「トリビアの泉」（フジテレビ系）は私の好きな番組の一つだった。無駄知識とはいいつつ
も、自分の知らないことを知らされる番組で、思わず「へぇ〜」と唸ってしまうところに、人気
の秘密があるのだろう。特番でもいいので是非復活を期待したいものだ。
先日、数学に関係するトリビアが放映された。
１１１１１１１１１×１１１１１１１１１＝１２３４５６７８９８７６５４３２１
このことは、巷間の話題にもなり、私自身にも感想を求められた。
「数学を生業としている者にとって、これは常識で、何も驚くほど感心することではないです
ね！」
などと言ったら反感を買ってしまいそうなので、「面白い現象ですね！」に留めた。
この数字の「１」が続く数は、上記のような性質のほか、次のような面白い性質をあわせ持
つ数である。
１
１１ ・・・ 素数 （← １以外の数で、１と自分自身以外約数を持たない数）
１１１ ・・・ ３×３７ と素因数分解され、合成数
１１１１ ・・・ １１×１０１ と素因数分解され、合成数
１１１１１ ・・・ ４１×２７１ と素因数分解され、合成数
１１１１１１ ・・・ ３×７×１１×１３×３７ と素因数分解され、合成数
１１１１１１１ ・・・ ２３９×４６４９ と素因数分解され、合成数
１１１１１１１１ ・・・ １１×７３×１０１×１３７ と素因数分解され、合成数
１１１１１１１１１ ・・・ ３×３×３７×３３３６６７ と素因数分解され、合成数（→こちらを参照）
１１１１１１１１１１ ・・・ １１×４１×２７１×９０９１ と素因数分解され、合成数
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
１１１１１１１１１１１１１１１１１１ ・・・ ３×３×７×１１×１３×１９×５２５７９×３３３６６７ と
素因数分解され、合成数
１１１１１１１１１１１１１１１１１１１ ・・・ 素数
（１が１９個）
１が続くと、何となく素数っぽいが、実は、そんなことは全然なくて、素数である方が不思議
なのだ！
特に、１が偶数個並んだ数（１１は除く）は必ず合成数である。
実際に、各位の数を交互に足したり引いたりしていくと、その計算結果は、０ となり、よって、
１１の倍数となる。（→参考：「倍数の判定」） したがって、合成数となる。
このことから、数字の「１」が続く数は、半分以上が合成数となる。
１が偶数個並んだ数について、
１１１１＝１１×１０１
１１１１１１＝３×７×１１×１３×３７
１１１１１１１１＝１１×７３×１０１×１３７
・・・・・・・・・
特に、連続する３つの素数の積 ７×１１×１３＝１００１ は、シェヘラザーデ数と言われ、
千一夜物語に由来する数である。
１００１という数は、 ａｂｃ×１００１＝ａｂｃａｂｃ という性質を持つことから、任意の３桁の数
を並べて出来る６桁の数は必ず ７、１１、１３の倍数となる。これ以外に、
１００１＝１１×（１2＋２2＋３2＋４2＋５2＋６2）
１００１＝１×１１＋２×２２＋３×３３＋４×４４＋５×５５＋６×６６
などの面白い性質を持つ。
１が奇数個並ぶ場合は、素数、合成数となる可能性がともにあり、吟味が必要である。
下記の本によれば、１から始めて、１が １０００個続く数までのうち、素数となるものは、
２個 、１９個 、２３個 、３１７個
の４通りしかないそうである。（これって、トリビアじゃないですよね！？）
（参考文献：今野紀雄 著 数の不思議 （ナツメ社））
読者の方に練習問題を一つ残しておこう。
問 題 １１１・・・１１（１が９１個並んだ数）は合成数であることを示せ。
（解） ９１＝７×１３ なので、
１１１・・・１１（１が９１個並んだ数）
＝１＋１０＋１０2＋・・・＋１０6＋１０7＋１０8＋・・・＋１０84＋・・・＋１０90
＝（１＋１０＋・・・＋１０6）＋１０7（１＋１０＋・・・＋１０6）＋・・・＋１０84（１＋１０＋・・・＋１０6）
＝（１＋１０＋・・・＋１０6）（１＋１０7＋・・・＋１０84）
と２数の積の形に分解されるので、合成数である。 （終）
（追記） １が続く数といったら、次のような計算結果も面白い。
６2−５2＝１１
５６2−４５2＝１１１１
５５６2−４４５2＝１１１１１１
どうして、このような現象が起こるのであろうか？
（原理） ５５６2−４４５2＝(５５６＋４４５)(５５６−４４５)＝１００１×１１１＝１１１１１１
すなわち、足して １００１で、引いて １１１ という数なら必ず上記のような性質を持つ。
そのような数は残念ながら、３桁の数では、５５６ と ４４５ の組合せしか存在しない。
したがって、ある意味で、上記の性質は、５５６ と ４４５ という２つの数の固有の性質とい
える。
（追記） このページでは「連綿と続く１」と題して、「１１・・・・１」という数の性質の面白さを取
り上げているが、また新しい話題を得ることができたので紹介したい。
数の「１１」はとても健気で律儀である。４桁の左右対称な数には大抵「１１」が、その身を
心配するかのように潜んでいる。
たとえば、
１１１１＝１１×１０１
１３３１＝１１×１１×１１＝１１×１２１
１４４１＝１１×１３１
１６６１＝１１×１５１
２１１２＝１１×３×２6＝１１×１９２
２２２２＝１１×２×１０１＝１１×２０２ （← １１１１＝１１×１０１）
２６６２＝１１×１１×１１×２＝１１×２４２ （← １３３１＝１１×１２１）
２７７２＝１１×２2×３2×７＝１１×２５２
２８８２＝１１×２×１３１＝１１×２６２ （← １４４１＝１１×１３１）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
（追記） 次のような計算を、「暗算で求めてね！」といわれたら、どう考えればいいだろうか？
（１２３４５６７９×９）×（１２３４５６７９×９）
この計算は、このページが話題としていることを熟知していれば簡単であろう。
（計算） １２３４５６７９×９＝１２３４５６７９×（１０−１）＝１２３４５６７９０−１２３４５６７９
すなわち、 １２３４５６７９×９＝１１１１１１１１１ なので、
与式＝１１１１１１１１１×１１１１１１１１１＝１２３４５６７８９８７６５４３２１
これって、まさに冒頭の「トリビアの泉」ですね！？
（参考文献：伊藤 宏 著 数学トレーニング （彰国社））
（追記） 平成１８年４月７日、「たけしの誰でもピカソ」（テレビ東京 金曜 22:00〜22:54）で、
この「連綿と続く１」の数のことが話題になった。
１×９＋２＝ １１
１２×９＋３＝ １１１
１２３×９＋４＝１１１１
番組中では上記の原理は説明されなかったが、次の式変形から、その原理は明らかだろう。
１２３４５−１２３４＝１１１１１ （←各位の数が連続する数から一位の数を除いたものを引く）
１２３４０−１２３４＋５＝１１１１１ （←引かれる数の一位の数を別扱いする）
１２３４×１０−１２３４＋５＝１１１１１ （←以下の計算で、２数を因数分解する）
１２３４×（１０−１）＋５＝１１１１１
１２３４×９＋５＝１１１１１
このような発想は、（追記）における、１２３４５６７９×９ の計算を逆に考えたものである。
１２３４５６７９０−１２３４５６７９＝１１１１１１１１１
１２３４５６７９×（１０−１）＝１１１１１１１１１
１２３４５６７９×９＝１１１１１１１１１
上記の性質の一般的な場合を、投稿一覧「１２３４５６７８９」において、ＦＮさんが証明され
ました。
（追記） 令和２年２月９日付け
上記で与えられた関係式
１×９＋２＝ １１
１２×９＋３＝ １１１
１２３×９＋４＝１１１１
を、次のように変形すると、また違った視点が得られる。
１×９＋１×２＝ １１
１２×１８＋２×３＝ ２２２
１２３×２７＋３×４＝３３３３
問題 次の空所を補充せよ。
１２３４×（ ）＋（ ）×（ ）＝４４４４４
（答え）は明らかに、 １２３４×３６＋４×５＝４４４４４ である。
（追記） 平成２５年８月２５日付け
「連綿と続く１」に関わる性質として、次の事実も興味深い。
１０と互いに素な全ての自然数は、１１・・・１のような倍数を必ず持つ
例 ３×３７＝１１１ 、７×１５８７３＝１１１１１１ 、９×１２３４５６７９＝１１１１１１１１１
１１×１０１＝１１１１ 、１３×８５４７＝１１１１１１ 、 ・・・
（証明） １０と互いに素な自然数をＮとすると、９Ｎも１０と互いに素な自然数となる。
このとき、フェルマーの定理により、 １０φ（９Ｎ）−１≡０ （ｍｏｄ ９Ｎ）
よって、 ９９９・・・９９＝９Ｎ×Ｍ より、 １１１・・・１１＝Ｎ×Ｍ
したがって、Ｎの倍数の中に、１１１・・・１１のような倍数が必ず存在する。 （証終）
（コメント） ７×１５８７３＝１１１１１１ の例からも分かるように、（証明）では、倍数の存在を
保証しているが、そこから求められる等式は決して効率的なものではない。
実際に、Ｎ＝７ の場合、 φ（９Ｎ）＝（３2−３）（７−１）＝３６ なので、
９９９９９・・・９９＝６３Ｍ より、 １１１１１・・・１１＝７Ｍ
（↑９が３６個続く数） （↑１が３６個続く数）
となるが、７×１５８７３＝１１１１１１ の場合の１が６個続く場合に比べると見劣りがする。
効率的な求め方は存在するのだろうか？
読者の方に練習問題を残しておこう。
練習 １７×（ ）＝１１１１１・・・１１ が成り立つとき、空所（ ）を補充せよ。
（追記） 平成２５年９月１３日付け
「連綿と続く１」の話題が大学入試問題にも出現しました！驚きです．．．。
東京大学 前期理系（２０１３）
次の命題Ｐを証明したい。
命題Ｐ 次の条件（ａ）、（ｂ）をともに満たす自然数（１以上の整数）Ａが存在する。
（ａ） Ａは連続する３つの自然数の積である。
（ｂ） Ａを１０進法で表したとき、１が連続して９９回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
（１） ｙを自然数とする。このとき、不等式
ｘ3＋３ｙｘ2＜（ｘ＋ｙ−１）（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ＋１）＜ｘ3＋（３ｙ＋１）ｘ2
が成り立つような正の実数 ｘ の範囲を求めよ。
（２） 命題Ｐを証明せよ。
（１）の不等式がどのような発想で見いだされるのか、大いに興味がある。また、その使い
方にも．．．。本番で、このような問題に出会ったら、部分点をねらう要素も見つからず捨て
問かな？
（追記） 平成３１年４月１６日付け
突然、１５８７３×４２を計算してと言われて計算してみたら、何と、６６６６６６なんですね！
これは美しいと思ったのだが、そもそもこの問題が、１１１１１１＝３×７×１１×１３×３７に
関係する問題だと後で知って驚きました。
すなわち、
１５８７３×４２＝（３・１１・１３・３７）×（２・３・７）
＝（３×７×１１×１３×３７）×６＝１１１１１１×６＝６６６６６６
（追記） 令和５年４月２５日付け
３７×３＝１１１ という性質を有効活用すると、次の問題が簡単に解かれる。
問題 １１１１１１１１（１が８個） を３７で割った余りを求めよ。
（解） １１１１１１１１＝１１＋１１１００＋１１１０００００ と分解して考えると、
１１１≡０ （ｍｏｄ ３７） なので、 １１１００≡０ 、１１１０００００≡０ （ｍｏｄ ３７）
よって、 １１１１１１１１≡１１ （ｍｏｄ ３７） なので、求める余りは、１１ である。 （終）
この趣旨を活かした問題が、広島学院（２０１１）で出題されている。
問題 ８８８・・・８８（８が２０個） を３７で割った余りを求めよ。
（解） ８８８・・・８８＝８×１１１・・・１１（１が２０個） と考えて、
１１１・・・１１（１が２０個）
＝１１＋１１１００＋１１１０００００＋・・・＋１１１０００・・・００（←０が１７個）
このとき、 １１１・・・１１≡１１ （ｍｏｄ ３７） なので、
８８８・・・８８≡８８≡１４ （ｍｏｄ ３７）
よって、８８８・・・８８（８が２０個） を３７で割った余りは、１４ （終）
＃ ３７×３＝１１１ のような性質を持つ数として、このページの冒頭に一覧が表示されている
ように、２３９×４６４９＝１１１１１１１ も有名だろう。因みに、２３９も４６４９も素数である。
読者のために練習問題を残しておこう。
練習問題 ３３３・・・３３（３が２００個） を２３９で割った余りを求めよ。
（解） １１１１１１１≡０ （ｍｏｄ ２３９） である。
そこで、 ３３３・・・３３＝３×１１１・・・１１（１が２００個） と考えて、
１１１・・・１１（１が２００個）
＝１１１１＋１１１１１１１００００＋１１１１１１１０００００００００００＋
・・・＋１１１１１１１００・・・００（←０が１９３個）
このとき、 １１１・・・１１≡１１１１ （ｍｏｄ ２３９） なので、
３３３・・・３３≡３３３３≡２２６ （ｍｏｄ ２３９）
よって、３３３・・・３３（３が２００個） を２３９で割った余りは、２２６ （終）
当ＨＰ読者のＨＮ「さきこ」さんからの出題です。（令和６年１月２３日付け）
ｐ を素数とする。ｐ の倍数であって、全ての位の数が 1 （１１１・・・１１）であるようなものが
存在しないような ｐ を全て求めてください。
（コメント） 確実に、「ｐ＝２やｐ＝５」はありますよね！ｐ＝３は、３×３７＝１１１で駄目だし、
ｐ＝７は、７×３×１１×１３×３７＝１１１１１１で駄目。
ｐ＝１１は、１１×１０１＝１１１１で駄目、
ｐ＝１３は、１３×７×３×１１×３７＝１１１１１１で駄目。・・・
果たして「ｐ＝２やｐ＝５」以外に存在するのかな？
らすかるさんからのコメントです。（令和６年１月２３日付け）
条件を満たすのは、ｐ＝２、５ だけですね。
ｐ＝３ のとき、3×37=111
ｐが ２、３、５ 以外のとき、１/ｐが純循環小数になることから、循環桁数をｎ、循環節1周期分
の値をNとすれば、１/ｐ＝N/(10^n−１) より、Nｐ＝10^n−１
右辺は、９で割り切れますが、ｐは３で割り切れませんので、Nが９で割り切れ、
(N/９)ｐ＝(10^n−１)/９
この右辺は、「111…11」ですから、ｐをN/９倍すれば、「111…11」になることがわかります。
例えば、
ｐ＝７ ならば、１/ｐ＝0．142857142857… で、142857/9＝15873 なので、
7×15873＝111111
ｐ＝２３ ならば、１/ｐ＝0．04347826086956521739130434782608695652173913… で、
434782608695652173913/9＝48309178743961352657 なので、
23×48309178743961352657＝1111111111111111111111
のようになります。
（コメント） 理論的な裏付けに合点しました！らすかるさんに感謝します。
以下、工事中！
