１が並んだ数としては、「連綿と続く１」、「循環小数の不思議」で調べられている。
1がｋ個並んだ数をF(ｋ)とする。F(ｋ)のいろいろな性質をまとめてみよう。
以下において、ｘ は、2と5以外の素数とする。
・F(ｋ)が素数ｘで割り切れる時、1/ｘを循環小数にすると、ｋはその周期となれる。
（分母分子に適当な数を掛けると、分母は、9がk個並んだ数になれるから）
（補足） j が 1/ｘ の循環小数の周期となる時、周期の数字の並びにｘを掛けると9がk個並
んだ数になります。
（例） F(6)＝111111＝7*15873 は、素数7で割り切れ、1/7＝0.142857142857・・・
の周期 ｋは 6 となる。循環節 142857 に素数 7 を掛けると、999999と 9 が6個
並んだ数になる。
逆に、ある数にｘを掛けて9がk個並んだ数になる時、ある数の先頭に、「0．」を補って
k桁にしたものを繰り返した循環小数は、1/ｘ に一致する。
従って、ｋが1/ｘの最小周期であることは、9がｋ個並んだ数がｘで割り切れることと同値と
考えます。それが「1がk個並んだ数 F(k) がｘで割り切れること」とは、「ｘ=3の場合を除いて」
同値の関係です。（ここが指摘するべき点・・・平成２６年２月６日付け 追記）
すなわち、 F(ｋ)が素数ｘ（≠３）で割り切れる最小のｋとすると、
F(ｙ)がｘ（≠３）で割り切れる ⇔ ｙがｋで割り切れる
一方、循環小数の最小周期は、ｘを法とする10の位数：10ｋ≡1 (ｍｏｄ ｘ) となる最小のｋ
（割り算の筆算を思い浮かべれば理解できると思う）で、ｋは、ｘ-1の約数となる。
・よって、素数ｘに対して、F(ｘ-1)は、ｘで割り切れる。
・また、先に、F(ｋ)がｘで割り切れる最小のｋについて、ｘ＝Nｋ+1 の形と書ける。
例 1111111=239・4649 において、239=7・34+1、 4649=7・664+1
・ｋが素数の時、F(ｋ)を素因数分解したかったら、約数の候補は、Nｋ+1の形のみである。
（あらゆる素数で割って調べるよりだいぶ手間が少なくなると思う。k≠2なら、Nは偶数。また、ｙ＜ｋとなるF(ｙ)
を割り切る素数も飛ばして良い。）
1/ｘの循環節を求めるのに、F(ｋ)の素因数分解をするのは実用的でなく、実際に割り算す
る(法ｘに対する10nを計算していく)方が良いと思う。
逆に、循環節がｋになる1/ｘを知りたい時には、F(ｋ)の素因数分解が活躍する。
例えば、循環節が7になる1/ｘは、(素数に限れば) ｘ=239、4649のみであるし、循環節が
19になる1/ｘは、F(19)のみということになる。
（参考） 「Repunit」 ・・・ 円分多項式とも関連あり！
「どんな素数も、ある適当なF(ｋ)の約数である」という事実は、この前のクロネッカーの定理
と雰囲気が似ていると思います。10k≡1 も ｘk＝1 を連想させます。
素数ｘに対して、10k≡1 (ｍｏｄ ｘ)となる最小のｋをとると、
ｘは、F(ｋ)＝1+10+・・・+10k-1 で割り切れる。
w=e2πi/ｘ および ｘ と素な整数ｐがあって、ｐk≡1 (ｍｏｄ ｘ)となる最小のｋをとると、
α=w+w[p]+w[p2]+・・・+w[pk-1] についてαの最小多項式は、φ(ｘ)/ｋ次式。
（うーん、似ているのは確かだけどそこからどうすれば良いか分からない。）
応用： 上で、ｘ=19、ｐ=7、ｋ=6 とすると、αの最小多項式は、f(α)=α3+α2-6α-7
f(1010011001010000)、f(110100000000101100)、f(1000001100110000010) 達は、
F(19)=1111111111111111111 で割り切れるでしょう。
（f(α)にα＝[wの式]を代入すれば、素因数(1+w+w2+・・・+w18)が現れるでしょう。）
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
f0[ｘ]=ｘ3 - 2815ｘ2/8 + 2641003ｘ/64 - 825796013/512
Q[X]/(f0[X]・Q[X])=Q(α)=Q[α]
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Q の解達を、Q[α]の元として（2次式以下に）表現することは容易ですが、参考図をも視
て為して下さい。f0[X + (5/8 + 117)]がZ[X]の元であることを確認してください。
f[X]=f0[X + (5/8 + 117)] と f を定義する。
f[1010011001010000] を 1111111111111111111 で割ったときの余りを求めて下さい。
f[110100000000101100]を 1111111111111111111 で割ったときの余りを求めて下さい。
「この問題は何？」なる問題に遭遇体験のない方は存在しないでしょう。実は、こんな背景
が在ると吐露すれば、教育効果抜群なのに教育関係者の殆ど全ての方が背景を隠匿する
習慣が長く続く．．．。で、背景の一部を露わにせずにはいられないので致します。
（→ 参考：「Ｒｅｐｕｎｉｔ」）
（→ 参考：「1が並んだ数」での検索の結果）
