円周率を近似する分数　 を作る繁分数　 　　　　　　　　　　　　戻る

　円周率の連分数展開
　　　　　　　　　　　　　　　　　
において、

　　分母を　２９２＋・・・　とする分数は十分 ０ に近い

として、
　　　　　　　　
が得られる。

　円周率の連分数展開に関して、次の書籍：　高木貞治　著　初等整数論講義（共立出版）
が詳しい。

　円周率を、３．１４１５９２６５３５　として、ひたすら割り算を実行することにより、上記の連
分数展開が得られる。

（追記）　平成１８年５月３日付け

　円周率を近似する分数として有名な分数（４５０年頃、中国の祖冲之によるもの）

　　　　　　　　　

の小数表示（もちろん循環小数になる）は次の通りである。


３．１４１５　９２９２　０３５３　９８２３　００８８　４９５５　７５２２　１２３８　９３８０　５３０９
　　７３４５　１３２７　４３３６　２８３１　８５８４　０７０７　９６４６　０１７６　９９１１　５０４４
　　２４７７　８７６１　０６１９　４６９０　２６５４　８６７２　５６６３　７１６８

　　（赤字の １ と ８ の間が循環節である）

　因みに、πの近似値

３．１４１５　９２６５　３５８９　７９３２　３８４６　２６４３　３８３２　７９５０　２８８４　１９７１
　　６９３９　９３７５　１０５８　２０９７　４９４４　５９２３　０７８１　６４０６　２８６２　０８９９
　　８６２８　０３４８　２５３４　２１１７　０６７９　８２１４　８０８６　５１３２　８２３０　６６４７　
　　０９３８　４４６０　９５５０　５８２２　３１７２　５３５９　０８１２　８４８１　１１７４　５０２８
　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

と比較してみると、　「３．１４１５９２」までは正しい。昔の人の偉大さが実感できる！


　　（追記）　円周率を近似する分数の小数表示について、ＨＮ「画楽」さんより、一部数値が
　　　　　　欠落してある旨のご指摘をいただきました。（平成２３年１１月１６日付け）

　　　　　　確認したところ、ご指摘の通りで、早速修正させていただきました。上記は、修正
　　　　　済みのものです。多倍長演算ルーチンを作成していて、たまたま発見されたとのこ
　　　　　とで、画楽さんに感謝いたします。（→　画楽のＳ研究所）


　　　　　　ＦＮさんも検証されました。（平成２３年１１月１７日付け）

　　　　　　　エクセルで確認してみました。A1セルに113、B1セルに355を書く。
　　　　　　A2セルに=INT(B1/A$1)、B2セルに=(B1-A2*A$1)*10を書く。
　　　　　　A2、B2を下へ100個強コピーする。A2以下に結果が出ます。
　　　　　　　確かに画楽さんの書かれてる通りになっています。

　　　　　　ｐ、ｑが自然数で、ｐとｑが互いに素であるとき、ｑ/ｐを小数で表せば、循環節の長
　　　　　さがｐ-1以下の循環小数になることはすぐにわかりますが、ｐが素数であれば循環
　　　　　節の長さは、ｐ-1の約数になるようです。

　　　　　　113は素数だから、355/113の循環節の長さは、112の約数であり、107になる可
　　　　　能性はないので、計算しなくても間違いがあることはわかります。画楽さんはこのこ
　　　　　とから間違いがあるはずだとして計算されたのかもしれません。

　　　　　問題　ｐは素数、ｑは、0＜ｑ＜ｐを満たす自然数とする。このとき、ｑ/ｐを小数で表
　　　　　　　　　したときの循環節の長さは、ｐ-1の約数であることを証明せよ。

　　　　　　　循環節の長さは、１０ｎ≡１　（ｍｏｄ　ｐ）　を満たす自然数 ｎ で定まる。フェルマ
　　　　　　ーの小定理より、ｐが２または５の倍数でないとして、１０ｐ-1≡１　（ｍｏｄ　ｐ）が成
　　　　　　り立つ。したがって、巡回群の位数を考えれば、１０ｎ≡１　（ｍｏｄ　ｐ）　を満たす
　　　　　　自然数 ｎ は、ｐ-1 の約数であることが分かる。


　　　　　　ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１１月１８日付け）

　　　　　　　上記の解答を見ると、わりと簡単なようです。と言ってもフェルマーの小定理を
　　　　　　使うので、そんなに簡単でないとも言えます。フェルマーの小定理を使うぐらいだ
　　　　　　から、「巡回群の位数を考えれば」以下の部分は証明不要なのでしょうが、多少
　　　　　　気になります。ｐ は５でない奇素数とすべきでした。

　　　　　　　　ｐ が素数でない場合も、オイラーのφ関数を使って似たような結果が成り立
　　　　　　つでしょうが、次の形で成り立つでしょうか。

　　　　　　　　ｐ、ｑ は互いに素な自然数で、ｐ は２、５と互いに素、かつ、ｐ≠1 とする。ｑ/ｐ
　　　　　　を小数で表せば、循環節の長さがφ(p)の約数である循環小数になる。


　Seiichi　Manyamaさんからのコメントです。（平成２８年３月２０日付け）

　繁分数の話ではないのですが、円周率の近似に関する面白い記事がありました。（記事名
を見て侮ることなかれ？）


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１０月１３日付け）

　円周率の近似分数として有名なものとして、「22/7」と「355/113」がある。これを、より憶え
やすくと工夫してみた。

22/7=(22*720)/(7*720)=(2*11*10*9*8)/(7*6!)

これより、　π/２≒(１１・１０・９・８)/(７・６・５・４・３・２・１)

また、

　355/113
=5*(7+8^2)/(7^2+8^2)   (∵113がmod(113,4)≡1　型の素数なので)
=(35+5*8^2)/(7^2+8^2)
=(6^2-1+(4+1)*8^2)/(7^2+8^2)
=(6^2+8^2+4*8^2-1)/(7^2+8^2)
=(6^2+8^2+255)/(7^2+8^2)
=(6^2+8^2+5^2+230)/(7^2+8^2)
=(6^2+8^2+5^2+7^2+181)/(7^2+8^2)
=(6^2+8^2+5^2+7^2+9^2+10^2)/(7^2+8^2)

より、なんと、　π≒(５2＋６2＋７2＋８2＋９2＋１０2)/(７2＋８2)


　らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１０月１４日付け）

　π≒(１１・１０・９・８)/(７・６・５・４・３)

としてもいいですね。


（コメント）　
　　　　　　　　

　　　　　これは美しいですね！