当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２３年１１月１１日付けで標記話題をメールで頂いた。
２次曲線のうち、楕円は、「２定点からの距離の和が一定な点の軌跡」として定義される。
その計算は、多くの教科書、書籍に載っているので省略することにしよう。
２次曲線のうち、双曲線は、「２定点からの距離の差が一定な点の軌跡」として定義される。
その計算は、多くの教科書、書籍に載っているので省略することにしよう。
それでは、「２定点からの距離の商が一定な点の軌跡」として定義される曲線はどんな図形
だろうか。
これについても、高校２年生であれば、数学ＩＩの「図形と方程式」の単元で学ぶアポロニウ
スの円となることはご存じだろう。
すなわち、 ＰＡ/ＰＢ＝ｍ のとき、点Ｐは線分ＡＢを、ｍ ： １ に内分、外分する点を直径
の両端とする円となる。
２次曲線の放物線、楕円、双曲線は、円錐の切断により得られる。
円錐面 ｘ2＋ｙ2−ｚ2＝０ と平面 ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０ の共有点は、
ａ＝ｂ＝０ 、ｚ＝ｒ のとき、 切断面は 円 となる。
ａ＝ｃ＝０ 、ｙ＝ｒ のとき、 切断面は 双曲線 となる。
ａ＝０ 、ｂ＝±ｃ のとき、 切断面は 放物線 となる。
ａ＝０ 、ｂ≠±ｃ のとき、 切断面は 楕円 となる。
「２定点からの距離」の「和」、「差」、「商」ときて、「積」の場合はどんな図形を表すのだろう
か？
２定点を、Ａ（−ｃ，０）、Ｂ（ｃ，０）とし、 ＡＰ・ＢＰ＝ａ2 （一定） とする。
Ｐ（ｘ，ｙ） とすると、条件より、 ｛（ｘ＋ｃ）2＋ｙ2｝｛（ｘ−ｃ）2＋ｙ2｝＝ａ4
このとき、 （ｘ2−ｃ2）2＋２（ｘ2＋ｃ2）ｙ2＋ｙ4＝ａ4 より、
ｘ4＋２ｘ2ｙ2＋ｙ4−２ｃ2ｘ2＋２ｃ2ｙ2＋ｃ4−ａ4＝０
よって、 （ｘ2＋ｙ2）2−２ｃ2（ｘ2−ｙ2）＋ｃ4−ａ4＝０
ここで、 ａ＝ｃ のとき、レムニスケートとなる。（→ 参考：「連珠形」）
これは、トーラス
の切断面になる。（→ 参考「忘れられない先生」）
（追記） 令和６年１１月１３日付け
次の東北大学 理系（１９８５）の問題は、なかなかよく練られた問題で感心させられる。
問題５ 曲線C：ｘ＝ｔ＋ｓｉｎｔ 、ｙ＝ｃｏｓｔ−１ 上の媒介変数 ｔ (０＜ｔ＜π)に対応する点をP
とする。
（１） C上の２点Ｏ(０，０)とＰの間の弧の長さＬを求めよ。
（２） PでのCの接線上に点QをPより左側に、ＰＱ＝Ｌとなるようにとる。Qの座標を求めよ。
（３） Ｐが ０＜ｔ＜π の範囲で動くとき、Qの描く曲線はCのπ＜ｔ＜２πの部分と合同になる
ことを証明せよ。
（解）（１） ｘ’＝１＋ｃｏｓｔ 、ｙ’＝−ｓｉｎｔ より、（ｘ’）2＋（ｙ’）2＝２（１＋ｃｏｓｔ）＝４ｃｏｓ2（ｔ/２）
このとき、Ｌ＝２∫0t ｃｏｓ（ｔ/２）ｄｔ＝４[ｓｉｎ（ｔ/２）]0t＝４ｓｉｎ（ｔ/２）
（２） 接線の方向ベクトルは、（１＋ｃｏｓｔ，−ｓｉｎｔ）
Ｐ（ｘ，ｙ）、Ｑ（Ｘ，Ｙ）とおくと、 （Ｘ−ｘ，Ｙ−ｙ）＝ｋ（１＋ｃｏｓｔ，−ｓｉｎｔ） で、題意より、ｋ＜０
（Ｘ−ｘ）2＋（Ｙ−ｙ）2＝２ｋ2（１＋ｃｏｓｔ）＝４ｋ2ｃｏｓ2（ｔ/２）＝１６ｓｉｎ2（ｔ/２） より、
ｋ＝−２ｔａｎ（ｔ/２） である。
よって、 Ｘ＝ｔ＋ｓｉｎｔ−２ｔａｎ（ｔ/２）（１＋ｃｏｓｔ）＝ｔ＋ｓｉｎｔ−４ｔａｎ（ｔ/２）ｃｏｓ2（ｔ/２）＝ｔ−ｓｉｎｔ
Ｙ＝ｃｏｓｔ−１＋２ｔａｎ（ｔ/２）ｓｉｎｔ＝ｃｏｓｔ−１＋４ｓｉｎ2（ｔ/２）＝ｃｏｓｔ−１＋２（１−ｃｏｓｔ））＝１−ｃｏｓｔ
以上から、 Ｑ（ｔ−ｓｉｎｔ，１−ｃｏｓｔ） となる。
（３） 曲線C：ｘ＝ｔ＋ｓｉｎｔ 、ｙ＝ｃｏｓｔ−１ の π＜ｔ＜２π の部分をＫとおく。
ｔ−π＝ｓ とおくと、 ０＜ｓ＜π で、
ｔ＋ｓｉｎｔ＝π＋ｓ＋ｓｉｎ（π＋ｓ）＝π＋ｓ−ｓｉｎｓ
ｃｏｓｔ−１＝ｃｏｓ（π＋ｓ）−１＝−ｃｏｓｓ−１
そこで、Ｋを ｘ 軸方向に −π、ｙ 軸方向に２だけ平行移動すると、
ｘ＝ｓ−ｓｉｎｓ 、ｙ＝１−ｃｏｓｓ となり、これは、点Ｑが描く図形を表す。
したがって、Ｐが ０＜ｔ＜π の範囲で動くとき、Qの描く曲線は、
Cのπ＜ｔ＜２πの部分と合同になる。 （終）
（コメント） なかなか含蓄のある良問でした。
以下、工事中！