S(H)さんからの話題６　　（→１ ２ ３ ４ ５ ７ ８）　 　

　硲 文夫 著「代数幾何学」には、P²(k) (k=R[X]/<X²+1> 等) に於ける射影曲線、n>2次曲
線の双対曲線の例が無いので、70p の

　(3) C： ｙ²ｚ - ｘ³ + ｘｚ² - ｚ³ =0 上の点[1，1，1] に於ける接線の方程式を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　ｘ-ｙ+0・ｚ=0
をもう少し点を増やし考察します。（平成２４年４月２１日付け）

　初めてのn>2次曲線の双対曲線の問題として、

(0)　点[1，1，1] に於ける接線の方程式は、上のように易しい。ｙ²ｚ - ｘ³ + ｘｚ² - ｚ³ =0 上
　　の点に於ける接線(52p の命題5.2を用い)を求め、151p の対応するP²上の点を求めて
　　下さい。

　f[ｘ，ｙ]=ｘ³ + ｙ³ - 2ｘｙ　、g[ｘ，ｙ]=2ｘ³ - 4ｘ²ｙ + 3ｘｙ² + ｙ³ - 2ｙ²　を齊次化し、交わりの重
複度を求めよと云う問題を受講生Mが研究室に持ち込んだ。（平成２４年４月２２日付け）

(1)　C₁^*： -16ｘ²ｙ² + 32ｘ³ｚ + 32ｙ³ｚ - 72ｘｙｚ² + 27ｚ⁴=0 が正しいか、この双対を求めて
　　確かめてください。

(2)　もう一つの双対曲線C₂^* を求めて下さい。

(3)　C₁^*、C₂^* の交点を全て求め、そこでの交点数を求めて下さい。

(4)　(C₁^*)^*、(C₂^*)^* の交点を全て求め、そこでの交点数を求めて下さい。

(5)　(C₁^*)^*、(C₂^*)^* の共通接線が在れば、求めてください。

　上で、無論、終結式を駆使される筈。文献に、Walker 在り。

　どんな問題もたちどころに丁寧に解決される、らすかる様の解答を視た射影幾何と代数曲
線の飯高先生の講義の受講者Dは、次のような双対化の発想で解いた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年４月２３日付け）

　先ず、齊次化し、　X² + 4Y² - 4Z²=0　において、
　　　{2X = U， 8Y= V， -8Z= W}　{{X -> U/2, Y -> V/8, Z -> -(W/8)}}
より、U、V、W の関係式を導出し、U²/4 + V²/16 - W²/16=0　から、双対曲線を瞬時に獲る。
　4ｘ² + ｙ² - ｚ²=0 で非齊次化し、-1 + 4ｘ² + ｙ²=0 に (m/3，-1/3) が載ることから、
m∈{-，}

　上の双対曲線の導出は、「Ｄｕａｌ　curve」に倣った。あと 2つ、草色枠の問題達を双対曲線
を求めてください。

　特に　楕円曲線の方は齊次化し射影双対曲線をきちんと求め、双対曲線を獲た後、非齊
次化し、グラフも図示し接する様子も図示しました。きちんと双対化を為し、誤りが在れば修
正して下さい。

　無論、高校で接線を求めるので、硲 文夫 著　第５章（演習問題　5の1,3)、第１２章（151p
の双対曲線の定義）は、高校でも為し、今回の高校生の疑問にも双対曲線の視座で解決し
て欲しいと高校生から熱い要望があった。飯高先生も射影双対曲線を講義してよかったと
云われた。

　問題に絡み、問19-3 のf(Y) を、f(Y)=ｘ² + Yｘ + Y² - 1 にかえて、略解のような解答を願い
ます。（平成２４年４月２４日付け）

　但し、一意的ではないので、t=ｙ/(1 + ｘ) 以外のを２つ願います。ｘ²-ｘｙ+ｙ²-1 についても
同様な t 等願います。

　「L¨uroth’s Theorem」絡みの問題です。上の２例はわかりやすいのですが......。
（→　参考）

　「微分ガロア理論」の　f[ｘ]＝ｘ³+6ｘ²-6　、f[ｘ]＝０ の解をαとするとき、他の解達を上の
如く２次以下の多項式で表せ。は　卒業した。（平成２４年４月２５日付け）

　今回は、この梅宮先生の３次代数曲線　ｙ-(ｘ³+6ｘ²-6)=0 の双対曲線を先ず齊次化：
-ｘ³ - 6ｚｘ² + 8ｚ³ + ｙｚ²　し、(何時もの逆写像を求めての）発想でとけないかと提案。

　學生の提案にのり、逆写像を求めて、少し組み合わせ等工夫し、

　　4X³ - 36X²Y + 864XY² - 5184Y³ - 108XYZ +  432Y²Z + 27YZ²=0

を獲たと學生。後は、Z=1として双方を同じR²に描けば、変曲点に対応する特異点も視える。

　もとの３次代数曲線　ｙ-(ｘ³+6ｘ²-6)=0 は易し過ぎるのに、それを知らないふりをして双対
曲線を求めて元のCの正体を探ろうとしたのに、双対曲線の方が難しいと学生。

　微分幾何學を履修した學生は、「C の曲率を求めれば変曲点は瞬時に分かるとも」。Cの
曲率を求めて、微分幾何學を履修した學生がよしと云うまで為して下さい。

　もとの問題に返り、同じ３次曲線なのに、資料の双対曲線化の方は何故困難なのだろうか
と飯高先生の受講生。

　「ヤコビの定理」の参考文献に掲げてある、三村征雄　著　代数学と幾何学（裳華房）
（岩堀長慶　佐武一郎　　久賀道郎　志村五郎　山崎圭次郎 初版が昭和31と在り....どこをど
なたが分担、例えば、志村五郎先生が記述された箇所をご存知の方は是非ご教示下さい)

　その300p の問題（問 8,9) を具現化し、高校生でも解ける易しい問題としました。

　３つの円
　　C₁： (ｘ + 1/2)² + ｙ² - 1=0　　C₂： (ｘ - 4)² + ｙ² - 2²=0
　　C₃： (ｘ - 1)² + (ｙ - 3)² - (1 + 1/3)²=0
について、C₁、C₂ の内外共通接線をそれぞれ　Ti[12][1]、Ti[12][2]、Te[12][3]、Te[12][4]
他のC₁、C₃やC₂、C₃ についても同様に定める。其れ等全てを求め、C₁、C₂、C₃と共に図
示して下さい。
　C₁、C₂の外共通接線の交点、C₁、C₃の外共通接線の交点、C₂、C₃の外共通接線の交点
を求め、其れ等が同一直線上にあることを示して下さい。
　また、図示したのを視て、同一直線上にあるものを探して下さい。

（イ）　上の問は易しい。高校生が指導される発想で解いて下さい。
　（同一直線上にある等の命題は、大抵、射影幾何學に絡み双対性に絡む....）

（ロ）　上の問を「射影幾何學と代數多様体」の講義の双対曲線達を求めて解決して下さい
　　　と飯高先生。

　齊次化はしておきますので、瞬時に各双対曲線は求められます。

　X² + Y² + XZ - (3Z²)/4=0　、X² + Y² - 8XZ + 12Z²=0
　X² + Y² - 2XZ - 6YZ + (74Z²)/9=0

　このとき、　C₁^*、C₂^*、C₃^* を求めてください。C₁^*∩C₂^* 等を求めて、内外共通接線は
直ぐ求められます。

　二次曲線ばかりですが．．．硲 文夫 著　154p の２問、166p の３問も行列表現に拘泥せ
ず瞬時に必ず求めて下さい。

　先の３つの円についての問題の次元をひとつあげ、双対曲面達を求めて挑戦を。
（→　参考１、参考２）

　(ｘ - 1/2)² + (ｙ - 1)² + ｚ² - 1/4=0 の齊次化：　W² - XW - 2YW + X² + Y² + Z²=0
　(ｘ + 1/2)² + (ｙ + 1)² + ｚ² - 1=0 の齊次化：　W² + 4XW + 8YW + 4X² + 4Y² + 4Z²=0
　(ｘ - 1)² + (ｙ - 3)² + (ｚ - 1/2)² - 16/9=0 の齊次化：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　305W² - 72XW - 216YW - 36ZW + 36X² + 36Y² +  36Z²=0

(1)　３つの球面の双対曲面を求めて下さい。

　飯高先生が大変と云われるのを凌駕しているので更に大変ですが是非。

　主軸問題もきちんと解き、球面ではない２次曲面になりました。

(2)　問題に挑戦願います。


　二円についてのみ定義が在り、二楕円じゃだめなんですかと懐疑していたら、質問が在り
ました。（平成２４年４月２６日付け）

　楕円1： ｘ² - ｘｙ + ｙ² - 1=0　、楕円2： (ｘ - 4)² + (ｙ - 2)²/2 - 1=0　について、双対曲線達
を求め、共通内外接線は瞬時に求まるでしょう。どうぞ、齊次化を自ら為し、双対曲線達を求め、
解決して下さい。

　楕円2の方の双対化を為したところ、

(ｘ - 4)² + (ｙ - 2)²/2 - 1=0　-------->　15ｘ² + 16ｙｘ + 8ｘ + 2ｙ² + 4ｙ + 1 =0

と 双曲線になりました。硲 文夫 著　代数幾何学　166p に追加してよい問題です。

　「Conics」の最後の：

　　Construct the ellipse tangent to two fixed circles and their external common tangents

に遭遇。２円を　(ｘ + 3)² + (ｙ - 1)² - 1=0 、 (ｘ - 4)² + (ｙ - 2)² - 3²=0 と定めて、それぞれ
の双対曲線を求め、共通外接線　は瞬時に求まるでしょう。図の如き楕円の方程式を求め
て下さい。


　「成蹊大学　理工学研究報告」には、気になるのが数多在りますが、易しい複素数の逆数
による写像結果の75p 近傍から、以下の問題群が産声をあげました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年４月２７日付け）

　易し過ぎる変換　ｚ--->ｗ=1/ｚ　を実部、虚部に分けた非線型写像：

　　(ｘ，ｙ)--F-->(ｕ，ｖ)=(ｘ/(ｘ² + ｙ²)， -ｙ/(ｘ² + ｙ²))

として、円円変換に何故限定するのと。独創性皆無だけど、円や半径∞の円=直線じゃなく、
楕円を写してはどうかしら。誰でも考えそうだけど何故か初耳なので、皆んな挑戦しようと。

(0)　楕円Ｃ、例えば、ｘ²-ｘｙ+ｙ²=1 のFによる像F(C)は代数曲線で、しかも有理曲線なのは
　　自明と云わず具現し、以下の問題で別解として駆使願います。

(1)　楕円Ｃ： ｘ²-ｘｙ+ｙ²=1 のFによる像の代数曲線F(C)を求めて、CとF(C)を同一R²に図示
　　し、視て考察したいことを為して下さい。F(C)は、無論、二次曲線ではない理由を一言で
　　分かるよう説明願います。

(2)　ＣとF(C)の共通接線を直に求めて下さい。

(3)　ＣとF(C)の双対曲線Ｃ^*、F(C)^*を多様な発想で求め、F(C)*の方にのみ特異点が在る
　　理由を記述し、実際其れを求めて下さい。

(4)　F(C) に二重接線が在れば、その理由を記し、求めて下さい。

(5)　F(C) に変曲点が在れば、その理由を記し、求めて下さい。更に、硲 文夫 著の72pと
　　148p を讀み、二次曲線ではないF(C)を与える________=0 の齊次化を為し、そのヘシアン
　　を求め、そのZERO点の代数曲線を求め、其れを非齊次化し、図示し、F(C)とF(C)^*も同
　　一R²に図示し 観察し、「宜（むべ）なるかな」と世界の悉皆の人を云わしめる理由を丁寧
　　に記載願います。


　射影幾何學と代数多様体の講義の受講生Nが、以下のような問題を解くのは初めてでしょ
うと研究室に持ち込んだ。（平成２４年４月２８日付け）

F[ｘ，ｙ]=((ｘ² - 2ｘ - ｙ² + 1)/(ｘ⁴ - 4ｘ³ + 2ｙ²ｘ² + 6ｘ² -  4ｙ²ｘ - 4ｘ + ｙ⁴ + 2ｙ² + 1)，
           　　　　　　　　　　　-2(ｘｙ - ｙ)/(ｘ⁴ - 4ｘ³ + 2ｙ²ｘ² + 6ｘ² - 4ｙ²ｘ - 4ｘ + ｙ⁴ + 2ｙ² + 1))

による、易しい曲線 C₁： ｘ² + ｙ² = (1/3)²　、C₂： ｘ²/2² + ｙ²/1² = 1 の

(1)　像F(C₁) は代数曲線を自明と片付けず具現願います。
(2)  像F(C₂) は代数曲線を自明と片付けず具現願います。
(3)　F(C₁) の双対曲線F(C₁)^*を多様な発想で求めて下さい。
(4)　F(C₂) の双対曲線F(C₂)^*を多様な発想で求めて下さい。
(5)　F(C₁)、F(C₂)の共通接線を多様な発想で求めて下さい。
(6)　産まれた代数曲線達を全て同一R²に図示して下さい。

　線型写像による集合Sの像は、Sが２次曲面等のとき容易に求めた経験が通用しないよう
な視たこともない非線型写像による　像なので、誰も未体験であるので、是非解こうとメンバ
ー全員が取り組み始めています。

　相当時間が過ぎ、學生Rが「F」って、或る正則函数f(ｚ)の実部、虚部の匂いがすると。それ
なら「Jacobian matrix and determinant」を求めれば、そうであるか否か判明すると。如何な
る正則函数f(z)か探り始めた。

　((ｘ² - 2ｘ - ｙ² + 1)/(ｘ⁴ - 4ｘ³ + 2ｙ²ｘ² + 6ｘ² -  4ｙ²ｘ - 4ｘ + ｙ⁴ + 2ｙ² + 1)
　　　　　　　　　　　　 + I・(-2(ｘｙ - ｙ)/(ｘ⁴ - 4ｘ³ + 2ｙ²ｘ² + 6ｘ² - 4ｙ²ｘ - 4ｘ + ｙ⁴ + 2ｙ² + 1)))

を睨んで、(ｚ=ｘ+ｙ・I)  正則函数f(ｚ)　f(Z)∈Q[Z]の商体であることは視て瞬時に判明し、探究
中です。正則函数f(ｚ)を見出したなら、上の(1) (2) は解けそうだと.....。

　Zの商体Qの構築を、体論で講義され、その後、例えば、座標環の商体の構築で悩まぬ學
生は世の中に何％存在?（Mostow,Samson,Meyer Fundamental Structuers of ALGEBRAの
503p-504p に商体の構築法明記）

　過去問のようなn=２次曲線でなく、倍の次数の例えば、ｘ⁴ - ｙｘ² + ｙ⁴ = 0 の双対曲線を多
様な発想で求めて下さい。

(0)　先ず、この曲線の容姿を自力で探りたい學生Lが、存在範囲を知りたいので、易しいが
　　制約条件　ｘ⁴ - ｙｘ² + ｙ⁴ = 0 のもとで、函数 (ｘ，ｙ)--->ｙ の最大値、最小値を求めて下
　　さいと。

    (以上で曲線は長方形に綺麗に収まり、云わば、箱入り（或る対称性在り）娘であることが
　　ラグランジュの乗数法で判明）

　此処で何でも知っている「Wolfram|Alpha」に、「x^4 - y*x^2 + y^4 = 0」を挿入すると、ラグ
ランジュの乗数法で求めた通りであった。

　暫くすると、非線型変換 X= (3ｘ² + 1)/(-3ｘ³ - ｘ + 2ｙ²)，Y= -2ｙ/(-3ｘ³ - ｘ + 2ｙ²)　に依る
ｙ² - ｘ(ｘ² + 1)= 0　の像を求めれば、瞬時に双対曲線は獲られると唐突に女學性H。

　ｘ⁴ - ｙｘ² + ｙ⁴ = 0 とｙ=ｋとの共有点の個数を調べるため、ｙを消去して、

　ｋ⁴ - ｘ²ｋ + ｘ⁴=0 なる4次方程式を獲た高校生が、例えば、k=1のとき、ｘ⁴ - ｘ² + 1=0 の解

をαとするとき、他の解をαの多項式で表せ。

　硲 文夫 著に、或る群 Gのもとで、円を齊次化：ｘ²+ｙ²=ｚ²、双曲線を齊次化：ｘ²-ｙ²=-1(些
細なミス在り--> ｘ²-ｙ²=1)、放物線を齊次化：ｘ²=ｙｚ　は、識別不可能、即ち、同値が大事と
在ります。（平成２４年５月１日付け）

　書籍(27p-37p) を紐解く前に以下を解き、解き終えた後、書籍(27p-37p)を視てください。

　円　ｘ²+ｙ²=ｚ²　を双曲線　ｘ²+ｚ²=ｙ²　に写すGL(2+1，k) の元を具体的に自ら定め、
円　ｘ²+ｙ²=１　上の点が双曲線　ｘ2-ｙ2=-1 のどの点に写されるか明記願います。

　円　ｘ²+ｙ²=ｚ²　を放物線 　ｘ²=ｙｚ　に写すGL(2+1，k) の元を具体的に自ら定め、
円　ｘ²+ｙ²=１ 上の各点が　ｙ=ｘ² のどの点に写されるか明記願います。

　37p の(2)の単位円の像は、187p に解が在り（此れを確認後)、非齊次化し、単位円
ｘ²+ｙ²=１　と射影幾何學的立場からは「同じ」のを求めて図示し、高校生の視座で（即ち、
群GL(2，R)のもとで）名称をきちんと述べて（即ち、主軸問題を解き）ください。

　私が為すと、ｘ² + ｙ² = １ ----> 4ｘ² - 4ｙｘ - 6ｘ + ｙ² + 2ｙ + 3 = 0 となりましたが、自ら導
出願います。4ｘ² - 4ｙｘ - 6ｘ + ｙ² + 2ｙ + 3 = 0 の双対曲線の双対曲線も求めて愉しんで下
さい。37p の(3)解が187p に在ります。

　「曲線・曲面の分類」の分類とは変換群をかえて、始めて學ぶ立場で、射影変換（定義は
26p)群の元を作用させて、硲 文夫 著　37pの(2)を考察したい。

　単位円： ｘ² + ｙ² = １ ---射影化--->　ｘ²+ｙ²=ｚ²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　---射影変換--->　4X² - 4YX - 6ZX + Y² + 3Z2 +  2YZ=0
と在ります。最後に、
非齊次化を為し、単位円： C₁： ｘ² + ｙ² = １　がC₂： 4X² - 4YX - 6X + Y² + 2Y + 3=0　に
変換された。（同じ種類の曲線と見做される) 初めて學ぶ立場を堅持し、単位円上の点を
指定し、其れがC₂ のどの点に変換されるか調査願います。その際、C₁--->C₂ の変換式
を明記願います。

　今度は上と同じ射影変換　{{X，Y，Z} = {{1，1，2}，{0，1，2}，{1，0，1}}.{ｘ，ｙ，ｚ} で、硲 文夫
著70pの(3) 即ち、
　楕円曲線 C₁： ｙ²=ｘ³+ｘ+1 ---射影化---> ｙ²ｚ-ｘ³+ｘｚ²-ｚ³=0 ---射影変換---> _______=0
を見出し、最後に非齊次化を為し、楕円曲線 C₁： ｙ²=ｘ³+ｘ+1 がC₂：____________=0　に変換さ
れた。（同じ種類の曲線と見做される)初めて學ぶ立場を堅持し、楕円曲線上の点を指定し、
其れがC₂のどの点に変換されるか調査願います。その際、C₁--->C₂ の変換式を明記願い
ます。（無論、C₁、C₂ を必ず図示し、ついでに双方双対曲線化をも)（→　参考１、参考２）


　硲 文夫 著　37p の 2 が定義する射影変換を読み飛ばさず解いた飯高先生の受講生G
が、「何で、正体明白な(1)(2)(3)を変換せにゃならんの?」 線型代数の講義では n=2次曲線
曲面 ...の正体を探るために自ら群O(n) の元を定め目的を果たしたのに...硲先生の意図が
わからぬと。（平成２４年５月２日付け）

　射影変換初邂逅者に、「なんでも写してやろう」精神を硲先生が奨励と思い、意図なんて
無視して写せばと學生Mが、2次の倍の4次曲線を、硲 文夫 著 37p の 2 が定義する射影
変換で写してごらんと。

　先ず、射影化し、 ｘ⁴ + 4ｙ⁴ - ｘ²ｚ² - ｙ²ｚ² - (1/10)ｚ⁴ = 0

射影変換　{X，Y，Z} = {{1，1，2}，{0，1，2}，{1，0，1}}．{ｘ，ｙ，ｚ}　で写して、其れを非齊次化
して、

　ｘ⁴ - ｘ² + 4ｙ⁴ - ｙ² - 1/10 = 0
--->  -650ｘ⁴ + 1320ｙｘ³ + 2560ｘ³ - 1020ｙ²ｘ² - 3840ｙｘ² - 3790ｘ² + 360ｙ³ｘ
　　　　　　　　　　 + 1920ｙ²ｘ + 3780ｙｘ + 2480ｘ - 50ｙ⁴ - 320ｙ³ - 940ｙ² - 1240ｙ - 599 = 0

を獲て図示もし、想定の範囲内の閉曲線を獲た學生が過ちが在れば修正してと。

　そして、追加問題を提起した。　ｘ⁴ - ｘ² + 4ｙ⁴ - ｙ² - 1/10 = 0

-650ｘ⁴ + 1320ｙｘ³ + 2560ｘ³ - 1020ｙ²ｘ² - 3840ｙｘ² - 3790ｘ² + 360ｙ³ｘ
　　　　　　　　　　 + 1920ｙ²ｘ + 3780ｙｘ + 2480ｘ - 50ｙ⁴ - 320ｙ³ - 940ｙ² - 1240ｙ - 599 = 0

の共通接線を、双方とも双対曲線化することにより求め、必ず図示もと。

　傍らで、學生の自由なやりとりを聴いておられた飯高先生は、過年度のn=2次曲線の双対
化が想定の範囲外の悲惨な結果（行列に固執させ、まずかったが）に終わったのに、「近頃
の學生は...」と嘆く必要が全く不要に北叟笑まれた。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年５月２日付け）

　以前の考察(Nk問題)を整理したものを作ってみました。興味がありましたら、こっそり参考
にしてください。


　研究室に受講生Pが、既に齊次化された3次でない2次曲線を持ち込んで問題提起した。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月３日付け）

　n=2 次射影曲線 C：2X² - 2YX + 4ZX + 3Y² - 30Z² - 6YZ=0 について、

(1)　C上の例えば、[5/24*(17/3 + (2*Sqrt[70])/3), 5/36*(-2 + Sqrt[70]), 5/8] に於ける接
　　線を求めよ。(70p)
(2)　双対曲線 C^* を求めよ。(151p-166p の発想で)　また、それ以外の多様な発想で。
(3)　Cを非齊次化した曲線cの双対曲線 c^* と直線L： 3ｘ-3ｙ-7=0 について、cとLの交点p₁、
　　p₂ を求めて下さい。 c--G-->c^* なるGを求め、G[p₁]、G[p₂]を求めて下さい。

   G[p₁]、G[p₂]を用いて、対応するｃの接線Tp₁[C]、Tp₂[C] を求め、その交点L^*を求めて
下さい。

　上で為したことを全て図示し、L--->L^* を注視して直線Lの極=L^*の定義を記述願います。

　L上の点を自ら定め、その点を通るcと交わる直線束L[j] を7本定め、L[j]--->L[j]^*を上の
(3)の発想で求め、観察して感じたことを記載願います。

(4)　c の焦点F₁、F₂ を求めて下さい。F₁--->F₁^* 、F₂--->F₂^*を求め図示して下さい。

　「楕円に関する極と極線に着眼したある入試問題の解法」、「Pole an d Polar」を双対曲線
化の視座から解説しなおして下さい。（→　参考：極線）

　CとC^*について、50p 1 の意味の標準形及び変数変換を求めて下さい。また、50p 4 のパ
ラメタ-化(P²の点として）を為して下さい。

　受講生が次の非線型写像 F　によるＣ： 2ｘ² - 2ｙｘ + 4ｘ + 3ｙ² - 6ｙ - 30 = 0 の像F(Ｃ)を
求めよと自問し為した。

　(ｘ，ｙ)--F-->(X，Y)= ((-4ｘ + 2ｙ - 4)/(4ｘ² - 4ｙｘ + 4ｘ + 6ｙ² - 6ｙ)，
                         　　　　　　　　　　　　　　　　　(2ｘ - 6ｙ + 6)/(4ｘ² - 4ｙｘ + 4ｘ + 6ｙ² - 6ｙ))

　「2*x^2 - 2*y*x + 4*x + 3*y^2 - 6*y - 30 = 0」や「99*X^2 + 72*Y*X + 6*X + 64*Y^2 - 8*Y - 5=0」を
「Wolfram|Alpha」に挿入し、飯高先生の受講生が為した双対化の感受を！
(飯高先生の講義をノートし、具現したなら大変な行列を扱うハメに陥る...）

　真逆で、X² + 72YX + 6X + 64Y² - 8Y - 5=0 の双対曲線を飯高先生の講義に必ず忠実に
従い求め、2ｘ² - 2ｙｘ + 4ｘ + 3ｙ² - 6ｙ - 30 = 0 になることを自明でも必ず具現してください。


　西山　亨先生の京大時代の「応用数理Ａ　小テスト」のNo9 は、実に易しくて高校で扱うと
射影空間への関心が芽生え、その後の人生を左右するかも知れぬ良い素材だと考え拘り
たい。（平成２４年５月４日付け）

　問題　→　私が追加した問題達も考察し図示願います。

　西山 享先生の真似は世界の悉皆の人が可能です。
（が見かけない理由が分からない..見たことが在ればご教示願います)

　飯高先生の著書 70p や硲 文夫先生の著 26p-37p の定義ではなく、西山　享先生の定
義の方の射影変換の真似も世界の　悉皆の人が可能です。　例えば、問題の射影変換を
次にかえて、問題群の解答を必ず為して下さい。

　(ｘ，ｙ)--->(X，Y)=((2ｘ - 4ｙ + 3)/(6ｘ - 2ｙ + 4)， (4ｘ - 3ｙ + 3)/(6ｘ - 2ｙ + 4))

　西山 享先生は、難しいことを易しく説明可能な時代到来とBig なプレゼントを我々に。

 「パスカルの定理と幾何学の精神」 （氏のライフワークで昨日も更新！）

  今回のは、そのほんの一部のささやかな具現です。　変換

　(ｘ，ｙ)--->(X，Y)=((2ｘ - 4ｙ + 3)/(6ｘ - 2ｙ + 4)， (4ｘ - 3ｙ + 3)/(6ｘ - 2ｙ + 4))

後の曲線の双対曲線も是非求め、此処に提示願います。（具現例が存在しないのが不可解)

（参考）　「数学の勉強法」、「代数幾何との出会い」、「Resultant（終結式）」


　今回は、人類至宝の最高峰の定理と數學者に認知されているらしいn=2に限定の定理
（志村五郎　諸氏　著作の396p-399）を高校生向け問題の問題に具現したい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月５日付け）

　資料の定理1.5 を小中高大院の方が腑に落ちる理解を目指したい。

　ｘ² + ｙｘ - 3ｘ + ｙ² - 3ｙ + 2=0 の主軸問題を本当に解いて、（無論、準円や焦点達は要求
されなくとも求めて図示）赤の円錐曲線になることを示して下さい。(高校生向け問題）

　此れは、有理曲線であることは周知（例えば、硲 文夫 著 50p 演習問題4）ですが、敢えて、
非有理点達を６点気儘に指定します。（無論、此れが有理曲線なのは50pで証明されている
ので、有理点達を6点必ず自ら指定し、どうぞ)

{{-(2 + )/(5(3 + )), (22 + 9)/(15 + 5)},
  　{/(-7 - 3), (8 + 5)/(7 + 3)},
　　　　{(2 - )/(3 + ), (2 + )/(3 + )}, 
　　　　　　{(-4 + )/(-3 + ), (-4 + 3)/(-3 + )},
　　　　　　　　{(-6 + )/(-7 + 3), (7(-2 + )/(-7 + 3)},
  　　　　　　　　　　{(-8 + )/(5(-3 + )), (32 - 11)/(15 - 5)}}

　この各点に於ける接線を飯高先生の受講生が為す発想で、即ち、双対曲線を容易に知
悉の逆写像を求める発想で求め、本当に獲た双対曲線を図示して（しまった）事実から、
「Pascal-Brianchon theorem」を深く理解し、「Projective Geometry」も味読し、「布列安桑
定理」を理解し、世界史専門の社会の先生の(思想)講義素材は難解なので避け、図を視
て、資料に掲げられている　文献は、参考資料と「軌を一に」にしてる所以は 如何？


　前回の双対曲線を求めてのPascal(1623.6.19-1662.8.19）の双対のBrianchon(1783-1864)
(年代に留意!)の定理の問題を全て解いた學生Bが射影変換したらどうなると問題を提起し
た。（平成２４年５月６日付け）

　視たら瞬時に題意が分かるでしょうが、丁寧に問題を提起します。

(1)　先ず、c： ｘ²+ｙｘ-3ｘ+ｙ²-3ｙ+2=0 を射影化し、C： ｘ²+ｙｘ-3ｚｘ+ｙ²+2ｚ²-3ｙｚ=0 を確認し、
　　M(C)を求めて下さい。（硲 著 37p の 2 のような問です）

　學生B は本当に其れを為し非齊次化し図示すると、楕円cが双曲線になったと。他の研究
室のメンバー曰く：硲 著 28p や飯高先生の著書68p だから、同一視するのねと。傍らで聴
いておられた飯高先生は、若い故柔軟だなァ、違うのに同一視出来るなんてと。そして、追
加問題を提起されたMの方でなく、赤の楕円cをM(C)を非齊次化した赤の双曲線に写す写
像を必ず求めてと。「輓近代数学の展望」の27p -29p をも(群論的見方の俯瞰的な点の諒
察）参照してと。

(2)　{-(2 + )/(5(3 + )), (22 + 9)/(15 + 5)}を硲著13pに倣い、
　　{-(2 + )/(5(3 + )), (22 + 9)/(15 + 5), 1}　と埋め込み inj
　　C：ｘ² + ｙｘ - 3ｚｘ + ｙ² + 2ｚ² - 3ｙｚ=0 を満たすことを確認し、
　　{-(2 + )/(5(3 + )), (22 + 9)/(15 + 5), 1}のMによる像を求め、上のinj の逆
をなし図示すると、青点になることを他の5点についても為して下さい。

(3)　C：ｘ² + ｙｘ - 3ｚｘ + ｙ² + 2ｚ² - 3ｙｚ=0 の
　　P[1]={-(2 + )/(5*(3 + Sqrt[2])), (22 + 9)/(15 + 5), 1}に於ける接線(硲著 53p)
　　を求め、非齊次化し図示すると、双曲線の接線t1になることを確かめ、他の全ての点に
　　於ける接線(硲著 53p)を必ず求めて非齊次化し、図示すると黒線になることを示して下
　　さい。

(4)　上で求めたt1、t2、t3、t4、t5 を考えて、２つ組み合わせ、その交点を求め、気づいたこ
　　とを（発見かも）定理として記述して　下さい。

　これを聴いた學生Pが、射影変換MがM(C)の非齊次化が双曲線になるよう指定されている
が、MをかえてM(C)の非齊次化が放物線になるようMを定め、上の(1)-(4)に該当することを
かなり時間を要するが全て為そうと提案した。

　傍らで聴いておられた飯高先生は、そもそも資料のBrianchon(1783-1864)の定理には、楕
円の絵が書かれていて、定理には既約conic と。學生Bや學生Pが主張する双曲線や放物線
について見たことがないと呟かれた。それにしても代数幾何では齊次化、齊次化と先ず其処
から開始するなァと嘆息の學生D(Dehomogeniation)。そう云えば、飯高先生も先ず齊次化と。
（→　参考）

　學生Cが射影変換と云えば先ず複比が記載されている（→　参考：「Projective Geometry」）
けれど、巧く操れず落ち込むのだが皆んなどう？と。（他の科では全然複比のふの字も講義
では出ないとも聴いたがと)飯高先生は黙って観察されていた。


　「二次形式」や「標準形への変換」は、硲 文夫 著　第3章　射影多様体の中心的なテーマ
でした。（平成２４年５月７日付け）

　硲 文夫 著　第6章 楕円曲線1、第7章 楕円曲線2 は、(14)が、Weierstrassの標準型(（硲
文夫 著　 71p)と在り、任意の非特異3次曲線（硲 文夫 著　53p 55p, 71p) は、Weierstrass
の標準型(（硲 文夫 著 71p)に直せるとあります。

　二次曲線、曲面、...の標準形への変換は履修済の學生Cが、(14)=Weierstrassの標準型
(硲 文夫 著 71p (6.1))への具現を為したいと研究室に問題を持ち込んだ。

　３変数齊次多項式

　F[ｘ，ｙ，ｚ]=-344ｘ³+1840ｙｘ²-896ｚｘ²-2800ｙ²ｘ-438ｚ²ｘ+2440ｙｚｘ+1000ｙ³+87ｚ³+10ｙｚ²-900ｙ²ｚ∈k[ｘ，ｙ，ｚ]

を定め、C=V(F) をWeierstrassの標準型( 硲 文夫 著 71p (6.1) )へ変形したい。
（硲 文夫 著148pをも参照しつつ）

傍らで、ニコニコしながら聴いておられた飯高先生は、こりゃ手間を要するなァ-と呟かれた。
（2次曲面の標準型への変換すら__分を要するので)

(0)　先ず、非齊次化し、

　　　c：-344ｘ³+1840ｙｘ²-896ｘ²-2800ｙ²ｘ+2440ｙｘ-438ｘ+1000ｙ³-900ｙ²+10ｙ+87=0

　　が非特異であることを「Wolfram|Alpha」に挿入し、確かめて下さい。

(1)　射影変換：(ｘ，ｙ，ｚ)---M--->(-(3ｘ/5) + ｙ - 3ｚ/10， ｘ/5 - ｙ + 3ｚ/5， ｘ - 2ｙ + ｚ)
　　によるCの像M(C)を求めて下さい。（硲 文夫 著　37p の 2 の真似です）

　　　Weierstrassの標準型(（硲 文夫 著 71p)になりましたか? 71p-に倣い、[0，1，0]に於け
　　る接線を求め考察を続行願います。

(2) 　Weierstrassの標準型を獲たら、其れを非齊次化して下さい。そして、「Wolfram|Alpha」
　　に挿入し、(今度は楽々挿入可能の筈)変曲点が在りそうな点を指さし、計算で、その点
　　を求めて下さい。其の際、齊次化した方の硲 文夫 著 148p (5) を必ず　用いて下さい。

　　変曲点の定義は硲文夫著　 72p　(6.2) です。

　　変曲点を求める際、双対曲線(硲 文夫 著151p- には2次曲線しかないが)を求め、その
　特異点を求める発想をも愉しみたい。

　　獲た Weierstrassの標準型の方から多様な発想で双対曲線を求め、非齊次化し特異点
　を求めてください。

　　今度は、獲たWeierstrassの標準型を非齊次化し、多様な発想で双対曲線を求め、特異
　点を求めてください。

　ここまでの問題達を視た學生E が云った。：目的のWeierstrassの標準型は瞬時に獲られ
その後の問題が多いなァ-と。そもそもMを自ら求めるべきところが与えられているので、今
回は標準化初夜だから其処を今後の課題にしようと 。

　それを聴いた輓近の學生Bが、「輓近代数学の展望」のエルランゲンプログラムが記載さ
れているところの射影変換m：m(ｘ，ｙ)=(   /    ，   /   )　を自ら決定し、

　　　c：-344ｘ³+1840ｙｘ²-896ｘ²-2800ｙ²ｘ+2440ｙｘ-438ｘ+1000ｙ³-900ｙ²+10ｙ+87=0

の像m(c) を多様な発想で求め、その双対曲線を多様な発想で求め特異点を求めて、m(c)
の変曲点を求めてください。

　此処まで聴いた學生がMやmの像を求める常套手段の逆写像M^-1、m^-1 以外が気になる
なァ-と。

　無論、今回の重要な変曲点を求める発想は多様に在り、例えば、「デカルトの精神と代数
幾何」の始めの方のかなり大変であると書かれてある発想でも求めて下さい。（何個?)

　追記（１　２）


(1)　硲 文夫 著　代数幾何学　50p に文字をあわせ、A²の２次曲線：

c： ａｘ² + 2ｂｘｙ + ｄｙ² + 2ｃｘ + 2ｅｙ + ｆ = 0  の齊次化を為し、
C： ａｘ² + 2ｂｙｘ + 2ｃｚｘ + ｄｙ² + ｆｚ² + 2ｅｙｚ = 0　を、

　M={{2, 0, -1}, {0, Sqrt[3], 0}, {1, 0, -2}} の定義するP²の射影変換
　(ｘ，ｙ，ｚ)---M--->(X，Y，Z)=(2ｘ - ｚ， ｙ， ｘ - 2ｚ)
で、どのような曲線に写るか、多様な発想で求めてください。(37p の真似です)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月８日付け）

　(多様な発想の意味は、28pの如く、逆行列を求めない発想をもの意ですから、是非)
(そんな発想初夜の方は数多存在の予感です。此れが優れものであるのです)

(2)　M(C)=C となるCを求めて下さい。

　それを聴いた輓近の學生Bが、以下の問題を提起した。

　「輓近代数学の展望」のエルランゲンプログラムが記載されているところの射影変換mを自
ら決定し、m(ｘ，ｙ)=(   /    ，   /   )

　c：ａｘ² + 2ｂｘｙ + ｄｙ² + 2ｃｘ + 2ｅｙ + ｆ = 0  の像m(c)を求め、m(c)=c なるmで不変となるc
を求め、更に、c上の点p[j]を７個定め、c(p[j])を求め、何処が何処に写るかを示して下さい。

　更に、円に限定し、c[r]：ｘ² +ｙ² =ｒ²  の像m(c[r]) を、r∈{1/3，2/3，1，2，3，2012} の場合
の像を求め、その名称を云い、何故　m(c[r]) の名称が激変するのか、其の理由を記載願
います。

 　m で∞に移る直線は自明でしょうが明記願います。(mで不変な二次曲線が在り、且、そ
のmは或る直線を∞に飛ばすのです）

(3)　2次曲線に限定せず何でも写してやろう精神も必要なので、90p のE：ｙ²=ｘ³-ｘ の像m(E)
　　を求め、更に、m(E)の双対曲線m(E)^*を多様な発想で求め、特異点も求め、観察しようと
　　學生Dが提案した。

　3次曲線Eに惹かれる學生Dは、m(E)や双対曲線m(E)^*を自ら求め、双対曲線m(E)^*をも図
示し、視える特異点を指さしながら、m(E) の変曲点や二重接線の反映ですとメンバーに解
説した。二重接線と聴けば、飯高先生の高次曲線論を想起した學生B が、即座に検索し辿
りついた「勉強しよう数学」。

　双対曲線（定義は、硲 文夫 著150p-)のまさに出番と學生Bが、

　27ｘ⁴+108ｙｘ³+158ｙ²ｘ²+144ｙｘ²+100ｙ³ｘ+288ｙ²ｘ+23ｙ⁴+128ｙ³+128ｙ²-256ｙ=0

を瞬時に導出し、特異点（定義は、硲 文夫 著　53p)達を求め、二重接線のみならず、問題
には明らかに変曲点（定義は、硲 文夫 著　72p)が2つ在るので、其の点に於ける接線達も
求め、図示し、皆んな双対曲線を求めての導出を深く理解し、飯高先生も思惑どおりに事が
運び、満悦の表情を見せておられた。

　此処をご覧の世界の皆様へ：學生諸氏が提起した上の諸問題を解き、此処に提示願いま
す。なお、

「27*x^4 + 108*y*x^3 + 158*y^2*x^2 + 144*y*x^2 + 100*y^3*x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 + 288*y^2*x + 23*y^4 + 128*y^3 +  128*y^2 - 256*y=0」

は工夫し、「Wolfram|Alpha」に挿入し、想定の範囲内の特異点達が眼前に現ることを視て、
計算で特異点達を求め、二重接線やその他の接線を求め、「勉強しよう数学」の解答の二
重接線　になることを　確認願います。

　「勉強しよう数学」の方は、【高校数学リンク】で、「私的数学塾」、「青空学園数学科」に
リンクを張られ、常時関連する話題をわかりやすく解説されておられます。
(今日はじめて漂着しての感想ですが...)
（射影幾何學にも造詣が深い方のようで、(1)-(3)も即座に解かれるでしょう）（参考）


　c₁：ｙ=ｘ² を非齊次化し、C₁：ｙｚ-ｘ²=0　、c₂：ｘ²+ｙ²=1 を非齊次化し、C₂：ｘ²+ｙ²=ｚ²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月９日付け）

(1)　C₁をC₂に写す射影変換M∈GL(2+1，C) を求めて下さい。(定義は、硲 文夫 著 26p)

(2)　c₁をc₂に写す(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ) を求めて下さい。(このｍは下の定義のｍ)

　「輓近代数学の展望」のエルランゲンプログラムが記載されているところの射影変換
m：(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ)=(   /    ，   /   )

(3)　中学生既習の  c₁：ｙ=ｘ² 上の点p[j]を７個定め、その像m(p[j]) を求め、何処が何処に
　　写るかを示して下さい。（図示出来ますか?)

　上は、硲 文夫 著　27p,28p に決定過程を露わにせず、射影変換M ∈GL(2+1，C) 明示
に倣った問です。

(4)　C₁：ｘ²+ｙ²=ｚ² をC₂：ｘ²+ｚ²=ｙ² に写す射影変換M∈GL(2+1，C) を決定されておられる。
　　非齊次化して、c₁：ｘ²+ｙ²=1を、c₂：ｘ²-ｙ²=-1 に写す(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ) を求めて
　　下さい。

(5)　C₁：ｘ²+ｙ²=ｚ² をC₂：ｘ²=ｙｚ に写す射影変換M∈GL(2+1，C) を決定されておられる。
　　非齊次化して、c₁：ｘ2+ｙ2=1を、c₂：ｙ=ｘ2 に写す(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ) を求めて下さい。

　２次射影曲線(50p 4 のを　齊次化)の射影変換M ∈GL(2+1，C)で「Fin」と為さず、なん(次
射影曲線）でも写してやろう精神で、學生Fが次問を提示した。

(6)　C₁：24ｘ³ - 84ｙｘ² + 84ｙ²ｘ + ｚ²ｘ - 24ｙ³ + ｙｚ²=0  を C₂：-ｘ³ + ｚ²ｘ + ｙ²ｚ=0 に写す射
　　影変換M∈GL(2+1，C)を必ず決定して下さい。

(7)　非齊次化し、c1をc2に写す(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ) を決定して下さい。

(8)　更に、C₁、C₂の双対曲線 C₁^*、C₂^* （定義は　151p)　を求め、C₁^*をC₂^*に写す射影変
　　換M∈GL(2+1，C) を決定して下さい。


　「射影変換し云々」に遭遇しました。「EXAMPLE: PROJECTIVE TRANSFORMATION OF A CONIC」を
ご覧ください。

(0)　如何でしたか? このようなことの経験が在りますか?

　易しい双曲線 c： ｙ² + ｘｙ - 2ｘ - 1=0 を先ず齊次化し、C：ｙ² + ｘｙ - ｚ² - 2ｘｚ=0

　これに自ら射影変換Mを作り（ｘ + 4ｚ=0 を無限遠直線に飛ばす等目論見）作用させ、M(C)
を求め、 7ｘ² - 4ｙｘ + 54ｚｘ + ｙ² + 104ｚ² - 15ｙｚ=0　これを非齊次化し、楕円：
7ｘ² - 4ｙｘ + 54ｘ + ｙ² - 15ｙ + 104=0 を獲ています。その後、この楕円M(C)が有理曲線であ
ることを具現しています。

問(1)　c： ｙ² + ｘｙ - 2ｘ - 1=0 を 7ｘ² - 4ｙｘ + 54ｘ + ｙ² - 15ｙ + 104=0 に写す
(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ) を求めて下さい。(このｍは下の定義のｍ)

　「輓近代数学の展望」のエルランゲンプログラムが記載されているところの射影変換
m：(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ)=(   /    ，   /   )

(2)　m[ｘ，ｙ] = ((-26 + 15ｔ - 4ｔ²)/(7 - 4ｔ + ｔ²)， -(-2 + ｔ)ｔ/(7 - 4ｔ + ｔ²))から(ｘ，ｙ)∈c を求
　　めることにより、c の有理曲線化を為して下さい。

(3)　上の如く、迂回せず、直にcの有理曲線化を為して下さい。そして、M(C)の有理曲線化
　　をmを用いて為して下さい。有理曲線化については、硲 文夫 著　50p 4 や167p をご覧
　　ください。

　資料１、資料２絡みの問題を、今回の楕円　7ｘ² - 4ｙｘ + 54ｘ + ｙ² - 15ｙ + 104=0 で解くと、
ｔ= ｙ/(4 + ｘ) であることは自明ですが、

(4)　ｔ=-(26 + 7ｘ - 4ｙ)/(1 + ｙ) でもよいことを自ら導出して下さい。

(5)　今回定義された射影変換を楕円曲線 E：-ｘ³ + ｚ²ｘ + ｙ²ｚ=0 に施し、M(E) を求め、

(6)　其の双対曲線も求め観察願います。


　射影変換群で漂着.......。（平成２４年５月１０日付け）

　幾何光學と１次元射影変換をもっとはやく指摘されていたら....。幾何光學と１次元射影変
換双方に強い方々が世界に溢れて　いるのでしょう....。１次元射影変換の方から入門試み、
最初の複比で壁の高さが障害...の方は世の中に存在しないのであろうか......。

　「Projective Geometry」
1 Cross Ratio. Harmonic Conjugates. Perspectivity. Projectivity
　（Cross Ratio.と先ず複比を習得せよと ........。）
2 Desargue’s Theorem
3 Theorems of Pappus and Pascal
・・・・・

　「幾何光學」を視て知悉と叫ばれる方が世界に溢れている.......。
（→　参考：「計算する図」　射影幾何學産みのPoncelet等、nomographyで昔も今も実務で
　　射影幾何學が世界で駆使されておられるのでしょう...。）

（参考）　「On Jargon　The Lost Art of Nomography」（<-- 特に最後の方を味読願います）

　[1]が下のｍです。（此処の展開は奇妙....)

問(1)　c： ｙ² + ｘｙ - 2ｘ - 1=0 を 7ｘ² - 4ｙｘ + 54ｘ + ｙ² - 15ｙ + 104=0 に写す
　　　(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ) を求めて下さい。(このｍは下の定義のｍ)

　「輓近代数学の展望」のエルランゲンプログラムが記載されているところの射影変換
m：(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ)=(   /    ，   /   )

　「L3(ProjGeom)」は巧くまとめてあります。
(２次のみですが、飯高先生出題の双対曲線も在ります)
(この最後の群による視座の幾何にも留意して)

　この Removing projective distortion にｍ在り！大元はこれです。ここの
「Algebraic surface animations」　「More algebraic surfaces」の２次曲線は卒業したので不
要でしょうが、4次曲線の双対を求め、複接線をどうぞ。

　各代数曲面の双対曲面を先ず齊次化し求めて下さい。

　各代数曲面の双対曲面を先ず齊次化し必ず求めて下さい。定義についてはどの定義より
短いかも..。

　動画に触発され、位相空間Xに位相群Gが左から働いて（G×X--->X）いる講義を履修済
の學生Aが中高大院生向けの問を研究室に持ち込んだ。（平成２４年５月１１日付け）

　一部に限定し挿入すると、中学生知悉の2次代數曲線　ｙ-ｘ²=0　（Least squares）と教え
ていただいた。提示した各点を60度回転した点を求めて下さい。そして、それらは入りきら
ないので一部に限定し「Wolfram|Alpha」に挿入。

　想定の2次代數曲線が獲られましたか?依存せず、中学生知悉の2次代數曲線 c：ｙ-ｘ²=0
を動画に倣い、60度回転した曲線　r(60°)(c) を多様な発想で求めて下さい。

　c：ｙ-ｘ²=0 を非齊次化し、その双対曲線を求めて下さい。（発想も解答も硲 文夫 著166p,
200pに在りますが、視ないで自ら求め導出法を是非比較して下さい）

　r(60°)(c)  を非齊次化し、その双対曲線を必ず求めて下さい。そして、主軸問題を丁寧
に解き、図示してください。2次なら次数が不変なので、もう少し高次代数曲線で上のことを
為しなさいと飯高先生。

　學生Eは考えて価値の在る、2より高い次数の高次代数曲線が硲 文夫 著 90p E：ｙ²=ｘ³-ｘ
に在るので、其れを60度回転した曲線 r(60°)(E) を求め、それぞれ齊次化し双対曲線を求
め非齊次化し、動画に倣い図示し、アニメーション化しようと提案。

　傍らで聴いておられた飯高先生は、此の楕円曲線を少し改竄して試験に出そうと受講生
に聴こえるように呟かれた。

　なにか回転群 SO(2) のみ作用させ、像が想定の範囲内でつまらないと云う學生が存在し
たので（射影変換群を作用させ）、硲 文夫 著 90p E：ｙ²=ｘ³-ｘ に射影変換によるEの像や、
その双対曲線を求め、特異点も考察しようと學生Pが提案し皆んな直ぐ考察しはじめた。

　傍らで聴いておられた飯高先生は、此の問題を少し改竄して試験に出そうと受講生に聴こ
えるように呟かれた。（殆ど全ての學生が解くかなァと懐疑しつつ）

　射影変換、射影幾何學で彷徨い漂着。

　「投影図を利用した計算の一例−主に共面図表について−（能崎 克己　著）」については、
「複利計算を圖表」でと在り。（→　参考）

　背景には、射影変換や關係 F[u，v]=0、F[u，v，w]=0、F[u，v，w]=0 を3つの方程式
　f[ｘ，ｙ，ｕ]=0、f[ｘ，ｙ，ｖ]=0、f[ｘ，ｙ，ｗ]=0 から(ｘ，ｙ)を消去したものと見做す等、理論が在る
(行列式は常用し）..。（→　参考）

　造船、航海などの方面は見学すらしたこともないのですが、射影幾何學(双対)が背景に在
る圖表を駆使されておられそう......。非常に便利な圖だと仕事で常用される人に邂逅したこと
が御座いますか?（→　「The Complete Smith Chart」、「スミスチャート」

　上とは比較にならぬほど侘しい問ですがお願い致します。

　「Table[((1 - u)^2 + v^2)*x - 2*v == 0, {x, 1/12, 2, 1/6}] 」を「Wolfram|Alpha」に挿入し、各
代数曲線を齊次化し、双対曲線を多様な発想で求めて下さい。
（一つの発想は、硲 文夫 著 166p,200p に在ります)


　曲線・曲面の表現形式：３次元空間で２つの等式を定義（例 f (ｘ，ｙ，ｚ) = 0、g(ｘ，ｙ，ｚ) = 0）
⇒ 3自由度中の2自由度が拘束、残りは1自由度→ 曲線
（→　参考：「ソリッドモデルの表現法2」）　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月１２日付け）

H₁： ｘ + ｙ + ｚ = 0　、H₂： ｘ - 3ｙ + ｚ - 13=0　、S： ｚ³ - ｙ²ｚ² + ｘ² = 0

　３次元空間で２つの等式を定義（例 H₁、H₂）
⇒ 3自由度中の2自由度が拘束、残りは1自由度→ 曲線(H₁∩H₂：直線)

　H₁∩H₂ を射影変換、射影幾何學で彷徨い漂着。「投影図を利用した計算の一例−主に
共面図表について−（能崎 克己　著）」の21p-22pの真似をし、先ず、H₁∩H₂を求めると、

(1) k∋ｚ--->(ｘ，ｙ，ｚ)=(13/4 - ｚ， -13/4， ｚ)∈k³　となることを導出し、これがSに突き刺さ
　る刹那の点を求めようとすると、ｚ³ + 15ｚ²/16 + ｚ/2 + 1/16 = 0 を解くことに帰着すること
　を示して下さい。此処で、この３次方程式の判別式 D を求め、√[D]∈Q でないことを示し、
　「東大前期文系」の真似はそのままでは出来ない理由を記し、Qではなく、その或る拡大体
　で考察すれば、真似が叶うことを必ず具現して「も解」問題を解いて下さい。

　もとの問題にかえり、「z^3 + (15*z^2)/16 + z/2 + 1/16=0」を、「Wolfram|Alpha」に挿入し、
近似解でない正確な解を教示願い、 H₁： ｘ + ｙ + ｚ = 0　、H₂： ｘ - 3ｙ + ｚ - 13=0　、
S： ｚ³ - ｙ²ｚ² + ｘ² = 0　において、H₁∩H₂∩S をR³で解いて図示して下さい。

　ｚ³ - ｙ²ｚ² + ｘ² = 0 と ｘ + ｙ + ｚ = 0 を注視し、SとH₁の交線H₁∩Sを(ｘ，ｙ)平面に正射影し
考察したい。とても易しいが、敢えて多様な発想で此れを為し、
C： ｘ² - ｘ³ - 3ｘ²ｙ - 3ｘｙ² - ｘ²ｙ² - ｙ³ - 2ｘｙ³ - ｙ⁴=0 を導出し、「Wolfram|Alpha」に挿入し、
特異点達が在るなぁ-と注視し、その双対曲線C^*を必ず求め、「宜なるかな」と云わしめたる所
以を悉に此処に激白して下さいと、飯高先生の受講學生Dが研究室で問題提示したところ、皆
んな取りかかり始めた。

　飯高先生は、定性的な答えは瞬時に脳裏に描かれたが、昔出来なかったことが今は瞬時
に叶うので、PCに向かい具現された。

　飯高先生が為されたことに誤りが絶対ないか否かの確認は多様に存在します。「デカルト
の精神と代数幾何」の増補版に、この例も載せて代數幾何學にちょっとでも近親感を寄せて
ファンクラブを創設し本気で駄弁り　たいと。 (殆どすべての方が挫折を承知の上で）

　一番に為すべきことは、この７次代数曲線の齊次化を為し、双対曲線を本当に求め、Cに
なることを示すことです。限りなく易しいチェックは、硲 文夫 著　52p 命題5.2(練習問題群は
70p)を為せば直ぐ飯高先生が為されたことに誤りが絶対ないか否かわかります。

　「Lagrange Maltipliers に関する数式処理の3 次元グラフィクスについて」と今なら尚更軽々
グラフ化して誰でも各自のPCで出来ると書かれています。

(1)　c₁：ｘ³+ｙ³-3ｘｙ=0 と c₂：ｘ²+ｙ²-9/2=0　は、(3/2，3/2)で共通接線Tを有していることは自
　　明です。これ等を射影変換m で写した代数曲線を多様な発想で求めて下さい。

(2)　m(c₁)とm(c₂)は当然、共通接線を有している。多様な発想でそれを求めてください。特に、
　　双対曲線 m(c₁)^* とm(c₂)^* を求めて、それを求めることは 必ず為してください。
　　(先ず、m(c_j)を齊次化し、硲 文夫 著 151p 近傍を使います）

　「正葉線」のらすかる様のパラメタ-表示に倣い、c₁：ｘ³+ｙ³-3ｘｙ=0 のパラメタ-表示を為した
い。

(3)　これを下の思想によることを猛烈に意識して為したい。

　問　19-3 に関連する悩みは何度か質問を致しました。「平面曲線の幾何（飯高茂著）」で、
飯高先生は、他の方の書籍では言及されぬ「リュ-ロトの定理」を前面に押し出しておられる
のを拝見し、苦悩している學生KY （ K[Y]) が居ます。ＫY さんは、問　19-3 に酷似の問題を
其の下に提起しました。論文の定理1.3 近傍の例をご覧下さいと以前にもお願い致しました。

　問　19-3 の表現に倣い、 f(Y)=ｘ³ - 3ｘY + Y³∈K[Y] (Kは、体Q(ｘ))　略解に倣い、多義性
が在りますが、例えば、t=-(-3ｘ + ｘ² - ｘｙ + ｙ²)/(3ｘ)　とすればよい。なぜならの部分は為し
てください。

(4)　そして、この表示を用いて、次の例2を再び解いて下さい。

　「Lagrange Maltipliers に関する数式処理の3 次元グラフィクスについて」

　t=______のとき、ｘ³+ｙ³-3ｘｙ は、極大値9/2を獲る。

　同じ制約条件ｘ³+ｙ³-3ｘｙ=0 の下で、ａｘ+ｂｙの極値を求めよ(ａ=1、ｂ=1ですが、ａ=69、ｂ=117
も為すべき)という平成4年度　一橋大學院経済學研究科入試の問題が、
「MathematicaとTheoristでの大学院入試への挑戦」（現代数学社）に５頁に亘り、梶原先生
節が炸裂しており、Lagrangeには７行触れてあり、氏は、極座標(ｘ，ｙ)=(r・ｃｏｓθ，r・ｓｉｎθ)
で、ｘ³+ｙ³-3ｘｙ=0 の方もグラフ化され、ｘ+ｉ・ｙ=r（ｃｏｓθ+ｉ・ｓｉｎθ）について長々解説が在りま
す。

　今回の問題達　ｘ2+ｙ2、ｘ+ｙ ほど世の中に易しい問題は見当らないでしょう。或る変換群の
もとで不変で、答えは、ｘ=ｙ のときにきまってる故。そこを知らぬふりをして、第一象限のコン
パクトな集合上等ちりばめて解答用紙に記述すると評価が高い。


(0)　f[ｘ，ｙ]=3ｘ⁴ - 3ｙ²ｘ² + 5ｙ³ - 6ｙ² の極値を全て求めよ、と云う名古屋大學院多元数理
　　の問題に遭遇しました。（平成２４年５月１３日付け）

　「Lagrange Maltipliers に関する数式処理の3 次元グラフィクスについて」と今なら尚更軽々
グラフ化して誰でも各自のPCで出来ると書かれてるので、f[ｘ，ｙ]=3ｘ⁴ - 3ｙ²ｘ² + 5ｙ³ - 6ｙ²
の極値をグラフも描きながら求めて下さい。

　（大Hint） 「3*x^4 - 3*y^2*x^2 + 5*y^3 - 6*y^2」を「Wolfram|Alpha」に挿入すると、等位線
もサービスして呉れて、合わせ技でG(f) がより想像叶います。

　視ると、f(ｘ，ｙ)=0 には線が引ける幼児にも判る二重接線が在りますが、それを是非双対
曲線を求めて遊びたいでしょう。(2本より多く在ります）

　名古屋大學院多元数理の 極値問題は、やり甲斐の在る問題で院試にも出題すべきと飯
高先生が云われたので、受講生は直ぐ取かかり、只今双対化中...。

　飯高先生は呟かれた。：過去問よりは、やり甲斐の在る問題だと。

　それを聴いた學生諸氏は、俄然ヤル気が出て只今各自の発想で具現中。（→　Ｈｉｎｔ）

　定義(世界一短い定義）より、先ず、齊次化：3X⁴ - 3X²Y² + 5Y³Z - 6Y²Z²=0

(2)　pdf に倣い、制約条件( g(ｘ，ｙ)=ｘ³+ｙ³-3ｘｙ とし) g(ｘ，ｙ) =0  の下で、
  　f[ｘ，ｙ]=3ｘ⁴ - 3ｙ²ｘ² + 5ｙ³ - 6ｙ² の極値 (3つ在り、k[1]、k[2]、k[3] とする。k[1]=極大値)
　　を多様な発想で求めて下さい。

(3)　当然、g(ｘ，ｙ)=0 と f(ｘ，ｙ)=k[j]　には共通接線T[j] が在ります。それを敢えて、それぞれ
　　の双対曲線を求める発想でも求めて下さい。(j∈{1，2，3})その状況をひと目で分かるよう
　　グラフ化をもして下さい。

　c₁：g(ｘ，ｙ)=0 と c₂：f(ｘ，ｙ)=k[1] を射影変換ｍで写した代数曲線を多様な発想で求めて下
さい。

(4)　m(c₁)とm(c₂)は、当然、共通接線を有している。多様な発想でそれを求めてください。


　多項式環 k[X，Y]　k[X，Y]/<f[X，Y]>　ｘ=X+<f[X，Y]>、ｙ=Y+<f[X，Y]> に過敏になり、
C={(ｘ，ｙ)∈k²|f(ｘ，ｙ)=0} k[ｘ，ｙ]から美しい大域的な定理を生む為、射影代数曲線を考察の
出発点で、P²(ｋ)の元を、<ｘ₀，ｘ₁，ｘ₂>(群k^×の作用による商空間)　と文字を使う。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月１４日付け）

　例えば、第0部 デカルトから現代の代数幾何学まで　第1部 代数曲線の幾何学(高次曲線
論　アフィン代数曲線　射影代数曲線　 一般化して、<ｘ₀，ｘ₁，・・・，ｘ_ｎ>派と、右(方式)派(例
えば、硲 文夫 著）、河田　著は左(方式)派、Walkerは___派?

　(ｘ，ｙ)を(ｘ¹、ｘ²)=(函数の組)　(ｘ，ｙ，ｚ)を(ｘ¹、ｘ²、ｘ³)=(函数の組)
多次元へ一般化する際、あなたならどうする...左派、それとも右派。（→　参考）

　左派方式で、F(X)=X₀X₁X₂-X₁³-X₂³(齊次化済）について、非齊次化すると、____________。其
れを齊次化し、元に戻ることを確認の上

(1)　Hessian H(X)=0 の定義を記し、（F(X)がn次齊次既約齊次式なら、3(n-2)次齊次多項式
　　H(X))　H(X)=0を求めて下さい。

(2)　F(X)=0とH(X)=0 の共通解を全て求めて下さい（無論、C³ で）

(3)　変曲点の定義を記し、F(X)=0の変曲点を求めて下さい。何個在りましたか?

(4)　F(X)=0の双対曲線の定義を述べ（一行で済む世界最短の定義です）、定義に基づき双
　　対曲線を多様な発想で求め、そのHessian H(X)=0の共通解を全て求めて下さい。
　　（無論、C³ で）

　上で為して獲たものを全て非齊次化し、C² でなくR² で図示し、双対曲線の方の特異点が
双対化される前のこの点に対応すると指さし解説し、その対応写像をも明記願います。

　今回の飯高先生の出題は、Hessian H(X)=0 の定義を記し等出題されたのです。

　「The Projective Plane」の「x^5 + 3*y^2*x^2 + y*x^2 - 5　=0」を「Wolfram|Alpha」に挿入す
ると、眼前の2+3次曲線には、定規を手にした幼児でも叶う二重接線や（変曲点）に於ける接
線が在ると叫ぶに違いない。;

c₁： ｘ⁵ + 3ｙ²ｘ² + ｙｘ² - 5 = 0 を齊次化して、C₁：X⁵ + YZ²X² + 3Y²ZX² - 5Z⁵=0　なので、
PCに向かわれた飯高先生が即座に双対射影曲線 C₁^* を求められ、更に、非齊次化し、c₁^*
を受講生に示され、二重接線や変曲点満載の資料も味読し、行間を大いに埋め、c₁^* の特
異点達を求め、其れを用いて、c₁ の二重接線や（変曲点）に於ける接線を求め図示してと
學生に云われた。為し終えたら、デカルトの精神と代数幾何（増補版）の更なる増補版に載
せるからと。俄然、受講生諸氏が色めき立ち、先ず　飯高先生の導出された双対曲線を齊
次化し、その双対曲線が元の C₁：X⁵ + YZ²X² + 3Y²ZX² - 5Z⁵=0 になるか先ず証明し、c₁^*
の特異点達を求めて云々の問題を解こうと、只今具現中。

　確認だけなら、c₁上のたとえば、(1， -4/3)に於ける接超平面は　Grad(f) 場を求めて
13(ｘ - 1) - 7(ｙ + 4/3)=0 を獲、-39ｘ/67 + 21ｙ/67 + 1=0　から(-39/67，21/67) を飯高先生
が導出されたc₁^*上に在るか否かで容易に叶うわと學生H。(あの長大な12次の左辺に、此
れを代入し計算はPCにやらせればよいとも）上は、「The Projective Plane」の4p-5pに記載
在りとも。

　以下、些細に見えて、初心者が意外と双対曲線具現の際、困惑することを記載しました。

　なんで、-39ｘ/67 + 21ｙ/67 + 1=0　と左辺の定数項を1としたの ?なんて、ボケとツッコミが
在る方が愉しいがと飯高先生が大声で云われたが、受講生全員が怪訝な顔なので、更に
定数項が1でなきゃいけないんですか!-1 じゃだめなんですかと云われた。其れにもかかわ
らず未だ受講生全員が怪訝な顔なので、飯高茂著 代数幾何学 I, II, IIIの双対曲線を読ん
でいないことが判明したと本人から云われ、みんな鞄から書籍IIIを取り出し、ｕｘ+ｖｙ=1 と書
いてあるのをはじめてみて、そんな流派もあるのかと叫び、本質的な違いはないが、双対曲
線を求めなさいと講義の後出題されたら、２通りの解答が在り飯高先生に迷惑をかけること
になるからどちらかに決めて今後は求めることにしようと意見が別れなかった。無論、双対
曲面の際も。


　c₁：「y^3 = x^2/4+27/4」を「Wolfram|Alpha」に挿入して下さい。（平成２４年５月１５日付け）
これは、楕円曲線（齊次化し、硲 文夫 著　71p 参照）ですが、

(1)　見慣れた楕円曲線ですか?

(2)　c₁の変曲点を全て求めてください。（其の際、双対曲線c₁^*を求めての発想も願います）

　実は、c₁は、フェルマ-曲線　ｘ³+ｙ³=1 を射影変換して獲たものです。その射影変換を具
現して下さい。具現されるまで絶対次を視ないで下さい。具現されたなら→　参考

　具現された射影変換 M∈GL(2+1，k) をこの右の変換ｍで表現すると、

　(ｘ，ｙ)---ｍ--->ｍ(ｘ，ｙ)=(9(ｘ + 1)/(1 - ｘ)， 3ｙ/(1 - ｘ)) となりましたか?

　提示したｍを用いて、多様な発想で、ｘ³+ｙ³=1 が、c₁： ｙ³ = ｘ²/4+27/4　なる楕円曲線に
変身することを確かめてください。発想の一つは、消去イデアルを推奨致します。

　楕円曲線に変身しただけで満足せず、ｘ³+ｙ³=1 上の点を７個指定し、各点が
c₁： ｙ³ = ｘ²/4+27/4　なる楕円曲線上の何処に写像されたかをも色分けし、そうかと誰でも
頷く具現を願います。

　今回の射影変換による硲 文夫 著 71p への標準形への具現は、148p 3 (特に(7)) の具現
に相当します。(適当に射影変換)

　これで話が終わる筈がありませんが....道草を喰らい、

円 (ｘ-ｘ₀)²+(ｙ-ｙ₀)²=1 の双対曲線については、硲 文夫 著　166p 200p に解説が在ります。

　ｘ³+ｙ³=1 の双対曲線を多様な発想で求め、考察願います。そのｍによる像の
c₁： ｙ³ = ｘ²/4+27/4　なる楕円曲線の双対曲線を多様な発想で求め、考察願います。

　ｘ²+ｙ²=1、ｘ³+ｙ³=1 の双対曲線を上で求めて、求めないではいられない身體になった學生
は、ｘ⁴+ｙ⁴=1、ｘ⁵+ｙ⁵=1、・・・、ｘ2012+ｙ2012=1 の双対曲線達を嬉々として求めるのを目の当
たりにされた飯高先生は、遅く生まれれば（著作書籍に具現例を満載叶い）更に、人生がか
わったろうにと、嬉々として具現する受講生をみて感慨にふけられておられ自らも双対曲線
化に参加され、もう午前 5 時だから散会しようと帰宅を促された。


　研究室に頗るシンプルな問達を飯高先生の受講生Nが持ち込んだ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月１６日付け）

　視ると全て非線型写像ばかりで、問われなくてもJacobian matrix and determinant は求め
て考察しようと皆んな。非線型写像は幾度も邂逅したと皆んな。例えば；例１、例２

(ｘ，ｙ)--F-->F(ｘ，ｙ)=(3(25ｘ²-75ｘ+25ｙ²-70ｙ+49)/(25ｘ²-150ｘ+25ｙ²-70ｙ+274)，
　　　　　　　　　　　　　　(175ｘ²-1050ｘ+175ｙ²+635ｙ+343)/(5(25ｘ²-150ｘ+25ｙ²-70ｙ+274)))

とする。(とさりげなく定義)

(1)　Fによる c：ｘ²+ｘｙ+ｙ²=1 の像F(c)は代数曲線である。F(c) を多様な発想で求めて下さい。

(2)　cは、有理曲線故、F(c)も有理曲線は自明と片付けず具現して下さい。

　資料１、資料２の具現を片時も忘れず、

(3)　c とF(c)の双対曲線c^*、F(c)^* を多様な発想で求めて下さい。

　傍らの飯高先生が双対曲線の定義は講義で為したが、必要な人もそうでない人もせめて
次の囲み部分はぐっと睨んでと要望された。囲み部分を視た學生は、先ずそれぞれの齊次
化を為しはじめた。

(4)　F(c)に、二重接線Tが在れば、F(c)^*を使い求めて下さい。そして、c、F(c)、双対曲線c^*、
　　F(c)^*、Tを図示願います。

(5)　cは、有理曲線故、双対曲線c^*も有理曲線は自明と片付けず具現して下さい。

(6)　F(c)は、有理曲線故、双対曲線F(c)^*も有理曲線は自明と片付けず具現して下さい。

　今度は、真ん中の写像　を　F としたい。自ら作成してもよいですが、例えば、写像を F と
します。(ｘ，ｙ)--F-->F(ｘ，ｙ)=(ｘ/(1-ｙ)，ｙ/(1-ｙ))　そして、(1)-(6) の如き問題を解いて下さい。

　問題の易しい2 番を為そうと學生Iが研究室に問題を持ち込んだ。

c₁：ｘ² + 2ｙ² - 3=0　、c₂：ｘ² + ｘｙ + ｙ² - 3=0

<ｘ² + 2ｙ² - 3，ｘ² + ｘｙ + ｙ² - 3>∩k[ｙ]　を求めて下さい。

<ｘ² + 2ｙ² - 3，ｘ² + ｘｙ + ｙ² - 3>∩k[ｘ]を　求めて下さい。

k=C のとき、c₁∩c₂ を求めて下さい。k=Q() のとき、c₁∩c₂ を求めて下さい.

c₁、c₂ の双対曲線 c₁^*：k[X，Y]/<f₁^*(X，Y)>、c₂^*：k[X，Y]/<f₂^*(X，Y)> を求めて下さい。

<f₁^*(X，Y)，f₂^*(X，Y)>∩k[Y] 、 <f₁^*(X，Y)，f₂^*(X，Y)>∩k[X]を求めて下さい。

k=C のとき、c₁^*∩c₂^* を求めて下さい。

(ｘ² + ｙ)(ｘ² + 2ｙ² - 3)+(3ｘ + ｙ)(ｘ² + ｘｙ + ｙ² - 3) =0　(c₁∩c₂ を通る曲線)
(ｘ + ｙ²)f₁^*(ｘ，ｙ)+ ｙf₂^*(ｘ，ｙ)=0　(c₁^*∩c₂^* を通る曲線)  に共通接線が在るでしょう。

　双対曲線達を求めて考察して下さい。

　最低次元のばかりと揶揄されても（ホントのコトだから)仕方がないが、代数曲面化を為せ
と云う1番を為そうと學生Kが提案した。1番で獲られた代数曲面Sの双対曲面S^*を是非求
めてと飯高先生が要求され、只今各自の発想で具現中。

　此処を訪問の世界の方へ：學生が為す前に双対曲面S^*を求め、特異点をも調査願いま
す。1番の(a)を為した學生Aが「あっ! 赤ちゃん、チャプチャプだ!」と、皆んながそうだと云い
双対曲面が想定の範囲内かに興味津々であった。


　３次元形状を２次元面に投影する同次座標と射影変換について学ぶ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月２１日付け）

　幾何変換の時と同様に行列の積で演算を行うことができるように、投影の一般式を同次
座標で表し、射影変換による表現に変更する。また、z’=0 であるので、これを射影変換に
より表現すると、(4.11) とありますが、GL(3+1，k)の元?(ミス?)大元は、秋田高専。

　資料　6p 以降に、

(0)　投影の一般式が導出してあり、これらの関係式はこのままでは使い勝手が悪い。
      (とありますが、使い勝手が悪くても使いたい) 

　目をE(1，2，3) に置き R³に於ける曲線や曲面が(ｘ，ｙ)平面に如何に投影されるか視たい。
変換は、(ｘ，ｙ，ｚ)--F-->(X，Y)=((ｚ - 3ｘ)/(ｚ - 3)，(2ｚ - 3ｙ)/(ｚ - 3)) となりますか?ならなけ
れば修正し、以下の問題達を解いて下さい。

(1)　直線p(t)={1，2，0} + t{0，0，1}の各点の像を自明ですが、求めて下さい。
      F(p(t))  (t∈{-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5} )

(2)　問題集の1番の曲面 SのFによる像F(S)を求め、その双対曲線F(S)^*も求めよ。

(3)　Viviani's window（動画）なる(1)(2)の二曲面の交線S₁∩S₂(a=2とする) のFによる像
　　F(S₁∩S₂) を求め、その双対曲線F(S₁∩S₂)^* を求めよ。

　私が為すと、像F(S₁∩S₂)は（２箇所隠匿しましたが、決めるのは容易です)
     x^4 + 48*y*x^3 - 136*x^3 + 10*y^2*x^2 - 400*y*x^2 + 1216*x^2 + 48*y^3*x - 344*y^2*x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 1664*y*x - 3456*x + 9*y^4 - 336*y^3 + 1792*y^2 +隠匿１*y +　隠匿２=0

　（Viviani's window 上に 点達：{{3, -Sqrt[3], -2}, {2*(1 + Sqrt[3]/2), -1, -Sqrt[2]*(-1 + Sqrt[3])},
{4, 0, 0},{2*(1 + Sqrt[3]/2), 1, Sqrt[2]*(-1 + Sqrt[3])},{3, Sqrt[3], 2}, {2, 2, 2*Sqrt[2]},{1, Sqrt[3], 2*Sqrt[3]},
{2*(1 - Sqrt[3]/2), 1,Sqrt[2]*(1 + Sqrt[3])}, {0, 0, 4}}   が在る故）

　飯高先生は再度云われた。「是非、双対曲線F(S₁∩S₂)^* も求めて」と。

　三次元物体と視点との間に投影面を置き、3次元物体上の任意の点と視点とを直線（投影
線）で結んだ場合、投影線と投影面の交点を得ることが出来、その点を結んでいくことで投影
面上に立体物の平面投影図を得ることが出来る。上の問のような投影を軽々画家は為され
るのでしょうか?（→　「Oblique projection 」）

　Japan Society for Graphics Science　への画像としての曲線と数学での曲線と飯高先生
の記事在り。問題集の1番の曲面Sの切り口にも言及が在ります。

(4)　Viviani's window 上に３点A、K、Bを定め、F(A)、F(B)、F(C)を求め、三角形AKBの面積
　　と三角形F(A)F(K)F(B)の面積を求めて下さい。

　面積について、AKB・48=F(A)F(K)F(B)  となる△AKBは存在しますか?
　面積について、AKB=48・F(A)F(K)F(B)  となる△AKBは存在しますか?

（→　参考）


　「complex　graph」なる「アンバランス」な　(r，s)--->(X，Y，Z)=(Re[ｘ]，Im[ｘ]，Re[ｙ])　に邂
逅。（平成２４年５月２３日付け）

(1)　こんなの初体験ですと學生が研究室に持ち込んだ。(Re[ｘ]，Im[ｘ]，Re[ｙ],，m[ｙ]) と何故
　　しないの? と訝った。何時も　t--->(ｘ，ｙ)=(f₁[t]，f₂[t]) (f_j[T]∈k(T))  に邂逅都度、t=r+s・i
　　と為し、「アンバランス」な　(r，s)--->(X，Y，Z)=(Re[ｘ]，Im[ｘ]，Re[ｙ])　を考察するの? と。

　　　「判別式と終結式」の 10p 近傍の例達で「アンバランス」な考察をして下さいと、特に易
　　しそうな　t--->(t²，t³) で。遠慮せず　t--->(t²，t^m)  (m∈{5,7,9,11,13,15,17,19,....})もと。

　學生達は、例えば、 t--->(t²，t¹⁵)　の場合は、

　　　　{r^2 - s^2, 2*r*s, r^15 - 105*s^2*r^13 + 1365*s^4*r^11 - 5005*s^6*r^9 + 6435*s^8*r^7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 - 3003*s^10*r^5 + 455*s^12*r^3 - 15*s^14*r}

　で、えー...と為しながら何か助言をいただけないかと飯高先生を見つめた。t=r+s・i と為し、
「アンバランス」な考察に関心を寄せられている風情であった。

References に
1.F. Kirwan, Complex algebraic curves
2.R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces
3.M. Reid, Undergraduate algebraic geometry
4.G. Springer, Riemann surfaces
とあり、F. Kirwan, Complex algebraic curves で検索すると、書籍があったと。

　「complex　graph」では、(2)　t=y/x としてあるが、t= -(-ｘ- ｘ²)/y ではダメなんですか? と
學生L。學生Lは、資料を念頭に置き、

(3)　「complex　graph」に提示してある曲面から r，s を消去し、代数曲面化を為し、その代
　　数曲面の双対曲面を求めてと飯高先生が受講生に要望された。


　If we eliminate z between 4*x^2 + y^2-z^2 = 1 and z = x^2,we obtain y^2 = x^4-4*x^2 + 1,
which is the equation of a hyperelliptic curve.（平成２４年５月２６日付け）

　one‐sheeted hyperboloid　4ｘ² + ｙ² - ｚ² = 1　に邂逅。hyperelliptic curve　ｙ² = ｘ⁴-4ｘ² + 1
を「Wolfram|Alpha」に挿入し、こんな問題達はどうとガロア理論受講生の學生Gが研究室にも
ちこんだ。

(1)　ｙ² = ｘ⁴-4ｘ² + 1 ＆　ｙ=0　の「も解」問題を解いて!　即座に、學生M が解いた。一つの解
　　をαとすると、他の解は、{-α，4α-α³，α³-4α}

　學生Mが導出したことが正しいことを証明願います。他の學生曰く、簡単な4次方程式だか
ら、直に解いて、ｘ⁴-4ｘ² + 1=0 を「Wolfram|Alpha」に挿入。√(2-)をαとすると、他の、例
えば、√(2+)がαの多項式で表されるのね! と。具現してよと學生H。

　この4次方程式の分解式や判別式も求めるべきと傍らで聴いておられた飯高先生。

　ｙ² = ｘ⁴-4ｘ² + 1 ＆　ｙ = k で、ｘ⁴-4ｘ² + 1-k² の判別式Δの√[Δ] がQの元となるｋを見出
すと、ｋ=0 や　ｋ=36/39=12/13 が在ることを確認して下さい。

　ｘ⁴-4ｘ² + 1-k²=0  で、ｋ=12/13 のとき、この4次方程式の分解式を求めて、それがQ上完
全分解するか否か調べ、 ｙ² = ｘ⁴-4ｘ² + 1 ＆　ｙ=12/13　の「も解」問題を考察願います。

　ｘ⁴-4ｘ² + 1-k²=0  で、ｋ=1/7 のとき、この4次方程式の分解式を求めて、それがQ上ただ
一つ解が在ることを確認し、ｙ² = ｘ⁴-4ｘ² + 1 ＆　ｙ=12/13　の「も解」問題を考察願います。

　αが解なら、7α³/(4) - 7α/　も解じゃない？と學生D。どうやって導出したの？と
云われ、「変身願望果たせぬ法」に倣ったのよと學生D。

　7α³/(8)+√[49/148-7/74]α²+(1/6)(-3-7)α-2√[49/148-7/74]　も解じゃ
ない？と學生D。

　ｘ⁴-4ｘ² + 1-k²=0  で、自らｋを色々定めて、この4次方程式の分解式を求めて、ガロア群を
定めるとよいと傍らの飯高先生。各學生は思い思いにkを定め、只今悩みつつ奮闘中です....。

　以下の如く、四次方程式の内、奇数次の項が無いので、解は容易に求められるが..。ガロ
ア群は.........と悶えています。(高校生が視たら、分解式を求めて何を悩んでるのと云われそう)

　四次方程式の内、奇数次の項が無い形の式は、ｘ² を変数とする二次方程式と見ることが
でき、複二次方程式 ( biquadratic equation) あるいは単に複二次式と呼ばれる。二次方程
式の解法を知っていれば簡単に解くことができる。

　複二次方程式ではない　ｘ⁴ + ｘ² - 4ｘ - 3 = 0　が「青空学園」に論じられていると學生G。
最後まで視ると「次」とも。
（青空学園氏も引用から離脱しこれからがメインと氏のライフワークと自ら宣言されガロア理論を只今も構築中です）

　ガロアはアーベルのことを知らずに独力で同じ結論とさらに深い代数学の理論に到達していた．ガロアがアーベ
ルのことを知ったとき，アーベルはもうこの世にいなかった．その理論は余りにも当時の水準からかけ離れていた．
だから誰にも理解されなかった．日本の大学では数学科に進めばやっと3年生で習う．

と結んであるが、数学科の3年生通過者は、うじゃうじゃ存在してる筈....。

　今回に出現した低次の四次方程式に限定して、数学科の3年生履修済諸氏様にガロア群
は如何? と問えば、即答されるのでしょうか?

　この4次方程式  ｘ⁴ + ｘ² - 4ｘ - 3 = 0  の分解式を求めて、ガロア群を定めるとよいと傍ら
の飯高先生。即座に解けるが、敢えて、「x^4 + x^2 - 4*x - 3 = 0 」を「Wolfram|Alpha」に挿
入し、解いた。実數解が2つしかない、いびつな代數曲線を眼前にみせられて、代數曲線
k[ｘ，ｙ]/<ｙ-(ｘ⁴ + ｘ² - 4ｘ - 3)>　の双対曲線は既に困難と飯高先生に云われそうな予感が
したが、云われなくても書籍出版時とは時を経たので、容易だから具現しようと學生諸氏は
道草を喰らい中。この問や「も解」はどうなるのと學生諸氏は煩悶中....。

　4次方程式  ｘ⁴ + ｘ² - 4ｘ - 3 = 0 は解けているのに、何故煩悶中か高校生は訝るにちが
いないが....と。

　hyperelliptic curve　ｙ² = ｘ⁴-4ｘ² + 1　の双対曲線を多様な発想で求め、その特異点をも
求め考察願います。為すべき齊次化はしておきます。-X⁴ + 4Z²X² - Z⁴ + Y²Z²=0

　これは、紛うことなき「超曲面：-X⁴ + 4Z²X² - Z⁴ + Y²Z²=0」なのです。左辺のHessianを求
め、変曲点達を求め、その点に於ける接超平面をも求めて下さい。（硲　文夫　著　148p参照)


　學生Aが、4次函数のグラフを増減表を作り描くことを高校生に助言しながら為したが、起
伏に富んでれば易しい。飯高先生が　代数幾何學を研究される契機になったと激白の二重
接線の問題も起伏に富んでなければ微妙な点が在り易しいとは云えないと。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月２７日付け）
　指導例を研究室で話題提供した。：　ｘ--->ｘ⁴-ｘ-1 の増減表を作り、グラフを描きなさい。

　傍らで聴いておられた飯高先生は、すぐさま受講生向けに改竄された。代数曲線
k[X，Y]/<Y-(X⁴-X-1)> の双対曲線を多様な発想で求めて下さい。その際、是非「デカルトの
精神と代数幾何」のk[X，Y]/<Y-(X⁴-X²)> の双対曲線が既に困難と記したのを視てと。即座
に各自の発想で双対化に取り組んだ學生諸氏が「あっ、特異点が一つしかなく、しかも閉曲
線なる初体験なる現象に遭遇!」と呻いた。

　傍らで具現の様子を視ておられた飯高先生は、無論、先ず齊次化F[X，Y，Z] し、著書の
§11のHess(F) を求め、今回の起伏に富んでない場合の悉な考察を本気で必ず為してと要
望された。

　受講生は只今為しつつあり、双対曲線が閉曲線なる初体験でその面積も求めようと道草
すら喰らい始めた。學生Aがポツリと云うた。双対曲線化も愉しいけれど、ｘ⁴-ｘ-1=0 の分解
式や判別式も求めるべき。（傍らで聴いておられた飯高先生の以前の口調を真似）

　えーと、とガロア群を求めた経験者が、分解式は、ｘ³ + 4ｘ + 1で、これはQ[ｘ] で既約で、
其の判別式 Dを求め、√[D]は∈Qに非ずして高校生が料理するｘ⁴-ｘ-1のQに関するガロ
ア群が最高元からなるS₄と。ガロア群の位數=4!。このガロア群 S₄を求めた経験者が省略
している事柄を丁寧に補間しなさいと飯高先生。

　以上を見てしまった高校生は、4次方程式を気楽に創作し、ガロア群を求めた経験者をも
苦しめる問題を矢継ぎ早に提示するでしょう。ところで、代数曲線k[X，Y]/<Y-(X⁴-X-1)> の
双対曲線を多様な発想で求めて下さい、はもう為されましたか?

  27ｘ⁴ - 108ｙｘ³ + 162ｙ²ｘ² - 108ｙ³ｘ + 283ｙ⁴ - 768ｙ³ + 768ｙ² - 256ｙ=0　となるか疑いつ
つ具現されるよう學生iが熱望された。（飯高先生は、具現を視るのは初体験でさもありなんと云われた）

(高校生向けの問)「　ｘ--->ｘ⁴-ｘ-1 の増減表を作り、グラフを描きなさい。」から産まれた問
達を解いて、學生Gがグラフ化した。

(1)　赤の4次の代数曲線c の双対曲線 c^* は求め青線で図示した。双対曲線は卒業したの
　　で、もう少し高次故やり甲斐が在る筈。(書籍のChapter 13. Computing Galois Groups.に
　　5次方程式には4次よりも豊かなガロア理論が在ると。更に詳細在り)

　　c^*の双対曲線を多様な発想で求めて、それが正しいことを証明して下さい。

(2)　双対曲線 c^* の特異点を求め、それからcの接線を求めると草色になることを示して下
　　さい。

「27*X^4-256*Y-108*X^3*Y+768*Y^2+162*X^2*Y^2-768*Y^3-108*X*Y^3+283*Y^4=0」を
「Wolfram|Alpha」に挿入し、参考にして下さい。双対曲線 c^* の青線が囲む部分の面積を求
めたくなるでしょう。

(3)　非線型写像：(ｘ，ｙ)--->(X，Y)=((-1 + 4ｘ³)/(ｘ - 4ｘ⁴ + ｙ)，-1/(ｘ - 4ｘ⁴ + ｙ))　による
　c： 1 + ｘ - ｘ⁴ + ｙ = 0　の像を多様な発想で求めて、気付いたことを記載して下さい。

(4)　ｃ： 1 + ｘ - ｘ⁴ + ｙ = 0　を車で走れば、縮閉線が観え、尖点達を感じると豪語する車免
　　許とりたての學生がいる。飯高先生は、このc 上をぶっとばして、學生の若い鋭い感性
　　を獲ようかと呟かれた。

　黒の 縮閉線は、かなり高次の求め甲斐の在る代数曲線です。縮閉線を求めてください。
そして、學生が感じた特異点達を求め、図示してしまった曲率円の半径達を求めて下さい。
縮閉線の双対曲線を多様な発想で求め、上を再考願います。

　(1) は、(ｘ，ｙ)をパラメタ-として、今回の4次函数に関わりが在り、考察すれば長時間を要
します。（→　参考：「カタストロフィー理論」、「カタストロフィー」）


　高校生が5次方程式： ｘ⁵ + ｘ⁴ - 12ｘ³ - 21ｘ² + ｘ + 5=0　の...と切り出し、4次方程式が前
回やっと済んだのに早くも5次方程式かと受講生G。（平成２４年５月２８日付け）

　高校生曰く：

(1)　この5次方程式の実數解が幾つ在るか、グラフを描いて調べ、例えば、最大根の近似
　　解を「Newton's_method」で求めなさいについて教えて!

　學生Gは安堵した。そして、説明を開始した。

　　Newton[x]=x - (x^5 + x^4 - 12*x^3 - 21*x^2 + x + 5)/(5*x^4 + 4*x^3 - 36*x^2 - 42*x + 1)

とし、Newton[Newton[Newton[x]]]]（合成函数)を求め、ｘ=4とでもすればよいよと。

　高校生続けて曰く：東大の模倣をし、f[ｘ]=ｘ⁵ + ｘ⁴ - 12ｘ³ - 21ｘ² + ｘ + 5、f[ｘ]=0 の解をα
とし、

(2)　他の解をαの4次以下の多項式で表現をお願いしますと。

（何か教える立場から逆に高校生から學ぶ立場に逆転だとG 吐露)

　研究室で、この「も解」問題を各自の発想で解く態勢に入り、30分後に講義を終えられた
飯高先生が入室され、可解か非可解かガロア群を探究中の學生諸氏を凝視されていまし
た。

(3)　(1)を視た免許取りたての學生が、ｃ： y-(ｘ⁵ + ｘ⁴ - 12ｘ³ - 21ｘ² + ｘ + 5)= 0  を車で走
　　れば縮閉線が観え、尖点達を感じると豪語する學生がいたのを想起された飯高先生は
　　問われた。縮閉線は、かなり高次の求め甲斐の在る代数曲線です。縮閉線を求めてく
　　ださい。そして、學生が感じた特異点達を求め、曲率円の半径達を求めて下さい。更に、
　　縮閉線の双対曲線を多様な発想で求め、上を再考願います。

　上の飯高先生問題提起を含む諸問題に學生諸氏が只今取り組み中です。此処を訪れら
れる世界の皆様も學生諸氏が解答達を提示される前に、此処に解答達を提示願います。

　縮閉線はかなり高次の求め甲斐の在る代数曲線です。特異点達を求め（無論、尖点）、
曲率円達も正確に半径を求め、図示を願います。ひとつ低次のケースは、参考図でありま
した。「5次から男」はガウスやガロアと吉田氏。「吉田」で検索し邂逅；資料１、資料２


　α=I・√[2 + ]のQ上の最小多項式をf[ｘ]とする。（平成２４年５月２９日付け）

(1)　f[ｘ]を、（イ)高校生の発想で、（ロ) 終結式を使う発想で等、多様な発想で求めて下さい。

(2)　f[ｘ]=0 を解いて下さい。（即ち、Q上共軛な元達を求めガウス平面に図示して！)

(3)　獲た各解をαのQ係数の3次以下の多項式で表して下さい。

と、研究室に問題を學生Mが持ち込んだところ、學生Gは、(3)は自明ときっぱり断言した。
學生の断言を忖度し誰にも分かるよう　敷衍願います。

　今回は、（もと云うべきかも）易し過ぎると云う學生e在り。それを聴いたMは、実は、バイト
先の高校生宅で最小多項式の定義を云い、解くよう促した問達だと吐露。高校生は、(2) ま
で解き、函数ｘ--f-->f[ｘ] のグラフを増減表を作成し、それに基づき、手書きし、なんだか侘
しい2次函数めいたグラフを描き、(2)には実數解は存在しないと叫び、虚軸上に綺麗に並ん
だ解を求めた。虚軸上に綺麗に並んだ解を凝視し、(3)を只今大學生も模索中であります。

　學生Mは履修済ではあるが真に履修済か懐疑し設問を試みた。

(4)　代數曲線k[X，Y]/<Y-f[X]> の双対曲線を多様な発想で求めて下さい。

　學生Dは瞬時に、k[X，Y]/<Y-f[X]> の双対曲線は、

　　k[X，Y]/<27X⁴ - 896Y²X² - 576YX² - 2048Y⁴ + 1024Y³ + 512Y² - 256Y>

だと提示し、他の學生は、それぞれの発想で導出中。（傍らの飯高先生も傍観為さらず導出
中。何よりも先ず齊次化し、 -X⁴ - 4X²Z² + YZ³ - 2Z⁴=0 　その以降を)

　-X⁴ - 4X²Z² + YZ³ - 2Z⁴=0　や其の双対に特異点がないような稀有な現象！何故？」と
殆どの學生。無論、世界一短い定義を念頭に置き、-X⁴ - 4X²Z² + YZ³ - 2Z⁴=0 を非齊次
化して手書きしたら、情けない2次函数のグラフめいた状況なので、その双対を非齊次化し
たら、例えば、双曲線めいたグラフになるのは自明じゃないと、

 「27*x^4 - 256*y - 576*x^2*y + 512*y^2 - 896*x^2*y^2 + 1024*y^3 - 2048*y^4 = 0」

を、「Wolfram|Alpha」に挿入し、

　27ｘ⁴ - 256ｙ - 576ｘ²ｙ + 512ｙ² - 896ｘ²ｙ² + 1024ｙ³ - 2048ｙ⁴ = 0

が代數曲線k[X，Y]/<Y-f[X]>の双対曲線なのかぁと慄いた學生達。傍らの飯高先生は、

　27ｘ⁴ - 256ｙ - 576ｘ²ｙ + 512ｙ² - 896ｘ²ｙ² + 1024ｙ³ - 2048ｙ⁴ = 0

を齊次化し、無論、世界一短い定義で、本当に、この曲線を双対化し元の木阿弥かを懐疑
精神発露し為すべきだと云われ、只今學生諸氏は具現中であります。

　超楕円曲線　ｙ² = (ｘ² + 2)(ｘ³ + 5)　の

(1)　齊次化：k[X，Y，Z]/<-X⁵ - 2X³Z² - 5X²Z³ + Y²Z³ - 10Z⁵> はしておくから、双対曲線を
　　求めてご覧と飯高先生。即座に、學生Dは導出した。飯高先生は、これを非齊次化された。

を「Wolfram|Alpha」に挿入しようとされたが、いくらがんばっても拒絶されるので、別のソフト
で描写され、特異点等想定通りだと呟かれた。昨年度の學生に出題の問題とは少し高次の
双対化問題だが、当時の學生を遥かに凌駕している近頃の若い學生はやるなぁと。
（無論、行列を使う筈はないと）

(2)　傍らの學生Sが、それを視て尖点が在ると云い、特異点を求めようと、
　　f^*(ｘ，ｙ)=0　、D[f^*(ｘ，ｙ)，ｘ]=0　、D[f^*(ｘ，ｙ)，ｙ]=0　なる3曲線の交点を求めればよいと開
　　始したが..........。

(3)　その特異点は、ｙ² - (ｘ² + 2)(ｘ³ + 5) = 0　、

　　　　　(2ｘ²(5ｘ³ + 6ｘ + 10)² - 8(10ｘ³ + 6ｘ + 5)ｙ²)/(ｘ²(5ｘ³ + 6ｘ + 10)² + 4ｙ²)^3/2 = 0

　　を解けば求められると微分幾何學履修者が云った。その理由を記し必ず具現願います。

(4)　その内の一つの曲線　D[f^*(ｘ，ｙ)，ｙ]=0　を視た學生Yが面白い曲線なので寄り道をして
　　これの双対曲線を求めようと提案した。

　飯高先生も参加することに意義を感じられたのか、先ず為すべき齊次化をされた。さぁ、こ
れから一仕事をと各自が只今双対化中です。學生Dは、またもや具現し、「驚くべき長大な双
対曲線の方程式を私は見つけたが、これを記すには余白が狭すぎる」と。

　元の命題の証明を、行間を埋めながら讀んでいた學生Eが助けて下さいと懇願した。今回
だけではなく他の科目と異なり、恆に數學は証明付きなのに理解出来ないことが多々在る.。

(5)　この命題の証明をわかるように補間して下さいと。


　學生Fが、資料１、資料２絡みの限りなく殆ど到るところ易しい解説に邂逅した。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年５月３０日付け）

　問題とこれを研究室に持ち込んだ。

(1)　視ると、判別式が在り、すぐさま確認し始めた。「判別式と終結式」を視ながら、

(2)　傍らの飯高先生は、過年度出題よりは一つだけ次数が高い代数曲線
　　k[U，V]/<V3 + 2V2 - 15V - 4U>なので、双対化して遊んでと齊次化され定義も明示され
　　た。

　遊びざかりの受講生諸氏は、各自の発想で双対化を為し、想定の範囲内の特異点が在
る筈だと双対曲線のグラフを描いたが....、確かに特異点は在るが、なんとも奇妙なグラフに
なり困惑顔をした。飯高先生も遅ればせながらと自ら求められた双対曲線を非齊次化し、

　　900ｘ³ - 705ｙｘ² - 143ｘ² + 184ｙ²ｘ + 36ｙｘ - 27ｘ - 1616ｙ³ = 0

でいいかな? と。呼応し、受講生皆んな「いいとも」と。飯高先生は云われた。「敢えて一箇所
ミスを挿入したのに..、私は迎合する人は嫌いだっ！」と。反省し、ミスを受講生全員が指摘し
たので、飯高先生は安堵され血圧も低下した。行列を用いず、飯高先生が導出された

　　900ｘ³ - 705ｙｘ² - 143ｘ² + 184ｙ²ｘ + 36ｙｘ - 27ｘ - 16ｙ³ = 0

を飯高先生が、「Wolfram|Alpha」に挿入され、確かに特異点は在るが、なんとも奇妙なグラ
フになるなぁ、初体験やと困惑顔をされた。ミスが無いか、特異点を求め、其れを用いて対
応する元の、高校生知悉の変曲点に於ける接超平面を求め図示をしようと即座に全員が為
した。

　資料の真似なら超容易だぁと學生Hが云い、

(1)　g=-63 + U - 36V - V⁴∈C[U，V]　にかえて、資料の論調を真似てと要望した。

(2)　ついでに、g=0 即ち、U=V⁴+36V+63 に於いて、U=0 のガロア群を丁寧に求めてと學生H。

　資料の真似だなと皆んな云い具現化し始めた。（体論履修者なので、皆んな自明と心中で
云いながら、感じが悪いのでおくびにも出さないで自明は封印し）只今、具現に努めています。

　V⁴+36V+63=0 の解をαとすると、他の解は.... と。「V^4+36*V+63=0」を「Wolfram|Alpha」に
挿入し、正確な解達を眼前にさらけ出させ、眼前の正確な解の一つをαとして.....と困惑顔の
學生も存在した。


　代數曲線：ｋ[X，Y]/<-X³ - 2X² - YX + Y² + 2Y> を齊次化し、

　　　ｋ[X，Y，Z]/<-X³ - 2ZX² - YZX + 2YZ² + Y²Z>

には、F[X，Y，Z]=-X³ - 2ZX² - YZX + 2YZ² + Y²Z のHessian H[F] を本当に求め、V(H[F])
も考え、V(F)には必ず変曲点が存在すると。（平成２４年５月３１日付け）

　These facts are known only to those who have had firsthand experience.

　経験者もそうでない初体験の方も上を具現し、非齊次化し、変曲点も求めて図示願います。

　一つは超易なので、しておきます。c： -ｘ³ - 2ｘ² - ｙｘ + ｙ² + 2ｙ=0　なので、此れを
「Wolfram|Alpha」に挿入し、確かに変曲点が存在することを Hessian H[F] を本当に求め具
現して下さい。此処までを視た學生は、硲　文夫　著　148p を開いて具現中。

　変曲点と聴いて學生Bが微分幾何學でも履修したように c の曲率を求め、と云い、瞬時に、

(2(9ｘ⁴ + 24ｘ³ + 12(ｙ + 2)ｘ² - 3(y(4ｙ + 5) + 4)ｘ - (3ｙ + 2)(3ｙ + 4)))
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/((ｘ(3ｘ + 4) + ｙ)² + (ｘ - 2(ｙ + 1))²)^3/2

を研究室の面々の眼前に提示し、その零点とcの交点が変曲点だと云い、連立方程式を解
き、変曲点p[j]を求め、ついでに、その点に於ける接超平面 T(c)p[j] も求め、図示して、と云
い、更に、その点では、曲率半径無限大と語った。

　飯高先生の受講者故、双対曲線を求めずにはいられない体質になった受講生は、齊次化
された：-X³ - 2ZX² - YZX + 2YZ² + Y²Z=0　から定義に基づき、双対射影曲線を求め、其れ
を非齊次化し、その特異点を求め、其れを用い、接超平面を求め、元の
c： -ｘ³ - 2ｘ² - ｙｘ + ｙ² + 2ｙ=0　と接超平面をグラフ化した。
「伊達にグラフは描かない」と。（→　参考：動画１、動画２）

c： -ｘ³ - 2ｘ² - ｙｘ + ｙ² + 2ｙ=0　をグラフ化した体論履修の學生MSが、ｙを定め、例えば、
ｙ=-4 とし、ｘに関する3次方程式の「も解問題」を考察しようと提案した。

　「も解問題」て何? と云う學生も存在し、例えば、以下を味読をとMS。

　テーマ：も解１　　も解２

　f[ｘ]=0　の解をαとする。他の解をαの多項式σ₂[α]∈K[ｘ]（次数は、f[ｘ]の次数-1以下）
で表してください。（ただし、KはQの或る拡大体（叶う限り次数の小さい）とする）

σ₁[α]=α、σ₂[α]=_____________.

σ₂ⁿ[α]　(n∈N)を求め、それらも解 (すべて、f[σ₂ⁿ[α]]=0) を示してください。

σ₂ⁿ[α]　(n∈N)は、f[ｘ]=0　の解達を尽くすことを示してください。

f[ｘ]=0　のQに関するガロア群を求めて下さい。

f[ｘ]=0　のKに関するガロア群を求めて下さい。

　上と下を注視してください。（大きな違い「相違点が存在」が分かるでしょう）

　なにが東北大の師をして、そう問わしめたかを論述してください。小問の背景を敢えて隠
匿するので、自分で探れと。

　f(ｘ)= ｘ³ - 3ｘ + 1 と置くと、f(ｘ² - 2)= -f(ｘ)f(-ｘ)

　この視座からも以前から興味を持っていると宣う方有り！その方は？氏。ヒント：デカルト

k[X，Y]/<X³ + Y³ - 1> を　k[X，Y]/< -(X³/8) + (3Y²)/4 + 1/4>　に写す射影変換 M を求め
て下さい。硲　文夫　著　代数幾何学26p(演習37p 2)に倣い、それぞれ齊次化はしておきます。

X³ + Y³ - Z³=0 を　-(X³/8) + Z³/4 + (3Y²Z)/4=0　に写す射影変換 M を求めて下さい。

　求めたMから、「輓近代数学の展望」の体と群の章で云う射影変換　(ｘ，ｙ)--m-->m[ｘ，ｙ]
を求め、ｘ³+ｙ³=1 上の7点を指定し、それらが -(ｘ³/8) + (3ｙ²)/4 + 1/4 =0　の何処に写され
るかを悉に調べ、対応図を描いて下さい。

　同じmで、今度は　ｘ²+ｘｙ+ｙ²=k (次の各kで) のmによる像（曲線）を求め、上のように点を
指定し、何処に写されるかを悉に調べ、対応図を描いて下さい。

　k=1/3 のとき　、k=1 のとき　、k=3 のとき

　飯高先生の受講者故、双対曲線を求めずにはいられない体質になった受講生は、
　 c₁：ｘ³+ｙ³=1 、c₂： -(ｘ³/8) + (3ｙ²)/4 + 1/4 =0 の双対曲線を求めようとし、上で既に齊次
化されているので、即座にとりかかった。

　學生Dは、素早くそれを為し、更に、非齊次化し、

c₁^*： -27ｘ¹² + 54ｙ³ｘ⁹ - 54ｘ⁹ - 27ｙ⁶ｘ⁶ - 54ｙ³ｘ⁶ - 27ｘ⁶=0
c₂^*： -1728ｘ¹² - 2592ｙ²ｘ⁹ - 864ｘ⁹ - 108ｙ⁶ｘ⁶ - 648ｙ⁴ｘ⁶ - 972ｙ²ｘ⁶=0

のそれぞれの特異点達を求めて、元のc₁、c₂ の接超平面達を求めてと問題を提起した。

　それを聴いた學生Bが微分幾何學でも履修したようにc1、c2 の曲率を求め、その零点と
cj の交点に於ける接超平面を直に求めてと問題提起した。

　更に、その点では曲率半径無限大と経験談を語った。只今、上の諸問題を受講者全員が
各自の発想で解決中です。


　代数曲線 c：229635ｙ⁶ - 223074ｘ²ｙ⁴ - 63828ｘｙ⁴ - 5134ｙ⁴ - 6561ｘ⁴ｙ²
　　　　　　　　　　　　　　 + 11016ｘ³ｙ² + 4742ｘ²ｙ² + 612ｘｙ² + 27ｙ² + 324ｘ⁵ + 68ｘ⁴ + 4ｘ³=0

には、わけ在りて特異点が在り、其れ等は尖点です。（平成２４年６月１日付け）

　上の言明に懐疑精神発露し、

(イ)　D[左辺，ｘ]=0、D[左辺，ｙ]=0、左辺=0　を求め、グラフ化も為し、この３つの代数曲線の
　　交点を求めようと、まともに対峙派。

(ロ)　飯高先生の射影幾何学と代数多様体の受講者故、齊次化し、双対曲線を求め、硲 文
　　夫 著　代数幾何学148pのHessianを本当に求め、変曲点が在ることを示し、したがって、
　　もとのcには尖点なる特異点が在ると間接対峙派。

　更に、其れを非齊次化 c^* し、グラフ化も為し、もう誰も疑う人(デカルトさへ)が存在しない
ようにしようと受講生D。それを聴いた學生Bが、微分幾何學でも履修したように、c₁^* の曲
率を求め、その零点とc₁^* の交点に於ける接超平面を直に求めてと問題提起した。

　更に、その点では、曲率半径無限大と経験談を語った。只今、上の諸問題を受講者全員
が各自の発想で解決中です。

　まともに対峙派のひとりがイデアルI={D[左辺，ｘ]，D[左辺，ｙ]，左辺}とk[ｘ，ｙ] のI∩k[ｘ，ｙ]
を求め、-27 + 17000ｙ² - 52474878ｙ⁴ + 8781531084ｙ⁶ + 282429536481ｙ⁸を獲て、其の零
点を求めれば良いと奮闘中。（実は、其れ以前のが難しいのだがと聴こえるように呟き)

　飯高先生は、-27 + 17000ｙ² - 52474878ｙ⁴ + 8781531084ｙ⁶ + 282429536481ｙ⁸=0 を
「Wolfram|Alpha」に挿入され、正確な解を獲、近似解も獲、想定通りだと云われた。

　傍らの學生諸氏は、其れを聴き、嬉々とは出来ず、実は、其れ以前のが難しいのだがの
イデアルの生成元の取替が、上の飯高先生のようになれるかと深刻に悩んでいます。

　イデアルの生成元の取替は必ず自ら為しなさいと飯高先生は聴いたこともない大声で云
われ、別階の研究室達の面々が皆んな集合し、イデアルI={D[左辺，ｘ]，D[左辺，ｙ]，左辺}
とk[ｘ，ｙ] のI∩k[ｘ，ｙ]を求めようと足掻いております。


　２次は、とうのむかしに済んだ過去の双対化なので、２次でない４次代数曲線

Cassini Oval　c： ((ｘ - a)² + ｙ²)((a + ｘ)² + ｙ²) - ｂ⁴=0　すなわち、

　ａ⁴ - 2ｘ²ａ² + 2ｙ²ａ² - ｂ⁴ + ｘ⁴ + ｙ⁴ + 2ｘ²ｙ²=0　の双対曲線を多様な発想で求めてと學生

COが飯高先生の代数曲線と射影幾何學講義の受講者に問を投げかけた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月９日付け）

　理系女子RW1の快答に過ちが無いことを、その双対を求め、確認をと飯高先生が要求さ
れると、即座に、受講生の理系女子RW2さんが為した。

　特殊化して、a=1、b= 2^1/4 のとき、c と　c^* を必ず伊達にグラフ化するのではありませんと
グラフ化して下さい。

　cには、飯高先生激白の二重接線が無論在ることは、線が引ける赤子にも自明ですが、其
れをc^*の方の特異点を求め、図示して下さい。

　c上を車でぶっとばし、曲率中心の軌跡が刻々視える理系女子RW3が設問した。cには変
曲点が在るのは自明ですが、其れをc^*の方の特異点を求めて図示して下さい。(また、曲率
も必ず求め！)

　非線型写像F： (ｘ，ｙ)-->(ｘ₀+r(ｘ-ｘ₀)/((ｘ-ｘ₀)²+(ｙ-ｙ₀)²)，r(ｙ-ｙ₀)/((ｘ-ｘ₀)²+(ｙ-ｙ₀)²)+ｙ₀) に
よる cの像F(c)、c^*の像F(c^*)を多様な発想で求め、特に、ｘ₀=0、ｙ₀=0、r=1　のとき、F(c) と
F(c^*) を必ず伊達にグラフ化するのではありませんとグラフ化　して下さい。


　「Inversion circular de las secciones conicas」の 21p を凝視し、動画を視て、再び21p を
再考願います。（平成２４年６月１０日付け）

　此のHyperbola-vertex-inverse の軌跡の代数曲線の方程式を求め、其の双対曲線を多
様な発想で求め、図示して下さいと飯高先生が受講生に。

　資料の円： (ｘ + 1)² + (ｙ - 2)² = 1²  に関する反転を求め、更に、其の双対曲線を多様な
発想で求め、図示して下さい。

　過去の多くの数学者が研究された問題を解き、上で解かれたHyperbola-vertex-inverse
の軌跡の代数曲線を再考願います。（→　参考：「Right Strophoid」）


　Det[{{0, 1, 1, 1}, {1, 0, a^2, b^2}, {1, a^2, 0, c^2}, {1, b^2, c^2, 0}}]　を求め、
（無論、Q[a，b，c]の元)がQ上可約であることを示してと研究室で學生Rが云うと、即座に皆
んなが導出した。（平成２４年６月１１日付け）

　このAlternate formsの最初のを（何故皆んなこの因数分解を瞬時に為したかを忖度して下さい）。そし
て、3つのａ、ｂ、ｃを足して平均せず、2で割り変形し始めた。

　体k上既約か否かは体論で問われたことを想起した學生Iが、例はQ上既約を証明し、
　3ｘ⁶+6ｘ⁵+9ｘ⁴+2ｘ³+3ｘ²+1　について、Q上、Q(2^1/3)上既約か否か証明をと。「も解問題」は
如何とも。

　ヘロンの公式は任意の三角形の3辺の長さから面積を求める公式である。これを次元を
あげる方向で自然に拡張し、四面体の稜達が与えられた時、
Det[{{0, 1, 1, 1}, {1, 0, a^2, b^2}, {1, a^2, 0, c^2}, {1, b^2, c^2, 0}}]に該当するものを明記し、今
後常用し輓近の論文に其れを応用されていれば紹介し輪読するよう飯高先生は云われた。

　飯高先生は更に、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」を是非参照する
よう云われた。皆んな、あの志村五郎著と興味津々で図書室に飛び込んだ。

　一夜明けて、資料１、資料２を輪読しようと云う學生が現れた。（→　参考）


　Hom[R³，R]∋ω=(3，4，5)、R³/Ker[ω]∋ Ker[ω]+(4，0，0) を図示して下さい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月１２日付け）

　此の超平面Hと座標平面の交わりとして得られる3直線の囲む三角形ABCの面積を、敢え
て、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」の216p を 用いて求めて、即ち、
ABDC が平行四辺形なるD を考え、平行四辺形の面積の二乗を先ず求め、三角形ABCの
面積を求めてと學生Mが懇願すると、皆んな素直に為し最後の一線を超える直前で、288が
出現し慄いた。( 288--->Sqrt[288]--->(1/2)*Sqrt[288] )

　「Tetrahedron」に288が出現。奇遇にしてはアンマリ...と。288って此れかい？と學生IS。

Cayley, Menger determinants Of particular utility and importance are classifications by
means of Cayley, Menger determinants, named after Arthur Cayley and Karl Menger

と命名者は古くはないよう....。

（上の懇願にもかかわらず、ヘロンの公式で即叶うと云う學生のバイト先の高校生在り）

　今回の問題は易し過ぎると飯高先生の研究室の皆んな。學生Mは、実は同書282p の問
題なのよと。ついでに易しい問を追加。

　上の超平面H上の三角形ABCとD、例えば、D=(69，19，117)からなる四面体の体積Vを
敢えて、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」の264p 問22を先ず証明し
其れを 用いて求めてと懇願した。c の(4)も参照しと。辿ると、芋づる式に288 出現。無論
発想の自由は保障されているので、別解達をも求め、上を具現中........。

　三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」を所蔵されておられる世界の皆様、
此の284p (次元を下げた225p- )を常用され、更に次元を上げ研究に日々使用されておられ
ますか？今回程易しい問はないのに、敢えてと発想を強制された研究室の面々は何か目論
見の存在を嗅ぎ始めた......。（→　参考：「四面体の体積」）

　R³ の4点{P[j]|j∈{1，2，3，4}} を定める；

{{0, 0, 0}, {-117, 0, 0}, {-(960/13), -(400/13), 0}, {-(1008/13), 3696/325, -(756/25)}}

(1)　d[i,j]=P[i]P[j] を求め、整四面体（d[i,j]∈Z）であることを示して下さい。

(2)　各面の面積を多様な発想で求め、又、全て整三角形であることを示して下さい。

(3)　上の綺麗な整四面体の体積Vを敢えて、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳
　　華房）」の264p 問22を先ず証明し其れを用いて求めてと飯高先生の受講生Gが懇願した。

　為した研究室の面々は驚愕した：「体積も∈Zだぁ！(永久に)綺麗過ぎる」。どうして綺麗な
整四面体を見出したのっ！と、受講生Gに質問が集中した...。つい輓近の研究成果のようと
受講生Gが漏らした。（→　参考：「Perfect Pyramids」）

{{0, a^2, a^2, a^2, 1}, {a^2, 0, a^2, a^2, 1},{a^2, a^2, 0, a^2, 1}, {a^2, a^2, a^2, 0, 1}, {1, 1, 1, 1, 0}}

を挿入すると、「4ａ⁶」が獲られ、288V² = 4ａ⁶ を解くと、V=ａ³/(6) が獲られたと研究室に
持ち込んだ學生がいた。（→　参考：「行列式虎の巻」）

　正四面体の体積Vを敢えて、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」の284p
問22を先ず証明し求めたと。（皆んな見抜いていた）

　{P[1], P[2], P[3], P[4]} = {{0, 0, 0}, {0, -1, 2}, {-1, 0, 5}, {1, 1, 3}} で定められた四面体の体積
を誘導式で求めよと云う問題をバイト先の高校生に説明した経験が在ると學生B。

(1)　どのように誘導された問かを記して下さい。

(2)　この四面体の体積Vを敢えて、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」
　　の284p 問22を先ず証明し求めて下さい。

(3)　それ以外の多様な発想でVを求めて下さい。


　異国の方も悩み相談してると學生 I が研究室に持ち込んだ。（平成２４年６月１３日付け）

　（参考）定理1

　P[1]=（1,2,3）、P[2]=（4,5,6）、P[3]=（7,8,9）、P[4]=（2,5,1）からP[j]-P[1] を作り、依存し、固有
値が0の存在を指摘され、または、{{3, 3, 3}, {6, 6, 6}, {1, 3, -2}}　NullSpace[%]を求め{{-5, 3, 2}}

　定理1は卒業したと研究室の面々。ところが、輓近の成果も在るらしい....。卒業どころかス
タート-ラインに立ったのみであるらしい....。

  彷徨すると、なんとまぁトレーニング【training】がたっぷり在るのに邂逅。こんなにトレーニン
グする意義は何？

　定理 1のTartaglia's formulaを借用し、行列のできる學生は最初のを自力で解いた。

{{0, 27, 38, 115, 1}, {27, 0, 13, 68, 1},{38, 13, 0, 61, 1}, {115, 68, 61, 0, 1}, {1, 1, 1, 1, 0}}

黙々と手を動かし、288V² = 156800　より、V= 70/3　だと。

　行列のできる學生でずるする人が居た。美しい対称行列故、固有値は実数で固有vector
を求め、O(4)の元で対角化出来る方にも関心を寄せた。知悉であっても、.資料に漂着した。


　一次曲線の次の二次曲線、円錐曲線　例えば、E：ｘ²/6 + ｙ² = 1　を定める。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月１４日付け）

　Eの左の焦点F₁を求めて下さい。焦点は、(-，0) となりましたか？（参考）　また、Eの双
対曲線が未だの方は初体験して下さい。(あれだけ問うても為さらず理解者数多...不可解...)

　問題よりは易しい、F₁を通る傾きt の直線 L(t) を求め、EとL(t) の交点 A(t)、B(t) を求め
て下さい。

　1/F₁A(t)+1/F₁B(t)　を求め、例えば、t=-4、-2、0、2、4 とした時の、この値を求め、感じた
ことを表現し証明願います。H：ｘ²/6 - ｙ² = 1を定め、上と同様な考察を長々としてください。

　多様な発想で、例えば、４番：{{7, 2, 4}, {7, -1, -2}, {3, 3, 1}, {-4, 2, 1}}ので愉しみなさいと飯
高先生。

　体K上の正則な行列集合：GL(n，K)の行列式は、K=R なら、n=1：面積、n=2：体積、....と解
釈をした時の違和感をも論じてと。

　定理 1 のTartaglia's formulaを借用し、行列のできる學生G1は最初のを自力で解いた。

{0, 45, 26, 130, 1}, {45, 0, 41, 139, 1}, {26, 41, 0, 50, 1}, {130, 139, 50, 0, 1}, {1, 1, 1, 1, 0}}

　黙々と手を動かし、288V² = |上の行列式| より、V= ____.だと、ただいま計算中。

　行列のできる學生でずるする人が居た。このGL(4,R) の元の行列式って何？とみんな...。

　GL(4,R)の元を視て、飯高先生曰く：ありゃ、1の出現箇所が上の定理１と異なると。「ドン
マイ」と研究室の面々。美しい対称行列故、固有値は実数で固有vector を求め、直交群
O(4)の元で対角化出来る方にも関心を寄せた。（→　参考）参考資料に漂着した。

　cross product and dot product of vectors　を使えばと助言が在り、直ちに学生2が具現
した。{0, -3, -6}, {-4, 1, -3} の外積が{15, 24, -12}　だから、答え 43/2 と。一番素直な発想
をと学生3。

　出現した　-129 + 81ｘ - 2ｘ² - ｘ³=0 のもかい問題はと云うのを飯高先生は禁欲された..。

　それもいいけど、(1/6)*Det[{{0, -3, -6}, {-4, 1, -3}, {-11, 0, -3}}]を「Wolfram|Alpha」に挿入
すれば、有向体積が得られるのでどうぞと学生4。

　{{7, 2, 4, 1}, {7, -1, -2, 1}, {3, 3, 1, 1}, {-4, 2, 1, 1}}を挿入し、教えられた行列式の値に(1/6)
を乗ずれば答え 43/2 と同じでしょと学生5。このGL(4,R) の元の行列式って何？とみんな...。
何だか違和感在り在りだわとみんな...。GL(3,R)のとき、体積でしょっと。

　留学生が、「この体積を、高校生ならどうする」と問いかけてみるから、他の発想達は明日
以降にしようと提案し、みんな散会した。時と場を弁えない非KYな学生達はそれぞれの発想
を語りだした。

　学生達の発想を予測し、別解達を記載願います。


　体K上の正則な行列集合：GL(n，K)の行列式は、K=Rなら、n=1：面積、n=2：体積、....と解釈
をした時の違和感をも論じてと。（平成２４年６月１５日付け）

　訂正しつつ、K=R なら、n=2：面積、 n=3：体積、....。

　彷徨すると、何とまぁ、トレーニング【training】 がたっぷり在るのに邂逅。
依存もどうぞ。（→　参考：「計算」）飯高先生は、数多の体積等を視て、歌われた。（計算）

　飯高先生曰く。長さ、面積、体積、.... に関心が在るのね！と。先ず、資料から始めなさいと
受講生へ。学生は味読中です......。行間埋め子さんの援助を乞い乍.....。


　次の問題 3を視た刹那、飯高先生の受講生諸氏は問題 n　(n=1,2,4,5,6,...,2012,.....)を軽々と
創作した。（平成２４年６月１６日付け）

　すると、味読した學生Mが、R²⊃{P[1]，P[2]，P[3]}={{1, 2}, {5, 8}, {-1, 1}} を頂点とする三角
形の面積を求めよと云う、限りなく易しい問題(高校生ならこう解くと云いながら）が、三村征
雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」の231p に在り、解答に最上段の発想で、即
ち、計算の半分で答え　(1/2)×8=4 とあるのを視て違和感を覚えたと....。何故と訝る近傍の
諸氏曰く。「だって、それなら体積じゃん。問題は面積なのよっ」と。近傍の諸氏は頑迷古老
と自嘲し答えに窮し只今思案中......。傍らで、Rank の壁をとっぱらうことの重要性を経験され
た飯高先生が云われた。

　R²⊃{P[1]，P[2]，P[3]}={{1, 2}, {5, 8}, {-1, 1}} を頂点とする三角形の面積を求めよと云う限
りなく易しい問題より、ひとつ次元が高い、本当に易しい体積の問題達をひとつ次元を上げ、
たとえば、この最後の問題で、ズルしても構わないから頑迷古老と　自嘲しつつ世界の誰に
も分かりやすく説明して下さいと。計算を只今學生諸氏が注視中...........。

　定理１ は卒業したと自負された研究室の面々が、定理1の其の行列は５行５列だから長さ
でも面積でも体積でもなく若いのに　頑迷古老ぶリっ娘して真に悩み始めた.....。

　本当に限りなく易しい四面体の体積を定理１や計算と次元を（下げず）上げ考察される志
村五郎著288p (261p) に。（→　参考資料）


　奇遇か、あの Stephen Wolfram 様から私に私信をいただきましたぁ！
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月１７日付け）

　分厚い書籍の340p に高校生が解けてしまう　parallelotope P の問題が在ります。記号は
巧く使われ、

　　　{p[0], p[1], p[2], p[3]} = {{2, 0, 3}, {0, 1, 2},  {-1, -2, 3}, {4, 1, 2}}

　これから構築される四面体の体積（言葉が不足なので3次元体積 V(3)とします）は、
「Parallelepiped」で無論解けてしまうのですが、定理１でも無論解けてしまうのですが

　 (1/6)*Abs[B.B^t]^(1/2)　　(B=(p[3]-p[0],p[2]-p[0],p[1]-p[0])　　から

   1/6*Sqrt[Det[{{17, 6, 0}, {6, 6, -2}, {0, -2, 2}}]]　を「Wolfram|Alpha」に挿入し、．．．。

　飯高先生の受講者諸氏は此処で頑迷古老ぶりっこすべきと、(1/6)*Abs[B.B^t]^(1/2)の
B^t の転置行列の定義は易しいが、BがHom[K³，K³] のとき線型写像Bt の定義を、双対空
間を前面に押し出し....、真面目に受講した學生達は、合成写像B・B^t の意味するところを探
ろうと深刻に悩んでいます。

　分厚い書籍の340p に、 n=4 次元空間K⁴ (但し、体K はR）のparallelotope P の問題が在
ります。無論、n 次元空間Kⁿ のparallelotope P の問題が在ります。断るまでもなく一番易し
く重要な問題です。

　最近易しすぎる話題のみで申し訳ないがと研究室に下問達を素朴な拘りを有す學生Kが
もちこんだ。163p近傍に重心座標(tj )が在りますが、Coxeter先生曰く：P[j]に 負の重さを置
いたときを合理化するには、重さの代わりに電荷を考えればよいと.....。その譬え話でよく分
かった派が世間の多数派なのでしょうか？

　次の３点を頂点とする３角形の有向面積S：{{x[1], y[1]}, {x[2], y[2]}, {x[3], y[3]}}について
行列式の(1/2)倍を掲げてある書籍が普通でしょう。このDeterminantに出現する式の(1/2)
倍を公式として掲げてある書籍がありました。

　行列式の幾何学的意味に拘る學生Kが調査を開始した。

(1) 　計算の(1/2)倍を公式として掲げてある書籍が在り、嘘ではないが使うのなら其れ以前
　　で止めておいて欲しいと。

(2)　公式にはappend columns {1,1,1} とあるが、

　(イ)　面積を導出するのに、なんと先に体積を求める！

　(ロ)　逆に、計算と素直に面積を求めたのち、それで結論が出たにも拘わらず更に
　　　　append columns {1,1,1} として公式化する。

　coxeter先生は如何に導出されたか書籍を紐解いたところ、極座標で先ず求め、計算を掲
げ、書き換えるとなどと云わず、だまって、append columns {1,1,1} として公式化しておられま
した。

　上のことは、次元を、例えば、ひとつ上げ、R³ の４点

　　{{x[1], y[1], z[1]}, {x[2], y[2], z[2]}, {x[3], y[3], z[3]},{x[4], y[4], z[4]}}

から四面体の体積を求める際も、append columns {1,1,1,1}と為し、4次元の体積に帰着させ
る方法！

　{{x[1], y[1], z[1], 1}, {x[2], y[2], z[2], 1}, {x[3], y[3], z[3], 1}, {x[4], y[4], z[4], 1}}

派が多そう...。もう一つ次元を上げても然り...。

　R² で、3直線の囲む三角形の面積、R³ で、4平面の囲む四面体の体積、さらに次元をあ
げ公式が掲げられている、三村征雄・志村五郎　著　「代数学と幾何学（裳華房）」の223p、
283p。其れ等を視て、美しい公式達と愛用される方が存在するでありましょうか?

　因みに、ｘ - 2ｙ + 3=0、 ｘ + 2ｙ + 3=0、 5ｘ - 2ｙ - 9=0　なる3直線の囲む三角形の面積を
美しい公式に当てはめることを近傍の高校生にお願いし、自ら直に求めるのとどちらがいい
かを訊いてください。ついでに、内心や外心等の座標を求めてと。

　各問題から3点を選び、その3点を通る平面を求め、₄Ｃ₃=4 個の平面を定め、238pの美し
い公式で、4平面の囲む四面体の体積Vを愛用して。


　學生が、最後辺りの真に易しいExample 4 でと研究室に持ち込んだ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月１８日付け）

　Example 4 の図を視ると、底辺の三角形の面積を多様な発想で求めれば解決。

　三角形の面積の求め方が、線型変換をして、小学生が解ける問題にし、Jacobian of the
transformation を考慮すればよいよと助言が在るわと學生J。此れに倣い、底辺の三角形
の面積を求めてと學生J。學生Vが、次のように為した。

{{0, 10, 25, 100, 1}, {10, 0, 5, 110, 1}, {25, 5, 0, 125, 1}, {100, 110, 125, 0, 1},{1, 1, 1, 1, 0}}

　計算から、288V² = 20000　で、答え　25/3。そして、対称行列故、固有値が実数で、対角
化可能の方も見逃さないでねと。學生Vの発想は此れだねと、飯高先生を囲む皆んな。

（別解）　この四面体は、3次元単体なので、(3) が素直に体積なので為すわと學生V3。

　固有値が全て異なり、それを掛けて、(1/3!) 倍して答え　(1/3!)*(10*5*1)=25/3。

（別解）　次元を上げて考察好きのUが、固有値の積が-50　より答え　(1/3!)*(-50)=-25/3
　　　　　但し、有向体積。

　　　　と、なんと先に4次元体積を求め、３次元体積を求めた。

　普通の高校生や中学生の為す発想で為してと懇願され、

（別解）　{{0, 0, 1, 0}, {1, 2, 1, 0}, {0, 5, 1, 0}} と {0, 1, 0}, {0, 2, 5}, {1, 1, 1}, {0, 0, 0}}]の行列の積

　　　　を求めると、　{{0, 0, 1, 0}, {1, 2, 1, 0}, {0, 5, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}

　　　　固有値の積が5より、底辺の三角形の面積が 5/2 だから、(1/3)*10*(25/2)=25/3 が
　　　答えと云うと、「全然大學生の家庭教師の云うことがワカラン!」と云われたと。飯高先生
　　　の受講生なら、底辺の三角形の面積が 5/2　だから、(1/3)*10*(5/2)=25/3。以前の4
　　　行4列の積の出処から、うまく理由を説明願います。

（別解）　高校生の妹は、底面積は底辺を巧く選び 5、高さは 1だから、
　　　　　(1/3)*((1/2)*10*(5*1))で瞬時よと。

　続けて本音を叫んだ。でも、Example 4や他の数多な多重積分を習いたいと。その先を覗
いて視ると、資料１、資料２。Stokes’ Theorem　については、微積分の初等過程で教えるこ
との自然さを云々と（飯高先生もさすが志村教授のご本と)。

（別解）　妹が為してしまったので、兄は底面の選び方に依存しないと、
　　{P[1], P[2], P[3], P[4]} = {{0, 0, 0}, {1, 3, 0}, {0, 5, 0}, {0, 0, 10}}　から｛P[2], P[3], P[4]}を通
　　る超平面をわざわざ計算より求め、そのGradient Vector のノルムを求め、5*Sqrt[21]。
　　高さは、50/5*Sqrt[21]。底面に選んだ三角形P[2]P[3]P[4]の面積は、vector P[4]P[2]と
　　vectorP[4]P[3] の外積で、{20, 10, 5}。其のノルムの半分と (5*Sqrt[21])/2 を求め、
　　V= 1/3*(5*Sqrt[21])/2*10/Sqrt[21]　だと。

　外積は自分で學んだの?とバイト生Bが聞くと、いいえ、物理の授業で理科の先生がいつも
使われておられるのですと。例えば、次のNewton’s equation of motion  (1.2.2)。

　此処に集われる世界の皆様。上の易しい問題を叶う限りの発想達で為し、此処に公表願
います。理科と比べると恥ずかしいですが、そのひとつが次です。


　四面体に触れ、「外積を」は当然至極ですが、外積とくれば、資料のNewton’s equation
of motion  (1.2.2) で、時と場を弁えよと命じておられます。（平成２４年６月１９日付け）

　「四面体」「外積」の話題があまりに侘しく触れるのが恥ずかしいので、もう触れる予定は
ありません....と云いながら問題達の大元からは學びたいのです。

　電場、磁場、外積の資料の方は、幾度拒絶されても近づきたいので助言を宜しくお願い
申しあげます。


　１日当たりの仕事量を小学生に詰問。（平成２４年６月２０日付け）

　いつもの研究室に家庭教師を為すB さんが教授中の子の妹曰く。

問題　ある仕事をするのに、はろ美さんは10日、わ-く男君は15日かかります。この仕事を
　　　男女2人ですると何日で終わらせることができますか。

型の問題が学校で頻出なので、親に尋ねたら、計算１、計算２ (行列∈GL(n,K) に非ずで）
d=6 日で済む仕事やと云い放ち、救助を求めている娘を「千尋の滝」へつき放されたので、
行列の出処も含めて詳解を教えてとつぶらな瞳を向け懇願された。

　GL(n,K)の元でなく、退化するのはd=6で、マジに協力すれば、6日と云うと、行列の出処も
含めて詳解を教えてと再度懇願された。さらに、この仕事を男女2人ですると云うなら、本当
にさせて具現させ、仕事ぶりを視て、その顛末を赤裸々に世界に公表して欲しいと。

　資料の意味を若いといえども頑迷古老ぶりっこし最重視すれば、次は体積が退化すべき。
計算で答えは、6日（と親曰く）。其処のところ巧く（家庭教師し）伝えてよとつぶらな瞳を向け
懇願された。傍らで流れを讀まれた飯高先生は、行列の出処を隠匿せず云い、更に妹さん
が出題された：

　ある仕事をするのに、A君とB君さんの2人ですると3時間、BさんとC君では4時間、A君とC
君では6時間かかります。

(1)　この仕事を3人ですると、何時間何分で終わらせることができますか。

(2)　この仕事をB君1人ですると、何時間何分かかりますか。

を行列を前面に押し出し解答してごらんと云われた。

（無論、行列式とは、長さ・面積・体積 .......を金科玉条思考でと）

　はやく大人になりたいと切望の妹曰く：

問題　水そうに水を入れるのにA管1本では24分かかり、B管1本では30分かかります。いま、
　　　　A管2本とB管5本を同時に使うと、何分で満水になりますか ?

　はやく大人になりたいの要求にこたえ、即ち I am afraid that I cannot fulfill your request.
と云いたくなく、飯高先生の代数多様体の受講生Bが、

　k[X，Y，T，Z]/<Z - 24X，Z - 30Y，Z - T(2X + 5Y)>　で、ideal の生成元を取り替えて、
<-(T - 4)Z，Z - 30Y，Z - 24X>　より、4分だよと小學生に教えた。更に、Ideal_(Ringtheorie)
を學ぶべきと小學生へB。Bさんの行間をちゃんと埋めようと受講生諸氏が只今奮闘中です。

　學生が為す前に行間を埋めて下さい。小學生の問題に「隠匿せず、イデアルを前面に押
しだすなんて素敵」と學生Bに云う女學生が存在した。

　{M - 24a，M - 30b，M - t(2a + 5b)}を「Wolfram|Alpha」に挿入すれば、如何なる顛末を獲
るか、挿入前に想定して此処に記載して下さい。

　はやく大人になりたい小學生の要求にこたえ、更に、Ideal_(Ringtheorie)を學ぶべきと家庭
教師のバイト生Bから助言され、次の2問を以下のように小學生が即答した。

問題１　ある牧場で牛10頭を放牧したところ、5日で牧草を食べつくしました。牛12頭の場合
　　　　では、4日で食べつくしました。では、牛6頭の場合、何日で牧草を食べつくすでしょう
　　　　か。ただし、牧草は毎日一定のペースで増えています。

問題２　ある牧場で牛を25頭を放牧したところ、8日で牧草を食べつくしました。また、15頭を
　　　　放牧した場合は、18日で食べつくしました。では、この牧場で48日間放牧を続けるに
　　　　は、牛を何頭まで放牧できますか。但し、牧草は一定のペースで増えるものとします。

Q1　多項式環k[a，b，B，n]のイデアル<-50a+4b+B，-48a+3b+B，B+b(n-1)-6an>の生成元
　　を取り替えて、<-B(n-10)，B-21b，42a-B>より、n=10日。

Q2　多項式環k[a，b，B，t]のイデアル<-200a+7b+B，-270a+17b+B，47b+B-48at>の生成元
　　を取り替えて、<B(t-10)，151b-7B，B-151a> より、t=10頭。

　上の小學生の解答の行間をちゃんと埋めようと飯高先生の代数多様体の講義の受講生
諸氏が只今奮闘中です。學生が為す前に行間を埋めて下さい。

　資料の最後の30pの(46)って、行列式じゃない? と受講生 M。拡張し、証明しようと受講生
諸氏。

　「万遺漏無きを期す」なんっちゃて大人。常時漏れる問題在りと。早く大人になりたい小學
生の要求にこたえ、更に、Ideal_(Ringtheorie)を學ぶべきと家庭教師のバイト生Bから助言さ
れ、此れを學んだ小學生が次の問を以下のように即答した。

問題1　満水の貯水池の水をポンプ25台でくみ出すと14時間でくみつくし、30台でくみ出すと
　　　　12時間でくみつくします。では、満水の貯水池を放置しておくと、何時間で水は空にな
　　　　りますか。ただし、この貯水池には用水路が付いていて、一定の割合で水が流出して
　　　　います

　多項式環k[a，m，M，t]のIdeal<-350a-13m+M，-360a-11m+M，M-m(-1+t)>の生成元を取
り替え、<-M(-84+t)，83m-M，-415a+M>より、t=84時間。

　小學生が云った。飯高先生の代数多様体の受講者の皆さんも下の問を私に倣って解いて。

問題2　満水の貯水池の水をポンプ15台でくみ出すと104時間でくみつくし、19台でくみ出すと
　　　　91時間でくみつくします。では、満水の貯水池を放置しておくと、何時間で水は空にな
　　　　りますか。ただし、この貯水池には用水路が付いていて、一定の割合で水が流出して
　　　　います。

　問題も私に倣って、イデアルを用いて解いてと。あなおそろしや、あっ問題に穴があると研
究室の面々は漏らし、Idealの生成元を記載し始めた...。

　更に、小學生が、こんな参考資料が在ったと。此処のideal

　　　<9ｘ²+36ｙ²+4ｚ²-36，ｘ²-2ｙ²-20ｚ，ｘ²-ｙ²+ｚ²>

の生成元も取り替えて欲しいと家庭教師におねだりした。「も解問題」に関心がある學生が

　　<9ｘ²+36ｙ²+4ｚ²-36，ｘ²-2ｙ²-20ｚ，ｘ²-ｙ²+ｚ²>∩k[ｘ]=<625ｘ⁴+178200ｘ²-142704>

を導出し、625ｘ⁴+178200ｘ²-142704=0 の「も解」を考察してと問題提起し手法も紹介した。


　先の問題１は、アイザック=ニュートンが１６６９年に出していることを今（2012/6/20 23：50）
知りました。（→　参考資料）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月２１日付け）

　解法ポイントは、一番基本となる数量を１としと在りますが、解説を読むのが辛い私です。
あの小學生のようにイデアル前面　(非隠匿)丸出しなら容易ではないでしょうか?そのイデア
ル丸出し発想で解いて下さい。

【問題】　水そうに、給水口から一定量の水が入り続けています。この水そうに水がいっぱい
　　　　　に満たされた状態から排水ポンプを動かし始めたとき、空の状態にするのに、排水
　　　　　ポンプ２台では１２分間、排水ポンプ３台では６分間かかります。どの排水ポンプか
　　　　　らも毎分一定量の水が出ていきます。この水そうに水がいっぱいに満たされた状態
　　　　　から、２分間で空の状態にするには、排水ポンプが何台必要ですか。

曰く；昨今、学力低下の歪みとなっているゆとり教育を抜本的に見直すため、子どもたちの基
礎学力向上を望む声が澎湃として起こっているが、中学受験生のみでなく、次世代を担う全
ての子どもたちが持続可能な開発のための教育（ＥＳＤ）の一環として、義務教育で　上問の
本質を学び、そして考える素地を涵養する授業プログラムづくりやカリキュラムの創意工夫が
求められているように感じる。 と。

　へぇ、そうなんですか?あの小學生は真に自然な発想で解いてる!...のに........。

【問題】　ある草原にやぎを放ち、草を食べさせます。２０匹のやぎなら１５日で、３０匹のやぎ
　　　　　なら９日で、この草原の草を食べ尽くしてしまいます。はじめに生えている草の量は
　　　　　同じで、やぎを放ってから草は毎日同じ量だけ生えてくるとします。草原の草が減ら
　　　　　ないのは、やぎが何匹以下のときですか。

　私は、やぎを飼い繁殖させ幼くして乳に触り乳搾りをしヤギ乳販売をし生計の足しにしてお
りました...。ある草原にやぎを放ちの箇所は修正が必要です。私の牧草地なんて在る筈がな
く、日々あちこちの他人の地に向い、自然に生えてる草を無料で食わせて乳搾りをしており
ました...。ですから、上問の下の模範解答(?) を読むのが苦痛です。

【解答】　１匹のやぎが１日に食べる草の量を１とすると、
　　　　　はじめの草＋生えてくる草＝やぎが食べる草
　　　　　はじめの草＋１５日で生える草＝１×２０匹×１５日
　　　　　はじめの草＋９日で生える草＝１×３０匹×９日
　　　　　─────────────────────
　　　　　　　　　　　差：６日で生える草＝３０

　　　よって、１日で生えてくる草の量は、３０÷６＝５

　　　したがって、草原の草が減らないのは、５÷１＝５で、やぎが５匹以下のとき。

　あの小學生は真に自然な発想で解く筈です。この小學生に倣い、多項式環、イデアルを用
いて解いて、その発想を世界に広めて小學生の苦痛をなくして下さい。

　脱毛症について、医学的見地からの知識は皆無なのですが、或る真面目な毛抜き虫が存
在すると仮定し、ある頭部に毛抜き虫達を放ち、脱毛させます。２０匹の毛抜き虫なら１５日
で、３０匹の毛抜き虫なら９日で、この毛髪を食べ尽くしてしまいます。はじめに生えている毛
の量は同じで、毛抜き虫を放ってから毛は毎日同じ量だけ生えてくるとします。頭部の毛が
減らないのは、毛抜き何匹以下のときですか。

と、問題の表現をかえたら身近過ぎる問題で、親子、祖父母、曽祖父母も解くにちがいない..。
それぞれの世代の発想を想定し解いて下さい。

（追伸）　２０匹の毛抜き虫なら１５日で、３０匹の毛抜き虫なら９日で、この毛髪を食べ尽くし
　　　　てしまいます。


　バイト學生Bが、小學生の家庭教師先の部屋で、（平成２４年６月２２日付け）

　ポンプで井戸の水をすべてくみ出すのに４台では１２時間かかり、７台では６時間かかりま
す。９台では何時間かかりますか。ただし、はじめ井戸には一定の量の水が入っていて井戸
の底からは一定の量の水が常に湧き出ているものとします。

なる問題の解法を小學校の先生が、「１台のポンプで 1時間にくみ出す量を <1> とするから
開始し」と説明されたと。10行 あまりも要したノートを見せられ読みたくなくなり、自分の発想
で解きたいが我慢して讀んでうんざりした。

　似たような問で、

　牛１頭が、１日に食べる草の量を「１」とする。
（小学生の算数には時々こういう胡散臭い「１」が出現します。大人だと、これを定数Ｃか何
かにして、Ｃ（kg/頭・日)とか単位を付けないと落ち着きませんと云う方にも邂逅.....）

　小學生が、あなたならどうすると自問し、私ならこうすると以下の如く為した。そして云った。
「小學校の先生の解法を研究仲間に説明して反応を聞かせて」と。

　小學生が69秒で2行で解決し曰く：多項式環k[M，w，k，n] のイデアル

　　<-48k + M + 11w，-42k + M + 5w， M - 9kn + (n - 1)w>
　　=<k(2n - 9)， w - k， M - 37k>

より、n=9/2=4．5 時間。kって何?と學生B。「 1時間あたり汲み取る量」と意味が汲み取れる
ようにしたの！wは湧き出しのことね！Mは___のことね！と直ぐ意思の疎通が叶って、小學
校の先生が説明されたノートと対比し、これは研究室で話題にしなければと持ち込んだ。

　小學生へ参考資料も読むよう學生Bは勧めた。

　小學校の先生の解法を、研究仲間に説明をしたところ、わかろうと、いつものように真剣
に聴いてノートもとった學生諸氏が云った。難解やなぁ。もう一回説明して欲しくないと。こん
な説明を小學校の先生になると教室で為さねばならぬの?

　家庭教師先の小學生が解いたのが在ると、「Hint;イデアルを使う」と云うと、飯高先生の代
数多様体の受講者全員が、3分以内に生成元を巧く取り替えることを丁寧に為し、これなら
誰でもすっきりすると小學校の先生の解法と比べ云った。
（今は辿れないようだが、小中の問題は手強いよと飯高先生が過去の事実を吐露された。）

　飯高先生は少し一般化し、

　ポンプで井戸の水をすべてくみ出すのに、n₁台では、t₁時間かかり、n₂台では、t₂時間か
かります。n台では何時間かかりますか。ただし、はじめ井戸には一定の量の水Mが入って
いて、井戸の底からは一定の量の水w が常に湧き出ているものとします。

について、様々な関係式を導出し、小學生にわかるよう色々な場合の説明をして下さいと要
望された。


　ニュートン算について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」さんが考察されま
した。（平成２４年６月２２日付け）

問題　　10頭の牛なら5日で、12頭の牛なら4日で草を食べ尽くす牧場があります。6頭の牛
　　　　なら何日で食べ尽くしますか。ただし、牛は毎日同じ量を食べ、草も毎日一定の量だ
　　　　け生えてくるものとします。

答え　牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。牛が食べた草の量（y=10xとy=12xとの交点）
　　　は、10頭、5日なので、1×10×5=50。12頭、4日なので、1×12×4=48。
　　　1日に生える草の量（傾きM）は、50-48=2　より、2÷(5-4)日=2。
　　　はじめの草の量（切片N）は、50-2×5日=40　または、48-2×4日=40
　　　6頭の牛なら（y=6xとの交点）、40÷(1×6頭-2)=10日 （終り）


別解　「倍数算+仕事算」の表より、

　　　　能力: 10　　12　┐倍数算
　　　　変化: �@ 　 �@　│
　実際の能力: ?　　 ? 　┘┐
　　　　時間: 5　　 4 　　│仕事算
　　　　仕事: �A　　�A　　┘

次の手順で、表の未知数の部分（?、�@、�A）を求めていく。

　同じ仕事（=�A ）なら、仕事=能力×時間より、能力は時間に反比例するので、

　　実際の能力： 4　　 5

次に、比の値を、「一定である差」で揃える。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　差
　　　　能力: 10　　12　　12-10=2 ←┐
　実際の能力: 4　　 5　　 5-4=1 　←┘

なので、2/1=2倍すればよい。実際の能力：　 4*2=8　5*2=10

　これより、10-�@=8または12-�@=10より、�@は2となる。

したがって、

　実際の能力: 8　　 10
　　　　時間: 5　　 4
　　　　仕事: 40　　40

はじめの草の量は、8・5=40　または　10・4=40　となる。

　6頭の牛なら、

　実際の能力: 6-2
　　　　時間: �B
　　　　仕事: 40

より、(6-2)*�B=40より、�Bは10となる。　（終り）

中学生向け（1次関数とグラフ）　ｘ軸に日数、ｙ軸に草の量として、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ=10ｘ、ｙ=12ｘ、ｙ=2ｘ+40、ｙ=6ｘ　のグラフを考える。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1次関数（直線）の導出は、小学生の解答に従うとよい。）

　※線分図よりは、このグラフの方が解りやすい。（個人的な感想）

中学生向け（連立方程式）　牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。はじめの草の量をN、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　1日に生える草の量をMとすると、
　　　　　　　　　　　　「はじめの草の量 + x日に生える草の量 = x日にB頭の牛が食べた量」
　　　　　　　　　　　　なので、連立方程式　N+5M=5・10（← N+Mｘ=Bｘの形）、N+4M=4・12　を
　　　　　　　　　　　　得る。これを解いて、N=40、M=2。6頭の牛なら、40+2ｘ=6ｘよ　り、ｘ=10

（余談）　連立方程式　N+5M=5・10、N+4M=4・12　を変形して、
　　　　　N=(10-M)・5（←N=(B-M)ｘの形）、N=(12-M)・4
　　　　となるので、(10-M)・5=(12-M)・4　　よって、(10-M)：(12-M)=4：5

　小学生の別解の「倍数算+仕事算」の表は、

　　　　　　　　　　　 差
　　　能力: A　 B　　　A-B
　　　変化: M 　M
実際の能力: A-M B-M　　x2-x1
　　　　　※x2:x1（逆比）
　　　時間: x1　 x2
　　　仕事: N　　N

となる。 （終り）

高校生向け（ｙ=Aｘ、ｙ=Bｘ、ｙ=Mｘ+N、ｙ=Kｘ）

　2点(ｘ₁，ｙ₁)、(ｘ₂，ｙ₂)を通る直線は、(ｙ₂-ｙ₁)(X-ｘ₁)-(ｘ₂-ｘ₁)(Y-ｙ₁)=0　より、
(ｙ₂-ｙ₁)X-(ｘ₂-ｘ₁)Y-(ｘ₁ｙ₂-ｘ₂ｙ₁)=0　← ｙ=Mｘ+N
次に、Y=KXとの交点は、(ｙ₂-ｙ₁)X-(ｘ₂-ｘ₁)KX-(ｘ₁ｙ₂-ｘ₂ｙ₁)=0　より、
　X=(ｘ₁ｙ₂-ｘ₂ｙ₁) / {(ｙ₂-ｙ₁)-K(ｘ₂-ｘ₁)}
2点は、ｙ₁=Aｘ₁、ｙ₂=Bｘ₂　なので、代入して、X=(A-B)ｘ₁ｘ₂/{(A-K)ｘ₁-(B-K)ｘ₂}

問題　満水の貯水池の水をポンプ25台でくみ出すと14時間で汲みつくし、30台でくみ出すと
　　　　12時間で汲みつくします。では、満水の貯水池を放置しておくと、何時間で水は空に
　　　　なりますか。ただし、この貯水池には用水路が付いていて、一定の割合で水が流出
　　　　しています。

答え　ポンプ1台が1時間にくみ出す量を1とする。

　　　　25台、14時間なので、1×25×14=350
　　　　30台、12時間なので、1×30×12=360

　　　　1時間で流出した量は、360-350=10　より、10÷(14-12)時間=5

　　　　貯水池の全体の量は、350+5×14時間=420　または、360+5×12時間=420

　　　　そのままなら、420÷5=84時間　（終り）

別解　「倍数算+仕事算」の表より、

　　　　　　　　　　　　　　差
　　　　能力: 25　　　30　　30-25=5 ←┐
　　　　変化: 25-30=-5　30-35=-5　　　│
　実際の能力: 12　　　14　　14-12=2 ←┘5/2倍
　　　　　　　12*(5/2)=30　14*(5/2)=35
　　　　時間: 14　　　12
　　　　仕事: 420　　 420

となる。そのままなら、

　実際の能力: 0-(-5)
　　　　時間: �B
　　　　仕事: 40

より、(0-(-5))*�B=420　で、�Bは84となる。 （終り）


　解答を視ないで、9個の要素の関係式を導出願います。（平成２４年６月２３日付け）

　解答は誠に自然で誰でも理解可能。行列式の意味を頑迷固陋し、解答を味読した學生が
居たか不明。

　例えば、117頭の牛を20個の牧場で飼うと8日で食い尽くす。しかし、どの牧場にも美味しい
牧草が日々生え、その量は一定。しかし、数多な牧場を有し、数多の牛を放牧し食い尽くさ
せるなんてスケールが違い過ぎますね....。

　ところで、牧場が一つの場合の模範解答の、「先ず、牛１頭が１日で食べる草の量を<1>と
する。」って誰でも為す発想なのでありましょうか?

　Newton 様　Fields and Cows の設定が

{{a[1], b[1], c[1]}, {a[2], b[2], c[2]}, {a[3], b[3], c[3]}, {a[4], b[4], c[4]}, {a[5], b[5], c[5]}}

なら如何？（と誰も疑問をNewton先生に投じなかったのでしょうか?)

　あのNewton's Problem of the Fields and Cows問題が小中でっ?　3*3=9個の要素の関係
式を導出してとありますが、3*4、3*5、3*6、......、3*69、...じゃダメなんですかと問うた受講生
が居た。


　攻略法さんが考察されました。（平成２４年６月２３日付け）

問題　10頭の牛なら5日で、12頭の牛なら4日で草を食べ尽くす牧場があります。6頭の牛な
　　　　ら何日で食べ尽くしますか。ただし、牛は毎日同じ量を食べ、草も毎日一定の量だけ
　　　　生えてくるものとします。

について、

中学生向け（追いつき算（旅人算）、相似三角形）

　原点をOとする。ｙ=2ｘ+40 のY切片をAとする。ｙ=2ｘ+40 と ｙ=12ｘ との交点をBとする。
ｙ=2ｘ+40 と ｙ=10ｘ との交点をCとする。ｙ=2ｘ+40 と ｙ=6ｘ との交点をDとする。ｙ=10ｘ と点Dを
通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=10ｘ と ｘ=10 との交点である）をEとする。ｙ=12ｘ と点Dを
通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=12ｘ と ｘ=10 との交点である）をFとする。
△OAB∽△FDBなので、AB：BD=OA：DF　より、 (4-0)：(ｘ-4)=OA：(12-6)
∴OA=24/(ｘ-4)頭（に相当する）　同様に、△OAC∽△EDCなので、AC：CD=OA：DEより、
(5-0)：(ｘ-5)=24/(ｘ-4)：(10-6)　∴　ｘ=10　（終り）

別解

　ｙ=2ｘ+40 と ｙ=12ｘ との交点をBとする。ｙ=2ｘ+40 と ｙ=10ｘ との交点をCとする。ｙ=2ｘ+40 と
ｙ=6ｘ との交点をDとする。ｙ=12ｘ と点Bを通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=12ｘ と ｘ=4 との
交点である）をB’とする。ｙ=10ｘ と点Cを通る垂直線との交点（すなわち、ｙ=10ｘ と ｘ=5 との交
点である）をC’とする。△DBB’∽△DCC’なので、DB’：DC’=BB’：CC’ より、
(ｘ-4)：(ｘ-5)=(12-6)*4：(10-6)*5　∴　ｘ=10　（終り）

　これらの方法だと、ｙ=2ｘ+40　を求める必要がない。


　飯高先生が、次の問題を代数多様体履修者ならどう解くかを數行程度のレポ-トを作成し、
研究室に提出願いますと云われた。（平成２４年６月２４日付け）

　無論、k₁匹の毛抜き虫なら、d₁日で等、一般化して下の問を解くべきと。

　生真面目な毛抜き虫達のみが存在すると仮定し、酷いですが、頭部に毛抜き虫達を放ち、
脱毛させます。
  （仮定より、サボる毛抜き虫は存在しない。毎日同じ量せっせと抜く）
  （仮定より、ダイエット中の毛抜き虫も自制心をかなぐり捨て毎日同じ量毛抜く）
  （仮定より、もっと抜きたいけれども自制虫ぶりっこをし、毎日同じ量毛抜く）

　10匹の毛抜き虫なら5日で、この毛髪を食べ尽くしてしまいます。12匹の毛抜き虫なら4日で、
この毛髪を食べ尽くしてしまいます。はじめに生えている毛の量は同じで、毛抜き虫を放って
から毛は毎日同じ量だけ生えてくるとします。

（容易に解けるよう、救いのある問題にされたようです。少し現実的な問題に改竄し悩んでも
よいと飯高先生）

　6匹の毛抜き虫なら何日でこの毛髪を食べ尽くして(即ち、抜き尽くす）しまいますか。

（先に、何匹と想定して、正確な匹を求め、想定の範囲外でなかったと自分を褒めて下さい）

　解答で、「先ず、毛抜き虫一匹が１日で抜く毛の量を <1> とする。」とされますか?


　攻略法さんが考察されました。（平成２４年６月２４日付け）

問題　10頭の牛なら5日で、12頭の牛なら4日で草を食べ尽くす牧場があります。6頭の牛な
　　　　ら何日で食べ尽くしますか。ただし、牛は毎日同じ量を食べ、草も毎日一定の量だけ
　　　　生えてくるものとします。

について、

大学生向け（外積）

　△ABCの面積Sは、3点をA(ｘ₁，ｙ₁)、B(ｘ₂，ｙ₂)、C(ｘ₃，ｙ₃)とすると、

　S=(1/2)| ｘ₁ ｙ₁ 1 |
　       | ｘ₂ ｙ₂ 1 |
　       | ｘ₃ ｙ₃ 1 |

である。3点A、B、Cが一直線上にあるときは、S=0　となる。

　よって、3点(ｘ1，Aｘ1)、B(ｘ2，Bｘ2)、(X，KX)は、ｙ=Mｘ+N上の点なので、

　| ｘ₁  Aｘ₁ 1 | = 0
　| ｘ₂  Bｘ₂ 1 |
　| X   KX  1 |

とすればよい。展開して整理すると、X=(A-B)ｘ₁ｘ₂ / {(A-K)ｘ₁-(B-K)ｘ₂}　（終り）

参考サイト：「Newton’s Problem of the Fields and Cows」

　| 1  ｘ₁  Aｘ₁ | = 0
　| 1  ｘ₂  Bｘ₂ |
　| 1  X   KX  |


　中野嘉弘 氏（札幌市南区・８４才、現在は+α才です）の論文の３番の「ポンプの問題」、
５番の「放牧の問題」を代数多様体の視座から解いて、其れが小學生に解説される如何
なる模範解答よりもシンプルで今後は誰でもそうするような解答を研究室で示して下さい
と受講者に云われた。（平成２４年６月２４日付け）

（無論、イデアルを前面に押し出すと一言、大Hintを云われた）

　只今研究室でシンプルな解答を受講者全員が記述中です。ここに集われる世界の皆様
へ：學生が為すまえに此処に記載願います。そして、「他の如何なる模範解答ももう説明不
要」とも付言された。（何故、飯高先生は今回に限り、発想の多様性を歓迎されないのでし
ょうか?)

　中野嘉弘 氏は文献のところで、「ついに発見；a cows garze b field bare c days」と記載さ
れておられますが、解答はなぜか記載されておられません。解答は再掲ですが、9個の要
素の関係式の導出を願います。これは誠に自然で、誰でも理解可能。

　中野嘉弘 氏には前に論文に邂逅し、「も解」も在り、言及したことがありました。ここの例
の「も解」を是非論じてください。


　攻略法さんが考察されました。（平成２４年６月２４日付け）

　「通常、牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。」について、牛1頭が1日に食べる草の量
をCとする。はじめの草の量をN、1日に生える草の量をMとすると、

　　「はじめの草の量 + ｘ日に生える草の量 = ｘ日にB頭の牛が食べた量」

なので、連立方程式

　N+5M=5*10C　← 式1　← N+ｘM=ｘBの形
　N+4M=4*12C　← 式2
　N+ｘM=ｘ*6C 　← 式3

を得る。式1-式2より、M=2C　← 式4　　式1-式3より、(5-x)M=(50-6x)C　← 式5
式4を式5に代入して、(5-ｘ)2C=(50-6ｘ)C　∴10C-2Cｘ=50C-6Cｘ　∴4Cｘ=40C　∴ｘ=10

　牛が1日にどれだけ食べようとそれはいっこうにかまわない。牛が大食いであればそれだ
けNもMも比例して増える計算になる。Cを1と決めれば極めて簡単になってしまう。

・4つの未知数が3つになる。
・数値が小さくなる。

「それはあなたが決めることです。」と、家政婦のミタ。


　親子も含めた（牛の問題は済んだので）ヤギを放牧します。子ヤギも母ヤギも日々一定量
を食う義務が在り、日々一定量しか食べてはならぬ問です。（平成２４年６月２４日付け）

　上の２問を「algebraic geometry」で先ず學ぶ「ideal」概念のみを表に出し、すっきりと解いて
下さい。（為されたなら、下の指導者の如き難解な解法は金輪際なさらぬでしょう）

　資料を参照し、上の２問について、學習塾や小學校の算数の指導者が為されるような（難
解な）解法達なるものは不要です。


　「はざま」に行き着いた説明をします。（平成２４年６月２５日付け）

　問題を視た幼稚園の園児達が、それなら多分20日と4日のはざまでといっても4日に近い
ので5日じゃないと。（なぜかというと、10匹--足す15匹-->25=10+15--たす5匹-->30=25+5)

　園児達は先生のもうやめてと押しとどめようとの聲を全然聴く様子もなく叫びだした。

　子ヤギを10匹から30匹まで1匹ずつ増やし「生える牧草もみんな貪欲にすべてたべちゃう
（きまった量だけちゃんとたべちゃう）」のを表にしてよと。

　それぞれの家庭事情を反映し叫ぶ園児が居た。うちには6匹しかいないよ。食い尽くすの
は_____日か?うちには5匹しかいないよ。食い尽くすのは_____日か?此処で、人生有限とは知
らぬ園児はなんにちくってもいいのと。うちには1匹しかいないよ。食い尽くす(consume)のは
_____日かをあてて、解釈出来ないと泣きわめいています。

　園長先生すら、「わかんない!」と云われ、先生達と出来ぐあいに大差ないと園児達は不安
がった。園児が家にかえって今日の出来事をちゃんと報告すると両親はちがう幼稚園に転
校させようかと不安顔。

　おにいちゃん、おねえちゃんは現実離れの話は出来てしまうので、ヤギが30匹の時4日で
食い尽くす(consume)なら、31匹なら_____で食い尽くす(consume)、32匹なら_____で食い尽くす
(consume)と問題を視ながら、ドンドン、ヤギの数を増やし研究し始めた。

　69頭ならどうと両親も参加し始めた。きりのいい100匹なら_____で食い尽くす(consume)。き
りのいい1000なら ______で食い尽くす(consume)と、現在も家族皆んなが研究中です。増やす
方はさもありなんと家族皆んな。

　飯高先生の云われた一般化で、その様子を正確に描写する函數を無論研究室の面々は
具現し、園児の聲を尊重した。その函數を此処に提示し解析願います。そして園児＆園長
の上記の不安を解消願います。


　攻略法さんが考察されました。（平成２４年６月２５日付け）

　「通常、牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。」について、

別解　役割分担
　牛1頭が1日に食べる草の量を1とする。1日に生える草の量をMとすると、10頭の場合、1
日に生える草の量は、(M÷1)倍なので、M頭が担当して食べつくす。はじめの草の量は、5
日間(10-M)頭が担当して食べつくす。12頭の場合、条件から、「生える草の量」の担当は10
頭の場合と同じ数である。
　したがって、はじめの草の量は、4日間(12-M)頭が担当して食べつくす。
これより、はじめの草の量=(10-M)×5日=(12-M)×4日　∴50-5M=48-4M　∴M=2

　よって、はじめの草の量は、(10-2)×5日=40　または、(12-2)×4日=40
はじめの草の量がなくなったとき、草が食べつくされた状態になるので、6頭の牛なら、
40÷(6-2)=10日　　（終り）

　これにより、

中学生向け（1次関数とグラフ）　ｘ軸に日数、ｙ軸に草の量として、ｙ=Aｘ、ｙ=Bｘ、ｙ=Mｘ+N、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｙ=Kｘ　のグラフを考える。
の解法は、

　はじめの草の量は、補助線ｙ=Nをひいて考えると、(A-M)ｘ₁=(B-M)ｘ₂=(K-M)ｘ
　よって、(A-M)ｘ₁=(B-M)ｘ₂　より、M=(Aｘ₁-Bｘ₂)/(ｘ₁-ｘ₂)　　（以下省略）

と解釈できる。「それは業務命令でしょうか？」と、家政婦のミタ。


　もう牛の放牧問題は済んだ筈なのに受講生の留学生が

　Suppose you have a grassy field, and cows eat grass at a constant rate.Keep in mind,
the grass keeps growing continuously.48 cows can clear all the grass off the field in 90
days.120 cows can clear all the grass off the field in 30 days.How many cows would be
needed to clear all of the grass in 16 days?Round up to the nearest whole cow.

なる問題を先の幼稚園に携えて来た。（平成２４年６月２６日付け）

　上の牛の問題は48頭なら90日でたいらげちゃう。120頭なら30日でたいらげちゃう。その次
の問題が変よ! 普通なら、例えば、48と120のはざまの69頭なら____日でたいらげちゃうと問う
はずよと園児。園児達は一覧表を作り考えはじめた。表を完成しながら園児はもう広い牧場
ね、ここの何処かしらと。園児が、その先の表を完成しようと提案。牛を増やし一覧表を更に
延長しはじめた。

　How many cows would be needed to clear all of the grass in 16 days?Round up to the
nearest whole cow.

なる16t が無いので泣き始めた。

　上の園児の様子を飯高先生の代数多様体の受講生の留学生が研究室で話すと、受講生
皆んなが多項式環のidealの問題だと瞬時に悟り、考察を開始し答えは出たが行間を埋める
必要も在ると只今、具現中.....。

　此処を訪れられる世界の老若男女の皆様へ：園児の気持ちを忖度しつつ、
　　　Round up to the nearest whole cow.
の答えを飯高先生の代数多様体の受講生のような発想(のみ）で解いて下さい。


　１．食塩水Ａを２００ｇと食塩水Ｂを３００ｇ混ぜ、６％の食塩水をつくりました。Ａの濃度はＢ
　　の１．５倍です。食塩水Ａ、Ｂの濃度を求めてください。（平成２４年６月２７日付け）
 
なる問題を、飯高先生の代数多様体の受講生Tが次のように解き小学生を指導したと研究
室で激白した。

　多項式環　k[S1，M1，S2，M2，a，b]　のイデアル

<S1*100 - a*(S1 + M1), S1 + M1 - 200, S2*100 - b*(S2 + M2), 
　　　　　　　(S1 + S2)*100 - 6*(S1 + M1 + S2 + M2), S2 + M2 - 300, S1 + M1 + S2 + M2 - 500, a - 3/2*b>
=<-5 + b, -15 + 2*a, 285 - M2, 15 - S2, 185 - M1, 15 - S1>

より、a=15/2=(7*2+1)/2=7+1/2=7.5 (%)  、b=5 (%)

　研究室の皆んなが「すっと　理解した!」と。そして、付け加えた。問われたa、b だけでなく全
て分かると。(食塩水Aの塩S1の量、水M1の量　etc)

　一問解けば卒業とはいかね経験者ばかりなので、練習問題をTにおねだりした。

　T 曰く：次問をその視座で解いてと。

只今、研究室の面々が多項式環　k[S1，M1，S2，M2，a，b]　のイデアル云々と思案中です。

　此処を訪れられる世界の老若男女の皆様へ：飯高先生の代数多様体の受講生のような
発想(のみ）で 解いて下さい。

　２．　３％の食塩水と７％の食塩水を混ぜ、４％の食塩水を５００ｇつくりました。それぞれ
　　　何ｇずつ混ぜましたか。

　傍らで聴いておられた飯高先生は、イデアルを前面に押し出し解きはじめた學生を視て、
講義をよく聴いているのことの例証で嬉しくもあるが....小学生のように解けなくなってしまっ
た受講生を視て硬頭學生にしてしまったことに今も悩んでおられます。

　研究室の皆んながなんだか此処最近小學生が解いてしまう問題ばかりで侘しくもあるが愉
しくもあると複雑な心境を語り始めた....。

　ところで、もういいよと云うた牛の問題絡みの問に徘徊して邂逅したと學生T。日頃使わな
い用語なので、皆んな無論調べた。（また、換算に悩みそうで嫌気がさしそうになった...)

　このNewton先生の創作問題の題意を解説して下さい。そして、解いてと學生T。此処を訪
れられる世界の老若男女の皆様へ：題意を解説して下さい。

　This is a version of the problem of fields and cows by Newton.

とあるが、本当にあのNewton先生の創作問題なの?と皆んな「疑いの目で見ていた」。


　2％の食塩水 A 3000[g]、69％の食塩水 B 117[g] を混ぜました。どうなりましたか? 顛末を
詳しく説明しなさい。（平成２４年６月２７日付け）

という問題を、家庭教師先の小学生にきかれ、學生Iはideal について、下の等式が成り立ち、

<100S₁-2(M₁+S₁)，M₁+S₁-3000，100S₂-69(M₂+S₂)，M₂+S₂-117，100(S₁+S₂)-p(M₁+M₂+S₁+S₂)>
=<4691 - 1039p，3627 - 100M₂， 8073 - 100S₂， 2940 - M₁， 60 - S₁>}

より、{{S₁ -> 60， M₁ -> 2940， S₂ -> 8073/100， M₂ -> 3627/100， p -> 4691/1039}}　と
小学生に指導したよと。研究室の皆んなが、そりゃそうだろうと唱和した。

小学生は、「立式がまっ正直なお兄ちゃんねっ! 」と褒め称え、将来、お嫁さんにしてと。

　5次元空間 (S₁， M₁， S₂， M₂， p) で、制約条件数が5で maximal ideal　なのねっ! と。

The maximal ideals of the polynomial ring K[x1,...,xn] over an algebraically closed field K
are the ideals of the form (x1-a1,...,xn -an). This result is known as the weak nullstellensatz

　それで、一気呵成に％以外のも　<4691-1039p，3627-100M₂，8073-100S₂，2940-M₁，60-S₁>　か
ら獲られるのねと。３つの食塩水の混合もしたい、４つの食塩水の混合もしたいと。

　上の問題を、「計算」で解いてと云っているわと學生C。傍らで、イデアルと語らう受講生を
視ておられた飯高先生は云われた。こんな薄味化問題も代数多様体で講義したことを用い
て解いてと。學生は即座にidealを用いて解き始めた。無論、どんどん水を加えて極限値も求
めた。


　ある井戸には一定の水量が貯まっており、そこに毎分一定量の水量が流れ込んでいる。
此れを　１台のポンプで汲み出すと １５分後に空になり、２台のポンプで汲み出すと６分後
に空になる。３台のポンプで汲み出すと何分後に空になるか?（平成２４年６月２９日付け）

を計算したところ、瞬時に

<-15k+M+15w，-12k+M+6w，-3kt3+M+t3w>=<M(4t3-15)，30w-M，10k-M>

を得た。

　{w->k/3，M->10k，t3->15/4}}　{w->0.3333333333333333`k，M->10.`k，t3->3.75`}}

と３台のポンプで汲み出すと如何? を問うたのに流れ込んでいる量や貯まっていた水の量
まで至れり尽せりの快答を眼前に提示された。

（→話題７へ続く）