無限遠点を導入し、射影化し、代数的閉体（話を簡単にする為、k=C とする事が多い）で
考察すると、代数と幾何の対応がより深まり研究が進むと飯高先生。下も理解したいのな
ら、そうすることが望ましいと。 （平成２４年３月１５日付け）
(1) C2に於ける連立一次方程式
-(3/5 - （1/5）・I・√（7/2）)ｘ + ｙ - （3/5）・I・√（7/2） - 1/5=0
-(3/5 + （1/5）・I・√（7/2）)ｘ + ｙ + （3/5）・I・√（7/2） - 1/5=0
を解き（初体験でも超容易）、相交わる二虚直線であることを確認してください。
f[ｘ，ｙ]=(-(3/5 - （1/5）・I・√（7/2）)ｘ + ｙ - （3/5）・I・√（7/2） - 1/5)
(-(3/5 + （1/5）・I・√（7/2）)ｘ + ｙ + （3/5）・I・√（7/2） - 1/5)
(必要のときは 右辺を展開し）
(2) 族 {(ｘ，ｙ)∈R2| f[ｘ，ｙ]=k} (k∈{0，1，2，3}) を図示しなさい。
(3) Ck： f[ｘ，ｙ]=k (k=3、k=2、k=1、k=0) の各双対曲線 Ck* を求めて双方を図示して下さい。
（今回は、例外的に易しいが故に例外的に困難を感じる場合も在る例として）既出のものが
今回と関わります。
上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と射影幾何學と ｎ
次元代数多様体の講義達後の考査のハードルをものすごく低めに設定されたリハーサル問
題を想定しつつ為したものです。
(4) f[ｘ，ｙ]=k (k=3) は有理曲線なので、媒介変数表現を為し、飯高先生の(あとがきに、特
に教育現場で生かしてほしいとも）「平面曲線の幾何」107pを注意しながら讀み、媒介変数
を用いて双対曲線を求めることも為して下さい。（そして、媒介変数を消去し、(3)で求めた
それと一致しているか確認を！)
飯高先生の代数曲線の射影化や双対曲線の講義の際、欠席した學生がいた。自宅待機
で、WEB 上で双対曲線の定義を調べ自學していることは想定の範囲内であった。それ故、
試験は、「双対曲線の定義を述べ、次の各代数曲線の双対曲線を求めなさい」とした。
一問は、既に出題した ｙ=ｘ/(ｘ+5) のと酷似過ぎるのをお願いした。
(1) ｙ=ｘ/(ｘ+1) これでは、既に済んだ學生から聴いた問題に酷似なので、本当に自ら解い
たか懸念されなくもないので、「判別式」で例示されている
ｙ=(2ｘm+4)/(ｘn+1) (n=2、3、4、5、......、 m=1、2、3、4、5、......)
は、分母をはらえば、代数曲線なので採用し出題した。
(2) ｙ=(2ｘ+4)/(ｘ2+1)
(3) y=(2ｘ+4)/(ｘ3+1)
たとえば、「ｙ=(2*x^2+4)/(x^3+1) 」を、「Wolfram|Alpha」に挿入。(判別式を使うと.....)
學生（少女 B）は、定義を記述し、上問達を解いた。無論、自然パラメタ-：
t--->(ｘ，ｙ)=(t，(2tm+4)/(tn+1))で、双対曲線を求め図示は、これなら直ぐ可能なので為し、
更に、為すべきと、代数曲線らしくtを消去し、k[X，Y]/<F[X，Y]> F[ｘ，ｙ]=0 まで為した。
學生（少女A）は、講義ノートで學習し、ノートの定義による双対代数曲線達を求めた。
學生（少女Ｃ）は、「平面曲線の幾何」を購入し、107pの定義による双対代数曲線達を求め
た。
飯高先生は、三者三様の定義を一瞥され、各人の解答達をみると皆んなできていた！(罹
患せず講義を聴いた學生達の出来が芳しくなかったのに..それもアリや! 自學が最高! と)（２
度も試験など、ちょっと...勘弁願いたいと心中で思わなくもなかったが収穫だったと）（定義が
いろいろ在ることを學生から學ばせていただいてと）
その後、罹患しなかった學生達が、上の試験を受けた學生（少女Aさん達）を羨んだ。
易しい「m=1,n=2 (t,(2*t+4)/(t^2+1)) 」を、「Wolfram|Alpha」に挿入し、双対曲線として、特
異点の在る閉曲線を描いていた。
それが正しいか、双対曲線C* を求め確認し、そうなら、その囲む面積も求め愉しみ、更
に、C*の双対曲線は、Cは自明と云わず、必ず直に求めて下さい。
土筆の子さんからのコメントです。（平成２４年３月１５日付け）
f[ｘ] = ｘ3 + 3ｘ2 - 1 = 0 の「も解」を、シルベスター行列と終結式(Resultant)を使って求め
てみます。Mathmaticaを使います。β=a[2]α2+a[1]α+a[0] として、
A={{ 1, 3, 0, -1, 0},
{ 0, 1, 3, 0, -1},
{-a[2], -a[1], β - a[0], 0, 0},
{ 0, -a[2], -a[1], β - a[0], 0},
{ 0, 0, -a[2], -a[1], β - a[0]}}
Collect[Det[A], β] (行列式を求める）
β^3 - a[0]^3 + 3 a[0]^2 a[1] - a[1]^3 + β^2 (-3 a[0] + 3 a[1] - 9 a[2]) - 9 a[0]^2 a[2] + 3 a[0] a[1] a[2]
+ 3 a[1]^2 a[2] - 6 a[0] a[2]^2 - a[2]^3 + β(3 a[0]^2 - 6 a[0] a[1]
+ 18 a[0] a[2] - 3 a[1] a[2] + 6 a[2]^2) ・・・ （１）
Collect[Resultant[x^3 + 3 x^2 - 1, β - a[0] - a[1]*x - a[2]*x^2, x], β] （終結式を求める）
β^3 - a[0]^3 + 3 a[0]^2 a[1] - a[1]^3 + β^2 (-3 a[0] + 3 a[1] - 9 a[2]) - 9 a[0]^2 a[2] + 3 a[0] a[1] a[2]
+ 3 a[1]^2 a[2] - 6 a[0] a[2]^2 - a[2]^3 + β(3 a[0]^2 - 6 a[0] a[1]
+ 18 a[0] a[2] - 3 a[1] a[2] + 6 a[2]^2) ・・・ （２） （１）と（２）は同じ式。
これを元の f[β]=β3+3β2-1 の係数と比較して、それを満たす {a[0],a[1],a[2]}を求めると
α=α 、β=-2+2α+α2 、γ=-1-3α-α2
以下は、勝手連的に、飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と射影幾何學
とｎ次元代数多様体の講義達後の考査のハードルを少低めに設定されたリハーサル問題
を想定しつつ為したものです。（平成２４年３月１７日付け）
次の4つの代数曲線Cjについて、双対曲線の定義について、女學生A さんから報告があ
りましたが、先ず、私が講義で定義した双対曲線の定義を記し、４つとも必ず為して下さい。
どんな発想でもよいのですが、射影曲線化の意義も理解願いたいので、過去問に倣い、
(1) 大変でも双対曲線化 Cj -----> Cj* を為して下さい。
また、各自が独自の発想達で双対曲線化 Cj -----> Cj* を為して下さい。
k[X，Y]/<15 + 12X + 2X2 + Y> 、k[X，Y]/<15 - 12X + 2X2 + Y>
k[X，Y]<3 - X2 + Y> 、k[X，Y]<-2X2/5 + Y> （→ 参考）
定義により、(2) 双対曲線化 Cj -----> Cj* を為して下さい。(とても容易です）
(1)(2)で為した双対曲線化の方で、元の草色で塗られたDは如何に変貌したか等悉に調べ
記述して下さい。
今回に限っても、双対曲線の定義はいろいろ在ることが判明したでしょう。定義の優劣は
論じる必要は全然ありません。それぞれの定義に基づき為した C*が曲線 C の如何なる特
性を巧く捉えているか記載して下さい。
上記の問題(1)(2)を學生諸氏が為しつつ、(2)の方は本当にとても容易だが、代数曲線の
講座なので、パラメタ-表示を為した 女學生Pに、パラメタ-表示の儘止めておかず、パラ
メタ-を消去すべき じゃない! と女學生 I （Implicit ）が云うと、學生Yosi 郁双さんがそうだ
そうだと。
Yosi 郁双さんが各Cj*のパラメタ-を消去される前に、此処を訪問される世界の皆様が多
様な発想で為して下さい。
k[X，Y]/<15 + 12X + 2X2 + Y> -----------> k[X，Y]/<______>
k[X，Y]/<15 - 12X + 2X2 + Y> -----------> k[X，Y]/<______>
k[X，Y]<3 - X2 + Y> -------------------> k[X，Y]/<______>
k[X，Y]<-2X2/5 + Y> -------------------> k[X，Y]/<______>
女學生Bが誰も予想だにしなかった結論を、さっと明示：
{-24 + 24ｘ - ｘ2 - 8ｙ， -12 - 4ｔ + ｘ} の最初のが一つの答えよ！
それを聴かれた飯高先生が考えを巡らしておられたので、静寂が____分支配し、先生が説
明されるまで受講生は待つことにした。
飯高先生が、その導出過程を黒板に記されるまえに、此処を訪問される世界の皆様が女
學生Bの心の中を讀み、此処に記載して下さい。
昔きいた「グレブナー基底」でも、今改めて覗いて参考にしていただければ幸甚です。
最近、曲ったことが好きになりかけた代數學の講座の學生NLがたまり場の研究室の仲間
に問題を持ち込んだ。（平成２４年３月１８日付け）
代数曲面 ｘ2 - 2=0 、 -ｘ + ｙ - 1=0 、 ｚ2 - ｙ - 1=0 の交点は容易に求まるが、
I={ｘ2 - 2，-ｘ + ｙ - 1，ｚ2 - ｙ - 1} なるイデアルを考え、I∩K[ｚ] を求めよ。
まかせなさい！と才女Eが即答した。 I={ｚ4 - 4ｚ2 + 2， ｚ2 - ｙ - 1, -ｚ2 + ｘ + 2} だから
(ｚ4 - 4ｚ2 + 2)・K[ｚ] よ！
傍らにおられた飯高先生は、講義を真剣な眼差しで聴き、しかも、自學する受講生のE さ
んに確かな成長を読み取られ、と同時に見倣わないとと即答に到る行間を埋めようと、上の
等号を凝視された。
余所事を考える學生R が、 (ｚ4 - 4ｚ2 + 2)・K[ｚ]の ｚ4 - 4ｚ2 + 2=0 は高校で解けるよう細
工された複二次で直ぐ解けてしまい二重根号がお出ましやと。自らは為さず「Wolfram|Alpha」
に「z^4 - 4*z^2 + 2」を挿入。
これには、飯高先生が未だ上の等号を凝視中にも関わらず「Wolfram|Alpha」に依存せず、
全員解き、一つの実數解 Z=______を求めた。
女學生Mが問題提起した。そのZの最小多項式を多様な発想で求めて！
先日 Let r be a root of the equation x^7-x-1 over the rationals.The minimal polynomial
of (4r-1)/r^3 can be found by computing .... を具現した學生Pがこれを導出した手法で直
ぐ求めた。
無論、殆ど全ての學生が、Z2= ________だから移項し、両辺を自乗し、Zの最小多項式f[Z]を
求めた。
これでお終い顔が殆どであったが、傍らにおられた飯高先生が思考を妨げられたにも関
わらず云われた。
実數解 Z=______をQに添加した體Q(Z)は、Qの正規拡大體か否か、理由を付して、黒板に
記したらボーナス点贈呈します。
正規拡大に、敏感に反応した肯定的解決を目指す學生さん達は撃沈した。否定的解決を
目指す女學生さん達は、今現在黒板に記述中で、もうすぐ解決しそうな気配。
此処を訪れられる世界の皆様へのお願い：女學生さん達が否定的解決を成功なさる前に
「も解」問題として考察願います。
と要望したところ、αを、Z=√（1 +
） としたら、{-｛√（1- I）｝/2 + (1/2 - I)α + ｛√（1- I）｝α2/2 + Iα3/2，
-｛√（1+ I）｝/2 + (1/2 + I)α +｛√（1+ I）｝α2/2 - Iα3/2，α}
は、皆んな同じ値になって困ったな！傍らにおられた飯高先生は、此処でも女學生Kの真意
を探ろうと只今PCも起動させ、其れ等を導出中。（起動に手間がかかるが意に介せず思慮）
此処を訪れられる世界の皆様へのお願い：飯高先生が否定的解決を女學生Kの視座でな
さる前に、「も解」問題として、考察を是非願います。
I={-2 + ｘ2， -3 + ｙ3， -ｘ - ｙ + ｚ2} なるイデアルを考え、I∩K[ｚ] を求めよ。
（平成２４年３月１９日付け）
まかせて！と女學生Eが即答した。
I={1 - 36ｚ2 + 12ｚ4 - 6ｚ6 - 6ｚ8 + ｚ12， -1092 + 755ｙ + 124ｚ2 - 468ｚ4 - 320ｚ6 + 27ｚ8
+ 48ｚ10， -1092 - 755ｘ + 879ｚ2 - 468ｚ4 - 320ｚ6 + 27ｚ8 + 48ｚ10}
だから、 (1 - 36ｚ2 + 12ｚ4 - 6ｚ6 - 6ｚ8 + ｚ12)・K[ｚ] よ！傍らにおられた飯高先生は、講義
を真剣な眼差しで聴き、しかも自學する受講生のE さんに確かな成長を読み取られ、と同時
に見倣わないとと即答に到る行間を埋めようと上の等号を凝視され續けられた。
余所事を考える學生Rが、(1 - 36ｚ2 + 12ｚ4 - 6ｚ6 - 6ｚ8 + ｚ12)・K[ｚ] の
1 - 36ｚ2 + 12ｚ4 - 6ｚ6 - 6ｚ8 + ｚ12＝０ は解けるだろうか？と、「Wolfram|Alpha」に挿入し、
正確な零点を要求したのに、変な答...。これってあり？と。
女學生Fが、12次方程式で其の欲求に応えてくれないのなら、左辺を、（4次）（8次）とかに
高校の時の暗黙の了解の因数分解でなく、Qに何か代数的數を添加したら、そこでなら因数
分解できるのじゃないと。其れを為したら、低次方程式を２つ解けばよいのよと。
たまり場に憩う學生諸氏が、これを為す前に此処を訪れられる世界の皆様が為して下さい。
また、 1 - 36ｚ2 + 12ｚ4 - 6ｚ6 - 6ｚ8 + ｚ12＝０ の「も解」問題はどうだろうと、女學生M。
「も解」問題って何のことと云う學生Nもいたので、女學生Mが説明した。吉田輝義氏の「ガ
ロア理論」の最初の例のζの有理式の方ではなく多項式のことよ！
(例えば、青色の3次∈Q[ζ]。他２個も．．．。)
参考図にも在るわ！吉田輝義氏については、去年、飯高先生が言及されたのを皆んな視
たでしょう。先生がそこまで云われる故、吉田輝義氏の「ガロア理論」は皆んなで讀みましょ
うと女學生が提案。今回の「も解」問題を「変身願望果たせぬ法」等で挑戦してみません? と
女學生が提案。
多項式環k[t，ｘ，ｙ] に於ける次のイデアル：I1={ｘ - (t2 - 1)，ｙ - t・(t2 - 1)}、
I2={ｘ3 + ｘ2 - ｙ2， -ｘ2 - ｘ + tｙ， tｘ - ｙ， -t2 + ｘ + 1} について、
（平成２４年３月１９日付け）
(1) I1 から I2 を導出過程を明記し導出して下さい。
I2 の ｘ3 + ｘ2 - ｙ2 から代数曲線C：ｙ2=ｘ2(ｘ+1) が産声をあげた。
正式には、k[X，Y]/<Y2-X2(X+1)> で、ｘ=X+<Y2-X2(X+1)>、ｙ=Y+<Y2-X2(X+1)> <--留意！
これは、飯高先生が「デカルトの精神と代数幾何」で熱く語っておられる。
I2∋ｘ3 + ｘ2 - ｙ2 が、I1={ｘ - (t2 - 1)，ｙ - t・(t2 - 1)}に属すと云うのなら、
ｘ3 + ｘ2 - ｙ2 = ｐ1[t，ｘ，ｙ]・(ｘ - (t2 - 1))+ｐ2[t，ｘ，ｙ]・(ｙ - t(t2 - 1))
なる ｐj[t，ｘ，ｙ]∈k[t，ｘ，ｙ] を見出してよと男子學生Qが懇願したら、女子學生Eが即答した。
(t4+ ｘt2 - t2 + ｘ2)(ｘ - (t2 - 1))+(-t3 + t - ｙ)(ｙ - t(t2 - 1))
そして、確認は容易過ぎて嫌でしょうから、上式を「Wolfram|Alpha」に挿入をと促された男
子學生Qが呻いた。本当に ｘ3 + ｘ2 - ｙ2 になる！（女子學生E曰く：「私は嘘を申しません」）
あっ！楕円曲線Cをも眼前に！
たまり場の研究室でのこの質疑応答会話を傍らで聴いておられた飯高先生曰く：「I1 から
I2 を導出過程を未だ考え中なのだが...........。」
皆んなに先を越されて嬉しい限りですが、誰か導出過程を黒板に記述してくださらないか
なもしと漱石文体で。我先にと黒板の前に進んだ學生が数名いたが、晦渋の様子.......。
此処を訪れられる世界の皆様へお願い 1： 學生が為す前に、I1 から I2 を導出を。
飯高先生は、追加問題を出された。
ｘ3 + ｘ2 - ｙ2 = ｐ1[t，ｘ，ｙ]・(ｘ - (t2 - 1))+ｐ2[t，ｘ，ｙ]・(ｙ - t(t2 - 1))
なる ｐj[t，ｘ，ｙ]∈k[t，ｘ，ｙ] を見出しているが、導出過程が不明。誰か、黒板に其れを書い
たらボーナスをあげますと。ひとり、ぼそっと云う學生Nが存在した。
ｘ=t2 - 1、ｙ=t(t2 - 1) から t を消去 し、その楕円曲線Cになることは多様な発想で叶うが、
逆に、Cの有理曲線化はどうすればいいの？
別の學生 写経さんが尋ねた。そもそも出だしの多項式環k[t，ｘ，ｙ]に於ける次のイデアル
I1={ｘ - (t2 - 1)，ｙ - t・(t2 - 1)}、I2={ｘ3 + ｘ2 - ｙ2， -ｘ2 - ｘ + tｙ， tｘ - ｙ， -t2 + ｘ + 1}
について、
(1) I1 から I2 を導出過程を明記し導出して下さい。
は、何を写経したの？問題提起した女學生は云った。皆んなが何度も熟読した「判別式と
終結式」の17p を略写経したのよ。（そのままではないわ、略よ！違いくらい見出してね！)
略と云われ、違いが分かる男になりたいと目を凝らして皆んなが比較した。確かに！と
ぼそっと云う學生Nさんが今度は問題を提起した。
(2) 18p 以降の有理曲線(ｘ，ｙ)∈k(t)2 達についても上のような全ての問題を作成し、レポ
ートを徹夜で書き、明日其れを検討 しようよ！
此処を訪れられる世界の皆様へお願い 2：學生が為す前に此処にレポートを。
たまり場の研究室に女子學生Aがまた問題を持ち込んだ。（平成２４年３月２０日付け）
I1={ｘ12 - A，ｘ2 - (A + ｘ1)，ｘ32 - ｘ2，ｘ4 - (A + ｘ3)，ｘ52 - ｘ4}⊂k[ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4，ｘ5]
なるイデアルとk[ｘ5] の共通部分を求めてと。まかせて！と女學生Kが即答した。
I2={ｘ58 - 4Aｘ56 + 6A2ｘ54 - 2Aｘ54 - 4A3ｘ52 + 4A2ｘ52 + A4 - 2A3 + A2 - A，
ｘ52 - ｘ4，-ｘ52 + A + ｘ3， ｘ54 - 2Aｘ52 + A2 - ｘ2， -ｘ54 + 2Aｘ52 - A2 + A + ｘ1}
とすれば、I1=I2 から、
k[ｘ5]∩I1=(ｘ58 - 4Aｘ56 + 6A2ｘ54 - 2Aｘ54 - 4A3ｘ52 + 4A2ｘ52 + A4 - 2A3 + A2 - A)k[ｘ5]
(1) I1 から I2 の導出過程を明記し、導出して下さい。
傍らにおられた飯高先生は、何時も講義を真剣な眼差しで聴き、しかも自學する受講生の
K さんに、ずっと先へいっていることを心底から喜ばれ好感をもいだかれたと同時に見倣わ
ないとと即答に到る行間を埋めようと、上の等号を凝視され續けられた。
(2) ｘ5 をXとして、A=2 としたときの f[X]=X8 - 8X6 + 20X4 - 16X2 + 2 について、f[X]=0 の
「も解」問題はどうだろうと女學生M。それは、吉田輝義氏の「ガロア理論」の写経？と男子
學生S1。そうかな～、吉田輝義氏の別の「ガロア理論」に在るのかも...と女學生B。
「も解」問題って何のことと云う男子學生Nもいたので、女學生Mが説明した。吉田輝義氏
の「ガロア理論」の最初の例のζの有理式の方ではなく多項式のことよ！(例えば、青色の
3次∈Q[ζ]。他２個も．．．)「変身願望果たせぬ法」なる発想でも皆んなが解いたわ。つい
最近よと、訝る男子學生Iにダルビシュを視れば最近って分かるわと。
躊躇している學生N に「正規拡大体」の定義を黒板に記し、「も解」問題を解いてと、Hint
つきの問題を提起した。
(3) Aは何でもOKと別の男子學生が、A=69 とした。即ち、
f[X]=X8 - 276X6 + 28428X4 - 1294992X2 + 22014795
について、f[X]=0 の「も解」問題を考察して下さいと皆んなに提起した。
みんな一斉に「X^8-276*X^6+28428*X^4-1294992*X^2+22014795=0」を「Wolfram|Alpha」
に挿入し、あっと呻いた。
(2)と(3)の違いが本当に分かる人間になりなさいと飯高先生。双方の函数のグラフを描い
た全ての學生が、ガロア群の違いが目にはさやかに見えねどもと別の視座から考えるべき
と只今考え中........。
(4) せっかく、或る変換で不変な対称性の在る美しいグラフ G(f) を視たのだから、双対曲
線G(f)*を求め、その特異点達も求めて愉しまないと女學生D。
（G(f)には明らかに変曲点達が在るから.....と、Hint つきの問を）
みんな鞄から飯高先生 著作「デカルトの精神と代数幾何」を取り出し、似た問題がないか
と探すと、k[X，Y]/<Y-X4+X2>すら既に難しいと飯高先生。
我々が対峙しているのは、k[X，Y]/<Y-(X8-276X6+28428X4-1294992X2+22014795)>よ！
飯高先生がおっしゃった。「当時とはPC 等の能力が大違いなのだから頑張りなさいとPCに
云いなさい」と。無論、有理写像G(f)---Φ--->G(f)* も明記してね、とも。
どんな発想でもよいが、せめてつぎの２通りは、全員多重人格者になり、上問を解きましょ
うと女學生D。
講義でなされた定義に基づく双対曲線化 G(f)----->G(f)* を為して下さい。
定義に基づく双対曲線化 G(f)----->G(f)* を為して下さい。(とても容易です）。
たまり場に憩う學生諸氏が、これら(1)(2)(3)(4) を解決する前に、此処を訪れられる世界の
皆様が為して下さい。
付記： 今回のような問題を、「I1=I2 から」だから、「KARA の問題」と命名しないと男子學生。
「X^8-8*X^6+20*X^4-16*X^2+2=0」を「Wolfram|Alpha」に挿入した全ての學生が、「あっ」と
呻くと同時に、これなら置換すれば手で容易に高校生がQ上共軛な解を全て求めると。
空舟さんが「多項式の約数」について考察されました。（平成２４年３月２０日付け）
αを、１の原始15乗根：e2π/15=cos(2π/15)+i・sin(2π/15) とする。αの最小多項式は、
ｘ8-ｘ7+ｘ5-ｘ4+ｘ3-ｘ+1 で、この多項式の15と素な約数は、15N+1型に限られる。
（この背景は以前すでに考察を述べました。1が素数(=k)個続く数のkと素な約数は、Nk+1型
に限るという話と同様です。）
α+α14 の最小多項式は、 ｘ4-ｘ3-4ｘ2+4ｘ+1 で、この多項式の15と素な約数は、15N+1、
15N+14型である。
α+α11 の最小多項式は、 ｘ4-ｘ3+ｘ2-ｘ+1 で、この多項式の15と素な約数は、15N+1、
11型である。
α+α4 の最小多項式は、 ｘ4-ｘ3+2ｘ2+ｘ+1 で、この多項式の15と素な約数は15N+1、4
型である。
（前回の投稿では、約数ｐについて、ｐ2≡1 (mod 15) と主張していました。ｋが15のような
合成数の時は、上のようにもっと制限されるようです。）
α1+α4+α11+α14 の最小多項式は、ｘ2-ｘ-1 で、この多項式の15と素な約数は、15N+1、
4、11、14型である。
α1+α4+α7+α13 の最小多項式は、ｘ2-ｘ+1 で、この多項式の15と素な約数は、15N+1、
4、7、13型である。
α1+α2+α4+α8 の最小多項式は、ｘ2-ｘ+4 で、この多項式の15と素な約数は、15N+1、
2、4、8型である。
15以外の法で、例えば、αを、1の原始136乗根として、
β＝Σαd [dは、1から135のうち、17N±1、2、4、8型 かつ 8N±1型]
とすると、βの最小多項式は、ｘ4-18ｘ2+64 で、この多項式の136と素な約数は、17N±1、2、
4、8型 かつ 8N±1型である。（まとめると136N±1、33、15、49、55、47、9、25型）
（※） まだまだ考察完了していませんが、またとりあえず紹介しました。なかなか調べても見
つからないので、情報があったら知りたいです。フェルマーの小定理 ｘφ(p)≡1 (mod p)
の周辺で、ｘを無理整数に拡張して考察すると、今回の問題と関連ありそうです。
學生Pが神妙な顔をして切り出した。（平成２４年３月２１日付け）
(1) 「も解」問題の一番易しいのから教示願えないだろうか? じゃ、これからと、男子學生A。
掲示板で其れを視ていた學生Pは、二番目のσをみて、x1->x2->x3->x1 と循環し、ガロア
群が巡回群で物足りない顔。女子學生Aが、f[ｘ]=ｘ3+6ｘ2+0ｘ+(-8) から g[ｘ]=ｘ3f[1/ｘ] とし、
(1) g[ｘ]=0 の「も解」問題を解いたらと。さらに、女子學生Rが「reversible」とHintを与えた。
女子學生Aがg[ｘ]=ｘ3f[1/ｘ] を具現してみせた。
g[ｘ]= -8ｘ3 + 6ｘ + 1 と f[ｘ] と見比べ、男子學生諸氏「あっ、係数が逆から並んでる！」
女子學生Aは、次のF[X] でG[X]=X6F[1/X] を具現してと。
F[X]=あ・X6+か・X5+し・X4+ろ・X3+き・X2+い・X+ろ
G[X]=__________________________________________.
學生Pに、女學生 A が、Hint を提示。視た刹那、學生Pは、サンクス、Hint.やったるでと。
{{1, 0, -(3/4), -(1/8), 0}, {0, 1, 0, -(3/4), -(1/8)}, {-a[2], -a[1], β - a[0], 0, 0},
{0, -a[2], -a[1],β - a[0], 0}, {0, 0, -a[2], -a[1], β - a[0]}}
を導出し、少し計算し、{2*α^2 - α - 1, 1 - 2*α^2, α} をゲット。
f[ｘ]=ｘ3+6ｘ2+0ｘ+(-8) f[ｘ]=0 の解αと、ｘ3f[1/ｘ]=0 の解βの、例えば、和α+βを解と
するQ上の最小多項式 wa[X] を 求め
Q[X]/＜wa[X]>
|
Q がQ上の正規拡大体か「も解」問題を、上記の発想で考察してよ！無論、多様な発
想を望む！
女學生 W は、Proposition 2 [Loos, 1982b] を用い即答した。結論を見せられた飯高先生
も含む人たちが云った。
「もの凄い高次の方程式じゃないの！因数分解をしてみて！」
女子学生Rは終結式で結論を獲ていた。Sylvester が得意の學生Mは、matrix をまともに
明記し、結論をなんとか獲ていた。飯高先生は他の発想で瞬時に結論を獲て、その場の様
子をうかがっておられた。
或る発想で因数分解し提示すると、どれも飯高先生が導出された元から生成される単項
イデアルに含まれていた。
此処を訪問される世界の皆様へ、上の三者三様の導出を此処に提示願います。
學生Pは、f[ｘ]=ｘ3+6ｘ2+0ｘ+(-8) から g[ｘ]=ｘ3f[1/ｘ] と云うけれど、もっと簡単な導出が有
る筈.....と。すかさず、女子學生Gが、 I1={ｘ3 + 6ｘ2 - 8，ｘY - 1} を考え、生成元を取り替え、
I2={8Y3 - 6Y - 1， -8Y2 + ｘ + 6} とすれば、 I2∩k[Y] だよと。
女子學生Gから、大きな宿題をもらったメンバ-は、明日までにねと帰路についた。
此処を訪問される世界の皆様へ、上の大きな宿題を受講生が黒板に導出される前に此処
に提示願います。
此れをみて、なんと高次(<=1760)であることよ！先ず、易しいので真似をするので、あんな
に高次になるか先に次を解いて、解けたら上に挑んでねと。
(2ｚ4 +
ｚ3 - ｚ3 - ｚ2 + ｚ2 + ｚ - ｚ + 2)∈Q()[ｚ] について真似をしてと學生Pが研究室に持ち込んだ。すかさず、女子學生Gが、
I1={2ｚ4 + Aｚ3 - ｚ3 - Aｚ2 + ｚ2 + Aｚ - ｚ + 2, A2 - 5} は次の I2 に等しく、
I2={-ｚ8 + ｚ7 - ｚ5 + ｚ4 - ｚ3 + ｚ - 1，-2ｚ7 + 2ｚ3 - 2ｚ2 + A + 1} だから
I2∩k[ｚ]=(ｚ8 - ｚ7 + ｚ5 - ｚ4 + ｚ3 - ｚ + 1)k[ｚ] よと。
女子學生Gから、 I1=I2 なる課題をつきつけられたメンバ-は、I1からI2を只今導出中。
此処を訪問される世界の皆様へ、上のI1からI2を受講生が黒板に導出される前に此処に
提示願います。
學生Pは、3次からいきなり 8次の ｚ8 - ｚ7 + ｚ5 - ｚ4 + ｚ3 - ｚ + 1=0 の「も解」問題を、あの
発想で解き始めた。
此処を訪問される世界の皆様へ、上を受講生Pさんが黒板に導出される前に此処に提示
願います。（無論、他の多様な発想も大歓迎です）
學生Pは、上の「も解」問題を解くと云ってるので、5次以上だけど解けてしまうのではと女學
生U。しかも、係数配置を視ると、解は綺麗に単位円上に並んでるのではとも。
それって、吉田輝義氏の「ガロア理論」の写経?と男子學生S1。まず、女學生Uさんのを解い
てから、写経か否か議論しましょうよと、受講生諸氏がこの8 次方程式を解き始めた。
独り、この8次方程式の出生の秘話：(2ｚ4 +
ｚ3 - ｚ3 - ｚ2 + ｚ2 + ｚ - ｚ + 2)∈Q()[ｚ]を知っている學生Hは、この半分の次数の方程式
2ｚ4 +
ｚ3 - ｚ3 - ｚ2 + ｚ2 + ｚ - ｚ + 2)=0を解き始めた。
此処を訪問される世界の皆様へ、上を受講生が解かれる前に此処に提示願います。
また、代数曲線： k[ｚ，ｗ]/<ｗ-(2ｚ4 +
ｚ3 - ｚ3 - ｚ2 + ｚ2 + ｚ - ｚ + 2)> の双対曲線を求め、特異点等も求め愉しんでください。
講義でなされた定義に基づく双対曲線化G(f)----->G(f)* を為して下さい。此処に、
f(ｚ)=2ｚ4 +
ｚ3 - ｚ3 - ｚ2 + ｚ2 + ｚ - ｚ + 2。みんな、鞄から飯高先生 著作「デカルトの精神と代数幾何」を取り出し、似た問題がない
かと探すと、k[X，Y]/<Y-X4+X2>すら既に難しいと飯高先生。我々が対峙しているのは、それ
より上よと飯高先生がおっしゃった。「当時とはPC 等の能力が大違いなのだから、頑張りな
さいとPC に云いなさい」と。無論、有理写像 G(f)---Φ--->G(f)* も明記してねとも。
定義に基づく双対曲線化 G(f)----->G(f)* も為して下さい。
云うまでもなく上は、飯高先生の次年度以降の講義（体論や代数多様体の）で具現を！と
學生に促される想定内の問題群です。「せめて代数曲面Sの双対曲面S*程度は為しましょ
うよ」と學生S。
参考資料の真似で、もう少し低次のをお願いと學生P。但し、係数は、Qの有限次拡大体
の元で構わないから。
(1) f[ｚ]=ｚ3 + 7ｚ2 + （√69）ｚ + 51/3 なんてどうと學生A。
もう少しは次数をあげて欲しい顔のPを視て、
(2) f[ｚ]=ｚ3 +
ｚ2 - （√69）ｚ + 51/3 なんてどうと學生A。女子學生Gが示した I1=I2 は、今度はあなた達で為してね。Hint は、九九。
但し、(1)は、3nm (2) は、3nml 。難題のようだが、すぐさま學生諸氏は取り組みだした。
此処を訪問される世界の皆様へ、I1、I2 を受講生が黒板に導出される前に此処に提示願
います。
(3) それぞれの「も解」問題は、どうなるのかしら？低次だけど、こんなの初体験ねと。判別
式を求めるべきかしらとも。なんで 判別式が必要なの？と學生P。だって、参考では其
れが効いて「も解」が解けたじゃないと。
學生Pは、「z^3 + Sqrt[7]*z^2 - Sqrt[69]*z + 5^(1/3)」を「Wolfram|Alpha」に挿入し、グラフ
は似てるのになァと嘆息。
(4) 代数曲線 C1： k[ｚ，ｗ]/<w-(ｚ3 + 7ｚ2 + （√69）ｚ + 51/3)> の双対曲線を求めて！
(5) 代数曲線 C2： k[ｚ，ｗ]/<ｗ-(ｚ3 +
ｚ2 - （√69）ｚ + 51/3)> の双対曲線を求め、特異点等も求め愉しんで ください。
講義でなされた定義に基づく双対曲線化 G(f)--->G(f)* を為して下さい。
定義に基づく双対曲線化 G(f)----->G(f)* をも為して下さい。(とても容易です）
云うまでもなく上は、飯高先生の次年度以降の講義（体論や代数多様体の）で具現を！と
學生に促される想定内の問題群です。「せめて代数曲面Sの双対曲面S*程度は為しましょ
うよ」と學生S。係数はQの有限次拡大体の元で構わない。
上記を具現された方は、「Q係数巨大次数方程式産出あっという間問題」と命名しても異
議はないでしょう。（平成２４年３月２２日付け）
「MA3D5 Galois theory」の(57p 8番もチラリと覗き）88p Q.2 を多様な発想で解いて後、
下を視て下さい。
女子學生Gが、例の I1=I2 なる論法で、次のように解いた。
都合上、αをA とし、I1={ｙ2 - Aｙ + 1，A3 + 3A + 3} から
I2={ｙ6 + 6ｙ4 + 3ｙ3 + 6ｙ2 + 1，ｙ5 + 6ｙ3 + 3ｙ2 + 5ｙ + A}
で、k[ｙ]∩I2=(ｙ6 + 6ｙ4 + 3ｙ3 + 6ｙ2 + 1)k[ｙ] で「Fin」と云い、「A を消去すればよい」と。
黄色枠の問達を、上の女子學生Gの発想で解いて下さい。
「Q係数巨大次数方程式産出あっという間問題」と命名の由来が心底分かる問題。
(c) は、15、16、17と、近傍の高次の次数でしょう。青枠は、「ずっと、高次産出あっという
間」。
それぞれ解いた後、「も解」問題についても論じてください。
「MA3D5 Galois theory」の(57p 8番もチラリと覗き）と申しましたが、解いて下さい。
「Algebraic number」 について、學生A曰く：ここのLikewise， tan の
ｘ4 - 4ｘ3 - 6ｘ2 + 4ｘ + 1=0
の「も解」問題は、解けたら tan[7π/16] 等が、α=tan[3π/16] の3次以下の多項式で表さ
れる。そんなことは自明と云う方が在れば、自明の理由を説明して欲しい。
學生Pさんが、3次の場合体験したので、tan[7π/16] を、α=tan[3π/16] の3次以下の多
項式に多様な発想で表して下さい。
「六次の多項式を持つRoot式が得られる。ベキ根を使い簡単な形で表せるはずだが、
ToRadicalsでは求まらない」の部分を考察したい。Out[10]は多様な発想で叶うが、わかり易
いのが、Proposition 2 [Loos 1982b]の「終結式」を用いてでしょう。この発想で、６次の多項
式 f[X]=X6 - 9X4 - 4X3 + 27X2 - 36X - 23 の導出を為して下さい。４次以上になると、ほ
とんどの多項式では、ベキ根で表せる根は存在しなくなる。一つ例外があり、それは式が５
次の場合で、楕円関数や超幾何関数で表せることが知られている。それでも、得られる形が
複雑過ぎて実際には使えない。」とありますが、今回のf[X]=0 の解を求めてみて下さい。また、
f[X]=0 の「も解」問題を考察願います。
更に、代数曲線 k[X，Y]/<Y-(X6 - 9X4 - 4X3 + 27X2 - 36X - 23)> の双対曲線を求めて
特異点等も求め愉しんでください。
（イ) 講義でなされた定義に基づく双対曲線化 G(f)--->G(f)* を為して下さい。
（ロ) 定義に基づく双対曲線化 G(f)--->G(f)* をも為して下さい。(とても容易です）。
云うまでもなく、上は、飯高先生の次年度以降の講義（体論や代数多様体の）で具現を！
と學生に促される想定内の問題群です。
問題は、もう解決されたでしょうが、次の類似の問題を解いて下さい。
ｚ2 + 21/3ｚ + 2
ｚ + 22/3 + 21/3 + 3=0発想の一つ：女子學生Gが、「A を消去すればよい」を拡張し、「A、Bを消去すればよい」は
必ず為して下さい。
この発想を、「ええねん法」と命名しようと學生Pが提案すると、飯高先生が「それもええね
ん。」と云われた。
X6+1 の因数分解を (X4+1 を指導した発想で)お願いします。（平成２４年３月２３日付け）
(何だか無理やりやるのご指導が大半...現場の指導者も然りであろうか？)
体論の講義で、分解体、中間体、基礎体なる定義がなされたなら、即、理解者が多いの
かもしれませんが、依存症で、「X^4+1」 を「Wolfram|Alpha」に挿入すると、眼前のAlternate
formは、想定の範囲内と因数分解はバッチリの人は云う。
女學生Fは、研究室で問題提起した。数日前の問題をまだ未解決の方は、初歩的過ぎる
けれど、Alternate form -(-1+
X-X2) (1+X+X2) の、例えば、(1+X+X2)=0 で解いてくれないと。女子學生Gが、「A を消去すればよい」を拡張し、「A、B を消去すればよい」
は必ず為して下さい。
學生Pが、瞬時に答えた。I1={X2 + AX + 1，A2 - 2}、I2={A2 - 2，X4 + 1} で、「A を消去す
ればよい」が成し遂げられ、X4+1 だよ。男子學生 I が遠慮がちに訊いた。「Ij って何？」、イ
デアルにきまってんじゃんと他の皆んなに云われ、かなり男子なのに凹んだ。
（I1からI2を導出する「KARA の問題」に疑念が有るが、また凹まされそうで黙した)
傍らにおられた飯高先生は云われた。「単項イデアルは、k[X]/<p[X]>で、誰でも講義しな
きゃ始まらないが、上のようなIjを云うべきだが、それは別の環論の講義で、易しい例として
云うつもりで、体論（ガロア理論）では時間不足だったのよ」
凹んだ學生は、救世主が現れたと認識し、他のメンバーの顔を視た。男子學生 I が逆襲
に転じた。真似と嗤われそうだけど、「X^6+1」を「Wolfram|Alpha」に挿入するのは、3 秒後に
して、Alternate form を黒板に書いた後、依存症を発揮し、問題を、「A を消去すればよい」
と片付けず、例えば、眼前の (X2+
X+1)の問題で、一切省略せず解いてください！また、眼前のAlternate form の因数から幾つか自主的に選んで、積を作り（必要なら展開し）問題
を「A、B、...を消去すればよい」と片付け、一切省略せず解いて！と學生I。
飯高先生が理想とされておられる活況を呈してきた研究室を喜ばれ、「実は、I 君、無論イ
デアル論は必須で講義するが、今回のように容易過ぎる問題でも、I1から自らの I2 の導出
や提示されたにもかかわらず、I1=I2 はかなり集中しないとと飯高先生が吐露された。
受講生は、先ず、I1 から I2 の自らの導出に注ぎ始めた......。飯高先生は、容易にみえる
かもしれない X6+X3+1 について、上のようなイデアルの視座からのアプローチの問題を創
作し、黒板に記してくれないかなと。學生さんが提示された諸問題をイデアルの視座から學
生さんが解決する前に此処を訪れられた皆さんが解決し此処に記載願います。
追記：飯高先生が吐露された。「今回のイデアル I2 の導出は中學の幾何の問題の解決
時間のn分の1時間さえ在れば、できそうな予感」と。（其れを聴いた受講生は、お持ち帰り
の問題と自らに設定し、今夜も眠れない状況におかれた（自己責任））あの忘却の彼方の
当時の記憶が鮮明に蘇る。
資料を注視願います。（特に、最後の紫枠）（平成２４年３月２４日付け）
そして、直ぐ発想「ええねん法」で解いて下さい。： ａ8+ａ7-7ａ6-6ａ5+15ａ4+10ａ3-10ａ2-4ａ+ 1)
解けたなら、(1) との関連を明らかにして下さい。
(1) 1/4*Sqrt[1/2*(15 + Sqrt[17] - Sqrt[2*(17 - Sqrt[17])] + Sqrt[2*(34 + 6*Sqrt[17]
+ Sqrt[2*(17 - Sqrt[17])] - Sqrt[34*(17 - Sqrt[17])] + 8*Sqrt[2*(17 + Sqrt[17])])])]
の最小多項式m[X] を多様な発想で求めて下さい。想定の範囲内のm[X] でしたか？
女學生Gが待ちきれず解答を軽やかに記した。
I1={ｚ2 - aｚ + 1，ａ8 + ａ7 - 7ａ6 - 6ａ5 + 15ａ4 + 10ａ3 - 10ａ2 - 4ａ + 1} から
I2={ｚ16 + ｚ15 + ｚ14 + ｚ13 + ｚ12 + ｚ11 + ｚ10 + ｚ9 + ｚ8 + ｚ7 + ｚ6 + ｚ5 + ｚ4 + ｚ3 + ｚ2 + ｚ + 1，
ｚ15 + ｚ14 + ｚ13 + ｚ12 + ｚ11 + ｚ10 + ｚ9 + ｚ8 + ｚ7 + ｚ6 + ｚ5 + ｚ4 + ｚ3 + ｚ2 + a + 1}
瞬時に、k[ｚ]∩I2 から答え：
ｚ16 + ｚ15 + ｚ14 + ｚ13 + ｚ12 + ｚ11 + ｚ10 + ｚ9 + ｚ8 + ｚ7 + ｚ6 + ｚ5 + ｚ4 + ｚ3 + ｚ2 + ｚ + 1
を得る。飯高先生は、導出も含め、I1=I2 を自ら為さねばならぬ質で、此れに傾注される筈。
此れを見て、常套手段 Y=ｚ+1/ｚ として、上を16次よりは一気に低次の方程式 F[Y]=0 を
導出し、
(2) F[Y]=0 の「も解」問題を各自がお気に入りの発想で解き始めた....。
飯高先生の体論受講生がイデアルの視座から等為す前に、此処を訪れられた皆さんが解
決し、此処に記載願います。
土筆の子さんが、問題「ｙ= ｘ/(5 + ｘ) の双対曲線を求める」を考察されました。
（平成２４年３月２４日付け）
ｙ = ｘ/(5 + ｘ) ・・・ （１） の双対曲線を求める。
ｙ (5 + ｘ) = ｘ より、 5ｙ + ｘｙ - ｘ = 0 これを射影化し、 -ｘｚ + ｘｙ + 5ｙｚ = 0
このとき、 (1/2)ｘｙ + (1/2)ｙｘ - (1/2)ｘｚ - (1/2)ｚｘ + (5/2)ｙｚ + (5/2)ｚｙ = 0
上の式から、３×３行列を求めると、
{x,y,z}.{{0, 1/2, -(1/2)}, {1/2, 0, 5/2}, {-(1/2), 5/2, 0}}.{x,y,z}
A = {{0, 1/2, -(1/2)}, {1/2, 0, 5/2}, {-(1/2), 5/2, 0}} として、
A-1 = {{5, 1, -1}, {1, 1/5, 1/5}, {-1, 1/5, 1/5}} (逆行列) なので、
Expand[{X, Y, Z}.{{5, 1, -1}, {1, 1/5, 1/5}, {-1, 1/5, 1/5}}.{X, Y, Z}]
= 5ｘ2 + 2ｘｙ + ｙ2/5 - 2ｘｚ + 2ｙｚ/5 + ｚ2/5
ここで、ｚ = 1 とすると、 上式 = 1/5 - 2ｘ + 5ｘ2 + 2ｙ/5 + 2ｘｙ + ｙ2/5
上式を5倍して、 1 - 10ｘ + 25ｘ2 + 2ｙ + 10ｘｙ + ｙ2 = 0 ・・・ （２） を得る。
（参考） 硲文夫（はざまふみお）著 代数幾何学 （森北出版）
さて、最小多項式m[X] を「Wolfram|Alpha」に挿入しようとしても入りきらない......。
(1) あなたならどう対処なさいますか？ (ver の低いソフトでは不可のことも在る)
「Exact Values of cos(2*k*pi/17).」「Exact values of cos(2*pi*k/17).」
「Rings of Algebraic Integers」はよさげです。
(2) 最小多項式 m[X] を求めたなら、「も解」問題を是非！
(3) そして、m[X]を一次因数の積にし、
(4) 方程式m[X]の全ての解を必ず求めて下さい。
Q[X]/<m[X]>
|
Q は、
(5) Q上の正規拡大体の証明を為し、次の該当頁達を味読、熟読し、
(6) m[X]=0 のガロア群 G をあぶりだして下さい。
(7) そして、可解群の定義を述べ、其の定義に従い、G が正しく可解群であることを証明し
て下さい。
(8) k[X，Y]/<Y-m[X]}> の双対曲線を求めて、特異点等考察願います。
いうまでもなく、上は、勝手連的に飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と
射影幾何學と n次元代数多様体の講義達後の考査のハードルをホンの少し高めに設定さ
れたリハーサル問題を想定しつつ為したものです。
世界の色々な大學のGaloistheorieの講義で、具体的にガロア群 G を求めて下さいと云う
問題を探し、此処に提示し解決してくださいとも。次年度以降の講義に活かしたいのでと飯
高先生。
學生Pが研究室に、こんな書籍もあるらしいと云いながら（平成２４年３月２５日付け）
「平面曲線の幾何」を鞄から取り出し、最近、有理曲線 Cを話題にし、その双対曲線C*を
求める人が多いが、
１．いろいろな曲線
１．１ 曲線の観察 １．２ 媒介変数表示の曲線と有理曲線 １．３ Ｃ 曲線とチェビシェフ曲線
１．４ 曲線の２重点
をみると、全て有理曲線だと飯高先生が云われ、媒介変数を消去しと具体的には2例のみ
しかない。しかも、如何なる発想で消去するのか記されていないので助けて欲しいと。.
(ｘ，ｙ)=(Cos[5*t]， Cos[3*t]) を俎上にしてと。
他の面々曰く。飯高先生が加法定理と参考資料を使えば、此処までの曲線はみな有理
曲線であると書いておられるじゃないのと。
P さんが「少し行間を埋めてよ」と云うと、U子さんが、先ず加法定理で
(ｘ，ｙ)=(Cos[t]^5 - 10*Cos[t]^3*Sin[t]^2 + 5*Cos[t]*Sin[t]^4，Cos[t]^3 - 3*Cos[t]*Sin[t]^2)
でしょ。そして、参考資料を使えば、
((1 - t^2)^5/(t^2 + 1)^5 - (40*t^2*(1 - t^2)^3)/(t^2 + 1)^5 + (80*t^4*(1 - t^2))/(t^2 + 1)^5，
(1 - t^2)^3/(t^2 + 1)^3 - (12*t^2*(1 - t^2))/(t^2 + 1)^3)
で通分すると、
{(-t^10 + 45*t^8 - 210*t^6 + 210*t^4 - 45*t^2 + 1)/(t^2 + 1)^5，(-t^6 + 15*t^4 - 15*t^2 + 1)/(t^2 + 1)^3}
でしょと。此処まで計算力を鍛えているので、皆瞬殺でその通りと。
學生P 曰く。そこまでは飯高先生の示唆に従い為したのよとノートを開いた。それから、あ
なたならどうすると飯高先生。それぞれ考え始めたが、女學生Gが
I1={t^10 - 45*t^8 + 210*t^6 - 210*t^4 + 45*t^2 + (t^2 + 1)^5*x - 1，
t^6 - 15*t^4 + 15*t^2 + (t^2 + 1)^3*y - 1}
から次の I2 を導出し、
I2={16*y^5 - 20*y^3 + 5*y - 4*x^3 + 3*x，16*t^2*y^5 + 16*y^5 + 16*t^2*y^4 - 80*y^4 - 12*t^2*y^3 -
32*x*y^3 - 12*y^3 - 12*t^2*y^2 + 32*x*y^2 + 60*y^2 + t^2*y + 32*x^2*y + 16*x*y - 15*y + t^2
- 8*x^2 - 8*x - 1， -16*t^2*y^4 - 16*y^4 - 20*t^2*y^3 + 76*y^3 + 12*t^2*y^2 + 32*x*y^2 + 36*y^2
+ 10*t^2*y - 24*x*y - 46*y - t^2 - 32*x^2 + 5*t^2*x - 27*x + 1， -5*y*t^4 - 5*t^4 + 128*y^4*t^2
+ 160*y^3*t^2 - 56*y^2*t^2 - 130*y*t^2 + 48*t^2 + 128*y^4 - 608*y^3 + 256*x^2 - 256*x*y^2
- 248*y^2 + 176*x + 192*x*y + 403*y - 43}
で、I2∩k[ｘ，ｙ] より、16ｙ5 - 20ｙ3 + 5ｙ - 4ｘ3 + 3ｘ = 0 だわと黒板に。
そして、「Wolfram|Alpha」に挿入し、「いいんじゃない」と。學生Pは、同じグラフがないか書籍
をひらき探したが「存在しないよ」と。「9p のはどう?」と皆んな。
「そりゃ、(Cos[5*t]，Cos[3*t]) じゃなく、(Cos[3*t]，Cos[5*t]) だよ--」、「だからいいんじゃな
い」と云われ、P はまた凹んで、書籍の10p を開いて照合すると、「あっ、正鵠だ！」と皆んな。
いつものように幕が開き、喝采を浴びた學生G。しかし、飯高先生ただ独り、取り残された風
情で上の数行の導出を頑張っておられた。最近の受講生は、行間を讀まされる解答を書きだ
したと先生。Ｇさん解答の行間を丁寧に埋めてください。
學生Pは、皆んなが讀んだと云う「判別式と終結式」をプリントアウトしたのを鞄から取り出し
シルベスター行列を途中を省かず、ちゃんと用い、
(ｘ､ｙ)=((-t^10+45*t^8-210*t^6+210*t^4-45*t^2+1)/(t^2+1)^5，(-t^6+15*t^4-15*t^2+1)/(t^2+1)^3）
から t を消去してくれないかな。
大変だが、線型代數でつちかったサイズのでかい行列を書き始めた。
サイズのでかい行列を此処に學生が為すまえに、此処に記し解決して下さい。
「そりゃ、(Cos[5*t]，Cos[3*t]) じゃなく、(Cos[3*t]，Cos[5*t]) だよ--」の箇所について、改
めて、 (ｘ，ｙ)=(Cos[3*t]，Cos[5*t]) の方で上の學生Gの発想を必ず踏襲し、代数曲線
ｋ[X，Y]/<f[X，Y> を求め、更に、講義で為された定義を此処に明記し、その双対曲線
ｋ[X，Y]/<f*[X，Y］> を必ず求め、書籍の108p に倣いグラフ化し少し悩んで下さい。
以下の問題は、Maple の Eliminate で瞬時に叶うから何時でも使うとよいよと両隣の研究
室のメンバー。
今度は、(ｘ，ｙ)=(Cos[5*t]， Cos[6*t]) を為す。飯高先生曰く：加法定理を繰り返し用い、
参考資料を使えば、此処までの曲線は、みな有理曲線である。
Ide1={-z^5 + 10*w^2*z^3 - 5*w^4*z + x，w^6 - 15*z^2*w^4 + 15*z^4*w^2 - z^6 + y，w^2 + z^2 - 1}
Ide2={-32*x^6 + 48*x^4 - 18*x^2 + 16*y^5 - 20*y^3 + 5*y + 1，-16*x^5 + 20*x^3 - 8*y^3*x + 4*y*x
- 5*x + 16*y^4*z - 12*y^2*z + z，-8*y*x^3 + 4*x^3 + 16*y^2*z*x^2 - 8*y*z*x^2 - 4*z*x^2
- 8*y^3*x + 4*y^2*x + 8*y*x - 3*x - 4*y^2*z + 2*y*z + z, 8*y^4 - 16*x*z*y^3 + 8*x^2*y^2
- 8*y^2 - 4*x^2*y + 8*x*z*y + y - 2*x^2 + 8*x^3*z - 4*x*z + 1，x^2 - 2*y*z*x + y^2 + z^2 - 1，
w^2 - x^2 - y^2 + 2*x*y*z}
から、Ide2∩k[ｘ，ｙ] で、 (-32ｘ6 + 48ｘ4 - 18ｘ2 + 16ｙ5 - 20ｙ3 + 5ｙ + 1)・k[ｘ，ｙ]。
RFさんの導出に一箇所も多項式環k[t]、商体k(t) の元がないことに、「こりゃ、有難や」と。
(1) 此処の Ide1 から Ide2 の導出は、必ず為しなさいと飯高先生。
(2) 今回の理解度を自己確認の為、(ｘ，ｙ)=(Cos[6*t]， Cos[5*t])で、上を視ず為して下さい
と飯高先生。
此処を訪れられる世界の皆様へ、學生が長時間頑張って導出過程を省かず黒板に記載
する前に、其れを為して下さい。
（補註） 前回の(ｘ，ｙ)∈k(t)2 (有理式) から瞬時にEliminateで、関係式F[ｘ，ｙ]=0 を獲るが、
導出のプロセスは明記されない.....
f[ｘ，ｙ]=-x^3*y^4 + 3*x*y^4 - 12*x^2*y^3 + 4*y^3 + 6*x^3*y^2 - 18*x*y^2 + 12*x^2*y - 4*y - x^3 + 3*x
- x^3*y^4 + 3*x*y^4- 12*x^2*y^3 + 4*y^3 + 6*x^3*y^2 - 18*x*y^2 + 12*x^2*y - 4*y - x^3 + 3*x=0
を、出来れば「Wolfram|Alpha」に挿入してと學生P。（平成２４年３月２６日付け）
Pさんが、「平面曲線の幾何(飯高茂著) 」 99p を視てよと云うな否や、全員がそのページ
を開き、「あっ、同じグラフだ！」 P曰く。「飯高先生は、如何にして描いたか記してあるよ」
先ず、t=Tan[θ] と置くと、(ｘ，ｙ)∈k(t)2。（皆んなが愛するTan の加法定理を何度も使い）
自ら為し、PC で描いてとお願いすると、眼前にその曲線が現れ、直線Lを引き交点を数え、
次数が7の代数曲線と在るのを視て、「なんだ、一番上のがそれネ」とみんな。
飯高先生は、当時のPCの能力に限界を感じ、媒介変数表示の方から描き、その後、PC
の進化の恩恵をこうむり、f[ｘ，ｙ]=0 で私達が眼前に出来るのネと。そして、Pさんに問うた。
「どんな発想で、f[ｘ，ｙ]=0 を導出したの？」と。
(1) 99p (ｘ，ｙ)=(tan4θ， tan3θ) から、f[ｘ，ｙ]=0 の導出を受講生が為しつつあります。飯
高先生は、その7次曲線 C の双対曲線C*を求めてほしいと。定性的には、C*の特異点
がどんなのかは分かるのだが．．．。
(2) Maple を日常的に酷使される環境におられるなら、今回のような問題を、どんなコマンド
で瞬殺かを此処に記載願います。
ところで、無論、SAGE やPARI でもよいのです。今なお捨てがたく、N88BASIC 愛用の方
も....。
「平面曲線の幾何（飯高茂著）」の 99p で、(ｘ，ｙ)=(tan4θ，tan3θ) から f[ｘ，ｙ]=0 の導出
の件で、書籍 99p の飯高先生の一言：「t=Tanθ と置くと、Tan ｎθ は t の有理式で表さ
れる」を読み飛ばしていない？と何時も緻密に讀む女學性T。
次ページには、正接函数の加法定理によればと線型漸化式が記載してあるよと R。でも
定数係数じゃないわと。多様な発想で、各自が黒板に解き始めた。
「取り敢えず、(ｘ，ｙ)=(tan4θ，tan3θ)=(-4t(t2-1)/(t4-（隠匿）t2+1)，t(t2-3)/(3t2-1)) で、
こらから t を多様な発想で消去すればよいわ」とR さん。（但し、一部、箇所=隠匿があった）
上式を携え、隣の研究室で、Maple のEliminateを使い、
-x^3*y^4 + 3*x*y^4 - 12*x^2*y^3 + 4*y^3 + 6*x^3*y^2 - 18*x*y^2 + 12*x^2*y - 4*y - x^3 + 3*x=0
ひとり先読みしたSさんが、 an[t]2+bn[t]2 の零点を探そうと100pにあるよと。Rさんので、
n=4、3 の場合、an[t]2+bn[t]2 の零点が見つかる筈よと。それで、この曲線の特異点の考
察をと飯高先生。
飯高先生の一言：「t=Tanθ と置くと、Tan ｎθ は t の有理式で表される」を自明と読み
飛ばさず、U に倣い、
Tan[5*θ]=__________∈k(t)
Tan[6*θ]=__________∈k(t)
・・・・・・・・・・・・・
Tan[17*θ]=__________∈k(t)
・・・・・・・・・・・・・
Tan[69*θ]=__________∈k(t)
と地道に具現し、例えば、(ｘ，ｙ) = (Tan69θ，Tan17θ) から、t=Tan[θ] を多様な発想で消
去し、f[Ｘ，Ｙ]=0 すなわち、代数曲線 k[X，Y]/<f[X，Y]> の双対曲線を多様な発想で求め、
特異点を具体的に求め、書籍の108p までを追体験しましょうよと女學生F さんが提案した。
Tan17θ=__________∈k(t) の導出等、受講生が為しつつあります。為し終わる前に此処を訪
問される世界の皆様が為して此処に報告願います。
問 19-3 に関連する悩みは何度か質問を致しました。「平面曲線の幾何（飯高茂著）」で、
飯高先生は、他の方の書籍では言及されぬ「リュ-ロトの定理」を前面に押し出しておられる
のを拝見し、苦悩している學生KY （ K[Y]) が居ます。ＫY さんは、問 19-3 に酷似の問題を
其の下に提起しました。論文の定理1.3 近傍の例をご覧下さいと以前にもお願い致しました。
「 t=Tanθ と置くと、Tan17θは、t の有理式で表される」を導出すると、
(t^17 - 136*t^15 + 2380*t^13 - 12376*t^11 + 24310*t^9 - 19448*t^7 + 6188*t^5 - 680*t^3 + 17*t)
/(17*t^16 - 680*t^14 + 6188*t^12 - 19448*t^10 + 24310*t^8 - 12376*t^6 + 2380*t^4 - 136*t^2 + 1)∈Q(t)
「にわかに信じがたい」顔の研究室の面々。「導出ではなく確認するだけなら」と、上の有理
式の t に、Tan[T]=Sin[T]/Cos[T] を代入し、参考資料を使い頑張って計算すると、間違いこ
とが分かった。
(1) 其処で、飯高先生が云われたことが、「もう一つ、Tan5θ を誰かやって！」
ｘ=(t^17 - 136*t^15 + 2380*t^13 - 12376*t^11 + 24310*t^9 - 19448*t^7 + 6188*t^5 - 680*t^3 + 17*t)
/(17*t^16 - 680*t^14 + 6188*t^12 - 19448*t^10 + 24310*t^8 - 12376*t^6 + 2380*t^4 - 136*t^2 + 1)
y=_______________________________________________________________.
から、t=Tanθ を
(2) 多様な発想で消去し、 f[ｘ，ｙ]=0 を得、.
(3) 代数曲線 k[X，Y]/<f[X，Y] の双対曲線も求めよ。
皆んな、直ちに上の問題(1)(2)(3) に取り組み始めた。
此処を訪問される世界の皆様へお願い：学生さんが、ｘ=Tan5θ、ｙ=Tan（）θ等どんどん為
すので、先に済ませて此処に提示下さい。
學生ANK さんが、(ｘ，ｙ)=(Tanh7θ，Tanh5θ) について、書籍の99p-101pに類比の考察を
すぐしょうよと提案。（平成２４年３月２７日付け）
まだ、99p-101pも済んでいないので、「ちょっと待って」とみんな。小声で、「99p-101pの単
なる真似じゃない？」云う輩が居た。「そうかもネ」と、102p にそれらしきものが。しかし、「殆
ど記述がないわ」と女學生達。
ともあれ今夜も (ｘ，ｙ)=(Tan7θ，Tan5θ) 、(ｘ，ｙ)=(Tanh7θ，Tanh5θ) 等で眠れないと。
(ｘ，ｙ，ｚ)=(Tan7θ，Tan5θ，Tan3θ) 、(ｘ，ｙ，ｚ)=(Tanh7θ，Tanh5θ，Tanh3θ)
（で、2つの代数曲面の交線を具現等を為し)等、永遠に（眠れぬ夜を）悦ぶ素材が世界に横
溢して在るわとANK さん。
徹也君が、「t=Tanθ と置き、Tan15θを t の有理式で表したよ、t=Tanθと置き、Tan7θ
を t の有理式で表したよ」と。
(ｘ，ｙ)=((t^15 - 105*t^13 + 1365*t^11 - 5005*t^9 + 6435*t^7 - 3003*t^5 + 455*t^3 - 15*t)/
((3*t^2 - 1)* (5*t^4 - 10*t^2 + 1)*(t^8 - 28*t^6 + 134*t^4 - 92*t^2 +1))，(t*(t^6 - 21*t^4 + 35*t^2 - 7))/
(7*t^6 - 35*t^4 + 21*t^2 - 1))
から、飯高先生のようにパラメタ-表示のままでモニタ-に描くのは、唯々諾々。
確かに、GCD[15,7]=1 で、飯高先生の云われるとおりだ。代数曲線らしく t=Tanθを消去
しょうよとE さん。ひとり、競争原理が働き為した學生Pが居た。
19342813113834066795298816*(-7*x^6*y^15 + 35*x^4*y^15 - 21*x^2*y^15 + y^15 + 15*x^7*y^14
- 315*x^5*y^14 + 525*x^3*y^14 - 105*x*y^14 + 735*x^6*y^13 - 3675*x^4*y^13 + 2205*x^2*y^13
- 105*y^13 - 455*x^7*y^12 + 9555*x^5*y^12 - 15925*x^3*y^12 + 3185*x*y^12 - 9555*x^6*y^11
+ 47775*x^4*y^11 - 28665*x^2*y^11 + 1365*y^11 + 3003*x^7*y^10 - 63063*x^5*y^10 + 105105*x^3*y^10
- 21021*x*y^10 + 35035*x^6*y^9 - 175175*x^4*y^9 + 105105*x^2*y^9 - 5005*y^9 - 6435*x^7*y^8
+ 135135*x^5*y^8 - 225225*x^3*y^8 + 45045*x*y^8 - 45045*x^6*y^7 + 225225*x^4*y^7 - 135135*x^2*y^7
+ 6435*y^7 + 5005*x^7*y^6 -105105*x^5*y^6 + 175175*x^3*y^6 - 35035*x*y^6 + 21021*x^6*y^5
- 105105*x^4*y^5 + 63063*x^2*y^5 - 3003*y^5 - 1365*x^7*y^4 + 28665*x^5*y^4 - 47775*x^3*y^4
+ 9555*x*y^4 - 3185*x^6*y^3 + 15925*x^4*y^3 - 9555*x^2*y^3 + 455*y^3 + 105*x^7*y^2 - 2205*x^5*y^2
+ 3675*x^3*y^2 - 735*x*y^2 + 105*x^6*y - 525*x^4*y + 315*x^2*y - 15*y - x^7 + 21*x^5 - 35*x^3 + 7*x)=0
飯高先生が「次数は想定の範囲の通りだね」と云われた。早速、このf[ｘ，ｙ]=0 とy=-x+1を
モニタ-に表示し、交点を数え、連立方程式も解いたら、飯高先生のおっしゃる通り、実の交
点のみで、ちゃんと 21個在り、改めて定性的な考察も鋭い先生だが、定量的にも慧眼ですね
と皆んな。
上の21次の代数曲線の双対曲線を多様な発想で求めて下さい、と飯高先生。増版の際、
載せるからと。みんな歴史に残ると取り組み始めた。
學生Pが導出した21次方程式を必ず求めて下さい。
問19-3に関連する悩みは何度か質問を致しました。最近の「平面曲線の幾何（飯高茂著）」
を受講生が自主學習するなかで、飯高先生は、他の方の書籍では言及されぬ「リュ-ロトの
定理」を前面に押し出しておられるのを拝見し苦悩している學生KY （ K[Y]) が居ます。
KY さんは、問 19-3に酷似の問題を提起し、自ら解決して、研究室メンバーと飯高先生に視
ていただきたいと提示。
f[Y]=-x^6*Y^11 + 15*x^4*Y^11 - 15*x^2*Y^11 + Y^11 - 66*x^5*Y^10 + 220*x^3*Y^10 - 66*x*Y^10
+ 55*x^6*Y^9 - 825*x^4*Y^9 + 825*x^2*Y^9 - 55*Y^9 + 990*x^5*Y^8 - 3300*x^3*Y^8 + 990*x*Y^8
- 330*x^6*Y^7 + 4950*x^4*Y^7 - 4950*x^2*Y^7 + 330*Y^7 - 2772*x^5*Y^6 + 9240*x^3*Y^6
- 2772*x*Y^6 + 462*x^6*Y^5 - 6930*x^4*Y^5 + 6930*x^2*Y^5 - 462*Y^5 + 1980*x^5*Y^4
- 6600*x^3*Y^4 + 1980*x*Y^4 - 165*x^6*Y^3 + 2475*x^4*Y^3 - 2475*x^2*Y^3 + 165*Y^3
- 330*x^5*Y^2 + 1100*x^3*Y^2 - 330*x*Y^2 + 11*x^6*Y - 165*x^4*Y + 165*x^2*Y - 11*Y + 6*x^5
- 20*x^3 + 6*x∈K[Y]
の根をｙとするとき、以下同文で、
t= -((-x*y^18 - 2*x^2*y^17 - 2*y^17 - 4*x^3*y^16 - 13*x*y^16 - 8*x^4*y^15 - 28*x^2*y^15 - 20*y^15
- 16*x^5*y^14 - 60*x^3*y^14 - 80*x*y^14 - 608*x^4*y^13 + 292*x^2*y^13 - 124*y^13 + 880*x^5*y^12
- 6516*x^3*y^12 + 1736*x*y^12 + 12760*x^4*y^11 - 22636*x^2*y^11 + 1468*y^11 - 5280*x^5*y^10
+ 53812*x^3*y^10 - 27050*x*y^10 - 38016*x^4*y^9 + 81664*x^2*y^9 - 9344*y^9 + 7392*x^5*y^8
- 78540*x^3*y^8 + 42966*x*y^8 + 26664*x^4*y^7 - 54164*x^2*y^7 + 5188*y^7 - 2640*x^5*y^6
+ 24332*x^3*y^6 - 9976*x*y^6 - 3872*x^4*y^5 + 5084*x^2*y^5 - 260*y^5 + 176*x^5*y^4 - 700*x^3*y^4
+ 112*x*y^4 + 8*x^4*y^3 + 28*x^2*y^3 + 20*y^3 - 4*x^3*y^2 - 13*x*y^2 + 2*x^2*y + 2*y - x)/(-y^18
- 9*y^16 - 36*y^14 - 84*y^12 - 126*y^10 - 126*y^8 - 84*y^6 - 36*y^4 - 9*y^2 - 1))
とすればよい。t は、無論「transcendental」のt です。學生Tが云った。「演習の 19-3 のt は
心中では、transcendental の t なんかじゃ なくって、time パラメータ なのだ。解答を書く
際は隠匿し、transcendentalのtとしたのよ。」と。飯高先生も著書で、例えば、リューロトの定
理14p の前後で、time パラメータ なのだと心中では云われながら、著述の際は隠匿し
transcendentalのtと厳密に使い分けておられるわ！と悉皆の學生が叫んだ。
飯高先生は、KY さんの解決した問題を見せられて、ついていけない...行間が廣いなァと嘆
息...。
下のQ係数有理式の順序対で、t を多様な発想で消去し、獲られた代数曲線の双対曲線
の特異点等を悉に考察予定。（平成２４年３月２８日付け）
{(t^2 - 1)/(2*t)，(t*(t^2 - 3))/(3*t^2 - 1)，(t^4 - 6*t^2 + 1)/(4*t^3 - 4*t)， (t*(t^4 - 10*t^2 + 5))/
(5*t^4 - 10*t^2 + 1)，(t^6 - 15*t^4 + 15*t^2 - 1)/(6*t^5 - 20*t^3 + 6*t)，(t*(t^6 - 21*t^4 + 35*t^2 - 7))/
(7*t^6 - 35*t^4 + 21*t^2 - 1)，(t^8 - 28*t^6 + 70*t^4 - 28*t^2 + 1)/(8*t^7 - 56*t^5 + 56*t^3 - 8*t)，
(t*(t^8 - 36*t^6 + 126*t^4 - 84*t^2 + 9))/(9*t^8 - 84*t^6 + 126*t^4 - 36*t^2 + 1)，(t^10 - 45*t^8
+ 210*t^6 - 210*t^4 + 45*t^2 - 1)/(2*t*(5*t^8 - 60*t^6 + 126*t^4 - 60*t^2 + 5))，(t*(t^10 - 55*t^8
+ 330*t^6 - 462*t^4 + 165*t^2 - 11))/(11*t^10 - 165*t^8 + 462*t^6 - 330*t^4 + 55*t^2 - 1)，
以下、帰納的に想定の範囲内でしょうか？以下、長文をお許し下さい。省くわけにいかな
いのです。
(t^12 - 66*t^10 + 495*t^8 - 924*t^6 + 495*t^4 - 66*t^2 + 1)/(4*t*(3*t^10 - 55*t^8 + 198*t^6 - 198*t^4 + 55*t^2 - 3)), (t*(t^12 - 78*t^10
+ 715*t^8 - 1716*t^6 + 1287*t^4 - 286*t^2 + 13))/(13*t^12 - 286*t^10 + 1287*t^8 - 1716*t^6 + 715*t^4 - 78*t^2 + 1), (-t^14 + 91*t^12
- 1001*t^10 + 3003*t^8 - 3003*t^6 + 1001*t^4 - 91*t^2 + 1)/(-14*t^13 + 364*t^11 - 2002*t^9 + 3432*t^7 - 2002*t^5 + 364*t^3 - 14*t),
(t*(t^14 - 105*t^12 + 1365*t^10 - 5005*t^8 + 6435*t^6 - 3003*t^4 + 455*t^2 - 15))/(15*t^14 - 455*t^12 + 3003*t^10 - 6435*t^8
+ 5005*t^6 - 1365*t^4 + 105*t^2 - 1), (t^16 - 120*t^14 + 1820*t^12 - 8008*t^10 + 12870*t^8 - 8008*t^6 + 1820*t^4 - 120*t^2 + 1)/
(16*t*(t^14 - 35*t^12 + 273*t^10 - 715*t^8 + 715*t^6 - 273*t^4 + 35*t^2 - 1)),(t*(t^16 - 136*t^14 + 2380*t^12 - 12376*t^10 + 24310*t^8
- 19448*t^6 + 6188*t^4 - 680*t^2 + 17))/(17*t^16 - 680*t^14 + 6188*t^12 - 19448*t^10 + 24310*t^8 - 12376*t^6 + 2380*t^4 - 136*t^2
+ 1),(t^18 - 153*t^16 + 3060*t^14 - 18564*t^12 + 43758*t^10 - 43758*t^8 + 18564*t^6 - 3060*t^4 + 153*t^2 - 1)/(2*t*(9*t^16 - 408*t^14
+ 4284*t^12 - 15912*t^10 + 24310*t^8 - 15912*t^6 + 4284*t^4 - 408*t^2 + 9)),(t*(t^18 - 171*t^16 + 3876*t^14 - 27132*t^12 + 75582*t^10
- 92378*t^8 + 50388*t^6 - 11628*t^4 + 969*t^2 - 19))/(19*t^18 - 969*t^16 + 11628*t^14 - 50388*t^12 + 92378*t^10 - 75582*t^8
+ 27132*t^6 - 3876*t^4 + 171*t^2 - 1),(t^20 - 190*t^18 + 4845*t^16 - 38760*t^14 + 125970*t^12 - 184756*t^10 + 125970*t^8 - 38760*t^6
+ 4845*t^4 - 190*t^2 + 1)/(4*t*(5*t^18 - 285*t^16 + 3876*t^14 - 19380*t^12 + 41990*t^10 - 41990*t^8 + 19380*t^6 - 3876*t^4 + 285*t^2
- 5)),(t*(t^20 - 210*t^18 + 5985*t^16 - 54264*t^14 + 203490*t^12 - 352716*t^10 + 293930*t^8 - 116280*t^6 + 20349*t^4 - 1330*t^2 + 21))/
(21*t^20 - 1330*t^18 + 20349*t^16 - 116280*t^14 + 293930*t^12 - 352716*t^10 + 203490*t^8 - 54264*t^6 + 5985*t^4 - 210*t^2 + 1),(-t^22
+ 231*t^20 - 7315*t^18 + 74613*t^16 - 319770*t^14 + 646646*t^12 - 646646*t^10 + 319770*t^8 - 74613*t^6 + 7315*t^4 - 231*t^2 + 1)/
(-22*t^21 + 1540*t^19 - 26334*t^17 + 170544*t^15 - 497420*t^13 + 705432*t^11 - 497420*t^9 + 170544*t^7 - 26334*t^5 + 1540*t^3 - 22*t),
(t*(t^22 - 253*t^20 + 8855*t^18 - 100947*t^16 + 490314*t^14 - 1144066*t^12 + 1352078*t^10 - 817190*t^8 + 245157*t^6 - 33649*t^4
+ 1771*t^2 - 23))/(23*t^22 - 1771*t^20 + 33649*t^18 - 245157*t^16 + 817190*t^14 - 1352078*t^12 + 1144066*t^10 - 490314*t^8
+ 100947*t^6 - 8855*t^4 + 253*t^2 - 1),(t^24 - 276*t^22 + 10626*t^20 - 134596*t^18 + 735471*t^16 - 1961256*t^14 + 2704156*t^12
- 1961256*t^10 + 735471*t^8 - 134596*t^6 + 10626*t^4 - 276*t^2 + 1)/(8*t*(3*t^22 - 253*t^20 + 5313*t^18 - 43263*t^16 + 163438*t^14
- 312018*t^12 + 312018*t^10 - 163438*t^8 + 43263*t^6 - 5313*t^4 + 253*t^2 - 3)),(t*(t^24 - 300*t^22 + 12650*t^20 - 177100*t^18
+ 1081575*t^16 - 3268760*t^14 + 5200300*t^12 - 4457400*t^10 + 2042975*t^8 - 480700*t^6 + 53130*t^4 - 2300*t^2 + 25))/(25*t^24
- 2300*t^22 + 53130*t^20 - 480700*t^18 + 2042975*t^16 - 4457400*t^14 + 5200300*t^12 - 3268760*t^10 + 1081575*t^8 - 177100*t^6
+ 12650*t^4 - 300*t^2 + 1),(-t^26 + 325*t^24 - 14950*t^22 + 230230*t^20 - 1562275*t^18 + 5311735*t^16 - 9657700*t^14 + 9657700*t^12
- 5311735*t^10 + 1562275*t^8 - 230230*t^6 + 14950*t^4 - 325*t^2 + 1)/(-26*t^25 + 2600*t^23 - 65780*t^21 + 657800*t^19 - 3124550*t^17
+ 7726160*t^15 - 10400600*t^13 + 7726160*t^11 - 3124550*t^9 + 657800*t^7 - 65780*t^5 + 2600*t^3 - 26*t),(t*(t^26 - 351*t^24 + 17550*t^22
- 296010*t^20 + 2220075*t^18 - 8436285*t^16 + 17383860*t^14 - 20058300*t^12 + 13037895*t^10 - 4686825*t^8 + 888030*t^6 - 80730*t^4
+ 2925*t^2 - 27))/(27*t^26 - 2925*t^24 + 80730*t^22 - 888030*t^20 + 4686825*t^18 - 13037895*t^16 + 20058300*t^14 - 17383860*t^12
+ 8436285*t^10 - 2220075*t^8 + 296010*t^6 - 17550*t^4 + 351*t^2 - 1),(t^28 - 378*t^26 + 20475*t^24 - 376740*t^22 + 3108105*t^20
- 13123110*t^18 + 30421755*t^16 - 40116600*t^14 + 30421755*t^12 - 13123110*t^10 + 3108105*t^8 - 376740*t^6 + 20475*t^4 - 378*t^2 + 1)/
(4*t*(7*t^26 - 819*t^24 + 24570*t^22 - 296010*t^20 + 1726725*t^18 - 5368545*t^16 + 9360540*t^14 - 9360540*t^12 + 5368545*t^10
- 1726725*t^8 + 296010*t^6 - 24570*t^4 + 819*t^2 - 7)),(t*(t^28 - 406*t^26 + 23751*t^24 - 475020*t^22 +4292145*t^20 - 20030010*t^18
+ 51895935*t^16 - 77558760*t^14 + 67863915*t^12 - 34597290*t^10 + 10015005*t^8 - 1560780*t^6 + 118755*t^4 - 3654*t^2 + 29))/(29*t^28
- 3654*t^26 + 118755*t^24 - 1560780*t^22 + 10015005*t^20 - 34597290*t^18 + 67863915*t^16 - 77558760*t^14 + 51895935*t^12 -20030010*t^10
+ 4292145*t^8 - 475020*t^6 + 23751*t^4 - 406*t^2 + 1), (-t^30 + 435*t^28 - 27405*t^26 + 593775*t^24 - 5852925*t^22 + 30045015*t^20
- 86493225*t^18 + 145422675*t^16 - 145422675*t^14 + 86493225*t^12 - 30045015*t^10 + 5852925*t^8 - 593775*t^6 + 27405*t^4 - 435*t^2 + 1)/
(-30*t^29 + 4060*t^27 - 142506*t^25 + 2035800*t^23 - 14307150*t^21 + 54627300*t^19 - 119759850*t^17 + 155117520*t^15 - 119759850*t^13
+ 54627300*t^11 - 14307150*t^9 + 2035800*t^7 - 142506*t^5 + 4060*t^3 - 30*t) 永遠に無論續きます。
上達は、今回の書籍99p の飯高先生の一言から産まれるべくして生まれた超越元t の有
理式∈Q(t) です。正確な表現をします。
「定理 t=Cotangent[θ] と置くと、Cotangent nθは、t の有理式で表される」を漸化式を或
る発想で解き、陽的解を求め、具現したものが上に並ぶ超越元t の有理式∈Q(t) です。
定理は、無論、多様な発想で証明され、具現をも為される筈ですが、おそらく為した方は、
これまでに存在しないでしょう。
上の定理を、各自 I[n] の好きな発想で証明され、具現をも為され、此処に學生が為す
まえに為し、私I[n] の定理と表明しておいてください。
間髪を入れず、飯高先生の受講者諸氏が各自の発想で上の定理を証明し且かつ瞬時に
{(t^2 - 1)/(2*t)，(t*(t^2 - 3))/(3*t^2 - 1)，(t^4 - 6*t^2 + 1)/(4*t^3 - 4*t)，
(t*(t^4 - 10*t^2 + 5))/ (5*t^4 - 10*t^2 + 1)}∈Q(t)4
を具現した。
上記の問 19-3 と類比の問題を創作したよ、と研究室に學生KY：
f[Y]=-3*x^2*Y^5 + Y^5 + 5*x^3*Y^4 - 15*x*Y^4 + 30*x^2*Y^3 - 10*Y^3
- 10*x^3*Y^2 + 30*x*Y^2 - 15*x^2*Y + 5*Y + x^3 - 3*x∈K[Y]
とし、問19-3 の真似で以下同文の時、tを見出して下さいとありましたが、
t = -((x*y^6 - 10*x^2*y^5 + 6*y^5 - 45*x*y^4 + 20*x^2*y^3
- 28*y^3 + 19*x*y^2 - 2*x^2*y - 2*y + x)/(y^2 + 1)^3)
とすればよい。そのこころは、「俺達曲線族」と學生KYさん。是非図達を描き、t=753 のとき
此処等記してと、學生KYさん。
KY さんが研究室に持ち込んだ事柄に関して、論文を漁り、切り貼りした日本語のメモをM
さんが持ち込んだ。（平成２４年３月３０日付け）
「あっ、その定理1は、「平面曲線の幾何」で、何度か応用がしてあったよねっ!」と受講生。
「定理 3 って、証明出来る? どんな応用が在るのか、次回までの課題」と學生 A。
「１．３ Ｃ 曲線とチェビシェフ曲線」の前後って、私には難しいので噛み砕いて解説をお願
いね。そのかわり、直にいろいろ為したことが在るので視て、そして、元の命題1.2 から噛み
砕いて解説をお願いね、と女學生 G。
先ず、命題1.2 の (ｘ，ｙ)=((tm + 1/tm)/2，(tn + 1/tn)/2) には名前がなぜかついていな
くて、名無しだから、(ｍ，ｎ) の「権兵衛曲線」と定義するわと。
t は何処の元？ それって「Uniformization」と同じく、 t∈D=C-{-i，i} のようなの？と一同。
ｘ2+ｙ2=1 でなくて、ｚ2+ｗ2=1 だわ、に対しては、当然よと全員。
それらは、取り敢えず置いておいて、次に進むわとG。具体化して、(ｍ，ｎ)=(2，5) の権兵
衛曲線から t を消去 しようと色々試みて、 -16ｘ5 + 20ｘ3 - 5ｘ + 2ｙ2 - 1=0 を獲て、次数が
Max(2，5)=5次の代数曲線を獲た。みんな15pの中ほどをみて、あってる! と。でも、それって
C曲線だわとも。
各自がPCを起動させ、「-16*x^5 + 20*x^3 - 5*x + 2*y^2 - 1=0 」を、「Wolfram|Alpha」に
挿入し、いいんじゃないと。さっと指先で直線を引き、交点がMax(2,5)=5。ちゃんと在るしとも。
でも、(n，m)のC曲線⊂(m，n)の権兵衛曲線だわと、9pと16pを比べて視て、異口同音に皆
んな。皆んな、各自の発想で、先ず、t を消去してねと云われ、直ぐ取りかかりはじめた。
(無論、消去後、大いに留意点が在ることは初体験ではないので警戒し）
元の命題1.2 から噛み砕いて解説をお願いね、を思い出した學生が、Cに2元
((tm + 1/tm)/2，(tn + 1/tn)/2)を添加した体C(((tm + 1/tm)/2，(tn + 1/tn)/2)）は、C[t]の商
体 C(t) の部分体よね、と云い、あったりまえよと云われ、じゃァ此処のtは超越のtで、先の
tとは異なるのねと。不定元って何？文字って何？と、尋ねたかったが、困らせてもいけない
ので封印した。（→ 参考）
チェビシェフ多項式を産めよ増やせよと定数係数でない線型漸化式が15pに在ると色めき
たち、全員各自の発想で、其の3項漸化式を解き始めた。解きながら、ページを捲ると、23p
の練習問題に関連する問題が溢れていた。
わかるまでペラペラとページを捲っちゃダメとも云われたことがあったが、恐る恐るページ
を捲ると、最後の213pにも小平次元絡みで在るっ! と発見した學生Mがいた。それって、第
n=2種よと注意を促す人も。
チェビシェフ曲線達を多産後、その双対曲線達を、この書籍の定義に基づき求めよ、と云
う問題を発見した學生Dが、やろうっていうとやらない!って云う人は存在しなかったが、（知
悉の飯高先生すら、やろうっ-て、ｎ度も云われた！)
易しいチェビシェフ曲線∈Q[u]2ではなく、(m，n)=(2，5) の権兵衛曲線∈Q(u)2からtを消去
しようと色々試みて、-16ｘ5 + 20ｘ3 - 5ｘ + 2ｙ2 - 1=0 を獲て、次数がMax(2，5)=5次の代数
曲線を獲た學生Gが、この陽的表示でない方から講義の定義に基づいて求めたから、皆ん
なもチェビシェフ曲線の双対曲線を求める前に、各自の発想で求めてと。無論、定義は明記
した。（→ 参考１ 、参考２）
學生Gが大きな紙に、代数曲線Cと自分の獲た双対曲線 C* を書いた。
k[X，Y]/<-16X5 + 20X3 - 5X + 2Y2 - 1>
k[X，Y]/<216X6 - 216X5 + 675Y2X4 - 22500Y2X3 + 27500Y4X2 + 22500Y2X2
- 50000Y4X + 50000Y2X - 50000Y6 + 100000Y4 - 50000Y2>
無論、直上は、
216*X^6 - 216*Z*X^5 + 675*Y^2*X^4 - 22500*Y^2*Z*X^3 + 27500*Y^4*X^2 + 22500*Y^2*Z^2*X^2
+ 50000*Y^2*Z^3*X - 50000*Y^4*Z*X - 50000*Y^6 - 50000*Y^2*Z^4 + 100000*Y^4*Z^2
を経て獲た。
53p のように、大文字と小文字をちゃんと使い分け、座標環(26pから最後まで) を駆使す
る學生Gを視た飯高先生は、上のイデアルの導出に目を細められていた。
そして、当然為すべきこと達：有理写像C---Φ--->C* を明記し、CとC*の特異点達を求
め考察し、考察した内容を、すべて同一R2 にグラフ化し、C2 ではどうか心眼で視ると。
（理論的には知悉のことのみであったが、遊び心で為したら、結構やり甲斐が在ったとも）
此処を訪問される世界の皆様へ、上の導出等を此処に提示願います。
（重過ぎる付記） 先ず、最低次元の定理1は、學生知悉と前提し、講義を定理3を目標に
構成しては、「思慮に欠ける」と云われそうな気配でもあるので、噛み砕いて定理1の具体
例を各學生にあげるよう促し、KY さんのK[Y] の元のような例を空気が讀め、産ませ、t も
見出すことが全員スラスラ為し獲たなら、定理3を目標に講義を始めようと思慮中の飯高先
生であります。（→ KY さんの一例）
直前の學生Gが提起した、易しいチェビシェフ曲線∈Q[u]2ではなく、(m，n)=(2，5) の権兵
衛曲線 ∈Q(u)2からtを消去し、-16ｘ5 + 20ｘ3 - 5ｘ + 2ｙ2 - 1=0 なる次数が、Max(2，5)=5次
の代数曲線を獲て、その双対曲線を求めた學生が、もう少し次数が高くて、數學者が為して
意義あると世界に公表した論文の中に具体例はないの？と云うので、皆んなが、内外の論
文を渉猟し始めた。學生Cが、論文の一部を切り取り、皆んなに提示した。
皆んな、
f[x,y]=y^3*x^3 - 3*y^2*x^3 + 3*y*x^3 - x^3 + 3*y^3*x^2 + 48*y^2*x^2 + 3*y*x^2 + 3*y^3*x - 3*y^2*x + y^3
を直ぐ射影化し、
F[X,Y,Z]=Y^3*X^3 - Z^3*X^3 + 3*Y*Z^2*X^3 - 3*Y^2*Z*X^3 + 3*Y*Z^3*X^2 + 48*Y^2*Z^2*X^2
+ 3*Y^3*Z*X^2 - 3*Y^2*Z^3*X + 3*Y^3*Z^2*X + Y^3*Z^3
定義に基づき、双対曲線C*を求めようとすると、(C*)*= C なので、半分に分かれて、
C--->C*組と C<---C*組としない! と提案者在り。（→ 参考１ 、参考２）
答え付きなので、C<---C* 組が不利なのは明らかだが、不満を云う學生は存在せず、皆
んなが各自の発想で導出を開始した。飯高先生も C<---C* 組の方に入られ、為して意義
が在るご様子でありました。
参考資料を視た學生が、此れは「平面曲線の幾何」の3p に在るよと研究室に持ち込んだ。
受講生全員が鞄から著書を取り出し、「其れは、CS：(ｘ，ｙ)=(Cos mθ，Sin nθ) よ」と、参考
資料をちらっとみて、変換すればどちらでもよいと全員。そして、今度はじっくりと讀んだ終結
式を用いる発想だから我々の特技である（サイズのでかい）シルベスター行列で体験済だと。
それを聴いた學生Gは、
I1={w^3 - 3*z^2*w + x, -z^5 + 10*w^2*z^3 - 5*w^4*z + y, w^2 + z^2 - 1}
I2={-256*x^10 + 640*x^8 - 560*x^6 + 200*x^4 - 25*x^2 - 16*y^6 + 24*y^4 - 9*y^2 + 1, 256*z*x^8
+ 64*y*x^6 - 512*z*x^6 - 96*y*x^4 + 336*z*x^4 + 40*y*x^2 - 80*z*x^2 - 16*y^5 + 20*y^3 - 9*y
+ 5*z, 64*y*x^6 - 80*y*x^4 + 64*y^2*z*x^4 - 16*z*x^4 + 16*y^3*x^2 + 16*y*x^2 - 48*y^2*z*x^2
+ 12*z*x^2 - 4*y^3 + y + 4*y^2*z - z, 64*x^8 + 64*y*z*x^6 - 128*x^6 + 16*y^2*x^4 - 96*y*z*x^4
+ 80*x^4 - 12*y^2*x^2 + 40*y*z*x^2 - 17*x^2 + y^2 + 4*y^3*z - 6*y*z + 1, -4*x^4 - 4*y*z*x^2
+ 4*x^2 - y^2 - z^2 + 2*y*z, 4*x^4 + 4*y*z*x^2 - 3*x^2 + w*x + y^2 - y*z, -64*x^7 - 64*y*z*x^5
+ 112*x^5 - 16*y^2*x^3 + 80*y*z*x^3 - 56*x^3 + 12*y^2*x - 20*y*z*x + 7*x + 4*w*y^2 - w,
-16*y*x^5 + 16*y*x^3 - 16*y^2*z*x^3 + 4*z*x^3 - 4*y^3*x - y*x + 8*y^2*z*x - 3*z*x - w*y + w*z,
4*x^4 + 4*y*z*x^2 - 4*x^2 - w^2 + y^2 - 2*y*z + 1}
から
k[x,y]∩I2=(-256*x^10 + 640*x^8 - 560*x^6 + 200*x^4 - 25*x^2 - 16*y^6 + 24*y^4 - 9*y^2 + 1)k[x,y,z]
各自がI1からI2を導出しましょうと學生D。飯高先生も賛同され、導出を開始しようとすると、
分担して為そうと 提案者現る。「書籍の2p-5p のをすべて陰的表示を為し」、「各CS 曲線の
双対曲線を(陽）パラメタ-を用いて、（陰）陰的表示を用いて、書籍107pの定義に基づいて求
めましょうや!」飯高先生も賛同され、學生をグループに分け、導出及び双対化を開始された。
學生Sが陰的表示された代数曲線の双対曲線を講義の方の定義に基づき先ず為しましょ
うと提案し、異論を唱える人は存在せず、開始した。だれも
70368744177664*(256*x^10 - 640*x^8 + 560*x^6 - 200*x^4 + 25*x^2 + 16*y^6 - 24*y^4 + 9*y^2 - 1)=0
に除外点の有無を調査していないが.....と飯高先生。
軌跡には除外点がつきものとのご託宣が在りました。（平成２４年３月３１日付け）
（参考） 除外点１ 、除外点２ 、除外点３
次の各微分方程式を解き、媒介変数tを消去してください。
(1) x''[t] = (-5x[t] + 4y[t])、y''[t] = (4x[t] - 5y[t])
x[0] = 1、y[0] = 0、 x'[0] = 0、y'[0] = 0
(x，y)=F1[t]=(_______，______)
t の消去 C1：f1[x,y]=0 、f1[x,y]=_________________________.
(2) x''[t] = (-5x[t] + 4y[t])、y''[t] = (4x[t] - 5 y[t])
x[0] = 1、y[0] == 0、x'[0] = 1、y'[0] = -4
(x，y)=F2[t]=(_______，______)
t の消去 C2： f2[x,，ｙ]=0 、f2[x，y]=_________________________.
F1(R)=C1 か？ 除外点があれば明記を。
F2(R)=C2 か？ 除外点があれば明記を。
以前、海外へSyzygy導出を乞うた。（平成２４年３月３１日付け）
ｘ = ｓｔ(ｓ10 + 11ｓ5ｔ5 - ｔ10)
ｙ = -ｓ20 + 228ｓ15ｔ5 - 494ｓ10ｔ10 - 228ｓ5ｔ15 - ｔ20
ｚ = ｓ30 + 522ｓ25ｔ5 - 10005ｓ20ｔ10 - 10005ｓ10ｔ20 - 522ｓ5ｔ25 + ｔ30
(1) Implicitize this surface ： f(ｘ，ｙ，ｚ) = 0 f(ｘ，ｙ，ｚ)=____________________________________
(2) dual surface ： ___________________________
なる私の質問に関して、多くの解答をRobert H. Lewis（Fordham University）先生からいた
だきました。今回のSyzygy導出を多様な発想で為して下さい。
問題「n 個の数列 1，8，7，5，9，........ を何処かで止めて ならした数を求めよ。」を視た
學生Zが「あっ、補間してる」と。（平成２４年４月１日付け）
(1) (-126+191n-66n2+7n3)/6 （補間し、線型代數）
(2) 此れの母函数は、(1+z (-1+3 z) (-4+7 z))/(-1+z)4
であることを示すのも愉しいので、(1)から(2)、(2)から(1)の導出に別れて、黒板に記すこと
になり、只今進行中。
(3) 飯高先生は、其れ等を観ながら、漸化式を創り、Ker(P(E))を解いておられた。
「数学をいかに使うか」の13pに核心に触れるKer が在ります。無論、此処の線型写像は、
CN---P(E)--->CN (P(E)∈k[E]) です。（無論、dim(CN)=∞）
そして、受講生にも、この視座から核心 Ker(T)に触れることを願われた。此れは「数学を
いかに使うか」の13p～19p に在ると飯高先生に教唆された。學生は一斉にポケットから取
り出し味読していた。暫くすると、「あっ、此れは著者が云われる使える数学の例だわ」と。
Lagrangeの補間公式を使い、吉田輝義先生の青色の「も解」が、
Q[X]/f[X]*Q[X]
|
Q のガロア群の元を求める（邪道であるが）と あったじゃないと。
最初の問題について、土筆の子 様がラグランジェの補間式
Together[{((x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)y1)/((x1-x2)(x1-x3)(x1-x4) (x1-x5))+((x-x1)(x-x3)(x-x4)(x-x5)y2)/
((x2-x1)(x2-x3)(x2-x4)(x2-x5)) +((x-x1)(x-x2)(x-x4)(x-x5)y3)/((x3-x1)(x3-x2)(x3-x4)(x3-x5))
+((x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x5)y4)/((x4-x1)(x4-x2)(x4-x3)(x4-x5)) +((x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)y5)/
((x5-x1)(x5-x2)(x5-x3)(x5-x4))}]/. {x1->1, x2->2, x3->3, x4->4, x5->5, y1->1, y2->8, y3->7, y4->5, y5->9}
を用いて、(-126+191n-66n2+7n3)/6 を具現された。（平成２４年３月３１日付け）
問(1) 上の「も解」もラグランジェの補間式を使い為してみようと學生L4Gが提案。
問(2) 少し次数をさげた場合の、梅村 浩先生（名大・多元数理科学専攻教授）が提示され
ている３次方程式の問題の方もラグランジェの補間式を使い為してみようと學生L3Uが
提案。（→ 参考）
先ず為すべきは、αをβ、βをγ、γをαに写すラグランジェの補間式を「数学をいかに
使うか」の(1.9)も注視しつつ創るべきだと。それを、梅村 浩先生が提示された３次方程式
の問題に適用し、「も解」を解こうと。
問(3) 學生L3MR が提案。８０頁２に同様の例が掲げられているので、それも解こうと。
問(4) 「東大前期文系」の(2) もラグランジェの補間式で、「も解」を解こうと學生L3TU。
今回は、発想がラグランジェの補間式と限定されているので、手分けせず、どの問も各自
が解こうと解き始めた。
問(5) 解きながら、上が気になる學生J が、例えば、ｘ3+69ｘ2+ｘ+1=0 や複素係数で
ｚ3+(8+69・I)ｚ2+(1+I)ｚ+
=0 でも為してみてと。傍らにおられた飯高先生は、体論の講義ノートを開いてと云おうとされたが、ひかえて様子
をみることにされた。
此処を訪れられる世界の皆様へのお願い：學生さん達が解かれる上の「も解」問題達をラ
グランジェの補間式を用いる発想に限定し考察願います。そして、「数学をいかに使うか」の
13p～19p た他の頁を讀まれ、各定理を他の場面で「どう使うか」を考察され、此処に記載願
います。
學生さんが解く間、飯高先生は、参考資料を視て、今回の漸化式を創り、Ker(P(E))も投稿
しようか、否、學生にさせよう。（歴史に残るので）嬉々として為すだろうからと。
「Algebraic and transcendental solutions of some exponential equations」も眺めておられた。
「不等式の評価」をも。
(algebraically independent) 超越拡大 T/k 絡みの参考資料の方に寧ろ重きを置かれ........。
上記の問いを解いた學生Jが、今度は問題を創作した。（平成２４年４月１日付け）
f[ｘ]=ｘ3+(-557/8-I-ｅπ)ｘ2+(345/8+5・I/8+(557/8+I)ｅπ)ｘ-(345/8+(5・I/8)ｅπ
f[ｘ]=0 の解をαとすると、
(1) 他の解達は、ａ・α2+ｂ・α+ｃ の形に表されることを証明して下さい.
(2) α以外の解を、σ[α]=ａ・α2+ｂ・α+ｃ と定義し、σk[α] (k∈N) を求め観察して下
さい。
上の問題が難しいと感じたら、先に、
「f[ｘ]=ｘ3 - 15ｘ2 + 71ｘ - 105 において、f[ｘ]=0 の解をαとすると」
にし、(1)(2) を解いて下さいと學生J。そして、Hint も付記。「Wolfram|Alpha」に
「PLOT x^3 - 15*x^2 + 71*x - 105」 を挿入し、梅村 浩先生の描かれたグラフに似てい
る! と歓喜の聲も在ったか定かではありません。
適当な初期値から、実際に漸化式をつくり、解（近似）を求めてみるべきだと學生N。そうだ
と漸化式をつくり始めた。（→ 参考：「ニュートン法」）
土筆の子さんからのコメントです。（平成２４年４月１日付け）
S(H)さんの問題を、S(H)さんに助けを得て解いてみましたので、書いておきますね。
σ[ｘ]=Aｘ2+Bｘ+C 、σ[α]= β、σ[β]= γ、σ[γ]= α となるように、ラグランジェの補間
式で係数を求めると、
σ[ｘ] = ｘ2 (α2-αβ+β2-αγ-βγ+γ2)/(α-β)(α-γ)(β-γ)
+ｘ(-α3+αβ2-β3+α2γ+βγ2-γ3)/(α-β)(α-γ)(β-γ)
+(-α3β+α2β2-β3γ+α2γ2+β2γ2-αγ3)/(-α+β)(α-γ)(β-γ)
この式のα、β、γに、あらためて元の式の解を代入してやると「も解」が求まります。
たとえば、ｘ3 + 6ｘ2 - 8= 0 ですと、 {α，-2-3α-α2/2， -4+2α+α2/2}
参考１、参考２等、「Fit」を仕事で使われる方も在りでしょう。Lagrangeの補間公式を使い、
吉田輝義先生の青色の「も解」が、
Q[X]/f[X]*Q[X]
|
Q のガロア群の元を求めるとあったじゃないと。
前回、次数が低い3次方程式の「も解」を、Lagrangeの補間公式を使い求めようと學生。
ガロア理論受講者が、諸問題を、Lagrangeの補間でも試みたく、研究室に持ち込み考察
中です。
此処を訪れられる世界の皆様、ガロア理論受講者が解決する前に、画像等此処に投稿
願います。
次のQ上の最小多項式は容易に求められるが、間接的に多様な発想で導出をお願いしま
す。（平成２４年４月２日付け）
（１） ａ2 + 1 （ただし、ａ3=2） （２） ａ2 + 1 （ただし、ａ5=2） （３） ａ2 + 1 （ただし、ａ6=2）
（４） 1 + ａ + ａ2 + ａ3 + ａ4 （ただし、ａ5=2）
（５） 1 + ａ + ａ2 + ａ3 + ａ4 + ａ5 （ただし、ａ6=2）
（６） 1 + ａ + ａ2 + ａ3 + ａ4 + ａ5 + ａ6 （ただし、ａ7=2）
例題については、學生Gが、イデアル I1={ａ3 - 2，-ａ2 + X - 1} から
I2={-X3 + 3X2 - 3X + 5， -X2 + 2X + 2ａ - 1} を導出し、I2∩Q[X]=<-X3 + 3X2 - 3X + 5>
でFinと。
上のすべてのQ上の最小多項式も、學生Gの導出法に倣って、是非導出過程を省かず明
記し導出をと飯高先生が研究室の學生に。
上で求めた各最小多項式 f[X]∈Q[X] について： α=X+<f[X]>
Q[X]/<f[X]>=Q(α)
|
Q のQ上の拡大次数を求め、「α=X+<f[X]>が解なら_______も解」問題を考察願います。
その際の発想で、（a[j]∈Q とは限らず、Qの拡大体ｋも許容し、a[j]∈k）「も解」問題を考察
願います。以前の如く、Lagrangeの補間でも試みたくなるでしょう。
上に沢山の問題が在ります。「飯高先生のガロア理論受講者」の學生諸氏が為される前に
此処を訪れられる世界の皆様が解決され、投稿願います。問題も他の多様な発想で！
「消去」の具現を、Ex 2 の沢山の問題で多様な発想で為し、考察願います。
Ex の空色枠---陰化--->草色枠 を多様な発想で為して下さい。
定理３は怖いので、定理1絡みを具現したのが右赤線の下です。（無論一意的ではありません）
いただいた助言の「これは以降」を理解された方は噛み砕いて解説ねがいます....。
曲線Cの双対曲線C*を(pa)パラメタ-表示の方を用いて求め、その後パラメタ-を消去して
下さい。(im) 陰化した--->草色枠の方を用いて求めて下さい。（無論一致 します）
そして、参考資料の如き t を是非見出して下さい。
「-x^4 + x^2*y + x^3*y + 2*y^2=0 」を「Wolfram|Alpha」に挿入するや否や定性的には、双
対曲線C*をもう飯高先生のように 手書きができますか？「デカルトの精神と代数幾何」には
殆ど到ところ、手書きの代数曲線で理論展開が為されています。
今回等、今まで世界の誰よりも数多の双対曲線f*(ｘ，ｙ)=0 の正確な具現を為したので、増
補版に載せる話は、日本評論社としようと飯高先生が云われ、俄然、双対曲線C*や双対曲
面S*：f*(ｘ，ｙ，ｚ)=0 の具現を留まる処を知らず、為し始めた受講生。
（これは次年度以降の飯高先生の講義後の考査のリハーサル問題を想定しつつ為したものです)
私は、双有理変換 C---ζ---> C* も求めて、上達を具現済みです。特に、t の値に強い
関心が在り、為したところ
t = -((13436928*y*x^4 + 2047680*x^4 - 1617408*x^3 - 17006112*y^3*x^2 + 17563797*y^2*x^2
+ 31194720*y*x^2 - 385952*x^2 - 54587520*y^2*x - 10101996*y*x + 113008*x - 105605856*y^3
- 12267693*y^2 + 4973868*y - 145296)/(4*(17006112*y^4 + 9310059*y^3 - 23646816*y^2
+ 248540*y + 48432*x)))∈Q(x,y)
を獲ました。ミスが在れば修正願います。（無論、多義性が在ります）
「種数」の理解に事例達でお近づきになることが願望なのです.......。
「いろいろな曲線」で、「媒介変数表示の方法は万能ではあるが、式自体に美しさが感じら
れない。極座標を用いると、美しく簡潔に表現されることが多い。」とある。
（平成２４年４月３日付け）
例えば、「E Polar r=-Sin[3θ]」を「Wolfram|Alpha」に挿入。
(これは、「デカルトの精神と代数幾何」の参考文献に掲げられている W.Fulton から引用)
この代数曲線k[X，Y]/<f[X，Y> が欲しいと學生CRが研究室に持ち込むや否や、
I1={-Z*W^3 + 3*Z^3*W + X, -W^4 + 3*Z^2*W^2 + Y, W^2 + Z^2 - 1} から
I2={X^4 + 2*Y^2*X^2 + 3*Y*X^2 + Y^4 - Y^3,X^2 + Y^2 + 4*Y*Z^2 - Y, Y^3 - Y^2 + X^2*Y + 4*X^2
- 4*X^2*Z^2, -4*Z^4 + 5*Z^2 + Y - 1,4*X*Z^3 - 4*X*Z - X*Y*Z - W*Y^2 + W*Y, Y*Z - W*X,
-X*Z^2 - W*Y*Z + X, 4*W*Z^2 + X*Z - W + W*Y, W^2 + Z^2 - 1}
を導出して、k[X，Y]∩I2=(X4 + 2Y2X2 + 3YX2 + Y4 - Y3)k[X，Y] で、Fin と學生G。
F も學生G の発想に倣い、代数曲線としての表示を為してほしいと飯高先生。
為した後、各曲線E、Fについて、曲線 の双対曲線を
(pa) パラメタ-表示の方を用いて求め、その後、パラメタ-を消去して下さい。
(im) 陰化 した代数曲線の方を用いて求めて下さい。
（無論、一致 します）
明らかに、各曲線には、二重接線が幾つか存在する。其れ等を双対曲線の特異点達を
求めることにより求めて下さい。
Proposition 3. Let C be an algebraic curve.There is one bitangent on C* for each node on
C, and one inflection point on C* for each cusp (尖閣の尖）on C.
These singularities are essential for understanding the relationship between
the degree of a curve and its dual.
上の明らかに存在する二重接線達は、高校生が重解なる発想でも求まるので、其れにも
倣い求めて図示もして下さい。そして、参考資料の如き t が見出せるか否かを検討して下
さい。
上は、勝手連的に、飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と射影幾何學と
ｎ次元代数多様体の講義達後の考査のハードルをほんの少し高めに設定されたリハーサ
ル問題を想定しつつ為したものです。
此処を訪れられる世界の皆様が、學生が解決される前に此処に投稿願います。
「いろいろな曲線」の媒介変数表示されている曲線について、代数曲線になる曲線につい
て、双対曲線を求めて愉しんで下さい。いろいろな媒介変数表示されている曲面についても
今後具現し、代数曲面になる曲面について、上の如き、双対曲面化を為し苦しんで下さい。
事例達付きの、先ず、斉次化した後、問題に邂逅しました。是非、どれも双対曲線化の具
現を為し、味読願います。実際に双対曲線化を為せば戸惑うでしょう。
上は、勝手連的に、飯高先生の次年度以降の代数學Ⅱ∋Galoistheorie と射影幾何學と
ｎ次元代数多様体の講義達後の考査のハードルを少し低めに設定されたリハーサル問題
を想定しつつ為したものです。（解答付きです。)
参考資料なる飯高先生に倣えば、ｙ=-ｘ2 のdual はすぐわかるから、ｙ=-ｘ2+1/2 も簡単だ
と思っていたら計算が大変です。先ず射影化し云々...必ずやりとげて下さい。（解答付き！)
此処を訪れられる世界の皆様が、學生が解決される前に答えがあうまで多様な発想でな
し、此処に投稿願います。
上記を、もう少し一般化（と云っても、超容易な平行移動のみ；）して、
放物線： (ｘ - ｘ0)2 + ｙ - ｙ0 = 0 の双対曲線を、ｘ0、ｙ0 をいろいろ定めて求めて下さい。
（平成２４年４月４日付け）
先ず、斉次化して、X2 - 2ｘ0ZX + ｘ02Z2 - ｙ0Z2 + YZ=0 (これを使わないでも構いません）
（イ） ｘ0=0 、ｙ0=0
（ロ） ｘ0=1 、ｙ0=0
（ハ） ｘ0=1 、ｙ0=2
（二） ｘ0=1 、ｙ0=-2
二次曲線を双対化しても、残念ながら何も新たな次数の曲線には邂逅出来ません。
（証明を！)
だから、上の答えは、選択肢付きのマークシートなら殆ど何も考えない方が合格します。上
の各場合に多様な発想で双対曲線∈{放物線,楕円,双曲線} を丁寧に導出し、「東大 文系」
の如き、ｘ のとり得る範囲を求めよ、なんて問題が誕生しますが、為さずに次を。
主軸問題を多様な発想で解き、もとの放物線と答えの二次曲線と其のC*と主軸を、すべ
て同一R2に図示し、有限個のC上の点がC*の此処に写ると、すべてが誰にも氷解すべくグ
ラフ化して下さい。
（別解） 「硲文夫（はざまふみお）著、代数幾何学、森北出版」を参照しつつ、
X2 - 2ｘ0ZX + ｘ02Z2 - ｙ0Z2 + YZ=0
を使い、同じ結論を獲るまで、大変ですが、為すことに意義は在り、是非為してください。
C<---C* を多様な発想で具現を為し答えが合うまで必ず為し、n=2次曲線の双対は、もう
卒業し、高次數の代数曲線や、n=2、3、4、....の次数の代数曲面の双対曲面を多様な発想
で求め、すべてが誰にも氷解すべく、Rn 空間にグラフ化して下さい。
(今回は、n=2次曲線限定版で為してみると、想定外かもしれぬワクワク感の問題群で、高
校生も接線概念を把握刹那、取り組んで「デカルトの精神と代数幾何」を皆んな鞄にいつも
携帯し、数學者の原石が巷に溢れかえる現象生じ、4、5年後には偉いことになる予感の素
材です。
超曲面の非線型写像Fによる像F(超曲面) の求め方を論じたのを觀たことがありません。
例えば、大學の講義の線型写像の逆写像を求め、F(超曲面)を求めよ。
(此の逆写像F-1を求めての発想は、字義どおりに解釈し、既視感が在り過ぎで卒業します。
F-1を求めてと云う常套手段は、非線型写像には通用し難いので、逆写像を求めず、超曲
面の像F(超曲面)を求めたい。
(0) 先ず、易しい名古屋大学 講義演習の楕円の像を求める際、逆写像を求めず、像を求
めてみてください。
代数曲面Sと非線型写像Fを定義する。 S： -ｘ3 + ｘ2ｚ/2 + ｙ2ｚ + ｘｚ2/4 - ｚ3/8=0
R3∋(ｘ，ｙ，ｚ)---F--->(ｕ，ｖ，ｗ)=(-3ｘ2 + ｘｚ + ｚ2/4，2ｙｚ， ｘ2/2 + ｙ2 + ｘｚ/2 - 3ｚ2/8)∈R3
(1) F(S) は代数曲面である。齊次多項式=0 となる筈。 これを求めてください。
(2) F(S)∩{(ｕ，ｖ，ｗ)∈R3| ｗ=ｋ} (k∈{-3，-2，-1，0，1，2，3，2012} ) なる断面達を考察
したい。この断面達を図示してください。
(3) 齊次多項式=0 なので、特に、w=1 とします。獲られた代数曲線Cの方程式を求めて下
さい。
(4) この代数曲線Cの双対曲線C*を多様な発想で求め、特異点も求め、Cの何を反映して
いるか、C、C*を同一R2に図示し記載願います。変曲点等現れましたか？(変曲点が出
現なら、曲率の視座からも考察願います。
我々は、双対曲線C*については、数えきれない程考察してまいりましたが、輓近の資料
等も参考にして、(1)--(4) を黒板に解いて下さいと受講生に飯高先生。
Aの部分集合Xの元のfによる像たちの全体からなる終域Bの部分集合 {f(a) | a ∈ X} を
Xのfによる像（ぞう、image）といい、f[X] で表すと定義は無論在るが、実際、線型写像以外
で求めたのをみつけられましたら、此処にご教示ください。
「消去」と、今日はとびっきり易しいのをと研究室に學生E。（平成２４年４月５日付け）
「t2 を消去するという暴挙に出てる」と學生B。「いつもそんなに巧くいくわけがないが、テク
ニシャンね」と學生T。(ｘ，ｙ)=((1 - t2)/(1 + t + t2)， (t(2 + t))/(1 + t + t2)) の時は、「t2 を消
去するという暴挙」は真似出来るんじゃないのと學生M。可能なら為してと同じ問題（主軸、双
対）を解いて下さい。元に帰り、問達を解き、更に、有理写像：C---Φ--->C* を求め、
(ｘ，ｙ)=((1 - t2)/(1 + t + t2)， (t(2 + t))/(1 + t + t2))
から、「t2 を消去するという暴挙」を是非真似て、C*の方程式を獲る発想も是非為して下さい。
そして、参考資料の如き t を是非見出して下さい。参考資料１、２、３は、もうFinでしょうか？
「消去」と今日も研究室に學生E。（平成２４年４月６日付け）
我々は、あまりに次元の低い代数曲線を長く議論してきたが、
「Die 27 Geraden auf einer glatten Kubik」
を学ぼうと向学心に燃えた學生Kが、この代数曲面の素材を研究室に持ち込んだ。
(1) 10p を視た受講生Gが、I1= {ｘ - (ts2 - s3)， ｙ - (t3 - ts2)， ｚ - s3} から
I2={-ｘ3 - 3ｚｘ2 - 2ｚ2ｘ + ｙｚ2， ｚ - s3， -ｓｘ - ｓｚ + ｔｚ， -2ｓｘ2 - ｔｘ2 - 2ｓｚｘ + ｓｙｚ，
ｔｓ2 - ｘ - ｚ， -ｙｓ2 + tｘs + t2ｘ， -t3 + ｘ + ｙ + ｚ}
を導出し、I2∩k[ｘ，ｙ，ｚ]=(-ｘ3 - 3ｚｘ2 - 2ｚ2ｘ + ｙｚ2)k[ｘ，ｙ，ｚ] でミスやと。
I1=I2 の証明が誰も必要と、証明を開始した。（飯高先生も必要だからと参加された）
もし、J1={ｘ - (st2 - s3)， ｙ - (t3 - ts2)， ｚ - s3} なら、10p のf となるが...とも。
(2) そろそろ此処の各曲面の双対曲面を多様な発想で導出をと提起した學生在り。
飯高先生が、代数曲線論の講義で出題された問19-3のf(Y)を、以下にかえ、以下同文の
問題、即ち、
f(Y)=ｘ6 - 3Y2ｘ4 + 15ｘ4 + 3Y4ｘ2 + 78Y2ｘ2 + 48ｘ2 - Y6 + 15Y4 - 48Y2 - 6∈K[Y]=(Q(x))[Y]
とし、略解の赤 t∈K(ｘ，ｙ)と青を求めて下さい。（平成２４年４月１０日付け）
受講生Lが、
t= -((-5*x^5 + y*x^4 + 16*y^2*x^3 - 95*x^3 - 8*y^3*x^2 + 67*y*x^2 - 11*y^4*x - 379*y^2*x - 440*x
+ 7*y^5 - 25*y^3 - 248*y)/(36*y^4 - 228*y^2 - 60*x^2 - 480))∈Q(ｘ，ｙ)
となったが如何？と。受講生Rが、そのtじゃないとダメなんですかと。
飯高先生が、多義性が在るので他のtでかまわないので、どうぞ求めてと。
（参考） 「射影平面曲線の代数幾何」（今野 一宏 著（大阪大学大学院理学研究科））
上記に在る各代数曲線について、略解の赤t∈K(ｘ，ｙ)と青の考察を是非と飯高先生。
此処を訪れられる世界の皆様へ：
(1) Lが求めた t に誤りが在れば修正し、
(2) 青を求めて下さい。
土筆の子さんから、３次式の「も解」についてのコメントです。（平成２４年４月１１日付け）
「デイヴィッド・Ａ・コックス著 ガロア理論（上）」を一昨日、やっと、ざっと通しで読み終えま
した。そこに、皆様のやられていた、判別式の平方が、整数になると「も解」があることの説
明がありましたので、ご紹介します。（ｐ197、ｐ201、ｐ202）
命題7.4.2 f∈F[ｘ] を３次既約分離多項式とする。ここで、Fの標数は２でないとする。
Lが f の分解体であるとき、
Gal(L/F)＝Z/3Z （判別式Δ(f)はFでの平方元のとき）
Gal(L/F)＝S3 （その他）
例 f=ｘ3+ｘ2-2ｘ-1∈Ｑ[ｘ] はＱ上既約。Ｑの標数 0 なので、f は分離的。また、Δ(f)=49=72
したがって、f のＱ上のガロア群は、位数3の巡回群。
演習問題 次の３次多項式のガロア群を計算せよ。
（１） Q上で、ｘ3-4ｘ+2 （２） Q(√37) で、ｘ3-4ｘ+2 （３） Q上で、ｘ3-3ｘ+1
（４） C(ｔ) (tは変数）上で、ｘ3-ｔ （５） Q(ｔ) (ｔは変数)上で、ｘ3-ｔ
演習問題 f と F⊂L は、命題7.4.2の仮定をみたすとし、√[Δ(f)] はFに含まれないと仮定
する。Gal(L/F(√[Δ(f)]))=Z/3Zであることと、fはF(√[Δ(f)])上既約であることを
証明せよ。
土筆の子様の上の演習問題の判別式の√[Δ(f)]∈Q ならざる方で以下に具現しました。
（平成２４年４月１１日付け）
「変曲点の性質」に在るように、判別式の√[Δ(f)]∈Q ならざる f[X] は容易に多産叶いま
すのでいろいろ為すことも無駄ではない筈です。高校生が、何故３次方程式の判別式を教え
てくれないのかと激怒するかも「判別式と終結式」で自學するよう促して怒りを鎮めて下さい。
n=3 で、次の場合、「どこを視れば、その方程式のガロア群がお姿を現される」なる定理；
標数2でない体 F について、F=Q f[X]=X3-4X+2∈Q[X]. の場合に、