平成１８年３月３０日 Ａ．Ｋ さんという方からメールをいただいた。
数学が最近妙に懐かしく思えてきたとのことで、家事の合間に昔の参考書などを引っ張り
出してはいろいろと触って楽しんでいるそうである。ちょうど ３次関数にたどり着いた時に、
四半世紀前に教師から出された問題を見つけたが、どうしてもわからなくて困っているとの
ことである。
問題 ３次関数のグラフが、ｘ 軸と異なる３点で交わるものとする。α 、β 、γ を、その交点
の ｘ 座標とする。このとき、そのうちの２つの値の平均である値を ｐ として、ｘ＝ｐ に
おける接線は、選ばれなかった３つ目の交点を通ることを証明せよ。
この問題は大変面白い性質で、興味を引かれました。
（解） この問題について一般性を失うことなく、３次関数として、ｙ ＝ ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ と
してよい。いま選ばれた２つの値を、α、βとすると、題意より、２ｐ＝α＋β
また、解と係数の関係から、 α＋β＋γ＝−ａ なので、γ＝−ａ−２ｐ が成り立つ。
ところで、ｘ＝ｐ における接線の方程式は、
ｙ＝（３ｐ2＋２ａｐ＋ｂ）（ｘ−ｐ）＋ｐ3＋ａｐ2＋ｂｐ＋ｃ
すなわち、 ｙ＝（３ｐ2＋２ａｐ＋ｂ）ｘ−２ｐ3−ａｐ2＋ｃ
このとき、３次関数 ｙ ＝ ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ と連立させて、
ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝（３ｐ2＋２ａｐ＋ｂ）ｘ−２ｐ3−ａｐ2＋ｃ
すなわち、 ｘ3＋ａｘ2−（３ｐ2＋２ａｐ）ｘ＋２ｐ3＋ａｐ2＝０
この３次方程式は、ｘ＝ｐ を重解に持つので、（ｘ−ｐ）2（ｘ＋ａ＋２ｐ）＝０ より、
ｘ ＝ ｐ 、−ａ−２ｐ
よって、３次関数のグラフと接線との交点のｘ座標は接点を除いて、ｘ ＝ −ａ−２ｐ ＝ γ と
なる。以上から、
３つの値のうちの２つの値の平均である値を ｐ として、ｘ＝ｐ における接線は、選ばれな
かった３つ目の交点を通ることがいえる。 （終）
（コメント） この問題は計算では示されたが、もっと別な観点からの解法が存在しそうな予
感がある。これについては今後の研究としよう。もし、そのような解法を発見され
た方、こちらまでメールにてご教示ください。
（追記） 平成１８年４月４日付けで当ＨＰの掲示板「出会いの泉」にハルさんという方から別
解をいただいた。上記の煩雑な計算を整理・工夫されたものである。ハルさんに感謝
いたします。
（別解） ３次関数を ｙ＝Ｆ（ｘ）＝（ｘ−α）（ｘ−β）（ｘ−γ） として、ｐ＝(α＋β)/２ とする。
ｙ＝Ｆ（ｘ） の （ｐ ，Ｆ（ｐ）） での接線を ｙ＝Ｇ（ｘ） とすると、Ｆ（ｘ）−Ｇ（ｘ） は３次式で、
（ｘ−ｐ）2 を因数に持ち、ｘ3、ｘ2 の係数は、
Ｆ（ｘ） の ｘ3、ｘ2 の係数 １、 −（α＋β＋γ）＝−２ｐ−γ と等しいので、
Ｆ（ｘ）−Ｇ（ｘ）＝（ｘ−ｐ）2（ｘ−γ）
と決まる。この形から ｙ＝Ｇ（ｘ） が （γ ，０） を通ることは明らか。 （終）
当ＨＰ読者のＨＮ「南東亜北西」さんから別解をいただきました。（平成２８年１１月１３日付け）
３次関数を f(ｘ)＝a(ｘ−α)(ｘ−β)(ｘ−γ) (a≠0) とおき、２ｐ＝α＋β とする。
このとき、 f’(ｘ)＝a｛(ｘ−α)(ｘ−β)＋(ｘ−α)(ｘ−γ)＋(ｘ−β)(ｘ−γ)｝において、
f’(p)＝a[(p−α)(p−β)＋(p−β)(p−γ)＋(p−γ)(p−α)]
ここで、 p−α＝−(p−β) なので、 f’(p)＝a(p−α)(p−β)
(p，f(p))での接線の方程式は、y−f(p)＝f’(p)(ｘ−p) で、ｘ＝γ、y＝0 のとき、
左辺＝y−f(p)＝−a(ｐ−α)(ｐ−β)(ｐ−γ)
右辺＝f’(p)(ｘ−p)＝a(p−α)(p−β)(γ−p)＝−a(ｐ−α)(ｐ−β)(ｐ−γ)
より、(p，f(p))での接線の方程式は、点(γ，0)を通る事が示された。
＃この不思議な性質は、幾何的な側面は分かりませんが、f’(p)の２項と３項が打ち消し合う
処から来ているのではと思います。