４回目の大学入学共通テストが令和６年１月１３日・１４日の両日行われた。初めて受験生
が５０万人を割った大学入学共通テストは、６教科３０科目での実施は今年が最後で、来年
からは、教科「情報」を含む７教科２１科目に再編され、新しい歴史が始まる。

　本番直前の地震の影響で、北陸地方を中心に厳しい試練となったが、是非実力を遺憾なく
発揮されて頑張ってほしいものだ。

　１７日発表の平均点中間集計によれば、数学Ｉ・Ａの平均点は、５４．３５点（昨年度は、
５５．６５点）、数学ＩＩ・Ｂは、６１．０３点（６１．４８点）で、昨年度並の難易度となった。

　２月５日に、確定平均点の発表があった。数学Ｉ・Ａの平均点は、５１．３８点（昨年度は、
５５．６５点）、数学ＩＩ・Ｂは、５７．７４点（６１．４８点）で、中間発表より３点ほど下がる結果と
なった。


　カルピスさんからのコメントです。（令和６年１月１９日付け）

　大学入学共通テスト数学の平均は、だいたい５０点台だけど、なんでそんなに難しくする必
要があるのだろう？

　自分が数学の試験を受けて半分位しか出来なかったら、落ちたかなと思ってしまうけど。
精神的に落ち込む・・・。


　DD++ さんからのコメントです。（令和６年１月１９日付け）

　仮に平均点が80点の試験だったら、平均以上に数学ができる人の間で最大20点しか差が
つかないからでしょうね。点数を全て偏差値化して合否を決める方針だったら、平均点が多
少上下しても問題ないと思いますが、単純に得点を合計する以上、平均点より上に十分な
幅がなくてはいけません。

　また、そもそも大学入試のシステムが「何点以上で合格」ではなく「何位以上が合格」であ
る以上、難しいことだけが理由で落ちるということはほとんどないはずです。


　カルピスさんからのコメントです。（令和６年１月２０日付け）

　DD++ さん、有難うございます。自分の「木を見て森を見ず」の性格だと、出来なかったとい
う考えだけが浮かびネガティブになってしまいます。

　元々、頭の良い人って、考え方がポジティブなんですよね。「自分に出来ない問題は、みん
なも出来ないのだから」とか「別に、全部出来る必要なんてない、自分に出来る所だけをや
れば良い」など、気持ちに余裕がありますね。

　大昔、共通一次試験があった時、模擬試験問題を見た途端にテンションが、ぐーんと下が
り、「もう駄目だー」で頭の中がいっぱいになり、諦めモードでだらだらと解いた記憶がありま
す。

　最初から、平均点が５０点位を想定して作っている問題だと分かっていて挑むのと、全く知
らないで挑むのでは精神的なものが全然違ってきますね。

　最近、大学入学共通テストが話題になって、過去の暗いトンネル時代を思い出してしまい
ました。失礼致しました。


　今年も面白そうな問題をいくつか取り上げ、挑戦したいと思う。問題文は一部改題です。

【 数学Ｉ・Ａ 】

第５問　下図の星形の図形を考える。

　　

　ただし、ＡＰ ： ＰＱ ： ＱＣ＝２ ： ３ ： ３　、ＡＴ ： ＴＳ ： ＳＤ＝１ ： １ ： ３　とする。

（１）　ＱＲ ： ＲＤ　、ＱＢ ： ＢＤ　、ＢＱ ： ＱＲ ： ＲＤ　を求めよ。


（解）　△ＡＱＤと直線ＣＥに関して、メネラウスの定理より、

　（ＱＲ/ＲＤ）（ＤＳ/ＳＡ）（ＡＣ/ＣＱ）＝１　なので、　（ＱＲ/ＲＤ）（３/２）（８/３）＝１

　よって、　ＱＲ/ＲＤ＝１/４　より、　ＱＲ ： ＲＤ＝１ ： ４

同様に、△ＡＱＤと直線ＢＥに関して、メネラウスの定理より、

　（ＱＢ/ＢＤ）（ＤＴ/ＴＡ）（ＡＰ/ＰＱ）＝１　なので、　（ＱＢ/ＢＤ）（４/１）（２/３）＝１

　よって、　ＱＢ/ＢＤ＝３/８　より、　ＱＢ ： ＢＤ＝３ ： ８　なので、　ＢＱ ： ＱＤ＝３ ： ５

　したがって、　ＢＱ ： ＱＲ ： ＲＤ＝３ ： １ ： ４　となる。　　（終）


（２）　５点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｔが同一円周上にあるとし、ＡＣ＝８　とする。

　　

　このとき、次の問いに答えよ。

（�@）　ＡＴ　、ＤＲ　の値を求めよ。

（�A）　ＡＱ・ＣＱ　と　ＢＱ・ＤＱ　の大小を調べよ。

（�B）　３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円と直線ＢＤとの交点のうち、Ｂと異なる点をＸとする。このとき、
　　ＡＱ・ＣＱ　と　ＢＱ・ＸＱ　の大小を調べよ。

（�C）　点Ｄは３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の外部にあることを示せ。

（�D）　この星形の図形において、ＣＲ、ＲＳ、ＳＥ　の値を求めよ。

（�E）　点Ａ、Ｂは、３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る円の外部にあることを示せ。


（解）（�@）　ＡＰ＝２　、ＰＱ＝３　、ＡＴ＝ＴＳ＝ｍ　とおくと、方べきの定理より、

　２・５＝ｍ・２ｍ　から、　ｍ²＝５　なので、　ｍ＝ＡＴ＝　である。

このとき、　ＴＳ＝　、ＳＤ＝３　で、（１）より、ＱＲ ： ＲＤ＝１ ： ４　なので、

　ＱＲ＝ｎ　、ＲＤ＝４ｎ　とおくと、方べきの定理より、

　４ｎ・５ｎ＝３・４＝６０

　よって、ｎ²＝３　より、　ｎ＝　なので、　ＤＲ＝４

（�A）　ＡＱ・ＣＱ＝５・３＝１５　で、（１）より、ＢＱ ： ＱＲ ： ＲＤ＝３ ： １ ： ４　なので、

　ＢＱ＝３　、ＤＱ＝５　より、　ＢＱ・ＤＱ＝４５

　よって、　ＡＱ・ＣＱ＜ＢＱ・ＤＱ　である。

（�B）　方べきの定理より、　ＡＱ・ＣＱ＝ＢＱ・ＸＱ　である。

（�C）　ＢＱ・ＸＱ＜ＢＱ・ＤＱ　より、　ＸＱ＜ＤＱ　なので、点Ｄは３点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円の外部
　　にあることが分かる。

（�D）　△ＡＣＳと直線ＢＥに関して、メネラウスの定理より、

　（ＡＰ/ＰＣ）（ＣＥ/ＳＥ）（ＳＴ/ＴＡ）＝１　なので、　（２/６）（ＣＥ/ＳＥ）（１/１）＝１　より、

　ＣＥ/ＳＥ＝３　なので、　ＣＥ＝３・ＳＥ

同様に、△ＡＣＳと直線ＢＤに関して、メネラウスの定理より、

　（ＡＱ/ＱＣ）（ＣＲ/ＲＳ）（ＳＤ/ＤＡ）＝１　なので、　（５/３）（ＣＲ/ＲＳ）（３/５）＝１　より、

　ＣＲ/ＲＳ＝１　なので、　ＣＲ＝ＲＳ　である。

　ここで、　ＣＳ＝２ＳＥ　から、　ＣＲ＝ＲＳ＝ＳＥ　が成り立つ。

　方べきの定理より、　ＣＱ・ＣＰ＝ＣＲ・ＣＳ　なので、　３・６＝ＳＥ・２ＳＥ　より、　ＳＥ＝３

　以上から、　ＣＲ＝ＲＳ＝ＳＥ＝３　が成り立つ。


＃この（�D）は本文に無条件で記載されている。時間短縮のために割愛されたのだろう。


（�E）　３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る円と直線ＡＤとの交点のうち、Ｄと異なる点をＹとすると、

　ＤＳ・ＳＹ＝ＣＳ・ＳＥ＝６・３＝１８　で、一方、ＤＳ・ＳＡ＝３・２＝３０　より、

　ＤＳ・ＳＹ＜ＤＳ・ＳＡ　から、　ＳＹ＜ＳＡ　なので、点Ａは、３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る円の外部にあ

ることが分かる。

　３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る円と直線ＢＤとの交点のうち、Ｄと異なる点をＺとすると、

　ＤＲ・ＲＺ＝ＣＲ・ＲＥ＝３・６＝１８　で、一方、ＤＲ・ＲＢ＝４・４＝４８　より、

　ＤＲ・ＲＺ＜ＤＲ・ＲＢ　から、　ＲＺ＜ＲＢ　なので、点Ｂは、３点Ｃ、Ｄ、Ｅを通る円の外部にあ

ることが分かる。　　（終）


（コメント）　素直に誘導に従えば、易しい問題だったでしょう。


第４問　T3、T4、T6 を次のようなタイマーとする。　
T3 ： 3進数を3桁表示するタイマー
T4 ： 4進数を3桁表示するタイマー
T6 ： 6進数を3桁表示するタイマー
なお、ｎ進数とはｎ進法で表された数のことである。

　これらのタイマーは、すべて次の表示方法に従うものとする。

＜表示方法＞
(a) スタートした時点でタイマーは 000 と表示されている。
(b) タイマーは、スタートした後、表示される数が1秒ごとに1ずつ増えていき、3桁で表示でき
　る最大の数が表示された1秒後に、表示が 000 に戻る。
(ｃ) タイマーは表示が 000 に戻った後も、(b)と同様に、表示される数が1秒ごとに1ずつ増え
　ていき、3桁で表示できる最大の数が表示された1秒後に、表示が 000 に戻るという動作を
　繰り返す。

(1)（�@）　T6は、スタートしてから10進数で40秒後に表示される数を求めよ。
　（�A）　T4は、スタートしてから2進数で 10011₍₂₎ 秒後に表示される数を求めよ。


（解）（�@）　４０＝１・６²＋４　なので、40秒後のT6の表示は、１０４ である。

　（�A）　１００１１₍₂₎＝１・２⁴＋１・２＋１＝１・４²＋３　なので、10011₍₂₎秒後のT4の表示は、
　　　１０３　である。　　（終）


(2)（�@）　T4をスタートさせた後、初めて表示が 000 に戻るのは、スタートしてから 10進数で
　　　　何秒後であるか。
　（�A）　同様の考察をT6に対しても行うことにより、T4とT6を同時にスタートさせた後、初め
　　　　て両方の表示が同時に 000 に戻るのは、スタートしてから10進数で、何秒後であるか。


（解）（�@）　３・４²＋３・４＋３＋１＝６４　なので、T4の表示が 000 に戻るのは、スタートして
　　　　から 10進数で、６４秒後である。

　（�A）　５・６²＋５・６＋５＋１＝２１６　なので、T6の表示が 000 に戻るのは、スタートしてか
　　　ら 10進数で、２１６秒後である。T4とT6を同時にスタートさせた後、初めて両方の表示が
　　　同時に 000 に戻るまでの時間をそれぞれ ｘ、ｙ 秒後とすると、

　　　　６４ｘ＝２１６ｙ　すなわち、　８ｘ＝２７ｙ

　８と２７は互いに素なので、最小の自然数解は、　ｘ＝２７、ｙ＝８

　よって、両方の表示が同時に 000 に戻るのは、スタートしてから10進数で、

　　２１６×８＝１７２８（秒後）　である。　　（終）


(3)（�@）　0以上の整数Ｌに対して、T4をスタートさせたＬ秒後にT4が 012 と表示されることと
　　　　同値なことを述べよ。ただし、表記は１０進法で表すものとする。
　（�A）　T 3についても同様の考察を行う。T3とT4を同時にスタートさせてから、初めて両方
　　　　が同時に 012 と表示されるまでの時間をｍ秒とするとき、ｍを10進法で表せ。
　（�B）また、T4とT6の表示に関する記述として、次の記述のうち、正しいものを求めよ。

（イ） T4とT6を同時にスタートさせてから、ｍ秒後より前に初めて両方が同時に 012 と表示
　　される。
（ロ） T4とT6を同時にスタートさせてから、ちょうどｍ秒後に初めて両方が同時に 012 と表
　　示される。
（ハ） T4とT6を同時にスタートさせてから、ｍ秒後より後に初めて両方が同時に 012 と表示
　　される。
（ニ） T4とT6を同時にスタートさせてから、両方が同時に 012 と表示されることはない。


（解）（�@）　T4の表示が 000 に戻るのは、10進数で、６４秒毎であるので、T4の表示が 012
　　　　になるのは、　６、７０、１３４、・・・　なので、T4をスタートさせたＬ秒後にT4が 012 と
　　　　表示されることは、Ｌを６４で割った余りが６であることと同値である。
　　　　
　（�A）　T 3の表示が 000 に戻るのは、10進数で、２７秒毎であるので、T3の表示が 012
　　　　になるのは、　５、３２、５９、・・・　なので、T3をスタートさせたｍ秒後にT3が 012 と
　　　　表示されることは、ｍを２７で割った余りが５であることと同値である。

　　　同様に、T4をスタートさせたｍ秒後にT4が 012 と表示されることは、ｍを６４で割った
　　　余りが６であることと同値である。

　以上から、　（ｍ−５）/２７＝ｘ　、（ｍ−６）/６４＝ｙ　とおくと、ｘ、ｙは自然数で、

　２７ｘ＋５＝６４ｙ＋６　すなわち、　２７ｘ−６４ｙ＝１

　２７・１９−６４・８＝１　なので、辺々引いて、　２７（ｘ−１９）＝６４（ｙ−８）

　２７と６４は互いに素なので、　ｘ＝１９＋６４ｎ　、ｙ＝８＋２７ｎ　（ｎは０以上の整数）

　初めて両方が同時に 012 と表示されるまでの時間ｍは、

　ｍ＝２７ｘ＋５＝２７・１９＋５＝５１８（秒）

　（�B）　T4は６４秒毎にリセット、T6は２１６秒毎にリセットなので、T4とT6を同時にスタートさ
　　　せてから、012 と表示される時間は、

　T4：　６、７０、１３４、１９８、２６２、３２６、３９０、４５４、５１８、・・・

　T6：　８、２２４、４４０、６５６、・・・

　したがって、

（イ） T4とT6を同時にスタートさせてから、５１８秒後より前に初めて両方が同時に 012 と表
　　示される。

は誤りである。

（ロ） T4とT6を同時にスタートさせてから、ちょうど５１８秒後に初めて両方が同時に 012 と表
　　示される。

は、誤りである。

　６４ｔ＋６＝２１６ｓ＋８　において、３２ｔ−１０８ｓ＝１　より、左辺は偶数で、右辺は奇数から
この方程式を満たす自然数解は存在しない。

したがって、

（ハ） T4とT6を同時にスタートさせてから、５１８秒後より後に初めて両方が同時に 012 と表示
　　される。

は誤りである。

（ニ） T4とT6を同時にスタートさせてから、両方が同時に 012 と表示されることはない。

は正しいことになる。　　（終）


第３問　箱の中にカードが２枚以上入っており、それぞれのカードにはアルファベットが１文字
　　　　だけ書かれている。この箱の中からカードを１枚取り出し、書かれているアルファベット
　　　　を確認してからもとに戻すという試行を繰り返し行う。

（１）　箱の中にＡ、Ｂのカードが１枚ずつ全部で２枚入っている場合を考える。
　以下では、２以上の自然数ｎに対し、ｎ回の試行でA、Bがそろっているとは、ｎ回の試行で
　Ａ、Ｂのそれぞれが少なくとも１回は取り出されることを意味する。

（�@）　２回の試行でA、Bがそろっている確率を求めよ。
（�A）　３回の試行でA、Bがそろっている取り出し方を考え、３回の試行でA、Bがそろってい
　　る確率を求めよ。
（�B）　４回の試行でA、Bがそろっている取り出し方を考え、４回の試行でA、Bがそろってい
　　る確率を求めよ。


（解）（�@）　２回の試行で起こりうるすべての場合の数は、２²＝４（通り）　そのうち、A、Bがそ
　　　　　ろう場合の数は、ＡＢ、ＢＡの２通りなので、求める確率は、２/４＝１/２

（�A）　３回の試行で起こりうるすべての場合の数は、２³＝８（通り）　そのうち、A、Bがそろう
　　取り出し方は、２³−２＝６（通り）なので、求める確率は、６/８＝３/４

（�B）　４回の試行で起こりうるすべての場合の数は、２⁴＝１６（通り）　そのうち、A、Bがそろ
　　う取り出し方は、２⁴−２＝１４（通り）なので、求める確率は、１４/１６＝７/８　　（終）


（２）　箱の中にＡ、Ｂ、Ｃのカードが１枚ずつ全部で３枚入っている場合を考える。以下では、
　　３以上の自然数ｎに対し、ｎ回目の試行で初めてA、B、Cがそろうとは、ｎ回の試行でＡ、
　　Ｂ、Ｃのそれぞれが少なくとも１回は取り出され、かつＡ、Ｂ、Ｃのうちいずれか１枚がｎ回
　　目の試行で初めて取り出されることを意味する。　

（�@）　３回目の試行で初めてA、B、Cがそろう取り出し方を考え、３回目の試行で初めてＡ、
　　Ｂ、Ｃがそろう確率を求めよ。
（�A）　４回目の試行で初めてA, B. Cがそろう取り出し方を考え、４回目の試行で初めてA、
　　B、Cがそろう確率を求めよ。
（�B）　５回目の試行で初めてA, B, Cがそろう取り出し方を考え、５回目の試行で初めてA、
　　B、Cがそろう確率を求めよ。


（解）（�@）　３回の試行で起こりうるすべての場合の数は、３³＝２７（通り）　そのうち、初めて
　　　　　A、B、Cがそろう場合の数は、
　　　　３回目がＡのとき、　２²−２＝２（通り）
　　　　３回目がＢのとき、　２²−２＝２（通り）
　　　　３回目がＣのとき、　２²−２＝２（通り）
　　なので、合わせて、２×３＝６通りある。よって、求める確率は、　６/２７＝２/９

（�A）　４回の試行で起こりうるすべての場合の数は、３⁴＝８１（通り）　そのうち、初めて
　　　　　A、B、Cがそろう場合の数は、
　　　　４回目がＡのとき、　２³−２＝６（通り）
　　　　４回目がＢのとき、　２³−２＝６（通り）
　　　　４回目がＣのとき、　２³−２＝６（通り）
　　なので、合わせて、６×３＝１８通りある。よって、求める確率は、　１８/８１＝２/９

（�B）　５回の試行で起こりうるすべての場合の数は、３⁵＝２４３（通り）　そのうち、初めて
　　　　　A、B、Cがそろう場合の数は、
　　　　５回目がＡのとき、　２⁴−２＝１４（通り）
　　　　５回目がＢのとき、　２⁴−２＝１４（通り）
　　　　５回目がＣのとき、　２⁴−２＝１４（通り）
　　なので、合わせて、１４×３＝４２通りある。
　　よって、求める確率は、　４２/２４３＝１４/８１　　（終）


（３）　箱の中にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのカードが１枚ずつ全部で４枚入っている場合を考える。以下で
　　は、６回目の試行で初めてA、B、C、Dがそろうとは、６回の試行でＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのそれぞれ
　　が少なくとも１回は取り出され、かつＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄのうちいずれか１枚が６回目の試行で初
　　めて取り出されることを意味する。

　また、３以上５以下の自然数ｎに対し、６回の試行のうちｎ回目の試行で初めてA、B、Cだ
けがそろうとは、６回の試行のうち１回目からｎ回目の試行で、Ａ、Ｂ、Ｃのそれぞれが少なく
とも１回は取り出され、Ｄは１回も取り出されず、かつＡ、Ｂ、Ｃのうちいずれか１枚がｎ回目の
試行で初めて取り出されることを意味する。６回の試行のうちｎ回目の試行で初めてB、C、D
だけがそろうなども同様に定める。

　太郎さんと花子さんは、６回目の試行で初めてA、B、C、Dがそろう確率について考えてい
る。

太郎：例えば、５回目までにＡ、Ｂ、Ｃのそれぞれが少なくとも１回は取り出され、かつ６回目
　　　に初めてＤが取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子：それなら、初めてA、B、Cだけがそろうのが、３回目のとき、４回目のとき、５回目のと
　　　きで分けて考えてみてはどうかな。

（�@）　６回の試行のうち３回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう取り出し方を考え、
　　「６回の試行のうち３回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ６回目の試行で初
　　めてＤが取り出される」取り出し方の数を求めよ。

（�A）　「６回の試行のうち４回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろい、かつ６回目の試行
　　で初めてＤが取り出される」取り出し方の数を求めよ。

（�B）　６回目の試行で初めてA、B、C、Dがそろう確率を求めよ。


（解）（�@）　６回の試行のうち３回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう取り出し方は、
　　　　６通りあり、６回目の試行で初めてＤが取り出される取り出し方の数は、
　　　　６×３²＝５４（通り）

（�A）　６回の試行のうち４回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう取り出し方は、
　　４回目がＡのとき、　２³−２＝６（通り）
　　４回目がＢのとき、　２³−２＝６（通り）
　　４回目がＣのとき、　２³−２＝６（通り）
　なので、合わせて、６×３＝１８通りあるから、６回目の試行で初めてＤが取り出される取り
　出し方の数は、　１８×３＝５４（通り）

（�B）　６回の試行のうち５回目の試行で初めてA、B、Cだけがそろう取り出し方は、
　　５回目がＡのとき、　２⁴−２＝１４（通り）
　　５回目がＢのとき、　２⁴−２＝１４（通り）
　　５回目がＣのとき、　２⁴−２＝１４（通り）
　なので、合わせて、１４×３＝４２通りあるから、６回目の試行で初めてＤが取り出される取
　り出し方の数は、　４２通り

　６回の試行で起こりうるすべての場合の数は、４⁶＝４０９６（通り）　そのうち初めてA、B、C、
Dがそろう場合の数は、　（５４＋５４＋４２）×４＝６００（通り）　なので、
求める確率は、　６００/７２９＝７５/５１２　　（終）


（コメント）　決して難しい問題ではありませんが、問題文の冗長さと誘導に付いていくのに
　　　　　疲れました！内容的には、共通一次試験だと１頁に収まる問題ですよね。


第２問　[１]　座標平面上に４点Ｏ(0，0)、A(6，0)、B(4，6)、C(0，6)を頂点とする台形OABC
　　　　　　がある。また、この座標平面上で、点P、Qは次の規則に従って移動する。
＜規則＞
・Pは、Ｏから出発して毎秒１の一定の速さで ｘ 軸上を正の向きにAまで移動し、Aに到達し
　た時点で移動を終了する。
・Qは、Cから出発して y 軸上を負の向きにＯまで移動し、Ｏに到達した後は ｙ 軸上を正の
　向きにCまで移動する。そして、Cに到達した時点で移動を終了する。ただし、Qは毎秒２の
　一定の速さで移動する。
・P、Qは同時刻に移動を開始する。

　この規則に従って、P、Qが移動するとき、P、Qはそれぞれ A、C に同時刻に到達し、移動
を終了する。

　以下において、P、Qが移動を開始する時刻を開始時刻、移動を終了する時刻を終了時刻
とする。

　　

（１）　開始時刻から１秒後の△PBQの面積を求めよ。


（解）　Ｂ（4，6）、Ｐ（1，0）、Ｑ（0，4） から、△PBQ＝（1/2）｜（−3）（−2）−24｜＝9　　（終）


（２）　開始時刻から３秒間の△PBQの面積について、面積の最小値と最大値を求めよ。


（解）　Ｂ（4，6）、Ｐ（t，0）、Ｑ（0，6−2t） から、

　△PBQ＝（1/2）｜（t−4）（−2t）−24｜＝｜t²−4t＋12｜＝（t−2）²＋8

　0≦t≦3　において、t＝2　のとき、最小で、最小値は、8

　t＝0　のとき、最大で、最大値は、12　　（終）


（３）　開始時刻から終了時刻までの△ＰＢＱの面積について、面積の最小値と最大値を求
　　めよ。


（解）　3≦ｔ≦6　のとき、Ｂ（4，6）、Ｐ（t，0）、Ｑ（0，2t−6） から、

　△PBQ＝（1/2）｜（t−4）（2t−12）−24｜＝｜t²−10t＋12｜＝−（t−5）²＋13

　3≦ｔ≦6　において、t＝5　のとき、最大で、最大値は、13

　t＝3　のとき、最小で、最小値は、9

以上から、0≦ｔ≦6　において、t＝5　のとき、最大で、最大値は、13

　t＝2　のとき、最小で、最小値は、8　　（終）


（４）　開始時刻から終了時刻までの△ＰＢＱの面積について、面積が１０以下となる時間
　　を求めよ。


（解）　0≦t≦3　において、（t−2）²＋8＝10　の解は、　t＝2−

　3≦ｔ≦6　において、−（t−5）²＋13＝10　の解は、　t＝5−

　よって、求める時間は、　5−−（2−）＝3−＋　（秒間）　　（終）


（コメント）　△PBQの面積は、　（台形の面積）−（２つの三角形の面積の和）　でも求められ
　　　　　ますね。


［２］　高校の陸上部で長距離競技の選手として活躍する太郎さんは、長距離競技の公認記
　　録が掲載されているWebページを見つけた。このWebページでは、各選手における公認
　　記録のうち最も速いものが掲載されている。

　そのWebページに掲載されている、ある選手のある長距離競技での公認記録を、その選手
のその競技でのベストタイムということにする。

（１）　太郎さんは、男子マラソンの日本人選手の2022年末時点でのベストタイムを調べた。
　その中で、2018年より前にベストタイムを出した選手と2018年以降にペストタイムを出した
　選手に分け、それぞれにおいて速い方から50人の選手のベストタイムをデータA、データB
　とした。

　ここでは、マラソンのベストタイムは、実際のベストタイムから2時問を引いた時間を秒単位
で表したものとする。例えば、2時間5分30秒であれば、60×5＋30＝330(秒)　となる。

（�@）　図1と図2はそれぞれ、階級の幅を30秒としたAとBのヒストグラムである。なお、ヒスト
　グラムの各階級の区問は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。

　　

　図1で、Aの最頻値が含まれる階級を求めよ。また、図2で、Bの中央値が含まれる階級を
求めよ。


（解）　Aの最頻値が含まれる階級は、５１０以上５４０未満。また、Bの中央値が含まれる階
　　級は、２５番目、２６番目が含まれる階級なので、４５０以上４８０未満。　　（終）


（�A）　図3は、A、Bそれぞれの箱ひげ図を並べたものである。ただし、中央値を示す線は省
　いている。

　　

　図3より次のことが読み取れる。ただし、A、Bそれぞれにおける、速い方から13番目の選手
は、一人ずつとする。

・Bの速い方から13番目の選手のベストタイムと、Aの速い方から13番目の選手のベストタイ
ムの差はおよそ何秒か。
・Aの四分位範囲からBの四分位範囲を引いた差の絶対値の取り得る範囲を求めよ。


（解）　５０÷４＝１２．５　から、Aの速い方から13番目の選手のベストタイムは、４８０秒で、

　Bの速い方から13番目の選手のベストタイムは、４３５秒である。よって、その差は、４５秒

　Aの四分位範囲は、５３０−４８０＝５０（秒）、Bの四分位範囲は、４８５−４３５＝５０（秒）

　よって、両者の差の絶対値の取り得る範囲は、０以上２０未満と言える。　　（終）


（�B）　太郎さんは、Aのある選手とBのある選手のベストタイムの比較において、その二人の
　選手のベストタイムが速いか遅いかとは別の観点でも考えるために、次の式を満たすzの
　値を用いて判断することにした。

　式　：　(あるデータのある選手のベストタイム)
　　　　＝(そのデータの平均値)＋ｚ×(そのデータの標準偏差)

　二人の選手それぞれのベストタイムに対するｚの値を比較し、その値の小さい選手の方が
優れていると判断する。

　下表は、A、Bそれぞれにおける、速い方から1番目の選手(以下、1位の選手)のベストタイ
ムと、データの平均値と標準偏差をまとめたものである。

　表　1位の選手のベストタイム、平均値、標準偏差

　式と上表を用いて、Bの1位の選手のベストタイムに対する z の値を求めよ。
A、Bそれぞれにおける、1位の選手についてどんなことが言えるか。


（解）　Bの1位の選手のベストタイムに対する z の値は、

　２９６＝４５４＋４５ｚ　より、ｚ＝−３．５１

　このことから、Bの1位の選手のベストタイムは、平均値より標準偏差のおよそ３．５１倍だ
け小さいことがわかる。

　同様に、Aの1位の選手のベストタイムに対する z の値は、

　３７６＝５０４＋４０ｚ　より、ｚ＝−３．２

　このことから、Aの1位の選手のベストタイムは、平均値より標準偏差のおよそ３．２倍だ
け小さいことがわかる。

　以上から、ベストタイムで比較すると、Bの１位の選手の方が速く、ｚ の値で比較すると、Ｂ

の１位の選手の方が優れている。　　（終）


（２）　太郎さんは、マラソン、10000m、5000 mのベストタイムに関連がないかを調べることに
　　した。そのために、2022年末時点でのこれら3種目のベストタイムをすべて確認できた日
　　本人男子選手のうち、マラソンのベストタイムが速い方から50人を選んだ。

　図4と図5はそれぞれ、選んだ50人についてのマラソンと10000 mのべストタイム、5000 mと
10000 mのベストタイムの散布図である。ただし、5000 mと10000 mのベストタイムは秒単位
で表し、マラソンのベストタイムは（１）の場合と同様、実際のベストタイムから2時間を引いた
時間を秒単位で表したものとする。なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。

　　

　次の(a)、(b)は、図4と図5に関する記述である。

(a) マラソンのべストタイムの速い方から3番目までの選手の10000 mのベストタイムは、3選
　手とも1670秒未満である。
(b) マラソンと10000 mの間の相関は、5000 mと10000 mの間の相関より強い。

　(a)、(b)の正誤を答えよ。


（解）　ラソンのべストタイムの速い方から3番目までの選手の10000 mのベストタイムは、3選
　手とも1670秒未満なので、（ａ）は正しい。

　図４と図５の散布図を比較して、図５の方が密集している。よって、5000 mと10000 mの間
の相関の方が、マラソンと10000 mの間の相関より強いと言える。

　よって、（ｂ）は誤りである。　　（終）


（コメント）　この設問も異様に文章量が多い。その割りに設問レベルは教科書の問いレベ
　　　　　ルで、忍耐力さえあれば高得点が期待できるだろう。


第１問　[１]（�@）　不等式　ｎ＜２＜ｎ＋１　・・・　�@　を満たす整数ｎを求めよ。
　　（�A）　２の小数部分をａとおき、ｂ＝１/ａとおく。このとき、ｂを求めよ。　・・・　�A
　　（�B）　ａ²−９ｂ²を求めよ。
　　（�C）　�@�Aから、ｂの取り得る値の範囲を求めよ。
　　（�D）　の小数第１位の数字、小数第２位の数字を求めよ。


（解）（�@）　４９＜５２＜６４　より、　７＜２＜８　なので、題意を満たす整数ｎは、ｎ＝７

（�A）　題意より、ａ＝２−７　で、ｂ＝１/（２−７）＝（２＋７）/３

（�B）　ａ²−９ｂ²＝（ａ＋３ｂ）（ａ−３ｂ）＝４・（−１４）＝−５６

（�C）　（�@）より、　７＜２＜８　なので、　１４＜２＋７＜１５　より、

　　１４/３＜ｂ＜５　となる。よって、　１/５＜ａ＜３/１４　となる。

（�D）　（�@）より、　７/２＜＜４　なので、の整数部分は、３　で、（�C）より、

　１/５＜２−７＜３/１４　なので、　１８/５＜＜１０１/２８

　ここで、１８/５＝３．６　、１０１/２８＝３．６０７・・・　なので、

　の小数第１位の数字は６で、小数第２位の数字は０である。　　（終）


[２]　水平な地面(以下、地面)に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと太陽高度
　　を利用して求めよう。

　　

　上図のように、電柱の影の先端は坂の斜面(以下、坂)にあるとする。また、坂には傾斜を
表す道路標識が設置されていて、そこには7％と表示されているとする。
電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面であるとし、地面
と坂が交わってできる直線をＬとする。
電柱の先端を点Aとし、根もとを点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を線分BC
とし、坂にある部分を線分CDとする。線分BC、CDがそれぞれＬと垂直であるとき、電柱の影
は坂に向かってまっすぐにのびているということにする。

　電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびているとする。このとき、４点A、B、C、Dを通る
平面はＬと垂直である。その平面において、下図のように、直線ADと直線BCの交点をPと
すると、太陽高度とは∠APBの大きさのことである。

　　

　道路標識の７％という表示は、この坂をのぼったとき、１００ｍの水平距離に対して７ｍの
割合で高くなることを示している。

（�@）　ｎを１以上９以下の整数とするとき、坂の頓斜角∠DCPの大きさについて
　ｎ°＜∠DCP＜ｎ°＋１°を満たすｎの値を求めよ。

　以下では、∠DCPの大きさは、ちょうど（�@）で求めた値とする。
（�A）　ある日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べたとこ
　　ろ、BC＝７ｍ、CD＝４ｍであり、太陽高度は∠APB＝４５°であった。点Dから直線AB
　　に垂直な直線を引き、直線ABとの交点をＥとするとき、ＢＥ、ＤＥを求め、電柱の高さを、
　　小数第２位で四捨五入して求めよ。

（�B）　別の日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたときの太陽高度は
　　∠APB＝４２°であった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の長さの
　　変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さＣＤを求めよ。


（解）（�@）　ｔａｎ∠ＤＣＰ＝７/１００＝０．０７　より、　４°＜∠ＤＣＰ＜５°　なので、ｎ＝４

　以下で、∠ＤＣＰ＝４°とする。

（�A）　ＢＥ＝４・ｓｉｎ∠ＤＣＰ　、ＤＥ＝７＋４・ｃｏｓ∠ＤＣＰ　なので、

　ＡＢ＝４・ｓｉｎ４°＋（７＋４・ｃｏｓ４°）ｔａｎ４５°＝７＋４（ｓｉｎ４°ｃｏｓ４°）

　よって、　ＡＢ＝７＋４（０．０６９８＋０．９９７６）＝１１．２６９６

　小数第２位を四捨五入して、　ＡＢ＝１１．３（ｍ）

（�B）　△ＡＢＰ∽△ＤＨＰ　なので、

　７＋ＣＤ・ｃｏｓ∠ＤＣＰ＋（ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ）/ｔａｎ４２°： （ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ）/ｔａｎ４２°

＝ＡＢ ： ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ

よって、

ＡＢ・（ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ）/ｔａｎ４２°

＝（７＋ＣＤ・ｃｏｓ∠ＤＣＰ＋（ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ）/ｔａｎ４２°）・ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ

すなわち、

ＡＢ＝７・ｔａｎ４２°＋ＣＤ・ｃｏｓ∠ＤＣＰ・ｔａｎ４２°＋ＣＤ・ｓｉｎ∠ＤＣＰ　より、

ＣＤ（ｓｉｎ∠ＤＣＰ＋ｃｏｓ∠ＤＣＰ・ｔａｎ４２°）＝ＡＢ−７・ｔａｎ４２°

したがって、　ＣＤ＝（ＡＢ−７・ｔａｎ４２°）/（ｓｉｎ∠ＤＣＰ＋ｃｏｓ∠ＤＣＰ・ｔａｎ４２°）

ここで、　ＡＢ＝１１．３（ｍ）　、∠ＤＣＰ＝４°を代入して、

　ＣＤ＝（１１．３−７・０．９００４）/（０．０６９８＋０．９９７６・０．９００４）

　　＝４．９９７２/０．９６８０＝５．１６２４

したがって、前回調べた４ｍより、約１．１６２４ｍだけ長いことが分かる。　　（終）


【 数学�U・Ｂ 】

第５問　点Ｏを原点とする座標空間に４点A(２，７，−１)、B(３，６，０)、C(−８，１０，−３)、
　　　　D(−９，８，−４)がある。A、Bを通る直線をＬ₁とし、C、Dを通る直線をＬ₂とする。
（１）　ＡＢ、ＡＢ・ＣＤを求めよ。


（解）　ＡＢ＝(１，−１，１)　で、ＣＤ＝(−１，−２，−１)　より、

　ＡＢ・ＣＤ＝−１＋２−１＝０　　（終）


（２）　花子さんと太郎さんは、点PがＬ₁上を動くとき、|ＯＰ|が最小となるPの位置について考
　　えている。

　PがＬ₁上にあるので、AP＝sAB を満たす実数 s があり、ＯＰ＝０Ａ＋sABが成り立つ。
|ＯＰ|が最小となる s の値を求めればＰの位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎
さんが話をしている。

花子：|ＯＰ|²が最小となる ｓ の値を求めればよいね。
太郎：|ＯＰ|が最小となるときの直線OPとＬ₁の関係に着目してもよさそうだよ。

（�@）　|ＯＰ|²を求め、花子さんの考え方で、|ＯＰ|が最小となる s の値を求めよ。

（�A）　|ＯＰ|が最小となるとき、直線ＯＰとＬ₁の関係に着目すると、ＯＰ・ＡＢ＝０が成り立つ
　　ことがわかる。太郎さんの考え方で、|ＯＰ|が最小となる s の値を求めよ。


（解）（�@）　ＯＰ＝(２＋ｓ，７−ｓ，−１＋ｓ)　なので、

　|ＯＰ|²＝（２＋ｓ）²＋（７−ｓ）²＋（−１＋ｓ）²＝３ｓ²−１２ｓ＋５４＝３（ｓ−２）²＋４２

より、ｓ＝２のとき、|ＯＰ|²が最小となる。

（�A）　ＯＰ・ＡＢ＝２＋ｓ−（７−ｓ）−１＋ｓ＝３ｓ−６＝０　より、ｓ＝２

　よって、ｓ＝２のとき、|ＯＰ|が最小となる。


（３）　点PがＬ₁上を動き、点QがＬ₂上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になると
　　きのP、Ｑの座標を求めよ。


（解）　Ｌ₁上の点Ｐについて、ＯＰ＝(２＋ｓ，７−ｓ，−１＋ｓ)

　Ｌ₂上の点Ｑについて、ＯＱ＝(−８−ｔ，１０−２ｔ，−３−ｔ)

このとき、　ＰＱ＝(−１０−ｔ−ｓ，３−２ｔ＋ｓ，−２−ｔ−ｓ)　で、

　ＰＱ・ＡＢ＝０　、ＰＱ・ＣＤ＝０　より、

　−１０−ｔ−ｓ−（３−２ｔ＋ｓ）−２−ｔ−ｓ＝−１５−３ｓ＝０　よって、　ｓ＝−５

　−（−１０−ｔ−ｓ）−２（３−２ｔ＋ｓ）−（−２−ｔ−ｓ）＝６ｔ＋６＝０　よって、　ｔ＝−１

　したがって、Ｐ(−３，１２，−６)　、Ｑ(−７，１２，−２)　である。　　（終）


第４問（１）　数列｛ａ_ｎ｝が　ａ_n+1−ａ_n＝１４　（ｎ＝１、２、３、・・・）　を満たすとする。

（�@）　ａ₁＝１０ のとき、ａ₂、ａ₃ を求めよ。
（�A）　数列｛ａ_ｎ｝の一般項を、初項ａ₁ を用いて表せ。


（解）（�@）　ａ₂＝ａ₁＋１４＝２４　、ａ₃＝ａ₂＋１４＝３８

　（�A）　等差数列の一般項の公式より、　ａ_n＝ａ₁＋１４（ｎ−１）　　（終）


（２）　数列｛ｂ_ｎ｝が　２ｂ_n+1−ｂ_n＋３＝０　（ｎ＝１、２、３、・・・）　を満たすとする。
　このとき、数列｛ｂ_ｎ｝の一般項を、初項ｂ₁ を用いて表せ。


（解）　ｂ_n+1＋３＝（１/２）（ｂ_n＋３）　より、　ｂ_n＋３＝（ｂ₁＋３）(１/２)^n-1 なので、

　　ｂ_n＝（ｂ₁＋３）(１/２)^n-1−３　　（終）


（３）　太郎さんは、(c_ｎ＋３)(２ｃ_n+1−ｃ_ｎ＋３)＝０　（ｎ＝１、２、３、・・・）　・・・　�@　を満たす
　　数列｛ｃ_ｎ｝について調べることにした。

（�@）
　・数列｛ｃ_ｎ｝が�@を満たし、ｃ₁＝５ のとき、ｃ₂ を求めよ。
　・数列｛ｃ_ｎ｝が�@を満たし、ｃ₃＝−３ のとき、ｃ₂ 、ｃ₁ を求めよ。


（解）（�@）　ｃ₁＝５ のとき、　８（２ｃ₂−５＋３）＝０　より、　ｃ₂＝１

　ｃ₃＝−３ のとき、　(c₂＋３)(２ｃ₃−ｃ₂＋３)＝０ より、　(c₂＋３)²＝０ 　よって、c₂＝−３

　(c₁＋３)(２ｃ₂−ｃ₁＋３)＝０ より、　(c₁＋３)²＝０ 　よって、c₁＝−３　　（終）


(�A)　太郎さんは、数列｛ｃ_ｎ｝が�@を満たし、ｃ₃＝−３ となる場合について考えている。
　　ｃ₃＝−３ のとき、ｃ₄ がどのような値でも　(c₃＋３)(２ｃ₄−ｃ₃＋３)＝０ が成り立つ。

　・数列｛ｃ_ｎ｝が�@を満たし、ｃ₃＝−３ 、ｃ₄＝５ のとき、ｃ₅ を求めよ。

　・数列｛ｃ_ｎ｝が�@を満たし、ｃ₃＝−３ 、ｃ₄＝８３ のとき、ｃ₅ を求めよ。


（解）　ｃ₄＝５ のとき、(c₄＋３)(２ｃ₅−ｃ₄＋３)＝０ より、８(２ｃ₅−２)＝０ よって、c₅＝１

　ｃ₄＝８３ のとき、(c₄＋３)(２ｃ₅−ｃ₄＋３)＝０ より、８６(２ｃ₅−８０)＝０

　よって、c₅＝４０　　（終）


（�B）　太郎さんは（�@）と（�A）から、ｃ_ｎ＝−３ となることがあるかどうかに着目し、次の命題A
　　が成り立つのではないかと考えた。

命題A　数列｛ｃ_ｎ｝が�@を満たし、ｃ₁≠−３ であるとする。このとき、すべての自然数ｎにつ
　　　　いて、ｃ_ｎ≠−３ である。

　命題Aが真であることを証明せよ。


（解）　数学的帰納法による。

　ｎ＝１　のとき、条件より、ｃ₁≠−３ なので、　ｎ＝１のとき、命題Ａは成り立つ。

　ｎ＝ｋのとき、命題Ａは成り立つと仮定する。すなわち、c_k≠−３

　このとき、　(c_k＋３)(２ｃ_k+1−ｃ_k＋３)＝０ より、　ｃ_k+1＝（ｃ_k−３）/２　において、

　ｃ_k+1＝−３　と仮定すると、　（ｃ_k−３）/２＝−３　より、　ｃ_k＝−３

　しかるに、これは、帰納法の仮定　c_k≠−３　に矛盾する。

　よって、ｃ_k+1≠−３　となり、命題Ａは、ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つことを示す。

以上から、すべての自然数ｎについて、ｃ_ｎ≠−３ である。　　（終）


＃時間短縮のためか、この証明は、本文では成り立つものとされ割愛されている。


（�C）　次の(�T)、(�U)、(�V)は、数列｛ｃ_ｎ｝に関する命題である。それぞれの真偽を調べよ。

(�T)　ｃ₁＝３ かつ ｃ₁₀₀＝−３ であり、かつ�@を満たす数列｛ｃ_ｎ｝がある。
(�U)　ｃ₁＝−３ かつ ｃ₁₀₀＝−３ であり、かつ�@を満たす数列｛ｃ_ｎ｝がある。
(�V)　ｃ₁＝−３ かつ ｃ₁₀₀＝３ であり、かつ�@を満たす数列｛ｃ_ｎ｝がある。


（解）(�T)　ｃ₁＝３≠−３　なので、命題Ａから、ｃ₁₀₀≠−３ なので、このような数列｛ｃ_ｎ｝は

　　存在しない。よって、偽である。

(�U)　ｃ₁＝−３　のとき、ｃ₂ は任意である。そこで、ｃ₁＝ｃ₂＝・・・＝ｃ₁₀₀＝−３ である数列

　が存在しうる。よって、真である。

(�V)　ｃ₁＝−３　のとき、ｃ₂ は任意である。そこで、ｃ₁＝ｃ₂＝・・・＝ｃ₉₉＝−３　で、

　ｃ₁₀₀＝３ である数列が存在しうる。よって、真である。　　（終）


第３問　以下での「晴れ」の定義については、気象庁の天気概況の「快晴」または「晴」とする。
（１）　太郎さんは、自分が住んでいる地域において、日曜日に晴れとなる確率を考えている。
　　晴れの場合は「１」、晴れ以外の場合は「０」の値をとる確率変数をXと定義する。また、
　　X＝１である確率をｐとする。

（�@）　この確率変数Xの平均(期待値)ｍを求めよ。

（�A）　太郎さんは、ある期間における連続したｎ週の日曜日の天気を、上記の確率分布を
　　もつ母集団から無作為に抽出した大きさｎの標本とみなし、それらのXを確率変数
　　X₁、X₂、・・・、X_n で表すことにした。そして、その標本平均を利用して、母平均ｍを
　　推定しようと考えた。実際に、ｎ＝３００として晴れの日数を調べたところ、下表のように
　なった。

　母標準偏差をσとすると、ｎ＝３００は十分に大きいので、標本平均は近似的に正規分
布Ｎ（ｍ，σ²/ｎ）に従う。

　一般に、母標準偏差σがわからないとき、標本の大きさｎが大きければ、σの代わりに標
本の標準偏差Ｓを用いてもよいことが知られている。Ｓは、

Ｓ＝√｛（（X₁−）²＋（X₂−）²＋・・・＋（X_n−）²）/ｎ｝
＝√｛（X₁²＋X₂²＋・・・＋X_n²）/ｎ−²｝

で計算できる。ここで、X₁²＝X₁、X₂²＝X₂、・・・、X_n²＝X_nであることに着目し、右辺を整理
すると、Ｓ＝√｛（１−）｝と表されることがわかる。

　表より、大きさｎ＝３００の標本から求められる母平均ｍに対する信頼度９５％の信頼区間
を求めよ。（→　参考：「平均の推定」）


（解）（�@）　ｍ＝０・（１-ｐ）＋１・ｐ＝ｐ

（�A）　ｐ＝７５/３００＝１/４　より、＝１・（１/４）＝１/４＝０．２５

　このとき、Ｓ＝√｛（１/４）（３/４）｝＝/４　となるので、信頼度９５％の信頼区間は、

　−１．９６・Ｓ/√３００≦ｍ≦＋１．９６・Ｓ/√３００

より、　０．２５−１．９６/４０≦ｍ≦０．２５＋１．９６/４０　なので、計算して、

　０．２０１≦ｍ≦０．２９９　となる。


（２）　ある期間において、「ちょうど３週続けて日曜日の天気が晴れになること」がどのくらい
　の頻度で起こり得るのかを考察しよう。以下では、連続するｋ週の日曜日の天気について、
　（１）の太郎さんが考えた確率変数のうち X₁、X₂、・・・、X_k を用いて調べる。ただし、ｋは
　３以上３００以下の自然数とする。

X₁、X₂、・・・、X_k の値を順に並べたときの０と１からなる列において、「ちょうど三つ続けて１
が現れる部分」をAとし、Aの個数を確率変数U_ｋで表す。

例えば、ｋ＝２０とし、X₁、X₂、・・・、X₂₀ の値を順に並べたとき
　　　1,1,1,1, 0,1,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0, 0,1,1,1
であったとする。この例では、赤字部分はAを示しており、１が四つ以上続く部分はAとはみな
さないので、U₂₀＝２ となる。
　ｋ＝４ のとき、X₁、X₂、X₃、X₄ のとり得る値と、それに対応したU₄の値を書き出すと、下
表のようになる。

　ここで、U₄の期待値を求めてみよう。（１）におけるｐの値をｐ＝１/４とする。

（�@）　ｋ＝４のとき、U₄の期待値を求めよ。

（�A）　ｋ＝５のとき、U₅の期待値を求めよ。

（�B）　４以上のｋについて、ｋとＥ（U_ｋ）の関係を詳しく調べると、座標平面上の点(４，Ｅ（U₄）)、
　(５，Ｅ（U₅）)、・・・、(３００，Ｅ（U₃₀₀）)は一つの直線上にあることがわかる。

　この事実によって、Ｅ（U₃₀₀）の値を求めよ。


（解）（�@）　U₄の値が１となる確率は、１１１０、０１１１　から、　２・（１/４）³（３/４）＝３/１２８

　なので、　Ｅ（U₄）＝１・（３/１２８）＝３/１２８

（�A）　U₅の値が１となる確率は、１１１００、０１１１０、００１１１、１１１０１、１０１１１　から、

　３・（１/４）³（３/４）²＋２・（１/４）⁴（３/４）＝３３/１０２４

　なので、　Ｅ（U₅）＝１・（３３/１０２４）＝３３/１０２４

（�B）　直線の傾きは、　（Ｅ（U₅）−Ｅ（U₄）)/（５−４）＝３３/１０２４−３/１２８＝９/１０２４

　題意より、　（Ｅ（U₃₀₀）−Ｅ（U₄）)/（３００−４）＝９/１０２４　なので、

Ｅ（U₃₀₀）＝Ｅ（U₄）＋２９６・（９/１０２４）＝３/１２８＋３３３/１２８＝３３６/１２８＝２１/８　　（終）


（コメント）　この問題も文章の長さに辟易しました。公式として当然知っていなければいけな
　　　　　いことまでクドクドと記述されていて疲れました！文章量の割りに計算量は極端に
　　　　　少ないです。


第２問　ｍをｍ＞１を満たす定数とし、Ｆ（ｘ）＝３(x−１）（ｘ−ｍ）とする。また、
Ｓ（ｘ）＝∫₀^x Ｆ（ｔ）ｄｔ とする。関数 ｙ＝Ｆ（ｘ） と ｙ＝Ｓ（ｘ） のグラフの関係について考えてみ
よう。

（１）ｍ＝２のとき、すなわち、Ｆ（ｘ）＝３(x−１）（ｘ−２）のときを考える。

（�@）　Ｆ’（ｘ）＝０ となる ｘ の値を求めよ。
（�A）　Ｓ（ｘ）を計算し、Ｓ（ｘ）の極大値、極小値およびそのときの ｘ の値を求めよ。
（�B）　Ｆ（３）の幾何学的意味を答えよ。


（解）（�@）　Ｆ’（ｘ）＝３(x−１＋ｘ−２）＝３（２ｘ−３）＝０　より、　ｘ＝３/２

（�A）　Ｓ（ｘ）＝∫₀^x ３(ｔ−１）（ｔ−２）ｄｔ＝３∫₀^x ｛(ｔ−１）²−（ｔ−１）｝ｄｔ

　　＝３［(ｔ−１）³/３−（ｔ−１）²/２］₀^x

　　＝３（(ｘ−１）³/３−（ｘ−１）²/２＋５/６）＝ｘ³−（９/２）ｘ²＋６ｘ

　Ｓ’（ｘ）＝３ｘ²−９ｘ＋６＝３（ｘ−１）（ｘ−２）＝０　より、ｘ＝１、２

　このとき、ｘ＝１でＳ（ｘ）は極大で、極大値Ｓ（１）＝５/２

　Ｘ＝２でＳ（ｘ）は極小で、極小値Ｓ（２）＝２

（�B）　Ｆ（３）＝６　で、Ｓ’（３）＝６　なので、Ｆ（３）の値と一致するのは、関数 ｙ＝Ｓ（ｘ） のグ

　ラフ上の点(３，Ｓ（３）)における接線の傾きに等しい。　　（終）


（２）　０≦ｘ≦１の範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフと ｘ 軸およぴ ｙ 軸で囲まれた図形の面積
　をＳ₁、１≦ｘ≦ｍ の範囲で、関数 ｙ＝Ｆ（ｘ） のグラフと ｘ 軸で囲まれた図形の面積を Ｓ₂
　とする。

（�@）　Ｓ₁、Ｓ₂ を式で表し、Ｓ₁＝Ｓ₂ を簡単にせよ。
（�A）　Ｓ₁＝Ｓ₂ が成り立つようなＦ（ｘ）に対する関数 ｙ＝Ｓ（ｘ） のグラフの概形を求めよ。
（�B）　Ｓ₁＞Ｓ₂ が成り立つようなＦ（ｘ）に対する関数 ｙ＝Ｓ（ｘ） のグラフの概形を求めよ。


（解）（�@）　Ｓ₁＝∫₀¹ Ｆ（ｘ）ｄｘ、Ｓ₂＝−∫₁^m Ｆ（ｘ）ｄｘ　より、∫₀¹ Ｆ（ｘ）ｄｘ＝−∫₁^m Ｆ（ｘ）ｄｘ

　なので、　∫₀^m Ｆ（ｘ）ｄｘ＝０

（�A）　Ｓ₁＝Ｓ₂ が成り立つとき、　Ｓ（ｍ）＝０　で、かつ、　Ｓ（０）＝０

　よって、Ｓ（０）＝０で、０≦ｘ≦１でＳ（ｘ）は増加し、１≦ｘ≦ｍでＳ（ｘ）は減少し、Ｓ（ｍ）＝０

　となり、ｍ≦ｘでＳ（ｘ）は増加する。

（�B）　Ｓ₁＞Ｓ₂ が成り立つとき、０＜ｘ　において、Ｓ（ｘ）＞０　であるので、

　Ｓ（０）＝０で、０≦ｘ≦１でＳ（ｘ）は増加し、１≦ｘ≦ｍでＳ（ｘ）は減少し、ｍ≦ｘでＳ（ｘ）は増加

する。　　（終）


（３）　関数 ｙ＝Ｆ（ｘ） のグラフの特徴から関数 ｙ＝Ｓ（ｘ） のグラフの特徴を考えてみよう。

（�@）　関数 ｙ＝Ｆ（ｘ） のグラフは、ある直線 ｘ＝ｋ に関して対称である。ｋの値を求めよ。
（�A）　すべての正の実数ｐに対して、∫_1-p¹ Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝∫_ｍ^ｎ Ｆ（ｘ）ｄｘ が成り立つような ｎ
　　の値を求めよ。
（�B）　Ｍ＝ｋとおくと、０＜ｑ≦Ｍ−１ であるすべての実数 ｑ に対して、
　　　∫_M-ｑ^M（−Ｆ（ｘ））ｄｘ ＝∫_M^N （−Ｆ（ｘ））ｄｘ が成り立つようなＮの値を求めよ。
（�C）　（�A）、（�B）を計算し、等式を作れ。
（�D）　（�C）から、すべての正の実数ｐに対して、２点（１−ｐ，Ｓ（１−ｐ））、（ｍ＋ｐ，Ｓ（ｍ＋ｐ））
　　を結ぷ線分の中点について言えることを記述せよ。


（解）（�@）　ｋ＝（ｍ＋１）/２

（�A）　ｎ＝ｍ＋ｐ

（�B）　Ｎ＝Ｍ＋ｑ

（�C）　∫_1-p¹ Ｆ（ｘ）ｄｘ ＝∫_ｍ^ｍ＋ｐ Ｆ（ｘ）ｄｘ　、∫_M-ｑ^M（−Ｆ（ｘ））ｄｘ ＝∫_M^Ｍ+q （−Ｆ（ｘ））ｄｘ

　より、

　Ｓ（１）−Ｓ（１−ｐ）＝Ｓ（ｍ＋ｐ）−Ｓ（ｍ）　、Ｓ（Ｍ−ｑ）−Ｓ（Ｍ）＝Ｓ（Ｍ）−Ｓ（Ｍ＋ｑ）

すなわち、　Ｓ（１−ｐ）＋Ｓ（ｍ＋ｐ）＝Ｓ（１）＋Ｓ（ｍ）

　２Ｓ（Ｍ）＝Ｓ（Ｍ−ｑ）＋Ｓ（Ｍ＋ｑ）

　ここで、ｑ＝Ｍ−１　とおくと、　２Ｓ（Ｍ）＝Ｓ（１）＋Ｓ（２Ｍ−１）＝Ｓ（１）＋Ｓ（ｍ）　である。

（�D）　すべての正の実数ｐに対して、２点（１−ｐ，Ｓ（１−ｐ））、（ｍ＋ｐ，Ｓ（ｍ＋ｐ））を結ぷ

　線分の中点（（ｍ＋１）/２，（Ｓ（１−ｐ）＋Ｓ（ｍ＋ｐ））/２）について、

（（ｍ＋１）/２，（Ｓ（１）＋Ｓ（ｍ））/２）＝（Ｍ，Ｓ（Ｍ））　となることから、中点はｐの値によらず

一つに定まり、関数 ｙ＝Ｓ（ｘ） のグラフ上にあることが分かる。　　（終）


第１問　[１]（１）　ｋ＞０、ｋ≠１とする。関数 ｙ＝ｌｏｇ_ｋｘ と ｙ＝ｌｏｇ₂ｋｘ のグラフについて考え
　　　　よう。

（�@）　ｙ＝ｌｏｇ₃ｘ について、ｘ＝２７ のときのｙの値を求めよ。
　　また、ｙ＝ｌｏｇ₂（ｘ/５） について、ｙ＝１ のときの ｘ の値を求めよ。

（�A）　ｙ＝ｌｏｇ_ｋｘ のグラフは、ｋの値によらずある定点を通る。定点の座標を求めよ。

（�B）　ｋ＝２、３、４ のとき、ｙ＝ｌｏｇ_ｋｘ と ｙ＝ｌｏｇ₂ｋｘ のグラフの概形を述べよ。


（解）（�@）　ｙ＝ｌｏｇ₃２７＝ｌｏｇ₃３³＝３ｌｏｇ₃３＝３

　ｌｏｇ₂（ｘ/５）＝１　より、　ｘ/５＝２　なので、　ｘ＝１０

（�A）　０＝ｌｏｇ_ｋ１ より、ｋの値によらず、定点（１，０）を通る。

（�B）　ｙ＝ｌｏｇ_ｋｘ のグラフは、ｋ＝２、３、４ のとき、ｘ＞０ において単調に増加し、定点（１，０）

　を通り、さらに、

　ｋ＝２ のとき、（２，１）を通る。

　ｋ＝３ のとき、（３，１）を通る。

　ｋ＝４ のとき、（４，１）を通る。

　ｙ＝ｌｏｇ₂ｋｘ のグラフは、ｋ＝２、３、４ のとき、ｘ＞０ において単調に増加し、さらに、

　ｋ＝２ のとき、（１/２，０）、（１，１）を通る。

　ｋ＝３ のとき、（１/３，０）、（２/３，１）を通る。

　ｋ＝４ のとき、（１/４，０）、（１/２，１）を通る。　　（終）


（２）　ｘ＞０、ｘ≠１、ｙ＞０　とする。ｌｏｇ_ｘｙ について考えよう。

（�@）　座標平面において、方程式 log_xｙ＝２ の表す図形の概形を述べよ。
（�A）　座標平面において、不等式 ０＜log_xｙ＜１ の表す領域について述べよ。
　　ただし、境界(境界線)は含まないものとする。


（解）（�@）　log_xｙ＝２ より、　ｙ＝ｘ²　で、ｘ＞０、ｘ≠１の部分

（�A）　０＜log_xｙ＜１ より、　log_x１＜log_xｙ＜log_xｘ

　よって、　０＜ｘ＜１　のとき、　１＞ｙ＞ｘ　で、ｘ＞１　のとき、　１＜ｙ＜ｘ　　（終）


[２]　S（ｘ）をｘの２次式とする。ｘの整式P（ｘ）をS（ｘ）で割ったときの商をＴ（ｘ）、余りをＵ（ｘ）と
　する。ただし、S（ｘ）とＰ（ｘ）の係数は実数であるとする。

（１）　P（ｘ）＝２ｘ³＋７ｘ²＋１０ｘ＋５、S（ｘ）＝ｘ²＋４ｘ＋７ の場合を考える。方程式S（ｘ）＝０
　　の解を求めよ。また、Ｔ（ｘ）、Ｕ（ｘ）を求めよ。


（解）　S（ｘ）＝０　より、　ｘ＝−２±√（４−７）＝−２±ｉ

　実際に割り算をして、　Ｔ（ｘ）＝２ｘ−１　、Ｕ（ｘ）＝１２　　（終）


（２）　方程式S（ｘ）＝０ は異なる二つの解α、βをもつとする。このとき、
　　「P（ｘ）をS(x)で割った余りが定数になる」ことと同値な条件を考える。

（�@）　余りが定数になるときを考えてみよう。仮定から、定数ｋを用いて、U(x)＝ｋ とおける。
　　このとき、どんなことが言えるか述べよ。

（�A）　逆に、（�@）が成り立つとき、余りが定数になるかを調べよう。

　S(x)が２次式であるから、ｍ、ｎを定数として、U(x)＝ｍｘ＋ｎ とおける。
　P（ｘ）をS（ｘ）、T（ｘ）、ｍ、ｎを用いて表すとき、P（ｘ）を求めよ。
このとき、余りが定数になることを示せ。　

　（�@）、（�A）の考察から、方程式 S(x)＝０ が異なる二つの解α、βをもつとき、P（ｘ）をS（ｘ）
で割った余りが定数になることと（�@）は同値である。


（解）（�@）　題意より、　P（ｘ）＝S(x)Ｔ（ｘ）＋ｋ　において、S（α）＝S（β）＝０　より、

　Ｐ（α）＝Ｐ（β）＝ｋ　なので、

　P（ｘ）をS(x)で割った余りが余りが定数になるとき、Ｐ（α）＝Ｐ（β）が成り立つ。

（�A）　逆に、Ｐ（α）＝Ｐ（β）が成り立つとする。

　このとき、P（ｘ）＝S(x)Ｔ（ｘ）＋ｍｘ＋ｎ　において、

P（α）＝ｍα＋ｎ　、P（β）＝ｍβ＋ｎ　から、ｍα＋ｎ＝ｍβ＋ｎ　即ち、　ｍ（α−β）＝０

　α、βは、方程式S（ｘ）＝０ の異なる二つの解なので、　ｍ＝０　となる。

　よって、Ｐ（α）＝Ｐ（β）が成り立つとき、P（ｘ）をS(x)で割った余りが定数になる。　　（終）


（３）　ｐ を定数とし、P（ｘ）＝ｘ¹⁰−２ｘ⁹−ｐｘ²−５ｘ、S（ｘ）＝ｘ²−ｘ−２ の場合を考える。
　　P（ｘ）をS（ｘ）で割った余りが定数になるとき、ｐの値、および、そのときの余りを求めよ。


（解）　S（ｘ）＝ｘ²−ｘ−２＝（ｘ−２）（ｘ＋１）＝０　とおくと、　ｘ＝２、−１

　（２）の結果から、P（ｘ）をS（ｘ）で割った余りが定数になるとき、P（２）＝P（−１）

　よって、　−４ｐ−１０＝−ｐ＋８　より、　ｐ＝−６

　余りは、P（−１）＝−（−６）＋８＝１４　　（終）



　　以下、工事中！