絶対値について                        戻る

 分かってしまえば何でもないが、分かるまでが大変だというものの代表が「絶対値」であ
ろう。その理由として、絶対値の教え方がいろいろあることに原因があると思われる。

 初期の段階では、実数の絶対値とは、その数から負の符号を取り除いたものとして教え
られる。このような考え方は、絶対値の本来の意味に根ざすもので、生徒自身にとっても
理解しやすいと思う。

 中学校で初めて、正の数、負の数を学ぶが、たとえば、「+6−(+3)」のような計算に
おいて、殊更に、正の数を「+6」と書くのは、絶対値定着のための布石なのだろう。
 
 実数は、   のように、符号と絶対値の対で表される。
  (符号) (絶対値)  

 しかしながら、高校に入ると、このような教え方は通常なされない。

形式的に次のように定義される。

    X≧0 のとき、 |X|=X 、X<0 のとき、 |X|=−X

 形式的な定義を補足する方法として、|X| は、数直線上で、原点O(0)と点P(X)との距
離を表すという認識もあるが、絶対値本来の意味からすれば、その分かりにくさは、五十
歩百歩であろう。

 特に、|5|=5 などの場合、問題はないが、|−5|=−(−5)=5 という計算は、生徒に
とって理解に苦しむ計算のようだ。距離の考えを用いて、|−5|=0−(−5)=5 としても
焼け石に水である。

 このように習得するまで大変な絶対値も、その応用を見るとき、非常に魅惑的な働きを
することに気づかされる。絶対値の華麗な働きを見ずに、単に形式的に絶対値というもの
を教えられるので、多分定着率も悪いのだろう。

 生徒は、必要と認識するものの吸収はすこぶるよいので、応用例をもっと教科書等に散
りばめれば、少しは定着率の改善に役立つのではないだろうか?

 絶対値のついた関数 y=|x| のグラフは下図のようになる。

   絶対値の定義に従って考えれば、容易に
  左図のグラフを書くことができる。

   この場合、関数 y=x のグラフとの根本
  的な違いに気づく必要がある。

   絶対値のついた関数 y=|x| のグラフは
  関数 y=x のグラフにおいて、x軸の下側
  の部分を、x軸に関して折り返して得られる
  というところが本質的である。



 この考え方を用いれば、次の関数のグラフは、難しい計算をしなくても容易に想像できる
だろう。

例 関数 y=| |x|−2 | のグラフを書け。

 (考え方) 関数 y=|x|−2 のグラフは、関数 y=|x| のグラフを y軸方向に、−2だけ
       平行移動したものである。そのグラフにおいて、x軸の下側の部分を、x軸に関
       して折り返せばよい。
            

例 関数 y=| | | | x−2 |−1 |−2 |−3 | のグラフを書け。

    

 2つの例からも分かるように、絶対値を用いると、かなり造形的に面白いグラフを書くこと
ができる。

 また、次のような正方形も絶対値を用いて表すことができる。



    左図を表す方程式は、

        | x | + | y | = a

   で与えられる。

    正方形の内部および周を表す不等式
   は、

       | x | + | y | ≦ a

   で与えられる。





 絶対値を用いると、次のようなグラフを書くこともできる。なぜかは、読者の練習問題とし
て残しておこう。

例 | | | x |−2 |+ | y |−2 |=2
      

例 | | | x |−4 |+ | y |−4 |=2
  

 上記の2例は、第1象限のグラフが基本である。x軸、y軸を鏡と思うと上のようなグラフが
得られる。

 まるで、万華鏡を見てるような錯覚を覚えるのは私だけだろうか?

 上記のような複雑な図形が、絶対値を用いると、たった1本の式で表現できるということは
筆舌に尽くしがたいほど美しい。

 等式を不等式に変えれば、さらに表情豊かな図形を我々は手に入れることが出来る。

例 | 2 | x | +2 | y |−3 |≦1

     


 名古屋大学(1974)で次の領域を問う問題が出題された。

    1<| | x |−2 |+| | y |−2 |<5

 時代はめぐって、大阪大学 前期理系(2013)で、似たような領域の問題が出題された。

    1≦| | x |−2 |+| | y |−2 |≦3

答えは、下図となる。
         


(コメント) こんなこともあるので、受験って過去問をやる価値はあるのかな?でも受験生は
      40年ほど前の過去問なんて取り組めないよね...。


 高校2年で学ぶ「数学U」において、平面上の2点間の距離の公式を学習する。

 2点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )を結ぶ線分の長さ d は、

     

で与えられる。この距離の定義を用いると、

  2点 O( 0 , 0 )、A( 1 , 1 )から等距離ある点の集まり

は、2点 A、Bを結ぶ線分の垂直2等分線であることが直ちに求められる。

  実際に、条件を満たす点の座標を、( x , y )とすると、

    (x−0)2+(y−0)2=(x−1)2+(y−1)2

  上式を展開して整理すると、 x+y−1=0

   これは、2点 A、Bを結ぶ線分の垂直2等分線である。

      

 ところで、  は、Euclid 距離関数と呼ばれるが、平面上に
定められる距離は、これ以外にもたくさん存在する。

 平面において、距離 d は次の諸条件を満たすものである。

  (1) 任意の2点 A、B に対して、 d ( A , B )≧0

     等号成立は、 A=B のときに限る。

  (2) 任意の2点 A、B に対して、 d ( A , B )=d ( B , A )

  (3) 任意の3点 A、B、C に対して、 d ( A , C )≦D ( A , B )+d ( B , C )

 平面上の2点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 )を結ぶ線分の長さを d1 として、上記の条件を
満たし、かつ、Euclid 距離関数以外のものとしては、

       d1 = | x1 − x2 |+| y1 − y2

が有名だろう。この距離 d1 について、先の問題

  2点 O( 0 , 0 )、A( 1 , 1 )から等距離ある点の集まり

は、どうなるであろうか?このような問いかけも数学的に大いに興味があるところである。

 条件を満たす点の座標を、( x , y )とすると、

      | x − 0 |+| y − 0 |=| x − 1 |+| y − 1 |

すなわち、  | x |+| y |=| x − 1 |+| y − 1 |

 (1) x≧1 、y≧1 のとき、 x+y=x−1+y−1 より、 0=−2 で不適。

      よって、 この領域は、求める領域には含まれない。

 (2) x≧1 、0≦y<1 のとき、 x+y=x−1−y+1 より、 y=0

      よって、 y=0 (x≧1 、0≦y<1)は、求める領域には含まれる。

 (3) x≧1 、y<0 のとき、 x−y=x−1−y+1 より、 0=0 で適。

      よって、 x≧1 、y<0 は、求める領域には含まれる。

 (4) 0≦x<1 、y≧1 のとき、 x+y=−x+1+y−1 より、 x=0 で適。

      よって、 x=0 (0≦x<1 、y≧1)は、求める領域には含まれる。

 (5) 0≦x<1 、0≦y<1 のとき、 x+y=−x+1−y+1 より、 x+y=1

      よって、 x+y=1 (0≦x<1 、0≦y<1)は、求める領域には含まれる。

 (6) 0≦x<1 、y<0 のとき、 x−y=−x+1−y+1 より、 x=1 で不適。

      よって、 0≦x<1 、y<0 は、求める領域には含まれない。

 (7) x<0 、y≧1 のとき、 −x+y=−x+1+y−1 より、 0=0 で適。

      よって、 x<0 、y≧1 は、求める領域には含まれる。

 (8) x<0 、0≦y<1 のとき、 −x+y=−x+1−y+1 より、 y=1 で不適。

      よって、 x<0 、0≦y<1 は、求める領域には含まれない。

 (9) x<0 、y<0 のとき、 −x−y=−x+1−y+1 より、 0=2 で不適。

      よって、 x<0 、y<0 は、求める領域には含まれない。

 以上から、求める領域は下図のようになる。

         


(追記) 平成29年1月19日付け

 絶対値関数の驚くべき性質について、最近遭遇したのでまとめておきたい。まず、次の問
題をご覧ください。

 nは整数とする。このとき、

 S(n)=|n−1|+|n−2|+・・・+|n−9|+|n−10| の絶対値を外せ。


(解) n<1 のとき、S(n)=−(n−1)−(n−2)−・・・−(n−10)=−10n+55

 n>10 のとき、 S(n)=(n−1)+(n−2)+・・・+(n−10)=10n−55

 一般に、自然数k(1≦k≦9)に対して、k≦n≦k+1 のとき、

S(n)=(n−1)+・・・+(n−k)−(n−(k+1))−・・・−(n−9)−(n−10)

   =k(2n−k−1)/2−(10−k)(2n−k−11)/2

   =2(kー5)n−k2−k+55  (終)


 この問題について、多分多くの方が上記のように解くであろうと思われる。数学のセンスに
溢れる方は、もしかしたら次のように解くかもしれない。

 n<1、n>10については、上記と同じ。

 1≦n≦10 のとき、

 S(n)=(n−1)+(n−2)+・・・+(n−(n−1))
      −(n−(n+1))−(n−(n+2))−・・・−(n−9)−(n−10)

    =1+2+・・・+(n−1)+(1+2+・・・+(10−n))

    =n(n−1)/2+(10−n)(11−n)/2

    =(n2−n+n2−21n+110)/2

    =n2−11n+55


 このように、S(n)がnの2次式で表されるという事実はあまり知られていないかもしれない。

 次のように考えても、S(n)がnの2次式で表されることに気づかされる。ただし、このような
考えに至ることは通常ないことであろう。


 自然数k(1≦k≦9)に対して、k≦n≦k+1 のとき、

S(k)=(k−1)+・・・+(k−(k−1))−(k−(k+1))−・・・−(k−9)−(k−10)

   =1+2+・・・+(k−1)+1+2+・・・+(10−k)

   =k(k−1)/2+(10−k)(11−k)/2

   =k2−11k+55

 同様にして、

S(k+1)=k+・・・+1−(k+1−(k+2))−・・・−(k−8)−(k−9)

      =k(k+1)/2+1+2+・・・+(9−k)

      =k(k+1)/2+(9−k)(10−k)/2

      =k2−9k+45

 よって、 S(k+1)−S(k)=2k−10、 S(1)=1+2+・・・+9=45 より、

 2≦n≦10 のとき、

 S(n)=45+Σk=1〜n-1(2k−10)=45+n(n−1)−10(n−1)=n2−11n+55

この式は、n=1のときも成り立つ。

 よって、 S(n)=n2−11n+55 である。


 よおすけさんからのコメントです。(平成29年1月19日付け)

 上記の問題を見て、類題がありました。1961年の京都大学理系の5番。

 nが整数であるとき、S=|n−1|+|n−2|+・・・+|n−100|の最小値を求
めよ。また、そのときのnの値を求めよ。


(コメント) 私の職場で絶対値の問題を話題にしたら、ある方が「どこかで解いた覚えがあ
      る」と言われた。多分、これのことだったのかな?


 京都大学の問題を解いてみました。(平成29年1月21日付け)

 n<1 のとき、 S=−(n−1)−(n−2)−・・・−(n−100)=−100n+5050

  よって、n=0 のとき、最小値 5050 をとる。

 n>100 のとき、 S(n)=(n−1)+(n−2)+・・・+(n−10)=100n−5050

  よって、n=100 のとき、最小値 5050 をとる。

 1≦n≦100 のとき、

 S(n)=Σk=1〜n(n−k)+Σk=n+1〜100(−n+k)

   =n2−n(n+1)/2−(100−n)(101−n)/2

   =n2−101n+5050

  よって、n=50、51 のとき、最小値 2500 をとる。

 以上から、求める最小値は、2500


 DD++さんからのコメントです。(平成29年1月20日付け)

 数学的意味を考えれば一分で解ける、京大らしい問題ですね。

 絶対値を数直線上の2点の距離と考えると、明らかに、

  S(50)<S(49)<S(48)<…… 、S(51)<S(52)<S(53)<……

 n=50または51のとき、

 S= (|n-1|+|n-51|) + (|n-2|+|n-52|) + …… + (|n-50|+|n-100|)= 50×50 = 2500

 よって、最小値は 2500 (n=50,51 のとき)


 S(H)さんからのコメントです。(平成29年1月20日付け)

 nは整数で、p=1,2,3,4,5,.... Sum[(Abs[n - k])^p, {k, 1, 100}]  の時の最小値は?


 DD++さんからのコメントです。(平成29年1月20日付け)

 p≧2 なら、二階微分可能で、S''(x)>0 かつ S'(50.5)=0 から S(50.5) が最小なのは明らか。
あとの計算が面倒なだけの問題と思います。

(追記) 実数じゃなく整数限定でしたね。それでも実数拡張したもので同様に考えて、あとは
    対称性から S(50)=S(51) を計算するだけの、やはり面倒なだけの問題……。


(追記) 平成30年12月3日付け

 絶対値のついた関数 y=|x| のグラフが下図のようになることは、皆さん、ご存じだろう。

    

 このページの冒頭の方で、いくつかの絶対値を含む関数のグラフを描いた。

 これに対して、折れ線グラフからその関数式を場合分けすることなく一つの式で表すことを
考えたい

基本的な技

   

 上図を表す関数は、 y=|x| である。このことを一般化して、

(1) x軸方向の平行移動

   

 上図を表す関数は、 y=|x−a| である。

(2) y軸方向の拡大・縮小

   

 上図を表す関数は、 y=a|x| である。

(3) 傾き0から傾きaに変化

   

 上図を表す関数は、 y=(a/2)(|x−p|+x−p) である。

(4) 傾きが−aから0、そしてaと変化

  

 上図を表す関数は、 y=(a/2)(|x+p|+|x−p|−2p) である。


 いくつかの応用題を考えてみよう。

問題1 傾きが−aからb、そしてaと変化する折れ線グラフの式を求めよ。

(解)

  

 上図を表す関数は、

   y={(a+b)/2}|x+p|+{(a−b)/2}|x−p|−(a−b)p

である。

 実際に、y=m|x+p|+n|x−p|+k とおいて、傾きに注目すると、

   m+n=a 、 m−n=b

から、 m=(a+b)/2 、n=(a−b)/2 である。

 x=−p のとき、 y=2pn+k=0

 x=p のとき、 y=2pm+k=−a

 何れにしても、 k=−(a−b)p を得る。  (終)


 上記では左端と右端の傾きが−1倍の関係にあり、ある意味で左右対称の関係にある。

 それでは、左右非対称の場合の折れ線グラフの式を作ってみよう。

例えば、次の折れ線グラフはどうだろう?

  

 傾きが、−2→−1→3 と変化するので、y=m|x+1|+n|x−1| において、

 −m−n=−2 、m−n=−1 、m+n=3

としてしまうと第1式と第3式で矛盾が生じる。この矛盾を回避するには傾きそのものではな
く、傾きの増分に着目すればよい。

 傾きの増分は、 1→4 と変化するので、

 m−n−(−m−n)=1 すなわち、 2m=1 より、 m=1/2

 m+n−(m−n)=4 すなわち、 2n=4 より、 n=2

 よって、 y=(1/2)|x+1|+2|x−1| を得る。

 ただ、この関数の傾きは、−5/2→−3/2→5/2 と変化するので、傾きの変化を、
−2→−1→3 とするために、一律に傾きに 1/2を加えればよい。

 すなわち、関数式は、 y=(1/2)|x+1|+2|x−1|+(1/2)x となる。

 x=−1のとき、y=4−1/2=7/2 なので、x=−1 のとき、y=0 とするために、

求める関数式は、 y=(1/2)|x+1|+2|x−1|+(1/2)x−7/2 となる。


 1次関数 y=cx+d を関数式に加えても、傾きの増分に変化はないので、初めから求め
る式を、
      y=m|x+1|+n|x−1|+cx+d

と置いてもよいことに気がつく。このとき、次の連立方程式が得られる。

 −m−n+c=−2 、m−n+c=−1 、m+n+c=3

 これを解くと、 m=1/2 、n=2 、c=1/2 で、

  y=(1/2)|x+1|+2|x−1|+(1/2)x+d

 x=−1 のとき、 y=4−1/2+d=0 より、 d=−7/2

 よって、求める関数式は、 y=(1/2)|x+1|+2|x−1|+(1/2)x−7/2 となる。


(コメント) こちらの方がより実戦的ですね!



  以下、工事中!