絶対値について　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　分かってしまえば何でもないが、分かるまでが大変だというものの代表が「絶対値」であ
ろう。その理由として、絶対値の教え方がいろいろあることに原因があると思われる。

　初期の段階では、実数の絶対値とは、その数から負の符号を取り除いたものとして教え
られる。このような考え方は、絶対値の本来の意味に根ざすもので、生徒自身にとっても
理解しやすいと思う。

　中学校で初めて、正の数、負の数を学ぶが、たとえば、「＋６−（＋３）」のような計算に
おいて、殊更に、正の数を「＋６」と書くのは、絶対値定着のための布石なのだろう。

実数は、		＋	６	のように、符号と絶対値の対で表される。
		（符号）	（絶対値）

　しかしながら、高校に入ると、このような教え方は通常なされない。

形式的に次のように定義される。

　Ｘ≧０　のとき、　|Ｘ|＝Ｘ　、Ｘ＜０　のとき、　|Ｘ|＝−Ｘ

　形式的な定義を補足する方法として、|Ｘ| は、数直線上で、原点Ｏ（０）と点Ｐ（Ｘ）との距
離を表すという認識もあるが、絶対値本来の意味からすれば、その分かりにくさは、五十
歩百歩であろう。

　特に、|５|＝５　などの場合、問題はないが、|−５|＝−（−５）＝５　という計算は、生徒に
とって理解に苦しむ計算のようだ。距離の考えを用いて、|−５|＝０−（−５）＝５　としても
焼け石に水である。

　このように習得するまで大変な絶対値も、その応用を見るとき、非常に魅惑的な働きを
することに気づかされる。絶対値の華麗な働きを見ずに、単に形式的に絶対値というもの
を教えられるので、多分定着率も悪いのだろう。

　生徒は、必要と認識するものの吸収はすこぶるよいので、応用例をもっと教科書等に散
りばめれば、少しは定着率の改善に役立つのではないだろうか？

　絶対値のついた関数　ｙ＝|ｘ|　のグラフは下図のようになる。

絶対値の定義に従って考えれば、容易に 　　左図のグラフを書くことができる。 　　　この場合、関数　ｙ＝ｘ　のグラフとの根本 　　的な違いに気づく必要がある。 　　　絶対値のついた関数　ｙ＝|ｘ|　のグラフは 　　関数　ｙ＝ｘ　のグラフにおいて、ｘ軸の下側 　　の部分を、ｘ軸に関して折り返して得られる 　　というところが本質的である。

　この考え方を用いれば、次の関数のグラフは、難しい計算をしなくても容易に想像できる
だろう。

例　関数　ｙ＝| |ｘ|−２ | のグラフを書け。

（考え方）　関数　ｙ＝|ｘ|−２ のグラフは、関数　ｙ＝|ｘ| のグラフを ｙ軸方向に、−２だけ平行
　　　　　移動したものである。そのグラフにおいて、ｘ軸の下側の部分を、ｘ軸に関して折り返
　　　　　せばよい。

　

例　関数　ｙ＝| | | | ｘ−２ |−１ |−２ |−３ | のグラフを書け。

　

　２つの例からも分かるように、絶対値を用いると、かなり造形的に面白いグラフを書くこと
ができる。

　また、次のような正方形も絶対値を用いて表すことができる。

左図を表す方程式は、 | ｘ | ＋ | ｙ | ＝ ａ 　　で与えられる。 　　　正方形の内部および周を表す不等式は、 　　| ｘ | ＋ | ｙ | ≦ ａ 　　で与えられる。

　絶対値を用いると、次のようなグラフを書くこともできる。なぜかは、読者の練習問題とし
て残しておこう。

例　| | | ｘ |−２ |＋ | ｙ |−２ |＝２

　

例　| | | ｘ |−４ |＋ | ｙ |−４ |＝２



　上記の２例は、第１象限のグラフが基本である。ｘ軸、ｙ軸を鏡と思うと上のようなグラフが
得られる。

　まるで、万華鏡を見てるような錯覚を覚えるのは私だけだろうか？

　上記のような複雑な図形が、絶対値を用いると、たった１本の式で表現できるということは
筆舌に尽くしがたいほど美しい。

　等式を不等式に変えれば、さらに表情豊かな図形を我々は手に入れることが出来る。

例　| ２ | ｘ | ＋２ | ｙ |−３ |≦１

　　


　名古屋大学（１９７４）で次の領域を問う問題が出題された。

　１＜| | ｘ |−２ |＋| | ｙ |−２ |＜５

　時代はめぐって、大阪大学　前期理系（２０１３）で、似たような領域の問題が出題された。

　１≦| | ｘ |−２ |＋| | ｙ |−２ |≦３

答えは、下図となる。

　


（コメント）　こんなこともあるので、受験って過去問をやる価値はあるのかな？でも受験生は
　　　　　４０年ほど前の過去問なんて取り組めないよね．．．。


　高校２年で学ぶ「数学�U」において、平面上の２点間の距離の公式を学習する。

　２点 Ａ（ ｘ₁ ， ｙ₁ ）、Ｂ（ ｘ₂ ， ｙ₂ ）を結ぶ線分の長さ ｄ は、

で与えられる。この距離の定義を用いると、

　２点 Ｏ（ ０ ， ０ ）、Ａ（ １ ， １ ）から等距離ある点の集まり

は、２点 Ａ、Ｂを結ぶ線分の垂直２等分線であることが直ちに求められる。

　実際に、条件を満たす点の座標を、（ ｘ ， ｙ ）とすると、

　（ｘ−０）²＋（ｙ−０）²＝（ｘ−１）²＋（ｙ−１）²

上式を展開して整理すると、　ｘ＋ｙ−１＝０

　これは、２点 Ａ、Ｂを結ぶ線分の垂直２等分線である。

　

　ところで、　　は、Ｅｕｃｌｉｄ 距離関数と呼ばれるが、平面上に
定められる距離は、これ以外にもたくさん存在する。

　平面において、距離 ｄ は次の諸条件を満たすものである。

（１）　任意の２点 Ａ、Ｂ に対して、　ｄ （ Ａ ， Ｂ ）≧０　等号成立は、　Ａ＝Ｂ　のときに限る。

（２）　任意の２点 Ａ、Ｂ に対して、　ｄ （ Ａ ， Ｂ ）＝ｄ （ Ｂ ， Ａ ）

（３）　任意の３点 Ａ、Ｂ、Ｃ に対して、　ｄ （ Ａ ， Ｃ ）≦Ｄ （ Ａ ， Ｂ ）＋ｄ （ Ｂ ， Ｃ ）

　平面上の２点 Ａ（ ｘ₁ ， ｙ₁ ）、Ｂ（ ｘ₂ ， ｙ₂ ）を結ぶ線分の長さを ｄ₁ として、上記の条件を
満たし、かつ、Ｅｕｃｌｉｄ 距離関数以外のものとしては、

　ｄ₁ ＝ ｜ ｘ₁ − ｘ₂ ｜＋｜ ｙ₁ − ｙ₂ ｜

が有名だろう。この距離 ｄ₁ について、先の問題

　　２点 Ｏ（ ０ ， ０ ）、Ａ（ １ ， １ ）から等距離ある点の集まり

は、どうなるであろうか？このような問いかけも数学的に大いに興味があるところである。

　条件を満たす点の座標を、（ ｘ ， ｙ ）とすると、

　｜ ｘ − ０ ｜＋｜ ｙ − ０ ｜＝｜ ｘ − １ ｜＋｜ ｙ − １ ｜

すなわち、　　｜ ｘ ｜＋｜ ｙ ｜＝｜ ｘ − １ ｜＋｜ ｙ − １ ｜

（１）　ｘ≧１　、ｙ≧１　のとき、　ｘ＋ｙ＝ｘ−１＋ｙ−１　より、　０＝−２　で不適。

　　よって、　この領域は、求める領域には含まれない。

（２）　ｘ≧１　、０≦ｙ＜１　のとき、　ｘ＋ｙ＝ｘ−１−ｙ＋１　より、　ｙ＝０

　　よって、　ｙ＝０　（ｘ≧１　、０≦ｙ＜１）は、求める領域には含まれる。

（３）　ｘ≧１　、ｙ＜０　のとき、　ｘ−ｙ＝ｘ−１−ｙ＋１　より、　０＝０　で適。

　　よって、　ｘ≧１　、ｙ＜０　は、求める領域には含まれる。

（４）　０≦ｘ＜１　、ｙ≧１　のとき、　ｘ＋ｙ＝−ｘ＋１＋ｙ−１　より、　ｘ＝０　で適。

　　よって、　ｘ＝０　（０≦ｘ＜１　、ｙ≧１）は、求める領域には含まれる。

（５）　０≦ｘ＜１　、０≦ｙ＜１　のとき、　ｘ＋ｙ＝−ｘ＋１−ｙ＋１　より、　ｘ＋ｙ＝１

　　よって、　ｘ＋ｙ＝１　（０≦ｘ＜１　、０≦ｙ＜１）は、求める領域には含まれる。

（６）　０≦ｘ＜１　、ｙ＜０　のとき、　ｘ−ｙ＝−ｘ＋１−ｙ＋１　より、　ｘ＝１　で不適。

　　よって、　０≦ｘ＜１　、ｙ＜０　は、求める領域には含まれない。

（７）　ｘ＜０　、ｙ≧１　のとき、　−ｘ＋ｙ＝−ｘ＋１＋ｙ−１　より、　０＝０　で適。

　　よって、　ｘ＜０　、ｙ≧１　は、求める領域には含まれる。

（８）　ｘ＜０　、０≦ｙ＜１　のとき、　−ｘ＋ｙ＝−ｘ＋１−ｙ＋１　より、　ｙ＝１　で不適。

　　よって、　ｘ＜０　、０≦ｙ＜１　は、求める領域には含まれない。

（９）　ｘ＜０　、ｙ＜０　のとき、　−ｘ−ｙ＝−ｘ＋１−ｙ＋１　より、　０＝２　で不適。

　　よって、　ｘ＜０　、ｙ＜０　は、求める領域には含まれない。

　以上から、求める領域は下図のようになる。

　　


（追記）　平成２９年１月１９日付け

　絶対値関数の驚くべき性質について、最近遭遇したのでまとめておきたい。まず、次の問
題をご覧ください。

　ｎは整数とする。このとき、

　Ｓ（ｎ）＝｜ｎ−１｜＋｜ｎ−２｜＋・・・＋｜ｎ−９｜＋｜ｎ−１０｜　の絶対値を外せ。

（解）　ｎ＜１　のとき、Ｓ（ｎ）＝−（ｎ−１）−（ｎ−２）−・・・−（ｎ−１０）＝−１０ｎ＋５５

　ｎ＞１０　のとき、　Ｓ（ｎ）＝（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋（ｎ−１０）＝１０ｎ−５５

　一般に、自然数ｋ（１≦ｋ≦９）に対して、ｋ≦ｎ≦ｋ＋１　のとき、

Ｓ（ｎ）＝（ｎ−１）＋・・・＋（ｎ−ｋ）−（ｎ−（ｋ＋１））−・・・−（ｎ−９）−（ｎ−１０）

　＝ｋ（２ｎ−ｋ−１）/２−（１０−ｋ）（２ｎ−ｋ−１１）/２

　＝２（ｋー５）ｎ−ｋ²−ｋ＋５５　　（終）


　この問題について、多分多くの方が上記のように解くであろうと思われる。数学のセンスに
溢れる方は、もしかしたら次のように解くかもしれない。

　ｎ＜１、ｎ＞１０については、上記と同じ。

　１≦ｎ≦１０　のとき、

Ｓ（ｎ）＝（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋（ｎ−（ｎ−１））
　　−（ｎ−（ｎ＋１））−（ｎ−（ｎ＋２））−・・・−（ｎ−９）−（ｎ−１０）

　＝１＋２＋・・・＋（ｎ−１）＋（１＋２＋・・・＋（１０−ｎ））

　＝ｎ（ｎ−１）/２＋（１０−ｎ）（１１−ｎ）/２

　＝（ｎ²−ｎ＋ｎ²−２１ｎ＋１１０）/２

　＝ｎ²−１１ｎ＋５５


　このように、Ｓ（ｎ）がｎの２次式で表されるという事実はあまり知られていないかもしれない。


　次のように考えても、Ｓ（ｎ）がｎの２次式で表されることに気づかされる。ただし、このような
考えに至ることは通常ないことであろう。


　自然数ｋ（１≦ｋ≦９）に対して、ｋ≦ｎ≦ｋ＋１　のとき、

Ｓ（ｋ）＝（ｋ−１）＋・・・＋（ｋ−（ｋ−１））−（ｋ−（ｋ＋１））−・・・−（ｋ−９）−（ｋ−１０）

　＝１＋２＋・・・＋（ｋ−１）＋１＋２＋・・・＋（１０−ｋ）

　＝ｋ（ｋ−１）/２＋（１０−ｋ）（１１−ｋ）/２

　＝ｋ²−１１ｋ＋５５

　同様にして、

Ｓ（ｋ＋１）＝ｋ＋・・・＋１−（ｋ＋１−（ｋ＋２））−・・・−（ｋ−８）−（ｋ−９）

　＝ｋ（ｋ＋１）/２＋１＋２＋・・・＋（９−ｋ）

　＝ｋ（ｋ＋１）/２＋（９−ｋ）（１０−ｋ）/２

　＝ｋ²−９ｋ＋４５

　よって、　Ｓ（ｋ＋１）−Ｓ（ｋ）＝２ｋ−１０、　Ｓ（１）＝１＋２＋・・・＋９＝４５　より、

　２≦ｎ≦１０　のとき、

　Ｓ（ｎ）＝４５＋Σ_{ｋ=1〜ｎ-1}（２ｋ−１０）＝４５＋ｎ（ｎ−１）−１０（ｎ−１）＝ｎ²−１１ｎ＋５５

この式は、ｎ＝１のときも成り立つ。

　よって、　Ｓ（ｎ）＝ｎ²−１１ｎ＋５５　である。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２９年１月１９日付け）

　上記の問題を見て、類題がありました。１９６１年の京都大学理系の５番。

　ｎが整数であるとき、Ｓ＝｜ｎ−1｜＋｜ｎ−2｜＋・・・＋｜ｎ−100｜の最小値を求
めよ。また、そのときのｎの値を求めよ。


（コメント）　私の職場で絶対値の問題を話題にしたら、ある方が「どこかで解いた覚えがあ
　　　　　る」と言われた。多分、これのことだったのかな？


　京都大学の問題を解いてみました。（平成２９年１月２１日付け）

　ｎ＜１　のとき、　Ｓ（ｎ）＝−（ｎ−1）−（ｎ−2）−・・・−（ｎ−100）＝−100ｎ＋5050

　　よって、ｎ＝０　のとき、最小値　5050　をとる。

　ｎ＞100　のとき、　Ｓ（ｎ）＝（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋（ｎ−１０）＝100ｎ−5050

　　よって、ｎ＝100　のとき、最小値　5050　をとる。

　１≦ｎ≦100　のとき、

　Ｓ（ｎ）＝Σ_ｋ=1〜ｎ（ｎ−ｋ）＋Σ_{ｋ=ｎ+1〜100}（−ｎ＋ｋ）

　　＝ｎ²−ｎ（ｎ＋１）/２−（100−ｎ）（101−ｎ）/２

　　＝ｎ²−101ｎ＋5050

　　よって、ｎ＝５０、５１　のとき、最小値　2500　をとる。

　以上から、求める最小値は、２５００


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年１月２０日付け）

　数学的意味を考えれば一分で解ける、京大らしい問題ですね。

　絶対値を数直線上の２点の距離と考えると、明らかに、

　　S(50)<S(49)<S(48)<……　、S(51)<S(52)<S(53)<……

　n=50 または 51 のとき、

　S= (|n-1|+|n-51|) + (|n-2|+|n-52|) + …… + (|n-50|+|n-100|)= 50×50 = 2500

　よって、最小値は 2500 （n=50,51 のとき）


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年１月２０日付け）

　ｎは整数で、ｐ=1,2,3,4,5,....　Sum[(Abs[n - k])^p, {k, 1, 100}]  の時の最小値は？


（追記）　令和５年４月３０日付け

　防衛医科大学校　医学教育学部（２０２２）　で、絶対値に関する問題が出題された。問題
の趣旨は、上記の京都大学理系（１９６１）と同様である。

　少々骨のある７題を、９０分で解かなければならないという中での１問で、DD++ さんのよう
な考え方をすれば、要領よく処理されるのだろう。

�V．　実数 ｘ の関数 Ｆ_ｎ（ｘ）＝Σ_k=1ⁿ ｜ｘ−ｋ｜（ｎ＝１、２、３、・・・） がある。次の問いに答
　　えよ。

（１）　関数Ｆ₃（ｘ）の最小値を求めよ。

（２）　ある奇数ｍに対し、Ｆ_ｍ（ｘ）の最小値が３０であるとき、ｍの値を求めよ。

（解）（１）　Ｆ₃（ｘ）＝｜ｘ−１｜＋｜ｘ−２｜＋｜ｘ−３｜　において、

　ｘ＜１　のとき、　Ｆ₃（ｘ）＝−ｘ＋１−ｘ＋２−ｘ＋３＝−３ｘ＋６

　１≦ｘ＜２　のとき、　Ｆ₃（ｘ）＝ｘ−１−ｘ＋２−ｘ＋３＝−ｘ＋４

　２≦ｘ＜３　のとき、　Ｆ₃（ｘ）＝ｘ−１＋ｘ−２−ｘ＋３＝ｘ

　３≦ｘ　のとき、　Ｆ₃（ｘ）＝ｘ−１＋ｘ−２＋ｘ−３＝３ｘ−６

　

　上図より、関数Ｆ₃（ｘ）は、ｘ＝２ のとき最小で、最小値 ２

（２）　ｍ＝２ｎ＋１　（ｎ＝０、１、２、・・・）　とおくと、

　Ｆ_ｍ（ｘ）＝｜ｘ−１｜＋｜ｘ−２｜＋・・・＋｜ｘ−（ｎ＋１）｜＋・・・＋｜ｘ−ｍ｜

（１）と同様にして、Ｆ_ｍ（ｘ）は、ｘ＝ｎ＋１ のとき最小で、最小値は、

　Ｆ_ｍ（ｎ＋１）＝２（ｎ＋（ｎ−１）＋・・・＋１）＝ｎ（ｎ＋１）

題意より、　ｎ（ｎ＋１）＝３０　なので、　ｎ²＋ｎ−３０＝０

　（ｎ＋６）（ｎ−５）＝０　で、ｎ は、０以上の整数より、　ｎ＝５

　よって、　ｍ＝２・５＋１＝１１　である。　　（終）


（別解）　DD++ さんの指針に従えば、答えは暗算で求められる。

　絶対値を数直線上の２点の距離と考えると、明らかに、点（１，０）と（３，０）の中点で最小

となるので、特に場合分けをしなくても、（１）では、ｘ＝２ で最小ということが分かる。

（２）も同様である。　　（終）


　DD++さんからのコメントです。（平成２９年１月２０日付け）

　p≧2 なら、二階微分可能で、S''(x)>0 かつ S'(50.5)=0 から S(50.5) が最小なのは明らか。
あとの計算が面倒なだけの問題と思います。

(追記)　実数じゃなく整数限定でしたね。それでも実数拡張したもので同様に考えて、あとは
　　　　対称性から S(50)=S(51) を計算するだけの、やはり面倒なだけの問題……。


（追記）　平成３０年１２月３日付け

　絶対値のついた関数　ｙ＝|ｘ|　のグラフが下図のようになることは、皆さん、ご存じだろう。

　

　このページの冒頭の方で、いくつかの絶対値を含む関数のグラフを描いた。

　これに対して、折れ線グラフからその関数式を場合分けすることなく一つの式で表すことを
考えたい

（基本的な技）

　

　上図を表す関数は、　ｙ＝|ｘ|　である。このことを一般化して、

（１）　ｘ軸方向の平行移動

　

　上図を表す関数は、　ｙ＝|ｘ−ａ|　である。

（２）　ｙ軸方向の拡大・縮小

　

　上図を表す関数は、　ｙ＝ａ|ｘ|　である。

（３）　傾き０から傾きａに変化

　

　上図を表す関数は、　ｙ＝（ａ/２）（|ｘ−ｐ|＋ｘ−ｐ）　である。

（４）　傾きが−ａから０、そしてａと変化

　

　上図を表す関数は、　ｙ＝（ａ/２）（|ｘ＋ｐ|＋|ｘ−ｐ|−２ｐ）　である。


　いくつかの応用題を考えてみよう。

問題１　傾きが−ａからｂ、そしてａと変化する折れ線グラフの式を求めよ。

（解）

　

　上図を表す関数は、

　ｙ＝｛（ａ＋ｂ）/２｝|ｘ＋ｐ|＋｛（ａ−ｂ）/２｝|ｘ−ｐ|−（ａ−ｂ）ｐ

である。

　実際に、ｙ＝ｍ|ｘ＋ｐ|＋ｎ|ｘ−ｐ|＋ｋ　とおいて、傾きに注目すると、

　ｍ＋ｎ＝ａ　、　ｍ−ｎ＝ｂ

から、　ｍ＝（ａ＋ｂ）/２　、ｎ＝（ａ−ｂ）/２　である。

　ｘ＝−ｐ　のとき、　ｙ＝２ｐｎ＋ｋ＝０

　ｘ＝ｐ　のとき、　ｙ＝２ｐｍ＋ｋ＝−ａ

　何れにしても、　ｋ＝−（ａ−ｂ）ｐ　を得る。　　（終）


　上記では左端と右端の傾きが−１倍の関係にあり、ある意味で左右対称の関係にある。

　それでは、左右非対称の場合の折れ線グラフの式を作ってみよう。

例えば、次の折れ線グラフはどうだろう？

　

　傾きが、−２→−１→３　と変化するので、ｙ＝ｍ|ｘ＋１|＋ｎ|ｘ−１|　において、

　−ｍ−ｎ＝−２　、ｍ−ｎ＝−１　、ｍ＋ｎ＝３

としてしまうと第１式と第３式で矛盾が生じる。この矛盾を回避するには傾きそのものではな
く、傾きの増分に着目すればよい。

　傾きの増分は、　１→４　と変化するので、

　ｍ−ｎ−（−ｍ−ｎ）＝１　すなわち、　２ｍ＝１　より、　ｍ＝１/２

　ｍ＋ｎ−（ｍ−ｎ）＝４　すなわち、　２ｎ＝４　より、　ｎ＝２

　よって、　ｙ＝（１/２）|ｘ＋１|＋２|ｘ−１|　を得る。

　ただ、この関数の傾きは、−５/２→−３/２→５/２　と変化するので、傾きの変化を、
−２→−１→３　とするために、一律に傾きに　１/２を加えればよい。

　すなわち、関数式は、　ｙ＝（１/２）|ｘ＋１|＋２|ｘ−１|＋（１/２）ｘ　となる。

　ｘ＝−１のとき、ｙ＝４−１/２＝７/２　なので、ｘ＝−１　のとき、ｙ＝０　とするために、

求める関数式は、　ｙ＝（１/２）|ｘ＋１|＋２|ｘ−１|＋（１/２）ｘ−７/２　となる。


　１次関数　ｙ＝ｃｘ＋ｄ　を関数式に加えても、傾きの増分に変化はないので、初めから求め
る式を、
　　　　　　ｙ＝ｍ|ｘ＋１|＋ｎ|ｘ−１|＋ｃｘ＋ｄ

と置いてもよいことに気がつく。このとき、次の連立方程式が得られる。

　−ｍ−ｎ＋ｃ＝−２　、ｍ−ｎ＋ｃ＝−１　、ｍ＋ｎ＋ｃ＝３

　これを解くと、　ｍ＝１/２　、ｎ＝２　、ｃ＝１/２　で、

　　ｙ＝（１/２）|ｘ＋１|＋２|ｘ−１|＋（１/２）ｘ＋ｄ

　ｘ＝−１　のとき、　ｙ＝４−１/２＋ｄ＝０　より、　ｄ＝−７/２

　よって、求める関数式は、　ｙ＝（１/２）|ｘ＋１|＋２|ｘ−１|＋（１/２）ｘ−７/２　となる。


（コメント）　こちらの方がより実戦的ですね！


問 題　　｜ｘ−２｜＋｜ｙ−２｜≦１　のとき、ｙ/ｘ＋ｘ/ｙの最大値・最小値を求めよ。

（解）　ｙ/ｘ＝ｍ　とおくと、１/２≦ｍ≦２

　　　ｚ＝ｍ＋１/ｍ　とおくと、　ｚ’＝１−１/ｍ²＝（ｍ＋１）（ｍ−１）/ｍ²　より、ｍ＝±１

　ｍ＝１のとき極小かつ最小で、最小値は２

　ｍ＝１/２、２のとき、最大値は５/２　　（終）


　絶対値のついた１次関数のグラフは折れ線というイメージだが、そのイメージとはかけ離
れた例がある。

　|ｙ＋１|＋ |ｙ−１|＝ |ｘ＋１|＋ |ｘ−１|

　ｙ＜−１　のとき、　−ｙ−１−ｙ＋１＝ |ｘ＋１|＋ |ｘ−１|　より、ｙ＝−（|ｘ＋１|＋ |ｘ−１|）/２

　　ｘ＜−１　のとき、　ｙ＝ｘ

　　−１≦ｘ＜１　のとき、　ｙ＝−１

　　ｘ≧１　のとき、　ｙ＝−ｘ

−１≦ｙ＜１　のとき、　ｙ＋１−ｙ＋１＝ |ｘ＋１|＋ |ｘ−１|　より、　|ｘ＋１|＋ |ｘ−１|＝２

　　ｘ＜−１　のとき、　−ｘ−１−ｘ＋１＝２　より、　ｘ＝−１（不適）

　　−１≦ｘ＜１　のとき、　ｘ＋１−ｘ＋１＝２　より、　いつも成立なので、　−１≦ｘ＜１

　　ｘ≧１　のとき、　ｘ＋１＋ｘ−１＝２　より、　ｘ＝１（適）

　このとき、　−１≦ｘ≦１

ｙ≧１　のとき、　ｙ＋１＋ｙ−１＝|ｘ＋１|＋ |ｘ−１|　より、　ｙ＝（|ｘ＋１|＋ |ｘ−１|）/２

　　ｘ＜−１　のとき、　ｙ＝−ｘ

　　−１≦ｘ＜１　のとき、　ｙ＝１

　　ｘ≧１　のとき、　ｙ＝ｘ

　以上を図示すると、



となり、折れ線とは違う「領域」が現れた。


　ｋｓさんからのコメントです。（令和２年９月１６日付け）

　直線の積の不等式による領域は、正領域と負領域に境界をまたいで変化します。
｜ｘｙ｜＞０の場合は、境界をまたいでも、符号が変化しないところが面白い。


（追記）　令和６年１１月２日付け

　次の東北大学　理系（１９８４）の問題は、絶対値のついた最小値に関する問題である。

問題５　　ｎを自然数とし、Ｆ（ｘ）＝Σ_k=1²ⁿ ｜ｘ−３^k｜とする。
（１）　ｘ が実数全体を動くとき、Ｆ（ｘ）の値を最小にするような実数 ｘ の集合を求めよ。
（２）　Ｆ（ｘ）の最小値を ａ_ｎ とするとき、ａ_ｎ および ｌｉｍ_n→∞ ａ_ｎ/９^ｎ を求めよ。

（解）（１）　Ｆ（ｘ）のグラフの特徴から、３ⁿ≦ｘ≦３ⁿ⁺¹ で最小である。

（２）　ａ_n＝３ⁿ⁺¹＋３ⁿ⁺²＋・・・＋３²ⁿ−（３＋３²＋・・・＋３ⁿ）＝（３ⁿ−１）（３＋３²＋・・・＋３ⁿ）

すなわち、　ａ_n＝（３/２）（３ⁿ−１）²　となる。

このとき、ａ_ｎ/９^ｎ＝（３/２）（１−１/３ⁿ）²　→　３/２

すなわち、　ｌｉｍ_n→∞ ａ_ｎ/９^ｎ＝３/２　　（終）



　　以下、工事中！