不等式の評価                               戻る

 「99101 と 10199 の大小を比べよ。」などという問題は昔からある有名問題である。
(→ 参考:「微積分の小技」)

 問題を公式化すれば、

 e<x<y である2つの正の数 x 、y に対して、x1/x>y1/y が成り立つ。

とでもなろうか...。(ただし、e は、Napier の数(自然対数の底)である。)

 これは、関数 y=(log x)/x が、x>e において単調に減少することから明らかである。

   

 FNさんからのコメントです。(平成23年12月19日付け)

  この曲線に関連して、 x=y を満たす x、y を求めることを考えます。

(1) 自然数 x、y (x<y)で、x=y を満たすものすべてを求めよ。

(2) 正の有理数 x、y (x<y)で、x=y を満たすものすべてを求めよ。


 (1)はあまり難しくないです。(2)は難しいです。すべてと書いてるからといって有限個とは
限りません。

(コメント) (1)を考えてみた。

  0<x<e なので、 x=1、2 の場合を考えればよい。

  x=1 のとき、 1=y1 を満たす y (1<y)は存在しない。

  x=2 のとき、 2=y2 より、2<y を満たす y は、y=4 のみである。


 (2)について、らすかるさんが考察されました。(平成23年12月19日付け)

 y=(1+1/t)x とおくと、 x(1+1/t)x={(1+1/t)x} より、x・xx/t=x・(1+1/t)

 すなわち、 xx/t=(1+1/t) より、 x1/t=1+1/t なので、 x=(1+1/t)

 t は有理数なので、 t=n/m (m、nは互いに素)とおくと、

  x=(1+m/n)n/m={(m+n)/n}n/m

 m+n と n は互いに素なので、x が有理数となるためには、

   m+n=r 、n=s (r、s は自然数)

 よって、 m=r−s=(r−s)Σ[k=0〜m-1](r・sm-1-k

 r>s>0 なので、r>1 で、よって、m>1とすると、(右辺)>m となり矛盾するので、m=1

 従って、 x=(1+1/n) 、y=(1+1/n)n+1

 具体的に値を求めると、n=1、2、3、・・・ について、

  (x,y)=(2,4)、(9/4,27/8)、(64/27,256/81)、(625/256,3125/1024)、 …

と無数にある。


 FNさんからのコメントです。(平成23年12月20日付け)

 らすかるさんの解答は、鮮やかですね。私はかなり前にこの問題に出会ってちょっと考え
たけど、わからず答えを見ても長くてめんどくさそうで、また考えようとそのままにしていまし
た。 y=(1+1/t)x とおくのがキーのようですね。 y=(1+t)x でもいいけど、y=tx では駄目で、
y=(1+○)x の形で書くことが重要なようです。後はなんとかなりそうです。


 FNさんからのコメントです。(平成23年12月21日付け)

 (1)について、管理人さんが書かれているように、この(不等式の評価の)ページに書いて
あることを使って証明するのが一番簡単だと思います。このページに書いてあることを既知
としない形で証明を書きます。

(証明) x=y より、y・log x=x・log y なので、 (log x)/x=(log y)/y

 ここで、f(x)=(log x)/x (x>0) とおく。

 このとき、 f’(x)=(1−log x)/x2 より、f(x)は、0<x<e で単調増加、e<x で単調減少

 このことから、x<y で x=y 即ち、f(x)=f(y) となるためには、0<x<e<y でなければ

 ならない。従って、x=1 または 2 である。

  x=1 のとき、1=y 、x<y だから、解なし。

  x=2 のとき、 2=y2 なので、y=2 (mは自然数)とおける。

 22=(22=22m より、 2=2m

 m≧3 のとき、 2>2m (きちんと証明するには数学的帰納法が必要?)

 なので、 m=1、2

  m=1 のとき、 y=2  よって、 (x,y)=(2,2)

  これは、x<y に反する。

  m=2 のとき、 y=4  よって、 (x,y)=(2,4) で、これは条件に適する。


 さて、(1)は純然と整数の問題です。だから、指数・対数関数や微分を使わないで証明で
きないかと考えるのは自然です。らすかるさんの解を整数に限定すれば、解析的ではない
証明になりますが、分数指数も使わないことにします。整数だけの世界で、(1)を解くことは
できないでしょうか。素因数分解の一意性ぐらいで解けないかと思うのですが...。


 らすかるさんからのコメントです。(平成23年12月21日付け)

 素因数分解とか使わないので、期待されている解き方ではないと思いますが、とりあえず
整数だけでの解答です。

 x=1 のとき、解がないから、x≧2

 x=y の両辺を x で割ると、 xy-x=(y/x) だから、y は x で割り切れる。

 y=tx (t≧2)とおくと、 xtx=(tx) より、 x=tx なので、 xt-1=t

  t=3 のとき、 (左辺)≧4 から、 xt-1>t であり、

  xt-1>t が成り立てば、 x>xt-1・x>tx>t+1 なので、数学的帰納法により

  t≧3 ならば、 xt-1>t

   よって、 xt-1=t が成り立つならば、t=2 で、xt-1=t から x=2、y=tx=4


 FNさんからのコメントです。(平成23年12月21日付け)

 素因数分解ぐらいは必要かと思ったのですが、全然不要ですね。「yはxで割り切れる」が
出て、あとはほとんど不等式だけの感じです。一般には、左辺が右辺より相当大きくて勝負
にならないということでしょうか。多分最善の解でしょう。(2)も多分そうだから、(1)(2)は完
全解決のようです。


 さて、本題に入ろう。上記の公式を知っていれば、「89と98で、どっちが大きい?」と問わ
れても、即座に自信を持って、「89>98 で、89 の方が大きい」と答えられる。

 実際に、 81/8>91/9 から、89>98 は明らかだろう。

 もっとも、上記の関数の存在を知らなくても、

   89=227=(2102・27>(1032・128>106・102=108>98

と示せばよい。

 ところで、Excel さんに手伝ってもらい、89=134217728 、98=43046721 である。

すなわち、 89÷98=134217728÷43046721=3.11795474503157・・・・・ である。

 このことから、一見それほど違わないと思われる2つの数 89と98 は、実は、89 の方が
8 よりも3倍以上大きいことが分かる。

 そこで、問題である。

  9>3・98 であることを手計算で示すことは可能だろうか?

 上記の不等式より評価が甘い次の不等式

  9>2・98

を手計算で示すことは容易である。

(証明) 89=227=2・226 において、 28=256>243=35 から、 224>315

  よって、 226=4・224>4・315>316=98 より、 89>2・98  (証終)

  9>3・98

は、読者のための練習問題としよう。


 FNさんからのコメントです。(平成23年12月19日付け)

  9>3・98 であることを手計算で示すことは可能だろうか?

について、可能です。真面目に計算するのが一番早い。

 左辺は、227で、右辺は、317

 210=1024、27=128 だから、1024×1024×128 を計算する。

 34=81 だから、 38=81×81=6561 なので、6561×6561×3 を計算する。

 5分もあればできます。しかし、これでは面白くない。

 (1+1/n) は自然数 n の増加関数で、その極限が e であることは既知とする。

  89>3・98 の両辺を、89 で割って、3をかけて、

   3>(9/8)9 即ち、 (1+1/8)9<3

 (1+1/8)9=(1+1/8)8・9/8 において、(1+1/8)8<e としたのでは評価が甘く証明

できない。 (1+1/8)8<(1+1/10)10 とすればできる。

 (1+1/10)10=1+101(1/10)+102(1/10)2+・・・ において、初項は1、第2項も1、

第3項は0.45、第3項は0.12、第4項は0.021、第5項は0.00252、第6項以下は

0.00*** だから、 (1+1/10)10<2.6

 よって、 (1+1/8)9=(1+1/8)8・9/8<(1+1/10)10・9/8<2.6×(9/8)<3

(とても5分や10分ではできません!)

 227>317 は、対数で書けば、 27log102>17log103 です。

 log102やlog103を評価する不等式で比較的容易に出て精度もいいのは、1024>1000

からでる log102>0.3 や、これと、81>80 からでる

   log103>(3log102+1)/4>1.9/4=0.475

です。逆向きの不等式で精度のいいのはなさそうです。

 9<10 からでる log103<0.5 が役に立つことはあまり期待できません。

 27log102>17log103 を示す最善の方法は、多分直接計算で、227>317 を示すことで
しょう。つまらない結論ですが普通はそんなものでしょう。大学入試とかで普通に計算するよ
り良い方法があったりするのは、そのように問題が作ってあるからです。

(コメント) この問題は、一松 信 先生から伺ったもので、何か上手い手がありそうな雰囲
      気です。


 89>3・98 の証明を考えてみた。

 89=227 で、 98=316 より、 3・98=317

 ここで、 210=1024 より、 5・210=5120

 また、 36=729 より、 7・36=5103 なので、 5・210>7・36

すなわち、 10・29>7・36 の両辺を3乗して、 1000・227>343・318=1029・317

 このとき、 227>1.029・317>317 より、 89>3・98

(コメント) 上記のように証明らしく書いてはみたものの、FNさんの直接計算と五十歩百歩
      だな〜というのが正直な感想!一松先生を唸らせるようなもっとエレガントな解答
      はないのだろうか?


 FNさんが、89>3・98 の証明を考えられました。(平成23年12月21日付け)

 89>3・98 が証明しにくいということは、2つの値が近いということです。2の累乗と3の累
乗で値が近いものを調べてみました。2の50乗以下としました。比の値が1に近いという基
準でさがしてみました。

 比の値が一番1に近いのは、312と219で、312/219=1.013・・・

 2番目は、この問題の 227と317で、227/317=1.039・・・

 312と219の方が、より近い値ですが、直接計算ですぐできてしまいます。ということで、227
と317あたりが問題として妥当ということでしょう。

 もっと小さいところで、比の値が比較的1に近いのを調べてみました。

 28=256と35=243 なら手計算で見つけられます。28/35=1.053・・・

 上の2つほどではないけど、そこそこ1に近いです。

  28>35 より、 8>5log23 なので、 log23<8/5

 証明すべきことは、227>317 即ち、 27>17log23 から、 log23<27/17

もちろん、これの方がいい式だから、log23<8/5 から出ることはありません。

 しかし、ヒントにはなります。256>243 は情報量を落とし過ぎです。256>243+12
ぐらいのぎりぎりにする必要があるでしょう。

 28=256>243+12=35+12 の両辺を3乗して

 224>(35+12)3>315+3・310・12=315+4・312

 両辺に、23=8 をかけて、

 227>8・315+32・312>8・315+315>317

  よって、 227>317 すなわち、 89>3・98

 これで、証明はできました。(1+1/10)10 を計算したのよりはましでしょう。単純計算よりい
いとは言えませんが。


 らすかるさんからのコメントです。(平成23年12月22日付け)

 単純計算より早い方法を考えてみました。

 29=512 、35=243 から、 29>2.1・35

 両辺を3乗して、 227>9.261・315>317

(コメント) なるほど〜。「29>2.1・35」とする方法が斬新で、気がつきませんでした。


 FNさんからのコメントです。(平成23年12月22日付け)

 227を作るのだから、28より 29の方がいいですね。

 28/35>1.05 だから、29/35>2.1

 だから、 2.13>9 を示せば終わりということですね。


 空舟さんが、2 と 3 が近くなる時について考察されました。(平成24年2月12日付け)

 上記のFNさんの考察:

 9>3・98 が証明しにくいということは、2つの値が近いということです。2の累乗と3の累
乗で値が近いものを調べてみました。2の50乗以下としました。比の値が1に近いという基
準でさがしてみました。

 比の値が一番1に近いのは、312と219で、312/219=1.013・・・
 2番目は、この問題の 227と317で、227/317=1.039・・・
 もっと小さいところで、比の値が比較的1に近いのを調べてみました。
 28=256と35=243 なら手計算で見つけられます。28/35=1.053・・・
 上の2つほどではないけど、そこそこ1に近いです。


 無理数の分数近似といえば連分数近似です。

  log102/log103=0.63092...=[0; 1,1,1,2,2,3,...]

 これを使えば、2 = 3 となる b/a を、次のように得られる。

  1/1+1/1+1/1 = 2/3 = 0.666...

  1/1+1/1+1/1+1 = 3/5 = 0.6

  1/1+1/1+1/1+1/2 = 5/8 = 0.625

  1/1+1/1+1/1+1/2+1 = 7/11 = 0.6363...

  1/1+1/1+1/1+1/2+1/2 = 12/19 = 0.6415...

  1/1+1/1+1/1+1/2+1/2+1 = 17/27 = 0.6296...

  1/1+1/1+1/1+1/2+1/2+1/3 = 41/65 = 0.6307...

  1/1+1/1+1/1+1/2+1/2+1/3+1 = 53/84 = 0.63095...

(分数の横線は右端まで伸びていると思ってください)

 ここで、実は、217 ≒ 312 は身近な所にあります。

  完全5度12個 = 7オクターブ です! [(3/2)12 ≒ 27]

  短三度4個 = 1オクターブ 、 長三度3個 = 1オクターブ はそれぞれ

  (6/5)4=1296/625≒2 、 (5/4)3=125/64≒2

に現れています。美しいです。これが西洋音楽で、1オクターブを12に分けしめた元かもしれ
ません。(上より12以外の候補になるのは、7、17、41など素数ばかりで具合が悪そうです。)

 7[211≒37]は、1オクターブを7つの白鍵に分けている所に使われていますね。別の表現
をすると、完全5度(1.5)を半音でみると、27/12 と捉えており、白鍵の個数(音階の元)で見る
と、24/7 と捉えている、ということになります。本当に驚きの気づきでした。



  以下、工事中