立体図形の体積                             戻る

 角柱(円柱を含む)や角錐(円錐を含む)の体積の公式は、皆さんにとって周知のものだろう。

 当HPでも

  四面体の求積  三角錐の体積  円柱の体積  直交する円柱  角錐の体積

  ある図形の体積  切断面の高さ  ・・・

などが話題となり、まとめられてきた。このページでは、立体図形の体積について、さらなる
考察を試みたいと思う。

例題 上面、下面が平行(各面の長方形の辺どうしが平行)な四角錐台の体積を求めよ。

   

 体積は、 h(2MN+Mn+mN+2mn)/6 で与えられる。

 特に、m=n=0 とすれば、四角錐の体積 hMN/6 となる。

    M=m、N=n とすれば、直方体の体積 hMN となる。

(解) 立体図形は、長方形EFGHを底面とする四角錐O-EFGHから長方形ABCDを底面
   とする四角錐O-ABCDを取り除いたものである。

   OA : OE=1 : k とすると、 M=km 、N=kn が成り立つ。

 また、四角錐O-ABCDの高さを x とおくと、 x : x+h=1 : k なので、 x=h/(k-1)

 このとき、 x+h=hk/(k-1) である。

 よって、 四角錐O-ABCDの体積V1は、 V1=mnh/{3(k-1)}

 四角錐O-EFGHの体積V2は、 V2=MNhk/{3(k-1)}=mnhk3/{3(k-1)}

 したがって、求める立体図形の体積は、

2-V1=mnhk3/{3(k-1)}-mnh/{3(k-1)}

     =mnh(k3-1)/{3(k-1)}

     =mnh(k2+k+1)/3

     =h(mk・nk+mnk+mn)/3

     =h(2mk・nk+mnk+mnk+2mn)/6

     =h(2MN+Mn+mN+2mn)/6  (終)

(別解) 立体図形を下図のように3つの部分に分割する。

     

 このとき、求める立体図形の体積は、

 (N+n)hm/2+(M-m)hn/2+(M-m)(N-n)h/3

=h(3Nm+3mn+3Mn-3mn+2MN-2Mn-2Nm+2mn)/6

=h(2MN+Mn+Nm+2mn)/6  (終)


(追記) 令和4年7月27日付け

 次の立体図形の体積を求める方法としては、いろいろ考えられる。

    

 最初に思いついたのが、下図のように斜めになってる部分をならす方法である。

    

 このとき、求める体積は、直径6の円を底面とし高さが (3+5)/2=4 の円柱の体積に
等しくなるので、

  体積=9π×4=36π

となる。また、同じ図形をもう1個用意して、下図のように逆向きに重ねる方法も有効である。

    

 このとき、求める体積は、直径6の円を底面とし高さが8の円柱の体積の半分に等しくな
るので、

  体積=9π×8÷2=36π

となる。

 この後半の手法は、是非覚えておきたいテクニックである。


(追記) 令和4年7月28日付け

問題 1辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHがある。辺CDを2:1に内分する点をP、辺
    GHを1:2に内分する点をQとする。今、立方体を3点A、P、Qを通る平面αで切断
    したとき、次の問いに答えよ。

(1) 平面αと辺EFの交点をRとおくとき、線分ERの長さを求めよ。
(2) 立体APD-ERQHの体積を求めよ。

   

(解)(1) Rより辺GHに垂線を下ろし、その足をSとすると、 △APD≡△RQS

    QS=PD=2 なので、 ER=4-2=2

(2) 立体APD-ERQHをもう一つ考え、下図のように合体させる。

   

 このとき、求める体積は、上図の直方体の体積の半分なので、

   6×4×6÷2=72  (終)


(追記) 令和4年7月30日付け

 次の女子学院中学の入試問題(2009)は、目新しい立体図形の体積の計算である。慣
れていないと大変かもしれない。問題は若干改題してあります。

問題 4つの直方体を組み合わせて、下図のような立体を作る。

   

 この立体図形の表面積が246のとき、体積を求めよ。

(解) 立体図形の上下の面の面積は、 6×6×2=72

   立体図形の左右の面の面積は、 7×6×2=84

   上記の左右の面の面積計算でもれている部分の面積は、 3×6×2=36

 よって、立体図形の表面積は、

  (立体図形の前後の面積)+72+84+36=246

 これより、 (立体図形の前後の面積)=54 なので、求める立体図形の体積は、

  54÷2×6=162  (終)


(追記) 令和4年8月19日付け

 体積計算では、いくつかの基本図形に分割して考えることが基本である。

問題 下図の直方体ABCD-EFGHにおいて、PはABを1:2に分ける点、QはCDを1:2
    に分ける点、RはFGの中点、SはHEの中点である。

     

(解) 4×6÷2×8÷3=32  (終)



  以下、工事中!