当ＨＰの「倍数の判定」で、７の倍数の判定は煩わしい雰囲気があるが、その中に深遠
なる性質があることを最近知ることができた。
よく知られているように、７の倍数の判定は、
３桁毎に交互に足したり引いたりしてできた数が７の倍数ならば、７の倍数
というものである。そして、３桁の数 ａｂｃ が７の倍数かどうかの判定も、
ａｂ−２ｃ が７の倍数
で行われる。
いま、数字の １〜６ 全てを用いて６桁の整数を作るとき、７の倍数になるものは、次の
９０個である。
123564 、124635 、125643 、134526 、134652 、136542 、142653 、145236 、
145362 、153426 、154623 、156324 、162435 、163254 、164325 、213465 、
213654 、214536 、231546 、235641 、236145 、241563 、243516 、246351 、
251643 、254163 、256431 、261345 、261534 、265314 、312564 、314265 、
315462 、324156 、325164 、325416 、342615 、345261 、346521 、351246 、
351624 、356412 、361452 、362145 、365421 、412356 、415632 、416325 、
421365 、426153 、426531 、431256 、432516 、435162 、452361 、452613 、
453621 、462315 、463512 、465213 、512463 、516243 、516432 、521346 、
523614 、526134 、531426 、534261 、536214 、541632 、542136 、546231 、
563241 、564123 、564312 、613452 、614523 、615342 、621453 、623154 、
624351 、632415 、632541 、635124 、641235 、643125 、643251 、652134 、
653142 、654213
これらの数の中で、数字が巡回的になっているものと、そうでないものがある。
数字が巡回的（順送り、逆送り）になっているものは、次の３６個である。
タイプＡ
125643 、134652 、213465 、256431 、312564 、346521 、431256 、465213 、
521346 、564312 、643125 、652134
タイプＢ
145236 、163254 、236145 、254163 、325416 、361452 、416325 、452361 、
523614 、541632 、614523 、632541
タイプＣ
153426 、162435 、243516 、261534 、342615 、351624 、426153 、435162 、
516243 、534261 、615342 、624351
自明でない６桁の７の倍数を瞬時にあげることは難しいが、
１２５６４３ １４５２３６ １５３４２６
という数字の並びを覚えておけば、自由自在にいろいろな７の倍数を瞬時に作ることが出
来る！
１２５６４３ は美しい並びで覚えやすいかな？
でも、 「１４５２３６」を、
という風に配置すると、これも美しい並びですね！
上記の話題について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが考察されました。
（平成２３年７月５日付け）
ABCDEFに対して、BCDEFA、CDEFAB、･･･ を、巡回的(順送り)、FEDCBA、EDCBAF、
･･･ を巡回的(逆送り)と表現されています。
まず、巡回的(順送り)は常に成り立ちます。
即ち、ABCDEFが７の倍数であれば、BCDEFA、CDEFAB、･･･ は常に７の倍数です。
BCDEFAについて言えれば十分です。少し強い形にしておきます。
（１） ６桁の整数ABCDEFを７で割った余りをRとすると、BCDEFAを７で割った余りは、
３R （ｍｏｄ ７）である。
巡回的(順送り、逆送り)については、次が成り立ちます。
（２） ６桁の整数ABCDEFについて、ABCDEF、FEDCBAがともに７の倍数であるため
の必要十分条件は、次の３式(のうちの２つ)が成り立つことである。
A+B-D-E≡0 (ｍｏｄ 7) 、B+C-E-F≡0 (ｍｏｄ 7) 、C+D-F-A≡0 (ｍｏｄ７)
第１式と第３式を加えれば第２式になりますから、２つの式が成り立てば他の式は成り立
ちます。
ここまでは、A、B、C、D、E、F が 1、2、3、4、5、6 を並べ変えたものであるという条件はい
りません。ここからはこれを仮定します。
ABCDEFは全部で６!＝７２０通りあります。(1)を使えば、７で割った余りが、１、２、・・・、６
であるものは同数あることがわかります。余りが０であるものは、９０通りだそうですから、
(７２０−９０)/６＝１０５ が、７で割った余りが１、２、・・・、６であるものの個数ということに
なります。９０でも１０５でもいいので、計算で出せないでしょうか。普通は、９０の方が簡単
でしょうからそれを求める形にします。
（３） 1、2、3、4、5、6 を並べ変えた６桁の整数で、７の倍数であるものは、９０通りあ
る。これをすべてを書きあげる以外の方法で示せ。
巡回的(順送り、逆送り)の１つをとる。例えば、125643。
これの各位の数に、定数(1、2、3、4、5、6)をかける。ただし、mod ７で考える。
1、2、5、6、4、3 に、2をかけると、2、4、10、12、8、6になるが、mod ７で考えて、243516
同様に、3、4、5、6をかけると、361452、416325、534261、652134
これで、もとの 125643 を含めて６通りできたが、これらが（２）の３式を満たすことは明ら
かである。これらを 0、1、2、3、4、5 個ずらしたものを考えると、３６通りある。この３６通り
がすべて異なること、任意の巡回的(順送り、逆送り)な１つが、こうして得られることを示せ
ばよい。前半はなんとかなるかもしれないと思いますが、後半は難しそうな気がします。な
んとかなるでしょうか。
攻略法さんが、（３）について考察されました。（平成２３年７月６日付け）
最上位を１に固定した（2、3、4、5、6でもよい）７の倍数
123564 124635 125643（タイプA） 134526 134652（タイプA）
136542 142653 145236（タイプB） 145362 153426（タイプC）
154623 156324 162435（タイプC） 163254（タイプB） 164325
の１５個の数に対して、各位の数に定数(1、2、3、4、5、6)をかける。
（ただし、mod ７で考える。）
すると、重複なく生成され、１５・６＝９０個となる。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年７月６日付け）
なるほど。１つを固定して考えれば、１５通りを書けばＯＫですね。１５通りをさらに減らす
のは無理でしょうね。
以下、工事中