いろいろな数を手計算で求めることは、その数のおおよその値の把握に有効なことはも
ちろん、その数に対して親近感が増すという意味でも、常々意識しなければいけないことだ
と思う。
当ＨＰでは、平方根や立方根を手計算で求める方法について整理している。
（参考） 平方根・立方根を筆算で求める方法について
方程式による開平
また、「手計算が面白い」には、種々の数を手計算で求める方法がまとめられている。
平方根や立方根などの代数的数は、その定義方程式があるので、比較的手計算で求め
やすく、方法も、種々考えられる。
複素数 α が代数的数とは、有理数を係数とする代数方程式
ａＸｎ ＋ ｂＸｎ-1 ＋ ・・・ ＋ ｃ ＝ ０ （ ｎ≧１ 、 ａ≠０ ）
の根になっている場合をいう。（→参考 「根と解の違い」）
（上記では、方程式の係数として、有理数体を考えているが、もちろん、一般の体 Ｆ上
の代数的数も定義される。このページでは、Ｆ として、有理数体に限定して、話を進
めることにする。）
代数的数 α に対して、上記のような性質を持つ方程式のことを、定義方程式という。
定義方程式は無数に存在するが、特に、左辺の多項式において、ａ ＝ １ で次数 ｎ が最
小な多項式はただ一つに定まる。この多項式のことを、代数的数 α の最小多項式という。
最小多項式は、必ず、既約である。（すなわち、これ以上因数分解できない。）
例 虚数単位 ｉ は、Ｘ2＋１＝０ を満たす。したがって、虚数単位 ｉ は、代数的数である。
Ｘ2＋１ は、虚数単位 ｉ の最小多項式である。
代数的数について、次のことが知られている。
定理 ２つの代数的数の 和・差・積・商 も代数的数である。
（もちろん、商の場合は、分母は、０以外とする。）
例 上記の定理から、
＋ 
は代数的数である。その最小多項式は、Ｘ6 ＋ ６ Ｘ4 − ４ Ｘ3 ＋ １２ Ｘ2 ＋ ２４ Ｘ ＋ ８
である。 （参考 「方程式の生成」）
代数的数にならない複素数を、超越数という。
例 超越数としては、円周率 π や自然対数の底 ｅ などが有名である。
１９００年、ヒルベルトは、数学の将来の問題として「２３の問題」を提出した。これらの問
題がどれほど解けたかが、数学の進歩を測る指標にもなっている。その中の７番目の問
題が、超越数に関するものである。（タイトルは、「種々の数の無理性と超越性」）
『 ０ または １ でない代数的数を α 、有理数でない代数的数を β とするとき、
数 α β は、超越数であるか？ 』
上記の問題は、１９３４年 ゲルフォント、シュナイダーによって独立に肯定的に解決され
た。
したがって、ｅπ が超越数になることはもちろん、２
のような代数的数同士の組合せですら、
が有理数でないということから、超越数となる。円周率のおおよその値を手計算で求めることは、大変興味あることである。
（→ 参考 「大学入試問題００１」 、 「円周率を近似する分数」）
ただ、円周率の場合、手計算よりむしろ、最近では、スーパーコンピュータの性能検査に、
円周率の計算が使われたりする。（→ 参考 「 π の歴史」）
自然対数の底 ｅ の値も興味ある数であるが、手計算で求めることは、少し大変である。
１．０１100 を計算した位では、２．７ 位しか求まらず、２．７１８ という数にたどり着くには、
１．０００１10000 程度まで計算する必要がある。自然対数の底 ｅ の値を実験で体感する
方法もある。（→ 参考 「自然対数の底 ｅ の体感」）
このように、超越数を手計算で求めることは、代数的数の場合と違って、すんなりとはい
かない。
超越数 ２
の場合はどうであろうか。表計算ソフト Ｅｘｃｅｌ を用いて計算してみると、その値は、およそ ２．６６５１４４１４３・・・
となる。せめて小数点以下第３位ぐらいまでは、手計算で求めてみたいという希望はある
ものの、その方法はあるのだろうか？
＜１．５ なので、（２1．5）2＝８＜９ より、２ ＜３ であることは、直ちに分かる。さらに、 １．４＜
なので、 （２1．4）15＝２21＝２０９７１５２＞１８８９５６８＝１８5よって、 （２1．4）3＞１８ で、 ２．６3＝１７．５７６ より、 ２．６ ＜ ２1．4 ＜ ２
＜１．５ という評価が少し甘すぎたので、試しに、 ＜１．４５ としてみる。このとき、（２1．45）10＝２14．5＝２14
＜２14×１．４１４２＜２３１７０．２５３ところで、２９６１９．６７７＜２．８10 なので、（２1．45）10＜２．８10
したがって、 ２
＜２．８ となり、 ２．６＜２ ＜２．８ が成り立つ。このように、上記のような評価のみに頼った計算では、小数第１位すら確定することが
出来ない。
この数を小数第３位まで手計算で求める方法について、北海道大学の中村先生より解
答をお寄せいただいた。お忙しい中、お考えいただいた中村先生に感謝しつつ、その方策
を展望したいと思う。
まず、予備知識を確認しておこう。高校で学習する二項定理を一般化して、次の定理が
成り立つ。
定理（二項級数） α は任意の実数とするとき、−１＜Ｘ＜１ において、
が成り立つ。
・・・ 超越性の証明は、ゲルフォント（１９３４）
が成り立つ。（証終）
