次の問題は、灘中学の問題だという。
６桁の整数 ５ＡＢＣ１５ が、９９９ の倍数となるとき、３けたの整数ＡＢＣは何だろうか？
（答） ８４４
５ＡＢＣ１５＝ＤＥＦ×９９９とすると、簡単な考察から
Ｄは、５または６ 、 Ｆは、５と確定し、その結果として、Ｅも８と確定
あとは、Ｄ＝５ または Ｄ＝６ として実際に計算すればよい。その結果、Ｄは５と確定
よって、 ５８５×９９９＝５８４４１５ から、ＡＢＣ＝８４４ となる。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが上記の問題を一般化されました。
（平成２３年６月２３日付け）
10進法で表された６桁の整数 ＡＸＹＺＢＣ が、９９９ の倍数となるとき、Ｘ、Ｙ、ＺをＡ、Ｂ、Ｃ
で表せ。
ＦＮさんが解を示されました。（平成２３年６月３０日付け）
AXYZBC＝AXY*1000+ZBC＝999*AXY+AXY+ZBC が999の倍数だから、AXY+ZBCが999
の倍数である。0＜AXY+ZBC≦999*2 であるが、等号が成り立つのは、A、B、C、X、Y、Z
が、すべて9のときだけである。以下このケースは除外して考える。
このとき、 0＜AXY+ZBC＜999*2 で、AXY+ZBC は999の倍数だから
AXY+ZBC＝999････(*)
0≦Y+C≦18 で、Y+C を10で割った余りは、9だから、Y+C＝9 でなければならない。
(*)の両辺から、Y+C＝9 を引いて、10で割ると、
AX+ZB＝99････(**)
0≦X+B≦18 で、X+B を10で割った余りは、9だから、X+B＝9 でなければならない。
(**)の両辺から、X+B＝9 を引いて10で割ると 、 A+Z＝9
以上より、 X＝9-B 、 Y＝9-C 、 Z＝9-A
ただし、A＝B＝C＝9のときは、これの他に、X＝Y＝Z＝9 も解である。
攻略法さんから冒頭の問題の別解を頂きました。（平成２３年７月１日付け）
９９９の倍数判定法を使うと、６桁の整数５ＡＢＣ１５ が、９９９の倍数となるので、
５ＡＢ＋Ｃ１５＝９９９
よって、 ５＋Ｃ＝９、Ａ＋１＝９、Ｂ＋５＝９ から、 Ａ＝８、Ｂ＝４、Ｃ＝４
ベストな受験テクニックだと思います！
９、９９、・・・、や１１、１０１、１００１、・・・の倍数判定法なども考えられますね。
（コメント） 攻略法さんの別解は、確かに「ベストな受験テクニック」ですね。灘中学を受験
する小学生なら、合同式の考え方も身に付いていると思われます。
攻略法さんの受験テクニックを、ＦＮさんの問題に適用してみよう。
題意より、ＡＸＹＺＢＣ＝ＡＸＹ・１０００＋ＺＢＣ から、ＡＸＹ＋ＺＢＣ が、９９９ の倍数なので、
ＡＸＹ＋ＺＢＣ＝９９９ または ＡＸＹ＋ＺＢＣ＝９９９・２
ＡＸＹ＋ＺＢＣ＝９９９ のとき、 各位において繰り上がりは起こらないので、
Ａ＋Ｚ＝９ 、Ｘ＋Ｂ＝９ 、 Ｙ＋Ｃ＝９
すなわち、 Ｘ＝９−Ｂ 、Ｙ＝９−Ｃ 、 Ｚ＝９−Ａ
ＡＸＹ＋ＺＢＣ＝９９９・２ のとき、 Ｘ＝Ｙ＝Ｚ＝Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝９ である。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年７月１日付け）
確かに、９９９の倍数判定法を知っていれば簡単ですね。９９９を１０００に近い別の数、
例えば、１００１や９９８に変えることを考えます。
未知数がＸ、Ｙ、Ｚの３つで、それぞれが１０通りあるから、全部で、１０００通り。
Ｘ、Ｙ、Ｚを変えたとき、１００１や９９８で割った余りが大概違うなら、解は普通は、１通り。
（１） １０進法で表された６桁の数 AXYZBC が、１００１の倍数であるとき、Ｘ、Ｙ、Ｚ
をＡ、Ｂ、Ｃで表せ。
これは簡単です。しかしきちんとした解答が書ける高校生はあまりいないと思います。この
形で、９９９と１００１以外であれば、かなり難しくなりそうです。やる気がしないというのが正
解でしょう。もともとの問題のように具体的な数が与えられていればできると思います。
（コメント） 「きちんとした解答が書ける高校生はあまりいない」とＦＮさんが仰るので
書いてみた。
題意より、ＡＸＹＺＢＣ＝ＡＸＹ・１０００＋ＺＢＣ から、−ＡＸＹ＋ＺＢＣ が、１００１ の倍数
なので、 −ＡＸＹ＋ＺＢＣ＝０ の場合しかありえない。 すなわち、 ＡＸＹ＝ＺＢＣ
よって、 Ｘ＝Ｂ 、Ｙ＝Ｃ 、 Ｚ＝Ａ である。
（参考） ＡＢＣＡＢＣ＝ＡＢＣ・１０００＋ＡＢＣ＝ＡＢＣ・１００１ で、ＡＢＣは任意の３桁の
整数。
（２） １０進法で表された６桁の数 7XYZ77 が、９９７の倍数であるとき、Ｘ、Ｙ、Ｚを求
めよ。
（コメント） 高校生の気分で考えてみた。
題意より、７ＸＹＺ７７＝７ＸＹ・１０００＋Ｚ７７ から、３・７ＸＹ＋Ｚ７７ が、９９７ の倍数
なので、 ３・７ＸＹ＋Ｚ７７＝９９７・３＝２９９１ の場合しかありえない。
このとき、 Ｙ＝８ 、Ｘ＝３ は必然で、Ｚ＝７ となる。
１００２や９９８であれば、Cが偶数でないと解がありません。だから、ABCに対して XYZ は、
２通りか０通りであるのが普通でしょう。ということは、1通りである場合はまれだから、次の
ような問題がありえます。
（３） １０進法で表された３桁の数ABCに対して、６桁の数 AXYZBC で、１００２の倍
数であるような数が、ただ１通りであるという。ABCを求めよ。