S(H)さんからの話題１　（→２ ３ ４ ５ ６ ７ ８） 　　 　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｓ（Ｈ）」さんから、たくさんの話題を頂いている。
このページでは、それらを整理しまとめていきたいと思う。（平成２３年８月７日付け）

　このページの主な話題は、ガロア理論と方程式（体の拡大）についてである。予備知識と
しては、大学専門課程の代数学が必要かも．．．。

　方程式　ｘ⁴＋５２ｘ³−２６ｘ²−１２ｘ＋１＝０　の１つの解を ζ とすると、他の解は

　　−４ζ/（１−ζ）²　、（１−ζ）/（１＋３ζ）　、（１−ζ）（１＋３ζ）/（−４ζ²）

と書ける。これらの間にどのような対称性があるかを調べよ。

（−１７９７年３月２１日　ガウス１９歳ときの日記より−）

　上記の問題に関連して （→　参考：吉田輝義氏の「ガロア理論」）

(１)　どれだけシンメトリ-が在るか探究せよ。（閑話休題）
(２) 　ζの３次以下の多項式達をQに添加せず、有理式達をQに添加したのはなぜか？

Q[X]/｛(ｘ⁴＋５２ｘ³−２６ｘ²−１２ｘ＋１）Q[X]｝
＝Q(ζ，−４ζ/（１−ζ）²，（１−ζ）/（１＋３ζ），（１−ζ）（１＋３ζ）/（−４ζ²）)

問１　f[ｘ]＝６４ｘ⁶−１１２ｘ⁴＋５６ｘ²−７ について、
　　K＝Q[ｘ]/｛(６４ｘ⁶−１１２ｘ⁴＋５６ｘ²−７）Q[ｘ]｝ とするとき、K＝Q(α) で、解達の多項式
　　表現は、
{-α，α，３α−４α³，−３α＋４α³，−５α＋２０α³−１６α⁵， ５α−２０α³＋１６α⁵}
となることを示せ。

問２　f[ｘ]＝７ｘ⁶−３５ｘ⁴＋２１ｘ²−１ について、問１と同様に議論せよ。

問　題　問１、問２をガウスにならい、他の解達を有理式で表現せよ。

　ガウスが如何にして冒頭の４次方程式の他の解達を有理式で表現したのか、如何にして
導出されたのか、日記が手元になく聴くわけにもいかないが．．．。（平成２３年８月８日付け）

　私はガウス先生の有理式解を信じて、吉田輝義さんの如く、他の解をQ(ζ）でなく、Q[ζ]
の元としてσ₂[ζ]（３次式）を表現し確証を獲ました。(f[σ₂[ζ]]＝０　かはおまかせします）

問　題　残りのガウス先生の有理式解をQ[ζ]の元としてσ₃[ζ]、σ₄[ζ]（３次式以下）を
　　　　表現して下さい。そして、K＝Q[Ｘ]/（f[Ｘ]Q[Ｘ]）がQの正規拡大体であることを示し、
　　　　σ₄・σ₃等、乗積表も作成し、各σ_j の位数を求めてガロア群の構造を明らかにして
　　　　下さい。また体K の全ての中間体を記載してください。

　神戸大学の問題では、g(ｘ)∈Q[ｘ](２次以下の多項式)の導出方法や何故そのように他の
解が表現可能なのかについて、まったく触れていない。このことを他の高次についても解い
て下さい。（→　参考）冒頭の問題を神戸大にならい解いて下さい。すなわち、

問　題　(１)　４次方程式の他の解を、Q係数の３次以下の多項式として表現せよ。
　　　　　(２)　（１）を用いて、ガウスの如き、有理式表現を求めよ。

　Lagrangeの補間公式を使い、吉田輝義さんの　Q[X]/f[X]*Q[X] のガロア群の元を求める
と、例えば、-９ζ³/４−４６５ζ²/４＋３８９ζ/４−２３/４　を得た。これが答えであることは、
f[-９ζ³/４−４６５ζ²/４＋３８９ζ/４−２３/４]が容易に因数分解できることから確認可能。

　問題について、f[ｘ] ＝ｘ³＋ａｘ＋ｂ を定め、ガロア群が S₃ であることを示し、例2-6-3 を
確認して下さい。（→　参考：「判別式（英語版）」、「判別式（独語版）」）

　問2-6-3 の５次のF[ｘ]について、次数の低い吉田輝義さんの如き解の表現が可能ならば、
提示願います。

　吉田輝義さんのガロア理論を読もうと試み、７頁 で立ち止まり、真摯に詮索した顛末です。
ガウスの１７９７年の日記の行間を埋める努力は　許される行為でしょう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月９日付け）

　それから２年後の、１７９９年のガウスの日記から、考察１と考察２をご覧ください。

　有名な高木貞治先生の教科書『解析概論』の第１章「基本的な概念」の章末練習問題の
1番、すなわち、この教科書のいちばん最初の練習問題：、

　ａ₁＞ｂ₁＞０　、ａ_ｎ＝（ａ_ｎ-1＋ｂ_ｎ-1）/２　、　とすれば、数列 ａｎ、ｂｎ は
同一の極限値に収束する。この極限値を、ａ₁、ｂ₁ の算術幾何平均という。（Ｇａｕｓｓ）

は、「相加平均と相乗平均」という、高校生のやさしい練習問題のような小さな事柄から、壮
大な世界が広がっています。しかも、数学にはこういう例が無数にあって、上記はほんの一
例にすぎません。ところで、相加平均の方に壮大な世界が在り過ぎです．．．。（一例）
（位数の比較的小さい知悉の有限群Gで加重平均に挑戦を．．．　→　参考)

　吉田輝義さんの問題で、残りの解を、Q[ζ]の元として（３次式以下）表現して下さい。

　“ζがQ上代数的 ⇔ Q[ζ] = Q(ζ)”　です。Q(α) の元は Q[α] の元として表現できるの
は明らかでしょう。でも、６人もの数学者が登場する次の数行をよくお読みください。如何で
しょうか？６人の数学者（特に、ガウス（日本語版）、アーベル）の年表を追記し考察する意
義はあるのではないだろうか。

　円周の等分に関わる Q[X]/｛(X⁴＋X³＋X²＋X＋1)Q[X]｝＝Q(α)＝Q[α] は解達をQ[α]
の元として表現することは容易だろう。
　実際に、　{α， α²， α³， −α³−α²−α−１}　 と すればよい。

　また、 σ₄[α]＝−α³−α²−α−１　等とし、その位数等も容易に求められる。
（→　参考：「円周の５等分点の作図」）

問　題　　ｆ（ｘ）＝X⁴＋X³＋X²＋X＋1＝０　の解の一つをαとおくとき、
　　　　　ｆ（−α³−α²−α−１）　の値を求めよ。

（解）　α⁴＋α³＋α²＋α＋1＝０　より、　α⁴＝−α³−α²−α−１　、　α⁵＝１
　　　このとき、　ｆ（−α³−α²−α−１）＝ｆ（α⁴）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝α¹⁶＋α¹²＋α⁸＋α⁴＋1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝α＋α²＋α³＋α⁴＋1＝０　　（終）

これなら、次数をもっと上げて、例えば、
Q[X]/｛（X¹⁴+X¹³+X¹²+X¹¹+X¹⁰+X⁹+X⁸+X⁷+X⁶+X⁵+X⁴+X³+X²+X+1）Q[X]｝=Q(α)=Q[α]
の解達を、Q[α]の元として（13次式以下に）表現することは容易だろう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月１０日付け）
実際に、
　　　{α，α²，α³，α⁴，α⁵，α⁶，α⁷，-α⁵-1，-α⁶-α，-α⁷-α²，-α⁷+α⁵-α⁴-α+1，
　　　　　　　　　　-α⁷+α⁶-α⁴+α³-α²+1，α⁷-α⁵+α⁴-α³+α-1，α⁷-α⁶-α³+α²-1}

とすればよい。 α¹⁴+α¹³+α¹²+α¹¹+α¹⁰+α⁹+α⁸+α⁷+α⁶+α⁵+α⁴+α³+α²+α+1＝０

α15＝1、α10+α5+1＝０、 　　　　　　　　　　α12+α9+α6+α3+1＝０ 　より、 α10＝-α5-1、α11＝-α6-α、α12＝-α7-α2、 　-α7-α2+α9+α6+α3+1＝０　より、 　　　　　　　　　　　　　α9＝α7-α6-α3+α2-1 このとき、α10＝α8-α7-α4+α3-α＝-α5-1 より、　α8＝α7+α4-α3+α-α5-1 　　　　　　 ＝α7-α5+α4-α3+α-1 α13＝-α10-α7-α4-α 　　　＝α5+1-α7-α4-α 　　　＝-α7+α5-α4-α+1

α¹⁴＝-α⁸+α⁶-α⁵-α²+α
　　 ＝-α⁷+α⁵-α⁴+α³-α+1+α⁶-α⁵-α²+α＝-α⁷+α⁶-α⁴+α³-α²+1

　ところで、次数をさげた場合に、梅村 浩 先生（名大・多元数理科学専攻教授）が提示され
ている３次方程式の問題はどうだろうか？

　　f[X]＝X³＋６X²−８　について、　f[X]＝０ の解をαとするとき、他の解達を上の
　如く２次以下の多項式で表せ。
　（→　参考：　２次方程式の場合（吉田輝義さんの６頁の X²−６X＋７ の考察）)

　梅村 浩 先生にならい、

　　f[X]＝X³−６X＋A　として、判別式Dを求め、√D が基礎体Qに属さないようにAを選択
　し、解の２次以下の多項式表現を行って、梅村 浩 先生のものとの違いを論じて下さい。
（→　参考：「あらきけいすけの雑記帳　判別式」、「Discriminant」）

　６人もの数学者が登場する数行を、よく目を凝らして見て下さい。吉田輝義さんのものを
考察する意義は如何？
（→　参考：　「例１」　「例２」　「例３」　「例４」　　ガロア理論の吉田輝義さん）

問　題　f[ｘ]＝ｘ³＋３４５ｘ−１２　のとき　最初の８次とは異なる点が在ることを明記し、
　　　　　f[ｘ]＝０ の解をαとするとき、他の解を　K[α]の元として表現せよ。
　　　　　　また、ガウスに倣い有理式表現をも。

　「終結式」に多くの命題達が在りますが、「Cox 4.4 代数拡大に関する定理達の証明」、「永
田　体論　定理2.14 系2.15(68p 定理2.12.1)達の証明」等を具現する手法として、８頁近傍の
例　Q(＋)、 自然な拡張として、永田体論　74頁のQ(，，)　等、私には有り
難いです。（平成２３年８月１２日付け）
（証明した年代は古過ぎて記されていなくて、終結式を用いての具現は__年と　寄与した人の記録在り）

（コメント）　「終結式」の４頁〜９頁は、具体例も豊富で分かりやすいですね！

　梅村 浩 先生が提示されている３次方程式の問題に関連して、

(1)　２次方程式 ｘ²＋ｘ＋１＝０ の解を β とするとき、 和α+βがQ上代数的数は明らかだ
　　が、「終結式」のProposition 2 [Loos 1982b]の「終結式」を用いて、α+β のQ上の最小
　　多項式 f[X] を求めよ。

(2)　f[X]＝０ の解 θ＝α＋β の５次以下の多項式（∈Q[θ]）で他の解を表現せよ。

(3)　σ₂[θ]＝(-36θ⁵ - 551θ⁴ - 2630θ³ - 3135θ² + 1326θ - 9291)/2166　等定義し、
　　各σ_jの合成（冪）を作り、σ_jⁿ が初めて σ_j^ｍ[θ]=θなる ｍ を求めよ。

(4)　f[X]を、Q()[X]で因数分解せよ。

(5)　f[X]＝０　の解達は、Gauss平面上如何に分布しているか、図示せよ。
　　一つをθとすると、σ₂[θ]はどれですか? σ₂²[θ]はどれですか? ．．．等

　「Fast Computation With　Two Algebraic Numbers」について、積αβがQ上代数的数は明
らかだが、上記の問いと同様にして、αβ のQ上の最小多項式 f[X] を求めよ 。そして、上の
(2)以降の如き考察をせよ。

　次のような問題がある。（平成２３年８月１３日付け）

　　f[ｘ]＝ｘ³−３ｘ＋１　について、　f[ｘ]＝０ の解をαとするとき、
　他の解達を上の如く２次以下の多項式で表せ。

　f[ｘ]＝０ を解くために、　ｘ＝ｚ＋１/ｚ　とおくと、　（ｚ＋１/ｚ）³−３（ｚ＋１/ｚ）＋１＝０
　よって、　ｚ³＋１/ｚ³＋１＝０　すなわち、　ｚ⁶＋ｚ³＋１＝０
　このとき、ｚ³ は、１の３乗根 ω を用いて、　ｚ³＝ω　または　ｚ³＝ω²
　ω の３乗根を ε＝ｅｘｐ（２πｉ/９） とすると、　ω＝ε³　で、ｚ＝ε、εω、εω²
　　　すなわち、　ｚ＝ε、ε⁴、ε⁷　となる。
　ここで、　ε⁹＝ω³＝１　より、　１/ε＝ε⁸　、１/ε⁴＝ε⁵　、１/ε⁷＝ε²　なので、
　f[ｘ]＝０ の３つの解は、　α＝ε＋ε⁸　、β＝ε²＋ε⁷　、γ＝ε⁴＋ε⁵
　すなわち、　α＝２ｃｏｓ（２π/９）　、β＝２ｃｏｓ（４π/９）　、γ＝２ｃｏｓ（８π/９）
　ここで、　β＝２ｃｏｓ（４π/９）＝４ｃｏｓ²（２π/９）−２＝α²−２
　　　　　　　γ＝２ｃｏｓ（８π/９）＝４ｃｏｓ²（４π/９）−２＝β²−２
　　　α³＝３α−１　に注意して、
　γ＝β²−２＝（α²−２）²−２＝α⁴−４α²＋２＝３α²−α−４α²＋２＝−α²−α＋２
　以上から、　f[ｘ]＝０ の一つの解を α とすると、他の解達は、
　　　　　β＝α²−２　　、　　γ＝−α²−α＋２
と表される。（→　参考）

　３次方程式を通常なら困難な、より高次の６次方程式に変換し解いているが、なぜ、置換
（ｘ＝ｚ＋１/ｚ）をしたのだろうか？

　３次方程式 ｘ³−３ｘ＋１＝０　の解をαとする。

(1)　２次方程式 ｘ²＋ｘ＋１＝０ の解を β とするとき、 和α+βがQ上代数的数は明らかだ
　　が、「終結式」のProposition 2 [Loos 1982b]の「終結式」を用いて、α+β のQ上の最小
　　多項式 f[X] を求めよ。

(2)　f[X]＝０ の解 θ＝α＋β の５次以下の多項式（∈Q[θ]）で他の解を表現せよ。

(3)　f[X]＝０　の解達は、Gauss平面上如何に分布しているか、参考の如く図示せよ。

(4) 判別式D の平方根が基礎体Qに堕ちる　ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０　を具体的に定め 参考
　　の置換 ｘ＝ｚ＋１/ｚ に倣って、如何なる破綻を生じるかを記載して下さい。

(5) 他の発想で、解をαとし、２次以下の多項式で他の解を表現して下さい。


　　ＨＮ「土筆の子」さんが「も解」問題に挑戦されました。（平成２５年１２月２６日付け）

　　S(H)さんの問題の一つを解いてみました。すっきりしました。以前たまたまＨＰで見つけた、
　当時は数学者の卵とおぼしき方の解き方に習っています。

　　「Mathematica8」をつかっているので、多項式の展開や、剰余は瞬時にできます。ネット
　上の「Wolfwarm」でもできると思います。双対曲線関係の問題は、いまだ手が出ませんが、
　ガロア体のあたりの話は、少しわかってきました。群、環、体がひとつのハードルのようで
　す。

　　　ｘ³−１２ｘ＋８＝０　の一つの解をαとして、他の解をαの多項式で表せ。

　（解）　解と係数の関係から、　α＋β＋γ＝０、αβ＋βγ＋γα＝−１２、αβγ＝−８
　　　判別式：△²＝−４（−１２）³−２７・８²＝５１８４＝２⁶・３⁴＝（２³・３²）²＝７２²　より、
　　　　△＝（α―β）（β―γ）（γ―α）＝７２、−７２
　　　（α―β）（β―γ）（γ―α）＝７２・・・（１）　としてみる。
　　　（α―β）（γ―α）＝―α²＋αβ＋βγ＋γα―２βγ＝−α²−１２＋１６/α・・・（２）
　　　すなわち、　（α―β）（γ―α）＝（−α³−１２α＋１６）/α
　　　ここで、α³＝１２α―８　より、（α―β）（γ―α）＝２４（α―１）/α
　　　これをあらためて、（１）との関係を見ると、
　　　β―γ＝７２/｛（α―β）（γ―α）｝＝７２/｛２４（α―１）/α｝＝３α/（α―１）・・・（３）
　　　一方、　α³−１２α＋８＝（α―１）（α²＋α―１１）−３＝０　より、
　　　β―γ＝α（α²＋α―１１）＝α³＋α²―１１α＝α²＋α−８
　　　β＋γ＝−α　と組み合わせて、　β＝（1/2）α²−４　、γ＝−（1/2）α²−α＋４　（終）


※　「終結式」の１３頁にあるHadamard's inequality [1893; Mignotte, 1982]　定理は、
　「志村五郎 著　数学をいかに使うか（筑摩書房）」の２６頁に在ります。（→参考「Ｈａｄａｍａｒｄ」）

　最大値を求める問題（X∈Hom[R³，R³]と考える）を常套手段（ラグランジュの未定乗数法）
で解いて下さい。名古屋大学　理学部　数理科学科の問題は愉しいのですが．．．。

　常套手段（ラグランジュの未定乗数法）の例２　ｆ＝8ｘ² - 12ｘｙ + 17ｙ²　において、

8ｘ² - 12ｘｙ + 17ｙ²＝17 は有理曲線です。有理曲線化し、そこの問題を解いてください。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月１４日付け）
　また、問19-3 にならい、

　f(Y)＝8ｘ² - 12ｘY + 17Y²　-　17∈K[Y]　の根 y を K＝Ｑ(ｘ) に添加したとき、Ｌ＝Ｋ(ｙ) は、
Ｑ上純超越拡大、すなわち、Ｌ＝Ｑ(ｔ) となる ｔ∈Ｌ が存在する。x、y∈Q(t)　とし、t を多様な
発想で消去願います。

　こうイメージすると、自明ではないでしょうか？線形代数Ｂ、線形代数Ｃの具体例でも確認
は容易。「数学をいかに使うか（志村 五郎 著）」　２７頁では、「或る古い本に、Hilbert が実の
多変数の条件付き最大最小問題の解として与えた証明が在り、例によって＜それがよいとも
思われない ので．．．＞と」。

　解析概論の［例 2］行列式の最大値［Hadamard の定理］の証明は、Hilbert に拠るのです
ね！(何故、高木貞治氏は、「Hilbert に拠る」と明記されなかったのでしょうか？)

　ここでは、解析概論の条件 (7) の独立変数の個数が気になります。解析概論/第2章/極
大極小 のこの証明は、ｎ次元で困惑される方は存在しないのでしょうが．．．。

　問題５４が、次の果たせない課題です。（平成２３年８月１５日付け）

　論文の定理1.3 近傍の例をご覧下さい。 ｔ は超越元の仮定ですが、タイムパラメタ- t∈C
と見做し、t を消去して視て下さい。井草準一の検索中、
　　「最終講義 - 射影極限と帰納極限 (2007) 梅村浩」
に遭遇しました。日本の新しい代数幾何学の誕生です。

　R³に於ける２つの曲面　S₁： ｘ² - ｘｙ - ｙ² + ｚ²＝０ ，S₂： ｘ² - ｙ² + ｚ² - ｚ＝０ について、

(1)　S₁∩S₂　を ｘｙ平面に正射影π(S₁∩S₂)して得られる４次の代数曲線を求めると、
　　　　ｙ²・ｘ² + ｘ² - ｘｙ - ｙ²＝０ が得られることを求めて下さい。
　　（ 例えば、「終結式」の　Sylvester's matrix　を用いて、ｚ を消去して下さい。)

(2)　得た４次の代数曲線と２次曲線の族： ｔｘ + ｙｘ - (ｔ + 1)ｙ＝０ の交点を求めて下さい。

　例えば、「終結式」の　Sylvester's matrix　を用いて、ｙ を消去して得た ｘ の方程式を解き、
　　　　ｘ＝(-ｔ² + ｔ + 1)/(ｔ² + 1)∈Q(t)　が得られるでしょう。ｙ も求めて下さい。

　以上により、４次の代数曲線π(S₁∩S₂)が、有理曲線　(ｘ，ｙ)∈Q(ｔ)² であることが証明さ
れた。

　R³に於ける２つの曲面 S₁，S₂ を提供してください。（もちろん、(ｘ，ｙ)∈Q(ｔ)²）
元の S₁∩S₂ は、R³に於ける有理曲線であることを示して下さい。

　問19-3 にならい、問19-7 の模倣を致します。： π(S₁∩S₂) ： ｙ²・ｘ² + ｘ² - ｘｙ - ｙ²＝０

　f(Y)＝Y²・ｘ² + ｘ² - Yｘ - Y²∈K[Y]　の根 y をKに添加したとき、略解に倣い、解答を是非
お願い致します。（平成２３年８月１６日付け）

　飯高　茂先生が、レビュー記載の「記憶の切繪図　（志村五郎　著）」の246〜251頁に、円
は円函数で「一意化」できるが．．．と在ります。問題５４に倣い、環準同型
Q[ｘ，ｙ]--φ-->Q[t]　が、φ(ｘ)＝2t² - 1、φ(ｙ)＝16t⁵ - 20t³ + 5t　　を満たすとき、

(1)　Kerφ＝<f[ｘ，ｙ]> なる f[ｘ，ｙ] は、f[ｘ，ｙ]＝16ｘ⁵ - 20ｘ³ + 5ｘ - 2ｙ² + 1　ですか？
(2) 導出した代数曲線　f[ｘ，ｙ]＝０ の媒介変数表示をして、元のを復元して下さい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月１７日付け）

　ｘ² + ｙ² = 1　の例の有理函数の対での媒介変数表示の導出は容易で、復元も容易です。

問　環準同型　Q[ｘ，ｙ]--φ-->Q[t]　が、φ(ｘ)＝2t² - 1、φ(ｙ)＝64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t
　　を満たすとき、

(1)　Kerφ＝<f[ｘ，ｙ]> なる f[ｘ，ｙ]　を求めよ。
(2) 代数曲線　f[ｘ，ｙ]＝０ の媒介変数 ｔ 表示をして、元の
　　ｘ＝2t² - 1　、ｙ＝64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t　を復元して下さい。

　Proposition５（リューロー）、Proposition７（クライン）等は気になりませんか？

k(t)
|
E=K=k((t¹² - 33t⁸ - 33t⁴ + 1)/(t⁴(t⁴-1)⁴))
|
k　　　　分子＝t¹² - 33t⁸ - 33t⁴ + 1　は、Q上可約で、

　（t² - 2t - 1）（t² + 2t - 1）（t⁴ + 1）（t⁴ + 6t² + 1）

　この因数の　f[t]＝t⁴ + 6t² + 1　を考察。f[α]＝０　なら、例えば、　f[σ₃[α]]＝０　を示し、
このような他のαの３次以下の多項式達σ_j[α] を求めると、
　σ₁[α]＝α　、σ₂[α]＝-α　、σ₃[α]＝-α³ - 6α　、σ₄[α]＝α³ + 6α

　各j について、σ_jⁿ[α](n∈N)を求め、簡単にしてください。

　各j ，i について、σ_jⁿ・σ_j^ｍ[α]　(n、m∈N)　を求め、簡単にしてください。

　ガロア群 Gal(Q(σ₁[α]，σ₂[α]，・・・，σ₄[α])/Q) を 求めてください。

　Corollarｙ14.13に倣い、可換体論（永田）77p、座標環 K[X₁，x₂，・・・，X_n]/素ideal　110p、
117p、127p 等に関わる例ですが．．．。（平成２３年８月１８日付け）

　このことについて、略解　Wolfram|Alpha１、Wolfram|Alpha２　のように、代数曲線

x⁴ + 4yx³ - 4x³ + 6y²x² - 16yx² + 12x²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 4y³x - 8y²x - 4yx + 11x + y⁴ - 4y³ + 8y² - 11y + 7＝０
を描けば、t が見い出せるかも．．．。

　次のようなグラフになります。

　　以前に考察済みの置換を参照し、次の各方程式を置換
　　x＝t + 1/t により解いて下さい。
　（次数は上がるが、易しい方程式に還元される）
　（方程式と　ｘ＝ｔ＋１/ｔ　から ｘ を消去すれば叶う。消去と
　云えば、シルベスター行列!）

　　ｘ⁵ - 5ｘ³ + 5ｘ - 2 = 0
　　ｘ¹⁰ - 10ｘ⁸ + 35ｘ⁶ - 50ｘ⁴ + 25ｘ² - 4 = 0

（このような方程式を沢山産んでください）




　青枠のイデアルの生成元のとり方は一意的ではないので、二通りを導出願います。

　英文の青枠の(2) は容易です。（平成２３年８月１９日付け）

（参考文献）　落合 理　著　「数の体系の広がり、周期積分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そして整数論-代数と幾何と解析の交わる世界-
　　　　　　　　 レムニスケート曲線

　Galois theory（David A. Cox）に在る【代数的従属問題】を是非お願い致します。この環準同
型の核心を求める問題は、既習の問題に酷似です。

　これは易しいケースでしょう。次の入試問題（弘前大）の、(2)の４次曲線が有理曲線であ
ることの証明はやり甲斐が在りそうです。問19-3に倣い、問いかけた発想で証明し、有理
曲線を用いて、入試の面積を求めて下さい。

　メインは、Corollarｙ14.13に倣い、座標環：R[ｘ，ｙ]/＜4ｘ⁴ - 4ｘ² + ｙ²＞ の函数体（定義は
永田　110p)の考察に在ります。

　入試問題（弘前大）よりは易しい、２次の問題をご覧下さい。Hilbert 90 との絡みは想定の
範囲外でしょうか？

　飯高先生より、平成２３年８月４日付けでアドバイスを頂きました。

　　　志村先生のご本のｐ１３８，１３９にリューロートの定理に一般化の話が取り上げられて
　　います。私の感想を１つ述べます。

　　　基礎体が標数0で閉体の場合ですが、超越次元１の部分体Kのモデルである曲線を考
　　えるとその種数g はn次元射影多様体の負正則数q=0 より g=0。だから有理曲線になる
　　からK は有理式の体。こうして幾何学的意味が分かる。

　　　次に多項式環の部分環 A が正規でその有理関数体が１次元とする。すると A=F[u] と
　　かける。これは、対数的種数と、対数的不正則数を考えればすぐ出る。

　　　こうして、幾何学化すると代数の問題の意味が明確になり、すべてが透明になる。

（参考文献）　「Algebraic geometry」　、「Geometria algebrica」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月２０日付け）

　Ｓ（Ｈ）さんが非ホーチミン型と命名された問題。式を見て、多分「代数的な関係」を求める
のだなぁと翻訳していただけると嬉しいです。確認は容易です。

　　g³-3g=(t + 1/t)³ - 3(t + 1/t)=1/t³ + t³=f と赤囲みが正しい関係を求めていることが分
かります。

　赤囲みの如く、ｆ、ｇ は「独立」ではなく、「代数的な関係」が在ることは高校生も導出。n=2
の場合の ｆ、ｇ、ｈ の「代数的な関係」を 是非導出願います。

　代数的従属の問題で、関係式を自力で導出して下さい。既習の練習６、問題５４に酷似。

（参考資料）　「Division　of　the　lemniscate」

　Galois theory（David A. Cox）の１５章．．．高木 29p-37p(137p-159p)

　吉田輝義さんの問題で、 ｘ＝ｗ⁴ と置換する。

　　ｘ⁴＋５２ｘ³−２６ｘ²−１２ｘ＋１＝０　より、　ｗ¹⁶＋５２ｗ¹²−２６ｗ⁸−１２ｗ⁴＋１＝０

これを解く際、常套手段に倣い(ｗ＝ｘ+ｙ・ｉ)、実部、虚部に分け、代数曲線達：実部=0、虚部=0
は、当然、直交する。交点は、「Wolfram|Alpha」を利用ください。（→　参考）

　実部=0、虚部=0　を解く際、常套手段により、y を消去（と云えばシルベスター行列）して
下さい。

　Cox 先生は今まで書籍上であった先生の内もっとも好きな先生ですが、練習６は少し教育
的配慮が足りない．．．。（ひょっとすると、読者は見逃して大損害を被るかも)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月２２日付け）

　京大、16次方程式の判別式計算に成功した。（マイコミジャーナル　6月27日配信）

(Ａ)　φ[u] = ｘ + ｙ　、φ[v] = ｘｙ　、φ[w] = ａ(ｘ - ｙ)² と定義したとき、練習６のような
　　h[u，v，w]∈k[u，v，w] を求めて下さい。（その後 u = b/a、v = c/a として．．．）

（Ｂ)　φ[u] = ｘ + ｙ + ｚ　、φ[u] = ｘｙ + ｙｚ + ｚｘ　、φ[w] = ｘｙｚ　、
　　φ[D] = ａ｛(ｘ - ｙ)(ｙ - ｚ)(ｚ - ｘ)｝² と定義したとき、練習６のような
　　h[u，v，w, D]∈k[u，v，w, D]　を求めて下さい。（その後 u = b/a、v = -c/a、w = d/a として）

　(あまりきれいな式とはいえないですね。16次の場合も綺麗と云う数学者が存在）

　「終結式」の Sylvester's matrix を用いる手法で、上の(Ａ)（Ｂ)の結論【旧知】を導出して下
さい。（何れの手法が　お気に入り　でしょうか？）

（Ｃ)に該当する問を創り、二様の手法で結論【旧知】を導出して下さい。

　４次の場合はもっと複雑で、いきなり計算を始めると大変ですが、ちょっとした工夫で、３次
の場合に帰着させることができます。

　「Singular point of an algebraic variety」のk[X，Y]/＜Y²-(X²(X-1)> について、

　　　　φ[ｘ] = t² - 1　、φ[ｙ] = t³ - t　：　ｋ[ｘ，ｙ]-----＞k[t]

練習６のような考察をどうぞ。

(1)　代数曲線 C： (-1 + ｘ² + ｙ²)³ - ｘ²ｙ³ = 0　の特異点を是非求めて下さい。
(2) 　二つの特異点は自明ですが、他の出現する特異点に疑問点が生じる筈です。如何に
　　疑問点を解消なさいますか？
(3)　非線型写像 F ： R²----------＞R² を F[ｘ，ｙ]=[ｘ + ｙ，ｙ²] によるCの像F(C)を求めて
　　下さい。（→　参考図）
(4) 　また、F(F(C))も求め、F(C)、F(F(C))の特異点を求めて下さい。
(5) 　C、F(C)、F(F(C)の双対曲線達を求めてください。
(6) 　各双対曲線に如何なる特異点が出現しましたか?

　メインの問題です。

　φ[ｕ] = ｘ² + ｙ²　、φ[ｖ] = ｘ³ｙ - ｘｙ³　、φ[ｗ] = ｘ²ｙ²　と定義したとき、練習６のような
　h[u，v，w]∈k[u，v，w]を求めて下さい。（英文の(　　　　)内を注視なさって下さい）
　得たものから、 R³に於いて、h[u，v，w]＝０　を描いて下さい。

　　 座標環（その商体を函数体）は、永田 110p　：　 k[u，v，w]/＜h[u，v，w]＞
　　R[ｘ，ｙ]/(ｘ² + ｙ² - 1)R[ｘ，ｙ] 在り；（タイプミス在り）

(北海道大学・理・数)　・ガウス写像の数学(幾何学特論４・幾何学講義８) 質問の回答
　　　　　　　　　　　　　 ・代数閉体上の多項式環とアフィン代数多様体　

　「線形従属と線形独立の判定]」について（平成２３年８月２３日付け）

　 + 　のQ上の最小多項式は、ｘ⁴ - 10ｘ² + 1。　のQ上の最小多項式は、ｘ² - 5
　「終結式を用いて」の発想に倣い、
　 + + 　のQ上の最小多項式を求めて、ｘ⁸ - 40ｘ⁶ + 352ｘ⁴ - 960ｘ² + 576　となり
ますか？（→　参考：　永田　74p)

　以下、「９０年度東京大学前期文系」の模倣です。

　ｘ⁸ - 40ｘ⁶ + 352ｘ⁴ - 960ｘ² + 576 = 0　の解をαとすると、他の解は、αの7次以下の多
項式で表されるのは明らかと云い、具現はなさらない方も世の中に存在する（近傍の方に
お願いしてみて下さい）。

　具現を試みると、　　{α，-α，-5α⁷/288 + 97α⁵/144 - 95α³/18 + 59α/6，・・・}
残りの５個を具現して下さい。

　これを、σ_j[α]　とし、群表を作成し、部分群を求め、各部分群に対応する

　　　体　Q[ｘ]/<ｘ⁸ - 40ｘ⁶ + 352ｘ⁴ - 960ｘ² + 576>
　　　　|
　　　　Q　　　の中間体を全て求めてください。

　練習問題の(a)について、求めた左辺を f[ｘ]∈Q[ｘ] とする。f[ｘ]=0 の解をαとするとき、

{-2α³/7 - 16α²/7 - 29α/7 - 9/7，2α³/7 + 2α²/7 - 13α/7 - 12/7，
-4α³/7 - 18α²/7 - 9α/7 + 3/7， -α - 3，α，4α³/7 + 18α²/7 + 9α/7 - 24/7}

達も解ですか？

(b)について、求めた左辺を f[ｘ]∈Q[ｘ] とする。f[ｘ]=0 の解をαとするとき、他の解も含めて、
　Sol={2 - α，α， -α³ + 3α² - 2α + 1， α³ - 3α² + 2α + 1}
で尽くされることを導出して下さい。上は、「９０年度東京大学前期文系」の模倣です。

　練習問題の黄色枠を参照して、次の問を解いてください。

ｘ¹¹ - ( + )ｘ⁵ + (1 + 3ｉ)ｘ + =0 から f[x]∈Q[x] を作 って下さい。

　Garrett Birkhoff、Saunders Mac Lane　が例示の w=u²-u が満たすモニックな既約方程式
を求める導出法は回り諄いと思われませんか？（平成２３年８月２４日付け）

Q[x]/<ｘ³-2x+2>=Q(u)∋w=u²-u (例)
　　　|
　　　Q
　Q(u)　（ただし、ｕ³-2ｕ+2=0 ）

において、　w=u²-u　が満たすべき方程式を求めたい。

そのために、　w²=u⁴-2u³+u²　、w³=u⁶-3u⁵+3u⁴-u³　と展開し、ｕ³=2ｕ-2　を代入すると、
　　　　　w=u²-u　、w²=3u²-6ｕ+4　、w³=16u²-28ｕ+18
となる。これを、連立方程式　u²-u=w　、3u²-6ｕ+4=w²　とみて解くと、
　　　3u²-4=6w-w²　、3ｕ-4=3w-w²　から、　u²=-w²/3+2w+4/3　、ｕ=-w²/3+w+4/3
　これらを、w³=16u²-28ｕ+18　に代入して、
　　　w³=16(-w²/3+2w+4/3)-28(-w²/3+w+4/3)+18=4w²+4w+2　より、
　w が満たすべき方程式は、　w³-4w²-4w-2=0　となる。

　上記の計算ではなく、瞬時に、g[w]=w³-4w²-4w-2 を得る発想をお願い致します。

　上記の計算とは異なる発想（終結式を利用）で解いてみました。

w=u²-u より、　u²-u-ｗ=0　で、さらに、　u³-2u+2=0　　２式より、文字 ｕ を消去して、

　w³ - 4w² - 4w - 2 = 0　となる。

　「g[w] の判別式 D のSqrt[D]∈Q ではない」 ことを確かめ、g[w]=0　の零点を α とすると
き、他の零点をQではなく、Q(Sqrt[D])係数の２次以下の多項式で表現可能なことは自明で
片付けず、具現願います。上は、「９０年度東京大学前期文系」の模倣の模倣ですか？

　「吉田輝義さん」の Ｇａｕｓｓの日記の４次方程式の解を u とするとき、w=u³ + 7u² + 5u + 3
が満たす モニックな既約方程式を求める導出法を

(イ）「Garrett Birkhoff、Saunders Mac Lane」に倣う方法
(ロ) 「終結式」のSylvester's matrix　を　使う方法
(ハ）Ｇａｕｓｓの日記の４次方程式の解は求められる。（即ち、レムニスケートの＿＿等分が
　　直定規とコンパスで可能）

　　実際に、求め、各解を　u³ + 7u² + 5u + 3 に代入し得たものを、ｚ_j とし、

(w-z₁)(w-z₂)(w-z₃)(w-z₄) を求めて、(イ)(ロ) と一致するまで、頑張って下さい。

(ニ)(ホ) と他の発想達を提案し、具現して下さい。

とお願いしましたが、

Q[X]/<Ｇａｕｓｓの４次式>＝Q(u)＝Ｑ[u]　
　　　|　 　　　　　　　(永田　41p　定理 2.1.6、Cox、Abelが上記を初めて理解した人だった）
　　　Q
より、Q(u) の任意の元が、Au³ + Bu² + Cu + D∈Q[u]　と一意的に表現されるので、Ｇａｕｓｓ
の日記の４次方程式の解を u とするとき、w=Au³ + Bu² + Cu + D が満たすモニックな既約
方程式を一気に求めて下さい。　u⁴+(-144628A + 2756B - 52C + 4D)u³+...................=0
そして、{A → 1, B → 7, C → 5, D → 3}　と特殊化し、前のが得られることを確認して下さい。

実は、Q[u]=Q(u)　については、Reid のCorollary 2.29(Cf：2.28)にズバリ在ります。

それ以前の、33p 問15で（Let a denote the image of x in　を素直に讀んで下さい!!）
自明と云わず、易しい事例達を（　多様な発想）で解いて、と在りますのでどうぞ！

　g[w]=0 の解をαとするとき、吉田輝義さんのものを真似ず、即ち、有理式表現の方でなく、
他の解の３次以下の多項式表現を試みて愉しんで下さい。

σ₁[α]=α　、σ₂[α]　、・・・　、σ₄[α]

これは、「９０年度東京大学前期文系」の模倣です。

例によって、G＝{σ₁，σ₂，・・・，σ₄}　の部分群に対応する体；

Q[X]/<g[X]>
　　　|
　　　Q　　　の中間体を全て求めて下さい。

　次は、Ｓ（Ｈ）さんが非ホーチミン型と命名された問題の型のものです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月２５日付け）

　論文の空欄に、自ら環準同型φ：k[F，G，H]----------->k[ｘ，ｙ]　を定義し、練習６のよ
うな　h[F，G，H]∈k[F，G，H]　を求めて下さい。求めた　h[F，G，H]　は、右の草色枠にな
りましたか？得た代数曲面 k[F，G，H]/<h[F，G，H]>　を見たい場合は、得た関係式を、H
について解き、「Wolfram|Alpha」を利用して下さい。

　Galois theory（David A. Cox）の例２．２．６　練習４　において、なぜ、Cox 先生は、
「Show carefully」と云われるのでしょうか？（平成２３年８月２６日付け）

慎重にしなければ、如何なる誤答を招いてしまうのか、誤答例達を明記願います。

　非ホー・チ・ミン型の問題における関係の導出をお願いします。（平成２３年８月２７日付け）

　紫枠の青から赤枠の X、Y、Z の関係(syzgy　idesl)を導出願います。その後、代数曲面
R[X，Y，Z]/<h[X，Y，Z]> も是非描いて鑑賞願います。その際、以下をも考慮願います。
　Galois theory（David A. Cox）に在る【代数的従属問題】：練習６

　Ｓ（Ｈ）さんのヒントに倣い、少し計算してみた。

Ｙ＝｛ｓ（３＋ｓ²）（１−ｔ²）＋２ｔ｝/（１＋ｔ²）　、Ｚ＝｛−２ｓｔ（３＋ｓ²）＋（１−ｔ²）｝/（１＋ｔ²）
において、　（１−ｔ²）/（１＋ｔ²）＝ｃｏｓθ　、２ｔ/（１＋ｔ²）＝ｓｉｎθ　とおくと、
　 Ｙ＝ｓ（３＋ｓ²）ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ　、Ｚ＝−ｓ（３＋ｓ²）ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
なので、　Ｙ²＋Ｚ²＝ｓ²（３＋ｓ²）²＋２　となる。
　ここで、　Ｘ＝２＋ｓ²　より、　Ｙ²＋Ｚ²＝（Ｘ−２）（Ｘ＋１）²＋２＝Ｘ³−３Ｘ　となる。

　この曲面を、「Ｇｒａｐｅｓ３Ｄ」を用いて描いてみると、画像中央の円が左手奥の方にだんだ
ん大きくなっていくような雰囲気。でも、Ｘ≧２で、円 Ｙ²＋Ｚ²＝Ｒ²において、Ｒ²＝Ｘ³−３Ｘが
単調増加ということを考えれば当然かな。

　草色囲みの発想は、以下からで、純超越拡大と円函数履修者は把握してらっしゃるので
しょうか？（平成２３年８月３０日付け）

　Galois theory（David A. Cox）に在る【代数的従属問題】も参照しつつ、k[X，Y，Z]--α-->k[T]
のKer[α]を求め、一連の問達を解いて下さい。また、V(Ker[α])の２曲面の交わりがよく見
えるように図示もお願いします。

　問題の青の箇所は、「９０年度東京大学前期文系」の模倣です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年８月３１日付け）

　誰でも出来る改ざんをします。各改ざんｊ(j∈{1，2}) について、追加した問達の考察をお願
いします。αを見いだし、√13を、α の多項式で自明でも具現し、√13∈Q[α] を証明．．．。
改ざん2に酷似の問が在ります。得たものが、Q上可約である現象は想定の範囲内の理由
を述べて下さい。

　この２問をお願い致します。特に、問題 31の f[ｘ]∈K(X) の出生の秘話をお願いします。

　問題を見て、(a)の具現は経験済み。問19-3 にならい、問題の模倣1、2 を解いて下さい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月１日付け）
（即ち、代数曲線も参照しつつ、

　　　V(ｘ³ - 3ｘ - ｙ² + 2)、 V(-ｘ⁷ + 7ｘ⁵ - 14ｘ³ + 7ｘ + ｙ⁵ - 5ｙ³ + 5ｙ)

が有理曲線であることを具現し、t を消去し、元の確認を。)

　此処の Deutsch 版(wikipedia.org/wiki/Kurve_(algebraische_Geometrie))には、Duale Kurve
も記されている。

　C₁＝V(ｘ³ - 3ｘ - ｙ² + 2) 、 C₂＝V(-ｘ⁷ + 7ｘ⁵ - 14ｘ³ + 7ｘ + ｙ⁵ - 5ｙ³ + 5ｙ)
の Duale Kurve C₁^* 、C₂^* を求めて有理曲線であることを具現し、ｔ を消去し、元の確認を。

　紫の枠内の問をお願い致します。

　また、差分方程式や漸化式を創り、それを解くことの愉しみも味わって下さい。
（ (ｘ - √[-4 + ｘ²])ⁿ + ・・・　のようなものが出現する筈。）

　今回は、下の赤囲みの如く、容易だが、重要らしい。その根拠は、書籍の152pの補題4.20
で、以降の頁に絡む・・・

　黒枠の２つの例を参照しつつ、（平成２３年９月２日付け）

　(1) 紫枠のイデアルの生成元　f(x，y，z)　を求めて下さい。
（東工大は、f(x，y，z) を、なんと明記し、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このとき、f(x，y，z)をなるべく簡単にせよと出題されている．．．あゝ)

　(2) 黒枠の f=f₃ に倣い、f₅=t⁵ + 1/t⁵ とするとき、赤枠のように g の多項式表現をして下
　　　さい。

　(3) g を T とし、ｘ=f₃、ｙ=f₅ から、T を消去し、代数曲線　F(ｘ，ｙ)=0 を求め、図示して下さ
　　　い。（F(ｘ，ｙ)=ｘ⁵ -＿ｘ³ + 5ｘ - ｙ² +＿ のようになる筈）

　　図示された代数曲線　F(ｘ，ｙ)=0 を見て、それが有理曲線だと判定叶いますか？
　　有理点を 117117 個 具現願います。(7個でもいいです．．．。）

　解答付きの例で、Wolfram|Alpha　の空欄に挿入すれば、代数曲線が描ける。

　パラメターを消去し、更に、斉次多項式化すると、ｘ⁴ + (2ｙ² - ｚ²)・ｘ² + ｙ⁴ + ｚ²ｙ² が得られ
れば、元の黙阿弥で正鵠です。

　目で見て確かめるには、「((1-t^2)/(1+t^2),(2*t)/(1+t^2))」を Wolfram|Alpha　の空欄に挿
入してください。

　Ｃ ： ｘ⁴ + (2ｙ² - ｚ²)・ｘ² + ｙ⁴ + ｚ²ｙ²=0 の双対曲線　Ｃ^* を求め、それが有理曲線であるこ
とは自明でもパラメター表示をし Ｃ^* の有理点達を17個求めて下さい。(7個でもいいです。）

　双対曲線　Ｃ^* の定義と事例は、「デカルトの精神と代数幾何」の第1部 代数曲線の幾何
学(高次曲線論）に在ります。（→　参考：問19-3　、直線族）

　「模倣１、２」は、以前にお願いしましたが、今回のメイン：模倣３ のイデアル I = <4次> の
V(I) は、パラメター表現すると、．．．。（平成２３年９月３日付け）

　模倣４ の t∈K(x,y).を導出願います。模倣４の４次の代数曲線　Ｃ ： ｙ²ｘ² + ｘ² - ｙｘ - ｙ²=0
の双対曲線　Ｃ^* を求め、パラメター表示をし、Ｃ^* の有理点達を117個求めて下さい。
（17個でもいいです。）

(0) 　Cox の英文の紫枠の模倣である黄色枠の h[x,y] を求めて下さい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月４日付け）

   得たh[ｘ，ｙ]は、ｘ あるいは、ｙ について何次ですか？

　同様に、Cox の英文の紫枠の模倣である各黄色枠の h[ｘ，ｙ，ｚ] を求めて下さい。

　慶應の問題の凹凸、変曲点に関心を寄せ、

(1) 　t を多様な発想で消去し、代数曲線 Ｃ：F[ｘ，ｙ]=0 を求めて下さい。

　「終結式」のSylvester's matrix を用いる手法は常套手段です。

(2) 　C の変曲点を求める為、Cの双対曲線　C^* ： F^*[ｘ，ｙ]=0 を求めて下さい。

(3)　双対曲線　C^*　の特異点の尖点を求めて、図のようになることを示して下さい。

(4)　有理写像（定義は「デカルトの精神と代数幾何」の27p）　C-----Φ------>C^*　を具体
　　的に明記して下さい。

(5)　有理写像の存在により、C^* が有理曲線であることは明白ですが、敢えて知らぬふりを
　　して、F^*[ｘ，ｙ]=0 のみを見て、有理曲線であることを具現して下さい。

(6) 　F[ｘ，ｙ]=0 は何次曲線？　F^*[ｘ，ｙ]=0 は何次曲線？ (何れが易しいでしょうか？)

(7) 　C^* の双対曲線　(C^*)^* を求め、元の C となることを、自明でも示して下さい。

　　求めて図示した　C^*： F^*[ｘ，ｙ]=0 には、もう一つ尖点が在りますが、C のどの点に対応
　しますか？

（コメント）　ただ単に、慶應義塾の問題を解くだけだったら次のようにすればよい。

　　　ｘ＝ｔ³＋１　、ｙ＝−ｔ²＋ｔ　において、　ｘ＝０　すなわち、　ｔ＝−１　のとき、ｙ＝−２　と
　　なり、曲線 ｙ＝ｆ（ｘ） は、点（０，−２）を通る。また、　ｄｘ/ｄｔ＝３ｔ²　、ｄｙ/ｄｔ＝−２ｔ＋１
　　より、ｔ＝１/２　のとき、ｙ は最大、すなわち、　ｘ＝９/８　のとき、最大値 １/４ をとる。
　　　さらに、ｄ²ｙ/ｄｘ²＝２ｔ（ｔ−１）/（９ｔ⁶）＜０　より、　０＜ｔ＜１、すなわち、　１＜ｘ＜２　に
　　おいて、常に上に凸のグラフとなる。求める面積は、
　　　

　慶應の媒介変数表示の模倣をします。

問題　　ｘ = (2t - 1)/(t⁴ - 2t³ - 2t + 1)　、ｙ　= (3t²)/(t⁴ - 2t³ - 2t + 1)　について

(8)  t を多様な発想で消去し、代数曲線　C： G[ｘ，ｙ]=0 を求めて下さい。
(9)　得た　G[ｘ，ｙ]=0 　の特異点を求め、図示をお願いします。
(10) 代数曲線　C： G[ｘ，ｙ]=0 の双対曲線　C^* ：　G^*[ｘ，ｙ]=0 上の有理点を、13個求めて
　　下さい。

　上記の問題を、ほんの少し改ざんすれば、「可換体論　（裳華房）」の122頁の問

　ａｘ² + ｂｙ² = ｃｚ² が標数２でない体Kで自明でない解をKで（特に素体K=Q)もつた
めの必要十分条件は、K(ｘ，ｙ)=K(t) なる元 t が在るとき

が具現可能なので、お願い致します。（平成２３年９月５日付け）

疑問 ： 容易に視えるのに、何故「 K(ｘ，ｙ)=K(t) なる元 t が在る」と難解な表現をなさる？

冪

∈Hom[K3，K3]　を考える。

例　ｎ＝３　のとき

（ｘ，ｙ，ｚ）を通る群の軌道

∈K3　を考える。

例　ｎ＝２のとき

　ｎ＝２ のときの Result を用い、φ[X]、φ[Y]、φ[Z]　を定義する。

φ[X] = 2ｘ + ｙ + ｚ　、φ[Y] = ｘ + 2ｙ + ｚ　、φ[Z] = ｘ + ｙ + 2ｚ　、φ[W] = ｘ³ + ｙ³ + ｚ³ - 3ｘｙｚ

練習６の如き、h[X，Y，Z，W] を見出すと、h[X，Y，Z，W] = Ｘ³ + Ｙ³ + Ｚ³ - 3ＹＺＸ - 4Ｗ と
なりますか？（導出ではなく、確認なら、とても容易)

　ｎ＝１ のときの Result を用い、φ[X]、φ[Y]、φ[Z]　を定義する。

φ[X]= y + z, φ[Y]=x + z, φ[Z]=x + y ,φ[W]= ｘ³ + ｙ³ + ｚ³ - 3ｘｙｚ

練習６の如き、h[X，Y，Z，W] を自ら導出して下さい。

　ｎ＝３ のときの Result を用い、φ[X]、φ[Y]、φ[Z]　を定義する。

φ[X]、φ[Y]、φ[Z]、φ[W]= ｘ³ + ｙ³ + ｚ³ - 3ｘｙｚ

練習６の如き、h[X,Y,Z,W] を　自ら　導出して下さい。

　ｎ＝４ のときの Result を用い、φ[X]、 φ[Y]、 φ[Z]　を定義する。

φ[X]、φ[Y]、φ[Z]、φ[W]= ｘ³ + ｙ³ + ｚ³ - 3ｘｙｚ

練習６の如き、h[X,Y,Z,W] を　自ら　導出して下さい。

ｎ＝５ のとき,　h[X，Y，Z，W]=＿＿（予想をどうぞ）

任意の　n∈N　のとき、h[X，Y，Z，W]=＿＿（証明を願います）

φ[X]、φ[Y]、φ[Z]、φ[W]　を定義する。

φ[X] = ｘ² + 2yz　、φ[Y] = ｙ² + 2ｘｚ　、φ[Z] = 2ｘｙ + ｚ²　、φ[W] = ｘ³ + ｙ³ + ｚ³ - 3ｘｙｚ

練習６の如き、h[X，Y，Z，W] を自ら導出して下さい。

　これは、無論 C で既約ではなく可約。体 C 上で因数分解を願います。

　慶應の問題の模倣をします。

問題　　ｘ = (1 - 3ｔ²)/(-1 + t²)²　、ｙ　= (2t)/(-1 + t²)²　について

(1)  t を多様な発想で消去し、代数曲線　C： Ｆ[ｘ，ｙ]=0 を求めて下さい。
(2)　得た代数曲線　C： Ｆ[ｘ，ｙ]=0 の双対曲線　C^* ：　Ｆ^*[ｘ，ｙ]=0　を求めてください。
(3) 双対曲線　C^* の概形を描いて下さい。
(4)　問19-3に倣い、Ｆ^*[ｘ，ｙ]=0　について、(ｘ，ｙ)∈Q(t)² 表示を是非お願い致します。
(5) 　この双対曲線 C^* によって囲まれる部分の面積を、1に倣い求めて下さい。

　今回は、或る発想で導出済みのものを何とか正直に真摯に赤裸々に激白し記載致しまし
た。（平成２３年９月６日付け）

(1)　C： 3125ｘ⁶ + 108ｘ⁸ + 900ｘ⁶ｙ + 4500ｘ⁴ｙ² + 216ｘ⁶ｙ² + 1316ｘ⁴ｙ³
　　　　　　　　　　　　　+ 432ｘ²ｙ⁴ + 108ｘ⁴ｙ⁴ - 46656ｙ⁵ - 1472ｘ²ｙ⁵ - 13824ｙ⁶ - 1024ｙ⁷ = 0
   の 双対曲線 C^* は、ｘ⁶ - ｘ²ｙ³ - ｙ⁵ = 0　であることを導出し、双方を図示して下さい。
(2)　それぞれの次数の違いや概形をよく見て、感想を記載願います。
(3)　ｘ = -(2t⁵(3 + 2t²))/(1 + t²)²、 y = t⁶(5 + 3t²))/(1 + t²)²　から t を多様な発想で消去
　　し、C になるか確認して下さい。
(4) 双有理写像：C--Φ-->C^* を具現して下さい。
(5) Φによる像　（X，Y)=Φ(-(2t⁵(3 + 2t²))/(1 + t²)²，t⁶(5 + 3t²))/(1 + t²)²)　を求めて、t を
　多様な発想で消去し、C^* になるか確認して下さい。
(6)  曲線　C^* について、問19-3の如き考察を願います。
(7)   (3)のパラメタ-表示は、著名な書籍に掲載されているのに酷似しています。著名な書籍
　　とは？

　以下は、真摯にやり甲斐が存在すべく、X=____時間推敲したものです。この図の C と先ず
或る発想によるその双対化 C^* の具現を、鑑賞なさって、Before-Afterのグラフ達を見つめ
て下さい。（平成２３年９月８日付け）

（無論　C 上の各点に於ける接線を眼前のBefore図に描き、双対曲線 C^* 上の如何なる点
に写像されているか本当に鑑賞し．．．。）

　『点∈C^* と接線』を高校生に倣い幾つか本当に具現

  手計算で叶うべく、次数の低い多項式の対 (p₁[t]，p₂[t]) ∈K[t]² を定義する。

                 p₁[t] = 4t² - 2　、　p₂[t] = 8t³ - 12t

　この p_j[t] 達は【知る人ぞ知る】多項式です。名（名称）は__________________
(p₂[t] の本来の番号は？Hint ： ロシアの数学者！)

(イ)　X=p₁[t]、Y=p₂[t] から t を多様な発想で消去して下さい。これを参照し、
(ロ)　p₁[X]＝p₂[Y]　即ち、p₁[X]−p₂[Y]=0 と上の結論を見比べて下さい。

　(イ)=(ロ) なる【僥倖】が訪れましたか？

(ハ)　(イ)で得た代数曲線 C の双対曲線 C^* を求めて下さい。（→定義）
(ニ)　双有理変換　C--ζ--> C^* を是非求めて下さい。
(ホ)　[X，Y] = ζ[4t² - 2，8t³ - 12t]　を求めると、(3 - 6t²)/(6 + 8t⁴)， t/(3 + 4t⁴))
　　となりますか？ [X，Y] = ζ[4t² - 2，8t³ - 12t] から t を多様な発想で消去して下さい。
(ヘ)　(ハ)で求めた双対曲線 C^* と(ホ)の消去後の代数曲線を見比べて下さい。
(ト)　双対曲線 C^* は有理曲線であることは自明ですが、本当に有理点達を求めて図示し
　　たのが、アフター後の図上の赤点達です。赤点以外の有理点を５つ求めて下さい。
(チ)　(イ)で求めた C の次数は、____次。(ハ)で求めた C^* の次数は、____次。
(リ) 曲線　t -----> (p₁[t]，p₂[t])　に於ける或る点達に於ける接線達を３つ求め、対応す
　　る C^* 上の３点を求めてください。

　加法定理を何度も繰り返し用いると、cosｎθは、cosθの ｎ 次多項式で表される

　（Chebyshev多項式はロシアの数学者Chebyshev(1821〜1894)が発見したもので、非常に
　多くの応用があるとても重要な多項式で、大学入試でもしばしば出題されます。）

　第４の定義： Chebyshev多項式とは、Chebyshevの微分方程式を満たす直交多項式で、
　　　　　　　第１種のChebyshev多項式と第２種のChebyshev多項式がよく知られています。

　更に、第３種の多項式と第４種の多項式があり、それぞれ微分方程式を満たします。

(2)　Chebyshev多項式の３様の定義が在ります。何れがお気に入りでしょうか？

　「Legendre_polynomials」を参照しつつ、対 (Chebyshev多項式，Legendre polynomial) を
考察します。（非玉石混交,【玉玉　ChLe混交型曲線】と命名）

　例えば、(Chbyshev2[t]，Legendre5[t])=(2t² - 1， 63t⁵/8 - 35t³/4 + 15t/8)∈K[t]² を定
義する。

  (イ)　X=Chbyshev2[t]　、Y=Legendre5[t]　から t を多様な発想で消去して下さい。答えに
　　　なりましたか？
　(ロ）　得られた代数曲線 C の 双対曲線 C^* 求めて、両図を同一 R² に表示して下さい。
　　　答えになりましたか？
　(ハ)　双有理変換　C-- Φ -->C^* を求めてください。
　(ニ） (X，Y)=Φ(2t² - 1， 63t⁵/8 - 35t³/4 + 15t/8) から t を多様な発想で消去して下さい。
　　(ロ)と同一の方程式が得られましたか？
　(ホ）　Cには高校生も話題にする二重接線が在るので求めて下さい。ひとつは、この草色
　　　T_p(C) になりましたか？
　　Φ(T_p(C)) を求めてください。この点は、双対曲線 C^* の特異点になっていることを示し
　　て下さい。この特異点の名称は？　他の特異点の名称は？
　(ヘ) 双対曲線 C^* が有理曲線であることは自明ですが、有理点を 10個求めて下さい。
  (世界の誰も考察した形跡がないかも．．．と申しましたが、考察して無駄でしたか？)

　特異点については、以前にお願いした以下を是非お願い致します。

  (1)代数曲線 C： (-1 + ｘ² + ｙ²)³ - ｘ²ｙ³ = 0　の特異点を求めて下さい。
  (2) 二つの特異点は自明ですが、他の出現する特異点に疑問点が生じる筈です。如何に
　　　疑問点を解消なさいますか？

　非線型写像　F：R²　→　R² を、 F[ｘ，ｙ]=[ｘ＋ｙ，ｙ²] によるCの像F(C)について、黄色の初
期条件のみをかえ、第 ｍ 種のChebyshev polynomial∈K[x]と命名します。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月９日付け）
（この定義なら世界の誰もが記憶し易い！)

第1種のChebyshev polynomial　を漸次手で求めると、答えとなりますか?
第2種のChebyshev polynomial　を漸次手で求めると、答えとなりますか?

　対(第m種のChebyshev polynomial，第n種のChebyshev polynomial)を考察する（人が存在
しましたか）

例えば、(第1種のChebyshev polynomialの3番目，第2種のChebyshev polynomialの5番目)

　これを参照しつつ、以下の短い問達を解いてください。

(第1種のChebyshev polynomialの3番目，第2種のChebyshev polynomialの5番目)
=(4t³ - 3t， 32t⁵ - 32t³ + 6t)

(イ)　X=4t³ - 3t　、Y=32t⁵ - 32t³ + 6t　から t を多様な発想で消去して下さい。
(ロ）　得られた代数曲線 C の双対曲線 C^* も求めて、両図を同一 R² に表示して下さい。
　　答えとなりましたか？
(ハ)　双有理変換　C-- Φ -->C^* を求めてください。Φ(ｘ，ｙ)∈K(ｘ，ｙ)
(ニ） (X，Y)=Φ(4t³ - 3t， 32t⁵ - 32t³ + 6t) から t を多様な発想で是非消去して下さい。
(ホ）　Cには高校生も話題にする二重接線T_p(C) が在るので求めて下さい。Φ(T_p(C)) を求
　　　めてください。
　　この点は双対曲線 C^* の特異点になっていることを示して下さい。
　 この特異点の名称は?  他の特異点の名称は？
(ヘ) 双対曲線 C^* が有理曲線であることは自明ですが、有理点を10個求めて下さい。
  (世界の誰も考察した形跡がないかも．．．と申しましたが、考察して無駄でしたか？)
(ホ）　Cには、高校生も話題にする二重接線T_p(C)が在るので求めて下さい。Φ(T_p(C)) を求
　　　めてください。この点は双対曲線 C^* の特異点になっていることを示して下さい。この特
　　　異点の名称は?  他の特異点の名称は？
(ヘ) 双対曲線 C^* が有理曲線であることは自明ですが、有理点を5個求めて下さい。
  (世界の誰も考察した形跡がないかも．．．と申しましたが、考察して無駄でしたか？)

　飯高先生が、「デカルトの精神と代数幾何」に「二重接線に体の血が逆流した」と忘れられ
ない印象込みの理論が在ります。

　黄色の初期条件のみをかえ、第m種のChebyshev polynomial∈K[x]と命名します。
（この定義なら世界の誰もが記憶し易い！)三組を考察する。例えば、
  (第1種のChebyshev polynomialの7番目，第2種のChebyshev polynomialの5番目，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第1種のChebyshev polynomialの7番目)
=(64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t， 32t⁵ - 32t³ + 6t， 64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t) と　757 で

(第1種のChebyshev polynomialの7番目，第2種のChebyshev polynomialの5番目，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第1種のChebyshev polynomialの3番目)
   =(4t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t， 32t⁵ - 32t³ + 6t， 4t³ - 3t)　と　753 である。

　753 では、以下のように易しくないことを確認して下さい）

(1) ｘ=64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t， y=32t⁵ - 32t³ + 6t， z=64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t　から t を
　　多様な発想で消去して下さい。
　　　R∋t---f---->(64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t， 32t⁵ - 32t³ + 6t，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　64t⁷ - 112t⁵ + 56t³ - 7t)∈R³
　　なる曲線は、R³ に於ける代数曲面達の交わりと表現可能。
(2) 特に、超平面　H ： ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ=0　と
　　　　　　代数曲面　S ： -ｙ⁷ + 21ｙ⁵ + 70ｚｙ⁴ + 140ｚ²ｙ³ - 35ｙ³
　　　　　　　　　　　　　　　+ 168ｚ³ｙ² - 84ｚｙ² + 112ｚ⁴ｙ - 84ｚ²ｙ + 7ｙ + 32ｚ⁵ - 32ｚ³ + 6ｚ=0
　の交わりとなるようHを定めて下さい。
(3)上の空間曲線 f の曲率、捩率等、微分幾何學的考察もして、(2)と照らし合わせて下さい。
(4) <ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ，-ｙ⁷ + 21ｙ⁵ + 70ｚｙ⁴ + 140ｚ²ｙ³ - 35ｙ³
　　　　　　　　　　　　+ 168ｚ³ｙ² - 84ｚｙ² + 112ｚ⁴ｙ - 84ｚ²ｙ + 7ｙ + 32ｚ⁵ - 32ｚ³ + 6ｚ>∈C³
　は、C[ｘ，ｙ，ｚ] の素イデアルであることを示してください。

　代数曲線 C ： 4ｘ² - 4ｘｙ + ｙ² - 15ｘ + 7ｙ + 13 = 0 の正体は容易で、固有値達と固有ベ
クトル達から容易に C が描写叶い、直線族をよく視て、これに倣い、ｔ=___________∈K(ｘ，ｙ) を
求めて下さい。

　飯高先生のお答えに関する具体例です。（→　参考図を視れば容易）

　上で求めた　ｔ=___　と C の交点を求め、放物線 C の有理曲線表示： t--->(ｘ，ｙ)=(___，___)
を求めて下さい。
  Ｃ ： 4ｘ² - 4ｘｙ + ｙ² - 15ｘ + 7ｙ + 13 = 0 の双対曲線 C^* を求めて下さい。
  これは無論２次曲線となる。（名称は？)　主軸問題を解き、C^* と主軸を図示願います。
　双有理変換： C--Φ-->C^*　で、C^* が有理曲線であることを具現願います。
  これを用いて　C^*上の有理点を69個求めて下さい。（9個でもかまいません）
   また、これから　t を多様な発想で消去して下さい。

　上記の問達は、実は、下の t を消去するプロセスに誘発されて（どの箇所に注視?)創作し
たものです。（お願い：上を解くまでは下を視ないでください。)

　飯高先生が出題された次の２次曲線 C（双曲線）の双対曲線 C^* は、当然、二次曲線です。

　C^*　を求め、（C上の幾つかの点p に於ける接超平面T_p(C)を求めれば、予想も叶い、具現
叶う筈）主軸問題を解き、C^*　と主軸を図示願います。

　双有理変換 C：(ｘ+5)ｙ - ｘ = 0 --Φ-->C^*　で、C^*　が有理曲線であることを具現願います。
これを用いて　C^*上の有理点を69個求めて下さい。（6個でもかまいません）また、これから　t
を多様な発想で消去して下さい。

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ 14．13 に倣い、飯高先生が出題された２次曲線 C：(ｘ+5)ｙ - ｘ = 0 について、
ｔ∈K(ｘ，ｙ) を求めて下さい。

　対　(5/t²， -(t + 5)²/t²)∈K(t)²　を考察します。 (ｘ，ｙ)=(5/t²， -(t + 5)²/t²)
これから t を多様な発想で消去して下さい。 g[ｘ，ｙ]=0、　g[ｘ，ｙ]=_____

Ｃｏｒｏｌｌａｒｙ 14．13 に倣い、ｔ∈K(ｘ，ｙ) を求めて下さい。

　飯高先生のお答えに関する具体例です。得た代数曲線 C： g[ｘ，ｙ]=0 は、２次曲線でしょ
う。固有値問題を解き、主軸 と C を図示して下さい。

　代数曲線　C： g[ｘ，ｙ]=0 の双対曲線　C^* ：____________________=0 を　求めて下さい。

　双有理変換　C-----　Φ ------>C^* を求め、(ｘ，ｙ)=Φ(5/t²， -(t + 5)²/t²) から t を消
去すると、飯高先生が出題された２次曲線 C：(ｘ+5)ｙ - ｘ = 0 になりますか？

　飯高先生に倣い、(もっとも易しい）直ぐ分かる問から問を真似ます。
(解いて愉しんで下さい）

(1)　ｘ² + ｙ² = 1 や　(ｘ-5)² + ｙ² = 1 の双対曲線 C^* を求めなさい。
(2)　ｘ² - ｙ² = 1 や　(ｘ-2)² - (ｙ-1)² = 1 の双対曲線 C^* を求めなさい。
(3)　ｙ² - 2ｘ = 0 や　(ｙ-2)² - 2(ｘ-1) = 0 の双対曲線 C^* を求めなさい。

(解いたら、想定の範囲内でしたか？彼方此方平行移動し双対曲線を予想して下さい）

　各問いで、どの平行移動で異種の二次曲線 C^* が出現するのか限界を調査して下さい。

以下は、「Van der Waerden’s　Modern Algebra」の独逸語版の161頁の具体例の模倣で、
考察しがいがありました。（平成２３年９月１１日付け）

　紫枠は限りなく易しい（Cox 先生の配慮は嬉しいが、此れに類する他の問題群が存在しな
い．．．のは残念なので作問）

  黄色枠の青達の「コレクション」を注視ください。黄色枠のh(X，Y，Z) を、知らないふりをして
(導出が初体験なら、h(X，Y，Z)を知悉でも為した喜びに震えるでしょう）

(1)　例えば　終結式を３度用いて導出して遊ぶのも愉しいので是非具現を。
     「コレクション」(については、備考欄参照) が黄色枠では佗しいなら、

(2)　{X，Y，Z}={ｙ² - ｘ²， 2ｘｙ， ｘ³ + ｙ³}にかえて、h(X，Y，Z)を導出して下さい。

(3)　｛X，Y，Z，W}={ｙ² - ｘ²， 2ｘｙ， ｘ³ + ｙ³， ｘ⁴ + ｙ⁴} にかえて、h(X，Y，Z，W)を導出して下
　　さい。

　今回は、拡大体を求める話題について（平成２３年９月１２日付け）

　３次以上の因数分解、因数分解の基本公式、因数分解の計算を排斥し、緑枠で止めず、
青枠まで因数分解したい筈。

(１)　次の各 f[ｘ，ｙ]∈Q[ｘ，ｙ] を青枠までに倣い、因数分解願います。
　　ｘ² - ｙ²　、ｘ³ - 3ｘｙ²　、ｘ⁴ - 6ｘ²ｙ² + ｙ⁴　、ｘ⁵ - 10ｘ³ｙ² + 5ｘｙ⁴
　（ここまで来れば、　ｘ⁵ - 10ｘ³ｙ² + 5ｘｙ⁴ = 0　の図示は易し過ぎる。）
　　ｘ⁶ - 15ｘ⁴ｙ² + 15ｘ²ｙ⁴ - ｙ⁶　、ｘ⁷ - 21ｘ⁵ｙ² + 35ｘ³ｙ⁴ - 7ｘｙ⁶　、
　　ｘ⁸ - 28ｘ⁶ｙ² + 70ｘ⁴ｙ⁴ - 28ｘ²ｙ⁶ + ｙ⁸　、ｘ⁹ - 36ｘ⁷ｙ² + 126ｘ⁵ｙ⁴ - 84ｘ³ｙ⁶ + 9ｘｙ⁸

　Wolfram|Alpha　の空欄に各 f[ｘ，ｙ] を挿入して、視てください。

(２)　(１)を為したなら、中学生の知識で、f[ｘ，ｙ]=0 を R² で考察（直線達で軽く描ける筈）し、
　　例えば、もう一つの代数曲線 C₁ ： ｘ2 + ｙ2　=　1　（円)　と上の各 f[ｘ，ｙ]=0 の交点は
　　（直線とC₁故、容易に）求められるので、求めてください。

　　円上に綺麗に並んでいましたか？交点を本当に求めて、「綺麗」か判断願います。

(３)　(１)を為したなら、中学生の知識で、f[ｘ，ｙ]=0 を R² で考察（直線達で軽く描ける筈）し、
　　例えば、もう一つの代数曲線 C₂ ： ｘ⁴ + 3ｘ²ｙ + 2ｘ²ｙ² - ｙ³ + ｙ⁴　=　0 と上の各 f[ｘ，ｙ]=0
　　の交点は（直線とC₂故、容易に）求められるので、求めてください。

　　C₂ が有理曲線なら、媒介変数 t 表示して、その軌跡を描写願います。

　「連立方程式の回避」の例５

　関数 ｙ＝ｘ⁴−３ｘ²＋２ｘ　のグラフ上の異なる２点で接する接線の方程式を求めよ。

について、「異なる２点で接する接線」を求める際は、正に「双対曲線」の出番です。

「双対曲線の回避」はしないで、必ず具現され、感想を記載願います。

(１)　ｙ = ｘ⁴ - 3ｘ² + 2ｘ を射影曲線化すると　-Ｘ⁴ + 3Ｚ²Ｘ² - 2Ｚ³Ｘ + ＹＺ³ = 0 ですか？
(２)　黄色枠や「練習４．６．１１」(２次に拘る問在り）の定義に基づき、双対曲線を求めて下
　　さい。
(３)　求めた双対曲線をアフィン化して、赤線　C、青線　C^*　を図示すると、
　　「異なる２点で接する接線」となりますか？Cの異なる点が同一点に写されていますネ！
　　（「練習４．６．１１」の問(�@)の例)　有理写像 C------Φ------->C^* を明記して下さい。
(４)　C^* の特異点達を求めて下さい。草色の特異点の名称は______で、有理写像Φによる
　　２重接線の像がそれかを確認して下さい。赤色の特異点の名称は______で、その特異点
　　に対応するCの接線を求め、図示願います。
(５)　C と２重接線で囲まれる部分の面積 S₁ を 求めて下さい。C^* で囲まれる部分の面積
　　S₂ を求めて下さい。S₁/S₂ も求めて考察願います。
(６)　先ず、C の変曲点を求め、点P（左指）がCの変曲点から変曲点まで動くとき、為される
　　がままに連動して動くΦ(P)（右指）の軌跡を紫色で表示願います。

　飯高先生は、「ｙ = ｘ⁴ - ｘ²」を「デカルトの精神と代数幾何」の 19p で扱い、双対多項式を
求めることが既に難しいと。これについて、(１)〜(６)を実行して下さい。

　双対曲線を求める問題達の内、一番簡単なのが２次曲線で、もう辟易かも知れませんが、
追加しました。（平成２３年９月１３日付け）

　双対曲線を求める簡潔極まる手法が在ります。これに倣い、例えば、次の双曲線の双対
曲線を求めてください。

(イ)　先ず、A non-homogeneous polynomial  (ｘ + 5)ｙ - ｘ  をHomogenizationして、f(ｘ，ｙ，ｚ)
　　から得られた F(X，Y，Z) をHomogenization　の逆を為してください。
　　(如何でしたか？ 双対曲線を求める際、この手法で．．．。)

(ロ)  他の発想で、例えば、接すると聴けば直ぐ判別式を用いる発想でどうぞ。

　同様にして、次の放物線の双対曲線を、上の (イ)(ロ)で求めてください。
(如何でしたか？ 双対曲線を求める際、この手法で．．．。)

　答えがあっているか、得た C^* の双対曲線 (C^*)^* を、(イ)(ロ)で必ず求めて確認願います。

　Devil's_curve ：　-ｘ⁴ + 2ｘ² + ｙ⁴ - ｙ² = 0　の双対曲線を消去法で求めてください。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月１４日付け）

(0)　先ず、為すべきこと(同次化)を為し、-ｘ⁴ + 2ｗ²ｘ² + ｙ⁴ - ｗ²ｙ² = 0　から、消去法で！
　　C^* の双対曲線を求め、C に戻るまで頑張って下さい。

　C には、明らかに、２重接線が存在する。それを、 C^* もよく視て、求めて、遊んで下さい。

　消去法の緑の下線部を注視してください。

　Devil's_curve ：　-ｘ⁴ + 2ｘ² + ｙ⁴ - ｙ² = 0　および双対曲線の特異点達を求めて下さい。

　C--Φ-->C^*　の導出と　C^* --φ-->C 　の導出は何方が容易ですか？

　C：Devil's_curve ：　-ｘ⁴ + 2ｘ² + ｙ⁴ - ｙ² = 0　の方は短いので、Wolfram|Alpha　の空欄に

「-x^4+2*x^2+y^4-y^2=0」を挿入で叶います。C^*　のほうは長過ぎるので、工夫が要ります。

　曲線の方程式 ｘ³+ｙ³-2ｘ²+ｙ²+ｘ=0 をまず射影曲線化し、次の問いに答えよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月１５日付け）

(1)　双対曲線 Ｃ* を求めてください。
(2)　消去して得た双対曲線　C^* の特異点達を求め、C^* と共に図示願います。
(3)　求めた双対曲線　C^* の特異点達は C の如何なる点に対応していますか？
(4)　(1) の発想は簡潔ですが、有理写像　C----φ------>C^*　は得られませんので、別途
　　求めて下さい。そして、(3)を再考願います。

(1)　解説付きの(a) (b)を味読し、感想を記載願います。但し、定義のままで味読願います。

　例えば、(ｘ，ｙ)は、座標環の特別な剰余類であることを忘れずに。

(2)　K(ｘ)[Y]∋ Y³ +(-ｘ⁴ + ｘ²)=0 なるYに関する方程式は解けてしまう。実際、解くことにより、
　　３つのそれぞれの解につき、(a) (b) を解いて下さい。

　座標環のような商環や他の代数系の商空間について、26年間も理学部で噛み砕かれ講
義された暁の激白が在ります。再度解説の類の対　(ｘ，ｙ)　を直視し、

(3)　(a)、(b) の点や f を自分で新たに定義し答えてください。

(4)　更に、此の C の双対曲線　C^* を求め、(a)、(b) の如き問を創り、解説願います。
　　(無論　K[X，Y]/(C^*を定義するイデアル) なる座標環を定め、類の対 (ｘ，ｙ) を考えて)

　「デカルトの精神と代数幾何」の15p に、抽象的に、「ｘ=X+I、ｙ=Y+I (類）を定義」について、
9行も何故解説されるのでしょうか?無論、商環　で類の積 (Y+I)³ や(X+I)³　の（乗法、冪）を
正直に計算する。
(小中高大院で、ｘ、ｙ を与えて、 ｙ³-ｘ⁴+ｘ² 等の文字計算は易しいのと比較を)

　(a)の解説も、本当は類の多項式の商であることは片時もお忘れなく。

　何度も引用しますが、直線族で有理曲線表示が叶うた。

　K[X，Y]/ <Y² - X²(X + 1)>について、 t = -((-ｘ - ｘ²)/y)∈K(t)=K(ｘ，ｙ)
（此処の　t=y/x∈K(t)=K(ｘ，ｙ)の導出は容易)

で、直線族でなく、曲線族：ty - (ｘ + ｘ²) = 0 でも有理曲線表示が叶う。

　t = -((-ｘ - ｘ²)/ｙ)∈K(t)=K(ｘ，ｙ)　は如何にして見出されたか？

　このK[X，Y]/ <Y² - X²(X + 1)>についても、解説の(a) (b) の如き考察を点と f を自ら定め、
解説願います。

　無論 ｘ は剰余類で、X+<Y² - X²(X + 1)>で商環　K[X，Y]/ <Y² - X²(X + 1)>の元。 ｙ は剰
余類で、Y+<Y² - X²(X + 1)>で、商環　K[X，Y]/ <Y² - X²(X + 1)>の元。f=( )/( )∈K(C) (代
数曲線 C の函数体)

　代数曲線 C の双対曲線 C^* を求め、K(C^*) を考え、上と同様の考察を願います。

　「可換体論　（裳華房）」の　3　超越拡大体　　3.10　代数多様体 に座標環の定義 (110p)
が在ります。その商体を代数多様体VのK上の函数体と．．．。

　一例を味読し、次の各座標環を決定願います。

「Wolfram|Alpha」に、例えば、ｙ=ｘ²-3、ｘｙ=1 を挿入し、各座標環を思索願います。これを視
ると、代数幾何學って、易しいことを難しく表現する學問かと云う人が存在しますか？
近傍の方に、この穴埋め式問題を提示され、反応をお聞かせ願います。

　次の座標環を考察し、その商体をも考察願います。（平成２３年９月１６日付け）
            K[X，Y]/<-4X³ - 15X² - 12X - 27Y² + 4>

　座標環　 K[X，Y]/<-4X³ - 15X² - 12X - 27Y² + 4>　について、つぎの資料も視て

　t = -((-ｘ - ｘ²)/ｙ)∈K(t)=K(ｘ，ｙ)　で、直線族でなく曲線族：ｙ = t(-2 + 7ｘ + 4ｘ²)/9　で有
理曲線表示が叶う。

　実際、 -4X³ - 15X² - 12X - 27Y² + 4=0 と曲線族：ｙ = t(-2 + 7ｘ + 4ｘ²)/9 の交点を求め
て、C を有理パラメタ-表示化　　(ｘ，ｙ)=(  ，  )∈Q(t)² を願います。

　(ｘ，ｙ)=(η₁(t)，η₂(t))=(   ，  )∈Q(t)² について、t を複素数体 C のに超越的な元とし、
τについての連立方程式 η₁(τ)=η₁(t)、η₂(τ)=η₂(t) を解いて、根の個数も注視して
下さい。（こんな問を視たことが在れば、その書籍名を．．．。

　C(t)の部分体C(η₁(t)，η₂(t)) を ｋ とするとき、体の拡大次数　[C(t)，ｋ]を求めて下さい。
t = -((-ｘ - ｘ²)/ｙ)　は如何にして導出されたのでしょうか？

　以上は、飯高先生の回答に関する問題として提示致しました。如何でしょうか？
（此処が今回のメインです）

   -4X³ - 15X² - 12X - 27Y² + 4=0　の双対曲線を求める前に、双対曲線に二重接線が存
在する筈と何故想定叶うか理由を記して下さい。

 η₁(τ)=η₁(t)、η₂(τ)=η₂(t) を解いたことから、二重接線を具体的に求めて下さい。

　双対曲線を求め、もとの曲線 -4X³ - 15X² - 12X - 27Y² + 4=0　を知らぬふりをし、
f^*[ｘ，ｙ]=0 のみを使い、二重接線を求めてください。

　有理変換　f[ｘ，ｙ]=0--φ-->f^*[ｘ，ｙ]=0　を求め、(ｘ，ｙ)= φ[η₁(t)，η₂(t)]　から t を消去
すれば、f^*[ｘ，ｙ]=0　に辿り着く筈です。具現願います。

　f^*[ｘ，ｙ]=0　の特異点 (x₀，y₀)　を求め、その名称を記し、φ[ｘ，ｙ]=(x₀，y₀) なる(ｘ，ｙ)が
存在 しないことを確かめ、それを避ける手段を記載願います。

 f[ｘ，ｙ]=0 が囲む面積を求めて遊んで下さい。f^*[ｘ，ｙ]=0 が囲む面積を求めて遊んで下さい。


　座標環　 K[X，Y]/<X³ - XY + Y³>　について、つぎの資料も視て
　t =-(ｘ² - ｙ)/ｙ² ∈K(t)=K(ｘ，ｙ)　でもよいですか？（平成２３年９月１７日付け）

　直線族でなく曲線族： t =-(ｘ² - ｙ)/ｙ²　で有理曲線表示が叶いますか？

　実際、 ｘ³ - ｘｙ + ｙ³=0 と曲線族 ｘ² - ｙ + tｙ²=0　の交点を求めて、C を有理パラメタ-表
示化(ｘ，ｙ)=(   ,  )∈Q(t)² を願います。

　(ｘ，ｙ)=(η₁(t)，η₂(t))=(   ，  )∈Q(t)² について、t を複素数体 C のに超越的な元とし、
τについての連立方程式 η₁(τ)=η₁(t)、η₂(τ)=η₂(t) を解いて、根の個数も注視して下
さい。（この問は飯高先生の書籍の模倣です）

　C(t)の部分体C(η₁(t)，η₂(t))を ｋ とするとき、体の拡大次数[C(t)，ｋ]を求めて下さい。

　t =-(ｘ² - ｙ)/ｙ² は如何にして導出されたのでしょうか？

　以上は、飯高先生の回答に関する問題として提示致しました。如何でしょうか？
（此処が今回のメインです）

  何時ものように　ｘ³ - ｘｙ + ｙ³=0　の双対曲線を求め、特異点について考察した顛末を記
載下さい。

　Sylvester　による終結式の発想に、心底から謝辞を述べる人達が世界に数多存在する
でしょう。「終結式」の９頁辺りに事例が在ります。

　以下のようなパラメターの消去の際も酷使し、謝辞を述べた経験が在りますか？

この「分母のない子のtechnique（と命名）」により、

(0) 次の青から t を消去して下さい。消去すると、見て見ぬふりをした ｘ、ｙ の関係式になり
　　ますね。何行何列のSylvester　matrix を使いましたか？

　代数曲線達　f_j(ｘ，ｙ)=0 を同一平面 R² に描き、如何なる関係があるか鑑賞し、得た感動
を文章表現して下さい。

　何時ものように、f₁(ｘ，ｙ)=0　、f₂(ｘ，ｙ)=0 の双対曲線  f₁^*(ｘ，ｙ)=0　、f₂^*(ｘ，ｙ)=0 を求め、
座標環　K[ｘ，ｙ]/<f_j(ｘ，ｙ)> を考え、資料のような考察を是非お願い致します。(j=1、2)

　有理写像　C_j--φ_j--->C_j^* も求め、
 　　 (ｘ，ｙ)=φ₁(t(17 + 2ｔ² + ｔ⁴)/(2(1 + ｔ²)²)， (16 + 49ｔ² + 2ｔ⁴ + ｔ⁶)/(4(1 + ｔ²)²))
から「分母のない子のtechnique」により t を消去して下さい。φ2 についてもお願いします。

　飯高先生の投稿を拝読し我々は頑張って他の２次曲線の双対曲線も求めた。（それで終
わり？)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月１８日付け）

　これでは範疇が変わらず欲求不満なので、2+1 次曲線の双対曲線に挑み、是非解答をお
願い致します。

　reference が211も在り過ぎの論述の中に、「ミルナー」と云うエクササイズに邂逅した。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月１９日付け）

　赤線の指定された具体例を探る為、時間をかけ、双対曲線をも求め、青線を得た。確認を
是非お願い致します。

　得られた双対曲線の方程式の紫の特異点は、赤線の変曲点に対応する点と想定。想定
外でなければ、Hessian_matrix　が表舞台に登場しなければならない筈。グラフの赤線で囲
まれる猫の額ほどの面積を多様な発想で求めて下さい。

　図１は、図２の一つです。C を先ず為すべき斉次化（Homogenize 同次）すると、

　　　　F[ｘ，ｙ，ｚ]=ｘ³ + 2ｙｚｘ + ｙ³ + 6ｙｚ²

　次に、Hessian curve を求め、これと F[ｘ，ｙ，ｚ]=0 の共通零点が在るので求めて下さい。
全部で何個在りますか？（無論　P²(C) で）全て変曲点ですか？無論、Hessian matrixを求
め、その行列式=0 が Hessian curve。

　双対曲線 C^* を、定義に基づき求めて、rational map ζも求め、Homogenize の逆を為し、
Cを図示すると、赤線になり、双対　曲線は青の6次多項式の零点で、青線になることを確
認して下さい。

　図２終わりの方から考察した理由が存在することをお気づきでしょうか？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月２０日付け）

　最初のは、ｘ³ + ｙ³ + ｘ  + ｙ = 0 なる代数曲線 C で今まで通りに、C を先ず為すべき斉次
化（Homogenize 同次）すると、 F[ｘ，ｙ，ｚ]=________________等とし、双対曲線も求めて考察なさ
って下さると困難に直面される筈です。（必ず具現して下さい）

　これならば、最初の問題も代数曲線　z₁³ + z₂³ + z₁+ z₂ = 0 と云うて欲しい。
(どうせ代数曲面を直後に考察するのであろうから、 f[z₁，z₂，z₃]=0 )

　そして、正直に、z_j=x_j+y_j・i として、実部を具現し=0、虚部を具現し=0、此等を実は、考察
（4-制約条件数=__次元多様体）と隠匿せず云うて欲しい。
( 自乗して a+b・i になる解を求める際、ｘ²=a+b・i は小数派、ｚ²=(ｘ+ｙ・i)²=a+b・i から実部、
虚部を考察される方が多数派）

試しに、代数曲線上の易しい点を具体的に明記してと自問し、z₁=2 + 3・I　のとき、
z₁³ + z₂³ + z₁+ z₃ = 0　を満たす z₂ 達を求めて其の対を記しなさい。

　「可換体論　（裳華房）」の110pで具体像が直観的には持ちにくい（と、永田雅宜先生すら
激白）

　最初の ｘ³ + ｙ³ + ｘ  + ｙ = 0 なる代数曲線 C の特異点や双対曲線等について、実際導
出し、得られた感想を記載願います。

　紫囲みの右から代数曲面の座標環、代数曲線の座標環と、「可換体論　（裳華房）」の
110p に定義してあります。面、線とくれば、点故、K[ｘ]/<f(ｘ)> を代数曲点の座標環と命名
します。

　代数曲点の座標環については、沢山考察しました。

例えば、次のQ[X]/<４次の多項式>=Q[ζ]　定義するのは容易ですが、代数曲線の座標
環について、具体例達で悩んだ経験が在れば記述願います。

　「可換体論　（裳華房）」の107pに、「代数多様体の話は理論上は射影空間内で扱う方が
すっきりする」とあります。Hessian_matrix　を射影空間を前面に押し出し、変曲点を見いだ
したい。

  草色の楕円曲線　-ｘ³ - ｘ + ｙ²=0  を

(0)　先ず為すべき斉次化（Homogenize 同次）すると、 F[ｘ，ｙ，ｚ]=-ｘ³ - ｚ²ｘ + ｙ²ｚ となり
(1)　次に、Hessian curve を求めると、-8ｚ³ + 24ｘ²ｚ + 24ｘｙ² となることを示して下さい。
(2)　これと、 F[ｘ，ｙ，ｚ]=0 の共通零点を求めて下さい。何個、変曲点が在りましたか？
(3)　(0：ｙ：0)∈P³(C)なる点が在りましたか？在れば、-ｘ³ - ｘ + ｙ²=0 との関わりに言及して
　　下さい。

　楕円曲線　-ｘ³ - ｘ + ｙ²=0  の双対曲線を求め、特異点を求め、図示してみました。

飯高先生も、この　-ｘ³ - ｘ + ｙ²=0  の変曲点を１１行に亘り論じておられ、8+1 個在ると。
それの解説を願います。
（スタ-トは -ｘ³ - ｘ + ｙ²=0　と　ｙ=ａｘ+ｂ から ｙ を消去し、それが３重根をもつです。無論
　ａ、ｂ は複素数です。)

　座標環の定義は、「可換体論　（裳華房）」に在ります。読後感を記載願います。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年９月２１日付け）

おそらく、これほど作問が容易な問題作りに邂逅した経験は無いでしょう。

　即ち、イデアル I=<_____，______>を適当に------に決め、V(I)を既約成分に分解せよ。

　「可換体論　（裳華房）」の107pに、「代数多様体の話は、理論上は射影空間内で扱う方が
すっきりする」とあります。

　きちんと射影空間を前面に押し出した、双対曲線の定義を味読して下さい。
（此処に掲げてあるWalker は、双対曲線の定義を如何に為していますか？事例が在ります
か？)

　定義に基づき、次の(a) (b)（有理曲線にも留意され）の双対曲線を求めて下さい。
双有理変換　C--ζ--> C^* も是非求めて下さい。

　先ず為すべき斉次化（Homogenize 同次）はしてあります。無論、特異点達の対応にも言
及なさって下さい。

　(b)の誤植も訂正され、考察されたAlgebraic group について感想を記述願います。

　「京大、１６次方程式の判別式計算に成功」は周知。（平成２３年９月２２日付け）
と云うより、何故それが大ニュースなのと。

　低次の３次方程式の判別式 D を頑張って求めて、√D が基礎体に堕ちる（∈Q）か否か
判断し、【もかい型の問題】や紫囲みを解いた（未だの方がいれば具現をして損は在りませ
んので是非！）

　今回は「黄色枠の赤枠のどんな素数 ｐ が【もかい】から同次化された f[ｘ，ｙ] を用いて、
f[ｘ，ｙ]=ｐ 表示叶うか」の呻吟悶題に主眼が在ります。考察願います。

　因みに、素数の例達

{2， 3， 5， 7， 11， 13， 17，・・・，17483， 17489，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　17491， 17497， 17509， 17519， 17539，・・・}

　f[ｘ，ｙ]=17539 表示叶うでしょうか？無論、座標環　Q[ｘ，ｙ]/<f[ｘ，ｙ]-ｐ> 等考察し、悩みた
くなるでしょう。

　代数的従属の問題達を提示致しました。　問題１　問題２　問題３　問題４　問題５

(1)　次の群の不変式 F、G、H の間の(代数的従属)関係式を導出願います。
　　（黒塗りにしたのは、元の論文に誤りがあったので致しました。その論文とは？)

(2)　導出された代数曲面 S：________________=0 の双対曲面 S^* を求めて下さい。無論、先ず斉
　　次化（Homogenize）からスタートします。

　双対曲面 S^* は初体験ですか？ そうでなければ、経験談を記載願います。

　代数曲線の双対曲線については、「デカルトの精神と代数幾何」に事例が在りますが、代
数曲面の双対曲面については　定義すら在りません。

(3)  何故でしょうか？

　次の資料を視ないで曲線と変曲点（point of inflection，inflection point）の定義を述べて
下さい。（平成２３年９月３０日付け）

　資料の定義と異なりましたか？変曲点を定義する際、凹凸について言及なさいましたか？
囲みの下の問達を解いて下さい。

　また、射影曲線　{(ｘ：ｙ：ｚ)∈P²(C)| ｙ²ｚ - ｘ³ + ｚ²ｘ - ｚ³ = 0 } （P²(C)=（C³-{(0，0，0})/R）
なる非特異３次曲線についても、同様な問達を解いて下さい。

　更に、この射影曲線の双対射影曲線を求め、同様な問達を解いて下さい。

　座標環 C[X，Y，Z]/<Ｙ²Ｚ - Ｘ³ + Ｚ²Ｘ - Ｚ³> や、その商体
Q(C[X，Y，Z]/<Ｙ²Ｚ - Ｘ³ + Ｚ²Ｘ - Ｚ³>）は何時も考察されますか？

　この曲線を射影曲線化し、Hessian を前面に押し出し、９個の変曲点を明示して、各変曲
点に於ける接線を明記して下さい。

　囲みの下の問達に追記します。（平成２３年１０月１日付け）
Hessian を前面に出し、解決願います。

　{(ｘ：ｙ：ｚ)∈P²(C) | -ｘ⁴ + ｘ³ｚ + 3ｘ²ｚ² - 5ｘｚ³ + ｙｚ³ + 2ｚ⁴ = 0 } なる４次射影曲線について
も、同様な問達を解いて下さい。
(即ち、　C： 2 - 5ｘ + 3ｘ² + ｘ³ - ｘ⁴ + ｙ = 0 の曲率も求め、．．．云々)

　変曲点は何個在りましたか？各変曲点に於ける接線を明記して下さい。更に、この射影
曲線の双対射影曲線を求め、同様な問達を解いて下さい。

　◎双対射影曲線を求める一つの発想

　AX + BY + CZ = 0　、-X⁴ + X³Z + 3X²Z² - 5XZ³ + YZ³ + 2Z⁴ = 0 からXを消去し、Zに関
する判別式を求める

を是非試みて下さい。

　飯高先生出題の問「 ｙ=ｘ/(ｘ+5) のｄｕａｌ ｃｕｒｖｅを求めなさい。」も上の発想で試みて下さい。

　如何なる特異点が現れましたか？その各特異点の出現は想定の範囲内でしたか？

　上の４次曲線の問題は、高校生向けとも考えられます。その所以（〔理由〕、〔根拠〕）は？

　座標環 C[X，Y，Z]/<-X⁴ + ZX³ + 3Z²X² - 5Z³X + 2Z⁴ + YZ³> や、その商体
Q(C[X，Y，Z]/<-X⁴ + ZX³ + 3Z²X² - 5Z³X + 2Z⁴ + YZ³>）は何時も考察されますか？

　射影曲線 ｘ²ｙ² + 4ｘｙ³ - 4ｙ⁴ + 4ｘ³ｚ + 18ｘ²ｙｚ - 18ｘｙ²ｚ + 4ｙ³ｚ - 27ｘ²ｚ²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 72ｘｙｚ² - 27ｙ²ｚ² - 54ｘｚ³ + 54ｙｚ³ - 27ｚ⁴ = 0

の双対曲線を、例えば今回は、次の発想で求めて下さい。（平成２３年１０月２日付け）

(1)　{D[f[ｘ，ｙ，ｚ]，ｘ]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， y]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｚ]} を求め、

(2)  {X， Y， Z} = λ・{D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｘ]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｙ]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｚ]} に於いて、
　　{ｘ -> ｐ， ｙ -> ｑ， ｚ -> ｒ} と代入し、

(3) 上式から ｐ、ｑ、ｒ を消去し、________________=0

(4) 上で得た________________=0 に於いて、Z=1 とし、________________=0 の特異点を求めると、孤立
　　特異点が出現しますか？

　飯高先生出題の問も、今回の上の発想で試みて下さい。

(0) 先ず、射影曲線化し、_____=0
(1)　 {D[f[ｘ，ｙ，ｚ]，ｘ]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， y]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｚ]} を求め、
(2)  {X， Y， Z} = λ・{D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｘ]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｙ]， D[f[ｘ，ｙ，ｚ]， ｚ]} に於いて、
　　{ｘ -> ｐ， ｙ -> ｑ， ｚ -> ｒ} と代入し、
(3) 上式から ｐ、ｑ、ｒ を消去し、________________=0
(4) 上で得た________________=0 に於いて、Z=1 とし、(無論　次数は不変の双曲線でない放物線）
   放物線の主軸問題をも解いて下さい。
(5)　ｙ=ｘ/(ｘ+5) のお気に入りの７点を定め、各点に於ける接線を求め、ｄｕａｌ ｃｕｒｖｅ のどの
　　点に対応しているかを感受して下さい。

K[X，Y，Z]∋F[X，Y，Z]=-X⁶ - 108Y⁶ - 36X³Y²Z - 216Y⁴Z² - 4X³Z³ -108Y²Z⁴
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月３日付け）

(1)　この射影曲線　{(X：Y：Z)∈P²(K)|F(X，Y，Z)=0} の双対射影曲線を多様な発想で求めて
　　下さい。この射影曲線　{(X：Y：Z)∈P²(K)|F(X，Y，Z)=0} の特異点を求めて下さい。
(2)　双対射影曲線　{(X：Y：Z)∈P²(K)|F^*(X，Y，Z)=0} の変曲点を求めて下さい。
　　無論　Hessian を定義の如く前面に押し出し解決願います。変曲点は何個在りましたか？
　　各変曲点に於ける接線を明記して下さい。

　二つの変曲点を通る直線の上に、「第３の変曲点が在る」なら、具体的に明記願います。

(3)　{(X：Y：Z)∈P²(K)|F(X，Y，Z)=0}、{(X：Y：Z)∈P²(K)|F^*(X，Y，Z)=0}を非同次化し、C、C^*
　　とする。K=R　で、C^* の曲率も求め、C^*上の点で、曲率が0となる点を求め、その点に於
　　ける接線も求めてください。
    （ C^*の縮閉線は、運転者、知悉でハンドルをきり無事故運転．．．縮閉線も求め、C^* の
　　　図と同一 Rⁿ (n=2) に図示願います)

　当ＨＰの「包絡線」において、

　「この件について、平成２１年１月２７日付けで、当ＨＰがいつもお世話になっている、らす
　かるさんは、「接しないような ｔ の値を除外して、ｔ の定義域を限定して『包絡線』と呼べば
　問題ない」と述べておられる。

  かなり後に出現する「解析概論・再読」は數學者になられた愛読者も数多存在。

   高木貞治先生に言及者数多在り。　「記憶の切繪図」、「参考図」

(4) K=複素數体としたとき、{(X：Y：Z)∈P²(K)|F^*(X，Y，Z)=0}を非同次化 したC^* の変曲点を
　求めて下さい。何個在りましたか？二つの変曲点を通る直線の上に第３の変曲点が在る
　なら、具体的に明記願います。（平成２３年１０月４日付け）

例えば、直線(超平面） H ： -+ｘ+ｙ=0　には変曲点 (ｘ，ｙ)=(１−ｉ・，ｉ・)∈C²
がのっている等を記載なさるでしょう。

　飯高先生　曰く：代数曲線の複接線や変曲点を研究するとき（他の研究テーマも然り）、そ
れを射影曲線として捉え、且つ、体を代数的閉体にとっておくことが望ましい。話を簡単にす
る為に、R[X]/<X²+1>とすることも多い。

　座標環 K[X，Y，Z]/<8X⁶ - 4Z³X³ + 72Y²ZX³ - 108Y⁶ - 27Y²Z⁴ + 108Y⁴Z²>やその商体
は常に考察なさいますか？否なら、如何なる場合なら座標環等を考察なさいますか？

　飯高先生の講義受講諸氏が素朴に、容易に解く発想はないものか？と考え、世界の悉皆
の人（高校生も）解けてしまう発想(0) を得ました。軌跡を求める容易な発想(0)です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月５日付け）

(イ) 逆行列を用いないこの容易な発想(0) で解いたものと飯高先生方式を実行し、比較して
　　下さい。

(ロ)  上で得た双対曲線の双対曲線を、この発想(0)で解いたものと飯高先生方式を実行し、
　　比較して下さい。

　（対称行列の逆行列を求めて、双対曲線を得る発想を飯高先生方式と命名）

　飯高先生方式は、ｎ=2 次曲線（曲面，.....)のみにしか通用しないのが悔しいでしょう。

  ｎ=2 次曲線について、たとえば、熊本大学医学部（平成２３年度前期）

　(ハ) の canonical form 楕円の双対曲線を、この発想(0)で解いたものと飯高先生方式を
実行し、比較して下さい。

　条件付き最大最小問題

　(二) の canonical form ではない制約条件の楕円 C の双対曲線 C^*　を、この発想(0) で
解いたものと飯高先生方式を実行し、比較して下さい。（参考図）

　(ホ) の canonical form ｙ²=4・1・ｘ の C の双対曲線 C^* を、この発想(0)で解いたものと飯
高先生方式を実行し、比較して下さい。

　如何なる２次曲線の双対曲線を求めることも、もう容易でしょう！ここの図示した非線型写
像 F による F(C) の双対曲線を多様な発想で求め、図示願います。

　発想(0)には、「先ず、射影化して」と在ります。これに倣い上の各曲線を射影化して、その
双対射影曲線を求めて下さい。

(1)　図の正体判明の主軸問題が解かれている双曲線の双対曲線を(*    *)の発想で求め
　　たい。（平成２３年１０月６日付け）

　先ず、 1/9(ｘ - 7/2)² - 1/4(ｙ - 1)² = 1 を射影化すると「紫」を確認し、発想の二行を実行
すれば、「青」の方程式を得ることを確認して下さい。

　「青」の主軸問題を解き、図示すれば、図の如くなることを確認して下さい。３次の対称行列
の逆行列を求める飯高先生の方式をも行って下さい。例示した【判別式　を　用いる　発想】
なら中高生もやってしまう筈。

(2)　「青」の双対は「赤」は、自明でしょうが、其れを【判別式を用いる発想】で導出して下さい。

先ず、13ｘ² + 28ｙｘ + 28ｘ + 20ｙ² + 8ｙ + 4=0 を飯高先生に倣い射影化する。

上の例示した双曲線の双対曲線は楕円と異種の曲線となりましたが、想定の範囲内ですか？

(3)　1/9(ｘ -ｘ₀)² - 1/4(ｙ - ｙ₀)² = 1　この双曲線の双対曲線が異種の放物線となるような
　　ｘ₀、ｙ₀ を自ら定め、放物線の主軸問題を解き、図示して下さい。答えがあっているかは、
　異種の放物線の双対曲線を、お気に入りの或る発想で導出し、元の双曲線になれば、ｏｋ
　です。

　(*    *)の発想で、我々は、世間に遍く知れわたっている判別式Dを用いて、（先ず、Cを射
影曲線化し)代数曲線 C={(ｘ，ｙ}∈K²| f[ｘ，ｙ]=0 } の双対曲線 C^*={(ｘ，ｙ)∈K²| f^*[ｘ，ｙ]=0 }を
得てしまった。（平成２３年１０月７日付け）

　代数曲面　S={(ｘ，ｙ，ｚ)∈K³| f[ｘ，ｙ，ｚ]=0 }の双対曲面 S^*={(ｘ，ｙ，ｚ)∈K³| f^*[ｘ，ｙ，ｚ]=0 }

を求めずにはいられないでしょう。世間に遍く知れわたっている高一も知悉の判別式Dを、
２度用いて、（先ず　C の　射影曲面化し)主軸問題を解く必要のない
(ｘ - 3)² + (ｙ + 1)² + (ｚ - 1)² =2² の双対曲面 S* を求めて下さい。

　中心をいろいろずらし、他の異種の２次曲面になるよう試み報告願います。

　飯高先生の(*    *)の発想に倣い、４次の対称行列の逆行列を求める発想も大変でしょう
が、必ず実行願います。

補注：ありえないことですが、双対曲面の定義が曖昧なら、次元を下げ、参考図から忖度願
います。(定義が二様に在り、要注意。何れを好みますか？)

　接空間 T_p(M) を L と直線 ｙ=ｍｘ+ｂ ---->(X，Y)=(ｂ，ｍ)　で双対曲線を定義される流派が
存在。
　（この英文の著者は誰でしょうか？）（平成２３年１０月８日付け）

　（Hint：知る人ぞ知る露国人：　参考資料１　　　参考資料２　）

　この双対曲線の定義を、「中学(b，m)型双対曲線C^@」と命名します。今までの C^* は、接超
平面Hと認識し、Ａｘ+Ｂｙ+1=0----->(X，Y)=(A，B) であった。

　ｂ．ｙ=ｘ³ の「中学(b，m)型双対曲線C^@」を導出し、双方の代数曲線を描きました。

　ａ．ｙ=ｘ² の「中学(b，m)型双対曲線C^@」を導出して下さい。

　そして、(C^@)^@、((C^@)^@)^@、(((C^@)^@)^@)^@ を必ず求めて感想（「双対らしさ」を文中に入れ）を
記載願います。

　飯高先生は、「デカルトの精神と代数幾何」：第1部 代数曲線の幾何学(高次曲線論、アフ
ィン代数曲線、射影代数曲線、微分型式の理論、曲線の種数とワイエルシュトラス因子) 」
23p で、「射影２次曲線について、５行で片付け、いかにも双対的である。」と、C^* 定義の美
さを賛辞されておられます。(定義C^@にはまったく言及すらせず)

　飯高先生が、C： ｙ²=ｘ³+x の 変曲点が９個と、数行に亘る計算で求めておられます。この
著名な曲線の「中学(b，m)型双対曲線C^@」を導出し、C^@ の特異点を求める発想で変曲点
が９ 個在るか確認願います。

　「可換体論　（裳華房）」の107pに、「代数多様体の話は理論上は射影空間内で扱う方が
すっきりする」とあります。Hessian_matrix　を射影空間を前面に押し出し、変曲点を見いだし
たい。

　以下は、以前に述べました。青色が今までの双対曲線C^* で、 (C^*)^*=C です。

　飯高先生も、「デカルトの精神と代数幾何」：第1部 代数曲線の幾何学(高次曲線論、アフ
ィン代数曲線、射影代数曲線、微分型式の理論、曲線の種数とワイエルシュトラス因子) 」
で、この -ｘ³ - ｘ + ｙ²=0  の変曲点を１１行に亘り論じておられ、8+1 個在ると。それの解説
を願います。
（スタートは -ｘ³ - ｘ + ｙ²=0　と　ｙ=ａｘ+ｂ から ｙ を消去し、それが３重根をもつです。無論
　ａ、ｂ は複素数です。)

(イ)　飯高先生 が、C： ｙ - (ｘ⁴ - ｘ²)=0 に、二重接線（高校生にも）が明らかに存在すること
　　を、双対曲線 C^* を求め、その特異点を求めることにより示すよう促されている。(19p)具
　　現願います。（Cの或る特徴を知る権利を有すので、C^* を求めた！）

(ロ)　同じ問題を、師に倣い、今度は、「中学(b，m)型双対曲線C^@」を導出して、その特異点
　　を求めることにより具現願います。この方は、(C^@)^@を求めてみて下さい。(C^@)^@=C となら
　　ぬので、導出されたC^@があっているか他の確認手段でお願い致します。

　私が具現したところ、 C^@： 27ｙ⁴ - 144ｘｙ² - 4ｙ² + Kｘ³ +  128ｘ² + 16ｘ = 0　（となりました。
但し、一箇所隠匿） 元のCと何れが容易ですか？C^@を知る権利を有すので、(C^@)^@を求め
ずにはいられないでしょう！具現を。

　Cが滑らかで、凸なら「中学(ｂ，ｍ）型双対曲線 C^@ 」もまた滑らかとありますが、例えば、
C： ｘ⁴+ｙ⁴=1 のとき、「中学(ｂ，ｍ）型双対曲線 C^@ 」を求め、特異点の有無を調査して下さ
い。Fig. 65に、「変曲点------>尖閣の尖点」が例示されている。

　飯高先生が、C： ｙ²=ｘ³+ｘ の変曲点が９個と、数行に亘る計算で求めておられます。この
著名な曲線の「中学(ｂ，ｍ）型双対曲線 C^@ 」を導出し、C^@ の特異点を求める発想で変曲
点が９ 個在るか確認願います、と前にお願いしました。

　飯高先生は更に、変曲点の考察例として以下をされておられる。下の各 C について、
「中学(ｂ，ｍ）型双対曲線 C^@ 」を導出し、 C^@ の特異点を求める発想で変曲点を明記して
下さい。

　　C：ｘｙ-(ｘ³+1)=0　　　C：(ｘ²+1)y-1=0　　　C：(ｘ²+1)y-ｘ=0
　　C：ｙ-ｘ⁴=0　 　　C：ｙ-(ｘ⁴+ｘ²)=0　・・・　(変曲点があるのと云う人がいるかも)

　上の各問を解く前に、グラフを眺めて、求めた後のC^@ のグラフを鑑賞しながら考察願い
ます。

　　C：ｙ-(ｘ⁴+ｘ²)=0 --->C^@ については、(ｘ，ｙ)---変換--->(-4ｘ⁴ - 2ｘ² + ｙ， 2ｘ(2ｘ² + 1))
も導出し、C^@ の特異点の変換による原像∈K² (Kは体R[X]/<X²+1>）を明記してください。
そして、C の変曲点に於ける接線をも、y=____ｘ+____∈K[x] (虚数の傾きでしょう）。

　参考図の赤線=C の双対曲線 C^*=青線 の例についても「中学(ｂ，ｍ）型双対曲線 C^@ 」
を導出し、C^@ の特異点を求める発想で変曲点を明記して下さい。

(イ)　飯高先生 が、C： ｙ - (ｘ⁴ - ｘ²)=0 に、二重接線（高校生にも）が明らかに存在すること
　　を、双対曲線 C^* を求め、その特異点を求めることにより示すよう促されている。(19p)具
　　現願います。（Cの或る特徴を知る権利を有すので、C^* を求めた！）

(ロ)　同じ問題を、師に倣い、今度は、「中学(b，m)型双対曲線C^@」を導出して、その特異点
　　を求めることにより具現願います。

　動画「Ｄｕａｌ　Ｃｕｒｖｅｓ」は参考になるかな．．．。（平成２３年１０月９日付け）

　C^* の琴線に触れる定義（１　２）に遭遇しました。所以在りて、稀有でしょうが、もうひとつ
双対曲線の定義が在ります。この双対曲線の定義を「中学(b，m)型双対曲線C^@」と命名し
ました。（　参考資料１　　参考資料２　）

　二重接線の話題に、高校生時代題材の新鮮さに体の血潮が逆流された飯高先生の追体
験をしたい。

　f[ｘ，ｙ]=-82ｘ⁴ - 100ｙｘ³ + 3ｘ³ - 78ｙ²ｘ² - 11ｙｘ² + 20ｙ³ｘ + 8ｙ²ｘ - 17ｙ⁴ + 4ｙ³

とし、f[ｘ，ｙ]=0　に二重接線が在るか否か、飯高先生に倣い、在れば二重接線を ｙ=ａｘ+ｂ と
して計算し、求めて下さい。

（20pで、飯高先生が例示されているのを少し改竄しました。少し改竄して二重接線を求めた
いと考えるのが自然の勢いであろう（と師の真似））

　双対曲線の特異点を求めて二重接線を定める発想も熱く語っておられる飯高先生に倣い

(イ)　先ず　f[ｘ，ｙ]=0 を射影化し、定義に従い、双対曲線 C^* を求め、アフイン化し、その特
　　異点を求めることにより二重接線の存在を示してください。

(ロ)　同じ問題を、師に倣い、今度は「中学(b，m)型双対曲線C^@」を導出して、その特異点を
　　求めることにより具現願います。

　我々は、双対（射影）曲線の定義に２つ邂逅した。C^* の琴線に触れる定義。そして、双対
曲線の定義を、「中学(ｂ，ｍ)型双対曲線 C^@ 」と命名しました。（参考資料１　参考資料２）

　高校生も扱う、易しい C：-ｘ⁴ + 3ｘ³ - 2ｘ + ｙ　=　0　で、飯高先生に倣い、このC=赤線に
は二重接線も変曲点達もあるのは知悉だが、双対（射影）曲線の特異点達を求め、C の或
る特徴を捉えたい。

(1)　C^* および特異点を求め図示すると、右の青線の如くなることを示し鑑賞して下さい。
　　（青線の囲む面積も求めて遊んでください）

(2) 　「中学(ｂ，ｍ)型双対曲線 C^@ 」および特異点を求め図示すると、左の草線の如くなる
　　ことを示し、鑑賞して下さい。
　　（草線の囲む面積も求めて遊んでください）

　以上鑑賞されて如何だったでしょうか？C^@には、1+2個の特異点が姿を露わにし、１つの
二重接線、２つの変曲点（に於ける接空間 T_pj(C) )が対応している現実を直視叶います。

　ところが、C^*には、1+1個の特異点のみを露わにし、１つの二重接線、１つの変曲点（に於
ける接空間 T_p1(C) )が対応している一部の現実しか直視叶いません。（隠匿している特異
点が在り、直視願望が否定されます）

　C： -ｘ⁴ - 4ｙｘ³ + 3ｘ³ - 6ｙ²ｘ² + 9ｙｘ² - 4ｙ³ｘ + 9ｙ²ｘ - ｙ⁴ + 3ｙ³ - 3ｙ=0

について、(1)(2) 等を具現し、C^@、C^* それぞれの定義の功罪を記載願います。

　飯高先生　曰く：「無限遠点を導入し、射影曲線⊂P²(K)　 (K=R[X]/<X²+1>)　として考えな
いと本質が解明できない。具現すれば、理論が完全になる」

　師に倣い、上の二つの C を先ず射影曲線化することにより、双対射影曲線も求め、C の
正体を全て暴露してください。すべての変曲点を明記する等お願い致します。

　代数曲線達の双対曲線達の多様な発想による（世界の誰よりも）具現化に努めてまいり
ましたが．．．非代数曲線達（Transcendental function）の双対曲線化体験は初めてでしょ
うか？（平成２３年１０月１０日付け）　→　質問

　次を視る前に具現化願います。具現化完了なら次へ。解答となりましたか？
（無論、今回は今までの数多の例とは異なり、高校生が得意の判別式は使えない)

　貴方が導出されたC^* があっているかは、必ず、(C^*)^* を求めて自己判定願います。(C^*)^*
の導出過程も明記願います。定義の如く、変曲点は、曲率を求め、それがZEROなる点の
発想も在ります。（→　Coubure）

　今回の擬似正規曲線　ｙ=ｅ^(-ｘ2) の曲率を求め、各点に於ける接線の動きを描写し、一
瞬ぶれない点で曲率がZEROを示して下さい。

　殆ど到る所ぶれまくっている様を描写致しました。
（接線がぶれまくっている様を続けて描写して下さい）

　上がメインで、下は私の苦悩概念です。包絡線、包絡面．．．。

　接線の包絡線で検索すると、

　「曲線 C のすべての接線の包絡線はすなわち曲線 C 自身である」（→参考：包絡線）

　数學の概念の定義には、「名は体を顕す」で腑に落ちすぎるのも在るが、包絡線、包絡面、
・・・も漢字の感じからその範疇だが微妙なケースに遭遇し、正確な包絡線、包絡面の定義
にWEB 上でも遭遇しない．．．。

　日々飯高先生のHP を訪問される世界の數學者諸氏にお願い：正確な包絡線、包絡面の
定義を教えて下さい。

　無論、飯高先生にもお願いしております。（高木貞治先生の定義では不満足故）

　ぶれてしまいましたが、メインは容易過ぎるでしょうが、赤線の双対の青線の方程式の明
記を。

　既習のことも参照なさって、非代数曲線なら如何？も考察願います。

　飯高先生の講義受講者様：次年度には、非代数曲線の双対曲線が試験に出ますよ！飯
高先生は前回の失敗も在り、自ら解いてみて　解けてしまう問を出題されるでしよう。

　前回の失敗：ｙ=1/ｘ の双対はすぐわかるから、云々。

(自ら大學生に出題した問題について、此処まで正直に激白記事に遭遇は稀有）

「記憶の切繪図　（志村五郎　著）」の142p 近傍にも易し過ぎる：ｙ=1/ｘ の双対に類する（？）
記載在り。

　代数曲線 C={(ｘ，ｙ)∈K²| f[ｘ，ｙ]=0 }=赤線の双対曲線 C^*={(ｘ，ｙ)∈K²| f^*[ｘ，ｙ]=0 }につい
て、発想から、例えば、【世間に遍く知れわたっている判別式D】を用いて、（先ず、Cを射影
曲線化し)　C^*=青線を得てしまった。（平成２３年１０月１１日付け）

　同様に、代数曲面　S={(ｘ，ｙ，ｚ)∈K³| f[ｘ，ｙ，ｚ]=0 } の双対曲面：
S^*={(ｘ，ｙ，ｚ)∈K³| f^*[ｘ，ｙ，ｚ]=0 } を求めずにはいられないでしょう。

　「n=2次曲面の双対曲面は次数不変」は体験済みなので、n=3次曲面の双対曲面に挑ん
でみました。（→　参考図）

　S^*={(ｘ，ｙ，ｚ)∈K³| f^*[ｘ，ｙ，ｚ]=0 } を求める発想として、例えば、

(1)　【世間に遍く知れわたっている判別式D】を用いて導出願います。

　飯高先生に倣い、無論、先ず S を射影曲線化し、 -X³ - ZX² + Y²X + WZX + Y²Z=0 から
一部隠匿 K=草色、 f^*[ｘ，ｙ，ｚ]=0 を提示いたしましたが、.Kを定めて下さい。

(2) 得たS^* の(S^*)^*=S は自明でしょうが、実際、(S^*)^*を多様な発想で導出願います。

(3) 得たS^*があっているか確認する術を、上に記載しましたが、素朴に、Sの一点、例えば、
　　ｐ=(1， 2， -3/4)∈S に於ける接空間 T_p(S) の方程式を求め、T_p(S) に対応する双対空
　間の点が求めたS^* に属すか、からも成し得ます。これを行って下さい。

(4) 有理写像　S------Φ------>S^* も明示され、S上をｐが動くとき、連動してS^*上をΦ(p)
　が如何に動くか、観察された顛末を記載願います。

　「デカルトの精神と代数幾何」に双対曲線の定義と僅かの例 が在りますが、双対曲面の
定義も例も在りません。以下の内容を知りたくてたまりません。

　　第4部 増補
　　　3次元代数多様体の双有理幾何学
　　　数理物理学と代数幾何学
　　　数学Cのニューフェース
（これは、高校の指導者や高校生が近い将来代數幾何學に挑む為の記事でしょうか？)

　今後増補される際は、是非、有理写像　S---Φ--->S^* の例を沢山載せてください。

　最近の代数幾何学は抽象化が極度に進んでいて、初学者には最初のハードルが高い。
特に、代数幾何の最初の段階で、スキーム、位相空間上の層、単射的分解を利用した層
係数コホモロジーを学習するのは困難で、代数多様体の定義にたどりつく前に挫折してし
まう学生が少なくない。

だそうで、敢え無く頓挫を少しでも減らす対策として、増補される際は是非、有理写像
S---Φ--->S^* の例を沢山載せてください。
（抽象的な議論の前に具体例達を切望される方は少なからず存在する筈故）

　この度の座標環 K[X，Y，Z]/<f[X，Y，Z]>、K[X，Y，Z]/<f^*[X，Y，Z]> や其の商体は何時
も考察なさいますか？そうでなければ、如何なる場合考察なさるのでしょうか？


　我々は、日常生活に於いて、曲線より遥かに多く曲面を目にするが、曲線、曲面、・・・を
説く教師、教授諸氏は殆ど曲面を具現してくださらない．．．。（平成２３年１０月１２日付け）

　飯高先生に倣い

(1)　代数曲面の双対曲面を求めて下さい。（→　参考図）

　前回の図とは異なり、今回は答えを明記しておりません。其の代わりに、
　　ｐ=((153 - √13601)/2452， -1/18，1/-17)∈S に於ける接超平面T_p(S) をSと共に図示
　しました。
(2)　T_p(S)の方程式を求め対応するS^* の点を求めることにより導出されたS^*： f^*[ｘ，ｙ，ｚ]=0
　が正しいことを確認して下さい。

(3)　確認の方法として、(S^*)^* を求めて元の黙阿弥も在るので行って下さい。
(4)　S^* を図示し、有理写像：S---Φ--->S^* も明記し、S^*の特異点に写されるSの点も求め
　て下さい。


　今回は、2+1次代数曲面 S：ｘ³ + ｚｘ - ｚ³ + ｙ²ｚ=0 なる「やは肌」Sについてのお願いです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月１３日付け）

(1)　多様な発想で導出され、あっているか否かも多様な発想で確認叶います。それら全ての
　　発想を記載願います。

　１８４９年、ケーリーは滑らかな３次曲面はすべてある一定数の直線を含むこと、サーモン
はその数は２７であることを証明した。すなわち、３次曲面f(ｘ，ｙ，ｚ)=0には無数に多くの直線
がのっているか（その場合には線織面と呼ばれる）、そうでなければ、高々２７本の直線しか
含まないことが証明されている（サーモン　１８８４年）。

と述べられているのを何処で觀たかを記載願います。

(2)　事実なら、証明願います。

(3)　今回のやわ肌：K[ｘ，ｙ，ｚ]/<ｘ³ + ｚｘ - ｚ³ + ｙ²ｚ> (Kは無論、代数的閉体　R[X]/<X-2+1>)
　　について載っている全ての直線を提示願います。

　今回引用したのは、「数理科学　曲面の神秘」の飯高先生のｎ=1，2，3，...曲線...複素多様
体の7pです。（→　参考：「アーベル多様体あれこれ (曲面の神秘(特集))」、
　　　　　　　　　　　　　　　「5次曲面 一般型代数曲面のexample (曲面の神秘(特集))」

　線型や非線型写像：Kn---F--->Kn　による超曲面の像F(超曲面) の求め方を「寡聞にし
て知らない」なる表現を避け、超曲面の非線型写像による像F(超曲面) の求め方を論じたの
を觀たことがありません。（平成２３年１０月１４日付け）

　例えば、大學の講義の線型写像の逆写像を求め、F(超曲面)を求めよ、と云う常套手段は、
非線型写像には通用し難いので、逆写像　を求めず、超曲面の像F(超曲面)を求めたい。

　先ず、易しい名古屋大学講義演習の楕円の像を求める際、逆写像を求めず像を求めたい。

(1)　ｘ²/4 + ｙ² - 1=0　、X - ｘ + ｙ=0　、Y - ｘ - ｙ=0 から ｘ，ｙ を消去し、X，Y の関係式を得
　　て下さい。

　消去の際、有力な「Sylvester's matrix 」なる常套手段が在りますので試みて下さい。

　楕円の像を求める際、逆写像を求めず像を求める、上の消去による発想は、逆写像F^-1
を求め難い非線型写像F：R²∋(ｘ，ｙ)---F--->(X，Y)=F(ｘ，ｙ)=(ｘ³-ｙ²，2ｘｙ)∈R²　にも通用
する。このFによる楕円の像F(楕円)を表す曲線の方程式を、

(2)　ｘ²/2 + ｙ² - 1=0　、X -ｘ³ + ｙ²=0　、 Y - 2ｘｙ=0 から ｘ，ｙ を消去し、X，Y の関係式を
　　得て下さい。

　消去の際、有力な「Sylvester's matrix 」なる常套手段が在りますので試みて下さい。

　円　(ｘ-1)²+ｙ²=1 の像を求める際、逆写像を求めず像を求める、上の消去による発想は、
逆写像F^-1を求め難い非線型写像F：R²∋(ｘ，ｙ)---F--->(X，Y)=F(ｘ，ｙ)=(ｘ2-ｙ2，2ｘｙ)∈R²
にも通用する。

　このFによる円の像F(円)を表す曲線(横向きのハート)の方程式を、

(3)　(ｘ-1)²+ｙ²-1=0　、X -ｘ² + ｙ²=0, Y - 2ｘｙ=0 から ｘ，ｙ を消去し、X，Y の関係式を得て
　下さい。
(これは函数論の円：|ｚ-1|=1 のC∋ｚ-f-->ｚ²∈C の像f(円）の或る求め方の別解です）

　消去の際、有力な「Sylvester's matrix 」なる常套手段が在りますので試みて下さい。

　得たX、Y の関係式を、 「Wolfram|Alpha」で図示し、

(4) この曲線の双対曲線を求め、更に特異点も考察願います。

　非線型写像F：R⁴---F--->R³ を、

　　　(ｘ₁，ｙ₁，ｘ₂，ｙ₂)--->(X，Y，Z)=F(ｘ₁，ｙ₁，ｘ₂，ｙ₂)=(ｘ₁(ｘ₂ + 2)，(ｘ₂ + 2)ｙ₁，ｙ₂)

で定義する。（平成２３年１０月１５日付け）

(イ)　FによるD={(ｘ₁，ｙ₁，ｘ₂，ｙ₂)|ｘ₁² + ｙ₁²=1　、ｘ₂² + ｙ₂² =1}　の像 F(D)が如何なるR³ に
　　於ける代数曲面に含まれるかを、上に倣い、

　　X - ｘ₁(ｘ₂ + 2)=0　、Y - (ｘ₂ + 2)ｙ₁=0　、Z - ｙ₂=0　、ｘ₂² + ｙ₂² - 1=0　、ｘ₁² + ｙ₁² - 1=0

　から、ｘ₁、ｙ₁、ｘ₂、ｙ₂ を消去し、X、Y、Z の関係式 f(X，Y，Z)=0 を導出願います。

(ロ)　得た代数曲面： f(X，Y，Z)=0 を、参考図の如く図示願います。
　　（図示された曲面は研究し尽くした曲面ですか？)

(ハ)　S： f(X，Y，Z)=0 上の５点ｐ_j くらいを具体的に定め、各接超平面T_ｐj(S)の方程式を求
　　めて、双対曲面 S^*の方程式f^*(X，Y，Z)=0 も導出し特異点も考察願います。

　非線型写像F：R²---F--->R² を考察する。（平成２３年１０月１６日付け）

　　（X，Y)=F(ｘ，ｙ)=(8ｘ³ - 4ｘ² - 24ｙ²ｘ - 4ｘ + 4ｙ² + 1，-8ｙ³ + 24ｘ²ｙ - 8ｘｙ - 4ｙ)

　何を唐突に未体験の非線型の写像を！と憤られそうですが、順次、実は高校生が知悉
の写像だと、以下順次明白になるでしょう。

(0)　F の正体は、「Jacobian matrix and determinant」を求めると白日の下にさらされるの
　　で必ず求めて下さい。

　Jacobian matrix は特徴が在り過ぎ、見飽きた行列でしたでしょう。その写像の正体は高
木貞治先生が提示なさる「解析概論/第2章」（参考）から辿れる筈。

　「解析概論/第5章/解析函数」で、「微分可能といえば、一語簡単であるが、含蓄は多大
である」

(1)　(ｘ，ｙ)--->determinant(Jacobian matrix)(を求め) のグラフを描いて下さい。例外点を
　除いて正でしたか？determinant(Jacobian matrix)=k (k=,..3.2.1..)なる等高線も描いて下さ
　い。

　以上から、F は、ｚ=ｘ+ｙ・i --f--> f(z) の実部、虚部で構成されたものだとお気づきでしょう。

此処に、f(ｚ)=__ｚ³+___ｚ²+___ｚ+___(<--を埋めて下さい。）

　さて、Fの代数曲線の像を、逆写像を求める手法は為し難いので、消去法で具現したい。

(イ）　f(ｚ)のZERO点を考え、例えば、中心=(0，0)、半径ｒ色々の円C_r の像f(C_r) の方程式を
　　きちんと求めたい。

　f(C_r) が、(0，0)のまわりを 0 回、回るよう、ｒ を自ら定め、f(C_r)の方程式をきちんと求めて
下さい。

　f(C_r) が、(0，0)のまわりを 1 回、回るよう、ｒ を自ら定め、f(C_r)の方程式をきちんと求めて
下さい。

　f(C_r) が、(0，0)のまわりを 2 回、回るよう、ｒ を自ら定め、f(C_r)の方程式をきちんと求めて
下さい。

　f(C₁)は完璧に、(0，0)のまわりを 3回、回るでしょう。 f(C₁)の方程式は、

X⁶ - 6X⁵ + 3Y²X⁴ - 225X⁴ - 12Y²X³ + 300X³ + 3Y⁴X² - 462Y²X²
　　　　　　　　　+ 15855X² - 6Y⁴X + 308Y²X + 42042X + Y⁶ - 237Y⁴ + 13475Y² - 57967=0

となりますか？上の各f(C_r)=0 の双対曲線を求め、特異点を考察願います。

　f(ｚ)=________(<--を埋めて下さい。）

については容易に、f(ｚ)=8ｚ³ - 4ｚ² - 4ｚ + 1 を導出されたでしょう。

（ロ)　以下は、ガロア群に絡むので、必ず具現して損はありません。吉田輝義さんに倣い、
　　f(ｚ)=0 の解をαとする時、他の解をαの有理式ξ(α)∈Q(α) で表示可能は自明でも、
　　何故可能なのかの根拠を記述願います。そして、其れを具現し、ξ_j(α)=____ と乗積表
　　ξ_i・ξ_jを完成して下さい。

　逆写像F^-1を求め、Fによる超曲面の像 F(超曲面) を求める通常の発想が在る。

(数学演習,・・・名古屋大学理学部から引用しました）

『教授が此処に指導されている基本方針以外によるF(超曲面)の方程式の導出に拘りたい』

　R² に於ける反転：F(ｘ，ｙ)=(ｘ/(ｘ² + ｙ²)， ｙ/(ｘ² + ｙ²)) による

(1)　C： ｘ²/2 - ｙ² =1 の像 F(C) を逆写像F^-1を求めず、

　　X= ｘ/(ｘ² + ｙ²)　、 Y = ｙ/(ｘ² + ｙ²)　、 -1 + ｘ²/2 - ｙ² = 0

　から、ｘ、ｙ を消去し、X、Y の関係式を導出する発想でお願いします。CとF(C)の双対曲線
　を求め、考察願います。

(2)　C： (ｘ - 1/3)⁴ + ｙ⁴ = 1 の像 F(C) を逆写像F^-1を求めず、

　　X= ｘ/(ｘ² + ｙ²)　、 Y = ｙ/(ｘ² + ｙ²)　、 (ｘ - 1/3)⁴ + ｙ⁴ -1 = 0

　から、ｘ、ｙ を消去し、X、Y の関係式を導出する発想でお願いします。CとF(C)の双対曲線
　を求め、考察願います。

　R³ に於ける反転：F(ｘ，ｙ，ｚ)=(ｘ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)， ｙ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)，ｚ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)) による

(3)　曲面S：(ｘ - 1/2)² + ｙ² + ｚ²/9 = 1 の像 F(S) を逆写像F^-1を求めず、

　　(ｘ - 1/2)² + ｙ² + ｚ²/9 - 1=0　、X = ｘ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)　、Y = ｙ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)　、
　　Z = ｚ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)

　から、ｘ、ｙ、ｚ を消去し、X、Y、Ｚ の関係式を導出する発想でお願いします。ＳとF(Ｓ)の双
　対曲線を求め、考察願います。

　像 F(超曲面) を逆写像F^-1を求めず、ｘ、ｙ、ｚ、....を消去し、X、Y、Z、... の関係式を導出す
る発想の具現の感想を記載願います。


(数学演習,・・・名古屋大学理学部から引用しました）（平成２３年１０月１７日付け）
　此れを多様な発想で解いて下さい。(無論、イデアルの観点から）

　逆写像F^-1を求め、Fによる超曲面の像 F(超曲面) を求める通常の発想が在る。

(数学演習,・・・名古屋大学理学部から引用しました）

　此処の線型写像による像A(S₁)、A(S₂)を『教授が此処に指導されている基本方針に従順
になり、A^-1を求める発想で導出し』、円とは程遠い曲線C=A(S₁)∩A(S₂) について、(1)(2)の
ような問を創作し、解いてください。

　S₁とA(S₁)の双対曲面を求め、考察願います。
　S₂とA(S₂)の双対曲面を求め、考察願います。

　この n=2次曲面の双対については、飯高先生の発想（先ず射影化し)も含め、多様な発想
で求めて下さい。

A(S₁)^*∩A(S₂)^* について、(1)(2)のような問を創作し解いてください。

像 A(S₁) を 逆行列 A^-1を求めず、ｘ、ｙ、ｚ、....を消去し、X、Y、Z、... の関係式を導出する発
想で是非求めて下さい。

像 A(S₂) を 逆行列 A^-1を求めず、ｘ、ｙ、ｚ、....を消去し、X、Y、Z、... の関係式を導出する発
想で是非求めて下さい。

　R³ に於ける反転：F(ｘ，ｙ，ｚ)=(ｘ/(ｘ² + ｙ²+ｚ²)， ｙ/(ｘ² + ｙ²+ｚ²)，ｚ/(ｘ² + ｙ²+ｚ²)) による曲
面S₁の像 F(S₁) を逆写像 F^-1を求めず、S₁の方程式

　　　X = ｘ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)　、Y = ｙ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)　、Z = ｚ/(ｘ² + ｙ² + ｚ²)

から、ｘ、ｙ、ｚ を消去し、X、Y、Z の関係式を導出する発想でお願いします。

　F(S₁)の双対曲面を是非求め、考察願います。F(S₂)の双対曲面を是非求め、考察願いま
す。

F(S₁)^*∩F(S₂)^* について、(1)(2)のような問を創作し、解いてください。

以上、かなりの問題達を解かれ、愉しみを得られたでしょう。ご感想を是非！

　更に、ｎ次元空間Rⁿ(n=4、5、・・・、19、・・・)に於ける超球面達を定め、上の問題群のよう
な問達を創作し、解き続けて下さい。

黄色枠に互いに双対と明記してあるのに邂逅しました。

(1)　６次代数曲線から、その双対曲線を多様な発想で導出し、４次代数曲線を得て下さい。
　　双方の代数曲線を図示して、どちらに馴染みがあるかアンケートをとってください。

(2)　６次代数曲線を、K=R[X]/<X²+1> で考察したとき、特異点が総計幾ら、２重点が幾ら等
　　明記されています。其れ等を証明し、２重点に対応する双対曲線の複素接線を明記願い
　　ます。尖点に対応する双対曲線の接線を明記願います。

　R² に於ける反転：F(ｘ，ｙ)=(ｘ/(ｘ² + ｙ²)， ｙ/(ｘ² + ｙ²)) による

(3)　C の逆写像F^-1を求めず、X= ｘ/(ｘ² + ｙ²)　、 Y = ｙ/(ｘ² + ｙ²)　、６次代数曲線 = 0

　から、ｘ、ｙ を消去し、X、Y の関係式を導出する発想でお願いします。像 F(C)が囲む部分
　の面積と弧長を求めてください。

(4)　C^* の像 F(C^*) を逆写像F^-1を求めず、

　　　X= ｘ/(ｘ² + ｙ²)　、 Y = ｙ/(ｘ² + ｙ²)　、４次代数曲線 = 0

　から、ｘ、ｙ を消去し、X、Y の関係式を導出する発想でお願いします。像 F(C^*)が囲む部分
　の面積と弧長を求めてください。

(5)　F(C)の双対曲線を、多様な発想で導出願います。

(6)　F(C^*)の双対曲線を多様な発想で導出願います。

(7)　G(ｘ，ｙ)=(ｘ³ - 3ｘｙ²， 3ｘ²ｙ - ｙ³)なる非線型写像を定める。像 G(C)、像 G(C^*) を求め、
　　それぞれの双対曲線 G(C)^*、 G(C^*)^* 達を求めて下さい。

(8)　黒枠の一行目を証明願います。

　「新潟南高校ＳＳＨ事業」のような件に遭遇したので、黄色枠の曲線Cとその双対C^* の垂
足曲線達を求めたくなりました。

(1)　C^*の垂足曲線 は、試みると、

　X⁸ + 4Y²X⁶ - 3X⁶ + 6Y⁴X⁴ - 9Y²X⁴ + 3X⁴ + 4Y⁶X²
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　- 9Y⁴X² - 21Y²X² - X² + Y⁸ - 3Y⁶ +  3Y⁴ - Y²=0

となりました。誤りが在れば、誤りを正して、その特異点を求めて下さい。

(2)  Cの垂足曲線を求め、その特異点を求めて下さい。

　曲線とその垂足曲線を同じ R² に描き、足蹴にした点を幾つか明示します。（このアニメは
有り難い。足蹴にした点を無限に眼前に提示）　（→　参考図）深く理解するための参考図

　Oに関するCの垂足曲線をPedal(O；C)で表す。足(O；C)では流布しそうにない．．．。

　まず、楕円C=青線： ｘ²/2² + ｙ² = 1 　O=(1，1)から、C--->Pedal(O；C)の代数曲線を求め
て下さい。私が試みると赤線で示した

　　　X⁴ - 2X³ + 2Y²X² - 2YX² - 3X² - 2Y²X + 2YX + 8X + Y⁴ - 2Y³ + 2Y - 5=0

となりました。誤りが在れば修正願います。

　Pedal(O；C)--->Pedal(O；Pedal(O；C))の代数曲線を求めて下さい。C--*-->Cの双対曲
線C^*を求めて下さい。

　Cがｎ=2次曲線なので、飯高先生に倣い、先ず射影化し、対称行列の逆も試みて下さい。

　Pedal(O；C)--*-->Pedal(O；C)^*を求めて下さい。
（もう２次曲線ではないので上の手法は通じません）

　Pedal(O；Pedal(O；C))------->Pedal(O；Pedal(O；C))^*を求めて下さい。

　ｚ²+ｚ+1 = ｘ²+ｘ-ｙ²+1+I・(2ｘｙ+ｙ) 　から定義した非線型写像Fを

　　R²---F--->F(ｘ，ｙ)=(ｘ²+ｘ-ｙ²+1，2ｘｙ+ｙ)∈R²　により定める。

像F(C)を求めて下さい。像F(C) の Pedal(O；F(C))を求めて下さい。
像F(C^*)を求めて下さい。 Pedal(O；F(C))^* を求めて下さい。

　上の問達は、O=(1，1) としましたが、O を定めるのは自由です。試しに、O=(1，9) として上
の全ての問達を本当に解いて下さい。

　「まず、楕円C=青線： ｘ²/2² + ｙ² = 1 　O=(1，1)から」と上に記しましたが、次は、双曲線
について、上の問達のような問達を創作し、解いて愉しんで下さい。無論、中學生が學ぶ放
物線（主軸が素直でない其れについても）についても．．．。

　双対曲線を求める英文の（２次曲線故の行列表示による）発想は、飯高先生の方針の通
りです。（平成２３年１０月１８日付け）

　先生が大変だと云われるし、n=2次曲線、曲面....にのみしか通用しないので、現在まで他
の多様な発想のみで双対化しました。　しかし、アンダーラインの紫を為したら、ペダル曲線
が其れからゲットとあるので為しました。（→参考）

　得た双対曲線　5ｘ² + 2ｘｙ + ｙ²/5 - 2ｘｚ + (2ｙｚ)/5 + ｚ²/5=0

　　　　　　　　　　25ｘ² + 10ｘｙ + ｙ² - 10ｘｚ + 2ｙｚ + ｚ²=0

　これから、(左辺）において、　ｘ -> ｘ/(ｘ² + ｙ²)　、ｙ -> ｙ/(ｘ² + ｙ²)　、ｚ -> -ｚ　等の
applying the inversion transform を行い、

　25ｘ² + 10ｘ³ + ｘ⁴ + 10ｘｙ - 2ｘ²ｙ + ｙ² + 10ｘｙ² + 2ｘ²ｙ² - 2ｙ³ + ｙ⁴=0

なるペダル曲線をゲット出来ましたね。
（双対曲線を経てペダル曲線ゲットは初体験でしたでしょう）

(1) 飯高先生が、C： ｘｙ=1 の双対はすぐわかる、と云われるので、この双対曲線を求め、
　上の如く、applying the inversion transform を行い、ペダル曲線 Pedal(O；C) (O=(0，0))
　を求めて下さい。

(2)　また、双対曲線など、知らぬ存ぜぬフリをして、直に他の発想で、C： ｘｙ=1 のペダル曲
　線 Pedal(O；C) (O=(0，0)) を求めて下さい。

　参考図の一番左のような、８の字曲線が得られた筈です。図示して下さい。

　ｘ⁴ - 4ｘｙ + 2ｘ²ｙ² + ｙ4=0 を 「Wolfram|Alpha」で図示したものと一致しましたか？

(3) 得たペダル曲線 Pedal(O；C) の双対曲線も是非求めて下さい。アンダーラインの紫は、
　　ペダル曲線 Pedal(O；C)が２次曲線でないので通じません!

　色々な C、O=(ｘ₀，ｙ₀)　について、ペダル曲線 Pedal(O；C)達（の特異点）を研究発表すれ
ば、以下から表彰されるかもしれません。（→参考）

（双対曲線を経て、ペダル曲線ゲット）が今回のメインです。其処を再読され、感想を是非記
載願います。

双対曲線とペダル曲線絡みなる論文に、2011/10/18 の朝、邂逅し、驚き、海水温は未だ
冷たくはなく、遊泳しながら考えた時間を含めて、以上に___時間要しました。

　双対曲線とペダル曲線の論文を見て、異質な絡み合いと驚きました。

　論文 の全貌を知りたいですか？（平成２３年１０月１９日付け）

　「A Grand Tour of Pedals of Conics」を、Google で検索すれば、素敵な全貌が得られるで
しょう。

味読され、長文の感想を必ず記載願います。

　双対曲線とペダル曲線の論文の全貌をゲットし、必ず視てください。

　震災や豪雨（輓近ではタイ國）で私以外にも捩れた心（心の痛み表現）の持ち主が存在す
るか否か検索すると視たくない程　在り。

　私の心の捩れ具合を、右の赤線で激白した以上の心の捩れを、O=(ｘ₀，ｙ₀)を選んで、ペ
ダル曲線を具現し、その代数曲線を明記し、双対曲線も必ず明記願います。

「O=(ｘ₀，ｙ₀)を選んで、ペダル曲線を」で、O の選択肢は無限に在り、それに応じ無限の代
数曲線のペダル曲線が産出され、その双対曲線の具現で、未来永劫愉しめます。

　例えば、O=(19，4) でペダル曲線：________________　その双対曲線：_____________________


　震災等で、kardioeides が歪む以上の変形F(kardioeides) の年です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月２０日付け）

　　カージオイド（参考１、参考２）　kardioeides =「kardia（心臓）」 + 「eidos（形）」）

　C：-ｘ² - ｙ² + (ｘ² + ｘ + ｙ²)²=0 と英文や兵庫教育大学の「円に関する反転F」について

(1)　F(C) を多様な発想で求めて下さい。(F(F(C))=C は自明でしょうが、具現を)そして、例
　　えば、円の外∩C の各点が円内のどの点に写されるか、左指と右指で連動して動く様
　　子を実演してください。

(2)　O=(-1，1)に関するF(C)の垂足曲線Pedal(O；F(C)) を求めて下さい。参考図の真ん中の
　　ような曲線となりましたか？

(3)　F(C)の双対曲線を多様な発想で求めて下さい。F(C)が２次曲線なら経験済みの飯高先
　　生の発想も叶うので、大変でも具現して下さい。そして、アンダーラインの次のpedal 曲線
　　が、この射影双対曲線がゲット叶うと云うので具現して下さい。

(4)　原点O=(0，0)に関するF(C)の垂足曲線Pedal(O；F(C)) を多様な発想で求めて下さい。

　Pedal(O；F(C))は如何なる他の曲線よりも簡単な曲線となりましたか？

　O=(-3，1)に関するF(C)の垂足曲線Pedal(O；F(C)) を多様な発想で求め、これが囲む部分
の面積を求めたり、Pedal(O；F(C))^* を求めたりして遊んで下さい。

　O=(5，10)に関するF(C)の垂足曲線Pedal(O；F(C)) を多様な発想で求め、これが囲む部分
の面積を求めたり、Pedal(O；F(C))^* を求めたりして遊んで下さい。

　n=2次曲面は幼児から見続けて生活し、n=2次曲線は中高でやっと学び、接線も学ぶので、
垂足曲線も教材として国が許可しないと下達しても無視 し、示されたなら、學生は欣喜雀躍
し、指導者に逆試問を矢継ぎ早に投げかけ、指導者が答えに窮する真に望ましい素敵な場
面が教育の場に横溢するのではありますまいか。
（此処を訪問される教育現場の諸先生は、校長や世間から非難されても是非そうなさって下
さい）

教授(指導者)が答えに窮する真に望ましい素敵な場面を世界に激白さる。

「先生はこの理論について何も分かってないんだ！」と気付いたんです。そんなこともあって、
　数学は自分で勉強するものなんだという考えを強く持ちました。ちょうどこの時代はセール、
　グロタンディークといった人たちが、代数幾何学の抽象化に取り組んだ時期にあたりまして、
　スキーム理論が出てきていました。そこで、このスキームについて勉強してたのですが、日
　本では、まだ誰も取り組んでいないような分野でしたから、勉強してるだけでパイオニアとい
　う感じでした。

　教育界の惰性に流されず、例えば、知悉の楕円Cと任意に点O=(ｘ₀，ｙ₀) を本当に指定し、
垂足曲線達を求め、未知との遭遇の代数曲線達との数多な遭遇を學生や自らに真摯に問
う。更に、未知のとの遭遇の代数曲線 f(ｘ，ｙ)=0 達毎に座標環　K[X，Y]/<f[X，Y]> とその
商体を考察。

　楕円Cとして、例えば、灘高校（２０１０）の ｘ，ｙ の関係式（究極の点(0，-1)も許容）なる楕
円（主軸問題も解き）

　　{4/(1 + 2ａ + 2ａ²)　， -((1 + 6ａ + 2ａ²)/(1 + 2ａ + 2ａ²))}

を、 「Wolfram|Alpha」に挿入してください。

　今まで、飯高先生の問題例：n=2次曲線Cの射影双対曲線を導出し、それを用い、赤のア
ンダーラインの方法で、Cの原点Oに関する垂足曲線を迂回して求めた。

　赤のアンダーァラインによる方法は、ｎ＝３，４，...次代数曲線にも通じる（行列は不可）。例
えば、４次の代数曲線Cについて

(1)　原点Oに関する垂足曲線を先ずCの射影双対曲線を導出して下さい。

(2)　其れを用い、赤のアンダーラインの方法でCの原点Oに関する垂足曲線を迂回して求め
　　て下さい。

　青線Cの上で求めた垂足曲線を図示すると、参考図の赤線になりましたか？

(3)　迂回しないで、直に多様な発想で（今回のCは有理曲線故追跡が可能)、Cの原点Oに
　　関する垂足曲線を求めて下さい。

　非線型写像F(ｘ，ｙ)=(ｘ² + ｘ - ｙ² +1，2ｘｙ + ｙ) について、（の正体は、Jacobian matrixを求
めて暴かれる）『ｘ² + ｘ - ｙ² + 1 の素敵な相棒』が、2ｘｙ + ｙ　に決まり。

(4)　像F(C)を表現する代数曲線を求め、その原点Oに関する垂足曲線を求めて下さい。

(5)　Pedal(O；C)のFによる像F(Pedal(O；C))を表現する代数曲線を求め、その原点Oに関す
　　る垂足曲線を求めて下さい。

　Ahlfors Complex Analysis 25p conjugate 共軛 harmonic function　の『相棒』の２例：

　黒色の相棒C₁、C₂の原点に関する垂足曲線達 Pedal(O；C₁)、Pedal(O；C₂)を双対曲線を
求めて、迂回して求める等の発想で求めて下さい。

　草色の相棒C₃、C₄の原点に関する垂足曲線達 Pedal(O；C₃)、Pedal(O；C₄)を双対曲線を
求めて、迂回して求める等の発想で求めて下さい。

　双対曲線を求めて迂回して求める発想は、　参考１　　参考２

のような２次曲線CのPedal((ｘ₀，ｙ₀)；C)ではないので行列は不可です。

　具体的関数への熱き想いを君に伝えたい――これがこの本をバレー劇になぞらえた主な
理由である。「具体的な個々の関数の面白い性質や挙動を偏愛する」...複素関数 三幕劇 ら
しい。

　Ahlfors Complex Analysis には　Algebraic curve が　297pでようやくお目見え.遅すぎ.....。
唯一の具体的なExercise：

Determine the position and nature of the singularites of the algebraic function defined by

　ｗ³-3ｗｚ+2ｚ³=0

(1pから296pまで理解しないと、この例が偏愛不可能なのでありましょうか？)

　ｙ³-3ｙ+ｘ+2ｘ³=0 としないで、(z，w)∈C² で表現したことに意味が在るようなので、
Algebraic curveも、f(z，w)=0 と表現して欲しい。

　実部、虚部に分け(ｚ=ｘ+ｙ・i　、ｗ=ｕ+ｖ・i)、ｗ³-3ｗｚ+2ｚ³=0　<---->

　S₁={(ｘ，ｙ，ｕ，ｖ)∈R⁴| ｕ³ - 3ｖ²ｕ - 3ｘｕ + 2ｘ³ - 6ｘｙ² + 3ｖｙ=0}

　S₂={(ｘ，ｙ，ｕ，ｖ)∈R⁴|-ｖ³ + 3ｕ²ｖ - 3ｘｖ - 2ｙ³ + 6ｘ²ｙ - 3ｕｙ=0}

なるR⁴に於ける２つの超曲面の交わりS₁∩S₂なる具体例を偏愛するには、どうすればよい
のでしょうか？制約条件２つできちんと次元が下がり、4-(1+1)=2 次元の微分可能多様体
なら証明を願います。

各曲面を視る手段は、S₁なら、ｕ³ - 3ｖ²ｕ - 3ｘｕ + 2ｘ³ - 6ｘｙ² + 3ｖｙ=0　で、ｖ=...-3、-2、-1、
0、1、2、3...でR³に射影し、具現し、想像する以外ありません（私には）。

　ｐ(ｚ，ｗ)=ｗ³-3ｗｚ+2ｚ³　について、座標環　K[Z，W]/<p(Z，W)>　の商体も考察願います。

　連立方程式：D[ｐ(ｚ，ｗ)，ｗ]=0　、ｐ(ｚ，ｗ)=0 の解を全て求めて、(ｃ_j，ｗ_j)とし、ｚ平面から
{ｃ₁，ｃ₂，...}を除き、任意の　z∈C-{ｃ₁，ｃ₂，...} に於いて、ｐ(ｚ，ｗ)を満たす函数要素ｗ=f₀(ｚ)
は３個存在する。

等、明確に（このAhlforsの唯一の具体例を偏愛し）解説をお願い致します。

　100pには、ｗ³+ｚ³-ｗｚ=0　(ｗ=ｔｚでパラメーター化) なる具体例が在る。偏愛願います。

Ahlfors は、ｚ²=ａ　を解くのですら、実部と虚部に分け、代数曲線達 ｘ²-ｙ²=Re[ａ]、2ｘｙ=Im[ａ]
の交わりと捉え、3p-4p に長々と解説.....。R[ｘ]/<ｘ²+1>には、6p で触れるのみ.....。


　同じ範疇に在る一連の諸問題をお願い致します。（平成２３年１０月２１日付け）
「食指が動かない」問が在りますか？1.35 に一番興味津々ではありますまいか？

　これに拘り、「具体的な個々の函数の面白い性質や挙動を偏愛する」に倣いたいので、λ
も2と具体化し、代数曲線C：Y² - (X - 2)(X - 1)X=0 を偏愛してみたいが、地に足が着かぬ
私は、Cの原点に関するC の垂足曲線　Pedal(O,C)を直にでなく、Cの双対曲線に寄り道を
し、好きな道草を喰い、ゲット叶うと云う。

　参考図を　C：Y² - (X - 2)(X - 1)X=0　の具体例で具現したい。其れには、先ず、C の射影
双対曲線を求めねばならぬ。

(1)　射影双対曲線を多様な発想で求めて下さい（二次曲線ではないので飯高先生の行列手
　　法は不可です）

(2)　得た射影双対曲線について、赤のアンダ-ラインの変換を具現し、垂足曲線Pedal(O；C)
　　を得て図示をも願います。

　双対曲線を求め迂回し、垂足曲線Pedal(O；C) を得る愉しみも満更ではありますまいが、

(3)　直に求めたいでしょう。多様な発想で具現して下さい。

　お願いしつつ、私も参加することに意義が在るので、試みると、

　　-27Y¹⁰ - 108X²Y⁸ + 108XY⁸ - 162X⁴Y⁶ +328X³Y⁶ - 132X²Y⁶ - 24XY⁶ + 4Y⁶
　　　　　 -108X⁶Y⁴ + 336X⁵Y⁴ - 276X⁴Y⁴ + 24X³Y⁴ +24X²Y⁴ - 27X⁸Y² + 120X⁷Y²
　　　　　　　　　- 156X⁶Y² +56X⁵Y² + 4X⁴Y² + 4X⁹ - 12X⁸ + 8X⁷ = 0

　なる垂足曲線Pedal(O；C)を得ました。過ちが在れば修正して下さい。

(4) λも2と具体化し、代数曲線C：Y² - (X - 2)(X - 1)X=0　を偏愛してみたいと致しました
　　が、他のお気に入りの、例えば、λ=19+69・i∈複素數体　とし、垂足曲線Pedal(O；C)の
　　導出を是非お願い致します。

　　　最初の問題で道草を喰っております。他の一連の問題の解答をお願い致します。

　代数的閉体でとあるので、Y² - (X - 2)(X - 1)X=0　ではなく、Ahlfors に倣い、
Ｗ² - (Ｚ - 2)(Ｚ - 1)Ｚ=0　とし、更に、Z=X+Y・i　、W=U+V・i として此の具体例を偏愛して知
り尽くしてみたい...。

　参考図の右の青線=Cのkardioeides：　(ｘ² + ｘ + ｙ²)² - ｘ² - ｙ² = 0　（計算）の点O=(0，0)
に関する垂足曲線 Pedal(O；C)を、英文の射影双対曲線を求めて、其れを経て求られると
云うので具現したい。

(イ)　先ず、飯高先生に倣い、Cの射影曲線化を為すと、

　(0)　X⁴ + 2ZX³ + 2Y²X² + 2Y²ZX + Y⁴ - Y²Z²=0　となることを確認し、

　(1)　多様な発想で、射影双対曲線を求めて下さい。

　Cがn=2次曲線ではなく、飯高先生の行列手法は効かぬので、私が或る発想で求めたら、

　　　　2X³ + 15ZX² + 24Z²X - 16Z³ + 27Y²Z = 0

　となりました。間違いがあれば指摘してください。

　(2)　得た斉次方程式に於いて、英文のアンダーラインなる変換を行って下さい。

　私が行うと、C=青線より高次の代数曲線を得ました。（間違いがあれば指摘してください）

　　16X⁶ + 24X⁵ + 48Y²X⁴ - 15X⁴ + 48Y²X³ + 2X³
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 48Y⁴X² - 42Y²X² + 24Y⁴X + 16Y⁶ - 27Y⁴ =0

　描いてみると、赤線になりました（幾つかの垂足点も求め、図示もしました）。これが、本当
に青線のkardioeides の点O=(0，0)に関する垂足曲線かと懐疑することも重要だと思います。

　例えば、青線∋ p=(1/4，/4）の点に於ける接線T_p(C) を求め、Oから垂線の足をT_p(C)
に下し、その座標が、

　　16X⁶ + 24X⁵ + 48Y²X⁴ - 15X⁴ + 48Y²X³ + 2X³
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ 48Y⁴X² - 42Y²X² + 24Y⁴X + 16Y⁶ - 27Y⁴ =0

を満たすか否か（は高校生にも容易）で判断して下さい。

　英文の射影双対曲線を求めて、点O=(0，0)に関する垂足曲線を求めることは、勉強にな
ると私は考えますが如何？

(ロ) 上とは異なる発想達で、垂足曲線 Pedal(O；C)を直に求めて下さい。

　非線型写像

R²∋(ｘ，ｙ)--F-->F(ｘ，ｙ)=(ｘ² + 3ｘ/2 - ｙ² - y/2 + 1/2，2ｙｘ + ｘ/2 + 3ｙ/2 + 3/2) ∈R²

によるCの像F(C)を求め、観察し、Pedal(O；F(C)) を、上の (イ) (ロ）の発想で求めて下さい。
（具体例達を偏愛された　感想を　記載　願います）


　n=2次曲線、曲面、......の双対曲線、双対曲面、... は、行列を用い、瞬時に具現せずとも、
理解可能で、為すべきなにものもないので考えるに値しない、と n=3、4、...、2011次曲面の
双対理論構築者在りかも..)　（平成２３年１０月２２日付け）

　飯高先生の選びぬかれた少数の受講者が少しでも次元を上げ、反省の姿勢を誠実に表
せるチャンス到来。
(n=2次超等曲面の双対曲面は、行列でできると世界のだれもが知悉でしょうが）

　問題

(0)　ｘ₀=ｙ₀=ｚ₀　と全然平行移動していないn=2次曲面の双対曲面は容易でしょう。

　お好みで全然構わないのですが、　ｘ₀=1、ｙ₀=2、ｚ₀=3　としたとき、n=2次曲面の双対曲面
を、大変でも師に倣い求め、紫囲みをお願いします。

　重要な備考：無論、上のお願いは、飯高先生の反省の弁から誘発された問達です。

　その言い回しの模倣；　ｘ₀=ｙ₀=ｚ₀=0 なら何もせずわかってしまうから、ｘ₀=1、ｙ₀=2、ｚ₀=3
　　　　　　　　　　　　　　も容易だろうと講義、理解度テストに出題したが、出来がよくなく.....。
　　　　　　　　　　　　　　１月後に再考したら、4次の対称行列の逆をすればいいことは瞬時
　　　　　　　　　　　　　　にわかるが、具現するのは大変だと。

　是非、大変な行列に依存しない発想をお願いします。そして、名古屋大学の講義に倣い、
S とS^* の断面達を描き、その正体を暴いて下さい。

　ｘ₀、ｙ₀、ｚ₀　の選択は自由です。自らあちこち平行移動し、上の如き考察を。平行移動で
は不満でしょう。他の非線型写像による変換に、Fによる像F(C) の双対曲面も是非。


　「具体的な個々の函数の面白い性質や挙動を偏愛する(難波誠)」に倣いたいので、今度
は、(4)を偏愛したい。（平成２３年１０月２２日付け）

(n=2次超等曲面の双対曲面は、行列でできると世界のだれもが知悉でしょうが）

　ｘ₀=ｙ₀=ｚ₀=0　と全然平行移動していないn=2次曲面の双対曲面は容易でしょう。（何も為
さず図示可でしょう）

　ｘ₀=-2、ｙ₀=-1、ｚ₀=2　 (と少し考えて、平行移動量を選びました）　このn=2次曲面の双対
曲面S^*を、大変でも飯高先生に倣い求め、紫囲みをお願いします。

　また、他の多様な発想で、S^*を求めてください。（例えば、判別式を求めて）

　双対曲面S^*を求めて、名古屋大の講義に倣い、ｚ=ｋ で、スライスすると、

{3ｘ² + 4ｙｘ + 12ｘ + 2ｙ² + 6ｙ + 13 = 0，3ｘ² + 4ｙｘ + 4ｘ + 2ｙ² + 2ｙ + 2 = 0，
3ｘ² + 4ｙｘ - 4ｘ + 2ｙ² - 2ｙ + 1 = 0，3ｘ² + 4ｙｘ - 12ｘ + 2ｙ² - 6ｙy + 10 = 0，
3ｘ² + 4ｙｘ - 20ｘ + 2ｙ² - 10ｙ + 29 = 0}

達が得られますか？一断面　3ｘ² + 4ｙｘ - 12ｘ + 2ｙ² - 6ｙy + 10 = 0　を観たければ、
「Wolfram|Alpha」にお願いし叶うが、無論「人の一面だけを見て 全貌（人格、品性、etc)を判
断」する生き方はマズイ.....。他の断面達をも描き、想像力を働かせ、双対曲面S^*の形を描写
下さい。

　更に、裁断する超平面を H(k)：7ｘ+5ｙ+3ｚ=ｋ とし、S^*とH(ｋ)からｚを消去し、R²への射影を
し、ｋを、-7から7までかえて曲線達を描き、想像力を働かせ、双対曲面の形を描写下さい。

　更に、正確を期す為、双対曲面は、n=2次曲面なので、主軸問題を完璧に解いて、その名
称を記してください。正の固有値、負の固有値を求めてください。(曲面Sの名称が、S^*では
改名されましたか？想定外でしたか？)

　更に、偏愛したいので、(4)のS：(ｘ + 2)² - (ｙ + 1)² - (ｚ - 2)² = 1 上の幾つかの点p_j を選
び、その点p_j に於けるSの接超平面T_pj(S) (の方程式を求め)に対応するS^* 上の点を求め、
上で得たS^*の方程式を満たしているか確認願います。

　更に、有理写像　S∋(ｘ，ｙ，ｚ)---Φ--->Φ(ｘ，ｙ，ｚ)∈S^* を明記し、SとS^*を色々詮索して
下さい。

　有理写像は、飯高先生の「行列を求めてS^*を得る」発想では得られないでしょう。

（補注）　此処の有理写像は、次元をひとつだけ上げたものです。

参考文献：(此処をご覧の医學に携っておられる方は、mathematica を常用中でしょう)
　　医用画像処理　　、癌予防の新たな視点：Mathematica を使った精密な診断
　　特定検診

　「具体的な個々の函数の面白い性質や挙動を偏愛する(難波誠)」に倣いたいので、今度
は、(6)を偏愛したい。（平成２３年１０月２３日付け）

　(3)(4)について、双対曲面を多様な発想で求めたのと同様な考察を(6)で．．．。

　曲面　ｚ=ｘ²-ｙ²　の双対曲面を多様な発想で求めて、双方を図示願います。

　曲面　S： ｚ=(ｘ + 2)² - (ｙ + 1)²　の双対曲面S^*を多様な発想で求めて、双方を図示願い
ます。

　名古屋大学講義の裁断する超平面をかえ、H(ｋ)：7ｘ+5ｙ+3ｚ=ｋ とし、S^*とH(ｋ)からｚを消去
し、R²への射影をし、ｋを-7から7までかえて曲線達を描き、想像力を働かせ、双対曲面の形
を描写下さい。

　更に、正確を期す為、双対曲面は、n=2次曲面なので、主軸問題を完璧に解いて、その名
称を記してください。正の固有値、負の固有値を求めてください。(曲面Sの名称が、S^*では
改名されましたか？想定外でしたか？)

　更に、偏愛したいので、
曲面　S： ｚ=(ｘ + 2)² - (ｙ + 1)²　上の幾つかの点p_j を選び、その点p_j に於けるSの接超平
面T_pj(S) (の方程式を求め)に対応するS^* 上の点を求め、上で得たS^*の方程式を満たして
いるか確認願います。

　更に、有理写像　S∋(ｘ，ｙ，ｚ)---Φ--->Φ(ｘ，ｙ，ｚ)∈S^* を明記し、SとS^*を色々詮索して
下さい。

　有理写像は、飯高先生の「行列を求めてS^*を得る」発想では得られないでしょう。

（補注）　此処の有理写像は、次元をひとつだけ上げたものです。

以上、類比な問達を解き、もう辟易でしょうか？

　以下の垂足曲面は『初体験』でしょうか？(この種の『初体験』談はWEB 上では告白者が
存在しないのは何故？？)

　WEB上に垂足曲面の定義が見当らないない。（ひとつだけ在りました;)それで、定義に倣い
自ら定義し、曲面　ｚ=ｘ²-ｙ² の(0，0，0)に関する垂足曲面を多様な発想で求めて図示を願
います。

　曲面S： ｚ=(ｘ + 2)² - (ｙ + 1)²　のO=(0，0，0)に関する垂足曲面Pedal(O；S)を多様な発想
で求めて、図示を願います。(Sは易しい２次曲面ですが、Pedal(O；S)は何次曲面ですか？)

　曲面S： ｚ=(ｘ + 2)² - (ｙ + 1)²　上に、例えば、p=(1/2， 1， 9/4)がのっている。
T_p(S)へ(0，0，0)から垂線を下し、その足の座標を求めて下さい。このような単純作業を、５
点定め、行って下さい。

　以上の(6)を偏愛し、垂足曲面『体験』の感想を記載願います。(ところで、３次以上の双対
曲面は幾度具現されたのでしょうか？具現例達を記載願います。）

　叶いそうもない願望：

　ｍ次元空間K^mに於ける超曲面Sの点O=(ｘ1₀，ｘ2₀，.....，ｘm₀)に関するPedal(O；S) を定義
し、具体例を掲げ、垂線の足を各接超平面に足を着け、Pedal(O；S)を偏愛したい．．．。

　ｍ=3、4の場合の問題達をください。

　黄色枠内は、そうでなくては線型写像L∈Hom(Kⁿ，K^m)の名に恥じるので自明ですので、
提示した非線型写像Fを偏愛したい。

(1)　青線の曲線C：ｘ²-ｙ²=１ の像F(C) を多様な発想で求め、その方程式を図示すると、赤
　　線になることを示して下さい。ヤコビ行列 J_f (p) が退化している（階数が落ちる）ところを
　　図示すると、焦げ茶色の曲線となり、それとCとの共通点を求め、F で写像すると、色分
　　けした点達になることを証明して下さい。像F(C)は閉曲線のようで、その囲む部分の面
　　積とF(C)の弧長を求めて下さい。

(2)　青線の曲線に酷似の曲線C： ｘ²/4 - ｙ²/4=1 の同じ非線型写像Fによる像F(C)につい
　　て、上のような考察達をして下さい。

(3) 　C： -ｘ⁴ - 2ｙ²ｘ² + ｘ² - ｙ⁴ - ｙ² = 0 としたとき、同じ非線型写像Fによる像F(C) につい
　　て、上のような考察達をして下さい。

　　　Fの出所を激白します。次の一番左のn=2次曲線C：ｘ²-ｙ²=１ の或る点O=(ｘ₀，ｙ₀)に関
　　するCの垂足曲線　Pedal(O；C) を導出する過程で、あの非線型写像Fを得ました。或る
　　点を求めて下さい。

　　　また、一番左のn=2次曲線C：ｘ²-ｙ²=１ の或る点に関する垂足曲線Pedal(O；C) が、英
　　文の８の字のようになる点Oを自ら定め、C------F----->F(C)=　Pedal(O；C) となる非
　　線型写像Fを求め、上の如き考察をして下さい。

　私が指定した点O では、８の字のように囲まれた部分が２つでなく、一つです。（→参考図）

　Pedal(O；C)がレムニスケート(連珠形lemniscate)となるよう点O=(ｘ₀，ｙ₀)を選び、非線型写
像Fを求めて下さい。また、Cの射影双対曲線を求め、其れからPedal(O；C)を求める発想を
なさって下さい。

　lemniscateと云えば、各点に於ける曲率円を感受しつつ、参考１　、参考２ のぺー函数等
に　........ 「数学をいかに使うか　志村五郎　著」の 094p に、t---->(Cos[t]，D[Cos[t],t])とは
程遠い記載在り.....。（参考図）

(1)　群の不変式 F、G、Hの間の(代数的従属) 関係式を導出願います。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月２４日付け）

（黒塗りにしたのは、元の論文に誤りがあったので致しました。その論文とは？)

　関係式　4G⁴ - F²G + H²=0　が得られましたか？文字をかえ、4ｙ⁴ - ｘ²ｙ + ｚ²=0 とします。

　導出された代数曲面Ｓ：4ｙ⁴ - ｘ²ｙ + ｚ²=0　の双対曲面 S^* を求めて下さい。このn=2では
ない n=4 次曲面の双対についても、飯高先生の発想：

　発想(イ）　先ず、射影化　斉次化（Homogenize)

　　射影化し、4Y⁴ - WX²Y + W²Z² からスタートし、．．．。

　私は、飯高先生の発想(イ）以外の発想達で双対曲面 S^* を得ました。その発想も是非試
みて下さい。

　発想(ロ）、発想(ハ）

　得た結論が正鵠を失していないか否かの判断は、(S^*)^*を求めれば自分で叶う。

　更に、有理写像　S∋(ｘ，ｙ，ｚ)---Φ--->Φ(ｘ，ｙ，ｚ)∈S^* を明記し、SとS^*を色々詮索し
て下さい。

　代数曲面Ｓ：4ｙ⁴ - ｘ²ｙ + ｚ²=0　の点O=(0，0，0)に関する垂足曲面Pedal(O；S)を発想な
発想で求め、得た結論が正鵠を失していないか否かの判断の根拠も記載願います。

　 「数学の視界」は所蔵しておりません。実際、σ_k (k=0、1、2、3、4、5、6)、 τ^j、τ^j○σ^k
等求め、確認を（参考図)。　（図で、F(C) は丁寧に計算しつつ描写しました）

　この青の非線型写像Fについて、

(1)　F(C)を求めると、図のようになることを示して下さい。
(2)　F(R²⁾を丁寧に求め、図示もして下さい。
(3)　F({z| |z|<1})を丁寧に求め、図示もして下さい。(単位円内は______に写される)。
(4)　F({z| 1<|z|})を丁寧に求め、図示もして下さい(単位円外は______に写される)。

　その後、(1)を詳しく再考願います。
（C=赤線には単位円内部と外部の部分が在りますので）

　上半平面（upper half plane）やUpper Half-Diskに倣い、{(X，Y，Z)∈R³|1＜X²+Y²+Z²}を上
半球面と呼ぶ、略して、上と。

　Ahalfors Complex Analysis　29p のstereographic projection の図を観ると、

　　「上は外={z| 1<|z|}」　、「下は内{z| |z|<1}」

と聴こえる。stereographic projection にN=north pole と平面Sと平面の様々な組み合わせ
の流儀が在る。

　Ahalfors Complex Analysis　29p のstereographic projection のN H；Z=0 図が無い。

(5)　非線型写像Fの出生の秘話をあばき、導出過程も記述願います。

と云いながら、下に露呈しましす。自ら暴くまで、参考図を視ないで下さい。（想定内でしたで
しょう）非線型写像Fの導出は、参考資料と酷似しています。（一つ次元を上げたもの）

　参考図なる抽象的な理論でなく具体的な非線型写像Fの続きです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１０月２５日付け）

　参考資料の単位球面上の点を幾つか苦労して求めてみました。

(1)（前の訂正）上半球面{(X，Y，Z)∈R³|1=X²+Y²+Z²、且つ、0＜X、0＜Y、0＜Z}に在る点と
　そうでない点に分類して下さい。

(2) 各点の像を求め、{z| 1=|z| 且つ、0＜x 且つ、 0＜y}」に在る点 と そうでない点に分類し
　て下さい。

　単位球面上の列挙した点達から、３点A、B、Cを選び、球面三角形ABC を図示し、各角
度を求め、足し算して下さい。Prj(A)、Prj(B)、Prj(C)を求めて下さい。

　三角形Prj(A)Prj(B)Prj(C)の各角度を求め、足し算するのは易し過ぎる故、私にお任せ下
さい。単位球面上の円En(i)を具体的に連立方程式の解集合として幾つか定めて下さい。

　参考図の一番下の２つの事例に酷似の例を 2011個 作成願います。値（点の像）を求め
ます。（→　抽象代数　正田建次郎　抽象代数への入門）

　参考資料の 単位球面上の点を幾つか苦労して求めてみました。

　X、Yをかってに定め、連立方程式　{X²+Y²+Z²= 1、X = (2√19)/39、Y = (2√19)/39}を解
き、Z = -37/39、Z= 37/39 を得て、Z= 37/39　を選択し、最後の球面上の点を漸くゲット。

　瞬時に、単位球面上の点を2011個以上求め、図示を願います。

　R³ に与えられた曲線の各点と、P₀=(ｘ₀，ｙ₀，ｚ₀)とを結ぶ直線の和集合を錐面、定点をそ
の頂点、錐面をつくっている直線　を母線と云う。（平成２３年１０月２６日付け）
（母_____なる概念の事例達を挙げて、具体例を記載願います。例えば母函数 ）

　上記の定義は腑に落ちすぎ、形状が「アイスクリームコーン」なら、悉皆の人が季節を問わ
ず味わい尽くしていて、その代数曲面の方程式は、__________________=0（で、その双対曲面の方
程式は、_____________________=0)ですが、例えば、R³ に与えられた曲線： (ｘ-2)²+(ｙ-3)²=ｒ2、ｚ=0
の各点とP₀=(7，5，3)とを結ぶ直線の和集合なる錐面の代数曲面の方程式を提示されたこ
とはありますか？そして、其れと易しい球面：ｘ²+ｙ²+ｚ²=R² の交線も求めて下さい。

　以上、「具体的な個々の函数の面白い性質や挙動を偏愛する(難波誠)」より、「具体的な
個々の事例を偏愛する」に倣いました。

　お気づきでしょうが、上のお願いは、「Stereographic Projection」を視てから生じました。
（Complex Analysis Ahlfors 19p も視つつ）

　以下、母線について記述しました。Complex Analysis（の19pも無論、視つつ)、考えた。

　紫囲みの錐面の定義は、誰でも為し、R³に如何なる曲線と点が与えられても誰でも具現
叶う。特に、ice cream cone の代数曲面表示は容易。

　左上の青線は、赤の円=赤道外の易しい円：(X - 1)² + (Y - 1)² = (1/5)² である。
（円：(X - 1)² + (Y - 1)² = (1/5)² を楕円にかえ、以下の考察をも願います）

(1)　この円とN=(0，0，1)から錐面の定義に従い、その代数曲面表示を為して下さい。

　錐面は容易に誰でも描けるが、その代数曲面の方程式を提示されたことが御座います
か？『経験者は語る！』 『未経験者は語りたく我慢できず直ぐ開始！』 （何方様も無視し難
く必ず）具現される。代数曲面 S；_______________=0

(2) そして、其れSと易しい球面：ｘ²+ｙ²+ｚ²=1² の交線S∩球面も求めて下さい。

(3) そして、交線S∩球面を ｘｙ平面に正射影して、無論　n=2次曲線が赤の円外でなく円内
　　に得られるでしょうが、キチンと求め、主軸問題も解き、囲む面積、弧長を求めて下さい。

(4) その2次曲線や代数曲面Sの双対曲線、双対曲面を求めて下さい。

　錐面の定義に従い、特に易しい円と点(0，0，1) で錐面の代数曲面表示を私も試みたとこ
ろ、無論、２次曲面Sで、次のようになりました（一部隠匿します)

　-25X² - 50ZX + 隠匿・X - 25Y² - 49Z² + 50Y - 50YZ + 98Z - 49=0

　「平面曲線の幾何」には無数の代数曲線C_j が在ります。(が、代数曲線と云いながら、パ
ラメタ-表示に止め、代数曲線表示が為されていないので、為す愉しみが在ります）

　幾つかのC_jを選び、代数曲線表示をなし、その各曲線C_jと点(0，0，1) で錐面をつくり、錐
面の代数曲面表示を必ず為して下さい。

　直線　ｙ＝２ｘ＋５ と点(0，0，1) で錐面をつくり、錐面の代数曲面表示は容易すぎても為し
て下さい。

　上で具現された各で、実際、代数曲面に載っている空間の直線をそれぞれ10本程度は媒
介変数表示をしてください。（先ず、直線の厳密な定義を、となんて云いません）

　以上、「具体的な個々の函数の面白い性質や挙動を偏愛する(難波誠)」より、「具体的な
個々の事例を偏愛する」に倣いました。

　ice cream cone が代数曲面表示の學習を為さしめました。

　視る度に、R³ の無数の代数曲線と指定した点から、無数の錐面の代数曲面表示達を為
し、代数曲面の學習を死ぬまで続行せずには　いられないでしょう。


　草色囲みをお願いします。（平成２３年１０月２７日付け）

　Sに載っている楕円も20個図示願います。

　線織面は曲面の構成要素(母線)が直線である。曲面の中に直線が存在するという不自由
さを持つことによって、線織面は他の曲面に無い美しさがある ;

　Stereographic projection の具現です。（平成２３年１０月２８日付け）

　赤道面の単位円内に、易しい青線=楕円： 900X² + 900X + 3600Y² - 2400Y + 589=0 を定
め、小學生の工作に倣い、（斜）錐面を造形　しました。
（錐面をZ=k で切断した楕円族を右から2番目に図示しました）
（楕円上の具体的な点を17 個 自ら定め、単位球上の対応する点達を求め、図示を為して
下さい）

　青枠の問達を再掲しますので、是非お願いします。

　（斜）錐面Sの代数曲面表現を為して下さい。_______________=0 ( 左辺f(X，Y，Z)∈Q[X，Y，Z] )

単位球面∩S の媒介変数表現（きちんと、次元が下がり、 3-(1+1)次元微分可能多様体に
なる筈）を願います。更に、これをR²に正射影した代数曲線は、草色になる筈ですが、その
代数曲線は ___________________=0 ( 左辺　F(X，Y)∈Q[X，Y]) )
(ついでに、草色の囲む面積と弧長を求めたくなるでしょう）

以上に出現した青色の楕円、錐面：f(X，Y，Z)=0、F(X，Y)=0 の双対曲線、双対曲面、双対
曲線を求めて下さい。

　以上、此処まで代数曲面表示達を為す人は稀有ではないでしょうか？

　青色の楕円、錐面：f(X，Y，Z)=0 は　n=2次曲線、曲面ですから、飯高先生の発想からも
叶いますので具現を！

　「Sfera di Riemann」を詮索中、次元を下げた「Stereographic projection on the circle」に
邂逅しました；

　これは、「問１９．３」、「直線族」に既に言及済みと関わります。如何でしたでしょうか？解
答願います。

　南極を通る水平面上に、円のみでは佗しい。例えば、次の書籍からチェビシェフ曲線を
幾つか選び、それとNから錐面の代数曲面表示をし、それと球面との交線をも視覚化だけ
でなく、球面に載っている1次元微分可能多様体も色々探究して欲しい。
（→　平面曲線の幾何）

　緑囲みの点が R¹上を 1、2、...　と動く時、S=C∪∞ 上に、例えば、レムニスケートが出来
るだけと妥協を許さず、正確に詳細なS=C∪∞ 上に描かれる代数曲線を、代数曲面達の
共通ZERO点とイデアルを用いて表現　願います。（平成２３年１０月２９日付け）

　既に、低次の n=2 の曲線のケースはお願い済みです。黄色部分なら、叶う方世界に数多。
そんな時代故、其の先在り。（→複素力学系入門）

　錐面について、ｘｙ平面上の任意の代数曲線と、例えば、点N=(0，0，1) から産まれる斜錐
面の代数曲面の方程式が欲しいので、紹介願います。

　「円柱面と円錐面の方程式」に辿り着き、すっぽり、鉄球　ｘ² + ｙ² + (ｚ - 2)² = 1　が収納
されている例題8の立体図を視て、球面（鉄球）で「浅間山荘事件」を想起しました。

　私は、斜錐面にも通用する、次の発想がお気に入りです。（試みて提示されている解法達
と比較して下さい。）

{(ｘ，ｙ，ｚ)∈R³|ｘ²+ｙ²=ｒ²，ｚ=0}の任意の点(ｘ，ｙ，0)と (0，0，5)を結ぶ直線達で織られた錐面
の代数曲面 S(の方程式）を求め、すっぽり　鉄球 ｘ² + ｙ² + (ｚ - 2)² = 1 が収納されるよう
ｒ を定める。また、Sの双対曲面S^*を求めて遊んで下さい。

　円錐面の模倣をする。青線=空間に於ける中心(3，4，0)、半径1の円を水平面に描いた。
此の上の任意の点と(0，0，5)を直線で結び、小學生の工作を為し、得られた斜円錐の代
数曲面を求め描写すると、図を得た。

(1)　斜円錐の代数曲面 S を表す方程式を求めて下さい。その双対曲面S^* も是非求めて
　　下さい。(此れで、双対曲面を自ら求めたのは何例目ですか？）

　双対曲線については、何度も云いますが(双対曲面が何故か無い...)「デカルトの精神と代
数幾何」に 数例　在ります。双対曲面達が欲しいと皆んなで要望しましょう。

(2)　Sと中心(3，4，0)、半径1の球面の交線を図も参照しつつ求めて下さい。

　最初の問題の直円錐の図を視ると、半径1の鉄球を下の開口部から挿入すると、中心
(0，0，2)の位置で、つかえている。この時の接している部分の曲線の方程式を求めて下さ
い。

(3)　半径1の鉄球を図示した斜円錐の開口部から挿入するとき、はみ出したが、半径1/7
　　の鉄球を図示した斜円錐の開口部から挿入するとき、何処かでつかえる筈。その位置
　　を求めて下さい。

　曲面の形状を知りたいとき、Z=k で切断し、特に、水位を調べるのは、このように常套手
段で為さぬ日は在りません。（平成２３年１０月３０日付け）

　資料 のP(C)² に於ける n=4次代数曲線 f(ｘ，ｙ，ｚ)=0 について、

(1)　変曲点を求めて下さい。二重接線を求めて下さい。

(2)　双対曲線(其の次数を為す前に想定し）を求め、その特異点と(1)の関わりを述べて下さ
　　い。

(3)　座標環　K[X，Y，Z]/<f(X，Y，Z)>の商体を考察願います。（環R=k[ｘ，ｙ]/(ｙ²-ｘ³-1) の研
　　究≒楕円曲線の研究）

　いつものように幕が開きでしょうか　?

　此の『何の変哲もないように視えるP(C)² に於ける n=4次の代数曲線について、何年間も
論述できますか?』

MSRI Publications -- Volume 35
The Eightfold Way： The Beauty of Klein's Quartic Curve　　Edited by Silvio Levy

　Felix Klein discovered in the 1870's that the simple and elegant equation ｘ³y + ｙ³ｚ + ｚ³ｘ
(in complex projective coordinates) describes a surface having many remarkable properties,
including 336-fold symmetry -- the maximum possible for any surface of this genus. Since
then this object has come up in different guises in several areas of mathematics.
　The mathematical sculptor Helaman Ferguson has tried to distill some of the beauty and
remarkable properties of this surface in the form of a sculpture that he entitled
The Eightfold Way, permanently installed at the Mathematical Sciences Research Institute
in Berkeley.
　This volume seeks to explore the rich tangle of properties and theories surrounding this
object, as well as its esthetic aspects. It contains:The text written by William Thurston to
explain the sculpture to a wide public at the time of its inauguration.A broad overview of
the position of the Klein quartic in mathematics, with articles by Hermann Karcher and
Matthias Weber (geometry), Noam Elkies (number theory), and Murray Macbeath (Riemann
surfaces).
　A historical overview by Jeremy Gray (reprinted).A richly illustrated essay by the sculptor,
Helaman Ferguson.An exploration of related curves by Allan Adler, with new results and
exposition of old ones.The first English translation of Klein's seminal article,”On the order-
seven transformation of elliptic functions”.

　「Klein quartic」のQuaternion algebra construction　にある3次方程式g(η)=0 の解を α
とするとき、参考資料の如く、他の解をαの有理式∈Q(α)で表現し、ガロア群も考察して
下さい。

　双接線について、資料１、資料２

　院試の問題で求めたF[X，Y，Z]∈Q[X，Y，Z] で定まると云う代数曲面Sについて
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１１月１日付け）

(1)　双対曲面S^*とSを、例えば、(2，3，5)だけ平行移動したT(S)の双対曲面を求め、その名
　　称を云うて下さい。発想では、曲線とその双対曲線の名称が「ガラッと変わった」。

(2)　このように或る平行移動 したT(S)の双対曲面T(S)^*の名称がかわることが在れば明記
　　してください。

(3)　院試の問題で、t∈R とあるが、制限し、t∈[-3，3] 上の開口部分から半径 √[36/25]
　　の鉄球を挿入すると、右下の図の位置で止まった。その鉄球とSとの交線は高校生も容
　　易に求めますが、お願いします。

(4）　今度は、比較にならぬ程大きい半径 3 の鉄球S₃をS の右下からSにぶっつけたら、赤
　　囲みの図の位置に 「埋まり込んで」止まった。（埋まり込んでいる様子の図示達を試みた）
　　埋まり込んでいる部分の体積は？ なんて、好きな問ではありませんが埋まり込んでいる
　　部分の表面積は？なんて、猶更、好きな問ではありませんが．．．。

　S₃とSの交線 S₃∩S は、高校生には容易ではありませんが、空間の何次曲線ですか？

  【完全交差多様体の定義】を述べ、S₃∩S がそうなら証明して下さい。

(5)  S₃∩Sを ｘｙ平面に正射影したR² 内の代数曲線 prj(S₃∩S)の方程式を求め、その双対
　　曲線 prj(S₃∩S)^*も必ず求め(12次ですか？)、その特異点を求め、 (尖点や二重点が在
　　りますか？)、想定の範囲内の特異点であることを対応する元の曲線の特徴から認知願
　　います。

　prj(S₃∩S)は勾玉（曲玉とも表記）のような...曲線です。prj(S₃∩S) には二重接線がありそ
うです。多様な発想で求めて下さい。prj(S₃∩S) には変曲点がありそうです。多様な発想で
求めて下さい。「デカルトの精神と代数幾何」に述べられている発想をも。

　此処に、M.リード著 ： 若林功訳, 岩波書店　　高校生のための代数幾何  永田雅宜著

　代数幾何は、連立方程式の解の集合の幾何学的性質を調べる学問です。本書の内容は、
代数幾何の本格的勉強に適することよりも、高校生の知識で、代数幾何についての理解の
糸口をつかむことを目標にして選びました。

　代数曲線の幾何学　　難波誠著

  5 華麗な二次曲線の射影幾何　とありますが、華麗でないのでしょうか？三次以上の代数
曲線、面、 ...　は。

　具体的関数への熱き想いを君に伝えたい――これがこの本をバレー劇になぞらえたおも
な理由である。「具体的な個々の関数の面白い性質や挙動を偏愛する」...複素関数 三幕劇
らしい。

の著者です。 (何れも所蔵していない..)　　→　Manifold

　Figure 1： The four charts each map part of the circle to an open interval, and together
cover the whole circle

　「微分可能多様体」の「単位円は、次の４つの開近傍で覆うことができる。」なる模範解答、
例を視て、

  (6)   院試のf([-π，π)×R) ⊂ R³ の二次元部分多様体の証明は、どのような解答を要
　　　求しているとお考えですか？

　ｘｙ平面＝Ｇａｕｓｓ平面上の知悉のn=2次でないn=__次の青の代数曲線CをR³に埋め込み、
N=(0，0，1)との組み合わせから小學生も工作する錐面を具現しました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１１月２日付け）

　参考図を視て、問いかけに対峙なさって下さい。想定の範囲内の諸問題でしょうが、是非
具現願います。


　R³に与えられた任意の曲線の各点と、P₀=(X₀，Y₀，Z₀)とを結ぶ直線の和集合を錐面、定
点をその頂点、錐面をつくっている直線を母線と云う。（平成２３年１１月３日付け）

　lemniscate錐面なるレムニスケート（lemniscate）を平行移動し、ｘｙ平面にR³内の曲線=青
線として選び、青線とN=(0，0，1)から産出された錐面を考察します。

(1) 此の錐面の代数曲面　f(ｘ，ｙ，ｚ)=0　(f(X，Y，Z)∈Q[X，Y，Z])を是非導出して下さい。

(2) 得た錐面の代数曲面Sと単位球面との交線を紫で描いた。其れを、ｘｙ平面に正射影した
　　曲線　prj(S∩単位球面）(に訂正）を黒で描いた。曲線　prj(S∩単位球面）の代数曲線
　　g(ｘ，ｙ)=0　(g(X，Y)∈Q[X，Y])を是非導出して下さい。

(3) その後、提示した双対曲線、双対曲面、双対曲線達を是非求めて下さい。

(4) 黒枠の消去を為して下さい。為したなら、左の青、真ん中の紫、右の黒の曲線はすべて
　　有理曲線であることが判明する。

　　「２または３次元における曲率と捩率の研究（京都教育大学　卒業研究）」で丁寧に論じ
　られている曲率等の概念の具体例として、

(5) 青、紫、黒の微分幾何學的考察を じっくりと願います。

　この有り難いpdf の一番最後の問題の別解として、イデアルで考察を為し、

   I=<Y² + 2ZY - 2Y + Z² - Z， aX +bY +cZ +d>　の（共通）ZERO点として、その曲線がゲッ
ト可能と ａ、ｂ、ｃ、ｄ を定め、超平面にその曲線が載っていると図示願います。

　曲面　Y² + 2ZY - 2Y + Z² - Z=0　も無論描いてください。また、このpdfの理論から、参考
図のような曲率中心の軌跡等が得られることを証明願います。また、曲率中心の軌跡の双
対曲線を求め、図示もし、微分幾何學的考察をも じっくりと願います。

　参考図を観たままですが、注釈を付加します。

　先ず、R³のｘｙ平面上に、青のn=2次ではない6次の代数曲線

　　X⁶ - 6X⁵ + 3Y²X⁴ + 12YX⁴ + 27X⁴ - 12Y²X³ - 48YX³ - 68X³ + 3Y⁴X² + 24Y³X²
　　　　+ 86Y²X² + 152YX² + 119X² - 6Y⁴X - 48Y³X - 148Y²X - 208YX - 118X + Y⁶
　　　　　　+ 12Y⁵ + 63Y⁴ + 184Y³ + 311Y² + 284Y + 109 = 0

を定め、この空間曲線と点N=(0，0，1)から錐面を工作する。（糸達でピンと張るだけ.....)

　「Quadric」のn=6次ではないn=2次錐面「Conical surface」なら殆どの人が具現済み...。

  (1)　恐らく初体験でしょう。錐面を表す代数曲面 S の表示を導出願います。導出後の感想
　　　も是非願います。

  (2)  Sと単位球面：X²+Y²+Z²=1の交線=紫は、3-(1+1) 次元微分可能多様体なら証明願い
　　　ます。

  (3)  其れを、ｘｙ平面に正射影した黒の代数曲線の表示を求めて下さい。

  (4)　青の曲線の双対曲線、Sの双対曲面、黒の双対曲線を求め、特異点達を求め、考察
　　　願います。

　スタートの青のn=2次ではない、6次の代数曲線曲線 は、質問の回答に絡み、これが一番
具現し(不透明で）理解したい箇所です。

　青の曲線が有理曲線であることを真に具現し、「資料１」「資料２」の如く、t=____∈Q(ｘ，ｙ）
を真に求め、青の代数曲線の有理曲線表示を是非願います。

　Bertini の定理（Eugenio Bertini　1846〜1933 参照）なる文脈中で、dual variety を定義し
ているのに漂着(2011 11 4) し、真実に「慄 いています」。（平成２３年１１月５日付け）
(文脈中での、dual variety　邂逅初夜で感激なさいますか？)

　そして、導出法は赤裸々にせず、結果のみ明記されておられます。（無論、射影空間に於
けるn=2より高次の4次曲線からスタートし）解答の顛末図達を視てしまったでしょうが、みな
かったことにし、左図以外を何かで覆って双対曲線の概略を手で描いてください。

　無論、左図には飯高先生が受験雑誌を立ち読みされ、激白：
「その＝二重接線なる題材の新鮮さに体の血が逆流した（ので再体験したく著述）」や変曲
点が存在することは誰が視ても疑いの余地はない。其れ故、双対曲線に其の特性が遺伝
しないではいられないので、双対曲線の概略は手で描いて、その後、解答の顛末図達を全
て視て、想定の範囲内でありましょう。

　飯高先生の発想には、先ず射影曲線化とありますが、既にしてある（そして、逆行列の手
法は効かぬ）ので、手で描いた定性的な考察に満足せず、此処に答えが明記されているに
至る数多のプロセスを包み隠さず記述し、明記されている答えの射影曲線のアフィン化をし、
その特異点を求めてください。

　明記されている答えがあっているか、其の12次の射影曲線の双対曲線を必ず求めて下さ
い。（元の木阿弥は自明やと為す価値を為さず認めぬ方も存在しましょうが、多様な発想で
具現すれば、得る処大で、為さぬで済ませなくってよかったと感じられるでしょう。）

　「２または３次元における曲率と捩率の研究　（京都教育大学　卒業研究）」で丁寧に論じ
られている曲率等の概念の具体例として、答えのアフィン化を為した曲線の曲率を具体的
に求め、想定の範囲内の変曲点の出来るだけ正確な位置を定めてください。

　何故「できるだけ」なんて云う理由は明らかで蛇足でしょうが、付記します。

　変曲点を求める為の連立方程式を明記し、それがあまりに高次故、人類が正確な解を求
めることの放棄を迫られた。

　（高校生が知悉の）変曲点を求める為の連立方程式を必ず明記して下さい！（無論多義
性が在る）

　以下が、本当はメインです。

　Bertini の定理なる文脈中で、dual variety を定義しているのに漂着し「慄 いています」（と
申しました）。定理に云う前提Xの具体例を10 個明記し存在を云うているUを明記願います。


　Bertini の定理なる文脈中で、dual variety を定義しているのに漂着(2011 11 4) し、真実
に「慄 いています」(文脈中でのdual variety邂逅初夜で感激なさいますか？)と、申しました
が、またしても、こんな文脈（資料１、資料２の中に．．．。（平成２３年１１月６日付け）

　詳細が、此処にあります。

　R[X，Y，Z，W]/(X²+Y²+Z²+W²-1)R[X，Y，Z，W]∋x=X+(X²+Y²+Z²+W²-1)R[X，Y，Z，W]
以降も気になる....。此処にも、此処にも．．．。

　最初の「dual variety」の証明QED の行に「desire」と在ります。今後は、証明QED の行に、
「desire」は果たされた！と記そう．．．。

　Bertini の定理で、文献を辿り、更に「慄 く」事態に陥りました。

　Bertini の定理なる文脈中で、「dual variety」を定義して、最初の答え付きの参考図の青
囲みは容易過ぎて、二重接線や変曲点（曲率に関わる）が殆どなにも為さず判明するが、

  (1)　 直に、多様な発想で求めたり

  (2)　敢えて、dual varietyを多様な発想で求め、其の特異点達から其れ等を求める

のも愉しいので、具現をなさって下さい。

　Bertini の定理なる文脈中で、dual variety の例がもう一つ在り（再掲）、どちらも導出過
程は記されていません。

（参考）　茨城大学　卜部教授のＨＰ
　　　　（この双対曲面達も明示してほしかった....。そして、その特異点をも）


　卜部東介氏（平成23年5月2日、山岳事故のため逝去。享年57歳。専門は代数幾何学）が
著書で曰く。（平成２３年１１月６日付け）

　例えば、円 {(ｘ，ｙ)∈C²|ｘ²+ｙ²-1=0} （すなわち、C[ｘ，ｙ]/(ｘ²+ｙ²-1)C[ｘ，ｙ]）において、ｘ
はＧａｕｓｓ平面上を動き、ｙが別のＧａｕｓｓ平面上を動き、関係　ｘ²+ｙ²-1=0　を満たす。

　円に載ってる具体例を、次に倣い、10個明示して下さい。

　　(-1- I/(2)， 1/2 - I/)　、(-1353/1105 - 96I/1105，164/1105 - 792I/1105)

　「可換体論」（3.10　代数多様体 　110p の５行の注意）で、永田雅宜氏曰く。

　「数理科学　曲面の神秘」の飯高先生のn=1、2、3、....　曲線...　複素多様体の6pで曰く。

　ｚ²+ｗ²=1 (無論、ｚ=ｘ+ｙ・I、ｗ=ｕ+ｖ・Iで)をR⁴で考察し、イデアル

　　{u² - v² + ｘ² - ｙ² - 1， 2ｕｖ + 2ｘｙ} の共通ZERO点

{-ｙ⁴ + u²y² - v²y² - y² + u²v²， y³ - u²y + v²y + y + uvｘ， uv + ｘｙ，u² - v² + x² - y² - 1}
の 共通ZERO点でもある（ことの証明を！）

　z、wで感じが出るが.....　ｚの有理式を係数とするwのn次多項式

　　　　P(z，w)=wⁿ+a₁(z)・w^n-1+・・・+a_n(z)∈C(z)[w]

を正直に記し、P(ｘ+ｙI，u+vI)=0　を満たす函数要素はn個存在するとなると、暗部に突き落
とされるのは私だけでしょうか？（→　「Algebraic function」）

　ここも、p(ｘ，ｙ)=0 でなく、飯高先生方式に赤裸々に、p(z，w)=0　、p(ｘ+ｙI，u+vI)=0 と記し
て欲しい。

　例えば、例の易しく見える　y-(ｘ⁴-ｘ²)=0 も飯高先生方式に赤裸々に、w-(z⁴-z²)=0 と
記し、イデアル{-ｘ⁴ + 6ｙ²ｘ² + ｘ² - ｙ⁴ - ｙ² + u， -4ｙｘ³ + 4ｙ³ｘ + 2ｙｘ + ｖ}の共通ZERO点と
記すべきでした。

　代数曲線　f(ｘ，ｙ)=0 をC²で考察する際、正直に、 f(z，w)=0 　f(ｘ+ｙI，u+vI)=0 と記し、実
部と虚部に分けるのを恒に所望でしょうか？

　Lars AhlforsDied （ October 1996(1996-10-11) (aged 89)）も著書291p以降で、P(w，z)=0
と記して議論。あゝ、難しい．．．。

「数理科学　曲面の神秘」の飯高先生の n=1、2、3、・・・　曲線、複素多様体の6pで曰く。

　ｚ²+ｗ²=1　 (無論、ｚ=ｘ+ｙI，w=u+vI　で)、R⁴で考察し、イデアル

　　　{u² - v² + ｘ² - ｙ² - 1， 2ｕｖ + 2ｘｙ} の共通ZERO点（以上再掲）

の演習がないかと彷徨し、模範解答を辿るのが辛い、例に先ほど遭遇しました。

　 real part=0　、 imaginary part=0　より、

ｘ⁴- 6ｙ²ｘ² - ｘ² + 12ｙｘ + ｙ⁴ + ｙ² = 0、 4ｙｘ³ - 6ｘ² - 4ｙ³ｘ - 2ｙｘ + 6ｙ² + 6 = 0　の

(1) 各４次曲線の双対曲線を、多様な発想で求めて下さい。（何次と想定なさいますか？)

　青囲みの例は、高校生も為す例で、双対曲線も４次で（容易？で) ありました。

　「デカルトの精神と代数幾何」の37p-39pに（特異点に着眼しての驚愕の）分類表が在りま
す。（どのくらい分類表の作成に年月を要したのかは記されていない。購読者で、一つ一つ
確認作業を為された方が世界に存在するであろうか？)

　訃報を聞いて； （上の確認作業を死ぬまでしても 私では終わらないと....)

　ウラジーミル・アーノルド(Vladimir I. Arnold)氏が去る6月3日逝去された。享年72歳。
等、数学者は長寿の方が多いような気がしますが、もっと生きながらえて噛み砕いだ理論の
著作を残してほしかった。

(2) 今回のreal part=0、 imaginary part=0　はどのタイプですか？

　６次や７次曲線の分類は、まだなされていないと、39pに。

　今回のreal part=0、 imaginary part=0　双対曲線の次数は其れ以上です。各双対曲線の
特異点も求めて下さい。もとのは低次なので、

　　4ｙｘ³ - 6ｘ² - 4ｙ³ｘ - 2ｙｘ + 6ｙ² + 6 = 0

を 「Wolfram|Alpha」で図示して視ると、

(3) 二重接線や変曲点はありそうな気配、故、双対曲線の特異点を求め精査するか、直に
　曲率等求めて確認するとか遊んで　下さい。

(4) 無論、途中で得られた有理写像： C_j---Φ--->C_j^* (ｊ=1、2) も提示なさって下さい。

(5) 双対曲線、双対曲面、..... を求める過程で、ゲットする非線型写像Φですが、双対化以
　外の他の場面で非線型写像に遭遇し研究された経験が御座いますか？

　大學の演習から、横道に逸れまくったことをお詫び致します。と同時に、横道に逸れる程、
學び甲斐が存在しましたので、作問＆模範解答記載者に謝辞を述べます。

(6) 横道に逸れる程、學び甲斐が存在について、同様な経験談達を 記載願います。

　「CHALLENGE　PROBLEMS」には高校生向けの問達が数多解答付きで提示されていま
すが、「dual variety」 から取組むと大學生も興味津々の問が在る筈。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１１月８日付け）

　2番の問（のみ解答が無いよう）は、正にそれで、代数曲線　C₁：y - (ｘ³ - 3ｘ + 4)=0 、
C₂： y - 3(ｘ² - ｘ)=0 について、dual variety達を求めて愉しみたい。

(1)　C₁、C₂ の双対曲線 C₁^*、,C₂^* を多様な発想で是非求めて下さい。そして、無論、有理
　　写像達も明記して、特異点の有無を計算により調査して下さい。

　C₁----Φ₁--->C₁^* 　、　　C₂----Φ₂--->C₂^*

C₁、C₂、C₁^*、C₂^*を同一R²に図示して、Φ₁、Φ₂ 絡みで鑑賞して下さい。

　此の双対曲線を求める英文の（２次曲線故の行列表示による）発想は、飯高先生の方針
の通りです。（先生が大変だと云われるし、n=2次曲線、曲面....にのみしか通用しません）

　今回は、C₂にのみ可能ですので、飯高先生の発想で、C₂^*を求めて下さい。

(2)　C₁^*∩C₂^*を求め、2番の問で要求されていることを全て行って下さい。

　上のdual varietyを求めて解く発想を、路上で邂逅する大學生に勧めて下さい。

(3)　2番の問は、高校生向けの問のようなので、高校生に倣い、解いてください。

　上の(1)(2)と比較して、感想を記載願います。

　高校生向けの問も敢えて、代数曲線　C₁：ｙ-ｘ²=0 、C₂： ｙ-ｘ³=0 について、dual variety達
を求めて愉しみたい。

(1)　C₁、C₂ の双対曲線 C₁^*、C₂^*を多様な発想で、是非求めて下さい。そして、無論、有理
　　写像達も明記して、特異点の有無を計算により調査して下さい。

　C₁----Φ₁--->C₁^* 　、　　C₂----Φ₂--->C₂^*

C₁、C₂、C₁^*、C₂^*を同一R²に図示して、Φ₁、Φ₂ 絡みで鑑賞して下さい。

　此の双対曲線を求める英文の（２次曲線故の行列表示による）発想は、飯高先生の方針
の通りです。（先生が大変だと云われるし、n=2次曲線、曲面....にのみしか通用しません）

　今回は、C₁にのみ可能ですので、飯高先生の発想で、C₁^*を求めて下さい。

(2)　C₁^*∩C₂^*を求め、2番の問で要求されていることを全て行って下さい。

　上の dual variety　を求めて解く発想を、路上で邂逅する大學生に勧めて下さい。

(3)　この問は、高校生向けの問のようなので、高校生に倣い、多様な発想で解き、上の(1)
　　(2)と比較して、感想を記載願います。

　この高校生向けの問か知らぬが、途方もなく倣いたくない解説に先ほど邂逅 しました。ち
らっと見て、計算の解説は聞きたくなく、即座に　数種の別解を作らずにはいられず為しまし
た。その中でもっともお願いし、聞いていただいて、大學生も損はない！

　「dual variety」 による解法を、お願いします。dual variety から取組むと、大學生も興味津
々で、必ず為す筈。

　今回は、双方共n=2次の代数曲線　C₁：ｘ² + ｙ² - 8ｘ = 0 、 C₂： ｘ²/9 - ｙ²/4 - 1 = 0　に
ついて、dual variety達を求めて愉しみたい。

(1)　C₁、C₂ の双対曲線 C₁^*、C₂^* を多様な発想で是非求めて下さい。そして、無論、有理
　　写像達も明記して特異点の有無を計算により調査して下さい。

　C₁----Φ₁--->C₁^* 　、　　C₂----Φ₂--->C₂^*

C₁、C₂、C₁^*、C₂^*を同一R²に図示して、Φ₁、Φ₂ 絡みで鑑賞して下さい。

　此の双対曲線を求める英文の（２次曲線故の行列表示による）発想は、飯高先生の方針
の通りです。（先生が大変だと云われるし、n=2次曲線、曲面....にのみしか通用しません）

　今回は、なんと双方ともn=2次曲線なので、飯高先生の発想で、C₁^*、C₂^*を求めて下さい。
無論、飯高先生に倣い、先ず、双方とも射影化し、

(2)　C₁^*∩C₂^*を求め、音声入の解説の最後の結論が瞬時に、容易に、得られたことを確
　　認願います。

　上のdual varietyを求めて解く発想を、路上で邂逅する大學生に勧めて下さい。

(3)　この音声入の世界に発する解説は、高校生向けの問のようなので、高校生に倣い、多
　　様な発想で解き、上の(1)(2)と比較して感想を記載願います。

　「dual variety達を求めて愉しみたい」の目的は果たせた筈ですが、言わずもがなのことを
云わないではいられないので、云います。

　dual varietyなる双対を定義された古の數學者は、このような入試問題を瞬時に解く為に
dual varietyなる永久に不滅な概念を後世に残されたのとは違う！入試問題を作成なさる
先生方は、音声入の解説のような誘導問題にしほくそ笑むことは、もう金輪際為さらず、
dual varietyそのものに入學後も、大學卒業認証されてしまった後も捨てがたい、永久に不
滅の概念への誘導問題化に叡智を傾け、死ぬまで苦闘すべく、設問にお使い下さい。

　軽い問題は、次の双方に接する問です。

　「dual variety」 から取組むと、大學生も興味津々で必ず、2球面についても考察せずには
いられない早稲田の易しい問に遭遇しました。双対化して、解いて下さい。

　今回は 双方共n=2次の代数曲線

　　　C₁： (ｘ - 5)² + y² - 5²=0　、C₂：(ｘ + 4)² + y² - 4²=0

について、dual variety達を求めて愉しみたい。

(1)　C₁、C₂ の双対曲線 C₁^*、C₂^* を多様な発想で是非求めて下さい。そして、無論、有理
　　写像達も明記して特異点の有無を計算により調査して下さい。

　C₁----Φ₁--->C₁^* 　、　　C₂----Φ₂--->C₂^*

C₁、C₂、C₁^*、C₂^*を同一R²に図示して、Φ₁、Φ₂ 絡みで鑑賞して下さい。

　此の双対曲線を求める英文の（２次曲線故の行列表示による）発想は、飯高先生の方針
の通りです。（先生が大変だと云われるし、n=2次曲線、曲面....にのみしか通用しません）

　今回はなんと双方ともn=2次曲線なので、飯高先生の発想で、C₁^*、C₂^*を求めて下さい。
無論、飯高先生に倣い、先ず、双方とも射影化し、

(2) C₁^*∩C₂^*を求め、 4本在る内の２本が瞬時に得られることを確認願います。

　さて、あとの２本ですが、C₁^* の射影化した曲線が　50X² - 25Y² + 10XZ + Z²=0 とな
る筈で、C₂^*を自ら射影化し、その２本が得られることを示して下さい。

　早稲田の２円の位置をかえる。　　(ｘ - 8)² + ｙ² - 5²=0　、 (ｘ + 4)² + ｙ² - 4²=0

としたときは、C₁^*∩C₂^*から瞬時に４本全てが求められることを確認願います。

　上のdual varietyを求めて解く発想を、路上で邂逅する大學生に勧めて下さい。

(3)　この解説は、高校生向けのようなので、眺めて（二つの楕円にかえたら如何するかも考
　　え）、上の(1)(2)と比較して、感想を記載願います。


　「dual variety」 から取組むと、大學生も興味津々で必ず２球面についても考察せずには
いられない早稲田の易しい問に遭遇しました。

　この共通接線の４本を双対化して求めて下さいとお願いした。早稲田の２円を２楕円に代
え、今回は、双方共n=2次の代数曲線C₁：赤太、C₂：赤細について、dual variety達を求め
て愉しみたい。

(1)　C₁、C₂ の図示した双対曲線C₁^*、C₂^*を多様な発想で是非求めて下さい。そして、無
　　論、有理写像達も明記して下さい。

　C₁----Φ₁--->C₁^* 　、　　C₂----Φ₂--->C₂^*

C₁、C₂、C₁^*、C₂^*を同一R²に図示して、Φ₁、Φ₂ 絡みで鑑賞して下さい。

　此の双対曲線を求める英文の（２次曲線故の行列表示による）発想は、飯高先生の方針
の通りです。（先生が大変だと云われるし、n=2次曲線、曲面....にのみしか通用しません）

　今回はなんと双方ともn=2次曲線なので、飯高先生の発想で、C₁^*、C₂^*を求めて下さい。
無論、飯高先生に倣い、先ず、双方とも射影化し、

(2)　C₁^*∩C₂^*= 双曲線と楕円の交点を求め、共通接線の４本を得たいでしょう。
　　（早稲田の問題なら　瞬時に得られた）

が、今回の双対曲線達は青線の２次曲線、双曲線と楕円ですが如何？

　C₁^*∩C₂^*から ｙ を消去して得られる４次方程式を観察願います。
図示した草色の共通接線：A_jｘ+B_jｙ+1=0 　(j=1、2、3、4) を近似でなく正確に求めることが可
能な人が世の中に存在しますか？

　２次曲線、曲面、...　の双対ばかりがと、もう辟易との声が存在しそうなので、お詫び。
（→　掲示板、参考）

　前の方の解答者は、双対曲線を求めて、導出などおくびにも出さないで隠匿し、教育的配
慮をし、答えのみ。「I get y = 2x +5　、 tangent at (1,7) and (4,13) と。」

　２次ではない４次の代数曲線 K[ｘ，ｙ]/<ｙ-( ｘ⁴ - 10ｘ³ + 33ｘ² - 38ｘ + 21)> の双対曲線を、
或る発想で私が求めたら、

　K[ｘ，ｙ]/<27ｘ⁴ - 2164ｙｘ³ - 39576ｙ²ｘ² - 4152ｙｘ² -211872ｙ³ｘ - 42288ｙ²ｘ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　- 1920ｙｘ - 347584ｙ⁴ -100128ｙ³ - 8976ｙ² - 256ｙ >

となり、次数が珍しく上がらなかった。（誤りが在れば修正願います）

　飯高先生　___年前に「デカルトの精神と代数幾何」　19p に　曰く、

「K[X，Y]/<(Y-(X⁴-X²)>の時、双対曲線を求めることが既に難しい」
（当時のことですから、無論、激しく手計算で求めようと苦闘後の無念の正直な記述に違い
ない。或る発想でなら、手計算で困難でもないことを知る筈。具現して下さい。）

　例えば、{x → 2/5， y → -(1/5)}から、（Best Answer - Chosen by Voters　 get y = 2x +5）
が得られることを確認し、安堵し、他の上に明記した特異点達が尖点であることを証明し、
其れ等がもとの容易な ｙ=ｘ⁴ - 10ｘ³ + 33ｘ² - 38ｘ + 21 の変曲点に於ける接線であること
を、自明でも曲率の考察を尽くして堪能し感想を記述願います。

　無論、Kは複素數體も許容するので特異点達はまだ数多在ります。求めて考察願います。
参考（コメントは承認が完了すると表示されます）についても、双対曲線を求め、上のような
考察達を是非なさって記述願います。

（→話題２へ続く）