「９９101 と １０１99 の大小を比べよ。」などという問題は昔からある有名問題である。
（→ 参考：「微積分の小技」）
問題を公式化すれば、
ｅ＜ｘ＜ｙ である２つの正の数 ｘ 、ｙ に対して、ｘ1/ｘ＞ｙ1/ｙ が成り立つ。
とでもなろうか．．．。（ただし、ｅ は、Ｎａｐｉｅｒ の数（自然対数の底）である。）
これは、関数 ｙ＝（ｌｏｇ ｘ）/ｘ が、ｘ＞e において単調に減少することから明らかである。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月１９日付け）
この曲線に関連して、 ｘｙ＝ｙｘ を満たす ｘ、ｙ を求めることを考えます。
（１） 自然数 ｘ、ｙ (ｘ＜ｙ)で、ｘｙ＝ｙｘ を満たすものすべてを求めよ。
（２） 正の有理数 ｘ、ｙ (ｘ＜ｙ)で、ｘｙ＝ｙｘ を満たすものすべてを求めよ。
（１）はあまり難しくないです。（２）は難しいです。すべてと書いてるからといって有限個とは
限りません。
（コメント） （１）を考えてみた。
０＜ｘ＜ｅ なので、 ｘ＝１、２ の場合を考えればよい。
ｘ＝１ のとき、 １ｙ＝ｙ1 を満たす ｙ (１＜ｙ)は存在しない。
ｘ＝２ のとき、 ２ｙ＝ｙ2 より、２＜ｙ を満たす ｙ は、ｙ＝４ のみである。
（２）について、らすかるさんが考察されました。（平成２３年１２月１９日付け）
ｙ＝(１＋１/ｔ)ｘ とおくと、 ｘ(１＋１/ｔ)ｘ＝｛(１＋１/ｔ)ｘ｝ｘ より、ｘｘ・ｘｘ/ｔ＝ｘｘ・(１＋１/ｔ)ｘ
すなわち、 ｘｘ/ｔ＝(１＋１/ｔ)ｘ より、 ｘ1/ｔ＝１＋１/ｔ なので、 ｘ＝(１＋１/ｔ)ｔ
ｔ は有理数なので、 ｔ＝ｎ/ｍ （ｍ、ｎは互いに素）とおくと、
ｘ＝(１＋ｍ/ｎ)ｎ/ｍ＝｛（ｍ＋ｎ）/ｎ｝ｎ/ｍ
ｍ＋ｎ と ｎ は互いに素なので、ｘ が有理数となるためには、
ｍ＋ｎ＝ｒｍ 、ｎ＝ｓｍ （ｒ、ｓ は自然数）
よって、 ｍ＝ｒｍ−ｓｍ＝（ｒ−ｓ）Σ[k=0〜m-1]（ｒｋ・ｓｍ-1-ｋ）
ｒ＞ｓ＞0 なので、ｒ＞1 で、よって、m＞1とすると、(右辺)＞ｍ となり矛盾するので、ｍ＝１
従って、 ｘ＝(１＋１/ｎ)ｎ 、ｙ＝(１＋１/ｎ)ｎ+1
具体的に値を求めると、ｎ＝１、２、３、・・・ について、
(ｘ，ｙ)＝(2，4)、(9/4，27/8)、(64/27，256/81)、(625/256，3125/1024)、 …
と無数にある。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２０日付け）
らすかるさんの解答は、鮮やかですね。私はかなり前にこの問題に出会ってちょっと考え
たけど、わからず答えを見ても長くてめんどくさそうで、また考えようとそのままにしていまし
た。 ｙ=(1+1/ｔ)ｘ とおくのがキーのようですね。 ｙ=(1+ｔ)ｘ でもいいけど、ｙ=ｔｘ では駄目で、
ｙ=(1+○)ｘ の形で書くことが重要なようです。後はなんとかなりそうです。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２１日付け）
（１）について、管理人さんが書かれているように、この(不等式の評価の)ページに書いて
あることを使って証明するのが一番簡単だと思います。このページに書いてあることを既知
としない形で証明を書きます。
（証明） ｘｙ＝ｙｘ より、ｙ・ｌｏｇ ｘ＝ｘ・ｌｏｇ ｙ なので、 (ｌｏｇ ｘ)/ｘ＝(ｌｏｇ ｙ)/ｙ
ここで、f(ｘ)＝(ｌｏｇ ｘ)/ｘ （ｘ＞０） とおく。
このとき、 f’(ｘ)＝（１−ｌｏｇ ｘ）/ｘ2 より、f(ｘ)は、0＜ｘ＜ｅ で単調増加、ｅ＜ｘ で単調減少
このことから、ｘ＜ｙ で ｘｙ＝ｙｘ 即ち、f(ｘ)＝f(ｙ) となるためには、０＜ｘ＜ｅ＜ｙ でなければ
ならない。従って、ｘ＝１ または ２ である。
ｘ＝１ のとき、１＝ｙ 、ｘ＜ｙ だから、解なし。
ｘ＝２ のとき、 ２ｙ＝ｙ2 なので、ｙ＝２ｍ （ｍは自然数）とおける。
２2ｍ＝(２ｍ）2＝２2ｍ より、 ２ｍ＝２ｍ
ｍ≧３ のとき、 ２ｍ＞２ｍ (きちんと証明するには数学的帰納法が必要？)
なので、 ｍ＝１、２
ｍ＝１ のとき、 ｙ＝２ よって、 (ｘ，ｙ)＝(２，２)
これは、ｘ＜ｙ に反する。
ｍ＝２ のとき、 ｙ＝４ よって、 (ｘ，ｙ)＝(２，４) で、これは条件に適する。
さて、（１）は純然と整数の問題です。だから、指数・対数関数や微分を使わないで証明で
きないかと考えるのは自然です。らすかるさんの解を整数に限定すれば、解析的ではない
証明になりますが、分数指数も使わないことにします。整数だけの世界で、（１）を解くことは
できないでしょうか。素因数分解の一意性ぐらいで解けないかと思うのですが．．．。
らすかるさんからのコメントです。（平成２３年１２月２１日付け）
素因数分解とか使わないので、期待されている解き方ではないと思いますが、とりあえず
整数だけでの解答です。
ｘ＝１ のとき、解がないから、ｘ≧２
ｘｙ＝ｙｘ の両辺を ｘｘ で割ると、 ｘｙ-ｘ＝(ｙ/ｘ)ｘ だから、ｙ は ｘ で割り切れる。
ｙ＝ｔｘ （ｔ≧２）とおくと、 ｘｔｘ＝(ｔｘ)ｘ より、 ｘｔ＝ｔｘ なので、 ｘｔ-1＝ｔ
ｔ＝３ のとき、 (左辺)≧４ から、 ｘｔ-1＞ｔ であり、
ｘｔ-1＞ｔ が成り立てば、 ｘｔ＞ｘｔ-1・ｘ＞ｔｘ＞ｔ＋１ なので、数学的帰納法により
ｔ≧３ ならば、 ｘｔ-1＞ｔ
よって、 ｘｔ-1＝ｔ が成り立つならば、ｔ＝２ で、ｘｔ-1＝ｔ から ｘ＝２、ｙ＝ｔｘ＝４
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２１日付け）
素因数分解ぐらいは必要かと思ったのですが、全然不要ですね。「ｙはｘで割り切れる」が
出て、あとはほとんど不等式だけの感じです。一般には、左辺が右辺より相当大きくて勝負
にならないということでしょうか。多分最善の解でしょう。（２）も多分そうだから、（１）（２）は完
全解決のようです。
さて、本題に入ろう。上記の公式を知っていれば、「８9と９8で、どっちが大きい？」と問わ
れても、即座に自信を持って、「８9＞９8 で、８9 の方が大きい」と答えられる。
実際に、 ８1/8＞９1/9 から、８9＞９8 は明らかだろう。
もっとも、上記の関数の存在を知らなくても、
８9＝２27＝（２10）2・２7＞（１０3）2・１２８＞１０6・１０2＝１０8＞９8
と示せばよい。
ところで、Ｅｘｃｅｌ さんに手伝ってもらい、８9＝134217728 、９8＝43046721 である。
すなわち、 ８9÷９8＝134217728÷43046721＝3.11795474503157・・・・・ である。
このことから、一見それほど違わないと思われる２つの数 ８9と９8 は、実は、８9 の方が
９8 よりも３倍以上大きいことが分かる。
そこで、問題である。
８9＞３・９8 であることを手計算で示すことは可能だろうか？
上記の不等式より評価が甘い次の不等式
８9＞２・９8
を手計算で示すことは容易である。
（証明） ８9＝２27＝２・２26 において、 ２8＝２５６＞２４３＝３5 から、 ２24＞３15
よって、 ２26＝４・２24＞４・３15＞３16＝９8 より、 ８9＞２・９8 （証終）
８9＞３・９8
は、読者のための練習問題としよう。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月１９日付け）
８9＞３・９8 であることを手計算で示すことは可能だろうか？
について、可能です。真面目に計算するのが一番早い。
左辺は、２27で、右辺は、３17
２10＝１０２４、２7＝１２８ だから、１０２４×１０２４×１２８ を計算する。
３4＝８１ だから、 ３8＝８１×８１＝６５６１ なので、６５６１×６５６１×３ を計算する。
５分もあればできます。しかし、これでは面白くない。
(１＋１/ｎ)ｎ は自然数 ｎ の増加関数で、その極限が e であることは既知とする。
８9＞３・９8 の両辺を、８9 で割って、３をかけて、
３＞(９/８)9 即ち、 (１＋１/８)9＜３
(１＋１/８)9＝(１＋１/８)8・９/８ において、(１＋１/８)8＜ｅ としたのでは評価が甘く証明
できない。 (１＋１/８)8＜(１＋１/１０)10 とすればできる。
(１＋１/１０)10＝１＋10Ｃ1(１/１０)＋10Ｃ2(１/１０)2＋・・・ において、初項は１、第２項も１、
第３項は０．４５、第３項は０．１２、第４項は０．０２１、第５項は０．００２５２、第６項以下は
０．００*** だから、 (１＋１/１０)10＜２．６
よって、 (１＋１/８)9＝(１＋１/８)8・９/８＜(１＋１/１０)10・９/８＜２．６×（９/８）＜３
（とても５分や１０分ではできません！）
２27＞３17 は、対数で書けば、 ２７ｌｏｇ10２＞１７ｌｏｇ10３ です。
ｌｏｇ10２やｌｏｇ10３を評価する不等式で比較的容易に出て精度もいいのは、１０２４＞１０００
からでる ｌｏｇ10２＞０．３ や、これと、８１＞８０ からでる
ｌｏｇ10３＞(３ｌｏｇ10２＋１)/４＞１．９/４＝０．４７５
です。逆向きの不等式で精度のいいのはなさそうです。
９＜１０ からでる ｌｏｇ10３＜０．５ が役に立つことはあまり期待できません。
２７ｌｏｇ10２＞１７ｌｏｇ10３ を示す最善の方法は、多分直接計算で、２27＞３17 を示すことで
しょう。つまらない結論ですが普通はそんなものでしょう。大学入試とかで普通に計算するよ
り良い方法があったりするのは、そのように問題が作ってあるからです。
（コメント） この問題は、一松 信 先生から伺ったもので、何か上手い手がありそうな雰囲
気です。
８9＞３・９8 の証明を考えてみた。
８9＝２27 で、 ９8＝３16 より、 ３・９8＝３17
ここで、 ２10＝１０２４ より、 ５・２10＝５１２０
また、 ３6＝７２９ より、 ７・３6＝５１０３ なので、 ５・２10＞７・３6
すなわち、 １０・２9＞７・３6 の両辺を３乗して、 １０００・２27＞３４３・３18＝１０２９・３17
このとき、 ２27＞１．０２９・３17＞３17 より、 ８9＞３・９8
（コメント） 上記のように証明らしく書いてはみたものの、ＦＮさんの直接計算と五十歩百歩
だな〜というのが正直な感想！一松先生を唸らせるようなもっとエレガントな解答
はないのだろうか？
ＦＮさんが、８9＞３・９8 の証明を考えられました。（平成２３年１２月２１日付け）
８9＞３・９8 が証明しにくいということは、２つの値が近いということです。２の累乗と３の累
乗で値が近いものを調べてみました。２の５０乗以下としました。比の値が１に近いという基
準でさがしてみました。
比の値が一番１に近いのは、３12と２19で、３12/２19＝１．０１３・・・
２番目は、この問題の ２27と３17で、２27/３17＝１．０３９・・・
３12と２19の方が、より近い値ですが、直接計算ですぐできてしまいます。ということで、２27
と３17あたりが問題として妥当ということでしょう。
もっと小さいところで、比の値が比較的１に近いのを調べてみました。
２8＝２５６と３5＝２４３ なら手計算で見つけられます。２8/３5＝１．０５３・・・
上の２つほどではないけど、そこそこ１に近いです。
２8＞３5 より、 ８＞５ｌｏｇ2３ なので、 ｌｏｇ2３＜８/５
証明すべきことは、２27＞３17 即ち、 ２７＞１７ｌｏｇ2３ から、 ｌｏｇ2３＜２７/１７
もちろん、これの方がいい式だから、ｌｏｇ2３＜８/５ から出ることはありません。
しかし、ヒントにはなります。２５６＞２４３ は情報量を落とし過ぎです。２５６＞２４３＋１２
ぐらいのぎりぎりにする必要があるでしょう。
２8＝２５６＞２４３＋１２＝３5＋１２ の両辺を３乗して
２24＞(３5＋１２)3＞３15+３・３10・１２＝３15+４・３12
両辺に、２3＝８ をかけて、
２27＞８・３15＋３２・３12＞８・３15＋３15＞３17
よって、 ２27＞３17 すなわち、 ８9＞３・９8
これで、証明はできました。(１＋1/10)10 を計算したのよりはましでしょう。単純計算よりい
いとは言えませんが。
らすかるさんからのコメントです。（平成２３年１２月２２日付け）
単純計算より早い方法を考えてみました。
２9＝５１２ 、３5＝２４３ から、 ２9＞２．１・３5
両辺を３乗して、 ２27＞９．２６１・３15＞３17
（コメント） なるほど〜。「２9＞２．１・３5」とする方法が斬新で、気がつきませんでした。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１２月２２日付け）
２27を作るのだから、２8より ２9の方がいいですね。
２8/３5＞１．０５ だから、２9/３5＞２．１
だから、 ２．１3＞９ を示せば終わりということですね。
空舟さんが、２ａ と ３ｂ が近くなる時について考察されました。（平成２４年２月１２日付け）
上記のFNさんの考察：
８9＞３・９8 が証明しにくいということは、２つの値が近いということです。２の累乗と３の累
乗で値が近いものを調べてみました。２の５０乗以下としました。比の値が１に近いという基
準でさがしてみました。
比の値が一番１に近いのは、３12と２19で、３12/２19＝１．０１３・・・
２番目は、この問題の ２27と３17で、２27/３17＝１．０３９・・・
もっと小さいところで、比の値が比較的１に近いのを調べてみました。
２8＝２５６と３5＝２４３ なら手計算で見つけられます。２8/３5＝１．０５３・・・
上の２つほどではないけど、そこそこ１に近いです。
無理数の分数近似といえば連分数近似です。
log10２/log10３＝0.63092...=[0； 1，1，1，2，2，3，...］
これを使えば、２ａ ＝ ３ｂ となる ｂ/ａ を、次のように得られる。
1/1+1/1+1/1 = 2/3 = 0.666...
1/1+1/1+1/1+1 = 3/5 = 0.6
1/1+1/1+1/1+1/2 = 5/8 = 0.625
1/1+1/1+1/1+1/2+1 = 7/11 = 0.6363...
1/1+1/1+1/1+1/2+1/2 = 12/19 = 0.6415...
1/1+1/1+1/1+1/2+1/2+1 = 17/27 = 0.6296...
1/1+1/1+1/1+1/2+1/2+1/3 = 41/65 = 0.6307...
1/1+1/1+1/1+1/2+1/2+1/3+1 = 53/84 = 0.63095...
（分数の横線は右端まで伸びていると思ってください）
ここで、実は、２17 ≒ ３12 は身近な所にあります。
完全5度12個 = 7オクターブ です！ [(3/2)12 ≒ ２7]
短三度4個 = 1オクターブ 、 長三度3個 = 1オクターブ はそれぞれ
(6/5)4=1296/625≒２ 、 (5/4)3=125/64≒２
に現れています。美しいです。これが西洋音楽で、1オクターブを12に分けしめた元かもしれ
ません。(上より12以外の候補になるのは、7、17、41など素数ばかりで具合が悪そうです。)
７[２11≒３7]は、１オクターブを7つの白鍵に分けている所に使われていますね。別の表現
をすると、完全5度(1.5)を半音でみると、２7/12 と捉えており、白鍵の個数(音階の元)で見る
と、２4/7 と捉えている、ということになります。本当に驚きの気づきでした。
以下、工事中