手計算が面白い　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　平方根の計算ができる電卓が、ほぼタダ同然で手に入る世の中にあって、いろいろな数
学的値が実感できない人が増えつつある。

　 の値が把握されていないものだから、底辺、垂辺の長さが、１ と ２ の直角三角形を
書くと、斜辺の長さは、何も考えずに、 と自信満々に答える。相当に、２：１：　の比
をもつ三角形の呪縛にはまっているという感じである。

　 は、２ より小さい数なので、この３辺の組合せでは、決して斜辺の長さとはなり得ない。
小学・中学・高校において、数の値を把握する訓練の必要性を痛感する。

　例えば、中学３年で学習する「分母の有理化」は、数の値を把握するための計算なのであ
り、何も「分母に無理数があると美しくないから」という理由で有理化するわけではないので
ある。もっと詳しく言及すれば、Ｑ（）＝Ｑ［］が真の意味するところであるが．．．。

　ここら辺の認識が現在の中学・高校生にはないように感じられる。だから、分母に無理数
を残したままでよいというと、一様に生徒は戸惑いを覚えるようだ。いままで、機械的に分母
の有理化を行ってきたツケだろう。

　みなさんは、次の問にすぐ答えることができるだろうか？

問　 ≒１．７３２　であることを用いて、次の数はおおよそいくら位か？

（１）

（２）

（答）　（１）　０．５７７　　（２）　２．３６６

　手計算で平方根、立方根を計算する方法も知られているので、もし興味をもたれたら是
非、挑戦して欲しいと思う。

　このページでは、いろいろな値を手計算で求める方法についてまとめてみたい。

例　 の値を小数第１位まで正しく求めよ。

（解）　４²＜２３＜５²　で、４＜ ＜５　より、　 ＝４＋α　（０＜α＜１）　とおける。

両辺を平方して式を整理すると、　α²＋８α−７＝０ 　という２次方程式が得られる。

このとき、１０α （αの１０倍を考えることにより、αの小数第１位を求める！）を Ｘ とおく。

α＝Ｘ/１０ を、さきほどの２次方程式に代入して式を整理すると、

Ｘ2＋８０Ｘ−７００＝０ 　Ｆ（Ｘ)＝Ｘ2＋８０Ｘ−７００　とおくと、 　　　　　Ｆ(７)＝−９１＜０、Ｆ(８)＝４＞０ 　したがって、左図より、１０α＝Ｘ＝７．・・・　となるので、 　　α＝０．７・・・　であることが分かる。

　以上から、　 ≒ ４．７・・・　となる。　　（終）

　この方法を順次続ければ、平方根の値により近い小数が得られる。

（因みに、電卓を用いれば、 ≒ ４．７９５８３・・・　である。）

例　 の値を小数第１位まで正しく求めよ。

　この値は、関数電卓を用いれば、 ＝０．６３０９２９７４６・・・ である。関数電卓がなく
ても、小数第１位ぐらいまでは手計算で、いつも求まるようにしておきたいものだ。

（解）　２⁶＜３⁴　より、２＜３^{0.666・・・}　だから、 ＜０．６６６・・・

　また、３⁵＜２⁸　より、３^0.625＜２　だから、０．６２５＜

したがって、０．６２５＜ ＜０．６６６・・・ となり、 ≒０．６・・・　であることが分かる。

　この手計算で、 の小数第２位を決定することは難しい。

　２²⁰＝１０４８５７６、３¹³ ＝１５９４３２３　で、２²⁰＜３¹³　より、２＜３^0.65　だから、

　０．６２５＜ ＜０．６５　を求めるのが精一杯である。


（追記）　平成２５年８月３０日付け

　当ＨＰ読者のＨＮ「ももっこうの父」さんよりご投稿頂きました。

　上記の計算で、指数を１ずつ小さくして、２¹⁹＝５２４２８８、３¹²＝５３１４４１で、

　２¹⁹＜３¹² より、２＜３^0.63158　だから、　０．６２５＜ ＜０．６３２　と求まる。

これより、 の小数第２位は、２または３ということが分かる。さらに続けて、

　２⁴⁶＝７０３６８７４４１７７６６４、３²⁹＝６８６３０３７７３６４８８３　で、２⁴⁶＞３²⁹　より、

　２＞３^0.6304　だから、　０．６３０４＜ ＜０．６３２　と求まる。

　これより、 の小数第２位は、３ということが分かる。


（コメント）　２⁴⁶と３²⁹の計算は大変ですが、手計算でやってやれないことはないですね！
　　　ただ、この２数の組を探す方がもっと大変かも．．．。ももっこうの父さんに感謝します。


（追記）　DD++ さんからご投稿いただきました。（平成２９年１月２５日付け）

　log₃ ２ を（手計算で）求めよ、という問題について、２＝３^x の解をファレイ数列的に有理数
近似していけばいいのではないかということを思いつきました。

　まず、底と真数のうち小さい方の1乗と大きい方の0乗を比較します。
(2= ) 2^1 > 3^0 ( =1) …… (1)

　次に、小さい方の1乗と大きい方の1乗を比較します。
(2= ) 2^1 < 3^1 ( =3) …… (2)

以下、最後に出てきた左辺が大きい式と、最後に出てきた右辺が大きい式で辺々積をとり、
大小を判定します。

(1)(2) の辺々で積をとって比較　　(4= ) 2^2 > 3^1 ( =3) …… (3)

(3)(2) の辺々で積をとって比較　　(8= ) 2^3 < 3^2 ( =9) …… (4)

(3)(4) の辺々で積をとって比較　　(32= ) 2^5 > 3^3 ( =27) …… (5)

(5)(4) の辺々で積をとって比較　　(256= ) 2^8 > 3^5 ( =243) …… (6)

(6)(4) の辺々で積をとって比較　　(2048= ) 2^11 < 3^7 ( =2187) …… (7)

(6)(7) の辺々で積をとって比較　　(524288= ) 2^19 < 3^12 ( =531441) …… (8)

(6)(8) の辺々で積をとって比較　　(134217728= ) 2^27 > 3^17 ( =129140163) …… (9)

(9)(8) の辺々で積をとって比較　　(70368744177664= ) 2^46 > 3^29 ( =68630377364883)

で、 3^(29/46) < 2 < 3^(12/19) が得られ、　0.6304 < 29/46 <log₃ ２< 12/19 < 0.6316 を見
出すことができます。

　この方法の何が嬉しいかといえば、掛け算を2回するごとに、これまでより良い不等式が必
ず手に入る点。せっかく計算したのに当てが外れてガッカリということが一切ありません。

　運悪く不等号が同じ側に連続すると（つまりlogの値が簡単な分母の有理数に近いと）収束
が非常にもたつくという欠点はありますが。

途中から必要な桁数分の有効数字にしても大丈夫と思います。

10^0 < 2^1 ( =2)
10^1 > 2^1 ( =2)
10^1 > 2^2 ( =4) ---> log[10]2 < 1/2 = 0.5
10^1 > 2^3 ( =8) ---> log[10]2 < 1/3 < 0.334
10^1 < 2^4 ( =16) ---> log[10]2 > 1/4 = 0.25
10^2 < 2^7 ( =128) ---> log[10]2 > 2/7 > 0.285
10^3 < 2^10 ( =1024) ---> log[10]2 > 3/10 = 0.3
10^4 > 2^13 ( =8192) ---> log[10]2 < 4/13 < 0.30770
10^7 > 2^23 ( =0.8389×10^7)  ---> log[10]2 < 7/23 < 0.30435
10^10 > 2^33 ( =0.8590×10^10)  ---> log[10]2 < 10/33 < 0.30304
10^13 > 2^43 ( =0.8796×10^13)  ---> log[10]2 < 13/43 < 0.30233
10^16 > 2^53 ( =0.9007×10^16)  ---> log[10]2 < 16/53 < 0.30189
10^19 > 2^63 ( =0.9223×10^19)  ---> log[10]2 < 19/63 < 0.30159
10^22 > 2^73 ( =0.9444×10^22)  ---> log[10]2 < 22/73 < 0.30137
10^25 > 2^83 ( =0.9671×10^25)  ---> log[10]2 < 25/83 < 0.30121
10^28 > 2^93 ( =0.9903×10^28)  ---> log[10]2 < 28/93 < 0.301075
10^31 < 2^103 ( =1.0141×10^31)  ---> log[10]2 > 31/103 > 0.300971
10^59 < 2^196 ( =1.0043×10^59)  ---> log[10]2 > 59/196 > 0.301020
10^87 > 2^289 ( =0.9946×10^87)  ---> log[10]2 < 87/289 < 0.3010381
10^146 > 2^485 ( =0.9989×10^146)  ---> log[10]2 < 146/485 < 0.30103092
10^205 < 2^681 ( =1.0032×10^205)  ---> log[10]2 > 205/681 > 0.30102790
10^351 < 2^1166 ( =1.0021×10^351)  ---> log[10]2 > 351/1166 > 0.30102915
10^497 < 2^1651 ( =1.0010×10^497)  ---> log[10]2 > 497/1651 > 0.30102967
10^643 ? 2^2136 ( =0.9999×10^643)  ---> log[10]2 ? 643/2136 = 0.30102996……
（今回の有効数字だと最後の大小は非常にあやしいので不採用）

で、 0.30102967 < 497/1651 < log₁₀ ２< 146/485 < 0.30103092 を得ました。

　特に、最後の 643/2136 は、仮数部分がぐっと1に近づいたので、大小は不明ですがかな
りよい近似分数になっているのではないかと考えられます。

　右の計算は収束速度の参考にやっただけで、実際は必要な行だけやれば十分です。これ
なら手計算でもなんとかなるのではないでしょうか。

　3/10 に値が近いせいで、3桁目の決定にもたつきすぎなことと、その後は一気に進行する
ことが見て取れますね。log₁₀ ３ はもっと早く求まると思います。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１月２５日付け）

　log の手計算は以前考えたことがありますが、以下の公式を使うと効率良く精度が上げら
れます。(以下、底のない対数は自然対数です)

　y = (x-1)/(x+1) とすると、　logx = log((1+y)/(1-y)) = 2(y + y^3/3 + y^5/5 + …)　なので、

x=(t+1)/t とすると、 y=1/(2t+1) となり、

　log((t+1)/t) = 2(1/(2t+1) + 1/((2t+1)^3・3) + 1/((2t+1)^5・5) + …)

　これを使って、log₃ ２を求めます。t が大きいほど精度が良いので、小さい t を使うのは
避け、まず、

　log(7/6)≒2{1/13+1/(13^3・3)}≒0.154150
　log(8/7)≒2{1/15+1/(15^3・3)}≒0.133531
　log(9/8)≒2{1/17+1/(17^3・3)}≒0.117783

の3つを求めると、

　log2=2{log(7/6)+log(8/7)}+log(9/8)≒0.693145
　log3=3{log(7/6)+log(8/7)}+2log(9/8)≒1.098609

より、log₃ ２=log2/log3≒0.693145/1.098609≒0.630930　のように求まります。

　2/(13^5・5)≒10^(-6) なので、上記のように級数2項で6桁近くの精度があります。級数を1
項増やすと精度は2桁以上上がります。もう1つ、log(10/9)を求めておけば、

　log2=2{log(7/6)+log(8/7)}+log(9/8)
　log3=3{log(7/6)+log(8/7)}+2log(9/8)
　log4=2log2
　log5=log4+log(9/8)+log(10/9)
　log6=log2+log3
　log7=log6+log(7/6)
　log8=3log2
　log9=2log3
　log10=log2+log5

のように、log2〜log10 まで求められますので、log₁₀ ２〜log₁₀ ９も算出できることになります。


　ますた〜さんからのコメントです。（平成２９年１月２６日付け）

　まさにオイラーの用いた方法ですね。これは試行錯誤で気付いたものなのでしょうか？そ
れとも収束が速いと何かしらの方法であらかじめ解っていたのでしょうか？収束の速さを計
算することなくはかる方法があるか以前ふと思ったこともあって気になりました。もしよけれ
ば教えてください。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１月２7日付け）

　オイラーの用いた方法だったのですか、それは存じませんでした。上記は試行錯誤で気付
きました。最大約2万桁を扱う自作電卓プログラムを作るのに、いろいろな計算で収束を速く
する必要があり、logに限らず他もいろいろ考えました。


　ますた〜さんからのコメントです。（平成２９年１月２８日付け）

　なるほどプログラムが動機だったのですね。ありがとうございました。


例　 の値を小数第１位まで正しく求めよ。

（解）　５²＜３³、３⁷＜５⁵　より、１．４＜ ＜１．５　だから、 ≒１．４・・・　　（終）

例　 、 のおおよその値を求めよ。

（解）　２³＝８≒１０　だから、３ ≒ １　　　よって、 ≒ ０．３・・・

　２³＜３²＜１０　だから、３ ＜２ ＜１

よって、０．４５・・・＜ ＜０．５　の範囲の数であることが分かる。　　（終）


（追記）　平成２５年１０月２６日付け

　上記の例からも分かるように、数のおおよその値を求める場合、不等式による評価だけ
では何れ限界がくる。

　最近、Niklaus Wirth さんのＨＰサイト「Programming in Oberon」の１４頁に、対数を求める
プログラムが載っていることを、都立深川高校の加藤　一さんにお教えいただいた。

　次のような手順で求めるらしい。

（１）　ｌｏｇ₁₀ｘ＝（1/2）ｌｏｇ₁₀ｘ²

（２）　ｘ²≧１０　ならば、　ｌｏｇ₁₀ｘ²＝１＋ｌｏｇ₁₀（ｘ²/１０）

　以降、（１）（２）を繰り返す。

例　実際に、このアルゴリズムで計算してみると、

　＝１/２²＋１/２⁵＋１/２⁶＋１/２⁸＋１/２¹²＋・・・

　＝０．２５＋０．０３１２５＋０．０１５６２５＋０．００３９０６２＋０．０００２４４１＋・・・

　＝０．３０１０２５３・・・・

上記の計算から、小数第３位までは正しい値であるものと推察される。

（参考）　 ≒ ０．３０１０ ２９９９ ５６６３ ９８１１ ９５２１ ３７３８ ８９４７ ２４４９ ・・・


（コメント）　上記の計算を手計算で行うのは少し無理がありますが、普通の電卓で十分計算
　　　　　可能ですね！

　同様にして、 も計算してみた。

ｌｏｇ₁₀３＝(1/2)ｌｏｇ₁₀９＝(1/4)ｌｏｇ₁₀81＝1/4＋(1/4)ｌｏｇ₁₀8．1

　＝1/4＋(1/8)ｌｏｇ₁₀65．61＝1/4＋1/8＋(1/8)ｌｏｇ₁₀6．561

　＝1/4＋1/8＋(1/16)ｌｏｇ₁₀43．046721

　＝1/4＋1/8＋1/16＋(1/16)ｌｏｇ₁₀4．3046721

　＝1/4＋1/8＋1/16＋(1/32)ｌｏｇ₁₀18．530201

　＝1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋(1/32)ｌｏｇ₁₀1．8530201

　＝1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋(1/64)ｌｏｇ₁₀3．4336834

　＝1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋(1/128)ｌｏｇ₁₀11．790181

　＝1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/128＋(1/128)ｌｏｇ₁₀1．1790181

　＝1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/128＋(1/2048)ｌｏｇ₁₀13．942072

　＝1/4＋1/8＋1/16＋1/32＋1/128＋1/2048＋(1/2048)ｌｏｇ₁₀1．3942072

　＝0．25＋0．125＋0．0625＋0．03125＋0．0078125＋0．0004882＋・・・

　＝０．４７７０５０７・・・

　上記の計算から、小数第３位までは正しい値であるものと推察される。

（参考）　ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１ ２１２５ ４７１９ ６６２４ ３７２９ ５０２７ ９０３２ ５５１２ ・・・


（コメント）　アルゴリズムは理解できたが、とっても収束が遅いような．．．そんな雰囲気。


例　２²⁰ は何桁の数で、その首位の数は何か？ただし、 ≒０．３０１０。

（解）　 ≒ ０．３０１０　 だから、２０ ≒６．０２

　よって、１０⁶＜２²⁰＜１０⁷　となり、７桁の数であることが分かる。

　また、０＜０．０２＜０．３０１０　より、６＜６．０２＜６＋

　したがって、１０⁶＜２²⁰＜２・１０⁶　だから、２²⁰　の首位の数は、１ である。

（因みに、２²⁰ ＝１０４８５７６　である。）

例　（１/２）²⁰ は小数第何位に初めて０でない数字が現れるか？また、その数字は

　何か？　ただし、 ≒０．３０１０ 、 ≒０．４７７１　とする。

（解）　−２０ ≒ −６．０２　なので、１０^-7＜（１/２）²⁰＜１０^-6

よって、小数第７位に初めて０でない数字が現れる。

また、−６．０２＝−７＋０．９８　で、２×０．４７７１＜０．９８＜１　だから、

　−７＋２× ＜−６．０２ ＜−６　すなわち、９・１０^-7＜（１/２）²⁰＜１０^-6

したがって、求める数は、９ である。

（因みに、（１/２）²⁰ ＝０．００００００９５３６７・・・ である。）

例　(０．９９)¹⁰　の値を小数第２位まで正しく求めよ。

（解）　２項定理　(ａ＋ｂ)^ｎ＝ａ^ｎ＋ｎａ^ｎ-1ｂ＋ｎ(ｎ-1)/2ａ^ｎ-2ｂ²＋・・・＋ｂ^ｎ を用いて、

　(０．９９)¹⁰＝(１−0．01)¹⁰

　＝１−１０・0．01＋４５・0．0001−１２０・0．000001＋・・・

　≒０．９０・・・　　　（第３項の45・0．0001以下急速に小さくなる！）

例　 の値を小数第３位まで正しく求めよ。

　ただし、 ≒０．３０１０ 、 ≒０．４７７１　とする。

　この問題は、東北大学　理系　後期（２００８）の入試問題の一部である。

（解）　４＝ｌｏｇ₁₀２４０１　であるのに対して、その近くの値として

ｌｏｇ₁₀２４００＝ｌｏｇ₁₀２４×１００

　＝ｌｏｇ₁₀３＋３ｌｏｇ₁₀２＋２

　＝０．４７７１＋３×０．３０１０＋２＝３．３８０１　　であることに注目する。

　ここで、　ｌｏｇ₁₀２４０１−ｌｏｇ₁₀２４００＝ｌｏｇ₁₀（１＋１/２４００）

ところで、　ｘ≧０　のとき、　ｌｏｇ（１＋ｘ）≦ｘ　が成り立つ。

　実際に、　Ｆ（ｘ） ＝ ｘ−ｌｏｇ（１＋ｘ）　とおくと、Ｆ’（ｘ） ＝ １−１/（１＋ｘ） ＝ ｘ/（１＋ｘ） ≧０

であるので、　Ｆ（ｘ） は単調に増加する。　また、　Ｆ（０） ＝ ０　であるので、

　ｘ≧０　のとき、　Ｆ（ｘ） ≧ ０　となり、　ｌｏｇ（１＋ｘ） ≦ ｘ　となる。

このことから、

　ｌｏｇ₁₀２４０１−ｌｏｇ₁₀２４００

　＝ｌｏｇ₁₀（１＋１/２４００）

　＜ｌｏｇ（１＋１/２４００）≦１/２４００＝０．０００４１６６・・・

より、　ｌｏｇ₁₀２４０１＜ｌｏｇ₁₀２４００＋０．０００４１６６・・・＝３．３８０５１６６・・・

すなわち、　３．３８０１＜４＜３．３８０５２　より、０．８４５０２５＜＜０．８４５１３

なので、 の値を小数第３位まで正しく求めれば、　０．８４５　となる。　　（終）


（追記）　平成３０年７月１１日付け

　数研通信No．９１（数研出版）で、埼玉県立豊岡高校の結川義明先生が、この の
値について考察されている。興味深く拝読させていただいた。

　１桁の常用対数は、すべて 、 の値を用いて求められる。

　実際に、

ｌｏｇ₁₀４＝２

ｌｏｇ₁₀５＝１−

ｌｏｇ₁₀６＝＋

ｌｏｇ₁₀８＝３

ｌｏｇ₁₀９＝２

　さて、問題は、ｌｏｇ₁₀７ である。上記のように と を用いた等式で表すことは
諦める必要がありそうだが、不等式で評価するという技が有効である。

　ｌｏｇ₁₀７ の値を小数第２位まで求めたい場合

　不等式　４＜７＜５　において、

　ｌｏｇ₁₀４＝２＋（１/２）

　　＝０．３０１０、＝０．４７７１　として、ｌｏｇ₁₀４＝０．８４０５５

　同様にして、

　ｌｏｇ₁₀５＝１−＋（１/２）＝１−（１/２）＝０．８４９５

　よって、　０．８４０５５＜＜０．８４９５　から、　＝０．８４・・・　と言える。

　ｌｏｇ₁₀７ の値を小数第３位まで求めたい場合

　上記の東北大学の問題のように解いても得られるが、次のような別解が示されている。

　　４＝ｌｏｇ₁₀２４０１＞ｌｏｇ₁₀２４００　であることに注目して、

　　ｌｏｇ₁₀２４００＝ｌｏｇ₁₀２４×１００＝ｌｏｇ₁₀３＋３ｌｏｇ₁₀２＋２＝３．３８０１

　　よって、　＞０．８４５０２５

　また、　２⁴・３×２¹⁰＝４８×１０２４＝４９１５２＞４９０００＝７²×１０³　に注目して、

　ｌｏｇ₁₀２⁴・３×２¹⁰＞ｌｏｇ₁₀７²×１０³

　すなわち、　１４＋＞２＋３　より、

　　＜（１４＋−３）/２＝０．８４５５５

　よって、　０．８４５０２５＜＜０．８４５５５　から、　＝０．８４５・・・　と言える。


（コメント）　不等式の評価により、何とか小数第３位までは正しく求められたが、さらに、小
　　　　　　数第４位まで正しく・・・と問われると、かなり難しい．．．。


（追記）　平成２０年７月３０日付け

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」にＨＮ「まったりーな」さんが関数電卓について書き込みを
された。

　関数電卓が、Ｗｉｎｄｏｗｓ に標準で付いているということを伺って、いろいろ遊んでみた。

（手持ちのカシオの関数電卓を久しぶりに引っ張り出して使ってみたら、液晶部分が黒ずんでいてひど
くガッカリした！私のお気に入りだったのに．．．。）

　普通の電卓も関数電卓もともに３２桁の表示で、かなり高性能である。これだと、もう関数
電卓を別途購入する必要は全くないですね！

　常用対数は通常４桁くらいしか覚えておらず、その先がどうなっているか興味があったの
で計算させてみた。

　ｌｏｇ₁₀２ ≒ ０．３０１０ ２９９９ ５６６３ ９８１１ ９５２１ ３７３８ ８９４７ ２４４９ ・・・

　ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１ ２１２５ ４７１９ ６６２４ ３７２９ ５０２７ ９０３２ ５５１２ ・・・

　掲示板で、「まったりーな」さんは、次の問題を提起された。

　３の１０００乗を常用対数表を使って、近似値を求めたい

　数学�Uで学ぶ手法では、次のように解かれる。

　ｌｏｇ₁₀３¹⁰⁰⁰＝１０００×ｌｏｇ₁₀３

通常は、ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１　より、　ｌｏｇ₁₀３¹⁰⁰⁰ ≒　４７７．１　となるので、

　ｌｏｇ₁₀ ａ ＝０．１　となる数 ａ をとれば、ａ はだいたい １．２６〜１．５８ の間の数で、

　３¹⁰⁰⁰ ≒ ａ × １０⁴⁷⁷

と書けることになる。

　このことから、３¹⁰⁰⁰ は、４７８桁の整数で、首位の数は、１ で、末位の数も １ となる。

ここら辺が、常用対数表で求められる限界である。

　Ｗｉｎｄｏｗｓ に標準でついている関数電卓に出会うまでは、上記の解答で満足していた
が、「まったりーな」さんに教えていただいた関数電卓を使うとさらに詳しく調べられる。

　ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１ ２１２５ ４７１９ ６６２４ ３７２９ ５０２７ ９０３２ ５５１２ ・・・

なので、

　ｌｏｇ₁₀３¹⁰⁰⁰＝１０００×ｌｏｇ₁₀３

＝４７７．１２１２　５４７１　９６６２　４３７２　９５０２　７９０３　２５５１　２ ・・・

　よって、　ｌｏｇ₁₀ ａ ＝０．１２１２　５４７１　９６６２　４３７２　９５０２　７９０３　２５５１　２ ・・・

となる ａ の値を詳しく求めれば、３¹⁰⁰⁰ に関する情報も詳しくなる。

　関数電卓を用いると、

　　ａ ≒ １．３２２０ ７０８１ ９４８０ ８０６６ ３６８９ ０４５５ ２５９７ ６６４ ・・・

と簡単に求められる。（「Ｉｎｖ」と「ｌｏｇ」を活用すればよい！）

　このことから、怖ろしく大きい数　３¹⁰⁰⁰　のだいたいの様子が分かる。

　３¹⁰⁰⁰ ≒ １３２２ ０７０８ １９４８ ０８０６ ６３６８ ９０４５ ５２５９ ７６６４ ・・・・ ・・・１

　これは、ちょっと感動ものですね．．．！

　こんな面倒なことをせず関数電卓を使えば、

　３¹⁰⁰⁰ ≒ １３２２ ０７０８ １９４８ ０８０６ ６３６８ ９０４５ ５２５９ ７５２１ ・・・・ ・・・１

と出る。

　先頭から３０番目以降の数に違いがあるので、ここら辺から誤差が生じているのだろう。

ちょっと、気になりますね．．．？


（コメント）　関数電卓は、今後私とお友達になれそうです。関数電卓のことを教えていただ
　　　　　　いた「まったりーな」さんに感謝いたします。


（追記）　平成２８年１２月６日付け

　最近、岩手大学前期理系（平成１２年度）の入試問題に、上記の話題に関連する問題が
出題されていることに気づかされた。

問題　８０＜８１および２４３＜２５０であることに注意して、

　　　３/１０＜ｌｏｇ₁₀２＜２３/７５、１９/４０＜ｌｏｇ₁₀３＜１２/２５

であることを示せ。

（解）　２¹⁰＞１０³　より、　１０ｌｏｇ₁₀２＞３　なので、　３/１０＜ｌｏｇ₁₀２　が言える。

　さらに、　８０＜８１　より、　３ｌｏｇ₁₀２＋１＜４ｌｏｇ₁₀３

　２４３＜２５０　より、　５ｌｏｇ₁₀３＜３−２ｌｏｇ₁₀２　なので、４ｌｏｇ₁₀３＜１２/５−（８/５）ｌｏｇ₁₀２

　よって、　３ｌｏｇ₁₀２＋１＜１２/５−（８/５）ｌｏｇ₁₀２　より、

　　　（２３/５）ｌｏｇ₁₀２＜１２/５−１＝７/５　なので、　ｌｏｇ₁₀２＜７/２３

　７/２３−２３/７５＝（５２５−５２９）/（２３・７５）＜０　なので、　７/２３＜２３/７５

　よって、　３/１０＜ｌｏｇ₁₀２＜７/２３＜２３/７５

　３ｌｏｇ₁₀２＋１＜４ｌｏｇ₁₀３　より、　３（３/１０）＋１＜４ｌｏｇ₁₀３　なので、　１９/４０＜ｌｏｇ₁₀３

　また、　５ｌｏｇ₁₀３＜３−２ｌｏｇ₁₀２＜３−２（３/１０）＝１２/５　より、　ｌｏｇ₁₀３＜１２/２５

　よって、　１９/４０＜ｌｏｇ₁₀３＜１２/２５


（コメント）　２３/７５＝０．３０６６６・・・　に対して、　７/２３＝０．３０４３４７８・・・　なので、

　問題文の評価式　３/１０＜ｌｏｇ₁₀２＜２３/７５　よりも、３/１０＜ｌｏｇ₁₀２＜７/２３　の方が

　より厳しい評価となる。また、７/２３＜２３/７５　から、ｌｏｇ₁₀２＜２３/７５　を示したが、直接

に示すことも可能である。

　　３ｌｏｇ₁₀２＋１＜４ｌｏｇ₁₀３　と　ｌｏｇ₁₀３＜１２/２５　から、　３ｌｏｇ₁₀２＋１＜４８/２５

　よって、　ｌｏｇ₁₀２＜（４８/２５−１）/３＝２３/７５

　上記の計算から、確実に言えることは、　ｌｏｇ₁₀２≒０．３０・・・　であることと、

１９/４０＝０．４７７５・・・　、１２/２５＝０．４８　から、　ｌｏｇ₁₀３≒０．４・・・　である。


（追記）　次の日本大学（１９９７）の問題も手計算の魅力を追求した問題である。
　　　　（平成２９年１月２５日付け）

問題　１０１¹⁰⁰の下８桁は？

（解）　２項定理より、

101＾100= (100+1)＾100

= 1＾100 + ₁₀₀Ｃ₁・100 + ₁₀₀Ｃ₂・100＾2 + ₁₀₀Ｃ₃・100^3 + ₁₀₀Ｃ₄・100＾4 + ・・・

　求めるのは下位８桁なので、上の式から

　1＾100 + ₁₀₀Ｃ₁・100 + ₁₀₀Ｃ₂・100＾2 + ₁₀₀Ｃ₃・100^3

の値を求めれば十分である。（100＾4は９桁の数）

　よって、

　1＾100 + ₁₀₀Ｃ₁・100 + ₁₀₀Ｃ₂・100＾2 + ₁₀₀Ｃ₃・100^3

= 1 + 100・10^2 + 4950・10＾4 + 161700・10^6

= 161749510001

より、求める下８桁は、「49510001」である。


（追記）　令和６年１月２９日付け

　電卓を用いると、　＝３．６０５５５１２７５・・・　である。

　このの「整数部分、少数第１位、小数第２位を求めよ」という問題が、

令和６年１月１４日に行われた大学入学共通テスト　数学 Ｉ＋Ａ の第１問［１］で出題された。

　計算の方法は、２の小数部分を評価する手法が取られた。

　２の小数部分を ａ とおき、ｂ＝１/ａ の取り得る値の範囲を求めて、の近似値が
求められる。

　実際に、７＜２＜８　から、２の整数部分は、７　なので、小数部分 ａ は、

ａ＝２−７　となる。このとき、ｂ＝１/ａ＝１/（２−７）＝（２＋７）/３　において、

７＜２＜８　から、１４/３＜ｂ＜５　となる。よって、　１/５＜ａ＜３/１４　となる。

　１/５＜２−７＜３/１４　なので、　１８/５＜＜１０１/２８

　ここで、１８/５＝３．６　、１０１/２８＝３．６０７・・・　なので、

の整数部分は３で、小数第１位の数字は６、小数第２位の数字は０であることが分かる。

　「２」では、小数第２位までしか正しく計算されない。一般の「ｋ」に、この手法を用

いて、の近似値を追求することにしよう。

　「５」では、１８＜５＜１９　なので、ａ＝５−１８　とおき、１/ａ を求める。

１/ａ＝５＋１８　より、　３６＜１/ａ＜３７　なので、　１/３７＜ａ＜１/３６

すなわち、　（１８＋１/３７）/５＜＜（１８＋１/３６）/５　より、

　３．６０５４・・・＜＜３．６０５５・・・

　よって、の小数第３位が５であることが確かめられた。

　上記の計算から分かるように、小数第４位がまだ未確定である。もう少し計算を続けよう。

　「１５」では、５４＜１５＜５５　なので、ａ＝１５−５４　とおき、１/ａ を求める。

１/ａ＝（１５＋５４）/９　より、　１２＜１/ａ＜１０９/９　なので、　９/１０９＜ａ＜１/１２

すなわち、　（５４＋９/１０９）/１５＜＜（５４＋１/１２）/１５　より、

　３．６０５５０・・・＜＜３．６０５５５・・・

　よって、の小数第４位が５であることが確かめられた。


＃の小数第４位を求めるのに、「１５」の計算が必要であった。それほど能率のい
　い方法ではないのかもしれない。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年２月１日付け）

　について、さらにその先を追究したいと思います。

　(５)^2−１８^2＝１ と右辺が 1 （または -1）になるものを得た時点で、あとは、

(５−１８) (５＋１８)＝１ の両辺を n 乗するだけで簡単に精度を高められます。

・２乗の場合

(649−180) (649＋180)＝ 1 と 1298 ＜ 649+180 ＜ 1299 より、

(649−1/1298)/180 ＜＜ (649−1/1299)/180　すなわち、

3．60555127546…… ＜＜ 3．60555127876……　で、小数点以下 8 桁まで正しい。

・３ 乗の場合

(6485−23382) (6485＋23382)＝ 1 と 46764 ＜ 6485＋23382 ＜ 46765

より、　(23382＋1/46765)/6485 ＜＜(23382＋1/46764)/6485　すなわち、

3．6055512754639187…… ＜＜ 3．6055512754639892　で、

小数点以下 13 桁まで正しい。

　＝ 3．6055512754639892931…… と比較すればわかるように、偶数乗では下限が、奇
数乗では上限がかなり精度のいい近似になります。
（1乗の時も実は上限側はかなり精度がよい）


（コメント）　DD++ さん、さらなる追求をありがとうございます。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年２月１日付け）

　連分数の打ち切りとの関係

＝[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,…]　において、

　[3;1,1,1,1] = 18/5
　[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1] = 649/180 = (18+1/36)/5
　[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1] = 23382/6485
　[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1] = 842401/233640 = (649-1/1298)/180
　[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1] = 30349818/8417525
　[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1] = 1093435849/303264540 = (23382+1/46764)/6485

　なお、上と重複しますが、

(649-1/1298)/180 = 3．60555127546… = [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]

(649-1/1299)/180=3．60555127876… = [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,3]

(23382+1/46765)/6485=3．60555127546391878… = [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,2,2,3,3,3]

(23382+1/46764)/6485=3．60555127546398929… = [3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]

から、

　(649−1/1298)/180 ＜＜ (649−1/1299)/180

　(23382＋1/46765)/6485 ＜＜(23382＋1/46764)/6485

　それから、上の流れを見ると、

18/5 = 3.6

(18+1/(18*2))/5 = 649/180 = 3．60555…

(649-1/(649*2))/180 = 842401/233640 = 3．60555127546…

(842401-1/(842401*2))/233640 = 1419278889601/393637139280 = 3．60555127546398929311922…

(1419278889601-1/(1419278889601*2))/393637139280
= 4028705132934095091878401/1117361763886065161254560
= 3．605551275463989293119221267470495946251296573845…（小数はと一致する桁のみ）

のように計算することで精度を倍々にすることができますね。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年２月１日付け）

　ペル方程式の解の構成から着想を得ているので、連分数展開と関係があるのは、まさに
その通りです。らすかるさんの方法で疑問なんですが、倍精度で一致していく保証はどこか
ら取るのでしょう？


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年２月１日付け）

　DD++ さんの「２乗の場合」の計算から言えているような気がしますが、違いますかね？

　(a-b)(a+b) = 1 のとき、(a-b)^2 = a^2+13b^2-2ab = 2a^2-1-2ab

　(2a^2-1)/(2ab) = (a-1/(2a))/b　となり、これは、a/b と比較して精度が２倍

　ちょっと雑だったかも知れませんので補足します。

　(a-b)(a+b) = 1 のとき、

　a-b = 1/(a+b) より、a/b- = 1/{b(a+b)}

最初の式を２乗すると、

　(a-b)^2(a+b)^2 = 1 より、2a^2-1-2ab = 1/(a+b)^2

(2a^2-1)/2ab- = 1/{2ab(a+b)^2}＜1/{b(a+b)}^2 = (a/b-)^2

　よって、　(a-1/(2a))/b-＜(a/b-)^2

もう一つ補足。

　(a-b)(a+b) = -1 の場合（5-18 = 1 のような場合）は、13b^2 = a^2-1 でなく、

13b^2 = a^2+1 となりますので、　(a-b)^2 = a^2+13b^2-2ab = 2a^2+1-2ab

より、(2a^2+1)/(2ab) = (a+1/(2a))/b　のように、１箇所符号が変わりますが、他は同じです。

　一度２乗した後は、a-b = 1 の形になりますので、(a+1/(2a))/b のようにプラスになる
可能性があるのは初回だけです。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年２月２日付け）

　私のは、3．60555127546…… ＜＜ 3．60555127876…… と上下から挟んでるので、

・3．60555127 までは確定
・続きも 546 くらいまであってそう（予想）

というように証明と予想を区別して出しています。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年２月２日付け）

　DD++さんが書かれている評価としてはその通りですね。しかし、計算は2乗していることか
ら、（言い方が雑ですが）との誤差が２乗されていて、精度が２倍になっていることが見
てとれますね。

　私が書いた上の計算を見ると、実際には２乗よりさらに小さくなっている（２乗の約0.14倍）
こともわかります。

　実際、上記で書いた計算でも、正しい小数点以下の桁数が、2桁、5桁、11桁、23桁、48桁
のように２倍以上になっていますね。

　この計算方法は、以外にも使えて、実際にいくつか計算してみましたが、

は、7/5 = 1．4 から始めて、5 回の計算で、72 桁
は、7/4 = 1．75 から始めて、5 回の計算で、71 桁
は、9/4 = 2．25 から始めて、5 回の計算で、78 桁
は、5/2 = 2．5 から始めて、5 回の計算で、62 桁
（いずれも桁数は真値と一致している小数点以下の桁数）

のようになっていました。せっかく計算したので、実際の計算を書いておきましょう。

・

7^2-(5)^2 = -1（差が±1であることは重要）
7/5 = 1．4
(7+1/(7*2))/5 = 99/70　（7-5＜0 なので、ここだけ「＋」）
(99-1/(99*2))/70 = 19601/13860
(19601-1/(19601*2))/13860 = 768398401/543339720
(768398401-1/(768398401*2))/543339720 = 1180872205318713601/835002744095575440
(1180872205318713601-1/(1180872205318713601*2))/835002744095575440
= 2788918330588564181308597538924774401/1972063063734639263984455073299118880
= 1．414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478…

・

7^2-(4)^2 = 1
7/4 = 1．75
(7-1/(7*2))/4 = 97/56　（7-4＞0 なので、これは「−」、以下、とも同じ）
(97-1/(97*2))/56 = 18817/10864
(18817-1/(18817*2))/10864 = 708158977/408855776
(708158977-1/(708158977*2))/408855776 = 1002978273411373057/579069776145402304
(1002978273411373057-1/(1002978273411373057*2))/579069776145402304
= 2011930833870518011412817828051050497/1161588808526051807570761628582646656
= 1．73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580697945193301…

・

9^2-(4)^2 = 1
9/4 = 2．25
(9-1/(9*2))/4 = 161/72
(161-1/(161*2))/72 = 51841/23184
(51841-1/(51841*2))/23184 = 5374978561/2403763488
(5374978561-1/(5374978561*2))/2403763488 = 57780789062419261441/25840354427429161536
(57780789062419261441-1/(57780789062419261441*2))/25840354427429161536
= 6677239169351578707225356193679818792961/2986152136938872067784669198846010266752
= 2．236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804…

・

5^2-(2)^2 = 1
5/2 = 2.5
(5-1/(5*2))/2 = 49/20
(49-1/(49*2))/20 = 4801/1960
(4801-1/(4801*2))/1960 = 46099201/18819920
(46099201-1/(46099201*2))/18819920 = 4250272665676801/1735166549767840
(4250272665676801-1/(4250272665676801*2))/1735166549767840
= 36129635465198759610694779187201/14749861913749949808286047759680
= 2．44948974278317809819728407470589139196594748065667012843269256…


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年２月２日付け）

　いえ、あの、元の共通テストの問題はご覧になってますかね？この問題はどれだけ近い有
理数を作れるかではなく、真値がわからない状態で、上から n 桁を確定したいという意図の
問題です。なので、「実際の真値を見ると上から n 桁合っている」だけなのは、それほど価値
はないのですよ。


　らすかるさんからのコメントです。（令和６年２月２日付け）

　いいえ、拝見していません。最初から、「このように計算すると精度の高い値を得ることが
出来ますね」という、元の問題とは関係なく（私の）興味がある計算を書いただけのつもりで
す。元の問題から話がそれてはいけなかったのでしたら、ごめんなさい。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年２月２日付け）

　逸れていけないことはないですが、別の話だと断りを入れてから始めないと、ただ無意味
に場を混乱させるだけかと思います。

　そして、近い有理数を得たいだけなのであれば、

(5-18)^16 = 4028705132934095091878401 - 1117361763886065161254560

より・・・（略）

で、わざわざ倍々計算を辿らなくても 1 行の式で 48 桁合わせられますよ。



　　以下、工事中！