とすると、Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄが成り立ち、Ａ、Ｂ、Ｃが与えられていれば、Ｄが求められます。
（１） 一般の四角形のときは、３点の高さが与えられて残りの高さを求めることができそう
ですが、可能でしょうか？
（２） 正五角形の場合、Ａ、Ｂ、Ｃが与えられているとき、残りのＤ、Ｅを求める式はどうなる
でしょうか？よろしくお願いします。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年２月２８日付け）
（１） 四角形の形が与えられていれば可能です。
（２） 頂点が、A、B、C、D、Eの回り順として、
D=A+(C-B)(
+1)/2 、E=C+(A-B)(+1)/2になると思います。
一般に、頂点が、A、B、C、D、E、… の正ｎ角形の場合は、
Vec(AD)=(2cos(2π/n)+1)Vec(BC)
なので、
D=A+(C-B)(2cos(2π/n)+1) 、E=B+(D-C)(2cos(2π/n)+1) 、F=C+(E-D)(2cos(2π/n)+1)
・・・・・・
となりますね。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年３月１日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。
（１）で、具体的に、ＡＢ＝１、ＢＣ＝２、ＣＤ＝３、ＤＡ＝４、角ＡＢＣ＝θ、Ａ、Ｂ、Ｃのそれぞ
れの高さを９、８、７とした場合、どこから考えたらいいでしょうか？
平行がないので、きっかけがわかりません。Ｄを含むように平行四辺形に形を整形とかし
て考えるのでしょうか？θ＝９０度のときは、三平方が使えて確認できましたが．．．。
ヒントをください。よろしくお願いします。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年３月１日付け）
ベクトルを使えばいいんじゃないでしょうか？
下端側で AD = s*AB + t*AC が成り立つ場合、上端側でも A'D' = s*A'B' + t*A'C' が
成り立つので、そこから高さ成分を出せばよいはず。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年３月１日付け）
A、Dから直線BCに垂線AA'、DD'を下ろすと、A'B=AB|cos∠ABC|、CD'=CD|cos∠BCD| か
ら、BとCの高さを使ってA'とD'の高さが計算できます。
（∠BCDは余弦定理とか使えば出せますね。）
そして、AA'//DD' から、
(Aの高さ)-(A'の高さ) ： (Dの高さ)-(D'の高さ)=AA' ： DD'=ABsin∠ABC ： CDsin∠BCD
なので、 (Dの高さ)=(D'の高さ)+(DD'/AA'){(Aの高さ)-(A'の高さ)} となり、Dの高さが計算で
きますね。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年３月８日付け）
皆さん、ありがとうございました。切断された三角柱の底面積をＳ、高さを a、b、ｃ とすると
き、体積Ⅴは、Ⅴ＝(a+b+c)/3×Ｓ となる。
切断された四角柱の底面が平行四辺形のとき、その面積をＳ、高さを a、b、ｃ、d とすると
き、体積Ⅴは、Ⅴ＝(a+b+c+d)/4×Ｓ となる。
一般の場合は言えない。教科書にもないようですし、塾で教わるのでしょうか？
カルピスさんからのコメントです。（平成２９年３月８日付け）
参考：「イメージで分かる中学受験算数」
全然、体積とは関係ないんですけど、立方体は３点で切り口の形が決まるのですね。立方
体の切り口 １～７ をコーヒーブレイクの時にでも切断＆回転して遊んでください。
カルピスさんからのコメントです。（平成２９年３月９日付け）
よく分からないですけど、小学生がボヤいていると思って読んでください。
四角柱は、どう切断するかによって切断面が、３角形・４角形・５角形・６角形になりますが、
切断された立体の体積を求める公式って本当に存在するのでしょうか？ケース バイ ケー
スで計算が必要なよーな．．．。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
三角柱の体積の公式を(a+b+c)/3Ｓを前提条件として、底面積が平行四辺形ならば、底面
積を対角線で二つに分けても面積は等しく(＝Ｓ)、高さを a、b、c、d として、四角柱の体積Ｖ
として、
Ｖ/S＝(a+b+c)/3+(c+d+a)/3=(d+a+b)/3+(b+c+d)/3
これを解くと、 a+c=b+ｄ が成り立ち、これを利用して、V=(a+b+c+d)/４×底面積を得るこ
とができました。
前提の三角柱の体積の公式が難しく、場合分けをしながら、３つを組み立てて証明できま
したが、直立の三角柱まで戻って、積分以外に考えが思いつきません。簡単な証明がある
と思いますが．．．。
らすかるさんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
a≦b≦c とします。a＜b≦c のとき、それぞれの頂点をA、B、Cとして、Aを通り底面に平行
な平面と他の２辺との交点をB'、C'とします。すると、△AB'C'と底面に挟まれる三角柱の体
積は、aS、三角錐C-AB'C'の体積は、(c-a)S/3、残る三角錐B-AB'Cの体積は三角錐B-AB'C'
の体積と等しいので、(b-a)S/3。
従って、求める体積は、 aS+(c-a)S/3+(b-a)S/3=(a+b+c)S/3 となります。
＃ a=b≦cの場合は簡単なので省略。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
むしろ積分の方が簡単なのでは、と思います。
底面と切断面の延長の交線上に原点をとって考えれば、一切積分を実行することなく
「体積=底面積×底面重心での高さ」とわかります。
底面が三角形の場合は重心位置もそこでの高さも位置ベクトルを用いて瞬時に計算でき
ておしまい。底面が平行四辺形の場合も重心は真ん中ですから同じく一瞬です。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
三角錐C-AB'C'の体積は、(c-a)S/3・・・この部分は、当たり前に使用していますが、「底面
の面積×高さ÷３」の公式です。
積分では理解できるのですが、三角柱の３分の１となることを証明することは教わったこと
がなくて、初等的に求めるには、どうしたらいいのかなと？円錐などは、積分でないと正確に
は難しいのではないかと思った次第です。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
錐が柱の1/3になるのは以下のように理解できます。
まず、ピラミッド型（底面が 2L×2L、高さ L）の立方体の体積は、同じ立体を6つくっつける
と 2L×2L×2L の立方体になることから、1つ 4/3*L^3 で、同じ底面、同じ高さの角柱の 1/3
であることがわかります。
他の立体については、底面積が揃うようにその立体とピラミッドを各いくつか用意して、カ
ヴァリエリの原理を使えば証明できます。
（S/h^2 が無理数になる場合は取り尽くし法で考える）
カルピスさんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
DD++さんの説明を、カルピス小学校一年生風に言うと、こういうことですか？
（１） サイコロは「６コの面を底面」「サイコロの重心を頂点」とした「６コ分のピラミッド」に、分
割できる。（分割する切れ目を入れただけで、サイコロの形のまま置く）
（２） 次に、サイコロを半分の高さで切り取ってしまう。（上半分を切り取ってしまう）
すると、半分に切断されたサイコロの中には、ピラミッド（四角錐）の形を保っているのは
【１コ】になってしまう。（サイコロ半分の高さは、ピラミッドの頂点と一致している）
だけど、体積だけで考えると、サイコロを半分の高さで切っているので、サイコロ半分
の全体の体積は、ピラミッド【３コ分】になる。だから、【３コ分】の中の【１コ】 で体積は
「１／３」になる。
（３） 底面の形が三角形や円に代わったとしても、「錐」は「柱」の「１／３」とイメージできる。
めでたし・めでたし．．．。ですか？
DD++さんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
そういうことですね。最後のところは、取り尽くし法をこう説明すれば小学生にも通じるかも。
「三角錐や円錐でも、底面を超ちっちゃい四角形で埋めつくせば、1個1個の四角錐が1/3な
んだから全体もきっと1/3だよね」
厳密には正四角錐以外でどうかという話をしていないので飛躍はしていますが。
（追記） （２）のところも、
「半分にしたもの2つとピラミッド6個で同じ立方体ができるんだから、半分にしたもの1個
でピラミッド3個分だよね」
の方がわかりやすいかな？
カルピスさんからのコメントです。（平成２９年３月１０日付け）
DD++さん、「めでたし・めでたし」で「乾杯」です。余談ですけど、本当は、小学生が円の面
積を求められること自体、おかしいんですよね。円の面積は、高校で積分を習うまでは求め
られないはず。
だけど、義務教育でない高校まで、円の面積の求め方を知らないでいると不都合が大きい
から、無理やり覚えされられていたんですね。
私は、すっかり積分なんて忘れてしまっています。でも、なぜか円の面積は、
「半径×半径×３．１４」 ・・・ こっちは「ことわざ」のように覚えています。
DD++さんからのコメントです。（平成２９年３月１１日付け）
小学生の教科書にも、円の面積が「円周×半径÷2」になる理由はきちんと載っていますよ。
カルピスさんがそれを覚えていないだけで。
カルピスさんからのコメントです。（平成２９年３月１１日付け）
ありゃ そうでしたか。
ｋｓさんからのコメントです。（平成２９年３月１２日付け）
「三角錐の体積が三角柱の体積の３分の１になる証明」で検索するとありました。因みに、
四角柱の３本の高さから残りの高さを求めることは、空間座標を使うと、Ａ、Ｂ、Ｃの高さの
座標から平面の方程式を求め、その平面の方程式に底面の四角形の座標が与えられて
いるとすると、その平面の方程式からｚ座標をだすことができることがわかりました。
皆さんありがとうございました。
