三角錐の体積　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２４年１０月１０日付けで標記話題をメールで頂いた。

　原点をＯとし、空間上の３点Ａ（ａ₁，ａ₂，ａ₃）、Ｂ（ｂ₁，ｂ₂，ｂ₃）、Ｃ（ｃ₁，ｃ₂，ｃ₃）とする。

　このとき、三角錐 Ｏ-ＡＢＣ の体積Ｖは、次式で与えられる。

　　　

（証明１）　３点Ａ（ａ₁，ａ₂，ａ₃）、Ｂ（ｂ₁，ｂ₂，ｂ₃）、Ｃ（ｃ₁，ｃ₂，ｃ₃）を通る平面の方程式を

　　　　　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝１　とすると、原点Ｏから平面への距離 ｈ は、

　　　　　　

　　　　また、△ＡＢＣの面積 Ｓ は、　Ｓ＝（１/２）｜ＡＢ×ＡＣ｜

　　　　　よって、　Ｖ＝（１/３）Ｓｈ　から、

　　　　　　　　　　（証終）


（証明２）　ｘ、ｙ、ｚ軸に対する回転行列により、点Ａ、Ｂが平面 ｚ＝０ 上にのるようにするこ

　　　　　とができる。回転行列の行列式の値は１なので、体積も変化しない。具体的には、

　　　　　点Ａが平面 ｙ＝０ 上にあるようにｚ軸回転し、さらに、ｙ軸回転により、点Ａをｘ軸上

　　　　　に移動させる。次に、点Ｂをｘ軸回転により、平面ｚ＝０上に移す。　　（証終）


（コメント）　（証明２）の方法は、行列式の簡略化を考えればいいのだろう．．．。


（追記）　平成２６年１月２１日付け

　１辺４の立方体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨがある。ＢＣ上にＢＰ＝１、ＥＦ上にＦＱ＝１、ＧＨ上にＨＲ＝２
となる点Ｐ、Ｑ、Ｒをとる。

　このとき、四面体ＡＰＱＲの体積を求めよ。

（参考：筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編　「Ｃａｆｅ　Ｂｏｌｌｗｅｃｋ　Ｎｏ．�Z」）

（解）　Ａ（０，０，０）、Ｂ（４，０，０）、Ｄ（０，４，０）、Ｅ（０，０，４）とおくと、

　　　　　Ｐ（４，１，０）、Ｑ（３，０，４）、Ｒ（２，４，４）

　　よって、ＡＰ＝（４，１，０）、ＡＱ＝（３，０，４）、ＡＲ＝（２，４，４）　が定める三角錐の体積

　は、上記の公式に代入して、３４/３となる。　　（終）


　「Ｃａｆｅ　Ｂｏｌｌｗｅｃｋ　Ｎｏ．�Z」によれば、次のように幾何的に解けるとのこと。素晴らしい！

（別解）　ＦＧ上にＦＳ＝１となるＳをとり、ＥＳとＱＲの交点をＴとする。すると、面ＡＥＳＰとＱＲ

　　　　は垂直に交わるので、四面体ＡＰＱＲの体積は、

　　　△ＡＰＴ・ＱＲ/３＝（ＡＰ・ＡＥ/２）・ＱＲ/３＝（ＥＳ・４/２）・ＱＲ/３

　　　　　　　　　　　　＝ＥＳ・ＱＲ・２/３＝ＥＳ²・２/３＝１７・２/３＝３４/３　　（終）


（追記）　令和４年１０月２９日付け

　北海道大学　前期理系（２００９）で、三角錐の展開図から元の立体図形の体積を求めさ
せる問題が出題された。

１．下図は、ある三角錐の展開図である。ここで、ＡＢ＝４、ＡＣ＝３、ＢＣ＝５、∠ＡＣＤ＝９０°
　で、△ＡＢＥは正三角形である。このとき、三角錐の体積を求めよ。

　　　　　

（解）　Ａ（０，０，０）、Ｂ（４，０，０）、Ｃ（０，３，０）とおき、三角錐の頂点をＰ（ｘ，ｙ，ｚ）とおく。

　体積の計算なので、　ｚ＞０　としてよい。

　題意より、　ＰＡ＝ＰＢ＝４　、ＰＣ＝　なので、

　ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝１６　・・・　（１）

　（ｘ−４）²＋ｙ²＋ｚ²＝１６　・・・　（２）

　ｘ²＋（ｙ−３）²＋ｚ²＝７　・・・　（３）

（１）−（２）より、　８ｘ−１６＝０　なので、　ｘ＝２

（１）−（３）より、　６ｙ−９＝９　なので、　ｙ＝３

（１）に代入して、　４＋９＋ｚ²＝１６　より、　ｚ＝

　よって、求める体積は、　６××（１/３）＝２√３　　（終）



　　以下、工事中！