・ 不思議な数                    S.H氏

 12,345,679 という数は、とても不思議な数だ。

    12,345,679×45=555,555,555

    12,345,679×81=999,999,999

という計算結果を見せられると、思わず神秘さを感じてしまう。でも、原理は単純だ。

    12,345,679×9=111,111,111

という式が成り立つからだ。このような性質を持つ数は、他にもあるのだろうか?

(参考文献:ナギビン 著 山崎 昇・宮本敏雄 訳 数学玉手箱 (東京図書))


 攻略法さんが、上記の話題について考察された。(平成23年12月6日付け)

 9が並ぶ数や1が並ぶ数をかけるときれいな数が並ぶ。

 12345679*9=111111111

 12345679*99999999=1234567887654321 (同じ桁の9の並び)

 12345679*1=12345679


同様に、

 1122334455667789*9=10101010101010101

 1122334455667789*99=111111111111111111

 1122334455667789*9999999999999999=11223344556677888877665544332211


 以降は中央に9が湧く。

 1122334455667789*99999999999999999=112233445566778898877665544332211

 1122334455667789*999999999999999999=1122334455667788998877665544332211

 1122334455667789*11=12345679012345679

 111222333444555666777889*9=1001001001001001001001001

 111222333444555666777889*99=11011011011011011011011011

 111222333444555666777889*999=111111111111111111111111111

 111222333444555666777889*999999999999999999999999
             =111222333444555666777888888777666555444333222111

 111222333444555666777889*11=1223445667890112334556779

 111222333444555666777889*111=12345679012345679012345679

 11112222333344445555666677778889*9=100010001000100010001000100010001

 11112222333344445555666677778889*99=1100110011001100110011001100110011

 11112222333344445555666677778889*999=11101110111011101110111011101110111

 11112222333344445555666677778889*9999=111111111111111111111111111111111111

 11112222333344445555666677778889*99999999999999999999999999999999
      =1111222233334444555566667777888888887777666655554444333322221111

 11112222333344445555666677778889*11=122234445666788901112333455567779

 11112222333344445555666677778889*111=1233456679001233456679001233456679

 11112222333344445555666677778889*1111=12345679012345679012345679012345679



(追記) 平成26年1月23日付け

 数学セミナー’14 2月号(日本評論社)の「エレガントな解答をもとむ」に、上記の話題に
関連する問題が出題された。

 12345679を14倍すると、「172839506」で、「4」以外の0〜9の数字がすべて出現
している。

 これは、3の倍数を除いた80までの自然数倍で見られる現象とのことである。

例 12345679×10=123456790 ・・・ 8以外

  12345679×11=135802469 ・・・ 7以外

  12345679×16=197530864 ・・・ 2以外

  12345679×17=209876543 ・・・ 1以外

  12345679×19=234567901 ・・・ 8以外

  12345679×20=246913580 ・・・ 7以外

 このように計算してみると、除かれる数字に法則性がありそうだ。

 (仮説) 12345679×Nを計算するとき、除かれる数字は、

        9−[N mod 9]

 例えば、N=20 のとき、[20 mod 9]=2 なので、除かれる数字は、

     9−[20 mod 9]=9−2=7 (上記の計算結果に一致)

練習問題  12345679を49倍するとき、出現しない数字は何か?

(解) 9−[49 mod 9]=9−4=5  (終)

 実際に、 12345679×49=604938271 より、5が出現しない。

 80までは上記の性質が成り立つとのことなので、実際に計算してみた。

 12345679×80=987654320 ・・・ 1以外

 12345679×82=1012345678 ・・・ 9以外

 12345679×83=1024691357 ・・・ 8以外

  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 計算してみると、80を超えても性質は成り立っていそう...な雰囲気

 多分、数字が1回ずつという条件で、80までの自然数という縛りをつけただけなのだろう。

 でも、この性質はなぜ成り立つのだろう?それを示せというのが、数学セミナーの問題と
なっている。

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