ｎ は２以上の自然数、最高次係数が1、定数項が0ではない１変数多項式
Ｐ(ｘ)＝ｘｎ＋ａ1ｘn-1＋・・・＋ａn-1ｘ＋ａｎ
を考える。このとき、
Ｐ(ｘ)＝０ を満たす ｘ が、 ａｋ (ｋ＝１、２、・・・、ｎ) であるとき、Ｐ(ｘ) を求めよ。
という問題を考えてみました。（平成２４年１月２９日付け）
たとえば、２次方程式の場合は、 ｘ2＋ｘ−２ のみ。
３次方程式はの場合は、 ｘ3＋ｘ2−ｘ−１ など。
この性質を満たす方程式の数には、ｎ に対して、ある規則性があるのでしょうか。
（コメント） くろねこさん、問題を頂き、ありがとうございます。２次方程式と３次方程式の場
合について検証してみました。
（２次方程式の場合） Ｐ（ｘ）＝ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ の解が、ａ と ｂ なので、
解と係数の関係より、 ａ＋ｂ＝−ａ 、 ａｂ＝ｂ
条件より、ｂ≠０ なので、 ａ＝１ で、このとき、 ｂ＝−２
したがって、条件を満たす多項式は、 Ｐ（ｘ）＝ｘ2＋ｘ−２ のみである。
（３次方程式の場合） Ｐ（ｘ）＝ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解が、ａ と ｂ と ｃ なので、
解と係数の関係より、 ａ＋ｂ＋ｃ＝−ａ 、 ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝ｂ 、 ａｂｃ＝−ｃ
条件より、ｃ≠０ なので、ａｂ＝−１ で、このとき、２a＋ｂ＋ｃ＝０ 、ｂｃ＋ｃａ＝ｂ＋１
ｂ＝−１/ａ を２式に代入して、 ｃ＝−２ａ＋１/ａ で、
（ａ−１/ａ）（−２ａ＋１/ａ）＝−１/ａ＋１ より、 −２ａ2＋３−１/ａ2＝−１/ａ＋１
すなわち、 ２ａ4−２ａ2−ａ＋１＝０ から、 （ａ−１）（２ａ3＋２ａ2−１）＝０
このとき、 ａ＝１ および 正の実数解 １個
ａ＝１ とすると、 ｂ＝−１ 、 ｃ＝−１
したがって、条件を満たす多項式の一例として、 Ｐ（ｘ）＝ｘ3＋ｘ2−ｘ−１
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１月２９日付け）
３次方程式の場合：自然に連立方程式 ｘ+ｙ+ｚ=-ｘ 、ｘｙ+ｙｚ+ｚｘ=ｙ 、ｘｙｚ=-ｚ を考えて、
ｚ≠0 の時、ｙ、ｚ を消去すると、 (ｘ-1)(2ｘ3+2ｘ2-1)=0 を得るので、もう１つの実数解と1組
の複素数解があることがわかります。因みに、実数解のものからは、小数で近似すると、
P(ｔ)=ｔ3+0.565ｔ2-1.77ｔ+0.64=0
です。一応、ｚ=0 を見ておくと、ｘ=ｙ=0 以外に、ｘ=1、ｙ=-2
一般に、ｎ次の時では、連立方程式は、1、2、・・・、ｎ次となって、その解は重解がないと仮
定すれば、全部で、ｎ！個 そのうち定数項が 0 のものが、(ｎ-1)！個を引くと、定数項が 0
にならないものは、(ｎ-1)・(ｎ-1)！個ということになります。
解を整数に限定した場合は、 ｘ2 + ｘ - 2 と ｘ3 + ｘ2 - ｘ - 1 のみです。
多項式的な考察で、多少長いですが、示すことができました。他の方法もあるかもしれま
せん
|解の積|=|定数項| だから、定数項以外は、1か-1でなければならない。
・定数項も1か-1の場合
P(ｘ)=(ｘ-1)a(ｘ2-1)b あるいは、(ｘ+1)a(ｘ2-1)b と書かれる。
P(ｘ)の２番目に次数が高い項の係数は、-ａ か ａ となるので、 ａ=1 と分かり、その場合
は、(ｘ2-1)b の係数がすべて1か-1でなければならない。従って、ｂ≧2 だと不適。
ｂ≦1を調べると、 ｘ3 + ｘ2 - ｘ - 1 のみとなる。
・定数項が1、-1以外の場合
それを、ｗとすると、P(ｘ)に代入して、
P(ｗ)= ｗn + ａ1ｗn-1 + ... + ａn-1ｗ + ｗ =0
ｗで一回割ると、ｗは次の方程式を満たすことが分かる。
Q(ｘ)= ｘn-1+ａ1ｘn-2 + ... + ａn-1 + 1 = 0
この方程式が整数解をもつなら、それは、定数項 an-1+1 の約数である。
an-1 は、1か-1であるから、ｗは、2か-2ということになる。
P(ｘ)=(ｘ±2)(ｘ±1)a(ｘ2-1)b と書かれることになる。
P(ｘ)の２番目に次数が高い項の係数の係数に注意すると、
P(ｘ)=(ｘ+2)(ｘ-1)(ｘ2-1)b
P(ｘ)=(ｘ-2)(ｘ+1)(ｘ2-1)b
P(ｘ)=(ｘ+2)(ｘ-1)3(ｘ2-1)b
P(ｘ)=(ｘ-2)(ｘ+1)3(ｘ2-1)b
のいずれかとなる。P(ｘ)の３番目に次数が高い項の係数を考えると、上２つでは、-2-ｂ、下
２つでは、-3-ｂ となるので、３番目に次数が高い項が、P(ｘ)の定数項の時以外不適である。
あとは個別に吟味して、 ｘ2 + ｘ - 2 のみ適と分かる。
ＦＮさんからのコメントです。（平成２４年１月２９日付け）
ちょっと曖昧さを含みます。P(ｘ)=(ｘ-ａ1)･･･(ｘ-ａｎ) となるとします。係数 ａｋ がどのような
数であるかが明記してありません。次のどれかでしょう。
(1) 複素数 (2) 実数 (3) 有理数 (4) 整数
(1)の場合は、普通は、空舟さんが書かれているように、(ｎ-1)・(ｎ-1)！個です。それは、２
次方程式と３次方程式を連立すれば、普通は６次方程式になるという程度の意味です。
「定数項が0ではない」がなかったら、1次、2次、･･･、ｎ次の連立ですが、これがあるから最
後は、ｎ-1次になるので、(ｎ-1)・(ｎ-1)！次方程式になります。だから、(ｎ-1)・(ｎ-1)！個の解
をもつのが普通です。n=4の場合を、Maximaでやってみたら、1つの解は、定数項を0にした
ので17個になります。これは、n=3のときの解 ｘ3 + ｘ2 - ｘ - 1 に ｘ をかけたものです。
n≧5では、この現象は多分起きないから、(ｎ-1)・(ｎ-1)！個でいいと思います。
(4)の場合は、n≧5のときに解がないことは一応証明できました。空舟さんと似たような証
明です。
(3)は、多分(4)と同じで、n≧5では解なしでしょう。証明は全くできてません。
(2)については見当がつきません。
n=2 のときは、(1)〜(4) すべて1通り
n=3 のときは、(1) 4通り (2) 2通り (3)(4) 1通り
n=4 のときは、(1) 17通り (2) 1通り (3)(4) 0通り
空舟さん、わかりやすい説明ありがとうございました。（平成２４年１月２９日付け）
ＦＮさん、確かに曖昧さを含ませていた出題でしたが、各々の場合に関する方程式の数に
ついての検討をしていただきありがとうございました。
n ≧5のときには整数係数多項式には性質を満たす方程式が存在しない、という事実には
方程式の可解性にも似た感覚を覚えました。
高校生の頃に「解と係数の関係」というお話を聞きましたが、今回の性質も解と係数の関
係の1つといえそうですね。
このような性質を考えることは他にも様々な問題として応用することができる気もします。
（係数と解の関係が逆数同士、など）何はともあれ、思案してくださった皆様、誠にありがと
うございました。
Ｓ（Ｈ）さんが上記の問題について考察されました。（平成２４年１月２９日付け）
『奇々怪界 希希解解 係数が解!』方程式： ３次に限定してもまだ在ります。(強引ですが)
(x + 2/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3) + (9 - Sqrt[57])^(1/3)/3^(2/3))*(x + 1/9*(-9 + Sqrt[57])
- 2/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3) + 4/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3) + (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(3*3^(1/3))
- (9 - Sqrt[57])^(1/3)/ 3^(2/3) - 8/(3*(9 - Sqrt[57])) + 4/3)*(x + 1/2*(-(4/3) + 8/(3*(9 - Sqrt[57]))
- (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(3*3^(1/3)) + 1/9*(9 - Sqrt[57]) - 4/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3)))
x^3 + (1/6 + Sqrt[19/3]/6 - 4/(3*(9 - Sqrt[57])) + (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(6*3^(1/3))
+ 2/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3))*x^2 + (-(32/27) - (4*Sqrt[19/3])/9 - 32/(9*(9 - Sqrt[57])^2)
+ 32/(3*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(5/3)) - 8/(3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3)) + 32/(9*(9 - Sqrt[57]))
+ (8*Sqrt[19/3])/(9*(9 - Sqrt[57])) - (4*Sqrt[19])/(9*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
+ (2*Sqrt[19])/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) + (9 - Sqrt[57])^(1/3)/(2*3^(2/3))
+ (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(6*3^(1/6)) - (4*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(9*3^(1/3))
- (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(9*3^(5/6)) - 8/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3)
+ 26/(9*(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)))*x + (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(9*3^(5/6))
+ (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(9*3^(1/3)) - (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(6*3^(1/6))
- (31*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(54*3^(2/3)) - (2*Sqrt[19])/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
- 70/(27*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) + (14*Sqrt[19])/(27*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
+ (2*3^(1/3))/(9 - Sqrt[57])^(2/3) - (8*Sqrt[19/3])/(9*(9 - Sqrt[57])) - 32/(9*(9 - Sqrt[57]))
+ (16*Sqrt[19])/(9*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(4/3)) + 8/(3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3))
- 128/(9*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(5/3)) + 64/(9*(9 - Sqrt[57])^2)
- 64/(9*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(7/3)) + Sqrt[19/3]/9 + 1
(x - (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3) - ((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)))
*(x - (((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))
*(1 - ((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) - (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)
- (((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))^2))
*(x - 1/2*(((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))
*(-2 + ((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)
+ (((1 + I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 - I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))^2))
x^3 + (1/6 + Sqrt[19/3]/6 - 4/(3*(9 - Sqrt[57])) - I/(3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
+ (I*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(4*3^(5/6)) - (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(12*3^(1/3))
- 1/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3))*x^2 + (-(32/27) - (4*Sqrt[19/3])/9 - 32/(9*(9 - Sqrt[57])^2)
- 16/(3*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(5/3)) - (16*I)/(3*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(5/3))
+ 4/(3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3)) - (4*I*3^(1/6))/(9 - Sqrt[57])^(4/3) + 32/(9*(9 - Sqrt[57]))
+ (8*Sqrt[19/3])/(9*(9 - Sqrt[57])) + (4*I)/(3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
+ (2*Sqrt[19])/(9*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3)) + (13*I)/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
- Sqrt[19]/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) - (9 - Sqrt[57])^(1/3)/(4*3^(2/3))
- (I*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(4*3^(1/6)) - (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(4*3^(2/3))
- (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(12*3^(1/6)) - (2*I*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(3*3^(5/6))
+ (2*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(9*3^(1/3)) + (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(5/6))
- (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(1/3)) + 4/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3)
+ (2*I*Sqrt[19])/(3*(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3)) - 13/(9*(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))
+ (I*Sqrt[19])/(3*(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)))*x + (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(1/3))
- (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(5/6)) - (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(18*3^(1/3))
+ (I*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(6*3^(5/6)) + (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(12*3^(1/6))
+ (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(4*3^(2/3)) + (31*I*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(108*3^(1/6))
+ (31*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(108*3^(2/3)) - (I*Sqrt[19])/(3*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
+ Sqrt[19]/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) + 35/(27*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
- (35*I)/(9*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) - (7*Sqrt[19])/(27*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
- (7*I*Sqrt[19])/(9*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(2/3)) - (I*3^(5/6))/(9 - Sqrt[57])^(2/3)
- 3^(1/3)/(9 - Sqrt[57])^(2/3) - (8*Sqrt[19/3])/(9*(9 - Sqrt[57])) - 32/(9*(9 - Sqrt[57]))
+ (8*I*Sqrt[19])/(9*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3)) - (8*Sqrt[19])/(9*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(4/3))
+ (4*I*3^(1/6))/(9 - Sqrt[57])^(4/3) - 4/(3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3))
+ (64*I)/(9*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(5/3)) + 64/(9*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(5/3))
+ 64/(9*(9 - Sqrt[57])^2) + 32/(9*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(7/3))
- (32*I)/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(7/3)) + Sqrt[19/3]/9 + 1
(x - (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3) - ((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)))
*(x - (((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))
*(1 - ((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) - (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)
- (((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))^2))
*(x - 1/2*(((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))
*(-2 + ((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)
+ (((1 - I*Sqrt[3])*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(2*3^(2/3)) + (1 + I*Sqrt[3])/(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))^2))
x^3 + (1/6 + Sqrt[19/3]/6 - 4/(3*(9 - Sqrt[57])) + I/(3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
- (I*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(4*3^(5/6)) - (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(12*3^(1/3))
- 1/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3))*x^2 + (-(32/27) - (4*Sqrt[19/3])/9 - 32/(9*(9 - Sqrt[57])^2)
- 16/(3*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(5/3)) + (16*I)/(3*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(5/3))
+ 4/(3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3)) + (4*I*3^(1/6))/(9 - Sqrt[57])^(4/3) + 32/(9*(9 - Sqrt[57]))
+ (8*Sqrt[19/3])/(9*(9 - Sqrt[57])) - (4*I)/(3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
+ (2*Sqrt[19])/(9*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3)) - (13*I)/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
- Sqrt[19]/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) - (9 - Sqrt[57])^(1/3)/(4*3^(2/3))
+ (I*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(4*3^(1/6)) + (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(4*3^(2/3))
- (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(12*3^(1/6)) + (2*I*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(3*3^(5/6))
+ (2*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(9*3^(1/3)) + (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(5/6))
+ (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(1/3)) + 4/(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3)
- (2*I*Sqrt[19])/(3*(3*(9 - Sqrt[57]))^(2/3)) - 13/(9*(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3))
- (I*Sqrt[19])/(3*(3*(9 - Sqrt[57]))^(1/3)))*x - (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(1/3))
- (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(18*3^(5/6)) - (9 - Sqrt[57])^(2/3)/(18*3^(1/3))
- (I*(9 - Sqrt[57])^(2/3))/(6*3^(5/6)) + (Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(12*3^(1/6))
- (I*Sqrt[19]*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(4*3^(2/3)) - (31*I*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(108*3^(1/6))
+ (31*(9 - Sqrt[57])^(1/3))/(108*3^(2/3)) + (I*Sqrt[19])/(3*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
+ Sqrt[19]/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) + 35/(27*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(1/3))
+ (35*I)/(9*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(1/3)) - (7*Sqrt[19])/(27*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(2/3))
+ (7*I*Sqrt[19])/(9*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(2/3)) + (I*3^(5/6))/(9 - Sqrt[57])^(2/3)
- 3^(1/3)/(9 - Sqrt[57])^(2/3) - (8*Sqrt[19/3])/(9*(9 - Sqrt[57])) - 32/(9*(9 - Sqrt[57]))
- (8*I*Sqrt[19])/(9*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3)) - (8*Sqrt[19])/(9*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(4/3))
- (4*I*3^(1/6))/(9 - Sqrt[57])^(4/3) - 4/(3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(4/3))
- (64*I)/(9*3^(1/6)*(9 - Sqrt[57])^(5/3)) + 64/(9*3^(2/3)*(9 - Sqrt[57])^(5/3))
+ 64/(9*(9 - Sqrt[57])^2) + 32/(9*3^(1/3)*(9 - Sqrt[57])^(7/3)) + (32*I)/(3*3^(5/6)*(9 - Sqrt[57])^(7/3))
+ Sqrt[19/3]/9 + 1
（コメント） Ｓ（Ｈ）さん、正に、『奇々怪々』ですね！
