｘｙ = 0 の交わり
である。S1、S2 の共通接平面を幾つか求めたい。
「IIT JEE Circle Hyperbola Intersection」の模倣ですが、双対曲面Sj* を求めてそれを為し
たい。
(1) 双対曲面S* の定義を、参考に倣い為しなさい。
(2) 先ず、双対曲面S1*、S2* を多様な発想で求めて下さい。必ず rational map Sj--->Sj*
を明記すること！
京大の講義に倣う： S1*∩S2*は多様体ですか？ならば、証明を！
(3) S1*∩S2*上の具体的な点、例えば、(-1/(3
)， 1/(3)， 1) を求め、その点に対応するS1、S2の共通接平面を求めてください。（このようなことを、あと4点求め為してください)
大変でもS1* は講義の発想で求めて下さい。
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなり低めと高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したもの
です。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２５日付け）
問題について： 多様体についていろいろ調べたところ、集合がｎ次元多様体であるとは、
その集合の任意の開集合がRn上の開集合と同相である、（同相写像=全単射で順逆ともに
連続な写像で写せる）という認識を持ちました。
M1： ｘ2 + ｙ3 + ｚ5 = 1 において、ｘ、ｙ は任意の値をとり、それに対して、ｚ がただ一つ決
まるから、M1上の点(ｘ，ｙ，ｚ)--->(ｘ，ｙ) という同相写像によって、R2上に全単射できる。M1
は２次元多様体。
M2： ２本の開曲線のようである。M2は、ｘ=0 をとれないが、ｘ＞0、ｘ＜0 の両側の点を含
む。ｙ を１つ決めると、それぞれの範囲にM2上の点が1つずつ、単調変化曲線 ｘｙ = ｚ3 と
円 ｘ2 + ｚ2 = 1 + ｙ2 の交点として存在する。
ということは、それぞれの範囲で、(ｘ，ｙ，ｚ)--->ｙ等とすれば、R1に対応する。この場合、
M2は、１次元多様体と言ってよい、のかな。
M3： ｙ = ｘ2 と ｙ = -ｘ2 を合わせたもの（X字型）である。(0，0)付近は１次元開集合と同相
ではないように思われる。異なる４点(±1，±1)から(0，0)に連続で向かう様子はR1では不
可能のように思われる。M3は多様体ではない。
『今回は、M2 を考察したい。M2は、S1： ｘ2 - ｙ2 + ｚ2 - 1 = 0 、S2： ｚ3 - ｘｙ = 0 の交わり
である。S1、S2 の共通接平面を幾つか求めたい。(1) 双対曲面S* の定義を、参考に倣い
為しなさい。』について、
Sが同次方程式 F(ｘ，ｙ，ｚ，ｗ)=0 で表されているとする。[ｘ，ｙ，ｚ，ｗ]--->[∇F(ｘ，ｙ，ｚ，ｗ)]
という写像を考えて、[ｘ，ｙ，ｚ，ｗ]がS上を動く時に、[∇F]の軌跡をS*と定義する。
（通常の言葉で書けば、S上の点(ｘ，ｙ，ｚ)における接平面 ａｘ + ｂｙ + ｃｚ + 1 = 0 に対して、
(ａ，ｂ，ｃ)がとる軌跡をS*と定義する。）
『(2) 先ず、双対曲面S1*、S2*を多様な発想で求めて下さい。必ず rational map Sj--->Sj*
を明記すること！』について、
S1： ｘ2 - ｙ2 + ｚ2 - 1 = 0 の接平面の集合は、
{ ａｘ - ｂｙ + ｃｚ - 1 = 0 | ａ2 - ｂ2 + ｃ2 - 1 = 0 }
(rational map： [ｘ，ｙ，ｚ，ｗ]--->[2ｘ，-2ｙ，2ｚ，-2ｗ])
S1*： {(-ａ，ｂ，-ｃ)| ａ2 - ｂ2 + ｃ2 - 1 = 0 } 即ち、ｘ2 - ｙ2 + ｚ2 - 1 = 0 [このように、S1*= S1]
あるいは、２次曲線なので、逆行列の考えを適用できて、この場合、対角行列であるから
<1,-1,1,-1>-1=<1,-1,1,-1> となって同じ結果。
S2： ｚ3 - ｘｙ = 0 について、∇(ｚ3 - ｘｙｗ)=(-ｙｗ，-ｘｗ，3ｚ2，-ｘｙ) より
(rational map: [ｘ，ｙ，ｚ，ｗ]--->[-ｙｗ，-ｘｗ，3ｚ2，-ｘｙ])
S2*： {(-ｂ/-ａｂ，-ａ/-ａｂ，3ｃ2/-ａｂ)| ｃ3 - ａｂ = 0 }
ａ=1/ｘ、ｂ=1/ｙ、ｃ3=1/ｘｙ によって ａ、ｂ、ｃ を消去すれば、 S2*： ｚ3 + 27ｘｙ = 0
『京大の講義に倣う： S1*∩S2*は多様体ですか？ならば、証明を！』について、
S1*∩S2*は、S1∩S2と同様で、２本の開曲線、１次元多様体である。
『(3) S1*∩S2*上の具体的な点、例えば、(-1/(3
)， 1/(3)， 1) を求め、その点に対応するS1、S2の共通接平面を求めてください。（このようなことを、あと4点求め為してくだ
さい)』について、
S1*∩S2*： ｘｙ = -ｚ3/27 かつ ｘ2 - ｙ2 = 1 - ｚ2 には挙げられたように、
点(-1/(3
)， 1/(3)， 1) 等が含まれるので、-ｘ/(3) + ｙ/(3) + z + 1 = 0 等はS1、S2 の共通接平面となるはず。
同様にして、他に、ｚ=3 のとき、 (ｘ，ｙ)=±(√(√17-4)，√(√17+4))
ｚ=-3 のとき、 (ｘ，ｙ)=±(√(√17-4)，-√(√17+4))
と求められたS1*∩S2*の点によって、±√(√17-4)ｘ±√(√17+4)ｙ±3ｚ+1=0
（複号は-が偶数個となるように）
という４個のS1、S2 の共通接平面を求められました。（イメージし辛いですが．．．。）
ｐｘ2 + ｑｙ2 - ｒ = 0 の点(ａ，ｂ)での接線は、簡単に、 ｐａｘ + ｑｂｙ - ｒ = 0 と書けるというこ
とを初めて習った時はちょっと衝撃的でした。
f(ｘ，ｙ)を同次化した式を F(ｘ，ｙ，ｚ) とすると、点(ａ，ｂ)での f(ｘ，ｙ)=0 の接線は次のように
書けます。
(∇F)[ｘ=ａ，ｙ=ｂ]・(ｘ，ｙ，ｚ) = 0 、z = 1
一般に、F(ｘ，ｙ，ｚ) がｎ次同次多項式なら、 (∇F)・(ｘ，ｙ，ｚ) = ｎF となります。
[ｘp・ｙq・ｚｒ の項について、 (∇ｘp・ｙq・ｚｒ)・(ｘ，ｙ，ｚ)=(ｐ+ｑ+ｒ)ｘp・ｙq・ｚｒ=ｎｘp・ｙq・ｚｒ となるから。]
そういうわけで、上の接線は確かに点(ａ，ｂ)を通ることが分かります。
F(ｘ，ｙ，ｚ) = A/B の同次有理関数の場合も、A、Bの次数を ａ、ｂ とすると、
BF=A として、 (∇B)F + B∇F = ∇A
∇F = (∇A - F∇B)/B = (∇A - (A/B)∇B)/B
∇F・(ｘ，ｙ，ｚ) = (ａA - (A/B)ｂB)/B = (ａ - ｂ)F を得ます。
２次式の双対が逆行列で求められることについて、理解しましたので書き留めておきます。
点Xの横/縦ベクトル表示をそれぞれ {X}/(X) と書くことにする。
２次曲線あるいは２次曲面Sを射影化した２次形式の式が対称行列Pを使って、{X}P(X)=0
と書かれているとする。
(∂/∂x){X}P(X) = (1，0，0)P(X)+{X}P(1；0；0)=2{X}A(1；0；0) 等のように、∇[{X}A(X)]=2{X}P
rational map： {X}--->2{X}P より、 S*： {{X}=2{A}P | {A}P(A)=0}
ここで、Pの逆行列をQとすると、{X}Q(X)=(2{A}P)Q(2P(A))=4{A}P(A)=0 となるから、行列Q
が、２次形式として、求める S* の方程式を与える。
Ｓ（Ｈ）さんより、空舟さんへのコメントです。（平成２４年１月２６日付け）
投稿刹那、制覇 していただき感謝感激雨霰です。M1 の2次+3次の代数曲面の双対曲面
M1*を求めて下さい。（グラフは双方とも描写し、双方に５つの接平面をも描写を）
双対曲面M1*を「ｇｒａｐｅｓ」等にまかせて(依存して)（得る時間を計測）
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなり高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
(他の講座で既習済の多様体との絡みも睨み．．．）
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２６日付け）
検索していたら、双対曲線について書かれた論文を見つけました。「射影平面曲線の双対
の計算と...」というものです。
f(ｘ，ｙ，ｚ)を、(1)多少変数変換した式の (2)判別式を (3)多少変数変換して (4)同次化を行
う と、f(ｘ，ｙ，ｚ)の双対曲線が得られる という内容でした。大がかりな計算は判別式の１回
で済む、というのが魅力的に感じました。
『M1 の2次+3次の代数曲面の双対曲面M1*を求めて下さい。』について、
例によって定義に従った考え方： M1： ｘ2 + ｙ3 + ｚ5 - 1 = 0
∇F=[2ｘ，3ｙ2，5ｚ4，3ｘ2ｗ2+2ｙ3w-5ｗ4]
ａ=ｘ/2、 ｂ2=ｙ/3、 ｃ4=ｚ/5、 ｄ5=ａ2ｄ3+ｂ3ｄ2+ｃ5、 ｗ=3ａ2ｄ2+2ｂ3ｄ-5ｄ4
これらの関係式から、ｘ、ｙ、ｚ、ｗ の方程式を何とかして得れば、それが答えになるでしょう。
ａ2ｄ3+ｂ3ｄ2+ｃ5-ｄ5=0 の解 ｄ を使って、ｗ-3ａ2ｄ2-2ｂ3ｄ+5ｄ4 を、ａ、ｂ、ｃ の多項式で表現
する。
(3ａ2ｄ2+2ｂ3ｄ-5ｄ4)Ａ+(ａ2ｄ3+ｂ3ｄ2+ｃ5-ｄ5-ｗ)Ｂ=Ｃ(ａ，ｂ，ｃ，ｗ)
となる多項式A、Bを構成すれば原理的にはできそうです。
得られた式 Ｃ(ａ，ｂ，ｃ，ｗ) について、さらに、
Ｃ(ａ，ｂ，ｃ，ｗ)D+(ｂ2-ｙ/3)E=G(ａ，ｃ，ｙ，ｗ) 、G(ａ，ｃ，ｗ)H+(ｃ4-ｚ/5)I=J(ａ，ｙ，ｚ，ｗ)
等を構成して、ａ=ｘ/2 を代入すれば、求める方程式 F*(ｘ，ｙ，ｚ，ｗ)を得るはずででしょう。
ところで、「終結式を m=2＋1度使用法」を理解しました。この方法なら、コンピュータに計
算を投げつけられると思います。
ｘ2+ｙ3+ｚ5-1=0 、 ｘ・X+ｙ・Y+ｚ・Z+1=0
この２式が共通解を持つから、
det{{1,0,ｙ3+ｚ5-1},{X,Yy+Zz+1,0},{0,X,Yy+Zz+1}}=ｑ2+pX2 where ｐ=ｙ3+ｚ5 -1、ｑ=Yy+Zz+1
ｙについての判別式： det{.......}=27ｐ2ｘ6-12ｐｑｘ4ｙ2+2ｐｘ2ｙ6+4ｑ3ｘ4-ｑ2ｘ2ｙ4
where ｑ=2(Zz+1)、ｐ=(Zz+1)2+(ｚ5-1)X2
ｚについての判別式：19×19の行列式をコンピュータに打ち込むと．．．駄目でした！行列
が大きすぎました。
「ふと思う、関係がある法」について、
ｘ=2ａ/(3ａ2+2ｂ3-5) 、ｙ=3ｂ2/(3ａ2+2ｂ3-5) 、ｚ=5ｃ4/(3ａ2+2ｂ3-5) 、ａ2+ｂ3+ｃ5-1=0
から、ｘ、ｙ、ｚ の関係を見つける。
ｙ/ｘ=3ｂ2/2ａ 、ｚ/ｘ=5ｃ4/2ａ より、 ａ3+{2(y/x)/3}3/2+{2(z/x)/5}5/4-ａ=0
また、 １/ｘ=(3ａ2+2ｂ3-5)/2ａ=(3ａ-5/ａ)/2+{2(y/x)/3}3/2
この２式から、ａ を resultant により消去させました。
-8ｘ3Y4-8ｘ3Y3Z-25ｘ3Y2-18ｘ3YZ+27ｘ3Z2-20ｘ3+24ｘ2Y3
+24ｘ2Y2Z+32ｘ2Y+72ｘ2Z-24ｘY2-24ｘYZ+20ｘ+8Y+8Z = 0
where Y={2(ｙ/ｘ)/3}3/2，Z={2(ｚ/ｘ)/5}5/4
このあと、２次根のYと４次根のZを有理化すれば答えが出るでしょう。
最大次数を考察すると、最終的に、ｘ24、ｘ-24ｙ48、ｘ4ｚ20 等の項があって、４８次曲面とい
うことになりそうです。
Zの2n+1次の項の符号を変えたものを掛けさせました。
(27ｘ3Z2-8ｘ3Y3Z+・・・)(27ｘ3Z2+8ｘ3Y3Z+・・・)=729ｘ6Z4-64ｘ6Y6Z2+・・・-800ｘ4+400ｘ2
Zの4n+2次の項の符号を変えたものを掛けさせました。
=531441ｘ12Z8-4096ｘ12Y12Z4+・・・+160000ｘ4
ここで、Y={2(ｙ/ｘ)/3}3/2、 Z={2(ｚ/ｘ)/5}5/4 を代入し、ｙの整数次の部分をP、ｙの半整数
次の部分Qとおいて、
P=671088640000000000ｙ24/(282429536481ｘ7)+...1+1562500000000ｘ9
Q=-(9765625・273/2ｘ16(ｙ/ｘ)45/2)/343/2・・・+(1220703125・225/2ｘ8(ｙ/ｘ)3/2)/33/2
(P+Q)(P-Q)=P2-Q2=0 が求める有理式を与えるでしょう。
今回は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達
後の考査のハードルをもの凄く高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したもので
す。 （平成２４年１月２７日付け）
（無論、次数は瞬時に言えるが具現など未体験ゾーンの飯高先生すら不可能な予想問題です）
(1) C： ｘ4 + ｙ4 - 1 = 0 の双対曲線は、想定の範囲内（？）の次数ですか？
C*： ｘ12 + 3ｙ4ｘ8 - 3ｘ8 + 3ｙ8ｘ4 + (隠匿)ｙ4ｘ4 + 3ｘ4 + ｙ12 - 3ｙ8 + 3ｙ4 - 1=0
「C* の双対はC」は自明とは云わず、多様な発想で具現を！
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
前述で、互除法を使って求めました。また、共役が有効だと理解しました。(隠匿)=21
C*： ｘ12 + ｙ12 + 3ｘ8ｙ4 + 3ｘ4ｙ8 - 3ｘ8 - 3ｙ8 + 21ｘ4ｙ4 + 3ｘ4 + 3ｙ4 - 1=0 において、
左辺=Πk=1～3、ｊ=1～3(ｘ4/3ａｋ + ｙ4/3ａｊ - 1 ) where ａ3=1、ａ≠1
最低次元の1次元の n=2、3、4、5、6、7、8、・・・次代數曲線Cについて、我々は世界の誰
よりも数多の双対曲線C*を具現した。
C： ｘ5 + ｙ5 - 1 = 0
C*： ｘ20 - 4ｙ5ｘ15 + 4ｘ15 + 6ｙ10ｘ10 + (隠匿1)・ｙ5ｘ10 + 6ｘ10 - 4ｙ15ｘ5
+ 124ｙ10ｘ5 - (隠匿2)・ｙ5ｘ5 + 4ｘ5 + ｙ20 + 4ｙ15 + 6ｙ10 + 4ｙ5 + 1=0
「C* の双対はC」は自明とは云わず、多様な発想で具現を！
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
(1-p-q)(1+p+q)(1-p+q)(1+p-q)(1-pi-qi)(1+pi+qi)(1-pi+qi)(1+pi-qi)
*(1-p-qi)(1-p+qi)(1+p+qi)(1+p-qi)(1-pi-q)(1+pi-q)(1+pi+q)(1+pi+q)
[このような段階でコンピュータに直接投げつけると反抗します...]
=(1-p^2-2pq-q^2)(1-p^2+2pq-q^2)(1+p^2+2pq+q^2)(1+p^2-2pq+q^2)
*(1-2p+p^2+q^2)(1+2p+p^2+q^2)(1-2q+p^2+q^2)(1+2q+p^2+q^2)
=((1-p^2-q^2)^2 - 4p^2q^2)((1+p^2+q^2)^2 - 4p^2q^2)
*((1+p^2+q^2)^2 - 4p^2)((1+p^2+q^2)^2 - 4q^2)
ここでコンピュータに投げつけて...、結果だけ持ってくると、
(ｙ-ｘ-1)(ｙ-ｘ+1)(ｙ+ｘ-1)(ｙ+ｘ+1)(ｙ2+ｘ2-2ｘ+1)(ｙ2+ｘ2+2ｘ+1)(ｙ2-2ｙ+ｘ2+1)
*(ｙ2+2ｙ+ｘ2+1)(ｙ2-2ｘｙ+ｘ2+1)(ｙ2+2ｘｙ+ｘ2+1)
=ｙ16-4ｘ4ｙ12-4ｙ12+6ｘ8ｙ8-124ｘ4ｙ8+6ｙ8-4ｘ12ｙ4
-124ｘ8ｙ4-124ｘ4ｙ4-4ｙ4+ｘ16-4ｘ12+6ｘ8-4ｘ4+1
ここで、忘れていた負号を補うと
C*： ｘ20 - 4ｙ5ｘ15 + 4ｘ15 + 6ｙ10ｘ10 + 124ｙ5ｘ10 + 6ｘ10 - 4ｙ15ｘ5
+ 124ｙ10ｘ5 - 124ｙ5ｘ5 + 4ｘ5 + ｙ20 + 4ｙ15 + 6ｙ10 + 4ｙ5 + 1=0
を得る。（隠匿1=隠匿2=124）・・・（空舟さん；平成２４年１月２８日付けで加筆修正）
C： ｘ6 + ｙ6 - 1 = 0
C*： ｘ30 + 5ｙ6ｘ24 - 5ｘ24 + 10ｙ12ｘ18 + 605ｙ6ｘ18 + 10ｘ18 + 10ｙ18ｘ12
- (隠匿１)・ｙ12ｘ12 + (隠匿２)・ｙ6ｘ12 - 10ｘ12 + 5ｙ24ｘ6 + 605ｙ18ｘ6
+ (隠匿３)・ｙ12ｘ6 + 605ｙ6ｘ6 + 5ｘ6 + ｙ30 - 5ｙ24 + 10ｙ18 - 10ｙ12 + 5ｙ6 - 1=0
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
ａ=ｅ-2π/5 によって、 ｂ=ａ2、ｃ=ａ3、ｄ=ａ4 として、
(1-p-q)(1-pa-q)(1-pb-q)(1-pc-q)(1-pd-q)(1-p-qa)(1-pa-qa)(1-pb-qa)(1-pc-qa)
*(1-pd-qa)(1-p-qb)(1-pa-qb)(1-pb-qb)(1-pc-qb)(1-pd-qb)(1-p-qc)(1-pa-qc)
*(1-pb-qc)(1-pc-qc)(1-pd-qc)(1-p-qd)(1-pa-qd)(1-pb-qd)(1-pc-qd)(1-pd-qd)
ここで、ａ+ｄ=A、ｂ+ｃ=B とすると、A+B=-1、AB=-1 なので、
(1-pa-q)(1-pd-q)=(1-Ap-2q+p^2+Apq+q^2)
(1-pb-q)(1-pc-q)=(1-Bp-2q+p^2+Bpq+q^2)
(1-p-qa)(1-p-qd)=(1-2p-Aq+p^2+Apq+q^2)
(1-p-qb)(1-p-qc)=(1-2p-Bq+p^2+Bpq+q^2)
(1-pa-pa)(1-pd-pd)=(1-Ap-Aq+p^2+2pq+q^2)
(1-pb-pb)(1-pc-pc)=(1-Bp-Bq+p^2+2pq+q^2)
(1-pa-qb)(1-pd-qc)=(1-Ap-Bq+p^2+Apq+q^2)
(1-pb-qd)(1-pc-qa)=(1-Bp-Aq+p^2+Bpq+q^2)
(1-pc-qd)(1-pb-qa)=(1-Bp-Aq+p^2+Apq+q^2)
(1-pa-qc)(1-pd-qb)=(1-Ap-Bq+p^2+Bpq+q^2)
(1-pb-qc)(1-pc-qb)=(1-Bp-Bq+p^2+Apq+q^2)
(1-pa-qd)(1-pd-qa)=(1-Ap-Aq+p^2+Bpq+q^2)
(Ap+Bq-Apq)(Bp+Aq-Bpq)=(-q+Ap-Aq-Apq)(-q+Bp-Bq-Bpq)
=q^2+q(p-q-pq)+(p-q-pq)^2 などのようにして
(1-p-q)*((1-2q+p^2+q^2)^2+(p-pq)(1-2q+p^2+q^2)-(p-pq)^2)
*((1-2p+p^2+q^2)^2+(q-pq)(1-2p+p^2+q^2)-(q-pq)^2)
*((1+p^2+2pq+q^2)^2+(p-q)(1+p^2-2pq+q^2)-(p-q)^2)
*((1+p^2+q^2)^2+(p-q-pq)(1+q+p^2+q^2)+q^2+(p-q-pq)^2)
*((1+p^2+q^2)^2-(p-q+pq)(1+p+p^2+q^2)+p^2+(p-q+pq)^2)
*((1+p^2+q^2)^2-(p+q-pq)(1-pq+p^2+q^2)+pq^2+(p+q-pq)^2)
という風に計算しようとしたが、どこか間違えたのか展開がうまくいかず、壁に当た
りました。
C： ｘｎ + ｙｎ - 1 = 0
ｎ=7、8、9、10、11、・・・、2012、2013 の双対C*がどこまで瞬時に叶うか、おかれた環境
に応じて具現し報告願います。
（空舟さんへ） コンピュータに打ち込むとだめでした、とどの次数でコンピュータが黙して
語らずの状況になったか報告願います。
C： ｘ7 + ｙ7 - 1 = 0
C*： ｘ42 - 6ｙ7ｘ35 + 6ｘ35 + （隠匿達） + 15ｙ14 + 6ｙ7 + 1=0
追伸； C： ｘ8 + ｙ8 - 1 = 0 の双対曲線は隠匿などせず晒しまくります。
C*： x^56 + 7*y^8*x^48 - 7*x^48 + 21*y^16*x^40 + 11963*y^8*x^40 + 21*x^40
+ 35*y^24*x^32 - 187383*y^16*x^32 + 187383*y^8*x^32 - 35*x^32
+ 35*y^32*x^24 + 424837*y^24*x^24 + 5150355*y^16*x^24
+ 424837*y^8*x^24 + 35*x^24 + 21*y^40*x^16 - 187383*y^32*x^16
+ 5150355*y^24*x^16 - 5150355*y^16*x^16 + 187383*y^8*x^16
- 21*x^16 + 7*y^48*x^8 + 11963*y^40*x^8 + 187383*y^32*x^8
+ 424837*y^24*x^8 + 187383*y^16*x^8 + 11963*y^8*x^8
+ 7*x^8 + y^56 - 7*y^48 + 21*y^40 - 35*y^32 + 35*y^24
- 21*y^16 + 7*y^8 - 1=0
は、疑問の余地は本当に無いので言及不要ですが、上を「Wolfram|Alpha」に挿入し、何故
か拒絶さる（挿入欄何故ケチる？)
逆に、C*： x^56 +・・・=0 からCの導出の最速の発想が欲しいのです。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
ｎ=7では、ｎ=4の結果を使う方法で、C： ｘ7 + ｙ7 - 1 = 0
f(1-ｘ-ｙ)f(1-ｘａ-ｙ)f(1-ｘ-ｙａ)f(1-ｘａ-ｙａ) （ただし、ａ=（1+
ｉ）/2）=( x^9+y^9+3*x^6*y^3+3*x^3*y^6-3*x^6-3*y^6+21*x^3*y^3+3*x^3+3*y^3-1)
*(-x^9+y^9+3*x^6*y^3-3*x^3*y^6-3*x^6-3*y^6-21*x^3*y^3-3*x^3+3*y^3-1)
*( x^9-y^9-3*x^6*y^3+3*x^3*y^6-3*x^6-3*y^6-21*x^3*y^3+3*x^3-3*y^3-1)
*(-x^9-y^9-3*x^6*y^3-3*x^3*y^6-3*x^6-3*y^6+21*x^3*y^3-3*x^3-3*y^3-1)
これを計算させることによって、
C*：ｘ42-6ｘ35ｙ7+6ｘ35+15ｘ28ｙ14-2736ｘ28ｙ7+15ｙ28-20ｘ21ｙ21-20586ｘ21ｙ14
-20586ｘ21ｙ7-20ｘ21+15ｘ14ｙ28-20586 ｘ14ｙ21+131727ｘ14ｙ14-20586ｘ14ｙ7
+15ｘ14-6ｘ7ｙ35-2736ｘ7ｙ28-20586ｘ7ｙ21-20586ｘ7ｙ14-2736ｘ7ｙ7-6ｘ7+ｙ42
-6ｙ35+15 ｙ28-20ｙ21+15ｙ14+6ｙ7+1=0
（空舟さん；平成２４年１月２８日付けで加筆修正）
C： ｘ9 + ｙ9 - 1 = 0 の双対を自ら本気で求め、その双対を求めよ。
（平成２４年１月２７日付け）
「えい！」と次の72次代数曲線を「Wolfram|Alpha」に挿入し、何故か拒絶さる（それどころ
か挿入することすら拒絶される、あゝ)
x^72 - 8*y^9*x^63 + 8*x^63 + 28*y^18*x^54 + 51416*y^9*x^54 + 28*x^54
- 56*y^27*x^45 + 1549640*y^18*x^45 - 1549640*y^9*x^45 + 56*x^45 + 70*y^36*x^36
+ 6787544*y^27*x^36 + 151020580*y^18*x^36 + 6787544*y^9*x^36 + 70*x^36
- 56*y^45*x^27 + 6787544*y^36*x^27 - 581991920*y^27*x^27 + 581991920*y^18*x^27
- 6787544*y^9*x^27 + 56*x^27 + 28*y^54*x^18 + 1549640*y^45*x^18
+ 151020580*y^36*x^18 + 581991920*y^27*x^18 + 151020580*y^18*x^18
+ 1549640*y^9*x^18 + 28*x^18 - 8*y^63*x^9 + 51416*y^54*x^9 - 1549640*y^45*x^9
+ 6787544*y^36*x^9 - 6787544*y^27*x^9 + 1549640*y^18*x^9 - 51416*y^9*x^9
+ 8*x^9 + y^72 + 8*y^63 + 28*y^54 + 56*y^45 + 70*y^36 + 56*y^27 + 28*y^18 + 8*y^9
+ 1=0
今回の C： ｘｎ + ｙｎ - 1 = 0 の双対曲線は帰納的に導出叶うでしょうか？先ず、n=9 は終
了したので、n=9+1 をお願い致します。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２７日付け）
式が長い時には、「Ｍａｘｉｍａ」を使ってますが、掛け算は一々"*"を打たないといけないの
が面倒．．．。
ｎ=合成数+1 の時は、ｎ=約数+1 の時の結果を使う方法で：
(ｎ=9+1 でも ｎ=3+1 の結果を使う方法で：)
C： ｘ10 + ｙ10 - 1 = 0
f(1，X，Y)=X9+Y9+3X6Y3+3X3Y6-3X6-3Y6+21X3Y3+3X3+3Y3-1
を利用して、 [ａ=e2π/9、 ａ2=ｂ、 A=ａ3=（-1+i
）/2、 A2=B、 A3=1]f(1，X，Y)f(1，Xa，Y)f(1，Xb，Y)f(1，X，Ya)f(1，X，Yb)f(1，Xa，Ya)f(1，Xb，Yb)f(1，Xb，Ya)f(1，Xa，Yb)
=(X^9+Y^9+ 3 *X^6*Y^3+ 3 *X^3*Y^6- 3 *X^6- 3 *Y^6+ 21 *X^3*Y^3+ 3 *X^3+ 3 *Y^3-1)
*(X^9+Y^9+3*B*X^6*Y^3+3*A*X^3*Y^6-3*B*X^6- 3 *Y^6+21*A*X^3*Y^3+3*A*X^3+ 3 *Y^3-1)
*(X^9+Y^9+3*A*X^6*Y^3+3*B*X^3*Y^6-3*A*X^6- 3 *Y^6+21*B*X^3*Y^3+3*B*X^3+ 3 *Y^3-1)
*(X^9+Y^9+3*A*X^6*Y^3+3*B*X^3*Y^6- 3 *X^6-3*B*Y^6+21*A*X^3*Y^3+ 3 *X^3+3*A*Y^3-1)
*(X^9+Y^9+3*B*X^6*Y^3+3*A*X^3*Y^6- 3 *X^6-3*A*Y^6+21*B*X^3*Y^3+ 3 *X^3+3*B*Y^3-1)
*(X^9+Y^9+ 3 *X^6*Y^3+ 3 *X^3*Y^6-3*B*X^6-3*B*Y^6+21*B*X^3*Y^3+3*A*X^3+3*A*Y^3-1)
*(X^9+Y^9+ 3 *X^6*Y^3+ 3 *X^3*Y^6-3*A*X^6-3*A*Y^6+21*A*X^3*Y^3+3*B*X^3+3*B*Y^3-1)
*(X^9+Y^9+3*A*X^6*Y^3+3*B*X^3*Y^6-3*B*X^6-3*A*Y^6+ 21 *X^3*Y^3+3*A*X^3+3*B*Y^3-1)
*(X^9+Y^9+3*B*X^6*Y^3+3*A*X^3*Y^6-3*A*X^6-3*B*Y^6+ 21 *X^3*Y^3+3*B*X^3+3*A*Y^3-1)
まず、共役ごとに展開させると有理式になり、
=(X^9+Y^9+ 3*X^6*Y^3+ 3*X^3*Y^6- 3*X^6- 3*Y^6+ 21*X^3*Y^3+ 3*X^3+ 3*Y^3-1)
*(Y^18-3*X^3*Y^15-6*Y^15+...+6*X^6+3*X^3+1)*(Y^18-3*X^3*Y^15+3*Y^15+..+15*X^6-6*X^3+1)
*(Y^18+6*X^3*Y^15+3*Y^15+...+6*X^6+3*X^3+1)*(Y^18-3*X^3*Y^15+3*Y^15+...+6*X^6+3*X^3+1)
これをさらにexpand(%)せしめ、Y=ｙ10/9、X=ｘ10/9 とすれば、C*は、
x^90+9*y^10*x^80-9*x^80+36*y^20*x^70+218709*y^10*x^70+36*x^70+84*y^30*x^60-12091689*y^20*x^60
+12091689*y^10*x^60-84*x^60+126*y^40*x^50+93153789*y^30*x^50+3750845481*y^20*x^50
+93153789*y^10*x^50+126*x^50+126*y^50*x^40-176492097*y^40*x^40+43607853486*y^30*x^40
-43607853486*y^20*x^40+176492097*y^10*x^40-126*x^40+84*y^60*x^30+93153789*y^50*x^30
+43607853486*y^40*x^30+272942106456*y^30*x^30+43607853486*y^20*x^30+93153789*y^10*x^30
+84*x^30+36*y^70*x^20-12091689*y^60*x^20+3750845481*y^50*x^20-43607853486*y^40*x^20
+43607853486*y^30*x^20-3750845481*y^20*x^20+12091689*y^10*x^20-36*x^20+9*y^80*x^10
+218709*y^70*x^10+12091689*y^60*x^10+93153789*y^50*x^10+176492097*y^40*x^10
+93153789*y^30*x^10+12091689*y^20*x^10+218709*y^10*x^10+9*x^10+y^90-9*y^80+36*y^70-84*y^60
+126*y^50-126*y^40+84*y^30-36*y^20+9*y^10-1＝0
n=9+1の時は次数が全部偶数なので、n=3+1の時と同様に結果は間違っていなかった。
C： ｘｎ + ｙｎ - 1 = 0 （n=9+1）の双対曲線を、空舟様に導出いただいた。有難う御座いま
す。壮絶でした！（平成２４年１月２７日付け）
双対曲線の次数はいっきに上がり、90 です。（n=9 のときは、72次、n=69 のときは？)
Cの次数を遥かに超え、限界までの「最高です！！」型の問題でありました。Cの連合い
C*上昇志向型問題と命名します。真逆の「最低です！！」型の問題を、Cの連合い C*下
降志向型問題と命名します。一つ提起致します。曲線Ｃ：
x^30 - 6*y^5*x^25 + 6*x^25 + 15*y^10*x^20 + 2736*y^5*x^20 + 15*x^20 - 20*y^15*x^15
+ 20586*y^10*x^15 - 20586*y^5*x^15 + 20*x^15 + 15*y^20*x^10 + 20586*y^15*x^10 + 131727*y^10*x^10
+ 20586*y^5*x^10 + 15*x^10 - 6*y^25*x^5 + 2736*y^20*x^5 - 20586*y^15*x^5 + 20586*y^10*x^5
- 2736*y^5*x^5 + 6*x^5 + y^30 + 6*y^25 + 15*y^20 + 20*y^15 + 15*y^10 + 6*y^5 + 1=0
の双対曲線C*の次数は、いっきに下がり、_____次と想定される。導出過程を明記し、双対曲
線C*を具現して下さい。
空舟さんが具現されました。（平成２４年１月２８日付け）
係数が、ｘ7+ｙ7=1 の式と一致するが、次数が 7ｎ ではなく 5ｎ とはいえ、係数が一致
するということは、w=（1+i
）/2によって、Cの式 F=Πｋ、ｊ=ｗ、ｗ2、・・・、ｗ6=1 ((-ｘ)5/6ｋ+(-ｙ)5/6ｊ-1)
F=0 は、これらの因数=0 の和集合だから、それぞれの双対曲線を求めればよい。
f=(-ｘ)5/6ｋ+(-ｙ)5/6ｊ-1 に関して、∇f=[-ｘ-1/6ｋ，-ｙ-1/6ｊ，-ｚ-1/6]
C*： {[X=-ｘ-1/6ｋ，Y=-ｙ-1/6ｊ，Z=-ｚ-1/6] | f=0}
ｘ、ｙ、ｚはやさしく消去される：X-5 + Y-5 - 1 =0
（ｋ-5=ｋ、ｊ-5=ｊ によって、ｋ、ｊ も消去されたので、Fのすべての因数がこの式に対応）
通分した場合 X5 + Y5 - X5Y5 = 0
真逆の「最低です！！」型の問題（Cの連合い C*下降志向型問題）を５つ創作し解いて
下さい。
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなり高めに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
(射影化したのち、行列表現にいけぬ型の問題の練習問題として）
射影化すれば、次になることを確認し、使いなさい、と飯高先生曰くの想定です。
X^30 - 6*Y^5*X^25 + 6*Z^5*X^25 + 15*Y^10*X^20 + 15*Z^10*X^20 + 2736*Y^5*Z^5*X^20
- 20*Y^15*X^15 + 20*Z^15*X^15 - 20586*Y^5*Z^10*X^15 + 20586*Y^10*Z^5*X^15 + 15*Y^20*X^10
+ 15*Z^20*X^10 + 20586*Y^5*Z^15*X^10 + 131727*Y^10*Z^10*X^10 + 20586*Y^15*Z^5*X^10
- 6*Y^25*X^5 + 6*Z^25*X^5 - 2736*Y^5*Z^20*X^5 + 20586*Y^10*Z^15*X^5 - 20586*Y^15*Z^10*X^5
+ 2736*Y^20*Z^5*X^5 + Y^30 + Z^30 + 6*Y^5*Z^25 + 15*Y^10*Z^20 + 20*Y^15*Z^15 + 15*Y^20*Z^10
+ 6*Y^25*Z^5=0
双対曲線C*の定義を忘れた學生が存在しそうで、飯高先生は配慮され定義をも明記。
（此処に 次数が上がりも下がりもしない例が在る）
空舟様の「C*：接線 ｘ03・ｘ + ｙ03・ｙ -1 = 0 を双対変換した (-ｘ03，-ｙ03) の軌跡です。」と
いう発想以外の発想で、瞬時にC*を求めて下さい。（導出過程を隠匿せず）
(瞬時にできたら、奇跡などと誰も云いませぬ）
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２８日付け）
「C*：接線 ｘ03・ｘ + ｙ03・ｙ -1 = 0 を双対変換した (-ｘ03，-ｙ03) の軌跡です。」という発想
の行間を埋めての補足解説を、まだできなかった n=5+1 の場合について、行間を埋める
助けになるように少し丁寧に行いたいと思います。:
C： ｘ6+ｙ6-1=0 ∇(ｘ6+ｙ6-ｚ6)=[6ｘ5，6ｙ5，-6ｚ5] であるから
ｘ=6ａ5 、ｙ=6ｂ5 、ｚ=-6ｃ5 、ａ6+ｂ6-ｃ6=0
あるいは、 (ｘ，ｙ)=(-ａ5，-ｂ5) 、ａ6+ｂ6-1=0 が双対曲線を与える。
G(ｘ，ｙ)=0 となる多項式を求めたい。G(-ａ5，-ｂ5) は、ａ6+ｂ6-1 で割り切れるはずである。
あるいは、G(ｘ，ｙ，ｚ)=0 となる多項式を求めたい。G(ａ5，ｂ5，-ｃ5) は、ａ6+ｂ6-ｃ6 で割り切
れるはずである。ｚについての方程式とみると、 (-ｚ)6/5=ｘ6/5+ｙ6/5 は解になる。
[ここに存在するべき負号"-"を今まで取り落していました・・！ｎ の偶奇によっては今回のように関係が
ないですが．．．。]
自然に、ｗ=cos72°+isin72°を考えれば、(-ｚ)6/5=ｘ6/5ｋ+ｙ6/5ｊ [ｋ、ｊ=ｗ、ｗ2、・・・、ｗ5=1]
も解。そういうわけで、Π(1-(ｘ6/5ｋ+ｙ6/5ｊ)) を展開したい。
対称式を使う方針で、 ｘ6/5=ｐ 、ｙ6/5=ｑ とおいて、
F(ｐ，ｑ)＝Πｋ、ｊ=ｗ、ｗ2、・・・、ｗ5=1 (1-ｐｋ-ｑｊ) ＝Πｋ=ｗ、ｗ2、・・・、ｗ5=1 ((1-ｐｋ)5-ｑ5)
を展開したい。（これは、即ち、1/(1-ｐｗ-ｑｗ) の分母有理化の過程となる。）
T=1-ｐｋ、U=(1-ｐｋ)5 たちの i 次基本対称式を、それぞれ T[i]、U[i] とかくと、
F(ｐ，ｑ)=U[5]-U[4]ｑ5+U[3]ｑ10-U[2]ｑ15+U[1]ｑ20-ｑ25
ここから、U[i] を求めるために、最初は、U[i] を T[i] で表そうとして、某スクリプトを利用し
ようとしたところ時々間違いがあるようで、そこで、対称式に関するアルゴリズムを調べてみ
ると運良く、高次方程式と対称式による公開鍵暗号のWebサイトにおいてこの話題があり、
剰余を利用する次のような方法があったので、模倣します。
（余談ですが、その公開鍵暗号では、T[i] から U[i] を求めるのは容易だが、U[i] から T[i]
を求めるのは困難だということで成立していると書かれておりました。)
U=(1-ｐｋ)5=1-5ｐｋ+10(pk)2-10(pk)3+5(pk)4-ｐ5
U2= 1...-252ｐ5...+ｐ10
U3=1...-3003ｐ5...+3003ｐ10...-ｐ15 [ｋは、X5=1の解たちであることに注意して]
U[1]=ΣU=5-5ｐ5
U[2]={U[1]2-ΣU2}/2={25(1-ｐ5)2-5(1-252ｐ5+ｐ10)}/2=10ｐ10+605ｐ5+10
U[3]={ΣU3-U[1]3+3U[1]U[2]}/3={5(1-3003ｐ5+3003ｐ10-ｐ15)-.....}=-10ｐ15+1905ｐ10-1905ｐ5+10
U[4]=-{ΣU4-U[1]ΣU3+U[2]ΣU2-U[3]ΣU}/4=................
U[5]=T[5]5=(1-ｐ5)5
これで得られる F の ｑ30-5i・ｐ30-5j の係数を (ｉ，ｊ)成分に並べた行列をMとおいて、
0 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 -5 5
0 0 0 -10 -605 -10
0 0 -10 1905 -1905 10
0 -5 -605 -1905 -605 -5
-1 5 -10 10 -5 1
（U[4]の部分は計算せずとも、Fを ｐ、ｑ、ｒ で同次化すると、ｐ、ｑ、-ｒ について対称となることから補える）
この行列Mにより、
C*： F(ｘ6/5，ｙ6/5)=(ｙ30；ｙ24；ｙ18；ｙ12；ｙ6；1)M(ｘ30；ｘ24；ｘ18；ｘ12；ｘ6；1) =0
と表される。（脳内で全体を-1倍しておくべし）このとき、
C*： ｘ30 + 5ｙ6ｘ24 - 5ｘ24 + 10ｙ12ｘ18 + 605ｙ6ｘ18 + 10ｘ18 + 10ｙ18ｘ12
- 1905ｙ12ｘ12 + 1905ｙ6ｘ12 - 10ｘ12 + 5ｙ24ｘ6 + 605ｙ18ｘ6 + 1905ｙ12ｘ6
+ 605ｙ6ｘ6 + 5ｘ6 + ｙ30 - 5ｙ24 + 10ｙ18 - 10ｙ12 + 5ｙ6 - 1=0
終結式に２度投げる方法で、空舟様の上記の即答は、スカッと理解致しました。有難う御
座います。（平成２４年１月２９日付け）
（参考） → 「判別式と終結式」、「宮西正宜さんのＨＰ」
今後は、常套手段として、空舟様とSylvester様に感謝しつつ使うよう心掛けます。
Q(Sqrt[5]，Sqrt[7])[ｘ，ｙ]∋f[ｘ，ｙ]
f[ｘ，ｙ]=172800*Sqrt[5]*y^16 + 3193600*Sqrt[7]*x^3*y^12 - 691200*y^12 + 23909760*Sqrt[5]*x^6*y^8
+ 11347200*Sqrt[35]*x^3*y^8 + 207360*Sqrt[5]*y^8 + 178605*x^12*y^4 + 31782240*Sqrt[7]*x^9*y^4
- 144789120*x^6*y^4 + 8812800*Sqrt[7]*x^3*y^4 - 138240*y^4 + 338688*Sqrt[35]*x^15
+ 1693440*Sqrt[5]*x^12 + 483840*Sqrt[35]*x^9 + 483840*Sqrt[5]*x^6 + 34560*Sqrt[35]*x^3
+ 6912*Sqrt[5]
で定義された代数曲線 Q(Sqrt[5]，Sqrt[7])[ｘ，ｙ]/<f[ｘ，ｙ]> の双対曲線を空舟様と
Sylvester様に感謝しつつ求めて、何時ものように特異点等を悉に調べ、レポートとして提出
しなさいと飯高先生（無論他の多様な発想も大歓迎と飯高先生）。
今回は、代数曲面Sの連合いS*下降志向型問題を一つ提起致します。
Ｓ： 4ｙ6 - 24ｘ2ｙ4 + 36ｘ4ｙ2 + 324ｘｚｙ2 - 729ｚ2 - 108ｘ3ｚ=0
射影空間で考察の為、Homogenizeすると、
4Y6 - 24X2Y4 + 36X4Y2 + 324W2XZY2 - 729W4Z2 - 108W2X3Z=0
S*を具現化する前に、その次数が想定叶いますか？S*を多様な発想で求めて、かくも次
数が下降する理由を記載願います。いつものように、それぞれの特異点をも考察願います。
代数曲面 K[ｘ，ｙ，ｚ]/<4ｙ6 - 24ｘ2ｙ4 + 36ｘ4ｙ2 + 324ｘｚｙ2 - 729ｚ2 - 108ｘ3ｚ> の双対曲
面を多様な発想で求め、何時ものように、特異点等を悉に調べレポートとして提出しなさい
と飯高先生。
定義1.3. 複素（平面）代数曲線とは、複素係数二変数多項式の方程式 f(ｘ，ｙ) = 0 の複素
数解の集合のこと。
注意1.4. 現代流の代数幾何では、多項式そのものや、あるいは、C[ｘ，ｙ]/f(ｘ，ｙ) のような
環そのものを代数曲線と呼ぶ。（環そのものを代数曲線と呼ぶなんて看過するこ
とのできない問題．．．。）
3 曲面としての代数曲線
定義1.3 によれば、複素係数二変数多項式方程式 f(ｘ，ｙ) = 0 の複素数解の集合を複素
代数曲線と呼ぶことにした。我々は、これを、実二次元の曲面としてみたい。
「不思議な方程式」において、（３次方程式の場合）に （ａ－１）（２ａ3＋２ａ2－１）＝０ から、
２ａ3＋２ａ2－１＝０ で、このとき、 Q[√A)[X]/<２Ｘ3＋２Ｘ2－１> が気になり、今夜も寝ら
れない．．．カナ。（平成２４年１月３０日付け）
低次ですが、 ２Ｘ3＋２Ｘ2－１＝０ の解をαとするとき、他の解は、自明でしょうが、
σ[α]=(2・I・α2)/√19 ＋(隠匿）α - 1/2 - 3・I/(2√19)
と、Q(√19)[α]の元として表現叶い、かつ、σ[σ[α]]で尽くされることを具現して下さい.
(X-α)(X-(2・I・α2/√19 +(隠匿）α - 1/2 - 3・I/(2√19))(X- σ[σ[α]])
を計算し、２Ｘ3＋２Ｘ2－１ になることも確かめてください。
これは、整理していただき始めた最初の「S(H)さんからの話題」および「Ｇａｕｓｓの日記」に
絡む諸問題です。
上の如き、「もかい（解）」型は、無数に疑問を呈しております。今回のも含め、例えば、超
易しい例について、「もかい（解）」型をガロア理論の視座から敷衍願います。
Veronese surface絡みの次の代数曲面S1、S2の双対曲面を多様な発想で求めて下さい。
４次の代数曲面 S1：ｘ2ｙ2 + ｚ2ｙ2 - ｘｚｙ - ｘ2ｚ2=0
４次の代数曲面 S2：-ｚ4 + ｘ2ｚ2 - ｘｚ2 + ｘ2ｙ2 - 2ｘｙ2 + ｙ2=0
何れも次数に変化が在れば、その理由を記述して下さい。
S2上には、例えば、((3 + 2√21)/5，1，2)が在ることを確かめ、その点に於ける接超平面
を求め、 X・ｘ+Y・ｙ+Z・ｚ+1=0 とした時の(X，Y，Z)が、上で求めたS2*上になければならぬ
のでチェック手段にして下さい。S1についても同様なことを為して下さい。
今回は、「Sj* の双対はSj 」は自明と云わず、多様な発想で具現を！
（此れに類するSを自ら定義し(より高次でもかまいません）、S*を必ず求めて下さい）
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の射影幾何學とｎ次元代数多様体の講義達後
の考査のハードルをかなりひくめに設定されたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
さらに、飯高先生は、次の課題も何れ研究者になる原石の學生に与えられた。
Veronese surfaceで検索すると、資料等を獲る。しっかり研究し、研究室の机上にレポート
として置きなさい。上に、数多グラフが提示されているでしょう。
(2) の模倣をします。『記憶の切繪図』241p-244pに、「真似が上手なのは良いことで、それ
もできないようでは何もできない。」と在るので、東京大学の入試問題作問者の真似をしてし
まいました。（平成２４年２月２日付け）
猶、東京大学の入試問題作問者が以下を瞬時に解かれるか否か知りません。
f[ｘ]=ｘ8+104ｘ7-7428ｘ6-825448ｘ5+19048230ｘ4+1975959128ｘ3
-27841648708ｘ2-1459979912664ｘ+19004714708641
とし、f[ｘ]=0 の解をαとするとき、他の解達は∈Q[α]となることを自明でも具現して下さい。
例えば、σ1[α]= (20468602067393025-5384007493053α-176564398613603α2-1891462428345α3
+143810090515α4+1577307865α5-24429041α6-268451α7)/132661464043520
と解を獲る。（是非確認して下さい。Hint：とても容易です。）反復が重要なので反復すると、
4093720413478605/26532292808704-5384007493053α/132661464043520-176564398613603α2/
132661464043520-378292485669α3/26532292808704+28762018103α4/26532292808704+
315461573α5/26532292808704-1285739α6/6982182318080-14129α7/6982182318080
277013058421203/6982182318080+22761047800153α/6982182318080-603167439017α2/
6982182318080-2213584943α3/1396436463616+48721205α4/1396436463616+2969371α5/
6982182318080-29939α6/6982182318080-329α7/6982182318080
-16315123153829461/66330732021760-279868682376687α/66330732021760+94012289977463α2/
66330732021760+210175299793α3/13266146404352-14843860499α4/13266146404352
-816862957α5/66330732021760+657839α6/3491091159040+7229α7/3491091159040
α
となるか是非確認し、全ての解を尽くさぬので残りの解を7次以下の多項式表現をし、
σj[α]、σj・σi 等悉に探究して下さい。
上は、飯高先生が体論の講義の最初に講義した世界一短い定理 Q(α)=Q[α] が具体例
で把握がなされているか国費を投入した計算室に入り浸り、PCで為しなさいと、學生に促さ
れた問です。
問は、下の如く背景が在るぞ！と設問の仕方を工夫し背景を隠匿しないで欲しい。
（解けて、その後体論を學んでも気が付かず、無駄に終わってしまいがちで人生の大損失）
（平成２４年２月３日付け）
緑枠内の f[ｘ] を、
f[ｘ]=ｘ8 + 104ｘ7 + 2364ｘ6 - 61672ｘ5 - 2817306ｘ4 - 21569704ｘ3
+ 113013116ｘ2 + 177256872ｘ - 701617439
とし、(b)のHintとして、２つも明記し、
σ1[α]= (-8233α7 - 749203α6 - 11939317α5 + 490097465α4 + 15874652309α3
+ 116621658647α2 - 64394488119α - 1179049801085)/13728075776
σ2[α]=-α - 26
(b)を証明しなさい、と。
(c)を解決するHintとして、
σ1n[α] (n∈N) やσ2n[α] (n∈N) やσ1m・σ2n[α] (m、n∈N)
を求め、其れ等も解を確認し、全ての解を尽くさぬので、残りの解を７次以下の多項式表現
をし、（その後体論を學んだ學生は、こんなの自明と為さずに片付ける懸念を払拭できない）
σj[α]、σj・σi 等 悉に 探究し て 下さい。
4の(c)の如く、σ[α]をHintにしているので、３つの解全てがわかり、巡回群<σ> であり、
為すことが殆どない。巡回群<σ1>ではないので、よく考えなさいと。
上は、飯高先生が体論の講義の最初に講義した世界一短い定理 Q(α)=Q[α] が具体例
で把握がなされているか国費を投入した計算室に入り浸り、PCで為しなさいと學生に促され
た問です。
（その後、体論を學んだ學生は、こんなの自明と為さずに片付ける懸念を払拭できない。）
について、その學生は、次の___ｐ、___ｐ、__.....ペイジを讀め (無論証明も）ば、何故自明と云う
か判明するだろう！と言い放つに違いない.....。
（→ 参考：「GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010」）
最初に、ガウスが「も解」と有理式解達を提示していることを納得し、
（平成２４年２月４日付け）
(1) ４次方程式の解の一つを定めた。それをガウスが「も解」と云う有理式に代入し、確か
に嘘をガウスは云っていないことを確認して下さい。
参考資料の真似をし（推奨されているので為し）、
(2) ガウスが提示した 3+1次方程式 ｘ4 + 52ｘ3 - 26ｘ2 - 12ｘ + 1 = 0
「(此の方程式を視て別に見慣れた方程式だと関心を抱く人は世界に存在しない）吉田氏は直ぐ商環
Q[X]/<X4 + 52X3 - 26X2 - 12X + 1> を考察をと宣う。」
の解をζとしたとき、他の解をζの多項式で表現しなさい。
私が為したのを恥ずかしながら世界に晒します。
(3) σ[ζ]=｛(823ζ8 + 7288ζ7 - 1564ζ6 - 5240ζ5 - 982ζ4 + 712ζ3 + 548ζ2 + 184ζ + 23)2
(1686243ζ16 + 11489712ζ15 - 268445400ζ14 + 415642512ζ13 + 239703572ζ12
- 547952208ζ11 - 139881064ζ10 + 301811216ζ9 + 86869074ζ8 - 78234480ζ7
- 34157800ζ6 + 5545008ζ5 + 5300372ζ4 + 866320ζ3 - 27480ζ2 - 17872ζ - 1117)｝
/｛4(23ζ4 - 68ζ3 - 6ζ2 + 28ζ + 7)4(1117ζ8 + 17704ζ7 - 7476ζ6 - 12584ζ5 + 1486ζ4
+ 2712ζ3 + 396ζ2 - 24ζ - 3)2｝ ・・・（確認願います）
(4) σn[ζ] (n=2、3、4、5、6、....、2012、..) を本当に必ず是非求め、そのいずれも「も解」で
あることは自明でも必ず証明して下さい。
(5) 上で本当に求めた有理式に、あの解を代入し計算すると、４次方程式の解を尽くさない
ことを悟り、さぁ此処から出番と、(3)で示した以外の多項式を必ず見いだし、此処に必ず
提示して下さい。
上は、飯高先生が体論の講義の最初に講義した世界一短い定理 Q(α)=Q[α] が具体例
で把握がなされているか国費を投入した計算室に入り浸り、PCで為しなさいと學生に促され
た問です。飯高先生は、こうも告げられる。(5)まで具現したなら、Fin などと誤解しないで、卒
業後も自問すべき（自答は遥か先かも）問達を指導教授をも悩まし、研究課題となり、生活の
糧(論文)と為すべき研究課題として是非、問題群を提示願います。
問題の(1)は無視し、(2) 擬似真似を致しました。
(6) 何故、擬似と明かしたかは明らかでしょう。真に擬似抜きの真似を必ず為して、レポート
提出をと飯高先生（想定を許容下さる）。σ[ζ]=______。
真似をも為すことも、あながち忸怩たるおもいをせずともよいとも受け止められる問題をい
ただいたので、ガウスが解達を明記していますが、私も有理式解∈Q(ζ) を頑張って２つ求
めてみました。（平成２４年２月４日付け）
sol1=-64(ζ - 1)2ζ(ζ + 1)4/(ζ2 - 6ζ + 1)4 も解。
sol2=(113013ζ3 - 55485ζ2 - 25877ζ + 2153)/(148812ζ3 - 73061ζ2 - 34074ζ + 2835) も解。
４次の低次方程式に、ガウスが４個世界に提示している解より他に在るわけがない？
sol1、sol2 が本当に解であるか否か調べることは多様な発想で叶うので、是非調査願いま
す。私も、４個以下の解しか無いことを経験でしっていないこともないのです。
先ず、ガウスが明記している：
｛ζ，（１－ζ）/（３ζ＋１），－４ζ/（１－ζ）2，－（１－ζ）（３ζ＋１）/（４ζ2）｝
が４つの異なる解を尽くしていることを証明して下さい。
上で、４つの異なる解を尽くしていることが判明したので、私が提示した sol1、sol2 は、
｛ζ，（１－ζ）/（３ζ＋１），－４ζ/（１－ζ）2，－（１－ζ）（３ζ＋１）/（４ζ2）｝
のいずれかと一致していなければ世間が許さない。どれと一致するか導出過程を隠さず示
して下さい。
ガウスは、資料の７頁の問題について、楽屋裏を何故開陳なさらいのでしょうか？吉田氏
も....。
私が有理式解∈Q(ζ) を頑張って２つ求めてみました。
sol1=-64(ζ - 1)2ζ(ζ + 1)4/(ζ2 - 6ζ + 1)4 も解。
sol2=(113013ζ3 - 55485ζ2 - 25877ζ + 2153)/(148812ζ3 - 73061ζ2 - 34074ζ + 2835) も解。
を３次以下の多項式で表現可能なのは自明とおっしゃらず、必ず具現して下さい。
上問達は、飯高先生が体論の講義の最初に講義した世界一短い定理 Q(α)=Q[α] が
具体例で把握がなされているか国費を投入した計算室に入り浸り、PCで為しなさいと學生
に促された問です。
ガウスが楽屋裏を何故か開陳なさらないので、私は「も解」を多項式表現を先ず為して、
それをガウスの真似をし有理式解に変換してみました。（平成２４年２月５日付け）
例えば、(-191 - 312ζ + 729ζ2 + 14ζ3)/4 を変換し、(1 + 2ζ + ζ2)/(1 - 14ζ + ζ2)
(これはガウスの -（1-ζ）（3ζ+1）/（4ζ2） になる筈です。）
（式は見かけによらぬもの）
(-191 - 312ζ + 729ζ2 + 14ζ3)/4=(1 + 2ζ + ζ2)/(1 - 14ζ + ζ2)=-（1-ζ）（3ζ+1）/（4ζ2）
私が為した上のことに過ちがないか検証願います。（もし過ちが在れば訂正願います)
σ[ζ]=(-191 - 312ζ + 729ζ2 + 14ζ3)/4 とし、{σn[ζ]|(n∈N} を求め、それ等をガウス
の真似をし、有理式解に変換して下さい。
上のことを為しても、解の全てを渡り歩かぬ筈で、他の多項式解達を求め、それ等をガウ
スの真似をし、有理式解に変換して下さい。
上は、飯高先生が、「GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010」の最初に突如としてガウス
が「も解」と有理式解達を提示しているのを講義で引用され、ガウスが云うことを鵜呑みにせ
ず納得するまでまで探りなさいと原石の學生に与えられた課題です。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月５日付け）
「ｘ4 + 52ｘ3 - 26ｘ2 - 12ｘ + 1」で検索すると、楕円関数論入門の文献に当たりました。今回
の投稿に一部引用すること失礼します...。
「ガウスのあの４次方程式についても、(レムニスケートの５等分点に関するらしいので)、方
程式導出の過程から他の解を有理式で表現できたのではないかと想像しました。」について、
具体的に知ることができました。
レムニスケート関数 sn(u) を、レムニスケート ｒ2=cos2θ の弧長 u における点(ｘ，ｙ)での
signal(ｘ)・√(ｘ2+ｙ2) と定義されています。(ｘ の符号に合わせた ｒ の値)
sn(u)=r のとき、 u=∫0ｒ dt/√(1-ｔ4) ということだと思われます。
さて、文献に、加法定理からｎ倍公式が導出できる様子があり、結果によると、
sn(u)=ｓ 、 sn’(u)=ｓ’ 、 ｘ=ｓ4 とおくと、 ｓ’2=1-ｘ 、sn(2u)=2ｓｓ’/(1+ｘ)
sn(3u)=ｓ(3-6ｘ-ｘ2)/(1+6ｘ-3ｘ2)
sn(4u)=4ｓｓ’(1+ｘ)(1-6ｘ+ｘ2) / (1+20ｘ-26ｘ2+20ｘ3+ｘ4)
sn(5u)=ｓ(5-2ｘ+ｘ2)(1-12ｘ-26ｘ2+52ｘ3+ｘ4)/(1-2ｘ+5ｘ2)(1+52ｘ-26ｘ2-12ｘ3+ｘ4)
となるそうです。ここに、F(ｘ)=1-12ｘ-26ｘ2+52ｘ3+ｘ4 が現れます。
sn(5u)=0 とおいたときを考えると、F(ｘ)=0 の解は、ｘ={sn(u)}4 以外に、
{sn(2u)}4＝16ｘ(1-ｘ)2/(1+ｘ)4 等もあります。
(1+ｘ)4≡16ｘ+32ｘ2-48ｘ3＝16ｘ(1-ｘ)(1+3ｘ) から、F(ｘ)=0 の別の解の表示 (1-ｘ)/(1+3ｘ) を
得ます。
{sn(3u)}4、{sn(4u)}4 もF(ｘ)=0 の解ですが、{sn(2u)}4、{sn(u)}4 とそれぞれ同じになります。
さて、文献に、複素関数としてのレムニスケート関数という項があり、
sn(a+ib)={sn(a)sn’(b)+i・sn’(a)sn(b)}/{1-sn(a)2・sn(b)2}
と定義されるようです。特に、 sn(ib)=i・sn(b) であり、 sn(5u)=0 のとき、sn(5iu)=0
{sn(iu)}4 も F(ｘ)=0 の解ですが、これは、{sn(u)}4 と同じ。
そこで、sn(au+biu) の形を考えると、
{sn(u+iu)}4＝{(1+i)ｓｓ’/(1-ｓ4)}4=(1+i)4・ｘ(1-ｘ)2/(1-ｘ)4 = -4ｘ/(1-ｘ)2
上の結果を利用して、
{sn(2u+2iu)}4＝{-4(1-ｘ)/(1+3ｘ)}/{1 - (1-ｘ)/(1+3ｘ)}2＝-(1-ｘ)(1+3ｘ)/4ｘ2
というふうに、F(ｘ)=0 の残りの解が表されました。結局、sn(5u)=0 となる４つの解は、
{su(u)}4 = ｘ
{su(2u)}4 = (1-ｘ)/(1+3ｘ)
{su(u+iu)}4 = -4ｘ/(1-ｘ)2
{su(2u+2iu)}4 = -(1-ｘ)(1+3ｘ)/4ｘ2
とまとめることができました。
なお、{sn(2u+iu)}4 等は、ｘ={sn(u)}4 の有理式にならないようです。
ここで、 sn(2u+iu)＝...＝s{2(1-ｘ2)+i(1-6ｘ+ｘ2)}/(1-2ｘ+5ｘ2) となります。これの４乗を計算さ
せてみますと、(ｘ の9次式)/(ｘ の8次式) ですが、F(ｘ)=1-12ｘ-26ｘ2+52ｘ3+ｘ4=0 とした場合、
なんとｘが消えて、2i+1 になります。
これは、sn(5u) の式の分子にあるF(ｘ)以外の因数 (5-2ｘ+ｘ2) の零点です。
（コメント） ガウスの与えた４個の有理式解の根拠が明確になりましたね！感動しました。
空舟さんに感謝いたします。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年２月６日付け）
空舟さん、有難う御座います
ｘ4 + 52ｘ3 - 26ｘ2 - 12ｘ + 1 = 0 については、非虚は、即ち、実は参考図の如く、随分以
前に模索しております。 X=ｘ4 と置換すると、ｘ4 + 52ｘ3 - 26ｘ2 - 12ｘ + 1 = 0 で、ガウスの
４次方程式の出生の秘話は突き止めていないこともないのです。
「驚くべき証明を見つけたがそれを書くには余白が狭すぎる」
「（Marvelous Proof Which This Margin Is Too Narrow To Contain,略称MPMN）とは数学に
おける証明の手法のひとつだが、それを完全に説明するには余白が狭すぎる。」
の模倣犯になり、直前の （式は見かけによらぬもの）
(-191 - 312ζ + 729ζ2 + 14ζ3)/4=(1 + 2ζ + ζ2)/(1 - 14ζ + ζ2)=-（1-ζ）（3ζ+1）/（4ζ2）
について、資料に、Q[X]/<あの4次式> は体故、逆元の存在は自明と片付けられるでしょう
が、私が逆元を本当に求めて具現した発想で、(1 + 2ζ + ζ2)/(1 - 14ζ + ζ2) について
(1 - 14ζ + ζ2)の逆元を本当に求めて獲たものに、(1 + 2ζ + ζ2)を乗じて、それを３次以
下の多項式で表現して下さい。
-（1-ζ）（3ζ+1）/（4ζ2） についても同様なことを為して下さい。
上は、飯高先生が「MA3D5 Galois theory」の２７頁近傍の証明付きの命題群が証明で分
かったと了解しがちの學生に具体例で具現できるかを親心を発露され原石の學生に投げか
けられた問題です。
（→話題４へ続く）