・１２３４５６７８９ ＦＮ 氏
123456789に、３の倍数でない１桁の数をかけると、123456789を並び変えた数になります。
123456789×1＝123456789
123456789×2＝246913578
123456789×4＝493827156
123456789×5＝617283945
123456789×7＝864197523
123456789×8＝987654312
このことについて何らかの説明は可能でしょうか。
123456789×10＝1234567890
123456789×11＝1358024679
123456789×13＝1604938257
123456789×14＝1728395046
123456789×16＝1975308624
123456789×17＝2098765413
123456789に、３の倍数でない２桁の数をかけると、0123456789を並べ変えた数になって
います。ただし、いつもそうなるわけではありません。
例えば、 123456789×19＝2345678991
10の位の数と1の位の数の和が8以下であれば成り立ちます。これを証明(説明)してくだ
さい。
攻略法さんから解法をいただいた。（平成２３年７月１９日付け）
各位の数が出現する順番、例えば、123456789×4＝493827156 について
一の位が6なので、6を除いて、9、8、…、2、1、0 の数の並びをつくる。
（円状に配置してもよい）
４倍するので、間隔 4 でマークする。
987543210987543210987543210987543210
123456789×7＝864197523 の場合
987654210987654210987654210987654210987654210987654210987654210
「０」をストッパーとして、９桁揃えば題意を満たす。
また、 123456789×3＝370370367 の場合は、途中で０が出現し、開始位置に戻る。
986543210986543210986543210
次の場合も同様である。
123456789×6＝740740734
123456789×9＝1111111101
攻略法さんのアプローチでは、確かにその順に並んでいるようですが、「なぜ、そのように
並ぶか」の説明は難しいような気がします。
10進法以外でも、10進法と似たような現象は起こるようです。
4進法 123×2＝312
5進法
1234×3＝4312
6進法 12345×2＝25134 、12345×3＝41523 、12345×4＝54312
7進法 123456×5＝654312
8進法 1234567×2＝2471356 、1234567×3＝3726145 、1234567×4＝5162734
1234567×5＝6417523 、1234567×6＝7654312
各進法における最後の式(10進法では123456789×8＝987654312)は、ｐ進法では、
[1，2，3，･･･，ｐ-1]×(ｐ-2)＝[ｐ-1，p-2，･･･，4，3，1，2]
の形で、証明できそうですが、他はちょっと無理そうです。
攻略法さんが、
123456789 に３の倍数でない２桁の数（ただし、10の位の数と1の位の数の和が8
以下）をかけると、0123456789を並べ変えた数になる。このことを証明(説明)せよ。
について考察されました。（平成２３年７月２０日付け）
●該当するもの
|
123456789×01＝0123456789 123456789×02＝0246913578 123456789×04＝0493827156 123456789×05＝0617283945 123456789×07＝0864197523 123456789×08＝0987654312 123456789×10＝1234567890 123456789×11＝1358024679 123456789×13＝1604938257 123456789×14＝1728395046 123456789×16＝1975308624 123456789×17＝2098765413 123456789×20＝2469135780 123456789×22＝2716049358 123456789×23＝2839506147 123456789×25＝3086419725 123456789×26＝3209876514 |
123456789×31＝3827160459 123456789×32＝3950617248 123456789×34＝4197530826 123456789×35＝4320987615 123456789×40＝4938271560 123456789×41＝5061728349 123456789×43＝5308641927 123456789×44＝5432098716 123456789×50＝6172839450 123456789×52＝6419753028 123456789×53＝6543209817 123456789×61＝7530864129 123456789×62＝7654320918 123456789×70＝8641975230 123456789×71＝8765432019 123456789×80＝9876543120 |
●各位の数が出現する順番（乗数が１桁、２桁）
123456789×13＝1604938257 の場合
計算結果の十の位が5なので、5を除いて、9、8、…、2、1、0の数の並びをつくる。
（円状に配置してもよい）
マークの開始位置は、乗数の一の位が3なので、3番目となる。マークの間隔は、乗数の
十、一の位の和1+3=4なので、4となる。終了は、計算結果の一の位7（開始位置）となる。
987643210987643210987643210987643210987643210
重複することなく、10回目でマークが終了すれば題意を満たす。
・式による表現
乗数 ｍ＝10*a＋b とすると、ｂ番目から間隔(ａ＋ｂ)でマークする。
マークする位置 ｘ は、ｋ＝0、1、2、3、…、8 として、 ｘ＝ｂ＋ｋ*(ａ＋ｂ) となる。
123456789×17＝2098765413 の場合
987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654320987654320
123456789×34＝4197530826 の場合
987654310987654310987654310987654310987654310987654310987654310987654310
同様に、 123456789×12＝1481481468 の場合
98754321098754321098754321098754321
上記の攻略法さんの考察の通り、確かにそうなっているようです。多分、ｐ進法でもそうな
るのでしょう。証明となると難しそうな気がします。
123456789×08＝0987654312
123456789×17＝2098765413
123456789×26＝3209876514
123456789×35＝4320987615
123456789×44＝5432098716
123456789×53＝6543209817
123456789×62＝7654320918
123456789×71＝8765432019
これは、非常に綺麗な形です。 123456789×9＝1111111101が綺麗な形になる1つの根
拠でしょう。ただし、これは特殊なケースで、普通は下記ぐらいです。
123456789×07＝0864197523
123456789×16＝1975308624
123456789×25＝3086419725
123456789×34＝4197530826
123456789×43＝5308641927
123456789×52＝6419753028
123456789×61＝7530864129
123456789×9＝1111111101で、10の位だけが0であることが、10の位が特別であることの
原因のように思います。
攻略法さんが、ｐ進法の場合を考察されました。（平成２３年７月２０日付け）
題意を満たす乗数の条件（予想）
ｐ進法で、乗数 m＝a*p＋b とする１桁または２桁の数で、
a＋b≦p−2 かつ ｐ−1 を素因数分解したときの各素因数の倍数は除く
例 10進法の場合、ｐ＝10 より、ｐ−1＝９＝３2
よって、 a＋b≦８ かつ ３の倍数は除く。
| 3 進法 12×1＝12 12×10＝120 4 進法 123×1＝123 123×2＝312 123×10＝1230 123×11＝2013 123×20＝3120 5 進法 1234×1＝1234 1234×3＝4312 1234×10＝12340 1234×12＝20413 1234×21＝32014 1234×30＝43120 6 進法 12345×1＝12345 12345×2＝25134 12345×3＝41523 12345×4＝54312 12345×10＝123450 12345×11＝140235 12345×12＝153024 12345×13＝205413 12345×20＝251340 12345×21＝304125 12345×22＝320514 12345×30＝415230 12345×31＝432015 12345×40＝543120 7 進法 123456×1＝123456 123456×5＝654312 123456×10＝1234560 123456×14＝2065413 123456×23＝3206514 123456×32＝4320615 123456×41＝5432016 123456×50＝6543120 8 進法 1234567×1＝1234567 1234567×2＝2471356 1234567×3＝3726145 1234567×4＝5162734 1234567×5＝6417523 1234567×6＝7654312 1234567×10＝12345670 1234567×11＝13602457 1234567×12＝15037246 1234567×13＝16274035 1234567×14＝17530624 1234567×15＝20765413 1234567×20＝24713560 1234567×21＝26150347 1234567×22＝27405136 1234567×23＝30641725 1234567×24＝32076514 1234567×30＝37261450 1234567×31＝40516237 1234567×32＝41753026 1234567×33＝43207615 1234567×40＝51627340 1234567×41＝53064127 1234567×42＝54320716 1234567×50＝64175230 1234567×51＝65432017 1234567×60＝76543120 9 進法 12345678×1＝12345678 12345678×3＝37148256 12345678×5＝62851734 12345678×7＝87654312 12345678×10＝123456780 12345678×12＝148260357 12345678×14＝174062835 12345678×16＝208765413 12345678×21＝260371458 12345678×23＝285174036 12345678×25＝320876514 12345678×30＝371482560 12345678×32＝406285137 12345678×34＝432087615 12345678×41＝517406238 12345678×43＝543208716 12345678×50＝628517340 12345678×52＝654320817 12345678×61＝765432018 12345678×70＝876543120 10 進法 123456789×1＝123456789 123456789×2＝246913578 123456789×4＝493827156 123456789×5＝617283945 123456789×7＝864197523 123456789×8＝987654312 123456789×10＝1234567890 123456789×11＝1358024679 123456789×13＝1604938257 123456789×14＝1728395046 123456789×16＝1975308624 123456789×17＝2098765413 123456789×20＝2469135780 123456789×22＝2716049358 123456789×23＝2839506147 123456789×25＝3086419725 123456789×26＝3209876514 123456789×31＝3827160459 123456789×32＝3950617248 123456789×34＝4197530826 123456789×35＝4320987615 123456789×40＝4938271560 123456789×41＝5061728349 123456789×43＝5308641927 123456789×44＝5432098716 123456789×50＝6172839450 123456789×52＝6419753028 123456789×53＝6543209817 123456789×61＝7530864129 123456789×62＝7654320918 123456789×70＝8641975230 123456789×71＝8765432019 123456789×80＝9876543120 |
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進法 123456789A×1＝123456789A 123456789A×3＝36A2591478 123456789A×7＝851962A734 123456789A×9＝A987654312 123456789A×10＝123456789A0 123456789A×12＝148036A2579 123456789A×16＝1962A740835 123456789A×18＝20A98765413 123456789A×21＝2591480367A 123456789A×25＝2A740851936 123456789A×27＝320A9876514 123456789A×30＝36A25914780 123456789A×34＝40851962A37 123456789A×36＝4320A987615 123456789A×43＝51962A74038 123456789A×45＝54320A98716 123456789A×52＝62A74085139 123456789A×54＝654320A9817 123456789A×61＝7408519623A 123456789A×63＝7654320A918 123456789A×70＝851962A7340 123456789A×72＝87654320A19 123456789A×81＝9876543201A 123456789A×90＝A9876543120 12 進法 123456789AB×1＝123456789AB 123456789AB×2＝2468B13579A 123456789AB×3＝36A147B2589 123456789AB×4＝4915A26B378 123456789AB×5＝5B4A3928167 123456789AB×6＝718293A4B56 123456789AB×7＝83B72A61945 123456789AB×8＝962B851A734 123456789AB×9＝A8641B97523 123456789AB×A＝BA987654312 123456789AB×10＝123456789AB0 123456789AB×11＝1357A024689B 123456789AB×12＝147B2590368A 123456789AB×13＝15A26B380479 123456789AB×14＝1705B4A39268 123456789AB×15＝18293A4B6057 123456789AB×16＝195083B72A46 123456789AB×17＝1A740962B835 123456789AB×18＝1B97530A8624 123456789AB×19＝20BA98765413 123456789AB×20＝2468B13579A0 123456789AB×21＝259036A1478B 123456789AB×22＝26B38049157A 123456789AB×23＝281705B4A369 123456789AB×24＝293A4B607158 123456789AB×25＝2A6195083B47 123456789AB×26＝2B851A740936 123456789AB×27＝30A8641B9725 123456789AB×28＝320BA9876514 123456789AB×30＝36A147B25890 123456789AB×31＝3804915A267B 123456789AB×32＝39281705B46A 123456789AB×33＝3A4B60718259 123456789AB×34＝3B72A6195048 123456789AB×35＝40962B851A37 123456789AB×36＝41B97530A826 123456789AB×37＝4320BA987615 123456789AB×40＝4915A26B3780 123456789AB×41＝4A392817056B 123456789AB×42＝4B607182935A 123456789AB×43＝5083B72A6149 123456789AB×44＝51A740962B38 123456789AB×45＝530A8641B927 123456789AB×46＝54320BA98716 123456789AB×50＝5B4A39281670 123456789AB×51＝60718293A45B 123456789AB×52＝6195083B724A 123456789AB×53＝62B851A74039 123456789AB×54＝641B97530A28 123456789AB×55＝654320BA9817 123456789AB×60＝718293A4B560 123456789AB×61＝72A61950834B 123456789AB×62＝740962B8513A 123456789AB×63＝7530A8641B29 123456789AB×64＝7654320BA918 123456789AB×70＝83B72A619450 123456789AB×71＝851A7409623B 123456789AB×72＝8641B975302A 123456789AB×73＝87654320BA19 123456789AB×80＝962B851A7340 123456789AB×81＝97530A86412B 123456789AB×82＝987654320B1A 123456789AB×90＝A8641B975230 123456789AB×91＝A9876543201B 123456789AB×A0＝BA9876543120 13 進法 123456789ABC×1＝123456789ABC 123456789ABC×5＝5B3916C4A278 123456789ABC×7＝82A4C7193B56 123456789ABC×B＝CBA987654312 123456789ABC×10＝123456789ABC0 123456789ABC×14＝16C4A2805B379 123456789ABC×16＝193B6082A4C57 123456789ABC×1A＝20CBA98765413 123456789ABC×23＝2805B3916C47A 123456789ABC×25＝2A4C7193B6058 123456789ABC×29＝320CBA9876514 123456789ABC×32＝3916C4A28057B 123456789ABC×34＝3B6082A4C7159 123456789ABC×38＝4320CBA987615 123456789ABC×41＝4A2805B39167C 123456789ABC×43＝4C7193B60825A 123456789ABC×47＝54320CBA98716 123456789ABC×50＝5B3916C4A2780 123456789ABC×52＝6082A4C71935B 123456789ABC×56＝654320CBA9817 123456789ABC×61＝7193B6082A45C 123456789ABC×65＝7654320CBA918 123456789ABC×70＝82A4C7193B560 123456789ABC×74＝87654320CBA19 123456789ABC×83＝987654320CB1A 123456789ABC×92＝A987654320C1B 123456789ABC×A1＝BA9876543201C 123456789ABC×B0＝CBA9876543120 |
私も、攻略法さんと同じように予想しています。１桁と２桁を分けるのがいいかどうかわか
りませんが、最初の問題に合わせて、一応分けておきます。
(1) ｐ進法で表されたｐ-1桁の数 [1，2，3，･･･，ｐ-1] に、ｐ-1未満で、ｐ-1と互いに素な
数ｋをかけると、1，2，3，･･･，ｐ-1を並び変えた数になる。
(2) ｐ進法で表されたｐ-1桁の数 [1，2，3，･･･，ｐ-1] にｐ進法で2桁の数 [a，b] で、ｐ-1
と互いに素で、かつ、a＋b＜ｐ-1を満たす数をかけると、0，1，2，3，･･･，ｐ-1を並び変
えた数になる。
証明は難しいと思います。(1)についてかなり弱い結果ですが、証明できたことを書いてお
きます。
(a) 1≦k≦p-2とする。 [1，2，3，･･･，ｐ-2，ｐ-1]×k＝[･････，p-k-1，p-k] である。
（証明） (ｐ-2)ｐｋ＋(ｐ-1)ｋ≡(ｐ-ｋ-1)ｐ＋ｐ-ｋ (mod ｐ2) と、ｐ-ｋ-1、ｐ-ｋがどちらも、
0以上ｐ-1以下であることを示せばよい。容易に確認できる。
(b) [1，2，3，･･･，ｐ-2，ｐ-1]×(ｐ-1)＝[1，1，1，･････，1，0，1]
（証明） 左辺＝[1，2，3，･･･，ｐ-2，ｐ-1，0]−[0，1，2，3，･･･，ｐ-2，ｐ-1]
＝[1，1，1，･････，1，0]−p＋1＝[1，1，1，･････，1，0，1]
(c) あるkについて、(1)が成り立つなら、ｋを ｐ-ｋ-1 に変えても成り立つ。
（証明） A＝[1，2，3，･･･，ｐ-2，ｐ-1]とおく。
A×k＝[･････，ｐ-k-1，ｐ-k] A×(ｐ-k-1)＝[･････，k，k+1]
A×k＋A×(ｐ-k-1)＝A×(ｐ-1)＝[1，1，1，･････，1，0，1]
A×k＋A×(ｐ-k-1)の計算において、1の位は、ｐ+1で1繰り上がる。ｐの位は繰り上がった
1をたしてｐになり、1繰り上がる。ｐ2の位は、繰り上がった1をたして、1またはｐ+1になるが、
kのとき、(1)が成り立つから、0は現れないので、ｐ+1になるしかなく、A×kとA×(ｐ-k-1)のｐ2
の位の和は、ｐになる。これは、ｐ3、ｐ4、･･･も同様である。
A×kの･････の部分はすべて異なる数で、A×(ｐ-k-1)の･････部分は、ｐから前者を引い
たものだからすべて異なる。あとは、これが、k、k+1と異なることを言えばよいが、これは、
(ｐ-k-1)+(k+1)＝ｐ 、(ｐ-k)+k＝ｐ からわかる。
(c)によって、半分のkについて示せばよいことになりました。多少の進歩とも言えないかも
しれませんが．．．。
ＧＡＩ さんからの質問です。（平成２３年７月２０日付け）
１２３４５６７９× ９＝１１１１１１１１１
１２３４５６７９×１８＝２２２２２２２２２
１２３４５６７９×２７＝３３３３３３３３３
１２３４５６７９×３６＝４４４４４４４４４
１２３４５６７９×４５＝５５５５５５５５５
１２３４５６７９×５４＝６６６６６６６６６
１２３４５６７９×６３＝７７７７７７７７７
１２３４５６７９×７２＝８８８８８８８８８
１２３４５６７９×８１＝９９９９９９９９９
との関連はないのでしょうか？これらのことは、他の進数でも起こせるのでしょうか？
ＧＡＩさん、ありがとうございます。
ｐ進法では、[1，2，3，･･･，p-3，p-1]×(p-1)＝[1，1，1，･･･，1]になります。
これに、2、3、･･･、p-1をかけたものです。証明は次のようなことでできます。
（証明） [1，2，3，･･･，p-3，p-1]×(p-1)
＝[1，2，3，･･･，p-3，p-1]×p−[1，2，3，･･･，p-3，p-1]
＝[1，2，3，･･･，p-3，p-1，0]−[0，1，2，3，･･･，p-3，p-1]
＝[1，1，1，･･･，1，2，0]−ｐ＋1
＝[1，1，1，･･･，1] （証終）
ＧＡＩ さんの質問に攻略法さんが答えられました。（平成２３年７月２０日付け）
12345679に3の倍数以外の数をかけると、・・・ すなわち、
乗数 1と10と19と28と37 と…、
乗数 2と11と20と29と38 と…、
乗数 4と13と22と31と40 と…、 など、
0を基準にして、1桁の数をかけた数と同じ並びが出現します。
12345679×01＝012345679 12345679×02＝024691358
12345679×04＝049382716 12345679×05＝061728395
12345679×07＝086419753 12345679×08＝098765432
12345679×10＝123456790 12345679×11＝135802469
12345679×13＝160493827 12345679×14＝172839506
12345679×16＝197530864 12345679×17＝209876543
12345679×19＝234567901 12345679×20＝246913580
12345679×22＝271604938 12345679×23＝283950617
12345679×25＝308641975 12345679×26＝320987654
12345679×28＝345679012 12345679×29＝358024691
12345679×31＝382716049 12345679×32＝395061728
12345679×34＝419753086 12345679×35＝432098765
12345679×37＝456790123 12345679×38＝469135802
12345679×40＝493827160 12345679×41＝506172839
12345679×43＝530864197 12345679×44＝543209876
12345679×46＝567901234 12345679×47＝580246913
12345679×49＝604938271 12345679×50＝617283950
12345679×52＝641975308 12345679×53＝654320987
12345679×55＝679012345 12345679×56＝691358024
12345679×58＝716049382 12345679×59＝728395061
12345679×61＝753086419 12345679×62＝765432098
12345679×64＝790123456 12345679×65＝802469135
12345679×67＝827160493 12345679×68＝839506172
12345679×70＝864197530 12345679×71＝876543209
12345679×73＝901234567 12345679×74＝913580246
12345679×76＝938271604 12345679×77＝950617283
12345679×79＝975308641 12345679×80＝987654320
ｐ進法では、次のようになります。
| 3 進法 2×01＝02 2×10＝20 4 進法 13×01＝013 13×02＝032 13×10＝130 13×11＝203 13×13＝301 13×20＝320 5 進法 124×01＝0124 124×03＝0432 124×10＝1240 124×12＝2043 124×14＝2401 124×21＝3204 124×23＝4012 124×30＝4320 6 進法 1235×01＝01235 1235×02＝02514 1235×03＝04153 1235×04＝05432 1235×10＝12350 1235×11＝14025 1235×12＝15304 1235×13＝20543 1235×15＝23501 1235×20＝25140 1235×21＝30415 1235×22＝32054 1235×24＝35012 1235×25＝40251 1235×30＝41530 1235×31＝43205 1235×33＝50123 1235×34＝51402 1235×35＝53041 1235×40＝54320 7 進法 12346×01＝012346 12346×05＝065432 12346×10＝123460 12346×14＝206543 12346×16＝234601 12346×23＝320654 12346×25＝346012 12346×32＝432065 12346×34＝460123 12346×41＝543206 12346×43＝601234 12346×50＝654320 8 進法 123457×01＝0123457 123457×02＝0247136 123457×03＝0372615 123457×04＝0516274 123457×05＝0641753 123457×06＝0765432 123457×10＝1234570 123457×11＝1360247 123457×12＝1503726 123457×13＝1627405 123457×14＝1753064 123457×15＝2076543 123457×17＝2345701 123457×20＝2471360 123457×21＝2615037 123457×22＝2740516 123457×23＝3064175 123457×24＝3207654 123457×26＝3457012 123457×27＝3602471 123457×30＝3726150 123457×31＝4051627 123457×32＝4175306 123457×33＝4320765 123457×35＝4570123 123457×36＝4713602 123457×37＝5037261 123457×40＝5162740 123457×41＝5306417 123457×42＝5432076 123457×44＝5701234 123457×45＝6024713 123457×46＝6150372 123457×47＝6274051 123457×50＝6417530 123457×51＝6543207 123457×53＝7012345 123457×54＝7136024 123457×55＝7261503 123457×56＝7405162 123457×57＝7530641 123457×60＝7654320 9 進法 1234568×01＝01234568 1234568×03＝03714826 1234568×05＝06285174 1234568×07＝08765432 1234568×10＝12345680 1234568×12＝14826037 1234568×14＝17406285 1234568×16＝20876543 1234568×18＝23456801 1234568×21＝26037148 1234568×23＝28517406 1234568×25＝32087654 1234568×27＝34568012 1234568×30＝37148260 1234568×32＝40628517 1234568×34＝43208765 1234568×36＝45680123 1234568×38＝48260371 1234568×41＝51740628 1234568×43＝54320876 1234568×45＝56801234 1234568×47＝60371482 1234568×50＝62851740 1234568×52＝65432087 1234568×54＝68012345 1234568×56＝71482603 1234568×58＝74062851 1234568×61＝76543208 1234568×63＝80123456 1234568×65＝82603714 1234568×67＝85174062 1234568×70＝87654320 10 進法 12345679×01＝012345679 12345679×02＝024691358 12345679×04＝049382716 12345679×05＝061728395 12345679×07＝086419753 12345679×08＝098765432 12345679×10＝123456790 12345679×11＝135802469 12345679×13＝160493827 12345679×14＝172839506 12345679×16＝197530864 12345679×17＝209876543 12345679×19＝234567901 12345679×20＝246913580 12345679×22＝271604938 12345679×23＝283950617 12345679×25＝308641975 12345679×26＝320987654 12345679×28＝345679012 12345679×29＝358024691 12345679×31＝382716049 12345679×32＝395061728 12345679×34＝419753086 12345679×35＝432098765 12345679×37＝456790123 12345679×38＝469135802 12345679×40＝493827160 12345679×41＝506172839 12345679×43＝530864197 12345679×44＝543209876 12345679×46＝567901234 12345679×47＝580246913 12345679×49＝604938271 12345679×50＝617283950 12345679×52＝641975308 12345679×53＝654320987 12345679×55＝679012345 12345679×56＝691358024 12345679×58＝716049382 12345679×59＝728395061 12345679×61＝753086419 12345679×62＝765432098 12345679×64＝790123456 12345679×65＝802469135 12345679×67＝827160493 12345679×68＝839506172 12345679×70＝864197530 12345679×71＝876543209 12345679×73＝901234567 12345679×74＝913580246 12345679×76＝938271604 12345679×77＝950617283 12345679×79＝975308641 12345679×80＝987654320 |
11 進法 12345678A×01＝012345678A 12345678A×03＝036A259148 12345678A×07＝0851962A74 12345678A×09＝0A98765432 12345678A×10＝12345678A0 12345678A×12＝148036A259 12345678A×16＝1962A74085 12345678A×18＝20A9876543 12345678A×1A＝2345678A01 12345678A×21＝259148036A 12345678A×25＝2A74085196 12345678A×27＝320A987654 12345678A×29＝345678A012 12345678A×30＝36A2591480 12345678A×34＝40851962A7 12345678A×36＝4320A98765 12345678A×38＝45678A0123 12345678A×3A＝48036A2591 12345678A×43＝51962A7408 12345678A×45＝54320A9876 12345678A×47＝5678A01234 12345678A×49＝59148036A2 12345678A×52＝62A7408519 12345678A×54＝654320A987 12345678A×56＝678A012345 12345678A×58＝6A25914803 12345678A×61＝740851962A 12345678A×63＝7654320A98 12345678A×65＝78A0123456 12345678A×67＝8036A25914 12345678A×70＝851962A740 12345678A×72＝87654320A9 12345678A×74＝8A01234567 12345678A×76＝9148036A25 12345678A×7A＝962A740851 12345678A×81＝987654320A 12345678A×83＝A012345678 12345678A×85＝A259148036 12345678A×89＝A740851962 12345678A×90＝A987654320 12 進法 123456789B×01＝0123456789B 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123456789B×71＝851A740962B 123456789B×72＝8641B97530A 123456789B×73＝87654320BA9 123456789B×75＝89B01234567 123456789B×76＝8B1357A0246 123456789B×77＝9036A147B25 123456789B×78＝915A26B3804 123456789B×79＝9281705B4A3 123456789B×7A＝93A4B607182 123456789B×7B＝95083B72A61 123456789B×80＝962B851A740 123456789B×81＝97530A8641B 123456789B×82＝987654320BA 123456789B×84＝9B012345678 123456789B×85＝A02468B1357 123456789B×86＝A147B259036 123456789B×87＝A26B3804915 123456789B×88＝A39281705B4 123456789B×89＝A4B60718293 123456789B×8A＝A6195083B72 123456789B×8B＝A740962B851 123456789B×90＝A8641B97530 123456789B×91＝A987654320B 123456789B×93＝B0123456789 123456789B×94＝B1357A02468 123456789B×95＝B259036A147 123456789B×96＝B3804915A26 123456789B×97＝B4A39281705 123456789B×98＝B60718293A4 123456789B×99＝B72A6195083 123456789B×9A＝B851A740962 123456789B×9B＝B97530A8641 123456789B×A0＝BA987654320 13 進法 123456789AC×01＝0123456789AC 123456789AC×05＝05B3916C4A28 123456789AC×07＝082A4C7193B6 123456789AC×0B＝0CBA98765432 123456789AC×10＝123456789AC0 123456789AC×14＝16C4A2805B39 123456789AC×16＝193B6082A4C7 123456789AC×1A＝20CBA9876543 123456789AC×1C＝23456789AC01 123456789AC×23＝2805B3916C4A 123456789AC×25＝2A4C7193B608 123456789AC×29＝320CBA987654 123456789AC×2B＝3456789AC012 123456789AC×32＝3916C4A2805B 123456789AC×34＝3B6082A4C719 123456789AC×38＝4320CBA98765 123456789AC×3A＝456789AC0123 123456789AC×41＝4A2805B3916C 123456789AC×43＝4C7193B6082A 123456789AC×47＝54320CBA9876 123456789AC×49＝56789AC01234 123456789AC×50＝5B3916C4A280 123456789AC×52＝6082A4C7193B 123456789AC×56＝654320CBA987 123456789AC×58＝6789AC012345 123456789AC×5C＝6C4A2805B391 123456789AC×61＝7193B6082A4C 123456789AC×65＝7654320CBA98 123456789AC×67＝789AC0123456 123456789AC×6B＝805B3916C4A2 123456789AC×70＝82A4C7193B60 123456789AC×74＝87654320CBA9 123456789AC×76＝89AC01234567 123456789AC×7A＝916C4A2805B3 123456789AC×7C＝93B6082A4C71 123456789AC×83＝987654320CBA 123456789AC×85＝9AC012345678 123456789AC×89＝A2805B3916C4 123456789AC×8B＝A4C7193B6082 123456789AC×92＝A987654320CB 123456789AC×94＝AC0123456789 123456789AC×98＝B3916C4A2805 123456789AC×9A＝B6082A4C7193 123456789AC×A1＝BA987654320C 123456789AC×A3＝C0123456789A 123456789AC×A7＝C4A2805B3916 123456789AC×A9＝C7193B6082A4 123456789AC×B0＝CBA987654320 |
ＧＡＩ さんの与えられた計算式のように、 123456789×9＝1111111101 より
12345679×9＝111111111
のほうが綺麗な形だから、こちらの方が簡単のように思います。
111111111は、9をかけると、999999999 なので、循環小数に関連付けられます。
12345679に、3の倍数でない2桁以下の数 k＝10a+b をかけると、
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
から1個を除いたものを並べ変えたものになる。ただし、k＝10a+b＜81 とする。
このとき除かれる1個は、18-a-b を 9 で割った余りである。
除かれる1個を特定する所を除いて証明できたと思います。
（証明） A＝12345679 とおく。
9A＝111111111 、81A＝999999999 、81kA＝999999999kより、
kA/999999999＝k/81
これより、kAは、k/81の長さ9の循環節である。これは、必ずしも基本循環節ではないが、
基本循環節の長さが9でないとすれば、それは、1か3であり、そうなるためには、この分数
の分母が、9または999にならなければならない。
9になるのは、kが9の倍数のときに限る。
999＝27×37になるためには、kは3の倍数でなければならない。
実際に、k/81＝x/999とすると、27･37･k＝81･x より、kは3の倍数。
kは、3の倍数でないので、長さ9の循環節は基本循環節である。
k÷81を筆算で計算するとき現れる余りRは、すべて k≡R (mod 9)を満たす。
まず、最初の余りR1については、割り算のしかたより、
10k≡R1 (mod 81) 10k≡R1 (mod 9)
よって、k≡R1 (mod 9) である。
その次の余りR2については、kからR1を求めるのと同じ操作で、R1からR2が出るから、
R1≡R2 (mod 9) 以下同様
基本循環節の長さは9であるから、k÷81における余りを、R1、R2、･･･、R9 とすると、
k＝R9 で、R1、R2、･･･、R9 はすべて異なり、しかも、mod 9で合同である。
10R1/81、10R2/81、･･･、10R9/81 の整数部分が循環節に現れる数、即ち、kAに現れる
数である。Rの間の差は9以上あるから、10R/81の間の差は、90/81＝10/9以上ある。
従って、10R1/81、10R2/81、･･･、10R9/81 の整数部分が同じであることはない。 （証終）
これで、除かれる数を特定することを除いて、証明できている。また、k mod
9によって現
れる数、従って、除かれる数が同じであることも証明からわかる。ｐ進法でも証明できそうで
ある。
攻略法さんが、「kA/999999999」について検証されました。（平成２３年７月２２日付け）
k*12345679＜999999999より、k＜81 である。
k*12345679 / 999999999
------------------------
012345679 / 999999999 = 1 / 81 = 0.{012345679} 循環節= 9
024691358 / 999999999 = 2 / 81 = 0.{024691358} 循環節= 9
037037037 / 999999999 = 1 / 27 = 0.{037} 循環節= 3
049382716 / 999999999 = 4 / 81 = 0.{049382716} 循環節= 9
061728395 / 999999999 = 5 / 81 = 0.{061728395} 循環節= 9
074074074 / 999999999 = 2 / 27 = 0.{074} 循環節= 3
086419753 / 999999999 = 7 / 81 = 0.{086419753} 循環節= 9
098765432 / 999999999 = 8 / 81 = 0.{098765432} 循環節= 9
111111111 / 999999999 = 1 / 9 = 0.{1} 循環節= 1
123456790 / 999999999 = 10 / 81 = 0.{123456790} 循環節= 9
135802469 / 999999999 = 11 / 81 = 0.{135802469} 循環節= 9
148148148 / 999999999 = 4 / 27 = 0.{148} 循環節= 3
160493827 / 999999999 = 13 / 81 = 0.{160493827} 循環節= 9
172839506 / 999999999 = 14 / 81 = 0.{172839506} 循環節= 9
185185185 / 999999999 = 5 / 27 = 0.{185} 循環節= 3
197530864 / 999999999 = 16 / 81 = 0.{197530864} 循環節= 9
209876543 / 999999999 = 17 / 81 = 0.{209876543} 循環節= 9
222222222 / 999999999 = 2 / 9 = 0.{2} 循環節= 1
234567901 / 999999999 = 19 / 81 = 0.{234567901} 循環節= 9
246913580 / 999999999 = 20 / 81 = 0.{246913580} 循環節= 9
259259259 / 999999999 = 7 / 27 = 0.{259} 循環節= 3
271604938 / 999999999 = 22 / 81 = 0.{271604938} 循環節= 9
283950617 / 999999999 = 23 / 81 = 0.{283950617} 循環節= 9
296296296 / 999999999 = 8 / 27 = 0.{296} 循環節= 3
308641975 / 999999999 = 25 / 81 = 0.{308641975} 循環節= 9
320987654 / 999999999 = 26 / 81 = 0.{320987654} 循環節= 9
333333333 / 999999999 = 1 / 3 = 0.{3} 循環節= 1
345679012 / 999999999 = 28 / 81 = 0.{345679012} 循環節= 9
358024691 / 999999999 = 29 / 81 = 0.{358024691} 循環節= 9
370370370 / 999999999 = 10 / 27 = 0.{370} 循環節= 3
382716049 / 999999999 = 31 / 81 = 0.{382716049} 循環節= 9
395061728 / 999999999 = 32 / 81 = 0.{395061728} 循環節= 9
407407407 / 999999999 = 11 / 27 = 0.{407} 循環節= 3
419753086 / 999999999 = 34 / 81 = 0.{419753086} 循環節= 9
432098765 / 999999999 = 35 / 81 = 0.{432098765} 循環節= 9
444444444 / 999999999 = 4 / 9 = 0.{4} 循環節= 1
456790123 / 999999999 = 37 / 81 = 0.{456790123} 循環節= 9
469135802 / 999999999 = 38 / 81 = 0.{469135802} 循環節= 9
481481481 / 999999999 = 13 / 27 = 0.{481} 循環節= 3
493827160 / 999999999 = 40 / 81 = 0.{493827160} 循環節= 9
506172839 / 999999999 = 41 / 81 = 0.{506172839} 循環節= 9
518518518 / 999999999 = 14 / 27 = 0.{518} 循環節= 3
530864197 / 999999999 = 43 / 81 = 0.{530864197} 循環節= 9
543209876 / 999999999 = 44 / 81 = 0.{543209876} 循環節= 9
555555555 / 999999999 = 5 / 9 = 0.{5} 循環節= 1
567901234 / 999999999 = 46 / 81 = 0.{567901234} 循環節= 9
580246913 / 999999999 = 47 / 81 = 0.{580246913} 循環節= 9
592592592 / 999999999 = 16 / 27 = 0.{592} 循環節= 3
604938271 / 999999999 = 49 / 81 = 0.{604938271} 循環節= 9
617283950 / 999999999 = 50 / 81 = 0.{617283950} 循環節= 9
629629629 / 999999999 = 17 / 27 = 0.{629} 循環節= 3
641975308 / 999999999 = 52 / 81 = 0.{641975308} 循環節= 9
654320987 / 999999999 = 53 / 81 = 0.{654320987} 循環節= 9
666666666 / 999999999 = 2 / 3 = 0.{6} 循環節= 1
679012345 / 999999999 = 55 / 81 = 0.{679012345} 循環節= 9
691358024 / 999999999 = 56 / 81 = 0.{691358024} 循環節= 9
703703703 / 999999999 = 19 / 27 = 0.{703} 循環節= 3
716049382 / 999999999 = 58 / 81 = 0.{716049382} 循環節= 9
728395061 / 999999999 = 59 / 81 = 0.{728395061} 循環節= 9
740740740 / 999999999 = 20 / 27 = 0.{740} 循環節= 3
753086419 / 999999999 = 61 / 81 = 0.{753086419} 循環節= 9
765432098 / 999999999 = 62 / 81 = 0.{765432098} 循環節= 9
777777777 / 999999999 = 7 / 9 = 0.{7} 循環節= 1
790123456 / 999999999 = 64 / 81 = 0.{790123456} 循環節= 9
802469135 / 999999999 = 65 / 81 = 0.{802469135} 循環節= 9
814814814 / 999999999 = 22 / 27 = 0.{814} 循環節= 3
827160493 / 999999999 = 67 / 81 = 0.{827160493} 循環節= 9
839506172 / 999999999 = 68 / 81 = 0.{839506172} 循環節= 9
851851851 / 999999999 = 23 / 27 = 0.{851} 循環節= 3
864197530 / 999999999 = 70 / 81 = 0.{864197530} 循環節= 9
876543209 / 999999999 = 71 / 81 = 0.{876543209} 循環節= 9
888888888 / 999999999 = 8 / 9 = 0.{8} 循環節= 1
901234567 / 999999999 = 73 / 81 = 0.{901234567} 循環節= 9
913580246 / 999999999 = 74 / 81 = 0.{913580246} 循環節= 9
925925925 / 999999999 = 25 / 27 = 0.{925} 循環節= 3
938271604 / 999999999 = 76 / 81 = 0.{938271604} 循環節= 9
950617283 / 999999999 = 77 / 81 = 0.{950617283} 循環節= 9
962962962 / 999999999 = 26 / 27 = 0.{962} 循環節= 3
975308641 / 999999999 = 79 / 81 = 0.{975308641} 循環節= 9
987654320 / 999999999 = 80 / 81 = 0.{987654320} 循環節= 9
また、既約分数 m/n （m＜n）が循環小数になるとき、循環節のグループは、r(n)を循環
節の長さ、φ(n)をオイラー関数とすると、φ(n)/r(n)組存在することから、
12345679/999999999=1/81 より、n=81だから、φ(n)=54、 r(n)=9 より、6組となる。
その後の研究で、除かれる数の特定はちょっと難しめの大学入試問題ぐらいでした！
m、k は整数で、0≦m≦8、1≦k≦8とする。kを固定して、A(m)＝[10(9m+k)/81]
と
おく。ただし、[ｘ]は、ｘを越えない最大の整数とする。
(1) A(0)、A(1)、･･･、A(8)は、0以上9以下の整数で、すべて異なることを示せ。
(2) (1)より、A(0)、A(1)、･･･、A(8)は、0以上9以下の10個の整数のうちの1つの値
だけをとらないことになる。この値は9-kであることを示せ。
(2)が、除かれる数の特定になります。そのためには、(1)を付けないわけにはいかないの
で付けました。9-kが書いてなければかなり難しくなりそうですが、書いてあればそれほどで
もないでしょう。
攻略法さんは、上記の問題についても考察されました。（平成２３年７月２２日付け）
| k m A(m) 9-k 1 0 0 8 1 1 1 8 1 2 2 8 1 3 3 8 1 4 4 8 1 5 5 8 1 6 6 8 1 7 7 8 1 8 9 8 2 0 0 7 2 1 1 7 2 2 2 7 2 3 3 7 2 4 4 7 2 5 5 7 2 6 6 7 2 7 8 7 2 8 9 7 3 0 0 6 3 1 1 6 3 2 2 6 3 3 3 6 3 4 4 6 3 5 5 6 3 6 7 6 3 7 8 6 3 8 9 6 |
k m A(m) 9-k 4 0 0 5 4 1 1 5 4 2 2 5 4 3 3 5 4 4 4 5 4 5 6 5 4 6 7 5 4 7 8 5 4 8 9 5 5 0 0 4 5 1 1 4 5 2 2 4 5 3 3 4 5 4 5 4 5 5 6 4 5 6 7 4 5 7 8 4 5 8 9 4 6 0 0 3 6 1 1 3 6 2 2 3 6 3 4 3 6 4 5 3 6 5 6 3 6 6 7 3 6 7 8 3 6 8 9 3 |
k m A(m) 9-k 7 0 0 2 7 1 1 2 7 2 3 2 7 3 4 2 7 4 5 2 7 5 6 2 7 6 7 2 7 7 8 2 7 8 9 2 8 0 0 1 8 1 2 1 8 2 3 1 8 3 4 1 8 4 5 1 8 5 6 1 8 6 7 1 8 7 8 1 8 8 9 1 |
攻略法さん、ありがとうございます。
７２通りを調べればいいので、ちょっと難しめではありませんでした。ｐ進法の形にします。
p-1＝q を使って書きます。
q、m、k は、整数で、q≧2、0≦m≦q-1、1≦k≦q-1とする。q、k を固定して、
A(m)＝[(q+1)(qm+k)/q2] とおく。ただし、[ｘ]は、ｘ を越えない最大の整数とする。
(1) A(0)、A(1)、･･･、A(q-1) は、0以上q以下の整数で、すべて異なることを示せ。
(2) (1)より、A(0)、A(1)、･･･、A(q-1) は、0以上q以下のq+1個の整数のうちの1つ
の値だけをとらないことになる。この値はq-kであることを示せ。
攻略法さんからの続報です。（平成２３年７月２０日付け）
「私的数学塾」の投稿一覧の中の「連綿と続く１」からの話題です。
| 1 × 8 + 1 ＝ 9 12 × 8 + 2 ＝ 98 123 × 8 + 3 ＝ 987 1234 × 8 + 4 ＝ 9876 12345 × 8 + 5 ＝ 98765 123456 × 8 + 6 ＝ 987654 1234567 × 8 + 7 ＝ 9876543 12345678 × 8 + 8 ＝ 98765432 123456789 × 8 + 9 ＝ 987654321 |
1 × 9 + 2 ＝ 11 12 × 9 + 3 ＝ 111 123 × 9 + 4 ＝ 1111 1234 × 9 + 5 ＝ 11111 12345 × 9 + 6 ＝ 111111 123456 × 9 + 7 ＝ 1111111 1234567 × 9 + 8 ＝ 11111111 12345678 × 9 + 9 ＝ 111111111 123456789 × 9 + 10 ＝ 1111111111 |
123456789+987654321＝11111111110
1111111112＝12345678987654321 （9個の1）
攻略法さん、ありがとうございます。ｐ進法では、
[1，2，･･･，k]×(p−2)＋k＝[p-1，p-2，･･･，p-k]
[1，2，･･･，k]×(p−1)＋k＋1＝[1，1，･･･，1] （ただし、右辺の1はk＋1個）
証明は、第２式の方が簡単なので、先にします。
（証明） 左辺＝[1，2，･･･，k，0]−[0，1，2，･･･，k]＋k＋1
＝[1，1，･･･，1，0]−k＋k＋1
＝[1，1，･･･，1] （証終）
次に、第１式の証明です。
（証明） 左辺＝[1，2，･･･，k]×(p−1)−[1，2，･･･，k]＋k
＝[1，1，･･･，1]−[0，1，2，･･･，k]−1
＝{ｐ，ｐ，･･･，ｐ+1}−[1，2，･･･，k]−1
＝[ｐ-1，ｐ-2，･･･，ｐ-k]
ただし、{ｐ，ｐ，･･･，ｐ+1}は、ｐ進法表記としてはｐ-1以下の数字しか使わないが、
ｐ以上を使ってもよいとして表記したもの。
（証終）
