１つの直線または平面に垂直な直線を求めることは、いろいろな問題で必要とされる必須
テクニックである。最大・最小の問題にも関連し、その応用範囲は広い。
例１ 直線 Ｙ＝Ｘ＋２ に垂直で、点（１，２）を通る直線の方程式を求めよ。
（解１） 『傾き ｍ、ｎ の直線が互いに垂直なとき、ｍ×ｎ＝−１』という公式を用いれば、
求める直線の方程式は、Ｙ−２＝−（Ｘ−１） より、Ｙ＝−Ｘ＋３
（解２） 『直線 aX+bY+c = 0 とベクトル（a ，b) は垂直』
『ベクトル（a ，b)、 （c ，d) が垂直なとき、内積（a ，b)・（c ，d)＝ａｃ＋ｂｄ＝０ 』
『ベクトル（a ，b) と （ｂ ，−ａ) は垂直』
という公式を用いれば、
Ｘ−Ｙ＋２＝０ に垂直な直線の方程式は、Ｘ＋Ｙ＋Ｋ＝０ とおける。
点（１，２）を通ることから、Ｋ＝−３ よって、Ｘ＋Ｙ−３＝０
上記のように、平面の場合は、比較的に簡単に垂直なものは求められる。ところが、空間
になると、その計算量は若干増える。
例２ ２つのベクトル（１，２，３）と（−１，１，２）に垂直なベクトルを１つ求めよ。
（解１） 求めるベクトルを（Ｘ，Ｙ，Ｚ）とすると、
内積 （１，２，３）・（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ｘ＋２Ｙ＋３Ｚ＝０
内積 （−１，１，２）・（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝−Ｘ＋Ｙ＋２Ｚ＝０
この連立方程式を解いて、３Ｙ＋５Ｚ＝０，３Ｘ−Ｚ＝０
よって、Ｚ＝３Ｘ，Ｙ＝−５Ｘ だから、Ｘ＝１とすると、
求めるベクトルは、（１，−５，３）
（解２） 『２つのベクトル（Ｘ，Ｙ，Ｚ）と（Ｕ，Ｖ，Ｗ）に対して、
ベクトルの外積 （Ｘ，Ｙ，Ｚ）×（Ｕ，Ｖ，Ｗ）
＝（ＹＷ−ＺＶ，ＺＵ−ＸＷ，ＸＶ−ＹＵ）
は、２つのベクトルに垂直』という公式を用いれば、
（２・２−３・１，３・（−１）−１・２，１・１−２・（−１））＝（１，−５，３）
（注）外積の計算公式をみると、一見覚えにくそうだが、次のようにして求めるとよい。
よって、求めるベクトルは、（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（１，−５，３）となる。