曲線の概形を思い通りに描けるようになったのは、私の場合、高校３年生の頃であろう
か。微分という武器を用いて、種々の曲線の概形を描くことは密かな楽しみでもあった。
ただ、全てが手計算によるものなので、あまり複雑なものを描くことはできなかった。
昨今の描画ソフトの進歩は著しい。関数式さえ分かれば、あんなものも、こんなものもとい
うくらいに鮮やかに描いてくれる。
このページでは、昔出来なかったことを描画ソフトを武器として、いろいろな曲線の概形に
挑戦したいと思う。
標準的な曲線の概形については、当ＨＰの中の「いろいろな曲線」にまとめられている。
また、これから描かれる曲線の方程式には、ガウスの記号やら絶対値やらが複雑に絡
み合ってくる。その結果として、思いもかけない美しい曲線の概形が出現するわけで、ほと
んど感動的な出会いになると思う。
例 （ｘ−［ ｘ＋１/２ ］）2＋（ｙ−［ ｙ＋１/２ ］）2＝１/１６
（コメント） たった一つの関数式で、平面上無限に広がる円が描けるわけで、「これはスゴ
イ！」と思いました。こんなことに感動できる感性を大切にしたいですね！
例 （ｘ−［ ｘ＋１/２ ］）2＋（ｙ−［ ｙ＋１/２ ］）2＝５/１６
（コメント） 右辺の数字が、１/１６ から５/１６ に変わっただけなのに模様がガラリと様変わ
りですね！でも、じっと見つめていると、やはり無数の円が．．．。
例 （ｘ−２｜ｘ｜/ｘ）2＋（ｙ−２｜ｙ｜/ｙ）2＝５
（コメント） 式は絶対値を使って込みいっているのに、出来る図形は単純！できれい。
この形は星芒形に似ているが、関係はなさそう．．．？
例 ｙ4−ｘ4−４ｙ2＋９ｘ2＝０
（コメント） この曲線は、悪魔の曲線と言われるそうだ。（何でだろう？）
ｘ2 や ｙ2 の係数をいろいろ変えてみると結構面白い！
（追記） 平成２１年９月４日付け
上図ではグラフ描画ソフトを用いたので、うっかり漸近線が存在することを忘れてしまった。
このことを、広島工業大学の大川研究室よりご指摘いただいた。大川研究室に感謝します。
上記の曲線は、漸近線として、 ｙ＝±ｘ を持つ。
実際に、 ｙ4−ｘ4−４ｙ2＋９ｘ2＝０ より、（ｙ/ｘ）4−１−４（ｙ/ｘ）2・（１/ｘ）2＋９/ｘ2＝０
よって、 ｘ → ±∞ のとき、 ｙ/ｘ → ±１
さらに、分子の有理化を２回行うことにより、
ｘ → ±∞ のとき、 ｙ±ｘ → ０ であることが分かる。
よって、曲線 ｙ4−ｘ4−４ｙ2＋９ｘ2＝０ は、漸近線 ｙ＝±ｘ を持つ。 （終）
例 （ｘ2＋ｙ2＋１２ｘ＋９）2−４（２ｘ＋３）3＝０
（コメント） この曲線は、三尖点曲線と言われるそうだ。フリーハンドでも書けそうな図だが、
微妙な曲線が数学らしい！
例 ｙ2（４−ｘ2）−（ｘ2−４ｙ−２）2＝０
（コメント） この曲線は、２角曲線と言われるそうだ。
角と言われれば角だが、耳にも見えるネ！
ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年８月６日付け）
不等式 ｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦1 や ｘ2＋ｙ2≦１ で表される領域は、それぞれ正方形と円になる。
このように、連立式ではなくて、一つの式で、長方形や三角形を表すことができるでしょうか？
（コメント） 参考 → 「絶対値について」
らすかるさんからのコメントです。（令和５年８月６日付け）
不等号すら使わずにできます。以下は、すべて内部を含む領域です。
・４頂点が (-1,1)、(-1,-1)、(1,-1)、(1,1) である正方形（辺が軸に平行）
→ |1−x|＋|1＋x|＋|1−y|＋|1＋y|＝4
・４頂点が (0,1)、(-1,0)、(0,-1)、(1,0) である正方形（頂点が軸上）
→ |1−x−y|＋|1−x＋y|＋|1＋x−y|＋|1＋x＋y|＝4
・半径1の円
→ x2＋y2＋|x2＋y2−1|＝1
・横の長さがa、縦の長さがbの長方形
→ |a−2x|＋|a＋2x|＋|b−2y|＋|b＋2y|＝2(a＋b)
・重心が原点で、一つの頂点が (0,a) である正三角形
→ |a＋x
−y|＋|a−x−y|＋|a＋2y|＝3a・重心が原点で、一つの頂点が (0,a) である正六角形
→ |a
−2x|＋|a＋2x|＋|a＋x＋y|＋|a＋x−y|＋|a
−x＋y|＋|a−x−y|＝6a・３頂点が (a,b)、(c,d)、(e,f) である三角形
→ |(ad−bc＋bx−dx＋cy−ay)(ad−bc＋be−de＋cf−af)|
＋|(cf−de＋dx−fx＋ey−cy)(cf−de＋da−fa＋eb−cb)|
＋|(eb−fa＋fx−bx＋ay−ey)(eb−fa＋fc−bc＋ad−ed)|＝(ad＋cf＋eb−bc−de−fa)2
ｋｓ さんからのコメントです。（令和５年８月７日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。驚きの結果ですね。値がうまく相殺されるのですね。
円や六角形、自由な三角形も方程式で！絶対値は、場合分けなど不便の記号だとばか
り思っていましたが、便利な記号なんですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和５年８月１０日付け）
・３頂点が (a,b)、(c,d)、(e,f) である三角形
→ |(ad−bc＋bx−dx＋cy−ay)(ad−bc＋be−de＋cf−af)|
＋|(cf−de＋dx−fx＋ey−cy)(cf−de＋da−fa＋eb−cb)|
＋|(eb−fa＋fx−bx＋ay−ey)(eb−fa＋fc−bc＋ad−ed)|＝(ad＋cf＋eb−bc−de−fa)2
について計算していたら、
(ad-bc+be-de+cf-af)=(cf-de+da-fa+eb-cb)=(eb-fa+fc-bc+ad-ed)=(ad+cf+eb-bc-de-fa)
が成り立つようなんです。従って、求める式は、
|ad-bc+bx-dx+cy-ay|+|cf-de+dx-fx+ey-cy|+|eb-fa+fx-bx+ay-ey|=|ad+cf+eb-bc-de-fa|
と表してはいけませんかね？
らすかるさんからのコメントです。（令和５年８月１０日付け）
確かにそうですね。全く気づきませんでした。
以下、工事中！