楕円のグラフは、円のグラフを横方向に一定倍率で拡大縮小したものである。
（楕円の方程式については、こちらを参照）
このグラフに、下図のような半径 ｒ の円を内接させたい。
中心をどこにおいたら、正しく作図できるのだろうか？
これについて、次の公式が知られている。
（証明） 点Ｐ（ｍ，ｎ）における楕円の接線の方程式は、
すなわち、 ｂ2ｍｘ＋ａ2ｎｙ＝ａ2ｂ2
また、Ｏ’（ｃ，０）とすると、点Ｐ（ｍ，ｎ）における円の接線の方程式は、
（ｍ−ｃ)(ｘ−ｃ）＋ｎｙ＝ｒ2
すなわち、 （ｍ−ｃ)ｘ＋ｎｙ＝ｒ2＋（ｍ−ｃ)ｃ
２つの接線の方程式は一致するから、
ｂ2ｍ/（ｍ−ｃ)＝ａ2ｎ/ｎ＝ａ2ｂ2/（ｒ2＋（ｍ−ｃ)ｃ）
すなわち、 ｂ2ｍ/（ｍ−ｃ)＝ａ2＝ａ2ｂ2/（ｒ2＋（ｍ−ｃ)ｃ）
後者の等式から、
ｂ2＝ｒ2＋（ｍ−ｃ)ｃ
よって、 ｍｃ＝ｂ2−ｒ2＋ｃ2
同様に、前者の等式から、
ｂ2ｍ＝ａ2（ｍ−ｃ)
よって、 ｂ2（ｂ2−ｒ2＋ｃ2）＝ａ2（ｂ2−ｒ2＋ｃ2−ｃ2)＝ａ2（ｂ2−ｒ2) より、
ｂ2ｃ2＝ａ2（ｂ2−ｒ2)−ｂ2（ｂ2−ｒ2）＝（ａ2−ｂ2)(ｂ2−ｒ2)
これより、
が示された。
（別解） 楕円 ｂ2ｘ2＋ａ2ｙ2＝ａ2ｂ2 と 円 (ｘ−ｃ）2＋ｙ2＝ｒ2 を連立して、ｙ を消去すると、
（ａ2−ｂ2）ｘ2−２ｃａ2ｘ＋ａ2（ｃ2＋ｂ2−ｒ2）＝０
２次方程式が重解を持てばよいので、判別式をＤとすると、
Ｄ/４＝ｃ2ａ4−（ａ2−ｂ2）ａ2（ｃ2＋ｂ2−ｒ2）
＝ａ2ｂ2ｃ2−（ａ2−ｂ2）ａ2（ｂ2−ｒ2）＝０
より、 ｂ2ｃ2−（ａ2−ｂ2）（ｂ2−ｒ2）＝０
したがって、
（コメント） Ｓ（Ｈ）さんが示された指針を参考に、別解を得ました。双対曲線を用いた解法
ではありませんが、高校生レベルの解法としては最善かつ自然と思われます。
解答のヒントを与えていただいたＳ（Ｈ）さんに感謝します。上記の共通接線によ
る解法は少し遠回りでした！
楕円に内接する円の特別な場合として曲率円が考えられる。（→参考：日常の中の曲率）
この場合について、上記の公
式を当てはめれば、次の美しい
公式が得られる。
曲率円の半径 ｒ は、
で与えられる。
証明は明らかであろう。ＯＯ’＝ａ−ｒ なので、平方して整理すると、 （ａｒ−ｂ2）2＝０ が
得られる。 よって、 ａｒ−ｂ2＝０ から、上式が求められる。