３２次の方程式 ｘ32 + 1156ｘ24/27 + 7572550ｘ16/729 + 1156ｘ8/3 + 81 = 0 を考察しま
す。（平成２４年２月６日付け）
ここで、X=ｘ8 とおき、４次方程式 Ｘ4 + 1156X3/27 + 7572550X2/729 + 1156X/3 + 81 = 0
を考察する。（→ 参考： １ ２） 出典はこちら。
σ[α]= -α3/9 - 1156α2/243 - 7572550α/6561 について、
(1) αが４次方程式の解なら、σ[α]も解、、σ2[α]も解を示して下さい。
(2) αが４次方程式の解のとき、他の解をαのQ係数の３次以下の多項式σj[α]∈Q[α]
で表してください。
(3) 反復σjn[α] (n∈N) を求め、方程式のガロア群を求めて下さい。
上の問は、空欄に、f[X]=X4 + 1156X3/27 + 7572550X2/729 + 1156X/3 + 81 を挿入し真
似たものです。
ガウスが、グラフからから４次方程式の有理式解達を求めたと日記に；
「ガウスが円周の等分に引き続いて、レムニスケートの等分を試み、それがきっかけで楕円
関数の一般理論を発見したことは良く知られている。また、ガウスが「数論研究」で円周等分
と同様のことが、積分 ∫（1-ｘ4）ｄｘ に関係する関数(つまりレムニスケート関数)にも適用で
きると、さりげなく示唆したことが刺激となり、アーベルによる楕円関数の発見および等分理
論、さらにはアーベル方程式につながったことも、良く知られている。」
(4) ガウスの真似をし、４次方程式の解をαとして他の解をαのQ係数の有理式∈Q(α)で
表してください。
ガウスの f[ｘ]=ｘ4 + 52ｘ3 - 26ｘ2 - 12ｘ + 1 の出生の秘話は語られた。今回の４次式にも
探究すべき出生の秘話が在りそうです。
「これまでコンピュータで計算可能な判別式計算は15次方程式まで、複雑化・高機能化す
る"ものづくり"に対し、16次以上の方程式の判別式計算が求められていた。」（→記事）
（平成２４年２月７日付け）
判別式が求められたなら、双対曲面は瞬時に求められます。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月７日付け）
同じ次数でも、例えば、単純に各項が２項の文字式だとすると、計算量は文字式でない場
合に比べて、２ｎ倍と考えられる気がします。式を格納しておくメモリの容量も同様にかなり大
きくなるので、係数が文字式の場合の判別式はコンピュータにはより難しいようです。A、B、
Cの３変数の１２次式は相当きついと思います...
「peninsula」が、「Surface Circulation at the Tip of the Antarctic Peninsula from Drifters」
「peninsula surface」の命名の由来なのでしょう........。（平成２４年２月７日付け）
(1) ５次代數曲面 S： ｘ2 + ｙ3 + ｚ5 - 1 = 0 の双対曲面S*を求めて下さい。
(2) S*を求めたなら、(S*)* を求めて下さい。（無論、(S*)*=S です）
(3) SとS*の双方を描き鑑賞して下さい。
双対曲線の定義は、明確なので、自然に拡張：代數曲面Sの双対曲面S*の定義は容易
です。
接超平面について、よくある問題：
(1)(イ) 曲線 ｙ = -ｘ3 + 3ｘ2 について、(-1/2， -1/2)を通る３つの接線を求めよ。
について、これも双対曲線を求めて解決する筈。（平成２４年２月８日付け）
(ロ) 曲線 C： ｘ5 - ｙ2ｘ + ｙ3 = 0 の、(-(5/2)√（5 - 2
），-(5/2)√{25 - 11)/2}) を通る３つの接線を是非求めてください。（→ 参考）
(ロ)の「x^5 - y^2*x + y^3=0 」を「Wolfram|Alpha」に挿入し、飯高先生曰く「20+α數年前
に複接線に初めて接し、その題材の新鮮さに身體の血が逆流してきたのを感じた。」それ
が、「デカルトの精神と代数幾何」に飯高先生をして結実せしめたのを、飯高先生が想起さ
れ、講義の題材として手頃なので、次の課題を出し、黒板に解答を書くよう促された。
(2) 挿入したのを視れば、複接線が何本か在るのはわかるが、それをCの双対曲線C*の
特異点達を求めることにより、瞬時に具現できるので為しなさい。
ｈａｓｕさんからのコメントです。（平成２４年２月８日付け）
私は一応ガロア理論の本は二冊くらい読んだことがあるのですが、いまだによくわかりま
せん。特にわからないことが体/体という形をしたものです。何を言っているのかもわかるし、
Ｆｐ環が何かもわかるのですが、理解できないのです。「S(H)さんからの話題」のことが掲示
板に載っていて、この機会に少し読んでみようとおもいましましたが「S(H)さんからの話題」
の初めにこれがあって読めませんでした。なので、これがどういうものなのか、できれば例を
多くして教えて下さい。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月９日付け）
私も、『Q[X]/｛(ｘ4＋52ｘ3−26ｘ2−12ｘ＋1）Q[X]｝』のような記号には悩まされましたが、こ
れは剰余環の記号だと把握しています。
Q[X]とは、Xの有理多項式の集合で、そのうち、ｘ4＋52ｘ3−26ｘ2−12ｘ＋1 で割った剰余
で分類したのが、Q[X]/｛(ｘ4＋52ｘ3−26ｘ2−12ｘ＋1）Q[X]｝ということではないでしょうか。
そうすると、その集合の元は、３次以下のXの多項式全体と同等ということになると思いま
す。ただし元同士の乗法(や除法)がただの多項式と違って、
(ｘ2)*(ｘ2)＝ｘ4≡-52x^3+26x^2+12x-1 -52ｘ3+26ｘ2+12ｘ-1
などのような世界、と把握すれば良いのではないでしょうか。
以下、世の中でもっとも易しい問を、視座をかえ、双対曲線C*を求めて解決するよう、飯
高先生が學生に投げかけられそうな問です。（平成２４年２月８日付け）
これ以上易しい例はない問題を、２つの発想で解かれているのを視て、飯高先生は問題
の出来がよくなかったにもかかわらず、もう卒業してしまった學生に、次のように設問すれば、
何が不理解なのか判別できたのにと、學生に問います。
C： -ｘ2 - 3ｘ + ｙ = 0 の双対曲線C* を求めるために、先ず、Cを射影化し、講義で論じた
発想で求めなさい。
ｈａｓｕ様へ、ここは、どうしても超えねばならぬ、最初のハードルの高い処なのです。
（平成２４年２月９日付け）
「MA3D5 Galois theory」の20頁： R[ｘ]/(ｘ2+1)R[x]
また、以下の商環の具体例達に関わる問題群を真剣に解いてみて下さい。
27p Q[ｘ]/(ｘ3+2ｘ+2)Q[ｘ] 、33p Q[ｘ]/(ｘ3+3ｘ+3)Q[ｘ] 、80p Q[ｘ]/(ｘ3+3ｘ+1)Q[ｘ]
また、「体/体」なんて、世界の誰も云いません。例えば、20p R[ｘ]/(ｘ2+1)R[ｘ] は、環/イデ
アルです。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月９日付け）
放物線 ｙ=ｘ2+3ｘ に点(2，1)から引いた接線を求めよ。
点を線に、線を点に双対した世界では、その放物線を変換した曲線と、直線 2ｘ+ｙ+1=0 が
交わる交点を求めよ、という風になるので連立によって解けるということですね。
２次曲線の双対曲線は、２次形式の逆行列で得られるのであった。
[ 1 0 3/2 ]
[ 0 0 -1/2]
[3/2 -1/2 0 ]
これの逆行列は、
[ 1 3 0]
[ 3 9 -2]
[ 0 -2 0]
すなわち、ｘ2+6ｘｙ+9ｙ2-4ｙ=(ｘ+3ｙ)2-4ｙ=0 がその双対曲線。これと、2ｘ+ｙ+1=0 の交点を
求める。
ｙ=-2ｘ-1 として、 (-5ｘ-3)2+4(2ｘ+1)=25ｘ2+38ｘ+13=(25ｘ+13)(ｘ+1)=0 より、
(ｘ，ｙ)=(-1，1)、(-13/25，1/25)
このとき確かに、ｘX+ｙY+1=0 が、求める答えにあるような接線を与える。
確かに、双対曲線さえ求まれば面白いが、双対曲線を求める所が最大の障壁に違いある
まい...。
（コメント） Ｃ：ｙ=ｘ2+3ｘ と X・ｘ+Y・ｙ+1=0 が接することから、 （X/Y+3）2-4/Y=0
したがって、Ｃ*：(X+3Y)2-4Y=0 が得られる。多分こちらの方が速い？
パラメターKが入り込んだC[K]：
K2X2 + 480X2 + 2KX - 18KYX - 80YX - 216X + Y2 + 4KY + 18Y + 25=0
を考察したい。（平成２４年２月９日付け）
(1) 例えば、C[69]は、特異点を持たぬ曲線になることを確かめてください。「分岐点」なる概
念は幅広く使用される。
(2) Kを、-69から69まで、step 3 で許容するときのC[K] 達を描くことを本当に為し、分岐す
るKが在ることを観察して下さい。即ち、突如として、特異点を持つケースが在ります。
(3) 易しい {K2 + 9K + 14， 9YK + K - 506X + 41Y + 117} で生成されたイデアルの零点を
求めれば叶う（ことを証明し（相当難題です））
(4) 易しい方を求めて下さい。K1=___，K2___。そして、C[K1]、C[K2] が如何なる特殊な図形か
を説明願います。
C[K]達を眼前にすると、その双対曲線C[K]*を具現せずにはいられない。しかも、今回は、
飯高先生の講義で為された発想や他の多様な発想（１・２）で双対曲線C[K]*が求められる。
双対曲線C[K]*を多様な発想で求め、何処にKが現れたか観察し、なぜかくも簡単な箇所
に現れるのかを説明願います。そして、(1)から(4)を具現し、解いて遊んでご覧と勧めてくだ
さい。
パラメターKが入り込んだC[K]を考察した。
Q[X，Y]/<K2X2 + 480X2 + 2KX - 18KYX - 80YX - 216X + Y2 + 4KY + 18Y + 25>
なる商環が突如として何か変なケースになるなら、其れを論じて下さい。
「代数多様体の座標環は代数幾何学における剰余環の重要な例（Faktorring、Quotient ring）である。簡単な
場合として、実代数多様体 V = {(ｘ，ｙ) | ｘ2 = ｙ3} を実平面 R2 の部分集合とみる。V 上で定義される実数値
多項式函数の全体が成す環は剰余環 R[X,Y]/(X2-Y3) に同一視されて、これを V の座標環とみなす。これに
より代数多様体 V を調べることが、この座標環を調べることに帰着される。」
とありましたが、座標環を調べたから、代数多様体Vがよく把握できた事例達の経験談を是
非記載願います。
今度は、パラメター扱いはせず、対等に、即ち、差別しないで平等に扱い、
S：Z2X2 + 480X2 + 2ZX - 18ZYX - 80YX - 216X + Y2 + 4ZY + 18Y + 25=0 を定義し、Sを
眼前にすると、その双対曲面 S*を具現せずにはいられない。双対曲面S*を多様な発想で
求め、SとS*を悉に研究し、それ等を此処に記載願います。行列表現なる手法は、今回は無
論不可です。
上で求めたS*に於いて、X=5/8, Z=1/24 とすると、
f[Y]=Y3 + 31Y2/16 - 515Y/1152 + 25/36864
を獲るでしょう。（ミスが在れば修正し、次へ) f[Y]=0 の解をαとするとき、東大前期文系の
(2)とは状況ががらっと異なり、他の解が、Qの真の拡大体の係数で表現叶う筈です。
以下で、K Kara（カラ）曲線へ接線を引く高校生が為す問題を考察したい。
（平成２４年２月１０日付け）
Ｃ： 27ｘ4 + 216ｙｘ3 + 540ｙ2ｘ2 + 432ｙｘ2 + 432ｙ3ｘ + 1728ｙ2ｘ + 432ｙ3 + 1152ｙ2 - 256ｙ=0
の特異点を求めて下さい。（Cの特異点は、双対曲線C*を求めることにより求められる。）
双対曲線C*を多様な発想で求めて下さい。求めた双対曲線C*を觀た刹那、Cの各特異
点の名称は判明する。その名称は？具体的に、Cの特異点{K1，K2，K3} を求めて下さい。
Kj Kara 曲線C*へ接線 Tj を引くのは容易。Tj の方程式を求めて下さい。(j=1、2、3)
他の点Kからも曲線C*へ接線を引きたい。例えば、K=(3/2，5/8)から曲線C*へ接線を可
能な限り引き、接線T達の方程式達を求めて下さい。
他の色々な点Kから曲線C*へ接線の問題を解決して下さい。
飯高先生は他の講座でもなされるイデアルが上に出現したので、受講者に上の同値を友
達とワイワイやりながら証明し、研究室に、その証明を携え話に来て下さいと。
概念の理解を深めて欲しいので、今回の K Kara（カラ）曲線へ接線を引く高校生も為す
問題を、今後、KARAの問題と命名すると、飯高先生。
F[ｘ，ｙ]=ｘ5 + ｘ4ｙ - 4ｘ3ｙ2 - 3ｘ2ｙ3 + 3ｘｙ + 1∈Q[ｘ，ｙ] とする。
(1) 代数曲線C：F[ｘ，ｙ]=0 の正体を視たいのでグラフ化を為し、其れを凝視し、双対曲線
C*の想定次数を____。其れを凝視し、双対曲線C*の特異点達の想定名称を。
想定の範囲内であるか多様な発想で双対曲線C*を求め、グラフ化し、C*の各特異点に
対応するCの接線を求め、C、C*、T達を同一空間にグラフ化し鑑賞して下さい。
鑑賞しつつ、双対曲線C*の想定次数が大きくハズレた理由を記述願います。私が為すと、
86個も特異点が在りました。（無論、C2 で）
次のKARAの問題を解いて遊んで下さい。
C*の各特異点からCへ接線（を引く高校生も為す問題）を全て求めて下さい。
F[ｘ，1]=ｘ5 + ｘ4 - 4ｘ3 - 3ｘ2 + 3ｘ + 1 となります。
(2) この零点をαとするとき、他の解をαの４次以下の多項式で表されるのは自明でしょう
が、具現して下さい。
答えに近い大Hint： -1 + （隠匿1）α + 3α2 - α3 - α4 も解。
Q[ｘ]/<ｘ5 + ｘ4 - 4ｘ3 - 3ｘ2 + 3ｘ + 1 >とQ[α] が同型は自明でしょうが、例えば、
1/(-1 +69α + 3α2 - α3 - α4) をQ[α]の元として具現程度は為して下さい。
５０４６００を素因数分解すると、 I1・(1 + I)6・(1 + 2I)2・(2 + I)2・(2 + 5I)2・31・ (5 + 2I)2
例えば、1 + 2I と 2 + 5I のGCDを求めて視て下さい。約数は、1134個も在り、その総和は、
6106840 + 4486780I。総積も求めると、 -37246767236452397808544........000000I なる虚軸
上の数。（→ 「Gaussian integer」）
ガウスには、生涯泣かされ續けられるのは明らかですが、一途に慕い續けております
{n = 504600 + 6876I， m = 18460 + 15939I} についても同様に為し、互いに素を示し、
ｘn+ｙm=1 なる整数解が在るのは自明と云わず、手順を踏み具現すると、
(10783 - 5667I)n + (-95432 + 233289I)m=1
に漸く到達し、(10783 - 5667I)n をガウス平面上に図示し、(-95432 + 233289I)m もガウス平
面上に図示し足すと、1+0・I に安堵。また、√（504600） の別の顔は、
{710, {2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 19, 2, 1, 1, 58, 1, 1, 2, 19, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 1, 2, 1420}}
であります。此れを確かめてと、分数の出来ない怠學セイ(なんて知らない）に勧める問では
ありません。（→ 参考「Kettenbruch」）
易しい試験の結果を見せられてどう思うか報告書に記しなさいと指導教官に云われて数枚
の報告書を書いた。（平成２４年２月１１日付け）
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月１１日付け）
「S(H)さんからの話題２」 （平成２３年１１月８日付け）において、「CHALLENGE PROBLEMS」が
あり、高校生向けの興味深い問題がありました。偶数番の問題に解答解説がないようなの
で、いくつか解いてみました。
（問題16）・・・ロピタルの定理の特殊な場合です。
f、g が微分可能で、f(0)=g(0)=0、g'(0)≠0 のとき、limｘ→0 f(ｘ)/g(ｘ) = f’(0)/g’(0) を示せ。
（解） limｘ→0 f(ｘ)/g(ｘ) = limｘ→0 {（f(ｘ)-f(0)）/ｘ}/{（g(ｘ)-g(0)）/ｘ} = f’(0)/g’(0) （終）
（問題18）
楕円 ｘ2/ａ2+ｙ2/ｂ2=1 (a≠b) にある点から接線を引く。傾きが互いに (a)逆数 (b)-逆数と
なる2つの接線を引ける点の集合を見つけよ。
（解） 単純に、ｘ2/ａ2+ｙ2/ｂ2=1 と ｙ-ｑ=ｍ(ｘ-ｐ) を連立させて、ｘ2/ａ2+(ｍｘ-ｍｐ+ｑ)2/ｂ2=1
整理して、 (1/a2+m2/b2)ｘ2+2ｍ(ｑ-ｍｐ)ｘ/ｂ2+(ｑ-ｍｐ)2/ｂ2-1=0
よって、 D=ｍ2(ｑ-ｍｐ)2/ｂ4 - (1/ａ2+ｍ2/ｂ2)((ｑ-ｍｐ)2/ｂ2-1)=0
すなわち、 (ｐ2-ａ2)ｍ2-2ｐｑｍ+(ｑ2-ｂ2)=0 で、解の積＝1 あるいは -1 となる ｐ、ｑ
の条件を求めれば、 ｐ2-ａ2=ｑ2-ｂ2 及び ｐ2-ａ2=-(ｑ2-ｂ2)
すなわち、 ｐ2-ｑ2=ａ2-ｂ2 及び ｐ2+ｑ2=ａ2+ｂ2
これらは、ｙ=±ｘ を漸近線とする双曲線と円です。 （終）
双曲線の方については、ｍが実数となること、すなわち、(ｐ，ｑ)が楕円の外側にあると限
定する必要があります。この結果の円の方は準円と呼ばれるものです。
（→ 参考：「放物線のある性質」
楕円の準円について双対を考えると、
任意の楕円：ｘ2/ａ2+ｙ2/ｂ2=1 に対して、垂直な直線 ｐｘ+ｑｙ=0 と ｑｙ-ｐｘ=0 がそれぞれ交
わる点P、Qについて、直線PQへの原点から距離は、ｐ、ｑによらず一定(＝1/√（ａ2+ｂ2）)で
ある。
放物線の準線と焦点の性質の双対を考えると、
放物線 ｙ2=4ｐｘ と２つの垂直な直線 ｙ=ｍｘ、ｙ=-ｘ/ｍ の交点をP、Qとすると、PQを結んだ
線は放物線の軸上の定点(4ｐ，0)を通る。また、P、Qでの接線を引くと交点は、ｘ=-4ｐ 上にあ
る。（双対を考えると、一見新しい性質を発見できるわけです。）
また、「S(H)さんからの話題３」にあるAKB問題の特殊例でもあります。
曲線Cの点A、Bでの接線が∠AKBをなして交わるとき、双対曲線C*では対応する点をA*、
B*とすると、原点と結んでできる∠A*OB*に現れます。
（直線 ａｘ+ｂｙ+1=0 と ｃｘ+ｄｙ+1=0 がなす角は、ベクトル (ａ，ｂ)、(ｃ，ｄ)のなす角に等しい）
Kの軌跡は、C*上で、「∠AOB＝一定」となる点A、Bを結んだ直線群を双対変換した点の
集合と考えることができますが...それでも計算は容易ではなさそうです。
（問題20）
ｙ=ｘ2 の3点における法線が1点で交わる時、その3点のｘ座標の和は0であることを示せ。
(法線は英語でnormal lineというのですね...！)
（解） ｘ=ａ での法線は、ｘ+2ａｙ=ａ+2ａ3
定点を (ｐ，ｑ)とすると、ｐ+2ａｑ=ａ+2ａ3 が a を求める方程式。ａ2 の項がないから、解と
係数の関係によって、解の和は0 （終）
では、実際に定点がどんな位置にある時に法線を3本引けるのだろうか？
ａ3+ａ(1/2-ｙ)-ｘ/2=0 の判別式： -4(1/2-ｙ)3-27ｘ2/4=0 が境界。
この線よりも上側にある点では、法線を3本引け、下側にある点では、法線は1本引ける。
法線群を双対変換してみると、(ｘ，ｙ=ｘ2)→[X，Y，Z]=[-1，-2ｘ，ｘ+2ｘ3]
Y=-2ｘ から、4Z=-Y3-2Y 同次化することで、双対変換した点の集合： 4X2Z+Y3+2YX2=0
を得る。境界の式 2(1-2ｙ)3+27ｘ2=0 を終結式を計算させて双対変換すると、
2519424ｘ4(ｙ+2)3(ｙ3+2ｘ2ｙ+4ｘ2) = 0 ・・・ ちゃんと同じ式が出てきました。
（問題22）
半径ｒ、高さｈの円錐型の物体を、半径Rの水が入った筒に毎秒1cm/sで降下させる。円錐
が完全に水没した瞬間の液面の上昇率はいくらか。
（解） 座標Zを設定し、円錐の先の高さを、Z=-X(t)、液面の高さを、Z=Y(t)とする。時刻 t=0
の時に両者Z=0で接触、すなわちX(0)=Y(0)=0とする。X(t)=vt である。[v=1cm/s]
Z=0 より下にある円錐の体積Vは、V=hπｒ2/3・(X/h)3 で、これが、Z=0より上にある水の
体積と等しいので、V=πR2Y - hπr2/3・{(Y+X)3-X3}/h3
共通部分を足して、 πR2Y ＝ hπr2/3・{(Y+X)3}/h3 を得る。
tで微分すれば、 πR2Y’ ＝ hπr2・{(Y+X)2(Y’+X’)}/h3
このとき、求めるのは、X+Y=h、X’=v の時のY’であるから、 R2Y’ =r2・(ｖ+Y’)
よって、 Y’=ｖｒ2/(R2-ｒ2) =ｒ2/(R2-ｒ2) [cm/s]. （終）
一般の時刻tでのYやY’を求めようとすると、難しい微分方程式になってしまいます。
（問題24） ・・・「質問に対する回答（１１）」と同じ内容である：
３次関数のグラフが、ｘ 軸と異なる３点で交わるものとする。α 、β 、γ を、その交点の
ｘ 座標とする。このとき、そのうちの２つの値の平均である値を ｐ として、ｘ＝ｐ における接
線は、選ばれなかった３つ目の交点を通ることを証明せよ。
（解） ３次曲線 ｙ=f(ｘ) のｘ軸との交点を ａ、ｂ、ｃ とする。もし、ｙ=f(ｘ) と ｙ=ｍｘ+ｎ が２重解
ｐ と他の解 ｑ を持つなら、解と係数の関係を考えることで、2ｐ+ｑ=ａ+ｂ+ｃ である。これで
示される。(ｘ3、ｘ2 の係数は変わらないから解の和も変わらない)
上記の C[c]： ｃ2 + 8ｘｃ + 8ｘｙｃ + 18ｙｃ + ｙ2 - 72ｘ - 72ｘｙ - 160ｙ - 80=0 について
[ 0 4c-36 4c-36]
[4c-36 1 9c-80]
[4c-36 9c-80 c2-80]
Maximaで、この逆行列を求めてもらって、c2-18c+81≠0の時、双対曲線は、
C*[c]： 5ｘ2+(c/2)ｘｙ+ｙ2-(9/2)ｘ-2ｙ+1=0
となる。ところで、K(69，5/8)から引いた接線は、L：69x+5/8 y+1=0 と双対曲線との交点に
対応する。座席番号c=3番を試みた所、LとC*[3]は交点を持たない模様なので、KからC[3]
に接線が引けないではないか！
LとC[3]の交点は、(-(2098±5√167533)/6072， (402±√167533)/11) らしい。
-(2098±5√167533)/6072・X+(402±√167533)/11・Y+1=0 が、K(69，5/8)からC*[3]へ
引いた接線となる。
c=9のとき、C[9]： 1 +2ｙ +ｙ2 =0 で、C*[9]：点(0，1)
計算のハードルが高いです...。双対曲面の方はMaximaにresultant...と打ち込むと、しばら
くして"0"と答えてきました。
KARA の問題を双対曲線の視座から為したことは上記で吐露しました。飯高先生の著書
を味読されての依頼がありました。（平成２４年２月１２日付け）
知りすぎた問題とは、問題 19番の易しいn=4次曲線です。
この (1) 19番のn=4次曲線の双対曲線化を、70 名の先生方にお願いしたが、此処で導出
された人数を云うのは憚れますので云いません。
此処をご覧の皆様は、すぐとりかかり獲た双対曲線の特異点を求め、そのうちの一つから
Cの複接線Tを獲て、C∩T を求め、解答と当然合うで、Fin。
すぐ下の20番なら食指が動くとの聲が複数会場に在り、それですぐ当初の予定を変更し、
20番の ｙ=ｘ2 を 19番のn=4 次曲線にかえたら如何ですか？と云うが、20 番の俺達法線族
問題から丁寧に
ｘ=(-32t9 + 96t7 + 24t6 - 96t5 - 48t4 + 30t3 + 24t2 + 6t + 1)/(2(3t2 - 1))
ｙ=(14t6 - 30t4 - 10t3 + 12t2 + 6t + 1)/ (2(3t2 - 1))
を導出し、ｘ、ｙ には関係無いことは無い、即 t を消去し、関係式 f[ｘ，ｙ]=0 を導いて下さい。
C*の特異点 Kj を求め (A、Bは、n=4 次曲線上の接点）を求めるようお願いし、他のC*上
の幾つかの点Ki を自ら定め、∠AKiBを求めてともお願いした。
そして、私が導出したC*から、その双対曲線はCになることは自明だが、きちんと眼前の
PCを駆使し導出してくださいとお願いした。
あのn=4 次曲線を改めてCとし、点K=(ｘ，ｙ）からCに接線を引き、接点をA、Bとし、
∠AKB=一定の軌跡を考えたい。
Cが、n=二次曲線で、∠AKB=84+6=90°なら、生徒に解くよう授業で云ってると彼方此方
で話聲が在ったので、双対曲線の視座から解いて遊んで下さいと叫んだ。（以上、他所から
の引用）
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月１２日付け）
resultant法によって、
C*： 5ｙ4+44ｘｙ3-32ｙ3-130ｘ2ｙ2+576ｘｙ2-512ｙ2+108ｘ3ｙ-288ｘ2ｙ+256ｙ-27ｘ4=0
GRAPESに書かせると、(1，1)で自己交点(結節点)を持つので、複接線は、x+y+1=0 であろ
う。
GRAPESで交点を読み取るのもなんだかなあと思って...、dF/dx=0かつdF/dy=0となる点が
特異点である。resultantでyを消去すると、(ｘ-1)(3ｘ-1)(3ｘ2+18ｘ-37)2(48ｘ2+72ｘ-181)...たくさ
んある。
「包絡線」において、ヘシアンＨについて、
（１） Ｈ＜０ のとき、 特異点Ｐは、結節点である。
（２） Ｈ＝０ のとき、 特異点Ｐは、尖点である。
（３） Ｈ＞０ のとき、 特異点Ｐは、孤立点である。
「それですぐ当初の予定を変更し、20番の ｙ=ｘ2 を 19番のn=4 次曲線にかえたら如何で
すか？」について、もちろん、法線が、4+3=7本引ければ、ｘ座標の和は同様の議論で0にな
るはず。7本引けるかは別にして...。
「20 番の俺達法線族問題から丁寧に導出」について、法線族を双対変換した曲線をAと呼
ぼう。A上の点は法線に対応する。Aの接線は、その点を通る法線を求めると重解を持つよ
うな点に対応する。すなわち、Aの接線の双対変換＝Aの双対曲線A*が引ける法線の本数
の境界線を与える。
ｙ=f(ｘ)=ｘ4-2ｘ2-ｘ の ｘ=ｔ での法線は、ｘ+ｙ・f’(t)=ｔ+f(ｔ)・f’(t)
X=-1/(ｔ+(ｔ4-2ｔ2-ｔ)(4ｔ3-4ｔ-1)) 、Y=-(4ｔ3-4ｔ-1)/(ｔ+(ｔ4-2ｔ2-ｔ)(4ｔ3-4ｔ-1))
resultant を投げることにより、法線族を双対した曲線Aを得る。
Aは、GRAPESで見ると、原点に特異点（尖点）を持っている模様。resultant法により双対曲
線を計算させる。
このA*が、引ける法線の本数が変わる点の集合を与えるが、別の見方をすれば、法線群
が包絡線として与える曲線とも言えそう。
点(ｐ，ｑ)を通る法線を求める式：-4ｘ7+12ｘ5+5ｘ4+4ｑｘ3-8ｘ3-6ｘ2-4ｑｘ-2ｘ-q+p とその2階
微分を ｐ、ｑ を変化させつつ様子を見ると、この4次関数では、7本も法線が引けることはな
い、最大5本と思われる。
それでは、適当な点から法線7本引けるような4次関数があるのか等、気になる。
ｙ/4=ｘ4-2ｘ2+1/2 とか見てみれば、原点から法線7本引けると思う。法線の議論は接線と
違って、伸縮に対して保存性がないので複雑になります。
以下を投稿しようとしたところ、空舟様が先に解かれた問いも在ります。
（平成２４年２月１２日付け）
視れば氷解すべく、グラフ化しました。
赤線 ｙ=ｘ2 の双対曲線=青線を求めて下さい。
赤線 ｙ =ｘ4 - 2ｘ2 - ｘ の双対曲線=青線を求めて下さい。
赤線 ｙ=ｘ2 の法線族を沢山描いて浮かびあがった草色の曲線は、代数曲線C1です。C1
の方程式を、導出過程を隠さず記述して下さい。f1[ｘ，ｙ]=0
赤線 ｙ=ｘ2 の法線族を沢山描いて浮かびあがった草色の曲線は、代数曲線C2です。C2
の方程式を、導出過程を隠さず記述して下さい。f2[ｘ，ｙ]=0
ｋは、体とする。（例えば、R、C)
k[X]/<f1[ｘ，ｙ]> 、 k[X]/<f2[ｘ，ｙ]> は整域であることを証明して下さい。
<fj[ｘ，ｙ]> は素イデアルであることを証明して下さい。
fj[ｘ，ｙ] は既約であることを証明して下さい。
C1の双対曲線は、草色で図示した。
C1 の双対曲線C1* の方程式 f1*[ｘ，ｙ]=0 を多様な発想で求めて下さい。
C2 の双対曲線C2* の方程式 f2*[ｘ，ｙ]=0 を多様な発想で求めて下さい。
今回は、俺達法線族からKARA【浮かび上がる】曲線に力点を置きました。（参考図）
俺達法線族 からKARA【浮かび上がる】曲線問題と命名します。
参考図の如く法線族を必ず描写し下を考察願います。
R2において、ｘ6 + 3ｙ2ｘ4 - 9ｘ4 + 3ｙ4ｘ2 + 6ｙ2ｘ2 + ｙ6 - ｙ4=0 (すこし高次ですが....)の集合
をCとする。
(1) Cの法線族の包絡線の代数曲線表示を多様な発想で求めてください。
(2) 代数曲線Cの各点(ｘ，ｙ)における曲率K(ｘ，ｙ)を求め、
C∋(ｘ，ｙ)--K-->K(ｘ，ｙ)=ｘ、ｙの函数∈R
において、その極値達をも求め、曲率円達をも求めてください.
(3) Cは、有理曲線であることを示し、得られた媒介変数表示の方から、Cの各点(ｘ(t)，ｙ(t))
における曲率を求め、曲率中心の媒介変数表示を求め、媒介変数を多様な発想で消去
し、(1)と一致することを確認してください。
(4) Cの法線族の包絡線の代数曲線をC1とし、C1の法線族の包絡線C2の代数曲線表示を
求めてください。
C、C1 、C2 の双対曲線 C*、C1* 、C2* を多様な発想で求めてごらんと、飯高先生。
飯高先生は、遊び心とめんせき（免責に非ず）が學生にも必要と、次のような易しいが獲る
ところも在る課題を出された。（平成２４年２月１３日付け）
C： 2ｘ2 - 2ｙ - 1=0 なる低次の易過ぎる n=2次曲線で申し訳ないが、その双対曲線C*を多
様な発想で求め、C*に内接する四辺形の面積S の最大値を求めよと、中高生にも意味がわ
かる問は入試に出ないので、やり甲斐が在るでしょうが、はやる気持ちを抑えて、次の易しい
問題を先ず解いて下さいと、飯高先生。（→ Hint ）
C* に内接し、各辺が座標軸に平行な四辺形の面積S の最大値を求めよ。（順天堂大・医）
これは面積を小中高大院で卒業叶わぬ例として、「面積の最大値」に触発され、産声をあ
げた問題です。
上は容易に解決したでしょう。その四辺形は、もとのCでは如何なる図形ですか？さて、此
処からがチャレンジ精神発露の問題です。（→ 順天堂大 院・医 を目指す學生向け）
長さ、面積、体積____,_____,.........は、悉皆の世界の人が考察し續ける永遠に消滅しない課題
です。（→参考動画）
試しに、上の C： 2ｘ2 - 2ｙ - 1=0 なる低次の易過ぎる n=2 次曲線で申し訳ないが、その
双対曲線C*を多様な発想で.....。
S：＿＿＿＿＿＿なる低次の易過ぎる n=2 次曲面線で申し訳ないが、その双対曲面 S*を
多様な発想で.....。
と、たった1次元あげた問題を自作し、（順天堂大 院・医）のような問題を自作し、指導いた
だいた教授に解いて下さいと懇願して下さい。
「2円と共通接線に関連する性質」は、幼稚園・小学・中學・高校で作図も容易で既習。高
校では如何なる指導が為されたか想起して下さい。（平成２４年２月１３日付け）
斯様に、2曲線C1、C2の共通接線は、のりのりで解いてしまう。
【このweb siteをご覧の方々へのお願い】
次のC1、C2の共通接線の問題を、高等學校で指導される発想で、先ず、解いて下さい。
C1： ｘ3/3 - ｘ - ｙ3/3 + ｙ - 1/3=0 C2： (ｘ - 4)2 + ｙ2 = 1 の共通接線を求めて下さい。
「デカルトの精神と代数幾何」で具現されている曲線の双対化を讀まれたことでしょう。未
だ未購入なら、すぐ購入して、上で解いたC1、C2の共通接線の問題を双対の視座で、必ず
解いて下さい。
問題にすぐとりかかって下さい。C2 の方は、2次曲線なので、飯高先生の講義で云われた
発想でお願いします。C1の方は、どんな発想でもご自由です。多様な発想で是非願います。
（参考） 「曲線外から引いたグラフの接線の小手技」、「Commutative algebra」
問題 19番の曲線を、問題 20番の曲線に差し替えて、法線族の考察をも。
（平成２４年２月１４日付け）
「べき関数」と [0，∞)∋ｘ---fn---> ｙ=ｘn∈fn[[0,∞)](⊂R) の逆函数として、累乗根（指
数の拡張場面で）を説明される方は多いでしょう。此れを手書きのグラフで説明しても、例え
ば、ｘ--->ｘn (n=2、4、6、8、...) の逆函数の存在は理解される。（平成２４年２月１４日付け）
与えられた代数曲線曲線Cの法線族を沢山描いて浮かびあがった代数曲線曲線U(C)の
方程式を求め、其の双対曲線U(C)*を求めたい。手書きのグラフで説明して済むケースを
上で云いましたが、飯高先生の真似をします。
C： ｙ=ｘ2 の双対曲線は（黒板に手書きで）講義し、學生はきちんとノートに写していたので
良くできていた。Cの法線族を沢山描いて浮かびあがった代数曲線曲線U(C)の双対曲線
U(C)*はなんとか求めた人がいた。
手書きで酷似のC： ｙ=ｘ4 の双対曲線を求めなさいなる計算問題程度なら、嬉々として解決
するだろうと期末試験に出したところ、少人数ではあるが、出来ていた。易しいので、ちょっと
平行移動し、C： ｙ=(ｘ-1)4+1 の場合も問うたが、何故か出来がよくなかった。（射影化までは
できていた)
C： ｙ=ｘ4 の法線族を沢山描いて浮かびあがった代数曲線曲線U(C)の双対曲線U(C)*は誰
ひとり導出した人が存在しなかった。（優劣がつけ難く、全員合格としたことは内緒です）
そこで、問題です。初歩的な代数曲線 Cn： ｙ=ｘn (n=2、4、6、8、...)の法線族を沢山描いて
浮かびあがった代数曲線曲線U(C)の双対曲線U(Cn)*を下を絶対視ないで、必ず導出過程
を明記し求めて下さい。
獲た双対曲線U(Cn)*を視て、なんとU(Cn)*の方はCnの微妙な差異をくっきり浮かび上がら
せるなと驚愕された筈です。まさに、想定の範囲外であったでしょう。
此処まで記して、私が導出した双対曲線U(Cn)*をグラフと共に激白しようと準備しておりま
したが、愉しみを奪うのもいけないことなので隠匿します。
参考図に初歩的な代数曲線 Cn： ｙ=ｘn (n=2) の法線族を沢山描いて浮かびあがった代
数曲線U(C)の双対曲線U(Cn)*は明記しています。
先ず、手書きで、ｙ=ｘ2 と差異のない ｙ=ｘ4 の双対曲線から是非。（→ 参考）
参考図を視て、ｙ=ｘ2 を ｙ=ｘ4 にかえただけか....。そこまで云うなら、やってみようと具現さ
れ、唱和なさるでありましょう。「この双対曲線の方程式は何次の方程式？」
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月１４日付け）
ｙ=f(ｘ) の法線族を双対変換した曲線をAと呼ぶ。
・Aの方程式は、ｘ=t での法線の方程式 ｘ+ｙf’(ｔ)=ｔ+f(ｔ)f’(ｔ) より
ｘ=-1/{ｔ+f(ｔ)f’(ｔ)} 、ｙ=f’(ｔ)/{ｔ+f(ｔ)f’(ｔ)}
から、ｔ を消去して得られる。
・Aを求める別の考えは、ｙ=f(ｘ) かつ ａｘ+ｂｙ+1=0 かつ f’(ｘ)=b/a により
resultant(ａｘ+ｂf(ｘ)+1，ａf’(ｘ)-ｂ，ｘ)
という風に、ｘを消去すれば、ａ、ｂの式として、Aを得る。
[どちらでも、ｘ+f(ｘ)f’(ｘ)≠0 を仮定している。ちなみに、ｘ+f(ｘ)f’(ｘ)＝0 を微分方程式として
解くと、円 ｘ2+ｙ2=k である。円の場合だと、確かに法線は包絡線を与えない...。]
・有る点(ｐ，ｑ)から、ｙ=f(ｘ)に引ける法線の本数は、ｐｘ+ｑｙ+1=0 と曲線Aの交点の個数とし
て分かる。
・A*の方程式は、ｘ+ｙf’(ｔ)=ｔ+f(ｔ)f’(ｔ) を t の方程式と見て、判別式を計算することでも得ら
れるのであった。
（A*は、点から引ける法線の本数が変わる境界線＝法線を求めると重解を持つ点の軌跡）
・法線たちは、曲線A*に接する。曲線A*は法線の包絡線。
・また、A*は、曲率円の中心の軌跡：縮閉線でもある。（→参考：「包絡線」）
ｙ=f(ｘ) の曲率半径は、R=(1+f’(ｘ)2)3/2/f”(ｘ) であることに対応して、A*の式は、
ｘ=ｔ-Rf’(ｔ)/√(1+f’(ｔ)2) 、ｙ=f(ｔ) + R/√(1+f’(ｔ)2)
とも書けるということになる。
f(ｘ)=ｘn の時、Aの式は、ｙ(nｘ2+ｙ2)n-1=(-nｘ)n と書ける。A*の式は、ｎを使って書けるか
分からない。
n=2 のとき、 16ｙ3-24ｙ2+12ｙ-27ｘ2-2=0
n=3 のとき、 8748ｘｙ5-729ｙ4+20250ｘ2ｙ2-4800ｘｙ+9375ｘ4+256=0
・・・・・・・・・・・・
ところで、dR/dｘ=(n2(2n-1)ｘ2n-2-(n-2))√{ｎ2 + 1/ｘ2n-2}/n(n-1)
dR/dｘ=0 とおくと、 ｘ=±{(n-2)/ｎ2(2n-1)}1/(2n-2)
この値を、 ｘ=ｔ-Rf’(ｔ)/√(1+f’(ｔ)2) 、ｙ=f(ｔ) + R/√(1+f’(ｔ)2) の ｔ に代入して得る ｘ、ｙ
が、A* の尖点の座標になると思う。
以下は、飯高先生の講義受講者に、以下のような問達を高校生に教え、學費を稼いでく
ださいと云われた例です。（平成２４年２月１４日付け）
代数曲線とは限らない曲線C上を運転しながら、運転経験者は誰もが備えていると云う
「Frenet動標構(Frenet moving frame)」で、接線方向は大人でなくても視るが、法線方向も
視る目が横についていて、例えば、限りなく易しいCn： ｙ-ｘn=0 上を運転しながら、俺達法線
族から浮き上がる曲線U(C)も刻々視えてると大人。
東京理科大の(1) の(c)は、運転する大人が常備携帯していると云う「Frenet動標構(Frenet
moving frame)」で解り過ぎる程わかっていると云う。
何故そんなに自明と大人は云うのですかと高校以下の學生が問うたら、次の各問をきちん
と解けば、より微に入り細を穿つことが叶うと。
(1) C： ｙ-ｘ2=0 の各点に於ける曲率を求めなさい。C∋(ｘ，ｙ)--->k(ｘ，ｙ)=____∈R
(2) 先ず、直観で大人でなくてもわかる ｙ-ｘ2=0 の一番曲がっている点を知らぬ存ぜぬふ
りを し、k(ｘ，ｙ)を一回微分することにより求め、R∋ｘ--->k(ｘ，ｙ)=k(ｘ，ｘ2)∈R のグラフ
も描いて求めて下さい。最高値=________。そして、Cとそのときの曲率円を共に描いて下
さい。
別の視座から、これを求めたい。
俺達法線族から浮き上がる曲線U(C)の方程式 F(ｘ，ｙ)=0 を導出過程も明記し求めて下さ
い。そして、F(0，ｙ)=0 が3重解ｙ0をもつことを確かめ、(0，ｙ0)を中心とする円で、 ｙ-ｘ2=0 に
接する円を求め、Cと共に描いて下さい。
これほどCに、その点で密着する円は他にない。大人の運転者は、点(0，ｙ0)も密着する円
も、その刹那知悉だっ!と宣う。
(3) 東京理科大の(1) の(c)を、大人の運転者が運転しながら解く、ながら族の視座で解い
て真剣に遊びたい。
F(ｘ，ｙ)=0 と ｙ-ｘ2 の交点は、私が図示したように２つ在る。其れの左の点を通る法線族の
一つNLを求め、NL と ｙ-ｘ2=0 の右の交点のｘ座標が、東京理科大の(1) の(c)の答えと同じ
理由を記述して下さい。
俺達法線族から浮き上がる曲線U(C)：F(ｘ，ｙ)=0 には特異点S(P)が一つ在る。
（全ての大人の運転者は常に運転中に、かなり数多な特異点達を視ていると宣う）
その点S(P) に於いて、接線が存在しないと云うと、S(P)が嘆く。可哀想なので、接線を２つ
求めて下さい。T1：_____=0、T2=______=0
他方、R∋ｘ---->k(ｘ，ｙ)=k(ｘ，ｘ2)∈R のグラフには明らかに変曲点達が在る。それらを求
め、T1、T2 との関わりを記載願います。
以上、ｙ-ｘ2=0 、F(ｘ，ｙ)=0 、k(ｘ，ｙ)=k(ｘ，ｘ2)∈R のグラフ、T1、T2 を同一R2にグラフ化し
て下さい。（それぞれの対称美に惹かれるでしょう)
「Magma Calculator」には、ケチらない挿入欄が在る。工夫し、上のグラフ化が為されるか
試して下さい。
{x^2, 2/(1 + 4*x^2)^(3/2)} なら、「Wolfram|Alpha」でも叶う。
上の各考察を、今度は、ｙ-ｘn=0 (n=4) の場合に長時間かけて為して下さい。
参考図と、殆どを私も為しましたので、ｙ-ｘ2=0 との相違点にご留意願います。
今回の俺達法線族から浮かび上がる曲線の数多の特異点について、命に関わるので造
詣が深い。
以下は、飯高先生の講義受講者に、以下のような問達を高校生に教え、學費を稼いでくだ
さいと云われた例です。（平成２４年２月１５日付け）
Cn： ｙ-ｘn=0 （n=5）について、空舟様に具現いただきました。グラフ化を、それぞれの環境
で為すと、Cn： ｙ-ｘn=0 （n=5）の俺達法線族から産声をあげる曲線が浮かび上がり、空舟様
に具現いただきました 5+７ 次の代數曲線になるでしょう。
懐疑精神をデカルトの真似をして発露して、この 5+７ 次の双対曲線をも必ず求めて驚愕
し、その先の難攻不落の壁に挑みましょうと、飯高先生。
ところで、數學者は、すぐ座標環の商體をすぐ定義されるが、如何なる利点が、その定義
に在るのでしょうか？
Cn： ｙ-ｘn=0 （n=5）の俺達法線族から産声をあげる曲線が浮かび上がりについて、空舟様
に具現いただきましたことをグラフ化してみました。ひと目で問題が分かるよう色分けもしまし
た。各自の発想で、ｙ=ｘ5 の俺達法線族から産声をあげる代数曲線の方程式を求め、その双
対曲線を愉しんで求めて顛末を投稿して下さい。（平成２４年２月１６日付け）
俺達法線族から産声をあげる代数曲線には特異点が在ることは自明。その理由を噛み砕
いて説明を為し、微分幾何學履修者には計算で明確に尖点と云う特異点達が在ることを示
すよう促し、射影幾何と代数多様体の履修者には、それは双対曲線に反映し、____点が二つ
在るから自明と。
青線を運転する人は誰でも一瞬、居眠り運転可能な点が２つ在ることを知悉。「デカルトの
精神と代数幾何」に、このような特異点について（著者 飯高茂 諸氏）記載されておられる
ページを例と共に記してください。
もう黒色の曲線が何かを全然隠匿せず暴露したようなものですが、正確に、その方程式を
記して下さい。特に、最後の問は、飯高先生が微分幾何學履修済の學生に是非愉しんでと
声を大にして所望された問題です。参考図に、カルビー型の問題群と喝破しましたが、手書
きで、ｙ=ｘ3、ｙ=ｘ7、ｙ=ｘ9、....、ｙ=ｘ2013、.....も大差ないような問題群なんて、やる意義が存在し
ないと.........、参考図の易しい19 から産声をあげる。
参考図と一番基本的な函数 ｘ---fn--->ｘn (ｎが奇数のとき、偶数のとき）を考察した。
（平成２４年２月１６日付け）
今度は、其れ等の線型結合の函数
ｘ---c[0]・f0 + c[1]・f1 + c[2]・f2 + c[3]・f3---> c[3]・ｘ3 + c[2]・ｘ2 + c[1]・ｘ + c[0]
等を考察したい。手始めに、梅村 浩 (多元数理科学専攻教授)先生が、わかり易い例とし
て例示されているn=３次函数をと覗く。
訂正を終えたので、参考図や４次函数（を觀た大人はそのような特異点達を視ない日は
ないと）に倣い、ｘ------4-1次函数------->ｘ3 + 6ｘ2 - 8 のグラフCから開始し、俺達法
線族からUkabiAgaru曲線U(C)の代数曲線表示を多様な発想で為し、次に、其の双対曲線
U(C)*を多様な発想で求め、(U(C)*)*がU(C)になるのは自明と云わず為して下さい。
そして、正確な特異点達を求め、色々論じて、レポートとして研究室の机上に提出して下さ
いと飯高先生。
多変数のNewton-Verfahrenを用いて、5回程度反復し、特異点達を計算実習室のPC で
求めなさいとも。続けて、云い忘れそうになったと體論で証明もしたが、梅村 浩 (多元数
理科学専攻教授)先生の Q[X]/<f[X]> について、f[X]=X3+6X2-8 の判別式の √[判別式]
は基礎體Qに墜ちることを示し、一つの近似解でない、真の解をαとすると、他の解もαの
二次式で具現されることを、學生さんA、B、Cにそれぞれ自分固有の発想で自明でも、黒板
にすぐ具現しなさいとも云われた。（→ 参考：「ガロア理論」）
March 1797 of C.F. Gauss’ diary に在る4次式についても、3次の例を本当に終えたら取組
むよう促されることは想定の範囲内と受講學生が自主的に取組む様子を視て目を細められ
る飯高先生。
「Magma Calculator」は、「-13 + 6*Sqrt[5] - 2*Sqrt[85 - 38*Sqrt[5]]」を受容してくださらな
いが、「-13 + 6*5^(1/2) - 2*(85 - 38*5^(1/2))^(1/2)」なら受け入れてくださる。
（平成２４年２月１６日付け）
g[ｘ]=3ｘ/4 -13/4+10(13ｘ2 - 4ｘ - 1)/(ｘ3 + 39ｘ2 - 13ｘ - 3) とする。
問(1) g のグラフと ｙ=ｘ のグラフを描き、交点のｘ座標の近似値を求めなさい。
「Magma Calculator」には、ケチらない挿入欄が在る。工夫し、上の函数gのグラフ化が為
されるか試して下さい。
(2) g[g[ｘ]]、g[g[g[ｘ]]] を求めよ。
(3) 上で求めた式に、ｘ=0 を代入し、「Magma Calculator」に助けてもらい、
「-13 + 6*5^(1/2) - 2*(85 - 38*5^(1/2))^(1/2)」の近似値と比較して思うところを述べよ。
「-13 + 6*5^(1/2) - 2*(85 - 38*5^(1/2))^(1/2)」の程度ならと「Wolfram|Alpha」に挿入し、
More digits を何度もクリックすると、Decimal approximation 欄が現れた。しかも、連分数表
示迄、大サービスで感激した。
(4) Q上、α[1]=-13 + 6*Sqrt[5] - 2*Sqrt[85 - 38*Sqrt[5]] と共軛な數をα[j]とする。
α[2]=______________________________,α[3]=_______________________,..... を求めなさい。
そして、α[2]をα[1]の有理係数の多項式で表しなさい。
（手ごわそうな問題だが、飯高先生の體論を受講していたので、解けそうな気分になった。
次回までにやってくるからと言い残し 去ろうとすると、実は未だ問題が在ると高校生。）
(5) g[ｘ]=ｘ の解をαとするとき、他の解を有理係数の有理式で表しなさい。
宮西先生の「判別式と終結式」における、シルベスター行列を用いてのパラメータ表示され
た平面代数曲線のパラメータ消去は実に強力です。（平成２４年２月１７日付け）
シルベスター行列を用いて、
ｘ =1/(3t2 + 78t - 13)・(-16t9 - 1872t8 - 72384t7 - 900288t6 + 952224t5
- 101088t4 - 111294t3 + 7527t2 + 5616t + 435)
ｙ=(28t6 + 2184t5 + 39780t4 - 27280t3 - 3420t2 + 2184t + 93)/(4(3t2 + 78t - 13))
から関係式f[ｘ，ｙ]=0 を導出し(予想は___次の代数曲線）、k[X，Y]/<f[X，Y]>を考察願います。
代数曲線f[ｘ，ｙ]=0 には、特異点が在り、実際求めて、代数曲線 f[ｘ，ｙ]=0 のグラフを描く
と、それは、或る函数 R∋ｘ-----g---->g[ｘ]∈R のグラフの形状の高速道(曲率半径がと
ころどころに掲げてある)。
問： g[ｘ]を導出願います。そして、「判別式と終結式」の最後の記述を讀み、Q[X/]<g[X]> を
考察して下さい。
「研究成果」の方をこそ解読され、易しい事例で近づき易くして欲しい。
吉田輝義氏が、例示の n=2次達の対称美の「も解」は易し過ぎ...、例示の n=4次の 19 の
頃、ガウスの対称美の「も解」は難し過ぎ...。何故、吉田輝義.氏は、n=3 次の事例達で、対
称美の「も解」を語らないのでしょうか？
n=3 次なら知悉でしょうが、吉田輝義氏や 19 の頃のガウスの対称美の「も解」を、次の例
で具現して下さい。
以下の問題達を、高校生に大學入学後に繋がる ので解くように促した。
(1) ニュートン法で、３次方程式 8ｘ3 + 4ｘ2 - 4ｘ - 1=0 を解く（ことも為し）、
8ｘ3 + 4ｘ2 - 4ｘ - 1=0 の対称美の「も解」を語るのに手頃です。
(2) X3 - (69 + 5/8)X2 - (69 + 5/8 + 3)X - 1 = 0 即ち、X3 - 557X2/8 - 581X/8 - 1=0 も
対称美の「も解」を語るのに手頃です。
(未だ具現経験のない方へ一つの答え：αが解なら、σ[α] = （隠匿1）α2+557α/8+（隠匿2）∈Q[α] も解）
σ[σ[α]] を求め、これも解を示し、σ[σ[σ[α]]]を求め、これも解を示すべきです。
3次のを2問お願いしましたが、もっと容易な2次の際、対称美の「も解」を語るのに手頃なの
はないかと何も迷わず幾つか例を提示しますので、対称美の「も解」を語って、高校生に聽か
せてやって下さい；
(3) 19ｘ2 + 1797ｘ + 321 =0 なら、 ｘ--->(-1797/19) - ｘ が吉田輝義氏が２つ例示し論じて
いる。それでよいことを証明して下さい。
(4) Z2 + (2 + 3・I)Z + (69 + I) なら、Z--->α - Z で不変となるαを自力で求めなさいと學
生が高校生に。再読すると、吉田輝義氏が、有理式も解と、易しいα/7 ∈Q(α)も解と
記述されている。
(1)(2)(3)(4) について、有理式も解と、有理式∈k(α) を必ず導出して下さい。
ｎ=2、3 なら、高校で教師が (1)(2)(3)(4) は軽く解決されるでしょう。
(未だなら、先生に必ず解決をお願いしてください）
いよいよ、n=4 次です。n=4 次の部分を何度も何度も深読みをされ、やさしく解説を（飯高
先生にも）お願い致します。
式=1/(α2 - α - 2) - 1/(α2 + α - 2) + 1/(α2 - 2α + 1) - 1/(α2 + 2α + 1) の通分
の好きな方は存在しないでしょう。（平成２４年２月１８日付け）
通分したいなら、「Wolfram|Alpha」に挿入し、「//Simplify」を付与し依存を．．．。
何が私をして、このようなことをお願いせしめたか吐露致します。
3次方程式 ｘ3 - 3ｘ + 1 = 0 の１つの解を α とするとき、
1/(α2 - α - 2) - 1/(α2 + α - 2) + 1/(α2 - 2α + 1) - 1/(α2 + 2α + 1) = 2
となるそうなのですが、どう計算すればよいのでしょうか ?
と悩みを世界に激白された方に遭遇したからです。
「x^3 - 3*x + 1 = 0 」を「Wolfram|Alpha」に挿入しと、依存症は推奨します。上記で、
「吉田輝義氏が、例示の n=2次達の対称美の「も解」は易し過ぎ...、例示の n=4次の 19 の
頃、ガウスの対称美の「も解」は難し過ぎ...。何故、吉田輝義.氏は、n=3 次の事例達で、対
称美の「も解」を語らないのでしょうか？」
と申しましたが適例です。3次方程式 ｘ3-3ｘ+1=0 の１つの解をαとするとき、先ず、対称美
の「も解」を語って下さい。（「も解」は、吉田輝義氏に倣い、整式と真の有理式の双方を！）
そして、上記の悩みについては、発想1、発想2、発想3、発想4、.....等、其れがガロア理論
に向かわしめるよう誘惑し、更に悩むべく誘導になる解答をお願いします。
次のような ｎ=3+1 次の事例について、
（イ） √[2(43 + √[1173])] は、ｘ4 - 172ｘ2 + 2704=0 の解であることを示し、
（ロ） ｘ4 - 172ｘ2 + 2704=0 の他の解を、√[2(43 + √[1173])] の3次以下の有理係数の多
項式で(更に有理式で）表しなさい。
（ロ）は、飯高先生の體論の講義を聴き、學生同士で論じたのに似ているので、解けそう
な気がしてきた。しかし 高校生向けに誘導した方がよいと考え、次のようにした。
（イ）は、√[2(43 + √[1173])] のQ上の共軛元を全て記しなさい。
ちょっと躊躇している様子が伺えたが、二重根号の問題だと気付き、非線型連立方程式
{ｘ + ｙ = 2・43、 ｘ・ｙ = 1173} を解けばよい。対称美が在るのですぐ解ける。先に、九九の
方のｘ・ｙ=1173 に目をつけ、「Wolfram|Alpha」に、1173 を挿入したところ、 3×17×23 と
云うので、17×(3×23) として、ｘ+ｙ=17+69=86=2・43 から、(ｘ-α1)(ｘ-α2)(ｘ-α3)(ｘ-α4)
を何も考えないで、ひたすら展開してと云うと、瞬時に、ｘ4 - 172ｘ2 + 2704=0 を導出されて
しまった。いよいよ出番と、ｘ4 - 172ｘ2 + 2704=0 の解をαとするとき、他の解をαの3次以
下の有理係数の多項式で表しなさい、と云う問題を高校生に投げかけて別室に移動し自分
の時間を確保しょうとした。ところが、30秒もたたぬうちに、「東大前期文系」の(2)の真似で
しょう、先生！と高校生が大學生に。
近頃の高校生は、3次の問題を自作して出すと、梅村 浩 (多元数理科学専攻教授)先生
の真似でしょう、先生！と。.
上の「ｘ4 - 172ｘ2 + 2704=0 の解をαとするとき、他の解をαの3次以下の有理係数の多
項式で表しなさい。」には、Hintをつけても獲るところをさほど失うこともないので、
σ[α]=α3/52 - 43α/13+ 隠匿 と、一部隠匿したHint を与えた。
（無論無視して自ら導出が望ましい）
σ[σ[α]] も求め、「も解」を確認し、σ[σ[σ[α]]] も求め、「も解」を確認し、
σ[σ[σ[σ[α]]]]も求め、「も解」を確認しなさいとも。
こんな設問が出来たのも、飯高先生の體論の講義のおかげと感謝した。
まだ、ガウスに倣い、他の解をαの3次以下の有理係数の有理式で表しなさい、と云う問
題がのこっているが、大學生自身が悩む問題なので、隠しておくことにした。
（逆に、こう高校生に質問されそう....)
「Magma Calculator」は、「-13 + 6*Sqrt[5] - 2*Sqrt[85 - 38*Sqrt[5]] 」を受容してくださ
らないが、「-13 + 6*5^(1/2) - 2*(85 - 38*5^(1/2))^(1/2) 」なら受け入れてくださる。
飯高先生の體論を受講中なので、ガウスの倍の次数について、例えば、
ｘ8 - 412ｘ6 + 42606ｘ4 - 1293580ｘ2 + 7225 = 0
についても、「東大前期文系」の(2)の真似でしょう、先生！と高校生が大學生に云うことは、
想定の範囲内であるが、出題した。
ｘ8 - 412ｘ6 + 42606ｘ4 - 1293580ｘ2 + 7225 = 0 の解をαとするとき、他の「も解」達を、
σj[α]∈Q[α] (次数は、7次以下に制限する）で表してください。
σ1[α]=-α
σ2[α]=α
σ3[α]=（隠匿１）α7-42739α5/612000+4429487α3/612000-81267343α/367200+（隠匿2）
σ4[α]=-σ3[α]
σ5[α]=
σ6[α]=
σ7[α]=
σ8[α]= (8-4=4つも答えをほぼ明記しました！）
無論、σ3[σ3[α]] やσ4[σ3[α]]=σj[α] (なる j を求める）等も調べること。
参考資料には、反復すると、αに戻るという重要な指摘が在る。各σjについて反復して、
元に戻るときの位数を必ず求め、ガロア群の構造を記載してください。
参考資料も高校生に提示していたので、今回の次数を視て、家に来る先生は、ガウスを
遥かに凌駕していると學校で言い触らす筈。
吉田輝義氏は、外国で何度かガロア理論の講義を為されたようで、同じテキストを使われ
たことはないご様子。ただ、一番最初の導入部では、資料のようなn=２次方程式で、
Q[X]/<X2-6X+9> = Q(α)
|
Q α=X+(X2-6X+9)Q[X]--σ-->σ[α]=6-α--σ-->6-(6-α)=α
なるσ・σ=Id がよほどお気に入りらしく、諸外国の講義で必ず云われる。もうひとつ：
ｘ=X+(X2-3X-5)Q[X]--σ-->σ[ｘ]=3-ｘ--σ-->3-(3-ｘ)=ｘ (ちっとも不思議ではない!)
現代思想2011年4月号 特集=ガロアの思考 若き数学者の革命 [ムック] 上野健爾・吉
田輝義 (著) にも、
ｘ=X+(X2-2X+5)Q[X]--σ-->σ[ｘ]=2-ｘ--σ-->2-(2-ｘ)=ｘ (ちっとも不思議ではない!)
が在る。真似は幾らでも叶うが.....。
そして、なんと吉田氏は、3次をとばして、4次のガウス日記から：
f[ｘ]=ｘ4＋52ｘ3−26ｘ2−12ｘ＋1
Q[X]/<f[X]>
|
Q 吉田輝義氏&ガウス曰く：(無論、Xとｘは大違いです！)
ｘ は、商環Q[X]/<f[X]>の元で、 f[X+f[X]Q[X]]=_____ です。
また、體論の學習者は必ず此れに遭遇される。例えば、
「GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010」を味読し、『その時、自分の學習史が動いた』筈
です。
ｘ=X+f[X]Q[X]--σ-->σ[ｘ]=(1 - ｘ)(1 + 3ｘ)/(-4ｘ2)--σ-->σ[σ[ｘ]]=_______
σ[σ[ｘ]] を下を視ないで求め、「これも解」であることの証明を！
此処まで書いてあれば、f[σ[ｘ]]=f[(1 - ｘ)(1 + 3ｘ)/(-4ｘ2)] の分母、分子の因数分解ほど
易しいものはなく具現して下さい。ｘが解なら「σ[ｘ]も解」は瞬時にわかる。
「σ[σ[σ[σ[ｘ]]]] も解」であることの証明をして下さい。σm[ｘ] をどんどん求め、当然何
時かはもとの黙阿弥に。
飯高先生出題に酷似：ｙ=ｘ/(ｘ+5) と ｙ=ｘ4 の双対曲線を媒介変数表示から開始し、各点
に於ける接線を求め、X・ｘ+Y・ｙ+1=0 ---> (X，Y) と略すことなく具現し、CとC*の代数曲線
としての代数幾何學らしく表示をなしグラフ化しました。（平成２４年２月１９日付け）
「平面曲線の幾何」は以前も申しましたが、媒介変数表示から素早く曲線達の姿を眼前に
掲載され、（K[X，Y]/<f[X，Y]> ｘ=X mod(f)，ｙ=Y mod(f) 53pをじっくり味わい）、f[ｘ，ｙ]=0 表
示が為されていない！ので代数曲線としての代数幾何學らしく表示を為したのです。
「東大前期文系」から出発し、量産態勢に入れりに倣い、5問作成し、高校生に解くよう促
す飯高先生。「東大前期文系」から、もう17個類比の問題を気楽につくり、別の高校生達に
解くよう促す飯高先生。
吉田輝義 氏が例示のn=2次達の対称美の「も解」は易し過ぎ....。例示のn=4次の19才の頃、
ガウスの対称美の「も解」は難し過ぎ...。何故、吉田輝義 氏は、n=3次の事例達で、対称美の
「も解」を語らないのでしょうか？について、飯高先生の體論講義に絡み自學した 命題。
（平成２４年２月２３日付け）
i +
の最小多項式を、{{0, 1, 1, 0}, {-1, 0, 0, 1}, {2, 0, 0, 1}, {0, 2, -1,
0}}を「Wolfram|Alpha」に挿入して獲てください。
n=3次の梅村 浩 多元数理科学専攻教授の事例で対称美の「も解」をと高校生に、次の如
く発想を限定し解けるよと、以下を個人教授した。
f[ｘ] = ｘ3 + 6ｘ2 - 8 について、 a[0] + αa[1] + α2a[2] の正則表現を為し、
(a[0] + αa[1] + α2a[2])・1 、(a[0] + αa[1] + α2a[2])・α 、(a[0] + αa[1] + α2a[2])・α2
MatrixForm[{{a[0], a[1], a[2]}, {8*a[2], a[0], a[1] - 6*a[2]}, {8*a[1] - 48*a[2], 8*a[2], a[0] - 6*a[1] + 36*a[2]}}]
Det[% - x *IdentityMatrix[3]]
なるCharacteristic polynomial を求め、其れがf[ｘ]と不変を要求し、
{α， -α2/2 - 3α - 2， α2/2 + 2α - 4} なる「も解」を獲た。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月２３日付け）
なるほど！ａ+ｂα+ｃα2 の最小多項式がf(ｘ)と等しいという考え方ですね。（3変数の
非線形連立方程式です。）...それなら以前あったように、
resultant(y^3-6*y^2+8,x-(c*y^2+b*y+a),y);
で同じものを得ますね。3次以上の方程式でも、この方法で「も解」を求められそうです。
（非線形連立方程式が有理解を持てば）
大學生に上を提示され、高校生は行間を埋め理解した様子であった。そして、上気した様
子で問題を下さいと大學生にせがんだので、學生は、高校生に今度は上の発想の真似を本
当に為し、「東大前期文系」の(2) を、上の発想に限定し解くように促した。
高校生になりすまし、a[0] + αa[1] + α2a[2] の正則表現を為し、必ず解いて感想を記載
願います。（先ず、(0)初体験でしたか？、(1)やり甲斐を感じましたか？etc ....)。
何時も學生さんが多様な発想でと自由を与えてくれていたのに、今回は、正則表現を為し
云々の発想のみに限定している 意図を忖度しようと高校生は考えている様子であった。
正則表現なる実例を上で學んだ高校生が行列の学習中邂逅したことがあるぞと叫んだ。
その邂逅例達を記載願います。
今回は、他の視座から「も解」を解けたと上気した様子で、今までの数多な「も解」を、この
視座から解き始める方は多いと思います。例えば、
f[X]=2401X4 - 380730X3 + 36312234X2 - 3665483262X + 227848285809 の解を
α=X+f[X]Q[X] とするとき、
Q[X]/<2401X4 - 380730X3 + 36312234X2 - 3665483262X + 227848285809>
|
Q
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月２３日付け）
A、B、C を w の多項式として、
(X-A)(X-B)(X-C)≡f(X) mod (wの対応する円分多項式)
と書いた時、wの多項式をw進数とみなすことができる。
例えば、上記の X3+6X2-8 については、その解が、１の原始９乗根を使って
X≡2w8+2w6+2w3+2w 等 (mod w6+w3+1)
と書けることから、X3+6X2-8≡(X-202002020)(X-22002200)(X-2222000) (mod 1001001)
を得ます。(*)
w=1 とおくことで、 X3+6X2-8≡(X-8)3≡(X+1)3 (mod 3)
w=2 とおけば、 X3+6X2-8≡(X-660)(X-408)(X-240)≡(X-3)(X-43)(X-21) (mod 73)
w=3 とおけば、 X3+6X2-8≡(X-14640)(X-5904)(X-2160)≡(X-257)(X-605)(X-646)
(mod 757)
等を得られます。(w=10とおくと、(*)そのものです。)
逆に、解の原始ｎ乗根表記や、(*)のような表記が直接分からない時に、原始ｎ乗根表記や
(*)のような表記を求められないか興味があります。
f(X)≡0 が3重解をもつような法ｍはいくらか限られます。
（f’(X)≡0、f”(X)≡0 と連立させることで条件を得ます。今回のf(X)では、
X3+6X2-8≡0 、3X2+12X≡0 、6X+12≡0 によって、
X3+6X2-8≡(x+2)3 (mod 2、4) 、X3+6X2-8≡(x-2)3 (mod 3、6) に限られると思います。）
(*)に対応する円分多項式は、それに1を代入した値がｍとなるものに限られます。円分多
項式Φn(ｘ)にｘ=1を代入した値は、
ｎ が(素数ｐ)a の形なら、ｐ 、ｎ が複数の素数で割り切れるなら、1
（証明はたぶん易しいです。興味あればぜひ考察を...）
従って、ｍは素数でなくてはならず、ｎの候補は、ｍの累乗たちに限られます。
（今回のf(X)では、m=3、n=9）
しかし、候補は無限にあり、さらに絞り込む方法はまだ思い当りません。
f[X]=X3 + X2 - 4X + 1 について、
f[X]≡(X-1000100100010)(Y-1011010000)(Y-110000001100) (mod 1111111111111)
特に、f[X]≡(ｘ-4)3 (mod 13)
f1[Y]=31Y3 - 3775Y2 + 96934Y - 304985 について、
A=-1609/31、B=-1288/31、C=-878/31 とすると、形式的に
f1[Y]≡31(Y-ABBCACCACBBA0)(Y-BCCABAABACCB0)(Y-CAABCBBCBAAC0)
(mod 1111111111111)
特に、1進法で見れば、4A+4B+4C=-15100/31 であることから、
f1[Y]≡31(Y+15100/31)3≡31(Y+7/5)3≡31(Y+56)3≡31(Y+4)3 (mod 13)
ちなみに、「も解」は、
402751y2/9471679+1038577228y/293932049+5461521094/293932049 、
402751y2/9481679-1332509277y/293932049+30331817131/293932049
らしいです。
Q[X]/<f[X]> f[X]=X3 + X2 - 4X + 1
|
Q の「も解」から産声をあげた、次の f1[Y]=31Y3 - 3775Y2 + 96934Y - 304985 の「も解」
を既習の下の発想で求めて下さい。（平成２４年２月２３日付け）
Q[X]/<f1[X]>
|
Q σ1[α]=α 、σ2[α]= 、σ3[α]=σ2[σ2[α]]=
（発 想）
f[ｘ] = ｘ3 + 6ｘ2 - 8 について、 a[0] + αa[1] + α2a[2] の正則表現を為し、
(a[0] + αa[1] + α2a[2])・1 、(a[0] + αa[1] + α2a[2])・α 、(a[0] + αa[1] + α2a[2])・α2
MatrixForm[{{a[0], a[1], a[2]}, {8*a[2], a[0], a[1] - 6*a[2]}, {8*a[1] - 48*a[2], 8*a[2], a[0] - 6*a[1] + 36*a[2]}}]
Det[% - x *IdentityMatrix[3]]
なるCharacteristic polynomial を求め、其れがf[ｘ]と不変を要求
大學生に上を提示され、高校生は、行間を埋め、理解した様子であった。
f[X]=0 の「も解」から産声をあげた f1[X]=0 のように、f1[X]=0 の「も解」から f2[X]=0 を産み、
Q[X]/<f2[X]>
|
Q の「も解」を既習の上の発想で求めて下さい。
σ1[α]=α 、σ2[α]= 、σ3[α]=σ2[σ2[α]]=
高校生に教えて學費を稼ぎ親の負担を軽減するように飯高先生に促された學生が、上の
「も解」をあの発想で求めたのを見届けたのち呟いた。正則表現云々より、「数学セミナー
’１２ ２月号 グレブナー基底」絡みで解く方が深く學べるのだが...... と。
「現代の産業社会とグレブナー基底の調和」、「グレブナー基底の５０年」を読む學生は、
数多な助言を在学中飯高先生に求めるに違いない。先ず、飯高先生の代数幾何学へのグ
レブナー 基底適用例達を見せて下さいと。
吉田輝義 氏が例示のn=2次達の対称美の「も解」は易し過ぎ....。例示のn=4次の19才の頃、
ガウスの対称美の「も解」は難し過ぎ...。何故、吉田輝義 氏は、n=3次の事例達で、対称美の
「も解」を語らないのでしょうか？について、（平成２４年２月２４日付け）
3次の場合の以下の「a[0] + αa[1] + α2a[2] の正則表現を為し」は、どうやら高校生が習
得したようなので、いよいよ、n=4次に挑むよう飯高先生の體論受講者の學生が高校生に促
した。
手始めに、例示のあのn=4次の19才の頃、ガウスの f[ｘ]=ｘ4＋52ｘ3−26ｘ2−12ｘ＋1
Q[X]/<f[X]>
|
Q の「も解」から産声をあげた、次の「も解」を既習の下の発想で求めて下さい。
f1[Y]=1279262720Y4 - 3097231360Y3 + 366161920Y2 + 1501607680Y - 286862801
但し、発想は、正則表現を為 し云々に限定します。
「も解」から産声をあげたと學生がさらりと云っていますが、如何にして、f1[Y]を導出したの
か、高校生は其処も知りたくなった。高校生に教えてあげて下さい。
空舟さんの「 3次以上の方程式でもこの方法で「も解」を求められそうです。（非線形連立
方程式が有理解を持てば）」について、3+1次です。この発想で挑んで下さい。
Q[X]/<f1[X]>
|
Q σ1[α]=α 、σ2[α]= 、σ3[α]= 、σ4[α]=
（発 想）
f[ｘ] = ｘ3 + 6ｘ2 - 8 について、 a[0] + αa[1] + α2a[2] の正則表現を為し、
(a[0] + αa[1] + α2a[2])・1 、(a[0] + αa[1] + α2a[2])・α 、(a[0] + αa[1] + α2a[2])・α2
MatrixForm[{{a[0], a[1], a[2]}, {8*a[2], a[0], a[1] - 6*a[2]}, {8*a[1] - 48*a[2], 8*a[2], a[0] - 6*a[1] + 36*a[2]}}]
Det[% - x *IdentityMatrix[3]]
なるCharacteristic polynomial を求め、其れがf[ｘ]と不変を要求
大學生に上を提示され、高校生は、行間を埋め、理解した様子であった。
f[X]=0 の「も解」から産声をあげた f1[X]=0 のように、f1[X]=0 の「も解」から f2[X]=0 を産み、
Q[X]/<f2[X]>
|
Q の「も解」を既習の上の発想で求めて下さい。
σ1[α]=α 、σ2[α]= 、σ3[α]= 、σ4[α]=
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月２４日付け）
現象の回避は、無理でした！
「Characteristic polynomial を求め、其れがf[ｘ]と不変を要求し」について、
4次式の場合は、係数比較が、1、2、3、4次の連立非線形方程式で、延べ24次、これは、
3変数の時の延べ6次と比べて圧倒的、やはり非線形は手ごわい。
ところで、 f[ｘ]=ｘ4 + 2ｘ3 - 6ｘ2 + 20ｘ + 100 について、
f≡(ｘ-129)(ｘ-69)(ｘ-2870)(ｘ+3070) (mod 9901)
ＨＮ「土筆の子」さんが、Mathematica のＶer．８ の使い方を研鑽中とのことで、
f[ｘ]= ｘ3 + 6ｘ2 - 8 の解αに対して、G[α_] = -2 - 3α - (1/2)α2 とおくと、
Gn[α] (ｎ∈N) もみんな解！との報告が在りました。（平成２４年２月２４日付け）
下位ver で、f[X]の次数が最低のn=2次の場合の報告は、私が為します。
吉田輝義氏は、外国で何度かガロア理論の講義を為されたご様子で、同じテキストを使わ
れたことはないご様子。ただ、一番最初の導入部では、参考資料のようなn=２次方程式で、
Q[X]/<X2-6X+9> = Q(α)
|
Q α=X+(X2-6X+9)Q[X]--σ-->σ[α]=6-α--σ-->6-(6-α)=α
なる σ・σ=Id がよほどお気に入りらしく 諸外国の講義で必ず云われる。
最近、ＨＮ「土筆の子」さんから有難いコメントをいただきました。謝謝！
（平成２４年２月２５日付け）
「平面曲線の幾何 」（共立講座 21世紀の数学 第18巻） (ISBN4-320-01570-3) 飯高 茂 著」の一番易
しい R∋t-------->(ｘ，ｙ)=(ｃｏｓ２ｔ，ｃｏｓ３ｔ)∈R2 を飯高先生の有理曲線表示とは異なる
表示をします。
R∋t--->(ｘ，ｙ)=((t4 - 6t2 + 1)/(t2 + 1)2， (-t6 + 15t4 - 15t2 + 1)/(t2 + 1)3)∈R2
これから t を消去し、平面代數曲線の代數幾何學にふさわしく、代數曲線k[X，Y]/<f[X，Y]>
を前面に押し出したい気持ちを誰しも抑えきれない。
（と云うのも、時代の制約か、飯高先生は為さらず、媒介変数表示のみを重宝され書籍出版）
「判別式と終結式」の例示に倣い、此れ(即ち、t を消去)を必ず為して下さい。
ただ分母をはらっただけ（にみえてもしょうがないが）
{ｘt4 - t4 + 2ｘt2 + 6t2 + ｘ - 1， ｙt6 + t6 + 3ｙt4 - 15t4 + 3ｙt2 + 15t2 + ｙ - 1}
から生成されるイデアルI1が嬉しく豹変し、
I2={-4ｘ3 + 3ｘ + 2ｙ2 - 1， ｙ2t2 + ｙt2 + 8ｘ2 + ｙ2 + 4ｘ - 4ｘｙ - 5ｙ - 4，
2ｘt2 + ｙt2 - t2 - 2ｘ + ｙ + 1， ｙt4 + t4 + 4ｙt2 - 14t2 - 8ｘ + 3ｙ + 5}
になることを導出し、この最初に、なんと t が 存在しない。
f[ｘ，ｙ]=-4ｘ3 + 3ｘ + 2ｙ2 - 1 を用いて、代數曲線k[X，Y]/<f[X，Y]> を考察し、その双対曲
線 C* の方程式f*[ｘ，ｙ] = 0 を多様な発想で（導出過程を明記し）導出願います。
そして、108p に飯高先生が媒介変数表示の方から描かれた双対曲線を視て、自分の間
違いか飯高先生の間違いか、否、双方とも間違いがないかを少し悩んで、
１．３ Ｃ 曲線とチェビシェフ曲線の一番易しい R∋t---->(ｘ，ｙ)=(ｃｏｓ２ｔ，ｃｏｓ３ｔ)∈R2 の
次の R∋t---->(ｘ，ｙ)=(ｃｏｓ３ｔ，ｃｏｓ４ｔ)∈R2 の双対曲線を上の如き考察を為し具現して下
さいと、學生に促された高校生が理解し難い箇所が、「嬉しく豹変し」にあったと、大學生は
高校生に云わしめたいが、大學生自身にとって最大の難関で、高校生に問われても即答と
はいかぬので云わずに心に留めて家庭教師先をお暇し自室で悶々とし明日以降の自らに
課す課題とした。
次の3次と6次について、
f1[X]=X3 - 63X/4 - 63/4 、f2[X]=X6 - 189X4/2 + 35721X2/16 - 35721/4
3次の方は、「梅村 浩 先生 眠りから覚めた微分ガロア理論」や「東大前期文系」の(2)
達の真似だろうと高校生。（平成２４年２月２８日付け）
それはもう想定の範囲内であったが、σ2[α]をどんな発想でもよいから求めてと云うと、
σ1[α]=α 、σ2[α]=（1/4）(2α2 - 5α - 21) を求めた。 σ2[σ2[α]]=
σ2ｎ (n∈N) を求めてと所望すると、 {σ1[α]，σ2[α]，σ3[α]} を亘り歩くのは自明と
高校生。(大學生は換言した。方程式のガロア群が巡回群）
では、3次が辟易なら、倍の6次 f2[X]=X6 - 189X4/2 + 35721X2/16 - 35721/4 で。
6次の方のは、σ3[α] をどんな発想でもよいから求めてと云うと、
σ1[α]=α 、σ2[α]=-α 、σ3[α]=（1/6）(-2α2 + 3α + 63) を求めた。
σ3ｎ (n∈N) を求めてと所望すると、高校生が具現したが、
{σ1[α]，σ2[α]，σ3[α]，σ4[α]，σ5[α]，σ6[α]}
を亘り歩くか懐疑精神をいだき始めた高校生...。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月２８日付け）
上記について、全体巡回である、すなわち、
位数６のものがある ⇒ 位数２のものは１つしか存在しない
いま、σ2[α]=-α は、位数２であるが、αをα~（αの共役複素数）にする多項式も位数２で
あろう。したがって、位数６のものは存在しないはずである。
12の剰余類1、5、7、11の乗法群は、位数4のものは存在しない。5、7、11のいずれも2乗
だけで1と合同になってしまう。
同じ合成数でも、18の場合、例えば、5が位数6となり、5^(1,2,3,4,5,6)は、1,5,7,11,13,17を
"亘り歩く"ことができる。
先の考察を応用すると、1+N/2 がNと素であるような時は、すなわち、Nが4で割り切れる
場合は、12と同様だろうと分かります。
[ N-1は自明な位数2の元であるが、N=4k とすると、(1+N/2)2=1+N+N2/4≡1+kN≡1 も位
数が2となる]
逆もなんとなく正しそうですが、検討が必要です...。(追記：全然正しくないです．．．。)
方程式の解の巡回についても、解の1の原始ｑ乗根表示をしたときに、ｑが4の倍数になる
なら、解は全体巡回できないのではないかと思います。上記の逆が正しいなら、こちらも逆
が成り立つと思います。
「出会いの泉」に別の例があります。
f[ｘ]=ｘ4 + 2ｘ3 - 6ｘ2 + 20ｘ + 100 とする。f[ｘ]=0 の解αは、1の原始12乗根で表示されて
います。これは、4の倍数であるので、全体巡回できないと考えられます。
σ1[y]=y 、σ2[y]=-y3/15+y2/5-3y/5-10/3 = -5(y+2)/(y+5)
σ3[y]=y3/6-y+10/3 = -2(y+5)/(y+2) 、σ4[y]=-y3/10-y2/5+3y/5-2 = 10/y
σ2、σ3、σ4 はいずれも自身との２回の合成で、σ1になってしまいます。
{f[α] = 0， X = σ3[α]} から【シルベスター行列を用いる発想】で、αを消去しても解を示
し愉しんでくださいと高校生。(行列の出来る學生は頑張るぞと)
「神大理系」にも「も解」が導出法を隠匿し、「確かめなさいとする問題が在ります」が、これ
も {f[α] = 0， X = α2-2 }から【シルベスター行列を用いる発想】で、αを消去して「も解」を
示し愉しんでくださいと高校生。(行列の出来る學生は頑張るぞと)
空舟 様からいただいた件
「 12の剰余類1、5、7、11の乗法群は、位数4のものは存在しない。5、7、11のいずれも2乗
だけで1と合同になってしまう。
（平成２３年８月１０日付け）で、
Q[X]/((X15-1)/(X-1))*Q[X]=Q(α)=Q[α]
|
Q の解達を、Q[α]の元として（13次式以下に）表現することは容易だろう。
α14＝....＝-α7+α6-α4+α3-α2+1
（13次式以下に）と申しましたが、うんと低い次数で叶う理由は？（平成２４年３月１日付け）
Q[X]/((X20-1)/(X-1))Q[X]=Q(α)=Q[α]
|
Q の解達を、Q[α]の元として（19-1次式以下より、かなり低い次数）表現願います。
次数は何次でも構わないと見栄をはることが出来ますが、15、16、17、18、19 の頃は悩む
ので、今回は、19次を考察願いました。
上は、『大學生への高校生の逆襲問題』です。グラフ化し、丸見え状況に吐露願います。
（無論、色分けをし、世界の悉皆の人が、ひと目で分かる状況に．．．）
高校生は激白した。Theorem 10.7. (Galois group of cyclotomic extensions)絡みの模倣問
題ですよ!と大學生へ。大學生は、「Cyclotomic Extensions」等を學び始めた。
今回は、R[X]/<X2+1> に邂逅し、本当に驚愕した高１生に是非と願う問いです。
高校生に色分けした方程式の単位円上に並ぶ各解を具体的に示しなさいも惹かれる問い
と誘惑に負ける高校生が素敵。
問：草色=0、空色=0、黒色=0 の解達を中學生の時は全然解けなかったが、（指導者によ
り）進化した今なら解けるので是非解いて愉しんで下さい。（→ 参考：「Wolfram|Alpha」）
空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月１日付け）
f[X]=(X20-1)/(X-1) は、円分多項式によって可約で、
f[X]=Φ2(ｘ)・Φ4(ｘ)・Φ5(ｘ)・Φ10(ｘ)・Φ20(ｘ)
それぞれのΦk(ｘ)の「も解」たちが、f[X]の「も解｝となる。Φk(ｘ)の「も解」は、ｘq (ただし、ｑ
とｋが互いに素) であり、次数は、Φk(ｘ)の次数-1以下にできるでしょう。
ところで、あの F(ｘ)=ｘ4＋５２ｘ3−２６ｘ2−１２ｘ＋１ についての発見です。
ｘ を整数とする。F(ｘ)は、5N あるいは 5N+1型になる（4Nか4N+1でもある）が、F(ｘ)
の素因子は、2、5以外には 5N±1型の素数に限られる。
（空舟さんの追記） ｐとｑを互いに素とする。一般の多項式でも成り立つと思うが、F(ｘ)が
ｐで割り切れ、F(ｙ)がｑで割り切れる時、F(ｚ)がｐｑで割り切れるようなｚ
が存在することを指摘してみます。
上記を、検証中です。（平成２４年３月１日付け）
整係数多変数高次不定方程式(Diophantine equation）の具体例に遭遇しました。
（平成２４年３月１日付け）
代数曲線 ｋ[X，Y]/<f(X，Y)> f(ｘ，ｙ)=-ｙ3 - ｙ2 + 2ｘｙ + 21ｘ2 の双対曲線を多様な発想で
（導出過程を明記し）導出願います。
双対代数曲線 ｋ[X，Y]/<f*(X，Y)>k[X,Y]/<f^*(X,Y)> f*(X，Y)=____________________________.
有理写像Φ：C--Φ-->C* も求めて下さい。 Φ(ｘ，ｙ)=(_____________，___________)
Cの特異点 Sp を求め、その名称も記し、Φ(Sp)も求めて下さい。C*の特異点 Spj を求めて
下さい。（無論、複素数の対も）。
整係数多変数高次不定方程式(Diophantine equation）の具体例に格子点が明記されてい
る。各格子点に於けるCの接超平面：___・ｘ +___・ｙ +1 = 0 を直に求め、(__，__) が、f*(ｘ，ｙ)=0
を満たすことを確認願います。
非線型写像ΦによるCの像は無論C*ですが、例えば、楕円 ｘ2/32+ｙ2=1 の像を求めて下
さい。また、f(ｘ，ｙ)=-ｙ3 - ｙ2 + 2ｘｙ + 21ｘ2 を用いて、曲線 f(ｘ-69，ｙ-5/8)=0 の像を求め
て下さい。
f[X]=X9 + X8 - 8X7 - 7X6 + 21X5 + 15X4 - 20X3 - 10X2 + 5X + 1 と 2+7次を定義し、
（平成２４年３月２日付け）
Q[X]/<f[X]>
|
Q f[α]=0 即ち、αが解なら、α8 - 8α6 + （隠匿１）α4 - 16α2 + （隠匿２） も解。
吉田輝義氏&ガウス曰く：(無論、Xとｘは大違いです！) ｘ は、商環Q[X]/<f[X]>の元で、
f[X+f[X]Q[X]]=_____ です。また、體論の學習者は、必ず此れに遭遇される。
例えば、「GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010」を味読し、『その時、自分の學習史が
動いた』筈です。
α=X+f[X]Q[X]--σ-->σ2[α]=α8 - 8α6 + （隠匿１）α4 - 16α2 + （隠匿２）
他の「も解」達を、σj[α]∈Q[α] (9-1 次以下に制限)
(不本意ですが、一つ 全面隠匿せず、２ヶ所隠匿し明示します）ので表してください。
σ1[α]=α 、σ2[α]=α8 - 8α6 + （隠匿１）α4 - 16α2 + （隠匿２） 、・・・、σ8[α]=
無論、σ3[σ3[α]] やσ4[σ3[α]]=σj[α] (なる j を求める） 等も調べて下さい。
{σ2n[[α]| n∈N} を求め、亘り尽くすか、本当に調べて下さい。
他の「も解」達を、ガウスに倣い、αの有理式で表してください。
ρ1[α]=α 、ρ2[α]=(_______)/(_________) 、・・・、ρ8[α]=(_______)/(_________)
無論、σ3[σ3[α]] やσ4[σ3[α]]=σj[α] (なる j を求める） 等も調べて下さい。
空舟 様の
ところで、あの F(ｘ)=ｘ4＋５２ｘ3−２６ｘ2−１２ｘ＋１ についての発見です。
ｘ を整数とする。F(ｘ)は、5N あるいは 5N+1型になる（4Nか4N+1でもある）が、F(ｘ)
の素因子は、2、5以外には 5N±1型の素数に限られる。
（空舟さんの追記） ｐとｑを互いに素とする。一般の多項式でも成り立つと思うが、F(ｘ)が
ｐで割り切れ、F(ｙ)がｑで割り切れる時、F(ｚ)がｐｑで割り切れるようなｚ
が存在することを指摘してみます。
や「ｘ2+1 の形の整数の素因数は、２ または ４ｎ＋１型の素数であることを確認せよ。」のよ
うな問題に邂逅させていただいた。
空舟さんが「Ｎｋ問題（仮）」に取り組まれました。（平成２４年３月２日付け）
F(ｘ)=ｘ4＋５２ｘ3−２６ｘ2−１２ｘ＋１ について、2012からの結果を見ると、素因数が5N±1
ばかりだけでなく、20N±1型ばかりしか見当たらない。手頃な整数を入れてみても20N±1型
しか見当たらない。より強いことが言えるのかもしれない。
実は、似たことを円分多項式において既に考察しました。（→ 参考：「１が並んだ数」）
1がｋ個並んだ数をF(ｋ)とする。ｋが素数の時、F(ｋ)を素因数分解したかったら、
約数の候補は、Nｋ+1の形のみである。
そこでの議論を復習すると、[そこでは、ｘ=10 と固定している。]
・Φj(x)がｐで割り切れる j の集合は、j = Nm {N:自然数}の形
特に、素数 k が含まれていれば、j = Nk （m は、1/ｐ の最小循環節の長さを意味）
・素数ｐに対して、Φp-1(ｘ)は、ｐで割り切れる。（補足：ただし、ｘ≡0、1(mod ｐ)でない時に限る）
k が素数で、Φk(ｘ)がｐで割り切れる ⇒ ｐ-1 が k で割り切れる が言える。
（追加）
・ｋを素数とする。任意のｐ=Nk+1型の素数に対して、ある整数ｘがあって、Φk(ｘ)≡0 (mod ｐ)
なぜなら、φ(p)＝Nk だから、ａをｐの原始根、w≡pN とすれば、wk≡1 (mod ｐ) より、
Φk(w)＝(wk-1)/(w-1)≡0 (mod ｐ) となる。
あの4次方程式にも、同様の議論を応用できないだろうかと考え、自然に連想的にレムニ
スケート関数のk倍公式：su(ku)=...の式を、上記のΦk(ｘ)の代わりにしたらどうだろうと考えた。
（予想） 円分多項式の時と同様のことが成り立つのでは。
・ｘを固定する。円分多項式の時と同じように、ｘを固定すると、j倍公式(ｘ)がｐで割り切
れる j の集合は単項イデアル：j = Nm {N:任意の自然数} の形となる。
・ｐが素数の時、__倍公式(ｘ)がｐで割り切れる：空欄はちょっとまだ分からないです...
（まだまだいろいろ考察中.....）
Z/pZ (p=71) において、
{7, 11, 13, 21, 22, 28, 31, 33, 35, 42, 44, 47, 52, 53, 55, 56, 59, 61, 62, 63, 65, 67, 68, 69}
が原始根。.（確認を！)（平成２４年３月２日付け）
原始根以外 (例 17 の周期が短い) のを考察したい。17の冪を考察すべきで、此れを為
すと周期数列が誕生。(グラフも添えました）
(1) 漸化式を創り、其れを(無限次元）CNの部分空間Ker(P(E)) と把握し解いて下さい。
(2) 数列に対応する母函数を創ると、
(イ) (-ｘ9 - 46ｘ8 - 57ｘ7 - 66ｘ6 - 54ｘ5 - 70ｘ4 -25ｘ3 - 14ｘ2 - 5ｘ - 17)/(ｘ10 - 1)
となりますか？ならなければ修正願います。
(ロ）部分分数展開をすると、
(137ｘ3 - 154ｘ2 + 11ｘ - 128)/(5(ｘ4 - ｘ3 + ｘ2 - ｘ + 1)) - 71/(2(ｘ - 1)) + 71/(10(ｘ + 1))
となりますか？ならなければ修正願います。
（冪級数（べききゅうすう、power series）は多項式に似た級数の一種である。具体的には、可換環 R に対し、
R の無限列 ｛an｝ (n∈N) と不定元 ｘ から作られる形式的な級数.....）
(イ)を形式的冪級数展開し係数達を求めると、周期数列になっていることを確認願います。
(ロ)を形式的冪級数展開し係数達を求めると、周期数列になっているこを確認願います。
（常套手段の Principe de superposition の事例でしょう）
（→ 参考：「漸化式」） 「オンライン整数列大辞典」に
(3) 上の周期数列が存在するか調査をし、存在しなければ投稿する価値の有無を論じて下
さい。
(4) 原始根以外（例 17 の周期が短い）のを考察しましたが、他の数達を選択し（周期が長
いのや短いのを）上で論じた三位一体を具現して下さい。
(5) また、彼処に其の周期数列が存在するか調査をし、存在しなければ投稿する価値の有
無を論じて下さい。
「1,1,2,1,1,2,1,1,2,.....」で検索すると、研究者世界に数多存在。上の三位一体は體論のk上の
線型空間の講義の際、他の 講座で既習事項との絡みの例として適当だと飯高先生が學生
に投げかけられた問題群です。
空舟さんから「Ｎｋ問題（仮）」の続報です。（平成２４年３月２日付け）
レムニスケート関数sn(u)は難しい ので、まずは、snの代わりに真ん中にiを入れた三角関
数sinで考察しました。
sint=s、sin2t=ｘ とおいて、Tk(ｘ)=sin2kt とする。らすかるさんのＨＰを参考にして、
T1(ｘ)=ｘ 、T2(ｘ)=4ｘ(1-ｘ) 、T3(ｘ)=ｘ(4ｘ-3)2 、T4(ｘ)=16ｘ(1-ｘ)(1-2ｘ)2 、
T5(ｘ)=ｘ(16ｘ2-20ｘ+5)2 、T6(ｘ)=4ｘ(1-ｘ)(4ｘ-3)2(4ｘ-1)2 、T7(ｘ)=ｘ(64ｘ3-112ｘ2+56ｘ-7)2 、 .....
・加法定理により、Ta+b・Ta-b を展開すると、
Ta+b・Ta-b＝｛√Ta√（1-Tb）+√Tb√（1-Ta）｝2｛√Ta√（1-Tb）-√Tb√（1-Ta)｝2
＝(Ta(1-Tb)-Tb(1-Ta))2＝(Ta-Tb)2 を得る。
・Tk(ｘ)≡0 (mod ｐ) のとき、Tq(ｘ)≡T[Nk±q](ｘ) (mod p) 等が従う。また、Tk≡0 (mod p)とな
るkはイデアルをなすことも示される。
・Tk(ｘ) (mod ｐ)において、k=1、2、...とすると、いつかは同じ数字が現れる。
それをTa(ｘ)、Tb(ｘ)とすれば、Ta+b(ｘ)かTa-b(ｘ)は0に合同。
従って、任意のｐ、ｘに対して、Tk(ｘ)≡0 (mod p)となるkが存在する。
・limｘ→0Tk(ｘ)/ｘ＝limｘ→0(sinkｘ/sinｘ)2＝k2 すなわち、Tk(ｘ)のｘの1次の係数はk2である。
・dTk(ｘ)/dｘ＝-k・sinkt・coskt/（sint・cost） であるから、dTk(ｘ)/dｘ≡0 (mod k) すなわち、最
高次ｘk以外の項の係数は全てkの倍数である。
・Ta+b・Ta-b＝(Ta-Tb)2 を考えれば、最高次の係数は等比数列で、公比は-4であるから、
kが奇数ならば、 -4k-1≡1 (mod k) より、Tk(ｘ)≡ｘk≡ｘ (mod k) がkと素である任意のｘで成
立する。
・よって、kが奇数の時、 Tk(ｘ)-1＝Tk+1・Tk-1≡0 (mod k)より、kと素なｘに対して、
Tk+1(ｘ)≡0 または Tk-1(ｘ)≡0 が成り立つ。
円分多項式のように、Tk(ｘ)の独自部分をとって、Uk(ｘ)とする。
U1(ｘ)=ｘ 、U2(ｘ)=4(1-ｘ) 、U3(ｘ)=(4x-3)2 、U4(ｘ)=4(1-2ｘ)2 、U5(ｘ)=(16ｘ2-20ｘ+5)2
U6(ｘ)=(4ｘ-3)2 、U7(ｘ)=(-64ｘ3+112ｘ2-56ｘ+7)2 、 .....
・その定義から、 Uk(ｘ)≡0 ⇔ ( Tj(ｘ)≡0 ⇔ j は k の倍数 )
・Uk(ｘ)が奇素数pで割り切れるとする。先の考察から、Tp-1(ｘ)≡0 あるいは、Tp+1(ｘ)≡0 で
あるから、p-1がkの倍数 あるいは p+1がkの倍数 で、よって、p は、Nk±1型であることが
証明された。
「1,2,1,2,1,2,.....」で検索すると、研究者世界に数多存在するので、投稿する価値の存在意
義を認められた周期数列のようだ。（平成２４年３月２日付け）
彷徨すると、
【問題3】 数列 {an} は、漸化式 a1=1、a2=1、an+2=an+1+an をみたす。an が3で割り切れる
ようなnを全て求めよ。
上記で、an を3で割った余りの周期数列について、以前行った
(1) 漸化式を創り、其れを(無限次元）CNの部分空間Ker(P(E))と把握し解いて下さい。
(2) 周期数列に対応する母函数を創って下さい。
(イ)を形式的冪級数展開し係数達を求めると、周期数列になっていることを確認願います。
(ロ)を形式的冪級数展開し係数達を求めると、周期数列になっているこを確認願います。
（常套手段の Principe de superposition の事例でしょう）
実際、数列に漂着し、この真似なら幾らでも叶う。
【問題4】 an が4で割り切れるようなnを全て求めよ。
【問題4】をかえ、an を4で割った余りの周期数列について、
(1) 漸化式を創り、其れを(無限次元）CNの部分空間Ker(P(E))と把握し解いて下さい。
(2) 周期数列に対応する母函数を創って下さい。
母函数を形式的冪級数展開し係数達を求めると、周期数列になっているこを確認願います。
【問題5】 an が5で割り切れるようなnを全て求めよ。
【問題6】 an が6で割り切れるようなnを全て求めよ。
・・・・・・
資料の最後に在るではないか！存在意義について論述願います。
「Ｔｒｉｂｏｎａｃｃｉ Ｎｕｍｂｅｒ」については、上の【問題 j 】達が容易に創作叶うが、存在しない
理由は？
(4)の f[ｘ]= ｘ3 - ｘ2 - ｘ - 1 について、「も解」を語ると、「東大前期文系」の基礎体Qを変更
し、拡大体K係数の2次の多項式：
σ[α]=-((2・I・α2)/Sqrt[11]) + (9・I・α)/(2Sqrt[11]) - α/2 + I/(2Sqrt[11]) + 1/2
を獲れば、{σn[α]| n∈N} が解達を亘り尽くすことを確認願います。
空舟さんが、「レムニスケートでのＮｋ問題」を考察された。（平成２４年３月３日付け）
ｘ=sn4（u） 、Xk=sn4(ku) と表記する。sn’(ku)=√（1-Xk）
sn(a+b)=sn(a)sn’(b)+sn’(a)sn(b)/｛1+sn2(a)sn2(b)｝
sn(a+b・i)=sn(a)sn’(b)+i・sn’(a)sn(b)/｛1-sn2(a)sn2(b)｝
Xk(ｘ)をいくつか書き出してみると次のようになる。
X1=ｘ 、X1+i=-4ｘ/(ｘ-1)2 、X2=16ｘ(ｘ-1)2/(ｘ+1)4 、X2+i=ｘ(ｘ-(1-2i))4/((1-2i)ｘ-1)4
X2-i=ｘ(ｘ-(1+2i))4/((1+2i)ｘ-1)4 、X2+2i=-64ｘ(ｘ-1)2(ｘ+1)4/(ｘ2-6x+1)4
X3=ｘ(ｘ2+6ｘ-3)4/(3ｘ2-6ｘ-1)4 、X4=256ｘ(ｘ-1)2(ｘ+1)4(ｘ2-6x+1)4/(1+20ｘ-26ｘ2+20ｘ3+ｘ4)4
X5=ｘ(ｘ2-2ｘ+5)4(ｘ4+52ｘ3-26ｘ2-12ｘ+1)4/(5ｘ2-2ｘ+1)4(ｘ4-12ｘ3-26ｘ2+52ｘ+1)4
X6=16ｘ(ｘ-1)2(ｘ2+6ｘ-3)4(3ｘ2-6ｘ-1)4(ｘ4-28ｘ3+6ｘ2-28ｘ+1)4
/(ｘ+1)4(ｘ8+104ｘ7-548ｘ6+3032ｘ5-4922ｘ4+3032ｘ3-548ｘ2+104ｘ+1)4
X7=ｘ(ｘ12+196ｘ11-1302ｘ10+14756ｘ9-15673ｘ8-42168ｘ7+111916ｘ6-82264ｘ5+35231ｘ4
-19852ｘ3+2954ｘ2+308ｘ-7)4/(7ｘ12-308ｘ11-2954ｘ10+19852ｘ9-35231ｘ8+82264ｘ7
-111916ｘ6+42168ｘ5+15673ｘ4-14756ｘ3+1302ｘ2-196ｘ-1)4
例によって独自部分を取り出すと次のようになる。
V1(ｘ)=ｘ 、V1i(ｘ)=-4/(ｘ-1)2 、V2(x)=-4(ｘ-1)4/(ｘ+1)4 、V2i(ｘ)=16(ｘ+1)8/(ｘ2-6ｘ+1)4
V3(ｘ)=(ｘ2+6ｘ-3)4/(3ｘ2-6ｘ-1)4 、V4(ｘ)=-64(ｘ2-6ｘ+1)8/(1+20ｘ-26ｘ2+20ｘ3+ｘ4)4
V5(ｘ)=(ｘ4+52ｘ3-26ｘ2-12ｘ+1)4/(ｘ4-12ｘ3-26ｘ2+52ｘ+1)4 、
V6(ｘ)=(3ｘ2-6ｘ-1)8(ｘ4-28ｘ3+6ｘ2-28ｘ+1)4
/(ｘ8+104ｘ7-548ｘ6+3032ｘ5-4922ｘ4+3032ｘ3-548ｘ2+104ｘ+1)4
・加法定理によると、
Xa+b・Xa-b＝(√Xa-√Xb)4/(1+√（XaXb）)4
Xa+bi・Xa-bi＝(√Xa+√Xb)4/(1-√（XaXb）)4
Xa+b・Xa-b・Xa+bi・Xa-bi＝(Xa-Xb)4/(1-XaXb)4
すなわち、 Xa(ｘ)≡Xb(ｘ) ⇒ Xa+b、Xa-b、Xa+bi、Xa-bi のどれか≡0
・やはりいつかは同じ数字が現れる論法が成り立ち、
任意のｐ、ｘに対して、Tk(ｘ)≡0 (mod p)となるkが存在する。
・limｘ→0 を同様に考えると、 Xk(ｘ)/ｘ で、ｘ＝0 とすると、k4となる。
・Xk(ｘ)を展開した各項は、次数か係数がkの倍数となる
・ｐがガウス奇素数の時は、Xp(ｘ)＝ｘ・A4/B4 の形を考慮すると、分子は、最高次ｘ(|p|2)、分
母は定数1だけが残ると思われる。
・従って、ｐがガウス奇素数ならば、Xp(ｘ)≡ｘ (mod p) すなわち、Xp+1、Xp-1、Xp+i、Xp-i のど
れか≡0 となるから、Vk(ｘ)≡0 (mod p) ならば、 ｐ＝Nk±1型 または p＝Nk±i型 という
結論に至った。ただし、ｐは、kと互いに素とする。
・V5(ｘ)の分子は、ｘが有理整数の時に検証されている。1+iについては、分母と約分されるも
のらしい。その他の5の約数以外の素因数は、確かに、「5N±1型」「5N±i型」ばかりである。
・有理整数で素因数分解すると、20N±1ばかりになることについて、特に、20N+9型が存在
しないことは、次のように理解された。
p=4N+1型とする。pは共役なガウス素数の積となるが、5N±1、i 型の共役なガウス素数の
積は5N+1型の数となる。したがって、p=20N+1型となる。
・20N+11型が存在しないことについては、証明が分からない。
V5(ｘ)≡0 (mod 11) を解いてみると、 ｘ≡±2i,、-4±8i
V5(ｘ)≡0 (mod 31) を解いてみると、 ｘ≡-8±13i、13±9i
... ｘが非有理整数のためにとっておき、ということだろうか？
空舟さんが、「Ｎｋ問題から『も解』へ」と題して考察された。（平成２４年３月３日付け）
「１が並んだ数」において、
w=e2πi/ｘ および ｘ と素な整数ｐがあって、ｐk≡1 (ｍｏｄ ｘ)となる最小のｋをとると、
α=w+w[p]+w[p2]+・・・+w[pk-1] についてαの最小多項式は、φ(ｘ)/ｋ次式。
この最小多項式を W[ｘ，ｋ](α) とおく。（k=1のときは、円分多項式の場合です。）
αに整数として W[ｘ，ｋ](α)の素因数が Nｘ+β型と書けるならば、βk≡1 (mod ｘ)
・具体例
W[7，3](ｘ)=ｘ2+ｘ+2 の素因数は、7N＋1、2、4型
W[19，6](ｘ)=ｘ3+ｘ2-6ｘ-7 の素因数は、19N±1、7、8型
ということは、素因数が20N±1型になるものを見てみたくなりますね。
W[20，2](ｘ)=ｘ4-5ｘ2+5 です。
この解は、±√{(5±√5)/2}です。2cos(2π*1,3,7,9/20)です。
方程式 F(ｘ)=ｘ4＋５２ｘ3−２６ｘ2−１２ｘ＋１＝０ の解は、コンピュータによれば、
-13±6√5±2√(85±-38√5)
ここで、√(85±38√5)が、実は、{(7±3√5)/2}・√{(5±√5)/2} と分解される。
従って、上記解は、W[20，2](ｘ)の解を w とすれば、2w2-5=±√5より、
F(ｘ)の解＝-13-6(2w2-5)+(7+3(2w2-5))w＝6w3-12w2-8w+17
「resultant(w^4-5*w^2+5,y-(6*w^3-12*w^2-8*w+17),w)」としてみると、
ｙ4+52ｙ3-26ｙ2-12ｙ+1となり、やった！
一般に、f(α)の素因数が、Nｘ+β型、βk≡1 (mod ｘ) ばかりとなる ⇔
f(α)の解がW[ｘ，ｋ]の解の多項式、すなわち、1のｘ乗根の多項式で表される。
ということではないかと想像されます。これによって、f(α)の1のｘ乗根表記が求めやすくなっ
たでしょう。（とは言ったものの、ｘがわかってもその先は一般には容易ではない...）
1のｘ乗根表記が求まれば、「も解」もそこから求まるでしょう。
これは、（平成２４年２月２３日付け投稿）に対する解決です。
f0[ｘ]=ｘ3 - 2815ｘ2/8 + 2641003ｘ/64 - 825796013/512 として、
Q[X]/(f0[X]・Q[X])=Q(α)=Q[α]
|
Q の解達を、Q[α]の元として（2次式以下に）表現することは容易 ですが、参考図をも視
て為して下さい。（再掲）（平成２４年３月４日付け）
これは、多様な発想で叶うでしょうが、資料のように為しました。
この発想を、「シルベスター行列を用いて変身願望果たせぬ」法と命名します。この法で、
「眠りから覚めた微分ガロア理論」の 3次方程式、4次方程式の「も解」を必ず求めて下さい。
(This example figures in the entry of 21th March 1797 of C.F. Gauss’ diary, when he was
nineteen years old. It is related to the theory of elliptic functions.)
（→ 参考：「GALOIS THEORY MICHAELMAS 2010」
これは、行列を厭わない學生向けと飯高先生が學生へ推奨され為すよう促された発想です。
直ぐ取りかかれる、たったの3問です。（平成２４年３月５日付け）
(1) 代数曲線C：229635ｙ6 - 223074ｘ2ｙ4 - 63828ｘｙ4 - 5134ｙ4 - 6561ｘ4ｙ2
+ 11016ｘ3ｙ2 + 4742ｘ2ｙ2 + 612ｘｙ2 + 27ｙ2 + 324ｘ5 + 68ｘ4 + 4ｘ3=0
この代数曲線Cをみたことはないでしょう。この双対曲線C*={(ｘ，ｙ)∈R2| f*[ｘ，ｙ]=0} は
楕円曲線であることを、多様な発想で示して下さい。
(2) Cの特異点ｐを求め、その点に対応するC*の接超平面Tp(C*)を求め、C*と共にグラフ
化願います。
(3) P=(9，9)∈C*を確かめ、2P、3P、4P、5P、.......を丁寧に求めて下さい。此処に、nP は、
こちらに倣いました。（→ 参考）
因みに 昨年度の問題です。
代数曲線C：500ｙ6 + 600ｘｙ4 + 25ｘ4ｙ2 + 150ｘ2ｙ2 - 27ｙ2 + 20ｘ5 - 4ｘ3=0 について、
（平成２４年３月６日付け）
(1) Cの双対曲線C*を多様な発想で求めて下さい。
(2) 代数曲線C上には、次の有理点 p[j] が在ることを確かめ、各点p[j]に於ける接超平面
Tp[j](C)を求め、対応する点q[j](当然有理点）が、C*に在ることを確かめ、各点q[j]に於
ける接超平面 Tq[j](C*)を求め、全てグラフ化して下さい。
p[1]={3704355986374031975/284351642344624066683，
58819413025894750/124116823371725913}
p[2]={-(211962800271249657308252007148/ 450856185869277397297949738409)，
540893728523146807286192/5727121500314741527862883}
(3) 参考資料の真似を、Cの双対曲線C*に対して行い、C*∋P （有理点）を定め、2P、3P、
4P、5P、.......を丁寧に求めて下さい。
（→ 参考：「UBASIC」：木田祐司さん（立教大学教授） によって作られたフリーソフトウェア
で、MS-DOS の上で動きます。Windows95, WindowsNT の DOS窓 でも特殊なものを除い
て動きます。）
「代数方程式のガロア群と折り紙による解法について」(指導者：森継 修一（筑波大学教
授）に於ける g[x] の定義がないが調べて下さい。（平成２４年３月７日付け）
（→ 論文中に、g[ｘ] 在り！）
（参考）(1) f[ｘ]=ｘ4 - ｘ3 - 4ｘ2 + 4ｘ + 1 のとき、resolvent cubic g[x] を求めて下さい。
(2) f[ｘ] と g[ｘ] の判別式を求めて下さい。
(3) g[ｘ] は、Q[ｘ] で可約であることを示して下さい。(ただし 完全には分解されない)
(4) g[ｘ] は、Q(√5)[ｘ] で可約であることを示して下さい。
(5) f[ｘ] は、Q(√5)[ｘ] で可約であることを示して下さい。
(6) f[ｘ]=0 の解を明示してください。
(7) f[ｘ]=0 の一つの解αは、α=(1 - √5 + √（30 + 6√5）)/4となるでしょう。他の解
を、この解の多項式で表現して、その内の一つをσ[α]として、{σn[α]|n∈N} を求
めて記載願います。
C：-50ｘ2 + ｙ2 + 50=0 の整数解を求めたくて堪らないと飯高先生の受講者。
飯高先生示唆： C：-50ｘ2 + ｙ2 + 50=0 の双対曲線C*を求めなさい！ 続いて、曰く：
どうしても講義受講者には解いていただきたいので、参考の為過年度の試験問題を明か
します。（→ 発想） <--- 飯高先生の射影幾何學を受講された方、したかった方の世界
の方々への、こう問題を提示されたなら誰でも瞬時に出来てしまうという緊急自信速報です。
参考資料 <--- 自信喪失遅報です。
大問題： 硲 文夫さんも.....代数幾何学 (数学選書) (単行本)にて、何故、2＜n次代数曲線
に言及されぬ？
とにかく、硲先生のお人柄なのか、語り口が丁寧で、新しい概念の導入の時には、具体例
も多く引用して下さっており、代数幾何学の入門書としては、最適な一冊である。大概の入門
書は、リーマン・ロッホの定理あたりまでをあつかっているが、概して、あれもこれも取り入れ
ることになりがちで、見通しの悪い本が多い中で、この御本は決して欲張らず、ポンスレーの
定理を最終目標とし、初学者が理解しやすいように、一つの大きな流れの中で、重要な役割
をする諸概念を扱うという手法を取っており、楕円曲線について、もっと詳しく知りたくなること
間違いなしの数論的代数幾何学のへ格好の入門書でもある。最後に、同じ著者の代数学と
いうのも、一風変わった代数学の入門書で、併せて読むと硲先生の一貫した代数幾何への
傾倒ぶり（愛着）を感じられると思う。ぜひ、こちらも一読を・・・・。
空舟さんが上記の問題を考察されました。（平成２４年３月７日付け）
「(1) f[ｘ]=ｘ4 - ｘ3 - 4ｘ2 + 4ｘ + 1 」のとき、素因数は30N±1型である。
「(6) f[ｘ]=0 の解を明示してください。 (7) 他の解を、この解の多項式で表現して...」につ
いて、
w=e2πi/30 によって、A=-w-w29＝DDDD(A)
B=-w7-w23＝-A3-A2+3A+2=DDD(A) 、D=-w13-w17＝A2-2=D(A) が解
「(2) f[ｘ] と g[ｘ] の判別式を求めて下さい。」について、
f：(A-B)(C-D)(A-C)(B-D)(A-D)(B-C)2＝32・53
「(1) f[ｘ]=ｘ4 - ｘ3 - 4ｘ2 + 4ｘ + 1 のとき、resolvent cubic g[x] を求めて下さい。
(3) g[ｘ] は、Q[ｘ] で可約であることを示して下さい。(ただし 完全には分解されない)
(4) g[ｘ] は、Q(√5)[ｘ] で可約であることを示して下さい。」について、
(A+C)の最小多項式は、ｙ2+ｙ-1で、共役はB+D。したがって、(A+C)(B+D)＝-1は有理数
他の組み合わせでは、最小多項式は4次式
(A+B)(C+D)＝3A3-9A-2、(A+D)(B+C)＝-3A3+9A-5 は、ｙ2+7ｙ+1＝0 の解
g[ｙ]=(ｙ+1)(ｙ2+7ｙ+1) Qで可約、Q(
)で1次に可約。「(2) f[ｘ] と g[ｘ] の判別式を求めて下さい。」について、
g：ｙ2+7ｙ+1＝0 の解をE、Fとすると、(E-F)(E+1)(F+1)2で、45・(1+7+1)2＝34・53
「(5) f[ｘ] は、Q(√5)[ｘ] で可約であることを示して下さい。」について、
(A+C)の最小多項式 ｙ2+ｙ-1 の解が
で表せる。A、Cの対称式は、A+C、B+Dの式で表せる。 f[ｘ]=(ｘ2-(A+C)ｘ+AC)(ｘ2-(B+D)ｘ+BD) は、
で表せる。以下10次ですが、斉次化すべきと、理由在りておっしゃる数学者、世界に数多在り。
(平成２４年３月８日付け)
387420489ｘ10 + 2751486580ｙｘ9 +......=0 の双対曲線を求める努力をし、その顛末を報告し
て下さいと飯高先生が「計算数学実習」等履修済者に。
「デカルトの精神と代数幾何」に、k[X，Y]/<Y-(X4-X2)> の双対曲線が既に難しいと飯高先
生の記述在り。著作された時代から、PC が進化した今なら如何？導出過程を明記され、
k[X，Y]/<f*[X，Y]> f*[X，Y]=_________________________
著作された時代からPC が進化した今でも、はじめのCの双対曲線化C--->C* は待てど
暮らせど現象が生じましたか？これは、行きはよいよい帰りは怖い型の問題で、実は、
-ｘ10 - ｘ9 + ｘ7 + ｘ6 + ｘ5 + ｘ4 + ｘ3 - ｘ + ｙ - 1=0
なる曲線（＝C）の双対化を試み得たのが上の式です。C上には 誰が視ても変曲点が在り
ひとつは、手計算で容易に求められます。それを、(x0，y0)とし、Cに於けるその点(x0，y0)に
於ける接超平面： X・ｘ+Y・ｙ+1=0 を求め、(X，Y)があの長大な方程式を満たし、(X，Y)は当
然特異点で、その名称は______。なお、懐疑精神を抱き、C-->C*化を多様な発想で為して下
さい。
今回は、-ｘ10 - ｘ9 + ｘ7 + ｘ6 + ｘ5 + ｘ4 + ｘ3 - ｘ + ｙ - 1=0 を ｙ について解いて、
-ｘ10 - ｘ9 + ｘ7 + ｘ6 + ｘ5 + ｘ4 + ｘ3 - ｘ + ｙ - 1 の零点分布に関心が在ります。
これは、相反方程式で、簡単な係数を配置しただけの問題だと高校生が云いそうな方程
式です。さらに、係数は、せめて非対称な配置にしてと高校生。でも、そうしては理論構築が
なされないのでゴメンねと世界の数學者)
f[ｘ]=ｘ10 + ｘ9 - ｘ7 - ｘ6 - ｘ5 - ｘ4 - ｘ3 + ｘ + 1 の零点分布に関心が在ります。
ｘ を ｚ=ｘ+ｙ・ｉ にかえて、f[ｚ]の実部、虚部を求め、F[ｘ，ｙ] とするとき、
(イ) （ｃｏｓt，ｓｉｎt) -----> F[ｃｏｓt，ｓｉｎt] で、t∈[0，2π) のF による像を図示し、何度も
目を回してください。像が原点を何度通過していますか？
10回より真に少ないなら、
(ロ) （ｒ・ｃｏｓt，ｓｉｎt) (rを自ら定め) F[ｒ・ｃｏｓt，ｓｉｎt] が原点を通過する ｒ 達が存在します。
その近似値を求めて下さい。
零点分布とくれば、童心にかえり、「並んだ、並んだ、赤、白,...」でしょう。
(イ）は、（無論、実軸に関して対称に、しかも、単位円上に）綺麗に並んでいる筈です。赤で
図示して下さい。
(ロ）は、（無論、実軸に関して対称に）綺麗に並んでいる筈です。黄色で図示して下さい。
空舟さんが、「も解とＮＫ問題」についてまとめられました。（平成２４年３月８日付け）
今までいろいろ考察を書いてきました。それをいろいろまとめようとしています。
以下の主張は、私の最近の考察による推測です。(1)と(2)は例のクロネッカーの定理です。
それ以外は、まだ考察中で正しい保証はまだないのですが、ちゃんと考察できるのはいつ
になるのか分からないので、いったん紹介することにしました。
主張 ： 既約なｎ次方程式 f(ｘ)＝0 について、次のどれかが満たされる時、あるφ(k)=mn
である自然数 ｍ、ｋ が存在し、(1)から(4)は同値である。
（φ(k)はオイラーのφ関数で、1からk-1にあるkと素な整数の個数）
(1) f(ｘ)=0 の解αによるQの拡大Q(α)は正規拡大である。
：f(ｘ)=0 の1つの解をαとすると他の解がαの有理式で書ける。
(2) f(ｘ)=0 の解は、1の原始k乗根表記、すなわち、ｘ＝e2πi/k の有理多項式という形で書け
る。
(3) f(ｘ)≡0 (mod p) を満たす ｘ が存在する
⇒ ｐは、ｋの約数か、ｐm≡1 (mod k) または ｐ＝それらの積
(4) ｐ のすべての素因数 ｐ について、ｐm≡1 (mod k)
⇒ f(ｘ)≡0 (mod p) を満たす ｘ が存在する
・m=1の場合では、上記条件は、 ｐ＝Nk+1 であること
・m=2の場合では、上記条件は、ｐ＝Nk±1 であること
・うまく書けば、(3)、(4)をまとめて表現できそうですが分かりません..。
また、このとき、
(*) f(ｘ) の「も解」が巡回網羅型である：
ある解をg(α)と書くと、g(α)をn回合成すると初めてαに戻る
⇔ある整数ｙがあって、mod ｋ で、ｎ乗すると初めて1に合同になる
特に、m=1の場合、n=φ(k)なので、投稿と同じ結論になっています。（→ 参考：「原始根」）
これを応用すると、平方剰余の法則が以下のように考察できます。
ｘ2≡ｐ (mod ｑ) が解をもつ ｑ の条件を考えます。簡単のため、ｑとｐが互いに素である場
合に限定します。すなわち、上記(3)において、「ｐはｋの約数」の部分を除外します。
投稿の考察によります。
・ｐ＝-1 の時、ｘ2+1＝0 の解は、1の原始4乗根で表せるから、k=4、m=1 によって、
ｘ2≡-1 (mod ｑ) が解を持つ ⇔ ｑ1≡1 (mod 4) が解をもつ ⇔ ｑ=4N+1
・ｐ＝2 の時、ｘ2-2＝0 の解は、1の原始8乗根で表せるから、k=8、m=2 によって、
ｘ2≡2 (mod ｑ) が解を持つ ⇔ ｑ2≡1 (mod 8) が解をもつ ⇔ ｑ=8N±1
・ｐが4N+1型素数の時、ｘ2-ｐ＝0 の解は、1の原始p乗根で表せるから、k=ｐ、m=(ｐ-1)/2 に
よって、
ｘ2≡ｐ (mod ｑ) が解を持つ ⇔ ｑm≡1 (mod p)
⇔ Ind(ｑ) が、 p/m＝2 の倍数 ⇔ ｘ2≡q (mod ｐ) が解をもつ
・ｐが4N-1型素数の時、ｘ2+p＝0 の解が1の原始p乗根で表せるから、
k=p 、m=(p-1)/2によって
ｘ2≡-ｐ (mod p) が解をもつ ⇒ ｘ2≡ｑ (mod ｐ) が解をもつ
⇔ Ind(ｑ)が、ｐ/ｍ＝2の倍数 ⇔ ｘ2≡ｑ (mod ｐ) が解をもつ
知られている平方剰余の相互法則と同じ結果となっています。
S(H)さんの投稿にある「ｘ10 + ｘ9 - ｘ7 - ｘ6 - ｘ5 - ｘ4 - ｘ3 + ｘ + 1の零点分布に関心が在
ります」について、上記考察を試みましたが、ｋ、ｍを見つけることができませんでした。実数
解は、1.17628くらいと0.850137くらいの２つであり、逆数関係
複素単位円上に残りの8つの解があり、偏角をθをすると、
tan(θ/2)＝(t10-43t8+314t6-518t4+149t2+1＝0) の実数解の位置です。実部＞０に1組、
実部＜０に3組です。
f[ｘ]=ｘ3 - 8234233ｘ/18496 - 568162077/157216 とする。（平成２４年３月１０日付け）
(1) 判別式 D を求め、
(2) X2=D なる方程式が無理数を學習する以前の子供が解けることを確認下さい。
（即ち、√D∈Q ）
√（1695064827457225/5473632256）を「フリー計算」に代入し、それを有理数に復元可能
か確かめて下さい。
いっそのこと、解達∈基礎体を確認。
(3) これで、上のf[ｘ]が「同じ穴のムジナ」と想定通り。
特に、「MA3D5 Galois theory」の８０頁の
2. Let k be a field over which f(x) = x^3-3*x+1∈k[x] is irreducible。.
我々が考察中のは、f[ｘ]=ｘ3 - 8234233ｘ/18496 - 568162077/157216 です。3次方程式で
ガロア群を循環（巡回）群に所望なら一気呵成に創作可能なことは學会で大昔為され、群 G
を指定し、ほんのちょっと次数を上げれば未解決の大問題が（鉱脈）が在ると、問題3を注視
願います。
問題3には、Sn(n=1、2、3、・・・)の「n=6 が云々」とある。
問題3に、「である」と解決されている問題に挑戦したい方は直ぐどうぞ！
ガロア群が退化するとの部分は幾度も為しましたが、
(4) f[ｘ]=ｘ3 - 8234233ｘ/18496 - 568162077/157216 のケースも必ず為し、此処に提示さ
れ次の歩みを。赤線の代数曲面Sの双対曲面S*を直ぐ具現し、横道に逸れる道草の美
味しい話題に人々を誘惑して下さい。
(5) 問題を味読され、どんどん人類未踏のその先へ。懐疑精神を抱き、確認事項が数多在
り過ぎますが、此処の有理函数による parametrization 程度は易しく解説し、
(6) 逆に、パラメターを消去し、赤線になることは（世界の殆ど全ての人々に自明ではない
ので）確認を「多様な発想で必ず願います」と飯高先生が受講者に...。
(6)で終焉を迎える問題でないことは、気配で感じられた筈です。
以下は、飯高先生が体論の講義の最初に講義した世界一短い定理 Q(α)=Q[α] が具
体例で把握がなされているか、必要なら手計算以外に何をつかっても自由なので、為しなさ
い。また、他講座で履修済のシルベスター行列も在るが、知悉と云って拒絶せず必ず大行
列ですが為してごらんと學生に促された問です。
A[ｘ]=ｘ6 - 24ｘ4 + 144ｘ2 - 192 の零点をα、B[ｘ]=ｘ6 - 33ｘ4 + 27ｘ2 - 3 の零点をβとす
るとき、
(a) A[ｘ]=0 の他の解達をσj[α]∈Q[α]表現してσj k[α] (k∈N) を求め観察して下さい。
(b) B[ｘ]=0 の他の解達をρj[β]∈Q[β]表現してρj k[β] (k∈N) を求め観察して下さい。
σi[α]+ρj[β]=
なるσi[α]、ρj[β]を求めて下さい。「ＴＲＩＴＡ」の8p 近傍に、α+β を解とする代数方程式 Wa[x]=0 の素晴らしい発想が在りま
す。その発想を真似て、Wa[x]を産出して下さい。(36次方程式となることは想定の範囲内でしょう）
Wa[x]を因数分解し、各因数を視つめて感動したなら、何に感動したかを記載願います。
Wa[x]=0 の全ての解を求めて下さい。(Hint：中学生が直ぐ分かる解も在ります)
今回の上の問題は或る初等的な図形の問題が私をして創らせた。「何が（どんな問題が）
私をそうさせたのか」その問題を 記述して 下さい；
A[ｘ]、B[ｘ] は6次ですが、その先に問題が在ります。
ＨＮ「土筆の子」さんによる計算です。（平成２４年３月１１日付け）
ｘ＝√(10+2√17) について、公式 √（(a + b) + 2・√（ab））＝√a + √b において、
a＝A + ｉ・B 、b＝C + ｉ・D とすると、
A・C - B・D＝17 、A・D + B・C＝0 、A + C＝10 、B + D＝0
これを解いて、 （Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（5，-2ｉ
，5，2ｉ）、（5，2ｉ，5，-2ｉ）、（5-2
，0，5+2，0）、（5+2，0，5-2，0）分母から無理数を追放する分母の有理化は、世界で論じられているのを目の当たりに叶
う時代。（平成２４年３月１１日付け）
次の数 ａ を、上とは真逆の分母の無理数化を多様な発想で行って下さい。
a = （1/4）√（1 + 31/3) - （1/4）31/3√（1 + 31/3） + （1/4）32/3√（1 + 31/3)
上を具現された b=________後、答えの確認は数多在りますが、「フリー計算」に代入し、求め
てください。
さて、ａ、ｂ のQ上の最小多項式 f[ｘ] を多様な発想で求め、代数曲線 C：ｙ-f[ｘ]=0 の双対
曲線C*を多様な発想で求めて、双方の特異点を求める等を為し、双方をグラフ化する等為
し、愉しんだ顛末録を悉にレポートしなさいと飯高先生。
体論の最初の講義以降、「も解」問題が蔓延っているようだが、今回のf[ｘ]=0 について、
「東大前期文系」の模倣が出来るなら、導出過程を明記し、レポートしなさいと飯高先生。模
倣が出来ないなら、何故不可なのか、詳しく論じ、レポートしなさいと飯高先生。
ｂ の分母の無理数達の連分数展開を為し、此処に提示され、自ら為された連分数展開に
「うっとり」して愉悦されている理由をレポートしなさいと飯高先生。
土筆の子さんが、「４次方程式のガロア群」について考察されました。
（平成２４年３月１１日付け）
(1) f[ｘ]=ｘ4 - ｘ3 - 4ｘ2 + 4ｘ + 1 のとき、resolvent cubic g[ｘ] を求めて下さい。
(2) f[ｘ] と g[ｘ] の判別式を求めて下さい。
(3) g[ｘ] はQ[x]で可約であることを示して下さい。(ただし、完全には分解されない)
(4) g[ｘ] はQ(
)[ｘ] で可約であることを示して下さい。(5) f[ｘ] はQ(
)[ｘ] で可約であることを示して下さい。(6) f[ｘ]=0 の解を明示してください。
(7) f[ｘ]=0 の一つの解αはα=(1/4)(1 -
+ √（30 + 6)）となるでしょう。他の解を、この解の多項式で表現して、その内の一つをσ[α]として、{σn[α]|n∈N} を求めて、気付
を記載願います。
この問題をMathmaticaで実直にやってみました。（→ 計算結果）
デイビッド・Ａ.コックス著 ガロア理論（下）の第１３章、４次方程式、定理１３．１．１に、元の
４次方程式、その判別式、フェラリの分解式、その判別式、等をを用いて、ガロア群の分類を
行っています。
(a) g[ｘ]がF上既約のとき、 Ｇ＝Ｓ4 、△(f)∈F2 でないとき、
Ｇ＝Ａ4 、△(f)∈F2 のとき、
(b) g[ｘ]がＦ上完全分解するとき、 Ｇ＝＜(12)(34)，(13)(24)> （Z/2Z×Z/2Z と同型）
(c) g[ｘ]がFにただ１つの根βしか持たないとき、 Ｇは次と共役
＜(1324),(12)＞ (D8と同型）
4β+a3^2-4*a2≠0 かつ △(f)(4β+a3^2-4*a2)が(F^*)^2に属するとき
4β+a3^2-4*a2＝0 かつ △(f)(4β+a3^2-4*a2)が(F^*)^2に属さないとき
＜(1234)＞ (Z/4Zと同型) その他のとき
Ｇ＝＜(1324)，(12)＞ （D8と同型）
Ｇ＝＜(1324)＞ （Z/4Z と同型）
土筆の子さんが、「ルートと連分数」について考察されました。（平成２４年３月１１日付け）
S(H)さんの問題に、連分数の繰り返しから、ある分数を求めて、それが、入れ子でどんど
ん元の根号の解に近づいていく話で、その分数を求めてみた。（→ 計算結果）
土筆の子さんが、「分数係数の３次方程式」について考察されました。
（平成２４年３月１１日付け）
f[ｘ]=ｘ3 - 8234233ｘ/18496 - 568162077/157216 とする。
(1) 判別式 D を求め、
(2) X2=D なる方程式が無理数を學習する以前の子供が解けることを確認下さい。
（即ち、√D∈Q ）
（→ 計算結果）
土筆の子さんが、「ガウスの４次式」について考察されました。（平成２４年３月１１日付け）
Ｓ（Ｈ）さんの「も解」の問題に出ていた、ガウスの４次式も興味深いので、Mathmaticaで計
算しました。（→ 計算結果）
土筆の子さんが、「も解」の問題について考察されました。（平成２４年３月１２日付け）
「質問：A、B、C を求める過程をもお願いします。」について、
ｘ3+3ｘ2-1=0 ・・・ （１） の一つの解をαとし、他の２つの解をβ、γとする。
α3+3α2-1=0 より、 1/α=α2+3α ・・・ （２）
（１）より、 αβγ＝1 したがって、βγ= 1/α = α2+3α ・・・ （３）
α＋β＋γ=-3 より、 β＋γ= -3-α ・・・ （４）
（３）、（４）の関係から、求めるβ、γは、２次方程式 X2+(3+α)X+(α2+3α)=0 の解。
これは、２次方程式の解の公式から、 β、γ=(1/2){(-3-α)±√{(α+3)2-4(α2+3α)}
ルートの中は、 α2+6α+9-4α2-12α=-3α2-6α+9 （ここまでで、前半）
ルートの中が２乗になるように係数を求める。 -3α2-6α+9=(A・α2 + B・α + C)2
面倒なので、Mathmaticaを使いながら計算することにする。その結果、以下の２つが当て
はまる。
A= -2 、B= -5 、C= 1 または、 A= 2 、B= 5 、C= -1
Aがプラスの方をとると、β、γ= (1/2){(-3-α)±(2α2+5α-1)=-2+2α+α2、-1-3α-α2
「も解」の問題に、土筆の子様が丁寧に端折ることなく、美しく解説されました。（謝謝)
（平成２４年３月１３日付け）
これを、「みんなちがって、みんないい」に深く賛同し、他の発想で為します。この発想を、
「シルベスター行列を用いて変身願望果たせぬ法」と命名しますと以前に申しました。
この手法で土筆の子様と同じ結論を獲ました。
話題を転じて、「実部・虚部に分けたガール」に、Lars Ahlfors 著の「Complex Analysis」の
3p に、「 ｚ2=α+β・I を解く際、 (ｘ+ｙ・I)2 = α+β・I から、ｘ2-ｙ2=α、ｘｙ=βを解けばよい」と
「実部・虚部に分けたガール」例が在ります。續けてみてください。
Ahlfors の「 ｚ2=α+β・I を解く際」を真似て、ｚ3 + 3ｚ2 - 1=0 を「実部・虚部に分けたガー
ル」のAhlfors の手法を踏襲します。
ｘ3 + 3ｘ2 - 3ｙ2ｘ - 3ｙ2 - 1=0 、-ｙ3 + 3ｘ2ｙ + 6ｘｙ=0 を解けば良い！(=Ahlfors)
以下、續けてみてください。(代数曲線の交点なので、両者をグラフ化せずにはいられない筈です！)
-ｙ3 + 3ｘ2ｙ + 6ｘｙ=0 は、二次曲線ではないが、「Wolfram|Alpha」で眼前に。
（視た刹那、ありゃ、二次曲線じゃんと叫ばれるでしょうが、もとの方程式には（自明でもありますが）虚部=0 の
解しか在りませんで、y=0 もグラフに在り！)
上記を多様な発想で續けて、解決後、Ahlfors 先生のを踏襲した意義を論述して下さい。
(と飯高先生が、複素函数論を履修済の受講生に)無論、イデアル論からの視座で！
I1={ｘ3 + 3ｘ2 - 3ｙ2ｘ - 3ｙ2 - 1， -ｙ3 + 3ｘ2ｙ + 6ｘｙ}
I2={-8ｘ6 - 48ｘ5 - 90ｘ4 - 47ｘ3 + 21ｘ2 + 18ｘ + 1， -8ｙｘ3 - 24ｙｘ2 - 18ｙｘ - ｙ，
-8ｘ5 - 40ｘ4 - 50ｘ3 + 2ｘ2 + 16ｘ + 3ｙ2 + 2}
I1=I2 を証明！と飯高先生が受講生に難題を。
代数曲線C：256ｘ5 + 1765ｙｘ4 + 5434ｙ2ｘ3 + 4124ｙｘ3 - 11737ｙ3ｘ2
- 7700ｙ2ｘ2 - 8050ｙｘ2 - 18634ｙ4ｘ + 18876ｙ3ｘ + 14058ｙ2ｘ
- 2500ｙｘ + 14641ｙ5 + 5324ｙ4 - 15246ｙ3 - 3344ｙ2 + 3125ｙ=0
の特異点達を求め、Cと共にグラフ化願います。（平成２４年３月１３日付け）
Cの双対曲線C*：f*[ｘ，ｙ]=0 を求め、それが簡単に、ｙ=F[ｘ] と表現されることを示し、直ぐ、
函数Fの易しいグラフを描き、眼前に現れたC*に、幼い少女A も引ける二重接線達や曲率
半径が∞になるところが幾つか在ることが分かる。其れ等を全て求め、C* と共に図示願い
ます。（最初に求めた特異点達を使うことを薦めます！）
Q[X]/(F[X]*Q[X])=Q(α)=Q[α]
|
Q の解達を、Q[α]の元として（4次式以下に）表現することは容易ですが、参考図をも視
て為して下さい。
上記は、多様な発想で叶うでしょうが、受講生の學生、少女Aさんは、「シルベスター行列を
用いて変身願望果たせぬ法」で挑戦してみて下さい。他の學生、少女Ej さん達は、みんなち
がって、みんないいので、それぞれが考え、「も解」問題を解き、ガロア群の構造を明らかに
してください。（→ 参考）
「フリー計算」に「sqrt(94)」を書き、最大の桁数を所望し、あっという間に収束する！
b ---> (20780016 + 2143295・b)/(2143295 + 221064・b) の収束の凄さに慄く。それを為
さしめた大元の連分数に慄く。
土筆の子 様からいただいた上記に関連して、「無理数を近似する分数」において、
Ｘ ＝
から、Ｘ2＝３
なので、両辺に Ｘ を加えれば、Ｘ2＋Ｘ ＝ Ｘ＋３(蓮舫さんの口調で、両辺に Ｘ2012を加えれば じゃダメなんですかっ!!)
すなわち、Ｘ(Ｘ＋１) ＝ Ｘ＋３ より、 Ｘ ＝ （Ｘ＋３）/(Ｘ＋１)