倍数の判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数を扱うとき、その数の特徴を瞬時に理解することは大切なことである。

例　１２３４５　は、１５ の倍数である。
　　 ９２４　は、４ で割り切れる。

　分数計算等で、たとえば、１５２１/６１２　などを瞬時に　１６９/６８　と約分してみせると、
たいていの生徒はびっくりするが、そのからくりは、数の特徴を知っているかどうかにかか
っている。（分子、分母ともに ９ の倍数なので、９ で割っているにすぎない。）

　上記の判定方法を統一的に理解するために、次のことを知らなくてはならない。

十進法展開　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ

　　　　　 　　　（　ただし、ａ、・・・、ｂ、ｃ、ｄ　は整数で、０ ≦ ａ、・・・、ｂ、ｃ、ｄ ≦ ９、ａ≠０ )

合　同　式　：　こちら を参照

　さて、倍数の判定について、その理論的根拠をまとめておこう。

　２ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、１０とその
　　　　　　　　　　　　　べきは、２の倍数なので、一の位の数 ｄ が２の倍数かどうかを判断
　　　　　　　　　　　　　すればよい。

　３ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０≡１　（ｍｏｄ　３）から、１０^ｎ≡１　（ｍｏｄ　３）である。よって、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡ ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ　となり、Ｎ ≡ ０　（ｍｏｄ　３）となるために
　　　　　　　　　　　　　は、ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　３）であることが必要十分であ
　　　　　　　　　　　　　る。

　４ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０²≡０　（ｍｏｄ　４）であるので、ｃ×１０＋ｄ　すなわち、下二桁が
　　　　　　　　　　　　　４の倍数かどうかが、Ｎが４の倍数かどうかを判断する基準となる。

　　　　　　　　　　　　広島工業大学の大川研究室から、次のような判定法があることをお教えいただいた。
　　　　　　　　　　　　　　ｃ×１０＋ｄ　が４の倍数のとき、ｃ×１０＋ｄ＝４ｋ　（ｋ は整数）とお
　　　　　　　　　　　　　ける。このとき、ｃ×１０＋ｄ ≡ ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　２）なので、ｄ＝２ｄ’
　　　　　　　　　　　　　とおける。よって、ｃ×１０＋２ｄ’＝４ｋ　より、５ｃ＋ｄ’＝２ｋ　なので、
　　　　　　　　　　　　　５ｃ＋ｄ’≡ｃ＋ｄ’≡０　（ｍｏｄ　２）となる。
　　　　　　　　　　　　　逆に、ｃ＋ｄ’≡０　（ｍｏｄ　２）のとき、ｃ×１０＋ｄ　は４の倍数となる。

　５ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、１０とその
　　　　　　　　　　　　　べきは、５の倍数なので、一の位の数 ｄ が５の倍数かどうかを判断
　　　　　　　　　　　　　すればよい。

　６ の倍数の判定　：　６＝２×３　で、２と３は互いに素であることから、２の倍数かつ３の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

　７ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０³≡−１　（ｍｏｄ　７）であるので、末位から３桁ごとに区切った数
　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀（＝ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ）、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀
　　　　　　　　　　　　　　 ≡Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・　　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が７の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　（コメント）　この７の倍数の判定法については少し不満がある。簡単な計算で求め
　　　　　　　　　　　られないので、多分実際に割った方が早いだろう！もっと簡便な方法が
　　　　　　　　　　　ないかどうか、今後の研究課題としたい。

　　　　　例　７桁の数　２１９８４５５　は７の倍数か？

　　　　　　　　２−１９８＋４５５＝２５９＝７×３７　なので、７の倍数である。

　　　　　上記の判定法では、必ず最後に３桁の数が７の倍数かどうかの判定が要求され
　　　　る。３桁の数については、次のような判定法が知られている。

　　　　　　３桁の数 ａｂｃ が、７の倍数になるのは、ａｂ−２ｃ　が７の倍数のとき

　　　　　言葉では説明が長くなってしまうので、次の例で理解してもらいたい。

　　　　　例　２５９　について、２５−９×２＝７　が７の倍数なので、２５９も７の倍数。

　　　　　（理論的根拠）　３桁の数　ａ×１０²＋ｂ×１０＋ｃ ＝１０（ａ×１０＋ｂ）＋ｃ　と変形
　　　　　　　　　　　　　　することにより、３桁の数は、１０Ａ＋ｃ　（Ａは上位２桁の数）と書け
　　　　　　　　　　　　　　る。このとき、１０Ａ＋ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）ならば、
　　　　　　　　　　　　　　１０Ａ＋ｃ≡２０Ａ＋２ｃ≡−Ａ＋２ｃ≡Ａ−２ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　逆に、Ａ−２ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）のとき、
　　　　　　　　　　　　　　２（１０Ａ＋ｃ）＝２０Ａ＋２ｃ≡２０Ａ＋２ｃ＋Ａ−２ｃ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　なので、２（１０Ａ＋ｃ）≡２１Ａ≡０　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　２と７は互いに素なので、１０Ａ＋ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→　参考：「７の倍数」）

　　　　　　（追記）　平成２１年４月２１日付け

　　　　　　　　上記の３桁の場合の７の倍数の判定方法が、朝日新聞（４/２１付け朝刊）の
　　　　　　　科学のページのコラム「小島寛之の数学カフェ」で取り上げられた。

　　　　　　　　その中で、「けたが増えれば、これを繰り返せばいい。」とあるが、どのような
　　　　　　　計算をすればいいのか、よく分からなかった。

　　　　　　　　上記の計算は、３桁の場合に限定した特別な計算なので、桁が増えた場合
　　　　　　　は、たとえば、２１９８４５５　は、「２−１９８＋４５５＝２５９＝７×３７」　のように
　　　　　　　全体を見据えて計算しないと正しい倍数の判定は出来ないと思う。

　　　　　　　　小島先生は、どのような計算を考えて上記の文章に至ったのか、全く不明で
　　　　　　　ある。今度、朝日新聞に問い合わせてみよ〜っと！


　　　　　　　　　上記の私の疑問に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」
　　　　　　　　さんが答えてくれた。

　　　　　　　　　３桁の数 ａｂｃ が、７の倍数になるのは、ａｂ−２ｃ　が７の倍数のとき

　　　　　　　　を一般化したもののようだ。（平成２３年７月４日付け）

　　　　　　　　　十の位以上と一の位を切り離し、前者から後者の2倍を引く。この操作を繰
　　　　　　　　り返して、２桁か１桁になって、それが７の倍数なら元の数も７の倍数となる。

　　　　　　　　　例　2198455の場合

　　　　　　　　　　　219845-2*5=219835
　　　　　　　　　　　21983-2*5=21973
　　　　　　　　　　　2197-2*3=2191
　　　　　　　　　　　219-2*1=217
　　　　　　　　　　　21-2*7=7

　　　　　　　　　例　864197523861の場合

　　　　　　　　　　　86419752386-2*1=86419752384
　　　　　　　　　　　8641975238-2*4=8641975230
　　　　　　　　　　　864197523-2*0=864197523
　　　　　　　　　　　86419752-2*3=86419746
　　　　　　　　　　　8641974-2*6=8641962
　　　　　　　　　　　864196-2*2=864192
　　　　　　　　　　　86419-2*2=86415
　　　　　　　　　　　8641-2*5=8631
　　　　　　　　　　　863-2*1=861
　　　　　　　　　　　86-2*1=84
　　　　　　　　　　　8-2*4=0

　　　　　　　　　　実際に、このことを証明してみよう。

　　　　　　　　　　　　ｋ桁の自然数AB…CDが７の倍数になるのは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AB…C-2*D が７の倍数のとき

　　　　　　　　（証明）　

　　　　　　　　　　2*AB…CD+(AB…C-2*D)＝2*(10*AB…C+D)+AB…C-2*D＝21*AB…C

　　　　　　　　　より、AB…C-2*D が７の倍数のとき、AB…CD は７の倍数になる。　（証終）


　　　　　　上記は、整数を１０単位で切った場合だが、１００単位で切った場合も同様の性質
　　　　　が成り立つ。

　　　　　　　　　３桁の数 ａｂｃ が、７の倍数になるのは、２ａ＋ｂｃ　が７の倍数のとき

　　　　　　　　（証明）　ａｂｃ＝１００ａ＋ｂｃ≡２ａ＋ｂｃ　 （mod 7）


　　　　　　　一般に、「百の位以上と十、一の位を切り離す」とき、

　　　　　　　　　　　　ｋ桁の自然数AB…CDが７の倍数になるのは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2*A…B+CD が７の倍数のとき

　　　　　　　　（証明）

　　　　　　　　　　A…BCD＝A…B*100+CD＝A…B*(7*14+2)+CD≡2*A…B+CD （mod 7）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

　　　　　　　　　例　2198455の場合

　　　　　　　　　　　2*21984+55=44023
　　　　　　　　　　　2*440+23=903
　　　　　　　　　　　2*9+3=21

　　　　　　　　　例　864197523861の場合

　　　　　　　　　　　2*8641975238+61=17283950537
　　　　　　　　　　　2*172839505+37=345679047
　　　　　　　　　　　2*3456790+47=6913627
　　　　　　　　　　　2*69136+27=138299
　　　　　　　　　　　2*1382+99=2863
　　　　　　　　　　　2*28+63=119
　　　　　　　　　　　2*1+19=21

　　　　　　　（コメント）　小島先生の「繰り返し」の意味が分かりました！攻略法さんに感謝
　　　　　　　　　　　　　します。

　　　　　（追記）　平成２１年１１月２１日付け

　　　　　　　　当ＨＰの読者であるＨＮ「ｊａｉａｓｏ」さんから、７の倍数の判定法で上記で述べた
　　　　　　　方法とは異なるものがある旨、ご教示いただいた。その方法は、

　　　　　　　　　中村義作　著　　コンピュータもびっくり！速算100のテクニック
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（講談社ブルーバックス）

　　　　　　　に書かれているとのこと。早速その書籍を買い求め、研究を行った。

　　　　　　　　上記では、　１０³≡−１　（ｍｏｄ　７）　であることを用いて、３桁毎に交互に足
　　　　　　　したり引いたりしてできる数が７の倍数かどうかで判定した。

　　　　　　　　新しい方法では、　１０⁶≡１　（ｍｏｄ　７）　であることに注目する。

　　　　　　　　このとき、　ａｂ・・・ｃ００００００ ≡ ａｂ・・・ｃ　（ｍｏｄ　７）　となるので、基本的に
　　　　　　　は６桁以下の数について議論すればよいことが分かる。

　　　　　　　　そこで、（見かけ上）６桁の数を、

　　　　　　　　　　　　ａｂｃｄｅｆ＝ａ×１０⁵＋ｂ×１０⁴＋ｃ×１０³＋ｄ×１０²＋ｅ×１０＋ｆ

　　　　　　　とおき、末尾から２桁ずつ組み合わせて、

　　　　　　　　　　ａｂｃｄｅｆ＝（ａ×１０⁵＋ｂ×１０⁴）＋（ｃ×１０³＋ｄ×１０²）＋ｅ×１０＋ｆ

　　　　　　　と考える。　ここで、　ａ×１０＋ｂ ≡ Ａ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ×１０＋ｄ ≡ Ｂ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅ×１０＋ｆ ≡ Ｃ　（ｍｏｄ　７）

　　　　　　　とおくと、　ａｂｃｄｅｆ≡Ａ×１０⁴＋Ｂ×１０²＋Ｃ　（ｍｏｄ　７）　となる。

　　　　　　　　ところで、　１０⁴＝１０・１０³≡−１０≡４　（ｍｏｄ　７）　、１０²≡２　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　であるので、　ａｂｃｄｅｆ≡４Ａ＋２Ｂ＋Ｃ　（ｍｏｄ　７）　となる。

　　　　　　　　したがって、
　　　　　　　　（１０Ｂ＋Ｃ）−（１０Ａ＋Ｂ）＝−１０Ａ＋９Ｂ＋Ｃ≡４Ａ＋２Ｂ＋Ｃ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　であることから、６桁の数 ａｂｃｄｅｆ が７で割り切れるためには、

　　　　　　　　　　　　　（１０Ｂ＋Ｃ）−（１０Ａ＋Ｂ）　が７の倍数

　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　　　例　６桁の数　２２７７５２　は７の倍数か？

左図の計算から、 　　　２２７７５２　は７の倍数である。

　　　　　　（コメント）　３桁ずつ区切るよりも、この方が計算が簡単ですね！
　　　　　　　　　　　　この解法をご教示いただいた ｊａｉａｓｏ さんに感謝します。

　　　　　　　この解法を用いると、先に上げた例も次のように解かれる。

　　　　　　例　７桁の数　２１９８４５５　は７の倍数か？

　　　　　　　　　　２００００００ ≡ ２　（ｍｏｄ　７）　なので、

　　　　　　　　　　　　　２１９８４５５ ≡ １９８４５５＋２＝１９８４５７　（ｍｏｄ　７）

左図の計算から、 　　　１９８４５７　は７の倍数である。

　　　　　　　　　したがって、　２１９８４５５　は７の倍数である。

　　　　　　　　上記の計算では、「２」を６桁の数に加えたが、６桁の場合と同様の計算を７
　　　　　　　桁目以降についても適用すれば次のような計算となる。

　　　　　　例　１２桁の数　８６４１９７５２３８６１　は７の倍数か？

左図の計算から、１２桁の数 　　８６４１９７５２３８６１ は７の倍数である。

　　　　　　（追記）　当ＨＰ読者のＨＮ「ダイナマイト高柳」さんが、７の倍数の判定方法につい
　　　　　　　　　　　て考察されました。（平成２４年１１月１６日付け）

　　　　　　　　少し設定を変えて計算していたら、合同式なしで理解できる方法にたどりつき
　　　　　　　ました。直観的にも理解しやすいのではないかと期待しております。

　　　　　　　　７の倍数の判定法について、「10以上の位と、１の位を切り離し、前者から後
　　　　　　　者の2倍を引く。この操作を繰り返し、2桁か1桁になったとき、それが7の倍数な
　　　　　　　ら元の数も7の倍数である」というものがありましたね。

　　　　　　　　ある整数をｘとおき、その１桁目をｙとおくと、前述の操作は、

　　　　　　　　　　　(ｘ−ｙ)/10−２ｙ＝(ｘ−２１ｙ)/10

　　　　　　　で表されます。

　　　　　　　　ｘもｙも整数で、ｘ−２１ｙは常に10の倍数
　　　　　　　（∵ｘと２１ｙの一の位は同一ですから、(ｘ−２１ｙ）/10も常に整数です。）

　　　　　　　　また、２１は７の倍数ですから、

　　　　　　　ｘが7の倍数のとき、ｘ−２１ｙは常に10の倍数かつ７の倍数

　　　　　　　ｘが7の倍数でないとき、ｘ−２１ｙは常に10の倍数であるが、7の倍数でない
　　　　　　　(∵ある整数nの倍数同士の和差は常にnの倍数、また、ある整数nの倍数と、
　　　　　　　　nの倍数でない数の和差は常にnの倍数でない)

　　　　　　　　つまり、この操作を行ったとき、

　　　　　　　・操作後の整数が7の倍数であれば、常にｘは７の倍数
　　　　　　　・操作後の整数が7の倍数でなければ、常にｘは７の倍数ではない

　　　　　　　ということになります。

　　　　　　　ところで、この考え方はそのまま次のように拡張されます。

　　　　　　　　ある数をｘ、その1桁目をｙとおいて、ｙにかける数をａとおくと、上記の操作は

　　　　　　　　　　　(ｘ−ｙ)/10−ａｙ＝{ｘ−(10ａ＋１)ｙ}/10

　　　　　　　ですから、ｘがある整数ｂの倍数であるとき、10ａ＋１がｂの倍数であるようなａ
　　　　　　　を定めると、{ｘ−(10ａ＋１)ｙ}/10もまたｂの倍数ということになります。

　　　　　　　　つまりこれは、ｂの倍数でないかと考えた整数をみつけたら、ｂの倍数である
　　　　　　　ような下一桁が1である数を見つけ、その10以上の桁部分をａとして、7の倍数
　　　　　　　判定のときと同じようにひいてやれば発見できるということです。

　　　　　　　　ところで、ａは正でも負でも構わないわけですから、10ａ＋１を鑑みますと、下
　　　　　　　一桁が９であるようなｂの倍数でも良さそうですね。


　　　　　　（追記）　当ＨＰ読者の方より、７の倍数の判定法についてメールを頂いた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１１月２５日付け）

　　　　　　　　7の倍数判定法について既出以外の方法がありますので、証明方法と併せて
　　　　　　　紹介させて頂ければと思いメールさせて頂きました。

　　　　　　　　ある自然数Nについて、N=Σ_k=0〜n a_k・10^k　と置くことができる。

　　　　　　　　ここで、mod 7 として、　1 ≡ 1 、10 ≡ 3 、10² ≡ 9 ≡ 2　、10³ ≡ 27 ≡-1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　10⁴ ≡ 4 ≡-3　、10⁵ ≡ -2 、10⁶ ≡ (-1）² ≡ 1　、・・・・・

　　　　　　　から、「1，3，2，-1，-3，-2」が循環的に続くことが推察される。

　　　　　　　　このとき、mod 7 として、

　　　　　　　　　N≡(a₀-a₃+a₆-・・・)+3(a₁-a₄+a₇-・・・)+2(a₂-a₅+a₈-・・・)

　　　　　　　が成り立つことがわかる。

　　　　　　　　よって、Nが7の倍数であるかどうかは、各桁の数字を抽出して、

　　　　　　　　　(a₀-a₃+a₆-・・・)+3(a₁-a₄+a₇-・・・)+2(a₂-a₅+a₈-・・・)

　　　　　　　を計算し、これが7の倍数であることを言えばよい。

　　　　　　　　また、7・10^kが7の倍数であることに注意すると、各桁で7以上の数については
　　　　　　　これから7を引いても自然数Nの剰余の性質は保存されるから、係数は、mod 7
　　　　　　　で考えれば十分である。

　　　　　　　　例　41371295 は７の倍数かどうかを判定せよ。

　　　　　　　　　　41301225について考えればよいので、

　　　　　　　　　　　(5-1+1)+3(2-0+4)+2(2-3)=5+18-2=21

　　　　　　　　　　これは、7で割り切れるので、41371295 は７の倍数である。


　　　　　　　　（※）　偶然ではあるのでしょうが、10のべき乗数の余りが、1,3,2,-1,-3,-2・・・と
　　　　　　　　　　　循環することに気付いたときには鳥肌が立ちました。恐縮ながら、参考に
　　　　　　　　　　　なれば幸いです。


　　　　　　　（コメント）　新しい視点からの考察、感動しました。別解に感謝します。
　　　　　　　　　　　　　さらに、追認してみました。

　　　　　　例　１２桁の数　８６４１９７５２３８６１　は７の倍数か？

　　　　　　　　１６４１２０５２３１６１と変換し、

　　　　　　　　（１−３＋０−４）＋３（６−２＋２−６）＋２（１−５＋１−１）＝−６−８＝−１４

　　　　　　　これは、７の倍数なので、８６４１９７５２３８６１　は７の倍数である。
　　　　　　　（計算そのものが単純で、分かりやすいですね！）


（追記）　令和２年８月２８日付け

　１１１１１１は７の倍数か？という問題に対して、７×１１×１３＝１００１　であることを知って

いれば、

　１１１１１１＝１１１×１００１＝１１１×７×１１×１３　と素因数分解できるので、７の倍数

と答える方も多いでしょう。

　もちろん、７の倍数の判定方法から、

　３桁毎に区切って、　１１１−１１１＝０　から、７の倍数

　２桁毎に区切って７で割った余りから、２桁の整数の差　４４ｰ４４＝０　から、７の倍数

としてもよい。


　８ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０³≡０　（ｍｏｄ　８）であるので、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　すなわち、
　　　　　　　　　　　　　下三桁が８の倍数かどうかが、Ｎが８の倍数かどうかを判断する基
　　　　　　　　　　　　　準となる。

　　　　　　　　　　　　広島工業大学の大川研究室から、次のような判定法があることをお教えいただいた。
　　　　　　　　　　　　　　ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　が８の倍数のとき、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ＝８ｋ　（ｋ は整数）とおける。
　　　　　　　　　　　　　このとき、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ ≡ ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　２）なので、
　　　　　　　　　　　　　ｄ＝２ｄ’とおける。よって、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋２ｄ’＝８ｋ　より、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×５０＋５ｃ＋ｄ’＝４ｋ　なので、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×５０＋５ｃ＋ｄ’≡ｃ＋ｄ’≡０　（ｍｏｄ　２）となる。
　　　　　　　　　　　　　ｃ＋ｄ’＝２ｄ”とおけるので、ｂ×５０＋５ｃ＋ｄ’＝４ｋ　に代入して、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×５０＋４ｃ＋２ｄ”＝４ｋ　となる。
　　　　　　　　　　　　　よって、ｂ×２５＋２ｃ＋ｄ”＝２ｋ　より、ｂ＋ｄ”≡０　（ｍｏｄ　２）
　　　　　　　　　　　　　逆に、ｂ＋ｄ”≡０　（ｍｏｄ　２）のとき、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　は８の
　　　　　　　　　　　　　倍数となる。

　９ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０≡１　（ｍｏｄ　９）から、１０^ｎ≡１　（ｍｏｄ　９）である。よって、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡ ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ　となり、Ｎ ≡ ０　（ｍｏｄ　９）となるために
　　　　　　　　　　　　　は、ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　９）であることが必要十分であ
　　　　　　　　　　　　　る。


（追記）　令和２年１０月８日付け

　９の倍数の性質を利用したゲームです。

問題　１〜９の９個の数字を１回ずつ全部使って２数Ａ、Ｂを作り、Ａ＋Ｂ＝Ｃとする。Ａ、Ｂを
　　　隠し、Ｃのある位の数を隠す。その数を当てよ。

（解）　Ｃ≡１＋２＋３＋・・・＋９＝４５≡０　（ｍｏｄ　９）　なので、

　　例えば、ｍｏｄ ９　で、Ｃ≡２　のとき、隠した数は、７であることが分かる。　　（終）


１０ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、１０とその
　　　　　　　　　　　　　べきは、１０の倍数なので、一の位の数 ｄ が０かどうかを判断すれ
　　　　　　　　　　　　　ばよい。

１１ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０≡−１　（ｍｏｄ　１１）であるので、
　　　　　　　　　　　 　 Ｎ ≡ ａ×（−１）^ｎ＋・・・＋ｂ×（−１）²＋ｃ×（−１）＋ｄ　（ｍｏｄ　１１）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が１１の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄ−ｃ＋ｂ−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　１１）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　６桁の数　６７４１３５　は１１の倍数か？

　　　　　　　　６−７＋４−１＋３−５＝０　なので、１１の倍数である。


　　　　　　　　　攻略法さんから、次のような判定法があることをご教示いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年７月６日付け）

　　　　　　　十の位以上をX、一の位をYとすると、元の数は、１０X＋Y　である。このとき、

　　　　　　　　　１０X＋Y　が１１の倍数であるための必要十分条件は、
　　　　　　　X−Y　が１１の倍数であること

　　　　　（証明）　１０X＋Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、Y≡−１０X 　(ｍｏｄ　１１)　より、

　　　　　　　　　　−Y≡１０X　 (ｍｏｄ　１１)　なので、　X−Y≡１１X≡０　 (ｍｏｄ　１１）

　　　　　　　　逆に、　X−Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、　X≡Y 　（ｍｏｄ　１１）　なので、

　　　　　　　　１０X≡１０Y　 (ｍｏｄ　１１）　より、　１０X＋Y≡１１Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

　　　　　例　674135の場合

　　　　　　　67413-5=67408
　　　　　　　6740-8=6732
　　　　　　　673-2=671
　　　　　　　67-1=66　・・・　１１の倍数


　　　　　　　　　さらに、攻略法さんから、次のような判定法があることをご教示いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年７月６日付け）

　　　　　　　百の位以上をX、一十の位をYとすると、元の数は、１００X＋Y　である。このとき、

　　　　　　　　　１００X＋Y　が１１の倍数であるための必要十分条件は、
　　　　　　　X＋Y　が１１の倍数であること

　　　　　（証明）　１００X＋Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、Y≡−１００X 　(ｍｏｄ　１１)　より、

　　　　　　　　　　X＋Y≡−９９Ｘ≡０　 (ｍｏｄ　１１）

　　　　　　　　逆に、　X＋Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、　X≡−Y 　（ｍｏｄ　１１）　なので、

　　　　　　　　１００X≡−１００Y　 (ｍｏｄ　１１）　より、　１００X＋Y≡−９９Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

　　　　例　674135　の場合

　　　　　　6741+35=6776　　繰り返して、　67+76=143　、1+43=44　　よって、１１の倍数

１２ の倍数の判定　：　１２＝３×４　で、３と４は互いに素であることから、３の倍数かつ４の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１３ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０³≡−１　（ｍｏｄ　１３）であるので、末位から３桁ごとに区切った数
　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀（＝ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ）、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀
　　　　　　　　　　　　　　 ≡Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・　　（ｍｏｄ　１３）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が１３の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　１３）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　１３の倍数の判定Ａ　　ｘ＝ａ＋１０ｐ　→　４ａ＋ｐが１３の倍数

（例）　１５６＝１３・１２　で１３の倍数だが、判定法によれば、
　　　６＋１０・１５　→　４・６＋１５＝３９　が１３の倍数なので、１５６は１３の倍数

（証明）　４ｘ＝４ａ＋４０ｐ≡４ａ＋ｐ　（ｍｏｄ １３）

　　　　　４ａ＋ｐ≡０　（ｍｏｄ １３）　ならば、　４ｘ≡０　（ｍｏｄ １３）

　　　　　４と１３は互いに素なので、　ｘ≡０　（ｍｏｄ １３）　　（証終）


　１３の倍数の判定Ｂ　　ｘ＝ｐ＋１００ｑ　→　ｐ＋９ｑが１３の倍数

（例）　１５６＝１３・１２　で１３の倍数だが、判定法によれば、
　　　５６＋１００・１　→　５６＋９＝６５　が１３の倍数なので、１５６は１３の倍数

（証明）　ｘ＝ｐ＋１００ｑ≡ｐ＋９ｑ　（ｍｏｄ １３）

　　　　　ｐ＋９ｑ≡０　（ｍｏｄ １３）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ １３）　　（証終）

　読者のために練習問題を置いておこう。

練習問題１　　３５２３は１３の倍数であることを示せ。

　実際に、３５２３÷１３を求めれば、答は２７１と割り切れるので、１３の倍数としてもよいが、
暗算で次のようにしてもよいだろう。

（解）　４・３＋３５２＝３６４　→　４・４＋３６＝５２　→　４・２＋５＝１３　は１３の倍数なので、
　　　３５２３は１３の倍数。　　（終）


練習問題２　　１１４７５１は１３の倍数であることを示せ。

（解）　４・１＋１１４７５＝１１４７９　→　４・９＋１１４７＝１１８３　→　８３＋９・１１＝１８２
　　　→　８２＋９・１＝９１　→　４・１＋９＝１３　は１３の倍数なので、
　　１１４７５１は１３の倍数。　　（終）


１４ の倍数の判定　：　１４＝２×７　で、２と７は互いに素であることから、２の倍数かつ７の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１５ の倍数の判定　：　１５＝３×５　で、３と５は互いに素であることから、３の倍数かつ５の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１６ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０⁴＋ｂ　において、１０⁴≡０　（ｍｏｄ　１６）なので、Ｎが
　　　　　　　　　　　　　１６の倍数であることと、ｂ が１６の倍数であることは同値である。
　　　　　　　　　　　　　したがって、ｂ を２で割った数が８の倍数であることをみればよい。
　　　　　　　　　　　　　（もちろん、ｂ を４で割った数が４の倍数であることをみてもよい。）

１７ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０＋ｂ　において、ａ−５ｂ＝１７ｎ　（ｎ は整数）のとき、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝（５ｂ＋１７ｎ）×１０＋ｂ＝５１ｂ＋１７０ｎ＝１７×（３ｂ＋１０ｎ）
　　　　　　　　　　　　　より、Ｎは、１７の倍数となる。

　　　　　　　　　　　　　または、

　　　　　　　　　　　　　　末位から２桁ごとに区切った数　Ａ₀、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^2m＋・・・＋Ａ₁×１０²＋Ａ₀　と書ける。
　　　　　　　　　　　　　　１０^2ｎ≡（−２）^ｎ　（ｍｏｄ　１７）なので、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡Ａ₀−２Ａ₁＋４Ａ₂−・・・　　（ｍｏｄ　１７）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が１７の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀−２Ａ₁＋４Ａ₂−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　１７）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　６桁の数　６７４１３５　は１７の倍数か？

　　　　　　　　３５−２×４１＋４×６７＝２２１＝１７×１３　なので、１７の倍数である。

　１７の倍数の判定Ａ　　ｘ＝ｐ＋１００ｑ　→　ｐ−２ｑ　が１７の倍数

（例）　３２３＝１７・１９　で１７の倍数だが、判定法によれば、
　　　２３−２・３＝１７　より、３２３は１７の倍数

（証明）　ｘ＝ｐ＋１００ｑ≡ｐ−２ｑ　（ｍｏｄ １７）

　　　　　ｐ−２ｑ≡０　（ｍｏｄ １７）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ １７）　　（証終）


　１７の倍数の判定Ｂ　　ｘ＝ａ＋１０ｂ＋１００ｑ　→　ａ−７ｂ−２ｑ　が１７の倍数

（例）　３２３＝１７・１９　で１７の倍数だが、判定法によれば、
　　　３−７・２−２・３＝−１７　より、３２３は１７の倍数

（証明）　ｘ＝ａ＋１０ｂ＋１００ｑ≡ａ−７ｂ−２ｑ　（ｍｏｄ １７）

　　　　　ａ−７ｂ−２ｑ≡０　（ｍｏｄ １７）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ １７）　　（証終）

　読者のために練習問題を置いておこう。

練習問題　　１０９９９は１７の倍数であることを示せ。

（解）　９９−２・１０９＝−１１９　　→　１９−２・１＝１７　は１７の倍数なので、
　　　１０９９９は１３の倍数。　　（終）


１８ の倍数の判定　：　１８＝２×９　で、２と９は互いに素であることから、２の倍数かつ９の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１９ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋ｂ×１０^ｎ-1＋・・・＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　　２^ｎＮ ＝ ａ×２０^ｎ＋２ｂ×２０^ｎ-1＋・・・＋２^ｎ-1ｃ×２０＋２^ｎｄ
　　　　　　　　　　　　　　２０≡１　（ｍｏｄ　１９）なので、
　　　　　　　　　　　　　２^ｎＮ ≡ ａ＋２ｂ＋・・・＋２^ｎ-1ｃ＋２^ｎｄ　　（ｍｏｄ　１９）
　　　　　　　　　　　　このとき、２^ｎ は１９で割り切れないので、Ｎ が１９の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＋２ｂ＋・・・＋２^ｎ-1ｃ＋２^ｎｄ≡ ０　　（ｍｏｄ　１９）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　３桁の数　３２３　は１９の倍数か？

　　　　　　　　３＋２×２＋４×３＝１９　なので、１９の倍数である。

　１９の倍数の判定Ａ　　ｘ＝ｐ＋１００ｑ　→　ｐ＋５ｑ　が１９の倍数

（例）　３２３＝１９・１７　で１９の倍数だが、判定法によれば、
　　　２３＋５・３＝３８　は１９の倍数なので、３２３は１９の倍数

（コメント）　２のべきを掛けていく判定法に比べて、こちらの方が計算が楽かな？

（証明）　ｘ＝ｐ＋１００ｑ≡ｐ＋５ｑ　（ｍｏｄ １９）

　　　　　ｐ＋５ｑ≡０　（ｍｏｄ １９）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ １９）　　（証終）


２０ の倍数の判定　：　２０＝４×５　で、４と５は互いに素であることから、４の倍数かつ５の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

２１ の倍数の判定　：　２１＝３×７　で、３と７は互いに素であることから、３の倍数かつ７の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

２２ の倍数の判定　：　２２＝２×１１　で、２と１１は互いに素であることから、２の倍数かつ
　　　　　　　　　　　　　１１の倍数かどうかを調べればよい。

２３ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０＋ｂ　において、ａ＋７ｂ＝２３ｎ　（ｎ は整数）のとき、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝（−７ｂ＋２３ｎ）×１０＋ｂ
　　　　　　　　　　　　　　 ＝−６９ｂ＋２３０ｎ＝２３×（−３ｂ＋１０ｎ）
　　　　　　　　　　　　　より、Ｎは、２３の倍数となる。

　　　　　（コメント）　この判定法は、果たして実戦的なのだろうか？


　　　　　　　　　攻略法さんから、次のような判定法があることをご教示いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年７月６日付け）

　　　　　　　末位から２桁ごとに区切った数 A₀、A₁、・・・、A_m について、元の数

　　　　　　　　　　　N＝A_m・１０^2m＋・・・＋A₁・１０²＋A₀

　　　　　が２３の倍数であるための必要十分条件は、

　　　　　　　　　　　A_m＋・・・＋A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀≡０　 (ｍｏｄ　２３)

　　　　　（証明）　３^m・N＝３^m・A_m・１０^2m＋・・・＋３^m・A₁・１０²＋３^m・A₀

　　　　　　　　 　　　　　 ＝３００^m・A_m＋・・・＋３００・A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀

　　 　　　　　　ここで、　３００≡１　 (ｍｏｄ　２３)　なので、

　　　　　　　　　　　３^m・N≡A_m＋・・・＋A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀　 (ｍｏｄ　２３)

　　　　　　　　　３^m は、２３で割り切れないので、

　　　　　　　　　　　A_m＋・・・＋A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀≡０　 (ｍｏｄ　２３)

　　　　　　　　　であることが必要十分である。　　（証終）

　　　　　例　1182936の場合

　　　　　　　1+18*3+29*3²+36*3³＝1288＝23*56 とするか、

　　　　　　　繰り返して、　12+88*3=276
　　　　　　　　　　　　　　　 2+76*3=230


　２３の倍数の判定Ａ　　ｘ＝ｐ＋１００ｑ　→　ｐ＋８ｑ　が２３の倍数

（例）　１３５７＝２３・５９　で２３の倍数だが、判定法によれば、
　　　５７＋８・１３＝１６１　→　６１＋８・１＝６９　は２３の倍数なので、１３５７は２３の倍数

（証明）　ｘ＝ｐ＋１００ｑ≡ｐ＋８ｑ　（ｍｏｄ ２３）

　　　　　ｐ＋８ｑ≡０　（ｍｏｄ ２３）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ ２３）　　（証終）


２４ の倍数の判定　：　２４＝３×８　で、３と８は互いに素であることから、３の倍数かつ８の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

２７の倍数の判定　　ｘ＝ｐ＋１０００ｑ　→　ｐ＋ｑ　が２７の倍数

（例）　１０５３＝２７・３９　で２７の倍数だが、判定法によれば、
　　　５３＋１＝５４　は２７の倍数なので、１０５３は２７の倍数

（証明）　ｘ＝ｐ＋１０００ｑ≡ｐ＋ｑ　（ｍｏｄ ２７）

　　　　　ｐ＋ｑ≡０　（ｍｏｄ ２７）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ ２７）　　（証終）

２９の倍数の判定　　ｘ＝ｐ＋１００００ｑ　→　ｐ−５ｑ　が２９の倍数

（例）　１００３４＝２９・３４６　で２９の倍数だが、判定法によれば、
　　　３４−５＝２９　は２９の倍数なので、１００３４は２９の倍数

（証明）　ｘ＝ｐ＋１００００ｑ≡ｐ−５ｑ　（ｍｏｄ ２９）

　　　　　ｐ−５ｑ≡０　（ｍｏｄ ２９）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ ２９）　　（証終）

　同様に、　ｘ＝ｐ＋３０ｑ　→　ｐ＋ｑ　が２９の倍数

（証明）　ｘ＝ｐ＋３０ｑ≡ｐ＋ｑ　（ｍｏｄ ２９）

　　　　　ｐ＋ｑ≡０　（ｍｏｄ ２９）　ならば、　ｘ≡０　（ｍｏｄ ２９）　　（証終）

３７ の倍数の判定
　　　　　　　　　　　　　　末位から３桁ごとに区切った数　Ａ₀、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀　と書ける。
　　　　　　　　　　　　　　１０^3ｎ≡１　（ｍｏｄ　３７）なので、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・　　（ｍｏｄ　３７）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が３７の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　３７）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　８桁の数　４２６７４１３５　は３７の倍数か？

　　　　　　　　４２＋６７４＋１３５＝８５１＝３７×２３　なので、３７の倍数である。

９９９ の倍数の判定
　　　　　　　　　　　　　　末位から３桁ごとに区切った数　Ａ₀、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀　と書ける。
　　　　　　　　　　　　　　１０^3ｎ≡１　（ｍｏｄ　９９９）なので、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・　　（ｍｏｄ　９９９）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が９９９の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　９９９）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

例　（参考→「虫食い算４」）


　攻略法さんが、倍数の判定について、一般化を試みられた。（平成２３年８月２４日付け）

　Ｎ ＝ ａ×１０＋ｂ　において、

　　ａ−５ｂ＝１７ｎ　（ｎ は整数）のとき、Ｎは、１７の倍数

　　ａ＋７ｂ＝２３ｎ　（ｎ は整数）のとき、Ｎは、２３の倍数

と判定することができた。

　このことの一般化を考えてみた。

　Ａ＝ａＢ＋ｂ　とおいて、gcd(ｄ，ｍ)＝１　で、ｄａ干ｃｂ＝ｍｎ　（ｎは整数）のとき、

　　ｄＡ＝ｄ（ａＢ＋ｂ）＝(±ｃｂ＋ｍｎ)Ｂ＋ｄｂ＝±(ｃＢ±ｄ)ｂ＋ｍｎＢ

において、 ｃＢ±ｄ　が ｍ の倍数なら、Ａは、ｍ の倍数となる。


　Ｂ＝１０ なら、Ａは、十の位以上の ａ と一の位の ｂ とに切り離される。

いくつか例をみていこう。

（１）　３、９の倍数の場合（※既出）

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，３)＝１、gcd(１，９)＝１　より、　ｍ＝３、９　に対する ｄの候補として、　ｄ＝１

　　　ｄ＝１ で、ｃ＝１ とすると、　ｃＢ−ｄ＝１・１０−１＝９　は、３または９の倍数

　　よって、　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋１・ｚ　が、３または９の倍数のとき、Ａは、３または９の

　倍数となる。このことを繰り返して、

　　ｘ＋・・・＋ｙ＋ｚ　が、３または９の倍数のとき、Ａは、３または９の倍数となる。

（２）　６、１２の倍数の場合、２の倍数かどうか、４の倍数かどうかは下１桁、下２桁を見て
　　瞬時に判断できるので、後は、３の倍数かどうかを見ればよい。

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(２，３)＝１　より、　ｄ＝２　で、さらに、ｃ＝１　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝１・１０＋２＝１２　が、３の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝２・（ｘ・・・ｙ）−１・ｚ　が、３の倍数のとき、Ａは、３の倍数となる。

例　1815726　の場合

　　　1815726　は明らかに、２の倍数である。

　　　2・181572-6=363138　繰り返して、　2・36313-8=72618　、2・7261-8=14514

　　　2・1451-4=2898　、2・289-8=570　、2・57-0=114　、2・11-4=18　これは、３の倍数

　　　　よって、２かつ３の倍数であることから、６の倍数となる。

（３）　７の倍数の場合（※既出）

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，７)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝２　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝２・１０＋１＝２１　が、７の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）−２ｚ　が、７の倍数のとき、Ａは、７の倍数となる。

例　17283　の場合

　　　1728-2・3=1722　　繰り返して、　172-2・2=168　、16-2・8=0　　よって、７の倍数

（４）　１１の倍数（※既出）

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１１)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝１　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝１・１０＋１　が、１１の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）−１・ｚ　が、１１の倍数のとき、Ａは、１１の倍数となる。


　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚｗ＝（ｘ・・・ｙ）・１００＋ｚｗ

　　　gcd(１，１１)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝１　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝１・１００−１＝９９　が、１１の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋１・ｚｗ　が、１１の倍数のとき、Ａは、１１の倍数となる。

例　674135　の場合

　　　6741+35=6776　　繰り返して、　67+76=143　、1+43=44　　よって、１１の倍数

（５）　１３の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１３)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝４　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝４・１０−１＝３９　が、１３の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋４ｚ　が、１３の倍数のとき、Ａは、１３の倍数となる。

例　3198　の場合

　　　319+4・8=351　　繰り返して、　35+4・1=39　　よって、１３の倍数

（６）　１７の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１７)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝５　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝５・１０＋１＝５１　が、１７の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）−５ｚ　が、１７の倍数のとき、Ａは、１７の倍数となる。

例　674135　の場合

　　　67413-5・5＝67388　　繰り返して、　6738-5・8=6698　、669-5・8=629　、62-5・9=17

　　　よって、１３の倍数

（７）　１９の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１９)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝２　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝２・１０−１＝１９　が、１９の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋２ｚ　が、１９の倍数のとき、Ａは、１９の倍数となる。

例　4674　の場合

　　　467+2・4＝475　　繰り返して、　47+2・5=57　、5+2・7=19　　よって、１９の倍数

（８）　２３の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，２３)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝７　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝７・１０−１＝６９　が、２３の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋７ｚ　が、２３の倍数のとき、Ａは、２３の倍数となる。

例　1182936の場合

　　　118293+7・6=118335　　繰り返して、　11833+7・5=11868　、1186+7・8=1242

　　　124+7・2=138　、13+7・8=69　　よって、２３の倍数

（９）　２９の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，２９)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝３　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝３・１０−１＝２９　が、２９の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋３ｚ　が、２９の倍数のとき、Ａは、２９の倍数となる。

例　71543　の場合

　　　7154+3・3=7163　　繰り返して、　716+3・3=725　、72+3・5=87

　　　8+3・7=29　　よって、２９の倍数

（コメント）　統一的に倍数を判定できる方法で、感動しました！攻略法さんに感謝します。


（追記）　倍数判定（素数限定）を、ＧＡＩ さんよりご投稿いただきました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２９年７月３日付け）

　Nを自然数とするとき、Nが素数pで割れるのかを、次のキーナンバー(K(p))を使うことで手
軽に判定できる。

≪キーナンバー≫
　K(3) = 1、K(19)=2、K(29)= 3、K(13)= 4、K(7)=5、K(59)=6、K(23)=7、K(79)=8、K(89)= 9
　K(11)=10、･･･、
　K(11)=-1、K(7)=-2、K(31)=-3、K(41)=-4、K(17)=-5、K(61)=-6、K(71)=-7、K(?)=-8、
　K(13)=-9、K(101)=-10、･･･

＜方法＞
�@　Nの最下位を除いた残りでできる数＋最下位の数*K(p)を新たにNとする。
�A　上記の作業を繰り返す。
�B　N=p または N=0　になれば、Nは素数pで割り切れる。

#具体例１・・・N=6179011は、59で割れるか？

　K(59)=6 より、N=617901+1*6=617907、N=61790+7*6=61832　、N=6183+2*6=6195
　N=619+5*6=649　、N=64+9*6=118　、N=11+8*6=59
→　元のN=6179011は、59で割り切れる。

#具体例２・・・N=6973481は、31で割れるか？

　K(31)=-3 より、N=697348-1*3=697345　、N=69734-5*3=69719　、N=6971-9*3=6944
　N=694-4*3=682　、N=68-2*3=62　、N=6-2*3=0
→　元のN=6973481は、31で割り切れる。

　なお、p=2、5以外のp＜1000までのキーナンバーK(p)→一覧　のようになる。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年７月３日付け）

　 K(?)=-8　の「?」には、81の約数が入らなければならないので、K(3)しかないですね。

　 K(983)=295　ですが、大きい数はうまくないですね。

（例）　N=1966は、983で割れるか？

　K(983)=295 より、N=196+6*295=1966　、N=196+6*295=1966　、N=196+6*295=1966、・・・


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年７月４日付け）

　「素数限定」って、これ本当ですかね？直感的には、10と互いに素なら使えそうに思えます
が、10と互いに素でも合成数だと何か問題があるんでしょうか？


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年７月５日付け）

　らすかるさん、ご検証ありがとうございます。使い方の方法がまずかったですね。

　上記の＜方法＞を変更して、

＜新方法＞
�@　Nの最下位を除いた残りでできる数＋最下位の数*K(p)を新たにNとする。
�A　上記の作業を繰り返す。
�B　こうして桁数を小さくしたNに対し、N≡0 (mod p) になれば、元のNは素数pで割り切れる。

（例）　N=1277613947なら、N=127761394+7*295=127763459、N=12776345+9*295=12779000
　　　　N=12779、N=1277+9*295=3932、N=393+2*295=983≡0 (mod 983)
→　元のN=1277613947は、983で割れるの判断が可能
（しかし、実際元のNをそのまま983で割ってもあまり変わらない気もしますね。）


　りらひいさんからのコメントです。（平成２９年７月４日付け）

　宇宙のかなたにある星「オク」。この星では八進法が使われている。桁数が多い整数Mが
あって、それがｋの倍数かどうか判定したい。（ｋ=2〜7）どのような方法が簡単だろうか。
ただし、八進法の加算・減算は自在に使えることとし、桁数が小さければ乗算・除算もある
程度可能とする。

　また、別の星「ドデ」では十二進法が使われている。星「オク」の場合と同様に、
ｋ=2〜B(十進法の11)の倍数判定法を考えてみてほしい。

・・・まあ、わたしは八進法や十二進法の加減乗除なんてすぐにできないので、判定法があっ
　　ても全然楽ではなくて意味がないのですが．．．。


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年７月４日付け）

　こうかな？

　「オク」星人の考察

・2で割り切れるか・・・10が2で割り切れるので、下1桁が2で割り切れればよい。

・3で割り切れるか・・・10=3*3-1 なので、全ての桁を交互に足し引きした結果が3の倍数に
　　　　　　　　　　　　　なればよい。

例：62357が3で割り切れるか→6-2+3-5+7=11は3の倍数なので、割り切れる

・4で割り切れるか
10が4で割り切れるので、下1桁が4で割り切れればよい。

・5で割り切れるか・・・最下位を切り取ってその2倍を前に足すのを繰り返し5になればよい。

例：1762が5で割り切れるか→176+2*2=202、20+2*2=24、2+4*2=12、1+2*2=5 なので割り切
　　れる

・6で割り切れるか・・・2の倍数かつ3の倍数であればよい。

・7で割り切れるか・・・全ての桁を合計して7の倍数になればよい。

例：37425が7で割り切れるか→3+7+4+2+5=25は7の倍数なので割り切れる


　「ドデ」星人の考察

・2で割り切れるか・・・10が2で割り切れるので、下1桁が2で割り切れればよい。

・3で割り切れるか・・・10が3で割り切れるので、下1桁が3で割り切れればよい。

・4で割り切れるか・・・10が4で割り切れるので、下1桁が4で割り切れればよい。

・5で割り切れるか・・・最下位を切り取ってその3倍を前に足すのを繰り返し5かAになればよい。

・6で割り切れるか・・・10が6で割り切れるので、下1桁が6で割り切れればよい。

・7で割り切れるか・・・最下位を切り取ってその3倍を前に足すのを繰り返し7になればよい。

・8で割り切れるか・・・20が8で割り切れるので、10の位が2で割り切れて1の位が0か8、もしく
　　　　　　　　　　　　　は10の位が2で割り切れなくて1の位が4ならよい。

・9で割り切れるか・・・30が9で割り切れるので、10の位が3で割り切れて1の位が0か9、10の
　　　　　　　　　　　　　位を3で割った余りが1で1の位が6、10の位を3で割った余りが2で1の
　　　　　　　　　　　　　位が3、のいずれかであればよい。

・Aで割り切れるか・・・2の倍数かつ5の倍数であればよい。

・Bで割り切れるか・・・全ての桁を合計してBの倍数になればよい。


　「オク」星で新発見がありました。

・5で割り切れるか・・・2桁ずつ区切って交互に足したり引いたりして5の倍数になればよい。

例：1762が5で割り切れるか→17-62=-43は5の倍数なので割り切れる
例：5614320が5で割り切れるか→-5+61-43+20=31は5の倍数なので割り切れる


「ドデ」星でも新発見がありました。

・5で割り切れるか・・・2桁ずつ区切って交互に足したり引いたりして5の倍数になればよい。

例：7B63が5で割り切れるか→7B-63=18は5の倍数なので割り切れる

・7で割り切れるか・・・3桁ずつ区切って交互に足したり引いたりして7の倍数になればよい。

例：56789ABが7で割り切れるか→5-678+9AB=338=7*58なので割り切れる


　りらひいさんからのコメントです。（平成２９年７月４日付け）

　流石です。わかりやすい説明をありがとうございます。一応私が用意していたものも書い
ておきますね。十進法でよく使われるものを一般化してまとめると、次のような感じになると
思います。

「整数Mがn進法表記で与えられているとき、Mがkの倍数であるかどうかを判別したい。」

[0]  互いに素な整数k1,k2を用いて k = k1 * k2 と分解できるとき、
      Mがkの倍数 ⇔ Mがk1の倍数 かつ Mがk2の倍数

[1]  kがn^tの約数のとき、
      Mがkの倍数 ⇔ Mの下t桁がkの倍数

[2]  kがn^t-1の約数のとき、
      Mがkの倍数
　⇔ Mを下の桁からt桁ずつ区切ってそれぞれt桁の数とみなし、各々を足し合わせた数が
　　　kの倍数

[2'] kがn^t+1の約数のとき、
     Mがkの倍数
　⇔ Mを下の桁からt桁ずつ区切ってそれぞれt桁の数とみなし、各々を交互に足し引きした
　　　数がkの倍数

[3]  kがs*n^t-1の約数のとき、
     Mがkの倍数
　⇔ Mを下t桁とそれより上側に分けてそれぞれ数とみなし、下t桁をs倍したものを上側の数
　　　に足した数がkの倍数

[3'] kがs*n^t+1の約数のとき、
     Mがkの倍数
　⇔ Mを下t桁とそれより上側に分けてそれぞれ数とみなし、下t桁をs倍したものを上側の数
　　　から引いた数がkの倍数

※nとkがどんな数であっても、[1]または[2]または[0],[1],[2]の複合のいずれかが必ず適用で
　きます。（しかし[2]のtが大きい場合など、必ずしも簡便になるわけではないですが。）

（例）　八進法、十二進法での例

　DD++さんの「オク」星人の考察で、最終的に「5」にたどり着くものだけでなく、「17」に行き着
く場合もありますね。

　また、「ドデ」星人の考察で、最終的に「7」にたどり着くものだけでなく、「2B」に行き着く場合
もありますね。


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年７月４日付け）

　あ、本当だ。


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年７月５日付け）

　[3] や [3'] は掛け算の方が割り算の方が楽だとか足し算の方が楽だという理由で「簡単」
なのであって、計算回数自体は普通に割るのとそんなにかわらないんですよね。

　ということで、[0]、[1]、[2]、[2'] だけ使うことにしましょう。これらは t 桁の暗算がサラリと
できれば簡単に判定できます。
（繰り上がりで t+1 桁になった場合はもう一度繰り返せば t 桁でなんとかなります。特殊な
例外はあるかもしれませんが、そういうのは除いて考えてよいことにしましょう）

　さて、各N進法で、全ての一桁の数について判定できるために何桁の暗算能力が必要か
考えてみることにします。

三進法：1桁
四進法：1桁
五進法：1桁
六進法：2桁（4の判定）
七進法：2桁（5の判定）
八進法：2桁（5の判定）
九進法：3桁（7の判定）
十進法：3桁（7と8の判定）
十一進法：3桁（7と9の判定）
十二進法：3桁（7の判定）
十三進法：5桁（Bの判定）

　さて、この数列はこの先もずっと単調増加でしょうか、そうでもないでしょうか。