日常生活で何気なく使っている数、例えば、２４６ などは、ある約束のもとに記述されてい
る。 ２４６ は、「にーよんろく」とは呼ばず、正しくは、「にひゃくよんじゅうろく」である。もっと
も、国道２４６号線は、通称「にーよんろく」と呼ばれるが、これはあくまでも通称である。
したがって、同じ数字でも、書かれてある順番によって異なった意味合いをもつ。
整数で、一番右側の数は、一の位、その左は、十の位、またその左は、百の位、・・・ と
言われる。このことを明瞭に表すには、次のように書けばよい。
２４６(10)＝２・１０2＋４・１０＋６
このとき、「２４６」のような記数法を、位取り記数法、そして、その数を、右辺のように記
す方法を 十進法展開 というようだ。
（「じっしんほうてんかい」と読む！恥ずかしながら今まで「じゅっしんほうてんかい」とずっと読んでまし
た ．．． ｆ(^^;) ）
この位取り記数法は、インドでの「零（０）の発見」がなかったら、なかった記数法だと思う。
もしかしたら、今でも、Ⅰ、Ｖ、Ｘ、Ｌ、Ｃ、Ｄ、Ｍ といったローマ数字を使っていたかもしれ
ない。（これは、非常に辛い記数法である。詳しくは、こちらを参照）
十進法の位取り記数法では、１０になると位が１つ繰り上がるという性質をもつ。これが、
位が異なるごとに違う記号を用いたローマ数字との決定的な違いである。
十進法展開の考えは、ｐ進法展開に一般化される。但し、ｐ は、２以上の整数とする。
ａ0ｐn＋ａ1ｐn-1＋ａ2ｐn-2＋・・・＋ａn-1ｐ＋ａn （各ａｋは、０≦ａｋ＜ｐ なる整数）
で表された数を、ｐ進法展開された数といい、各位の数を並べて、ｐ進法の位取り記数法
が得られる。
ａ0ａ1ａ2・・・ａn-1ａn(p)
例 ４進法で、１２３ は、十進法ではいくつか？
１２３(4)＝１・４2＋２・４＋３＝１６＋８＋３＝２７
例 十進法で、１２３ は、５進法でいくつか？
１２３(10)＝５・２４＋３＝５・（５・４＋４）＋３＝４・５2＋４・５＋３ より、１２３ を、５進法で表
すと、 ４４３(5) となる。
十進法で表された数を、ｐ進法に変換する場合、上記のように計算することはまずない。
通常次のような筆算で求められる。
上記では、整数の ｐ 進法展開を計算したが、もちろん、小数の ｐ 進法展開もありうる。
ａ1ｐ-1＋ａ2ｐ-2＋・・・＋ａnｐ-n＋・・・ （各ａｋは、０≦ａｋ＜ｐ なる整数）
例 ４進法で、０．１２２ は、十進法ではいくつか？
０．１２２(4)＝１・４-1＋２・４-2＋２・４-3＝１３/３２
例 十進法で、０．１２２ は、５進法でいくつか？
０．１２２＝ａ1５-1＋ａ2５-2＋ａ3５-3＋ａ4５-4＋ａ5５-5＋・・・ において、
０．１２２×５＝０．６１＝ａ1＋ａ2５-1＋ａ3５-2＋ａ4５-3＋ａ5５-4＋・・・ より、ａ1＝０
０．６１×５＝３．０５＝ａ2＋ａ3５-1＋ａ4５-2＋ａ5５-3＋・・・ より、ａ2＝３
このとき、０．０５＝ａ3５-1＋ａ4５-2＋ａ5５-3＋・・・ となり、
０．０５×５＝０．２５＝ａ3＋ａ4５-1＋ａ5５-2＋・・・ より、ａ3＝０
０．２５×５＝１．２５＝ａ4＋ａ5５-1＋・・・ より、ａ4＝１
０．２５×５＝１．２５ （これは上記値と同じで上の計算が以下繰り返される。）
・・・・・・・・・・・・・・・
したがって、 ０．１２２ を、５進法で表すと、０．０３０１１１・・・ すなわち
となる。
この例からも分かるように、十進法の世界で有限小数であっても、ｐ進数の世界では、循
環小数となる場合がある。
整数の場合と同様にして、小数の場合は、次のような筆算で求めるのが普通である。
（追記） 平成２５年９月２１日付け
放送大学文京校舎で、「代数曲線と幾何学」と題して、飯高先生のレクチャーがあるという
ことで参加してきた。飯高先生とは３０年ほど前、仙台の東北大学で行われた代数幾何学シ
ンポジウムでお見かけして以来であったが、気さくなお人柄は相変わらずで楽しい時間を共
有することが出来た。講義の合間合間のエピソードがとても面白かった。
例えば、Wikipediaでは、Shafarevichが小平次元を名付けたことになっているが、それは誤
りで、本当は、小平先生から誘われて入った喫茶店で飯高先生が小平次元と命名したいと
申し出て、６００円のケーキセットで了解してもらったとか．．．。飯高先生のお話を伺っている
と、代数幾何学の大御所である、小平邦彦、Shafarevich、Hartshorne、・・・の書籍から受け
る印象とはまた違って、とても人間味あふれる人柄がうかがい知れた。
その中で、雑談ではあったが、「１/５の７進法展開は如何？」ということが話題になった。
私は、頭の中で、上記のように、１/５＝０．２を順次７倍して整数部分をつなげて、
０．１２５４１２５４・・・・
を得たが、飯高先生は次のような別解を紹介された。
１は５で割れないから０がたち、０を補って１０（７進数）とする。これは十進法で７で、５で割る
と１がたち２余る。
２０（十進法で１４）として５で割ると２がたち４余る。
４０（十進法で２８）として５で割ると５がたち３余る。
３０（十進法で２１）として５で割ると４がたち１余る。以下、繰り返しとなる。
従って、１/５の７進法展開は、 ０．１２５４１２５４・・・・
さらに、飯高先生は、次のような性質も面白いと紹介された。
１/５の７進法展開の循環節 １２５４ を２と５の間で２つの数１２と５４に分け足してみると、
１２＋５４＝６６
となる。ここで、６は、６＝７－１からくる。十進法展開で、１/７の循環節は、１４２８５７ であ
るが、これも、 １４２＋８５７＝９９９ （９＝１０－１） となり、同じ現象である。
（→ 参考：「循環小数の不思議」）
（コメント） 計算の簡明さから言うと、７を掛けた方が分かりやすいと思うが、飯高先生の方
法も有りかなと思う。
ｐ進法展開は、整数に対して、その各位の数は一意に定まるが、小数の場合は、２通りに
表される場合がある。
たとえば、十進法展開で、有限小数の ０．５ という数は、
０．５００００００００・・・・・・ または ０．４９９９９９９９・・・・・・
と２通りに表される。しかし、その値は、ともに等しい。
例 今、ある整数の３進法展開が２通りに表せたものとする。すなわち、
ａ・３2＋ｂ・３＋ｃ ＝ ｄ・３2＋ｅ・３＋ｆ （但し、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ は０，１，２ の何れかの数）
このとき、ｃ－ｆ ＝９（ｄ－ａ）＋３（ｅ－ｂ） より、 ｃ－ｆ は３の倍数であるが、
－２＜ｃ－ｆ ＜２ なので、ｃ－ｆ ＝０ となる。 よって、ｃ＝ｆ
同様にして、ｂ－ｅ ＝３（ｄ－ａ） より、ｂ＝ｅ すなわち、ｄ＝ａ となる。
以上と同様にして、整数のｐ進法展開の方法は、一意的であることが分かる。
また、ｐ進法の位取り記数法において、最小の ｎ 桁の数は、１００・・・０(p)＝ｐｎ-1
0 が ｎ-1 個
ｐ進法の位取り記数法において、最大の ｎ 桁の数は、qqq・・・q(p)＝ｐｎ－１
q=p-1 が ｎ 個
したがって、ｐ進法の位取り記数法において、ｎ 桁の数は、
ｐｎ-1（ｐ－１） 個
ある。（ただし、０ は、この場合の計算からは除外されている。）
（参考文献：宮原 繁 著 整数 （科学新興社モノグラフ））
（追記） 平成２０年９月７日付け
２進法で表された整数を小さい順に並べ、
１ 、１０ 、１１ 、１００ 、１０１ 、・・・・・・
としたとき、初めの方から数えて１６番目の数は何かと問われれば、
から、直ちに、 １００００ であることが分かる。即ち、単に、「１６」という十進法の整数を
２進法の整数に直せばよい。
ところが、問題の出し方を変えると、俄然難しく感じられる。
０ 、１ 、２ の３個の数字のみをいくつか使って横に並べ整数を作る。ただし、先頭か
ら並ぶ「０」は無視して考えるものとする。
このとき、 １、２、・・・・ と並んでいる数列で、数字の「１」が使われているときは、その
整数は飛ばして数えるものとする。最初から数えて１６番目の整数は何だろうか？
これは、０ と ２ のみを使って出来る整数を小さい順に並べて、
２ 、２０ 、２２ 、２００ 、２０２ 、２２０ 、２２２ 、 ・・・・・
としたとき、最初から数えて１６番目の整数を問う問題である。
上記の数列は、０ と １ のみを使って出来る２進法の整数列
１ 、１０ 、１１ 、１００ 、１０１ 、１１０ 、１１１ 、 ・・・・・
に対応し、十進法に直せば、
１ 、２ 、３ 、４ 、５ 、６ 、７ 、 ・・・・・
ということである。
１６ を２進法に直せば、 １００００ であるので、求める整数は、 ２００００ となる。
最近、こんな話題が、平成２０年８月２４日、「熱血！平成教育学院」（フジテレビ系）で取
り上げられた。
１、２、・・・・ と並んでいる数列で、数字の「４」、「９」が使われているときは、
その整数は飛ばして数えるものとする。
最初から数えて４００番目の整数は何だろうか？
この問題を考えるために、下表のような十進法の数字と８進法の数字の対応を考える。
