数学において、円周率 π とか自然対数の底 ｅ は重要な定数である。円周率については、
最近の大学入試問題（東京大学理科系）でも見られた通り、円周の長さを内接（外接）する
正多角形の辺の長さの総和によって近似するという実験により、円周率というものを、実感
できる。
また、等間隔で無数の平行線が引いてある平面上に、同じ長さの針を落とすとき、その針
が平行線と交わる確率を求めるというＢｕｆｆｏｎの針の問題では、求める確率は、１/π であ
り、平行線と交わる針の本数を数えることにより、間接的ながら、やはり円周率というものが
実感できる。
これに対して、自然対数の底 ｅ は、定義式による理解のみで、なかなか実感できる実験
というものはないと、私自身思っていた。
ところが、次のような実験があることを最近知った。この実験では、間接的ながら、自然対
数の底 ｅ の値が体感できる。
１ から ｎ までの自然数の書かれたカードが ｎ 枚ある。今そのカードをよく切って、左図のように番号
順に置いていく。
もし、
ａｋ＝ｋ
となるような ｋ が存在するとき、「出合い」が起こったといわれる。
このとき、出合いが起こらない確率はいくつになるであろうか？
この問題は、１７０８年モンモール(1678〜1719)が提出した「出合いの問題」といわれるもの
である。受験数学では、「手紙と封筒の問題」として認知されているかもしれない。
１７４０年ごろ、オイラー(1707〜1783)により、この問題は再発見され、解決された。
出合いが起こらない場合の数を Ｆ(ｎ) とおく。この Ｆ(ｎ) を実際に求めてみよう。
Ｆ(ｎ) は、１，２，３，・・・，ｎ の数を並び替えたとき、先頭から数えた順番と数が一致するも
のが１つもない並べ方（完全順列または攪乱順列）の数に等しい。
数 １ は、ａ1 以外のどれかである。
今、数 １ が、ａｋ （２≦ｋ≦ｎ）であるとする。このとき、次の２つの場合が考えられる。
（１） 数 ｋ が、ａ1 であるとき、残りの ｎ−２ 個の数の並べ方の数は、Ｆ(ｎ−２) 通り
（２） 数 ｋ が、ａ1 でないとき、1 以外の ｎ−１ 個の数の並べ方の数は、Ｆ(ｎ−１) 通り
したがって、次のような漸化式が成り立つ。
Ｆ(ｎ)＝（ｎ−１）（Ｆ(ｎ−１)＋Ｆ(ｎ−２)）
明らかに、Ｆ(１)＝０、Ｆ(２)＝１ である。
このとき、 Ｆ(ｎ)−ｎＦ(ｎ−１)＝−（Ｆ(ｎ−１)−（ｎ−１）Ｆ(ｎ−２)） なので、
Ｆ(ｎ)−ｎＦ(ｎ−１)＝（Ｆ(２)−２Ｆ(１)）（−１）ｎ＝（−１）ｎ
よって、
と変形できるから
すなわち、
Ｆ(１)＝０ なので、
となる。
したがって、
（ Ｆ(ｎ) を求める別証明は、こちらを参照 → 「個数定理」 ）
ところで、
