四面体の求積 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　１辺の長さが ａ の正四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、よく知られているように、

　　　　　　　　

で与えられる。

　一応、証明しておこう。

（証明）　底面の正三角形ＡＢＣの面積は、　（１/２）ａ²・（/２）＝（/４）ａ²

　△ＡＢＣの重心をＧとおくと、正四面体の高さは、ＯＧで与えられる。

　ここで、　ＡＧ＝（/２）ａ×（２/３）＝（/３）ａ　なので、三平方の定理より、

　　ＯＧ²＝ａ²−（１/３）ａ²＝（２/３）ａ²　なので、　ＯＧ＝（/３）ａ

　以上から、正四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、

　　Ｖ＝（/４）ａ²×（/３）ａ×（１/３）＝（/１２）ａ³　　（証終）


　今まで上記の証明で満足していたが、次のような別証があることを最近知ることが出来た。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和３年３月２８日付け）

（別証）　辺ＯＣの中点をＭとおくと、辺ＯＣ⊥平面ＭＡＢ　である。

　ＭＡ＝ＭＢ＝（/２）ａ　で、辺ＡＢの中点をＮとおくと、ＭＮ⊥ＡＢ　である。

　このとき、　ＭＮ²＝（３/４）ａ²−（１/４）ａ²＝（１/２）ａ²　より、　ＭＮ＝（/２）ａ

　以上から、正四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、

　　Ｖ＝ａ×（/２）ａ×（１/２）×（１/２）ａ×（１/３）×２＝（/１２）ａ³　　（証終）


　また、１次独立な３つのベクトル ＯＡ 、ＯＢ 、ＯＣ により、

　　　　　　　　Ｖ＝｜（ ＯＡ ，ＯＢ×ＯＣ ）/６ ｜

で与えられることも有名だろう。　（　，　）は内積であり、×は外積である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→　参考：「垂直を求める」）

　このページでは、一般の四面体について、いろいろな諸条件から、その体積を求める方
法について、まとめようと思う。

　　　　　　　　　　　　

（１）　四面体 ＯＡＢＣ の各頂点の座標が与えられる場合

　　　Ｏ（ ０ ， ０ ， ０ ） 、 Ａ（ ｘ₁ ， ｙ₁ ， ｚ₁ ） 、 Ｂ（ ｘ₂ ， ｙ₂ ， ｚ₂ ）、Ｃ（ ｘ₃ ， ｙ₃ ， ｚ₃ ）

　　を４頂点とする四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、

　　　　　　　　

　　で与えられる。

（証明）　ＯＡ＝（ ｘ₁ ， ｙ₁ ， ｚ₁ ）　、ＯＢ＝（ ｘ₂ ， ｙ₂ ， ｚ₂ ）　、ＯＣ＝（ ｘ₃ ， ｙ₃ ， ｚ₃ ）

　　　　において、　ＯＢ×ＯＣ＝（ ｙ₂ｚ₃−ｙ₃ｚ₂ ， ｚ₂ｘ₃−ｚ₃ｘ₂ ， ｘ₂ｙ₃−ｘ₃ｙ₂ ）　である。

　　　　　ところで、行列式
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　において、ＯＢ×ＯＣ の ｘ 座標 ｙ₂ｚ₃−ｙ₃ｚ₂ は、Ｄ の ｘ₁ に関する余因子

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　であり、ＯＢ×ＯＣ の ｙ 座標 ｚ₂ｘ₃−ｚ₃ｘ₂ は、Ｄ の ｙ₁ に関する余因子

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　であり、ＯＢ×ＯＣ の ｚ 座標 ｘ₂ｙ₃−ｘ₃ｙ₂ は、Ｄ の ｚ₁ に関する余因子

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　である。

　　　　　　従って、　（ ＯＡ ，ＯＢ×ＯＣ ）＝ｘ₁Ｘ₁ ＋ ｙ₁Ｙ₁ ＋ ｚ₁Ｚ₁＝Ｄ　である。

　　　　　このことから、与式が成り立つことは明らかだろう。　（証終）

（２）　四面体 ＯＡＢＣ の各辺の長さが与えられる場合

　　　ＯＡ ＝ ａ 、 ＯＢ ＝ ｂ 、 ＯＣ ＝ ｃ 、 ＡＢ ＝ ｐ 、 ＡＣ ＝ ｑ 、 ＢＣ ＝ ｒ　とする。

　　　このとき、四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、

　　　　　　　　

　　で与えられる。

（証明）　条件より、　ａ ＝｜ＯＡ｜ 、 ｂ ＝｜ＯＢ｜ 、 ｃ ＝｜ＯＣ｜　である。

　　　また、　ｐ²＝｜ＡＢ｜²＝｜ＯＢ｜²−２（ＯＡ ，ＯＢ）＋｜ＯＡ｜²　より、

　　　　　　　　　　（ＯＡ ，ＯＢ）＝（ａ²＋ｂ²−ｐ²）/２

　　　となる。同様にして、

　　　　（ＯＡ ，ＯＣ）＝（ａ²＋ｃ²−ｑ²）/２　　、（ＯＢ ，ＯＣ）＝（ｂ²＋ｃ²−ｒ²）/２

　　　　いま、　ＯＡ＝（ ｘ₁ ， ｙ₁ ， ｚ₁ ）　、ＯＢ＝（ ｘ₂ ， ｙ₂ ， ｚ₂ ）　、ＯＣ＝（ ｘ₃ ， ｙ₃ ， ｚ₃ ）

　　　とすると、

　　　　　　　　

　　　なので、

　　　　　　

　　　が成り立つ。　明らかに、左辺は、　−（６Ｖ）²＝−３６Ｖ²　に等しい。

　　　右辺は、
　　　　　　　　　　

　　　　となり、
　　　　　　　　　

　　　　から、与式の成り立つことは明らかだろう。　（証終）

（コメント）　正四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ を、この公式を用いて求めることは、あまり賢明な
　　　　　　方法とは言えない。実際に計算してみて大変だったもので．．．。

（３）　四面体 ＯＡＢＣ の各面の方程式が与えられる場合

　　　△ＯＡＢ、△ＯＢＣ、△ＯＣＡ、△ＡＢＣ　の各面の方程式を、

　　　　　　　　ａ₁ｘ＋ｂ₁ｙ＋ｃ₁ｚ＋ｄ₁＝０

　　　　　　　　ａ₂ｘ＋ｂ₂ｙ＋ｃ₂ｚ＋ｄ₂＝０

　　　　　　　　ａ₃ｘ＋ｂ₃ｙ＋ｃ₃ｚ＋ｄ₃＝０

　　　　　　　　ａ₄ｘ＋ｂ₄ｙ＋ｃ₄ｚ＋ｄ₄＝０

　　　とする。　行列式

　　　　　　　　　

　　　の、各 ｄ_ｋ （ｋ＝１，２，３，４）に関する余因子を、Ｄ_ｋ とおく。

　　　　このとき、四面体 ＯＡＢＣ の体積 Ｖ は、

　　　　　　　　　

　　　で与えられる。

（証明）　行列式 Ｄ の 各 ａ_ｋ 、ｂ_ｋ 、ｃ_ｋ （ｋ＝１，２，３，４）に関する余因子を、それぞれ

　　　　Ａ_ｋ 、Ｂ_ｋ 、Ｃ_ｋ　とおく。

　　　連立一次方程式におけるクラーメルの公式から、四面体 ＯＡＢＣ の４頂点の座標は、

　　　　　Ｏ（ Ａ₄/Ｄ₄ ， Ｂ₄/Ｄ₄ ， Ｃ₄/Ｄ₄ ） 、 Ａ（ Ａ₂/Ｄ₂ ， Ｂ₂/Ｄ₂ ， Ｃ₂/Ｄ₂ ） 、

　　　　　Ｂ（ Ａ₃/Ｄ₃ ， Ｂ₃/Ｄ₃ ， Ｃ₃/Ｄ₃ ） 、 Ｃ（ Ａ₁/Ｄ₁ ， Ｂ₁/Ｄ₁ ， Ｃ₁/Ｄ₁ ）

　　となる。　したがって、

　　　　　　　　

　　　ところで、
　　　　　　　　　　

　　　なので、与式の成り立つことは明らかだろう。　（証終）

（追記）　平成２０年９月１０日付け

　最近、次のような四面体の体積を求める機会があった。

　　体積が５の四面体ＡＢＣＤにおいて、辺ＡＢ

　の中点をＰ、辺ＡＣを ２ ： １ に内分する点を

　Ｑ、辺ＡＤを ３ ： １ に内分する点をＲとする。

　　△ＰＱＲの重心Ｇと頂点Ａを通る直線が底

　面ＢＣＤと交わる点をＳとする。

　　このとき、四面体ＰＱＲＳの体積を求めよ。




　この問題は空間把握に弱い現役の受験生にとって良問の部類に入る問題と言える。

　線分の比の計算には、ベクトルの概念（したがって、数学Ｂの範疇！）が用いられるが、
実際の体積の計算の本質的な部分は数学�Tの範疇である。

（解）　ＡＰ＝（1/2）ＡＢ　、ＡＱ＝（2/3）ＡＣ　、ＡＲ＝（3/4）ＡＤ　なので、

　　　ＡＧ＝（ＡＰ＋ＡＱ＋ＡＲ）/３＝（1/6）ＡＢ＋（2/9）ＡＣ＋（1/4）ＡＤ

　　ＡＳ＝ｋＡＧ＝ｋ｛（1/6）ＡＢ＋（2/9）ＡＣ＋（1/4）ＡＤ｝　において、

　　点Ｓは平面ＢＣＤ上の点であるので、

　　　　　　ｋ｛（1/6）＋（2/9）＋（1/4）｝＝１　　（←　参考 ： 「斜交座標系」）

　　すなわち、　（23/36）ｋ＝１　より、　ｋ＝36/23　となる。

　　よって、　ＡＧ ： ＧＳ ＝ ２３ ： １３　であることが分かる。

　また、　△ＡＱＲ ： △ＡＣＤ ＝ １ ： ２　であるので、

　　四面体ＡＰＱＲ ： 四面体ＡＢＣＤ ＝ ＡＰ×△ＡＱＲ ： ＡＢ×△ＡＣＤ ＝ １ ： ４

　よって、　四面体ＡＰＱＲの体積は、１　となる。

　また、　四面体ＡＰＱＲ ： 四面体ＳＰＱＲ ＝ ＡＧ ： ＡＳ ＝ ２３ ： １３　なので、

　　　四面体ＳＰＱＲの体積は、１３/２３　となる。　（終）

（コメント）　線分の長さを使わず、比だけを用いて体積を求めているところがエレガントで
　　　　　　すね！



　　　以下、工事中