分数を小数に直す場合、有限小数か循環小数の何れかになる。有限小数も、最後に ０
が循環すると考えれば、循環小数とみなせる。また、逆に、有限小数、循環小数は、必ず
分数に直すことができる。
（例） ０．６６６６６６６・・・・・・・ を、分数に直してみよう。
Ｘ＝０．６６６６６６６・・・・・・・ とおくと、 １０Ｘ＝６．６６６６６６６・・・・・・・・ である。
これらを辺々引いて、 ９Ｘ＝６ となり、 Ｘ＝２/３ という分数になる。
上記解答以外に、無限等比級数の公式を使った解法もあるが、上記解答に比べて相当
見劣りがする。
０．６６６６６６６・・・・・・・
＝０．６＋０．０６＋０．００６＋・・・・・・・＝０．６/（１−０．１）＝０．６/０．９＝２/３
１ という数を、素数で割った場合、その余りは必ず素数より小さいので、必ず何れは循
環する。問題は、何桁目で循環するのかということである。
有限小数は、０が循環していると考えればよいが、この場合除外する。
いくつか実験してみよう。
１/３＝０．３３３３３・・・・
１/７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・・
１/１１＝０．０９０９・・・・
１/１３＝０．０７６９２３０７６９２３・・・・
１/１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７０５８８２３５２９４１１７６４７・・・・
１/１９＝０．０５２６３１５７８９４７３６８４２１０５２６３１５７８９４７３６８４２１・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
上記の実験で、ある法則を発見することができる。
（合同の記号≡については、こちらを参照）
１/３ は、１桁目で循環している。実は、１０1≡１ （ｍｏｄ ３）
１/７ は、６桁目で循環している。実は、１０6≡１ （ｍｏｄ ７）
実際に、１０1≡３ （ｍｏｄ ７） より、１０3≡２７≡−１ （ｍｏｄ ７） から明らか。
１/１１ は、２桁目で循環している。実は、１０2≡１ （ｍｏｄ １１）
実際に、１０1≡−１ （ｍｏｄ １１） より明らか。
１/１３ は、６桁目で循環している。実は、１０6≡１ （ｍｏｄ １３）
実際に、１０1≡−３ （ｍｏｄ １３） より、１０3≡−２７≡−１ （ｍｏｄ １３） から明らか。
１/１７ は、１６桁目で循環している。実は、１０16≡１ （ｍｏｄ １７）
実際に、１０2≡−２ （ｍｏｄ １７） より、１０4≡４ （ｍｏｄ １７）
よって、 １０8≡１６≡−１ （ｍｏｄ １７） から明らか。
１/１９ は、１８桁目で循環している。実は、１０18≡１ （ｍｏｄ １９）
実際に、１０3≡−７ （ｍｏｄ １９） より、１０9≡−３４３≡−１ （ｍｏｄ １９） から明らか。
以下同様である。
このように、循環する小数 １/ｐ （ｐは素数）が何桁目で循環するかをみるには、合同式
１０ｎ≡１ （ｍｏｄ ｐ）
を満たす ｎ の値を求めればよい。これは、とても面白い性質だと思う。
フェルマーの定理によれば、
Ｘp-1≡１ （ｍｏｄ ｐ） （ただし、Ｘ は、ｐ で割り切れない）
が成り立つので、そのような ｎ は必ず存在する（即ち、必ずどこかで循環する）。
上記循環小数の計算では、Ｅｘｃｅｌ のマクロを活用して求めたが、筆算で計算する場合、
計算ミスも起こりやすい。循環する桁数が前もって分かっていれば、検算に活用できると思
う。
幼少の頃、天才数学者のガウスは、循環する小数 １/ｐ をある程度暗記していたと聞く。
そういったもろもろの積み重ねが、法則の発見につながったのだろう。上記の実験で、その
雰囲気が伝われば幸いである。
（参考文献：遠山 啓 著 数学入門（下） （岩波新書））
（追記） 参考までに使用したＥｘｃｅｌ のマクロを書いておこう。
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｑ（ａ，ｂ，ｎ）
Ｉｆ ｎ＝０ Ｔｈｅｎ
Ｑ＝””
Ｅｌｓｅ
Ｑ＝Ｉｎｔ（１０＊ａ／ｂ） ＆ Ｑ（１０＊ａ Ｍｏｄ ｂ，ｂ，ｎ−１）
Ｅｎｄ Ｉｆ
Ｅｎｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
Ｅｘｃｅｌ を起動し、[ツール]−[マクロ]−[Ｖｉｓｕａｌ Ｂａｓｉｃ Ｅｄｉｔｏｒ] とクリックして Ｅｄｉｔｏｒ
を起動し、[挿入]−[標準モジュール] を選択して、上記を記述すればよい。後は、Ｅｘｃｅｌの
任意のセルに、例えば、 ＝Ｑ（１，７，３０） と打ち込むと、瞬時に、１÷７ の小数点以下
３０桁までの数列を得ることができる。
Ｅｘｃｅｌ のセルに普通に「＝１/７」と打ち込むと、「０．１４２８５７１４３」と小数点以下９桁ま
でしか得ることができない。上記マクロを用いると、より詳しい小数展開が得られて重宝で
ある。
（追記） 上記では、１０ｎ≡１ （ｍｏｄ ｐ）を利用して、循環小数が何桁目で循環するの
を見たが、次の性質に着目して求めることもできる。
０．６６・・・ を、分数に直す際、 Ｘ＝０．６６・・・ とおいて、 １０Ｘ＝６．６６・・・ から、
９Ｘ＝６ を解いて、 Ｘ＝２/３ を求めた。
この場合に着目するところは、 Ｘ＝６/９ という形である。９＝１０1−１ で、その逆数は、
１/９＝１/（１０−１）
＝（１/１０）・１/（１−(1/10)）
＝（１/１０）・（１＋(1/10)＋(1/10)2＋(1/10)3＋・・・）
＝１/１０＋１/１０2＋１/１０3＋・・・
と書ける。 したがって、 循環小数 １/９ は、１桁目で循環し、その循環節は「１」である。
同様に、 ９９＝１０2−１ なので、その逆数は、
１/９９＝１/１０2＋１/１０4＋１/１０6＋・・・
となり、 循環小数 １/９９ は、２桁目で循環し、その循環節は「０１」である。
例 分数 ２/３ は、６/９ と書けるので、１桁目で循環し、その循環節は「６」である。
例 分数 ５/１１ は、４５/９９ と書けるので、２桁目で循環し、その循環節は「４５」である。
もっとも、 ７×（１４２８５７）＝９９９９９９ となる数 １４２８５７ を発見して、分数 １/７ は、
１４２８５７/９９９９９９ と書けるので、６桁目で循環し、その循環節は「１４２８５７」であると
する方は、「多分いない！」と思う。
（追記） 平成１８年５月３１日付け
今頃の高校１年生は、実数という話の中で循環小数のことを学ぶ。（進学校といわれるとこ
ろでは既に終わっているかもしれないが．．．）
その計算の際、上記のようなことを知っていれば、自分が計算ミスをしているのかしていな
いのかの判定ができる。ただ、それは高校１年生にとっては難しすぎる判定法である。
最近、もっと簡便な判定法があることを知った。それは、
７以上の素数 ｐ に対して、その逆数 １/ｐ の循環節は必ず ９ の倍数になる
ということである。
たとえば、 １/７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・・ から、１/７ の循環節は、１４２８５７ で、
各位の数の和 １＋４＋２＋８＋５＋７＝２７ が９の倍数であることから、１４２８５７ は９の
倍数となる。
１/７ 程度だったら計算ミスのしようがないかもしれないが、一応簡便な検算が瞬時にで
きる。
１/１７ などは、循環することが分かってはいても、
１/１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７０５８８２３５２９４１１７６４７・・・・
のような計算が続くと辟易してしまう。これも循環節 ０５８８２３５２９４１１７６４７ について、
０＋５＋８＋８＋２＋３＋５＋２＋９＋４＋１＋１＋７＋６＋４＋７＝７２
から、９の倍数となることが確かめられ、ほぼ計算は合っているものと推察される。
このような事実は次のようにして示される。
たとえば、 ｘ＝０．１４２８５７１４２８５７・・・・ とおくと、
１００００００ｘ＝１４２８５７．１４２８５７１４２８５７・・・・
小数点以下が同じ数字の並びなので、辺々引いて、
９９９９９９ｘ＝１４２８５７
左辺は９の倍数なので、右辺の１４２８５７も９の倍数となる。
（参考文献：玉木英彦 著 小学生にピタゴラス （みすず書房））
（追記） 平成１８年７月１７日付け
上記において、循環する小数 １/ｐ （ｐは素数）が何桁目で循環するかは、
１０ｎ≡１ （ｍｏｄ ｐ）
を利用すればよいことが分かった。
すなわち、循環節の長さが ｎ であるとき、１０ｎ を ｐ で割った余りは、１ となる。
このことに関連して、次の事実も知られているようだ。
既約分数 ｂ/ａ において、ａ は、２ および ５ を素因数に持たないものとする。
このとき、
既約分数 ｂ/ａ の循環節の長さが ｎ であるとき、１０ｎ を ａ で割った余りは、
ｂ の値に無関係で、いつも １ である。
（証明） ｒ ＝ ｂ/ａ （ ａ と ｂ は互いに素）とおくと、条件より、ある自然数 ｍ に対して、
１０ｍ＋ｎ・ｒ − １０ｍ・ｒ ＝ｓ （ ｓ は自然数）
と書ける。 すなわち、 （１０ｎ − １）１０ｍ・ｂ ＝ ｓ・ａ （ ｓ は自然数）
条件より、右辺は ａ で割り切れ、１０ｍ・ｂ と ａ は互いに素なので、１０ｎ − １ が ａ で割
り切れる。したがって、１０ｎ を ａ で割った余りは、ｂ によらず、いつも １ である。（終）
例 １０ を ３ で割った余りは、１ なので、既約分数 １/３ や ２/３ の循環節の長さは、１
例 １００００００ を １３ で割った余りは、１ なので、既約分数 １/１３ 、２/１３、・・・ の循環
節の長さは、６
（追記） 平成２１年４月１０日付け
上記において、１/７ の循環節は、「１４２８５７」であることを知ったが、この数は、さらに
次のような面白い現象を引き起こすことを最近知った。
１４２８５７×３２６＝４６５７１３８２
と、電卓を使って計算結果を求めては、その面白さはうかがい知れない。
筆算で求めると、
となり、同じ数字が縦に並ぶ様は、美しい！
実は、このような現象が起きるカラクリは、乗数の「３２６」にある。この数は、ある特殊な
計算で求められる。
