有理化の真実 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　分母の有理化というと、「大凡の数の大きさを求めるため」という視点の他に、「数の拡張
で、商の定義が適切かを確認するため」という視点もあるということを、当ＨＰがいつもお世
話になっているＳ（Ｈ）さんからの一連の課題からご教示いただいた。
（平成２１年２月２５日付け）

例　有理数体Ｑに、数を添加した体Ｑ（）において、１/ は、１ と の線形結合
　　で表される。

　中学校数学風にやれば、１/＝/２　なので、１/＝０・１＋（1/2）　であるが、
分母の有理化の一般化を想定すれば、次のような計算をするのだろう。

（解）　ｘ＝　は、２次方程式 ｘ2−２＝０ を満たす。（→　２次式 ｘ2−２ の零点！）

このとき、ｘ2＝２ より、１＝ｘ2/２ で、１/ｘ＝ｘ/２

したがって、１/＝/２＝０・１＋（1/2）　　（終）


例　有理数体Ｑに、数 を添加した体Ｑ（）において、１/（＋１） は、 １ と
　　の線形結合で表される。

（解）　ｘ＝　は、２次方程式　ｘ2−２＝０　を満たす。（→　２次式 ｘ2−２ の零点！）

このとき、ｘ2＝２ より、ｘ2−１＝１ で、（ｘ＋１）（ｘ−１）＝１ より、１/（ｘ＋１）＝ｘ−１

したがって、１/（＋１）＝−１＝（−１）・１＋１・　　（終）


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんが、累乗根の有理化問題を出題
　　　　されました。（平成２７年５月４日付け）

　平方根の有理化で、　１/(１＋−)＝(２＋＋)/４　とできる。では、

　P＝１/(１＋−)　、Q＝１/(１＋−)　、R＝１/(１＋−)

をそれぞれ有理化したらどんな式になるか？


　Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２７年５月４日付け）

　或る発想で解くと、

　1/(1 + 64^(1/5) - 4^(1/5)) = (25 + 8・2^(1/5) + 9・2^(2/5) - 10・2^(3/5) + 29・2^(4/5))/161

　1/(1 + 2^(1/7) + 64^(1/5) - 4^(1/3))  と冪を変えた場合の有理化は？


　よおすけさんからのコメントです。（平成２７年５月４日付け）

　P＝１/(１＋−) で間違いないですか？もし、P＝１/(１＋＋) なら、分母、分
子に、(１−) をかけて、−１ となりますが．．．。


　らすかるさんが考察されました。（平成２７年５月４日付け）

　P＝１/(１＋−) は、 x＝ とおけば、 P＝１/(１＋x−x2)

　ここで、１＋x−x2＝−x2＋x＋1 … (1) は、x倍して、 x2＋x−２ … (2)　（∵x3＝２）

再度x倍して、 x2−２x＋２ … (3)　で、(2)＋(1) は、２x−１　、(3)＋(1) は、−x＋３　より、

　{(2)＋(1)}＋２{(3)＋(1)}＝５　すなわち、　(1)×３＋(2)＋(3)×２＝５　だから、

　(１＋x−x2)(３＋x＋２x2)＝５

よって、P＝１/(１＋x−x2)＝(３＋x＋２x2)/５＝（３＋＋２・）/５

　Q＝１/(１＋−) は、 x＝ とおけば、 Q＝１/(１＋x−x3)

　ここで、１＋x−x3＝−x3＋x＋１ … (1) は、x倍して、 x2＋x−２ … (2)　（∵x4＝２）

再度x倍して、 x3＋x2−２x … (3)　、再度x倍して、 x3−２x2＋２ … (4)　で、

　(1)＋(3)は、　x2−x＋１ … (5)　、(1)＋(4)は、　−２x2＋x＋３ … (6)　、

　(2)−(5)は、２x−３ … (7)

　(2)×２＋(6)は、　３x−１ … (8)　、(8)×２−(7)×３ は、７　より、

｛(2)×２＋(1)＋(4)｝×２−｛(2)−(1)−(3)｝×３＝７　すなわち、

(1)×５＋(2)＋(3)×３＋(4)×２＝７　だから、(１＋x−x3)(５＋x＋３x2＋２x3)＝７

よって、　Q＝１/(１＋x−x3)＝(５＋x＋３x2＋２x3)/７＝（５＋＋３・＋２・）/７

　R＝１/(１＋−) は、 x＝ とおけば、 R＝１/(１＋x3−x)

　ここで、１＋x3−x＝x3−x＋１ … (1) は、x倍して、 x4−x2＋x … (2)

再度x倍して、 −x3＋x2＋４ … (3)　（∵x5＝4）　、再度x倍して、 −x4＋x3＋４x … (4)

再度x倍して、 x4＋４x2−４ … (5)　で、

　(2)＋(4)は、　x3−x2＋５x … (6)　、(4)＋(5)は、　x3＋４x2＋４x−４ … (7)

　(1)＋(3)は、　x2−x＋５ … (8)　、(3)＋(6)は、　５x＋４ … (9)　、

　(3)＋(7)は、　５x2＋４x … (10)　、(10)−(8)×５は、　９x−２５ … (11)　、

　(9)×９−(11)×５は、１６１　より、

　　｛(3)＋(2)＋(4)｝×９−［(3)＋(4)＋(5)−｛(1)＋(3)｝×５］×５＝１６１

すなわち、　(1)×２５＋(2)×９＋(3)×２９＋(4)×４−(5)×５＝１６１　だから、

　(１＋x3−x)(２５＋９x＋２９x2＋４x3−５x4)＝１６１

よって、

R＝１/(１＋x3−x)＝(２５＋９x＋２９x2＋４x3−５x4)/１６１

　＝(２５＋９・＋２９・＋４・−５・)/１６１


（コメント）　らすかるさんの解法は、「有理化の真実」の趣旨に沿うもので参考になります。

　１/（+1） の有理化を考える場合、らすかるさんの手法を使えば次のようになります。

　ｘ＝ とおく。　ｘ＋１ ・・・(1)　に、ｘ を掛けて、　ｘ2＋ｘ＝ｘ＋２　・・・(2)　（∵x2＝２）　で、

　(2)−(1)は、1　より、　(ｘ＋1)(ｘ−1)＝１　だから、　１/（ｘ＋１）＝ｘ−１＝−１


　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」の平成２７年５月６日付けのＳ（Ｈ）さんのコメントを参考に
P＝１/(１＋−) 　の有理化の別解を考えてみた。

　＝ｘ　とおくと、P＝１/(１＋ｘ−ｘ2)　で、ｘ3＝２　より、　ｘ3−２＝０

　(ｘ3−２)÷(−ｘ2＋ｘ＋１)　を計算して、商は、−ｘ−１　で、余りは、２ｘ−１

　(−ｘ2＋ｘ＋１)÷(２ｘ−１)　を計算して、商は、−(１/２)ｘ＋１/４　で、余りは、５/４

　よって、ｘ3−２＝(−ｘ2＋ｘ＋１)(−ｘ−１)＋２ｘ−１　、

　−ｘ2＋ｘ＋１＝(２ｘ−１)(−(１/２)ｘ＋１/４)＋５/４　より、

　−ｘ2＋ｘ＋１＝｛ｘ3−２−(−ｘ2＋ｘ＋１)(−ｘ−１)｝(−(１/２)ｘ＋１/４)＋５/４

すなわち、　(ｘ3−２)((１/２)ｘ−１/４)＋(−ｘ2＋ｘ＋１)｛１＋(−ｘ−１)(−(１/２)ｘ＋１/４)｝＝５/４　より、

　　(ｘ3−２)((２/５)ｘ−１/５)＋(−ｘ2＋ｘ＋1)((２/５)ｘ2＋(１/５)ｘ＋３/５)＝１　・・・（*）

　上式に、x＝ を代入して、　P＝（３＋＋２・）/５　が示される。


（コメント）　上式のベズーの等式（*）が有理化のための基本の式になるんですね！


　ＧＡＩ さんから新しい問題をいただきました。（令和５年９月１５日付け）

　ｘ＝　のとき、

(1)　P＝１/(ｘ2＋３ｘ＋１)　　(2)　Q＝１/(ｘ3＋３ｘ＋１)

なる式を有理化せよ。


（コメント）　S(H)さんの手法を用いて、

（１）　ｘ3−２＝(ｘ2＋３ｘ＋１)（ｘ−３）＋８ｘ＋１

　　ｘ2＋３ｘ＋１＝（８ｘ＋１）（（１/８）ｘ＋２３/６４）＋４１/６４　から、８ｘ＋１ を消去して、

　（ｘ3−２）（−８ｘ−２３）＋(ｘ2＋３ｘ＋１)（８ｘ2−ｘ−５）＝４１

　ｘ＝　のとき、ｘ3−２＝０　なので、　P＝１/(ｘ2＋３ｘ＋１)＝（８ｘ2−ｘ−５）/４１

（２）　ｘ3＋３ｘ＋１＝３ｘ＋３＝３（ｘ＋１）　より、

　（ｘ＋１）（ｘ2−ｘ＋１）＝ｘ3＋１＝３　なので、

　Q＝１/(ｘ3＋３ｘ＋１)＝１/（３（ｘ＋１））＝（ｘ2−ｘ＋１）/９



　　　以下、工事中